CAPTULO 18InterpolacinCon frecuencia se encontrar con que tiene que estimar valores intermedios entre datosdefinidos por puntos. El mtodo ms comn que se usa para este propsito es lainterpola- cin polinomial. Recuerde que la frmula general para un polinomio de n-simo grado esf(x) = a ! a"x ! a#x# ! $ $ $ ! anxn("%.")&adosn!"puntos'(a)uno)slounpolinomiodegrado*nquepasaatravsdetodoslospuntos.+ore,emplo'(a)slounal-nearecta(esdecir'unpolinomiodeprimer gra- do) que une dos puntos (figura "%."a). &e manera similar' nicamente unapar.olaune un con,unto de tres puntos (figura "%."b)./a interpolacin polinomialconsiste ende- terminarelpolinomionicoden-simogradoquesea,ustean!"puntos.Estepolino-mio' entonces' proporcionaunafrmulaparacalcular valoresintermedios.0unque(a)uno)slounpolinomioden-simogradoquesea,ustaan!"puntos'e1isteunagranvariedaddeformasmatemticasenlascualespuedee1presarseestepolinomio.Enestecap-tulodescri.iremosdosalternativasquesonmu)adecuadaspara implementarse en computadora2 los polinomios de 3e4ton ) de/agrange.18.1 INTERPOLACIN POLINOMIAL DE NEWTON EN DIFERENCIAS DIVIDIDASComo se di,o antes' e1iste una gran variedad de formas alternativas para e1presarunainterpolacin polinomial. El polinomio de interpolacin de Newton en diferencias di-FIGURA18.1Ejemplos de interpolacin polinomial: a) de primer grado (lineal) que une dos puntos, b) de segundo grado (cuadrtica o parablica) que une tres puntos y c) de tercer grado (cbica) que une cuatro puntos.a)b)c)* &e (ec(o se puede pro.ar que dados n ! " puntos' con a.scisas distintas entre s-' e1iste uno ) slo un poli-nomio de grado a lo ms n que pasa por estos puntos.18.1!"E#$%&'()! $%&!%*'& +E !E,"%! E! +-E#E!('. +/++'. 012(3) (3 ) (3 ) 4(3 )1 11 1343(3 4 3)1115 (3)5 (31)vididasesunadelasformasmspopulares)tiles.0ntesdepresentarlaecuacingeneral' estudiaremos las versiones de primero ) segundo grados por su sencilla inter-pretacin visual.18.1.1 Interpola!"n l!neal/a forma ms simple de interpolacin consiste en unir dos puntos con una l-nearecta.&ic(atcnica'llamadainterpolacinlineal'seilustrademaneragrficaenlafigura"%.#. 5tili6ando tringulos seme,antes'" (x) 7 (x ) = (x" ) 7 (x )x 7 x

reordenndose se tienex"7 x

("%.#)queesunafrmuladeinterpolacinlineal./anotacinf"(x)designaquesteesunpolinomiodeinterpolacindeprimergrado.8.servequeademsderepresentarlapendientedelal-neaqueunelospuntos'eltrmino9f(x")7f(x

):;(x" 7x

)esunaapro1i- macin en diferencia dividida finita a la primer derivada 9ecuacin(=".=?"=@?. &espus' repita el procedimiento' pero use un intervalo menor de ln " aln < (".A%>#??A" "(# 7 ") =.A@%A@"?que representa un error2 et = #?< < "(# 7 ") =.#?%"0s-' usando el intervalo ms corto el error relativo porcentual se reduce a et = AA.AB. 0m.as interpolaciones se muestran en la figura "%.A' ,unto con la funcin verdadera.FIGURA18.$+os interpolaciones lineales para estimar ln 8. %bser:e cmo el inter:alo menor proporciona una mejorestimacin.f f (x) ! ln 1 "alor f(x)E#timacione# "$ $ % x18.1.# Interpola!"n %a&r't!aEn el e,emplo "%." el error resulta de nuestra apro1imacin a una curva mediante unal-nearecta.Enconsecuencia'unaestrategiaparame,orarlaestimacinconsisteenintro- duciralgunacurvaturaalal-neaqueunelospuntos.Cisetienentrespuntoscomodatos'stospuedena,ustarseenunpolinomiodesegundogrado(tam.inconocidocomopoli- nomiocuadrticooparbola).5naformaparticularmenteconveniente para ello esf#(x) = b

! b"(x 7 x

) ! b#(x 7 x

)(x 7 x") ("%.A)8.serve que aunque la ecuacin ("%.A) parece diferir del polinomio general9ecuacin("%."):' las dos ecuaciones son equivalentes. /o anterior se demuestra al multiplicar lostrminos de la ecuacin ("%.A)2f#(x) = b ! b"x 7 b"x ! b#x# ! b#x

x" 7 b#xx 7 b#xx"o' agrupando trminos'f#(x) = a

! a"x ! a#x#dondea = b 7 blx ! b#x

x" a" = b" 7 b#x 7b#x" a#= b#0s-' las ecuaciones ("%.") ) ("%.A) son formas alternativas' equivalentes del nicopoli-nomio de segundo grado que une los tres puntos.5n procedimiento simple puede usarse para determinar los valores de los coeficien-tes. +ara encontrar b

' en la ecuacin ("%.A) se evala con x = x

para o.tenerb

= f(x

) ("%.)8.serve que' como en el caso de la interpolacin lineal'b" todav-a representalapendientedelal-neaqueunelospuntosx )x".0s-'losprimerosdostrminosdela ecuacin ("%.A) son equivalentes a la interpolacin lineal de x a x"' como seespeci-fic antes en la ecuacin ("%.#). El ltimo trmino' b#(x 7 x

)(x 7 x")' determina la cur-vatura de segundo grado en la frmula.0ntes de ilustrar cmo utili6ar la ecuacin ("%.A)' de.emos e1aminar la forma delco- eficiente b#. Esmu)similar a la apro1imacin en diferencias divididasfinitas de lasegunda derivada' que se present antes en la ecuacin ( f(x#) = ".=?"=@?Con el polinomio evale ln #.Solcin. 0plicando la ecuacin ("%.#?< b"=< "= .#?%"FIGURA18.(El uso de la interpolacin cuadrtica para estimar ln 8. $ara comparacin se presenta tambi;n la interpolacin lineal desde x < 1 =asta 2.5 (3)85 (3) < ln 358(3)1/alor:erdaderoEstimacin cuadrticaEstimacin lineal11 0 3> ( ) 1.ustituyendo estos :alores en la ecuacin (18.?) se obtiene la 5rmula cuadrtica58(3) < 1 @ 1.2>81A81(3 4 1) 4 1.1018B?1(3 4 1)(3 4 2)que se e:ala en 3 < 8 para58(8) < 1.0>08222querepresentaunerrorrelati:odeet #?< = .# " ##=A#>> ?@ >/as segundas diferencias divididas son 9ecuacin ("%."A):9x' x ' x: = .##=A#> .#?%" = .#" @"%=A""> "9x ' x' x : = ."%#A#"> .##=A#> = .A #"##%=>%>' que representa un error relativo2 et = ?.AB. /a grfica del polinomio c.ico se muestra en la figura "%.>.18.1.( Errore+ &e la !nterpola!"n pol!no)!al &e Ne,ton8.serve que la estructura de la ecuacin ("%."@) es similar a la e1pansin de la serie deDa)lorenelsentidodequesevanagregandotrminosenformasecuencial'paramostrar el comportamientode ordensuperior de la funcin. Estos trminos sondiferenciasdi- vididasfinitas)'as-'representanapro1imacionesdelasderivadasdeordensuperior.En consecuencia'comoocurriconlaseriedeDa)lor'silafuncinverdadera es un polino- mio de n-simo grado' entonces el polinomio de interpolacinde n-simo grado .asado en n ! " puntos dar resultados e1actos.Dam.in' como en el caso de la serie de Da)lor' es posi.le o.tener una formulacinparaelerrordetruncamiento.&elaecuacin()recuerdequeelerrordetruncamien- to en la serie de Da)lor se e1presa en forma general como(n+" ()Rn=(xi+" xi )n+"()(n + ")Gdonde x est en alguna parte del intervalo de xi a xi!". +ara un polinomio de interpolacin de n-simo grado' una e1presin anloga para el error es(n+") ()Rn=(n + ")G(x 7 x )(x 7 x" )F(x 7 xn )("%.">)donde x est en alguna parte del intervalo que contiene la incgnita ) los datos. +araque esta frmula sea til' la funcin en turno de.e ser conocida ) diferencia.le. +or locomn ste no es el caso. +or fortuna' (a) una formulacin alternativa que no requieredelco-nocimientopreviodelafuncin.5tili6ndoseunadiferenciadivididafinitapara apro1i- mar la (n ! ")-sima derivada'Rn = 9x' xn' xn7"' . . . ' x

:(x 7 x

)(x 7 x")$ $ $ (x 7 xn) ("%."=)donde 9x' xn' xn7",. . . ' x

: es la (n ! ")-sima diferencia dividida finita. &e.ido aquela ecuacin ("%."=) contiene la incgnita f(x)' no permite o.tener el error. Cin em.argo'sisetieneundatoms'f(xn!")'laecuacin("%."=)puedeusarseparaestimarelerrorcomo sigue2Rn 9xn!"' xn' xn7"' . . . 'x

:(x 7 x

)(x 7 x")$ $ $(x 7 xn) ("%."%)EJEMPLO 18./ E#timacin del error para el polinomio de +e,tonPlanteamiento del problema.Con la ecuacin ("%."%) estime el error en lainterpo-lacinpolinomialdesegundogradodele,emplo"%.#.5seeldatoadicionalf(xA)=f(@) = ".>??A" ) @) estn distantes ) a un lado del puntode anlisis en x=#./aestimacindecuartogradomuestrauname,or-aunpocoma)or')aqueelnuevopuntoenx=Aestmscercadelaincgnita.0unque'ladisminucinmsdramtica en el error corresponde a la inclusin del trmino de quinto grado usando eldatoenx=".@.&ic(opuntoestcercadelaincgnita)tam.inse(allaalladoopuesto de lama)or-a de los otrospuntos.En consecuencia'el error se reduce a casiun orden de magnitud./a importancia de la posicin ) el orden de los datos tam.in se demuestra al usarlos mismos datos para o.tener una estimacin para ln #' pero considerando lospuntosenunordendiferente./afigura"%.?muestralosresultadosenelcasodeinvertirelorden de los datos originalesE es decir' x = A.@' x" = #.@' xA = ".@' ) as-sucesivamente.Comolospuntosinicialesenestecasose(allanmscercanos)espaciadosaam.oslados de ln #' el error disminu)e muc(o ms rpidamente que en la situacinoriginal.En el trmino de segundo grado' el error se redu,o a menos de et = #B. Ce podr-an em-plear otras com.inaciones para o.tener diferentes velocidades de convergencia.FIGURA18.3Errores relati:os porcentuales para la prediccin de ln 8 como 5uncin del orden del polinomio deinterpolacin.Error$.% Error .erdadero Error e#timado $ % 1radoError e#timado 2 El e,emploanterior ilustralaimportanciadelaseleccindelospuntos. Comoesintuitivamente lgico' los puntos de.er-an estarcentrados alrededor' ) tan cerca como sea posi.le' de las incgnitas. Estao.servacin tam.in se sustenta por un anlisisdi- recto de la ecuacinpara estimar el error 9ecuacin ("%."=):. Ci suponemos que ladife- renciadivididafinitanovar-amuc(oatravsdelosdatos'elerroresproporcionalal producto2 (x 7 x

)(x 7 x")$$$(x 7 xn). 8.viamente' cuantomscercanosaxestnlospun-tos' menorserlamagnituddeesteproducto.