CAPÍTULO 2. ANTECEDENTESbibing.us.es/proyectos/abreproy/3813/fichero/PFDC%2FC2... · como un péndulo, y la tensión en la ... suma de la cinética y la potencial, ... pequeño y

CAPÍTULO 2. Antecedentes.

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CAPÍTULO 2. ANTECEDENTES

No hay que olvidar que el objetivo de este proyecto fin de carrera es el análisis del comportamiento dinámico de un péndulo cuya longitud varía armónicamente con el tiempo. Pero antes de abordar este propósito es necesario repasar que es lo que se ha hecho hasta ahora en este terreno. Para empezar por el principio, hay que señalar que el comportamiento dinámico del péndulo ha sido estudiado por un alto número de matemáticos, físicos e ingenieros. Así, se han desarrollado distintas teorías, modelos y aproximaciones a la solución, de validez variable en función de lo acertadas que sean las hipótesis de partida en cada caso. El análisis de los principales métodos resolutivos de la ecuación de movimiento de un péndulo simple no lineal, así como de la validez de sus hipótesis constituyen un bloque con entidad suficiente para tener un anexo propio en este proyecto fin de carrera, por lo que se remite al lector a él. En este anexo también se incluye una resolución mediante cálculo numérico, empleando el programa informático MATLAB. Sin embargo, cuando se busca información acerca de péndulos cuya longitud varía con el tiempo, se descubre que este tema no ha sido tan desarrollado como cabría esperar. Pese a esto se han encontrado varios estudios muy interesantes y que aportan luz al asunto, entre los cuales destacan los tres siguientes:

- Física del botafumeiro. - Control de oscilaciones angulares por reconfiguración de la masa: un caso de

péndulo de longitud variable. - Cómo se columpian los niños

El contenido de estos tres estudios se resume, en lo que a este proyecto fin de carrera concierne, a continuación. Las referencias de donde han sido obtenidos se encuentran en la bibliografía.


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3.1) Física del botafumeiro. El botafumeiro es un mecanismo destinado al culto en la catedral de Santiago de Compostela, que introduce efectos dinámicos refinados. Se instaló hace siete siglos y desde entonces puede haber originado las primeras experiencias sobre caos determinista.

Fig 2.1.1. El botafumeiro.

1.- Descripción del mecanismo: De una estructura en lo alto del crucero de la catedral cuelga mediante una cuerda un incensario gigante denominado botafumeiro. Éste es desviado de la vertical mediante un empujón y mientras se balancea como un péndulo, ocho hombres en el suelo, al otro extremo, sueltan cuerda en el punto más alto del movimiento y tiran de ella en el más bajo. Cíclicamente los tiradores amplifican así la oscilación del botafumeiro, hasta llevarlo a 21m, en lo alto de la bóveda, en un arco de 65m a lo largo del transepto, a 68 km/h en el punto más bajo. Los elementos mecánicos implicados son muy simples:

- Un armazón de hierro atornillado a cuatro sustentáculos que arrancan de los grandes pilares del crucero hace de estructura base.

- Una cuerda de 4.5 cms de diámetro.

- Dos tambores de madera de castaño de 58 y 29 cm de diámetro, en los que se

devana la cuerda, con el eje común apoyado en el armazón sobre simples cojinetes de deslizamiento.


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- El botafumeiro: semirrígido, de latón plateado y unos 56 kg de peso.

En su posición más baja, el centro de gravedad pasa a 1.2 m del suelo y 20.6 m

por debajo del eje de los tambores.

La secuencia mecánica es sencilla: el tambor más grande está del lado opuesto a los tiradores, de tal modo que el conjunto funciona a la inversa de un torno: multiplica desplazamientos, no fuerzas. Cada vez que el botafumeiro se aproxima a la vertical, los hombres dan un tirón y desenrollan casi metro y medio de cuerda del tambor pequeño, con lo que el eje gira más de vuelta y media, alzando el incensario 2.9 m. Para completar el ciclo, los tiradores sueltan igual longitud de cuerda en el punto más alto de la oscilación.

Aunque se podrían emplear dos cuerdas (no hay deslizamiento sobre los

tambores), es más fácil sujetar sólo una pasándola de uno a otro por agujeros en el resalte de carrete en sus extremos. 2.- Fundamentos del funcionamiento del botafumeiro:

Tras el empujón inicial, la amplitud de oscilación es de unos 13º, requiere alrededor de 80 segundos y 17 ciclos (semiperiodos de oscilación del incensario) alcanzar una amplitud máxima de 82º, medio metro por debajo de la bóveda.

Fig 2.1.2. El botafumeiro en movimiento.

Si la distancia del botafumeiro a la estructura soporte no variase, éste se movería

como un péndulo, y la tensión en la cuerda no realizaría trabajo mecánico. En un péndulo ideal (una partícula que colgara de una cuerda de masa nula, sin pérdidas


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energéticas), la energía total, suma de la cinética y la potencial, se mantiene constante con el tiempo.

Esta constante se podrá determinar a través del valor de la energía potencial

(principalmente gravitatoria) en el punto superior de la oscilación, en el que la energía cinética se anula. Por tanto, el valor constante de la energía total vendrá dado por el producto del peso por la altura máxima sobre el punto inferior.

Pero para caracterizar la energía también podemos usar, en vez de esta altura, la

amplitud de oscilación, o la velocidad máxima, dada por la fórmula de caída libre; fórmula según la cual el cuadrado de la máxima velocidad es igual al doble de la aceleración de la gravedad por la altura máxima. Además, dado que en el botafumeiro las velocidades y recorridos son grandes, las pérdidas de energía mecánica por resistencia del aire tienen un efecto apreciable. Tras medir en un túnel de viento un modelo a escala del botafumeiro, se dispone de los los coeficiente de resistencia del botafumeiro en cada una de las fases del movimiento. Analizando estos datos, se llega a las siguientes conclusiones:

- La fuerza del aire en dirección opuesta al movimiento (resistencia) y en la dirección perpendicular a lo largo del eje de sustentación fueron determinadas; en el caso de la última, que no sobrepasa el 1% de la fuerza centrífuga, sólo afecta y de forma mínima, a la tensión de la cuerda.

- El movimiento del botafumeiro difiere poco de una rotación en torno al eje de

los tambores, de modo que la velocidad de un punto del botafumeiro es proporcional a la distancia a su eje. Asociar su movimiento al de traslación representa un error del 2%.

- Suponer este movimiento uniforme tiene una validez y un fundamento

semejantes, ya que la cuerda es muy larga.

- La cuerda también sufre una cierta resistencia, pero no es necesario medirla, puesto que el coeficiente de resistencia de un cilindro finito es una función bien conocida.

Conocidos los coeficientes de resistencia, es posible calcular la pérdida de

energía en un ciclo, entre dos puntos de altura máxima. Si la pérdida relativa es pequeña, puede ser despreciada en el cálculo y suponer que la energía es constante en el ciclo. De ello se infiere que la pérdida relativa por ciclo, debida a la cuerda o al mismo incensario, es proporcional al cociente entre el peso del aire barrido por uno u otro y el peso del incensario. La pérdida total de energía es la suma de las dos parciales.

Para incrementar la energía de la oscilación se varía la longitud de la cuerda que

cuelga hasta el incensario (su radio de giro). A la acción de variar un parámetro de un oscilador se le denomina bombeo; la amplificación del movimiento del incensario


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constituye, en efecto, un ejemplo de amplificación paramétrica por bombeo, como el del columpio familiar en el que un niño se agacha y levanta cíclicamente.

Cuando la longitud de la cuerda varía, la tensión realiza un trabajo. Este trabajo

será positivo (incrementando la energía) en una etapa en la que se acorte la cuerda, y en negativo en la opuesta. Para un ciclo completo, con alargamiento y acortamiento, la ganancia por bombeo, o lo que es lo mismo, el trabajo neto de la tensión puede adquirir un signo u otro.

La aceleración radial durante una etapa de bombeo resulta del desequilibrio de

las fuerzas (tensión, fuerza centrífuga y parte del peso) que actúan a lo largo de la cuerda. No hay movimiento en la dirección del cable antes o después del bombeo, por lo que el trabajo de la tensión en toda la etapa es igual y opuesto al trabajo combinado de las otras dos fuerzas. Esto permite determinar fácilmente la secuencias de movimientos óptima que produce una ganancia máxima por ciclo, dado un pequeño desplazamiento radial del incensario en una y otra etapa. Al igual que en el cálculo de las pérdidas de energía ocasionadas por la resistencia del aire, se pueden calcular los efectos del bombeo suponiendo que la energía es constante en el ciclo. Resulta claro entonces que el acortamiento de la cuerda se ha de realizar instantáneamente en el punto inferior de la oscilación, cuando todo el peso tira de la cuerda y es máxima la fuerza centrífuga. Así mismo, se ha de soltar la cuerda, hasta llevarla a su longitud nominal, en el punto superior, en el que la acción del peso es mínima y la fuerza centrífuga nula. De este modo, se obtiene la ganancia óptima por bombeo. El valor de la ganancia relativa por ciclo es igual al triple del acortamiento dividido por la longitud nominal. Nótese que la ganancia relativa no crece con la amplitud, como ocurría en el caso de las pérdidas, de modo que la resistencia del aire, despreciable a baja amplitud, puede finalmente dominar al bombeo. La ganancia absoluta es pequeña a baja amplitud; la amplificación de las oscilaciones requiere un tiempo desusadamente largo si el empujón inicial es débil. El movimiento real del incensario difiere poco del óptimo. Repetidas observaciones verifican que sí se bombea en los puntos inferior y superior de la oscilación. Esta acción es razonablemente instantánea, pues el acortamiento relativo es pequeño y la aceleración de la gravedad es determinante en el movimiento pendular y en las etapas de bombeo. Con grandes amplitudes, la duración de la etapa de bombeo es de 0.77 segundos.


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Fig 2.1.3. Péndulo simple.

3.- Comparación con otros mecanismos similares: Una conclusión a añadir es que el botafumeiro es una máquina mucho más eficiente que el clásico columpio. El columpio típico es 10 veces más corto, por lo que su ciclo, de segundo y medio, resulta demasiado breve para un buen seguimiento de la secuencia óptima. Además, el acortamiento relativo de su longitud pendular no es pequeño, por lo que el bombeo tampoco es instantáneo. Ahora bien, el columpio presenta sin duda alguna una ventaja, ya que se trata de un péndulo corto y pesado: la resistencia del aire apenas influye. El descubrimiento del procedimiento óptimo para bombear el incensario constituye un hecho óptimo y se remonta a unos 400 años antes de que Galileo y Huygens analizaran el péndulo. Así, hubo de existir un temprano conocimiento no sólo de la regla de bombeo, sino también de la influencia de ciertos elementos mecánicos sobre la ganancia neta por ciclo.

Por ejemplo, las pérdidas (pero no la ganancia) relativas varían en proporción inversa al peso del incensario, esto es, la ganancia neta es tanto mayor cuanto menor sea el peso. Resultaría así imposible llevar hasta la bóveda el movimiento de un incensario ligero.


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De modo semejante, la ganancia neta es tanto menor cuanto menor sea el acortamiento de la cuerda en el punto inferior de la oscilación. Un solo tambor resultaría insuficiente, de ahí la necesidad del mecanismo multiplicador que constituyen los dos tambores unidos por el eje. El momento que ejerce el peso de un péndulo sobre su eje soporte se anula en el instante del paso por la vertical. De acuerdo con esto suele determinarse y explicarse la ganancia en la etapa inferior de bombeo de un columpio. Sin embargo, para considerar instantánea la etapa, resulta necesaria una aceleración radial de bombeo mucho mayor, en promedio, que la gravitatoria.

Fig 2.1.4. Ciclo óptimo.

Esto último no se cumple en columpios que cuelgan de cuerdas, por la misma razón que en el caso del botafumeiro: la cuerda nunca ejerce sobre éste una fuerza hacia abajo, lo que supondría tensión negativa, y la gravedad interviene siempre en el frenado vertical. La fuerza que el niño pone en juego en el proceso no excede, en orden de magnitud, a su propio peso. Como puede observarse en la realidad, en un columpio típico las etapas de bombeo cubren una fracción apreciable del ciclo. La realización de trabajo neto, con una variación radial neta nula, se funda en la posible diferencia de tensiones en las dos etapas de un ciclo. Ganancia y ciclo óptimo adquieren entonces un carácter universal e independiente del valor del cociente entre la


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aceleración radial en promedio y la aceleración de la gravedad. No obstante, el ciclo óptimo puede recibir otra interpretación en el caso particular de bajas amplitudes. En estas condiciones, el péndulo es un oscilador armónico: su frecuencia de oscilación ω es la misma a diferentes amplitudes, siempre pequeñas. Cualquier modulación del radio pendular, o secuencia de bombeo repetida cíclicamente cada semiperiodo del movimiento del péndulo, se convierte en función periódica de frecuencia ω2 . 4.- Ejemplo de oscilador armónico: la ecuación de Mathieu: Un oscilador armónico modulado por ejemplo según una función seno de frecuencia Ω , obedece a la ecuación de Mathieu. Es sabido que esta ecuación exhibe una resonancia e inestabilidad paramétrica (energía del oscilador creciente) para ciertos valores de Ω .

En el caso de modulación débil solamente hay crecimiento apreciable si Ω dobla la frecuencia de oscilación ω . Para esta modulación de tipo seno con frecuencia ω2 , el incremento relativo de energía del oscilador armónico resulta ser 4/π veces

menor que el hallado para modulación óptima. Ahora bien, para una secuencia de bombeo arbitraria, la técnica del análisis de Fourier permite escribir la modulación, de frecuencia ω2 , como una suma de funciones seno de frecuencias etc,6,4,2 ωωω , por coeficientes de Fourier apropiados. Si la modulación es débil, sólo el término de frecuencia ω2 contribuirá al crecimiento o ganancia de energía.

De ello se deduce que el problema de determinar la secuencia óptima para una pequeña variación radial dada equivale al de encontrar, entre todas las funciones periódicas de frecuencia y valores máximo y mínimo dados, aquella para la cual es mayor el primer coeficiente de Fourier.

La solución a este último problema es la función que salta discontinuamente entre los valores máximo y mínimo, el ya conocido ciclo óptimo. Su primer coeficiente es π/4 veces el valor del salto.


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Fig 2.1.5. Esquema del ciclo de bombeo óptimo.

5.- Plano de fases: El movimiento de un péndulo ideal se representa a menudo en un diagrama de plano de fases, que tiene al ángulo con la vertical y a la velocidad angular como coordenadas cartesianas. Así, en este plano de fases, las oscilaciones periódicas del péndulo se representan por curvas cerradas que rodean al origen. En cualquier instante, le estado de movimiento se corresponde con un punto en la curva, recorrida repetidamente al pasar el tiempo. Un ciclo abarca el movimiento entre dos puntos de velocidad angular nula mientras que la amplitud es el módulo del ángulo de un punto tal. Si se tiene en cuenta la resistencia del aire, la energía decrece de modo continuo y la trayectoria del punto representativo es una espiral hacia el origen, que es la posición de reposo del péndulo. 6.- Mapa de Poincaré y conclusiones: En general se puede determinar el valor de la amplitud al final de un ciclo en función del valor a su comienzo. Esta relación determina un mapa de retorno o mapa de Poincaré, en virtud del cual se observa que la amplitud del ciclo n es igual a la función de la amplitud al término del ciclo n-1. El mapa se puede dibujar en un plano cuyos ejes


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coordenados corresponden a las amplitudes al final de dos ciclos consecutivos. Si se conoce el valor inicial, el mapa genera toda la sucesión iterativamente. Si se bombea el péndulo para incrementar su energía, se necesita un espacio de fases de cuatro ejes para la representación del movimiento, ya que hay dos nuevas variables: radio pendular y velocidad radial. Sin embargo, en el caso del bombeo óptimo, esas variables vienen preestablecidas en función del ángulo y de la velocidad angular, de tal modo que el espacio fásico se reduce a un plano: hay de nuevo un simple mapa de amplitudes, que ahora corresponde a velocidades angular y radial nulas, y radio mínimo. Se han determinado ya en el caso del botafumeiro tanto las ganancias como las pérdidas necesarias para determinar el mapa. En su determinación, sin embargo, se supuso que eran muy pequeñas, y se despreciaron, entre otros efectos, el peso de la cuerda; pero esto introduce errores del 10 al 20%. Un análisis más refinado que tiene en cuenta esas correcciones genera un mapa cuyo desacuerdo con las observaciones es sólo del 2 al 4%.

Fig 2.1.6. Plano de fases.

La intersección de un mapa de retorno con la bisectriz de los ejes es un punto fijo de aquel. Un punto tal es localmente estable, si constituye el límite de todas las sucesiones de iteraciones con amplitud inicial en su vecindad, lo que requiere que la pendiente del mapa en el punto no exceda la unidad. En el caso del botafumeiro, hay un


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punto fijo inestable a 0 grados y otro estable a 85 grados; de hecho, todas las sucesiones de valor inicial no nulo convergen en 85 grados. Comenzando con una amplitud de 13 grados, los cálculos muestran que hacen falta 18 ciclos y unos 80 segundos para sobrepasar los 80 grados. Basta recordar los datos de observación, para concluir que los resultados del análisis son satisfactorios. El botafumeiro aparece como un oscilador paramétrico, que sostiene oscilaciones permanentes a una sola amplitud, para la que pérdidas y ganancias se compensan. Modernamente se ha descubierto que los mapas de muchos sistemas físicos sencillos no sólo carecen de puntos fijos estables, sino que presentan un comportamiento “caótico determinista”, a tenor del cual no es posible, en principio, ante un problema dado, predecir la trayectoria fásica para tiempos indefinidamente largos. Lógicamente nunca hay precisión completa sobre el punto fásico inicial. En un sistema caótico, trayectorias que parten de puntos próximos se separan con el paso del tiempo y dan lugar a resultados diferentes que impiden su predicción; y ello de un modo radical: un aumento progresivo de la precisión inicial conduce a un alargamiento relativo del tiempo de predicción progresivamente decreciente. Sólo los sistemas con espacios de fases de tres o más ejes presentan comportamientos caóticos. En particular, el péndulo bombeado óptimamente no puede ser caótico (como se puede apreciar empíricamente, tanto el columpio como el botafumeiro funcionan).

Fig 2.1.7. Amplitud al final del ciclo n-1


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La situación cambia cuando se trata de un bombeo que sigue una ley temporal previamente dada, explícita (como es el caso que se estudia en este proyecto fin de carrera). Como la frecuencia pendular varía con su amplitud, el radio y la velocidad radial no quedan predeterminados en función del ángulo y de la velocidad angular; hay más de dos ejes fásicos y no es posible, en principio, excluir la aparición de caos. Recientemente se ha comprobado que el péndulo bajo una u otra excitación de ley temporal dada, exhibe caos si la excitación no es excesivamente débil. Durante todo el análisis del estudio del botafumeiro se ha venido suponiendo que el plano de oscilación estaba fijado, idea que se sustenta en el hecho de hay dos guías que cuelgan del armazón. Pero si el péndulo es esférico (el plano puede rotar) el espacio fásico presenta más de dos ejes, incluso bajo excitación óptima. En 1984 se probó que un péndulo esférico empujado en una dirección dada y siguiendo una ley temporal prefijada podía manifestar un comportamiento caótico por muy pequeña que fuera la excitación. Y muy recientemente se llegó al mismo resultado para una excitación no prefijada, sino de ciclo óptimo. El caso del botafumeiro, al que se bombea y no empuja, puede exigir la consideración de los efectos que el diámetro no nulo de los tambores introduce en el problema.


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3.2) Control de oscilaciones angulares a través de la reconfiguración de masa. Un péndulo con longitud variable. El control de las oscilaciones angulares o de la energía de un sistema a través de una reconfiguración de masa se evalúa en este estudio mediante un péndulo de longitud variable. Esta reconfiguración de masa se consigue acercando la masa del origen del péndulo (punto del que cuelga el cable). La atenuación o amplificación de oscilaciones angulares serán explicadas mediante la fuerza de Coriolis, y evaluadas por la variación de energía que se produce durante un ciclo completo. Además, se introduce un término de amortiguamiento viscoso equivalente para poder cuantificar el fenómeno de amplificación/atenuación. 1.- Introducción. La redistribución o reconfiguración de masa constituye un mecanismo único para el control de oscilaciones. La dinámica de un péndulo de longitud variable es bastante compleja y puede involucrar resonancia paramétrica o incluso comportamiento caótico bajo determinadas circunstancias. En este caso la fuerza de inercia de Coriolis asociada con el deslizamiento a lo largo de un sistema en movimiento angular se ha empleado para explicar el comportamiento del péndulo. Basándose en esta explicación, se han postulado reglas sencillas para producir efectos de amplificación/atenuación con amortiguamiento positivo o negativo respectivamente. A estas mismas reglas también se ha llegado con consideraciones energéticas que también permiten cuantificar los efectos de amplificación/atenuación. La variación de energía en un ciclo de oscilación para una copia del deslizamiento de la masa ha sido definida y empleada para establecer un término de amortiguamiento viscoso equivalente. Este término permite realizar distintas reconfiguraciones de masa, de modo que la capacidad de atenuación asociada será útil para establecer la estrategia de control de oscilaciones. 2.- Ecuaciones diferenciales de movimiento. Se va a considerar el movimiento plano de un péndulo simple con variación de longitud. Este péndulo está constituido por un cable de masa despreciable que pasa por un origen en el punto 0. Una masa puntual de valor m (de tal modo que el momento que pueda introducir con respecto a su centro es despreciable) se sitúa al otro extremo del


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cable. Además, se despreciará el amortiguamiento por arrastre y/o fricción en el origen. La longitud del péndulo se controlará ajustando el final del cable en una dirección B fija. En el sistema de coordenadas circulares (r,θ) , la aceleración de un punto A se puede obtener de:

( ) ( ) jr2rirrr 2A

r&&&&

r&&&

r&& θθθ ++−= ec.2.2.1

Se pueden identificar las fuerzas externas que actúan sobre la masa en el punto A como:

( ) jsenmgiFcosmgF extA

rrrθθ ⋅−−⋅= ec.2.2.2

donde mg es la fuerza gravitacional y F es la tensión del cable. Sin más que aplicar las leyes de Newton, las ecuaciones diferenciales que gobiernan el movimiento son:

Frmrmcosmg 2 =+−⋅ θθ &&& ec.2.2.3

0mgrsenrmr2mr 2 =++ θθθ &&&& ec.2.2.4 donde cada término representa una fuerza externa o de inercia. En particular, deben ser revisados los efectos originados por la fuerza de Coriolis, rm2FC &&θ= . Cuando θ& >0 y r& >0, la dirección de la fuerza de Coriolis se opone al movimiento del péndulo. Nótese que a medida que aumenta la longitud del péndulo ( r& >0), CF siempre es contraria al movimiento del péndulo, indiferentemente del sentido de éste, como se muestra en la figura. Por el contrario, un decremento de longitud ( r& <0) implica fuerza de Coriolis en el sentido del movimiento.

Fig 2.2.1. Péndulo de longitud variable: sistema de coordenadas y fuerzas presentes.


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De este modo, el movimiento oscilatorio del péndulo puede ser incrementado o disminuido mediante la generación de fuerza de Coriolis que añade o resta energía al movimiento en función del acortamiento o alargamiento de longitud del péndulo respectivamente. Esta misma conclusión puede ser alcanzada si se parte del principio de conservación del momento angular. Formalmente, las oscilaciones pueden ser controladas ajustando bien la tensión del cable F(t), o la longitud del mismo r(t). Este último caso es el que se va a considerar con más detalle, pues es más práctico. Así, los efectos de r(t) en θ(t) quedan reflejados en la ecuación ec.4, que puede ser rescrita por:

0senrg

rr2 =++ θθθ&&&& ec.2.2.5

Por tanto, a partir de una función de variación de longitud del cable r(t) conocida, se puede obtener θ(t) a partir de la ecuación ec.2.2.5. Sin más que sustituir y resolver en la ecuación ec.2.2.3, se despeja el valor de F(t) y el problema queda cerrado. En comparación con un oscilador simple (modelado por una masa, un muelle y un amortiguador) de masa unitaria, el término r/r2& puede ser considerado como un coeficiente de amortiguamiento instantáneo. Así, cuando r& >0, el amortiguamiento es positivo y la oscilación es atenuada; si r& <0, el amortiguamiento es negativo y la oscilación puede ser amplificada. No hay contradicción por tanto entre esto y las observaciones sobre los efectos de la fuerza de Coriolis.

Fig 2.2.2.Fuerzas de Coriolis en relación con la dirección y sentido del movimiento de la masa m

3.-Control de oscilaciones usando variaciones de longitud limitadas: Un caso muy interesante de control de oscilaciones se presenta cuando la masa del péndulo de longitud variable se mueve cíclicamente entre dos valores minr y maxr . Para este caso , la estrategia de amplificación o atenuación necesita ser considerada con


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cautela, dado que la oscilación crece con el acercamiento de la masa al origen y decrece con su alejamiento. Si las fuerzas de Coriolis en un caso y el otro son idénticas en magnitud pero de sentido contrario, entonces los efectos atenuadores asociados al alargamiento se neutralizarán con los efectos amplificadores del acortamiento. Es decir, al final del ciclo, el sistema se encontrará en el mismo estado que al principio. Por tanto, la estrategia de control se debe centrar en gobernar la magnitud de la fuerza de Coriolis durante la variación de longitud del péndulo (bien sea alrgamiento o acortamiento) ya que así se romperá el equilibrio comentado en el párrafo anterior. La magnitud de la fuerza de Coriolis puede ser controlada a través de una adecuada coordinación de la variación de longitud del cable y la velocidad angular. En definitiva, para obtener un efecto atenuador neto, debe aplicarse la siguiente estrategia:

a) El alargamiento del cable debe producirse cuando la velocidad angular y la fuerza de Coriolis son máximas, lo cual se presenta cuando el péndulo está más cerca de la vertical. Esto optimizará el efecto de amortiguamiento a medida que la masa desciende.

b) El acortamiento del cable debe producirse cuando la velocidad angular y la

fuerza de Coriolis son mínimas. Esta situación se presenta cuando se tiene el máximo desplazamiento angular con respecto a la posición vertical de equilibrio. Esto debe minimizar los efectos amplificadores asociados al descenso de la masa.

Esta regla es justamente la inversa de la que se emplea con el Botafumeiro en la Catedral de Santiago de Compostela (antecedente estudiado en el subcapítulo anterior), lo cual es totalmente lógico, dado que en el caso del incensario se busca todo lo contrario: amplificar las oscilaciones, para que el Botafumeiro llegue hasta casi rozar la cúpula de la catedral.

En cualquier caso, es complicado determinar la frecuencia de oscilación de un

ciclo particular a priori, debido a los efectos amplificadores/atenuadores que introduce en el movimiento la variación de longitud del cable. Claramente, lo mejor sería controlar en todo momento el movimiento angular y la variación de longitud, de tal modo que, por ejemplo, para obtener una buena atenuación se incremente la longitud cuando el péndulo esté próximo al extremo y se acorte cuando se encuentre en las proximidades de la vertical. Este tipo de control no se puede representar fácilmente mediante una ecuación la longitud en función del tiempo.


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4.- Consideraciones energéticas. La amplificación o atenuación asociada a la redistribución de masa también puede ser explicada mediante un balance de trabajo-energía. El punto de vista energético puede permitir un diseño de una estrategia óptima de control de oscilaciones. Mediante el análisis de la variación de energía asociada a un ciclo de movimiento, se puede determinar un término de decrecimiento logarítmico o amortiguamiento equivalente, el cual permitirá comparar la efectividad de varias reconfiguraciones de masa. El movimiento de una masa puede ser provocado internamente o causado por una fuerza externa, F, aplicada sobre el cable en una dirección fija B. En función del trabajo hecho sobre el sistema para variar la longitud del cable, la energía en el instante t2 será superior o inferior a la del instante t1. El balance de trabajo-energía entre estos dos instantes se define por: ( ) ( )

21 t21t UTWUT +=++ − ec.2.2.6 donde (T+U) representa la suma de la energía cinética y la potencial (gravitacional) del sistema y W1-2 representa el trabajo realizado en ese intervalo. Como el cable es recogido desde el origen variando la longitud enrollada en carrete entre s1 y s2 , el trabajo realizado sobre el sistema para variar la longitud del péndulo desde r a r-∆r viene dado por la expresión:

( )12m

s

s21 ssFdsFW

2

1

−⋅=⋅= ∫− ec.2.2.7

donde mF es la fuerza media aplicada en el intervalo de tiempo entre t1 y t2 . Cuando el cable se acorta, se recoge cable en el carrete, por lo que s2 > s1 . Puesto que la tensión del cable es positiva, el trabajo es también positivo, W1-2 >0. Consecuentemente, la energía total del sistema al final del intervalo de tiempo considerado se incrementa en una cantidad igual al trabajo realizado. Por otra parte, si se produce un alargamiento ( s2 < s1 ) , el trabajo tiene signo negativo, por lo que la energía al final del intervalo ha decrecido el valor del trabajo. El incremento o decremento de la energía total del sistema se va manifestar en la amplitud de las oscilaciones que se den en el péndulo. La variación de longitud del cable generará un amortiguamiento positivo o negativo en función del caso; los efectos como se puede comprobar son los mismos del apartado anterior. Si la masa se mueve entre dos valores límite minr y maxr , entonces el trabajo realizado por ciclo es:


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( ) ( ) ( ) ( )minmaxbaja

msube

mmaxminbaja

mminmaxsube

mciclo rrFFrrFrrFW −⋅−=−⋅+−⋅= ec.2.2.8 Si la tensión del cable es la misma cuando este se recoge que cuando se suelta, la variación de energía neta por ciclo será nula. Sin embargo, si la fuerza requerida al mover la masa hacia el origen es diferente a la de alejarlo, se puede tener trabajo positivo o negativo durante el ciclo. El trabajo negativo neto reduce la energía de sistema y atenúa las oscilaciones, mientras que el positivo aporta energía, amplificándolas. El trabajo neto negativo por ciclo se presentará cuando la fuerza usada para acortar el cable sea menor que la necesaria para alargarlo una misma distancia en un mismo ciclo. Como la tensión del cable es originada por la fuerza de inercia centrífuga y gravitatoria, ésta será máxima cuando el péndulo pase por la vertical y mínima cuando la amplitud de oscilación sea máxima (velocidad angular nula). En función de lo anterior, la regla para la atenuación puede deducirse fácilmente. Obsérvese que coincide, como no podría ser de otro modo, con la regla de atenuación derivada del análisis de la fuerza de Coriolis. 5.- Coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente. El acercamiento al punto de vista de la energía ha permitido una cuantificación del fenómeno de amplificación o atenuación discutido en los apartados anteriores. Nótese que el efecto del término r/r2& en la ecuación ec.2.2.5 ( al que se ha hecho referencia como el coeficiente instantáneo de amortiguamiento) es difícil de predecir, pues su valor puede ser positivo o negativo en función de la dirección de la velocidad de deslizamiento por variación de longitud del cable de la masa al final de éste. Un simple promediado del valor de este término es inútil, ya que será cero. Sin embargo, se pueden sacar conclusiones muy interesantes cuando se analiza la variación de energía en un ciclo con reconfiguración de masa periódica y se compara con un sistema equivalente que posea amortiguamiento viscoso. Como ya se ha indicado anteriormente, el rango de variación de energía total del péndulo puede ser positivo o negativo en función de la dirección de deslizamiento de la masa asociada a la variación de longitud. En contraposición, el amortiguamiento viscoso siempre disipa energía. Para poder cuantificar estos efectos, se procede a calcular la variación de energía asociada a un periodo dado de tiempo para cada uno de estos dos sistemas. Para un sistema masa-muelle con amortiguamiento viscoso, la ecuación diferencial que gobierna el movimiento es:

0kyycym =++ &&& o 0yy2y 2 =++ ωξω&&& ec.2.2.9


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donde ω=ξ m2/c representa al término de amortiguamiento viscoso y m/k=ω es la frecuencia natural del sistema. Un balance de energía que relacione el amortiguamiento con la energía desarrollada por ciclo puede obtenerse multiplicando cada término de la ecuación ec.3.9 por un desplazamiento incremental dy, e integrando en el intervalo de tiempo que interesa., desde y(0) hasta y(τ) (asumiendo arbitrariamente el origen de tiempo). Sólo el primer y tercer término puede ser integrado explícitamente para dar:

( ) ( )∫ =++τ

0

222 0Edtyckyym21

&& ec.2.2.10

donde E(0) es la constante de integración que representa el valor de la energía en t=0. Los dos primeros términos pueden ser identificados como la energía cinética y potencial en t=τ . De este modo, la energía disipada por periodo desde t=0 hasta t=τ se define por:

( ) ( ) ( ) ( ) ∫−=−+=−=τ

τ∆0

222 dtyc0Ekyym210EEE && ec.2.2.11

Por ejemplo, el movimiento para un ciclo viene dado por:

( ) ( ) ( )⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+⋅−= tsen

1tcostexpA)t(y d2d ω

ξ

ξωξω ec.2.2.12

donde A es la amplitud del movimiento al principio del ciclo y 2

d 1 ξ−ω=ω . La energía inicial del sistema asociada con la energía almacenada en el muelle viene dada

por ( ) 2kA210E = . Para un ciclo completo (

d1

2ω

π=τ ), la energía disipada se puede

evaluar como:

πωξ

ξ

πξ

πω∆τ

cA4

14exp1

cAdtycE 22

2

0

2 −≅⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

−−−

−=−= ∫ & ec.2.2.13

La aproximación final supone asumir un valor pequeño del coeficiente de amortiguamiento ( 1<<ξ ) y representa el principio de variación de energía. Obsérvese que este principio puede obtenerse directamente si se aproxima el movimiento por:

tcosA)t(y ω≅

en lugar de la expresión de ec.3.2.12.


27

La energía disipada puede ser normalizada con respecto a la energía inicial:

( ) πξωπ∆∆ 4kA

21

cA0EEe

2

2

−=−== ec.2.2.14

Entonces, el coeficiente de amortiguamiento ξ puede ser multiplicado por π4 para obtener la energía de disipación normalizada para un ciclo en un sistema con amortiguamiento viscoso. De manera análoga, se puede calcular la energía disipada en un péndulo de longitud variable. Como se ha hecho antes, hay que multiplicar la ec.2.2.5 que define el movimiento del sistema por un desplazamiento incremental dθ. Tras una manipulación aritmética de la ecuación, esta queda como:

( ) ( ) 0dtcos1r2

grr2cos1

rgd

21d 22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ θθθθ &&& ec.2.2.15

Integrando esta ecuación de t=0 a t=τ:

( ) ( ) ( )∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++−+

τθθθθ

0

22 0Edtcos1r2

grr2cos1

rg

21 &&& ec.2.2.16

donde el primer y el segundo término vuelven a ser identificados como la energía cinética y potencial del sistema en t=τ. Entonces, la variación de energía, E∆ durante este intervalo de tiempo será:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=−−+=−=

τθθθθτ∆

0

22 dtcos1r2

grr20Ecos1

rg

210EEE &&&

ec.2.2.17 donde E(0) representa de nuevo la energía inicial. Al igual que antes, la variación de energía por ciclo se normaliza con la energía disipada para obtener un amortiguamiento viscoso equivalente especificado por el coeficiente EQξ para obtener:

EQ4)0(E

Ee πξ∆∆ −== ec.2.2.18

Tras sustituir la ec.2.2.17 en la ec.2.2.18, se puede definir:


28

( )

( )0t

2

0

2

EQ

cos1rg

21

dtcos1r2

grr

21

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

=∫

θθ

θθ

πξ

τ

&

&&

ec.2.2.19

Nótese que la variación de energía de la ec.2.2.13 siempre era negativa

(disipativa) mientras que en la expresión de la ec.2.2.17, este valor depende de la velocidad de la masa en el sentido de la variación de longitud, )t(r& , para un periodo. Las ecuaciones de ec.2.2.17 y ec.2.2.19 relacionan la función de reconfiguración de masa, r(t), con la variación de energía total del sistema. Cuando el coeficiente de amortiguamiento equivalente es positivo, las oscilaciones se atenúan, y cuando es negativo se amplifican. Para pequeñas oscilaciones ( 1<<θ ), la ecuación ec.2.2.19 se simplifica a:

0t

22

0

22

EQ

r2g

21

dtr4

grr

21

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=∫

θθ

θθ

πξ

τ

&

&&

ec.2.2.20

6.- Efectos de varios tipos de variaciones de longitud del péndulo. Considérese ahora que la variación de longitud del cable del péndulo se puede describir como una fluctuación de pequeña amplitud, r∆ , a partir de una posición de referencia, 0R , con una frecuencia el doble de la frecuencia natural del péndulo

( 0R/g=ϖ ). Así, la variación de longitud se representaría por:

( )t2senrR)t(r 0 ϖ∆ ⋅−= ec.2.2.21 Al principio del ciclo, las condiciones iniciales del sistema son: ( ) 00 =θ

( ) 0R0r =

Consecuentemente, la energía total inicial viene dada por:

( ) ( ) ( )20

20

00

0 21

R2gcos1

Rg0E ϖθθθ =≅−= ec.2.2.22


29

Tal y como se ha definido la ec.2.2.21, cuando r∆ >0 la masa es izada en los puntos extremos de oscilación y bajada en la vertical. No es más que la regla de atenuación previamente definida. De forma similar al sistema masa-muelle amortiguador, para determinar el principio de variación de energía de pequeños efectos de amortiguamiento esperados, el movimiento angular del péndulo puede ser aproximado por:

( )tcos)t( 0 ϖθθ ⋅≅ ec.2.2.23 De hecho, empleando la ec.2.2.17 en los movimientos definidos por la ec.2.2.21 y la ec.3.2.23, el correspondiente principio de variación de energía por ciclo es igual a:

∫ −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

τ

ϖθ∆πθθ∆0

220

0

22

Rr

23dt

r4g

rr2E &&

ec.2.2.24

para dar

( )

020

2

2200

Rr3

21

R/r2

3

)0(EEe ∆π

θϖ

ϖθ∆π∆∆ −=

⋅−== ec.2.2.25

Sustituyendo en la ecuación ec.2.2.18, el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente es:

0EQ R

r43 ∆ξ = ec.2.2.26

El movimiento angular se atenúa si EQξ > 0, lo que requiere que r∆ > 0 (la masa sube en el punto de máximo desplazamiento angular). El amortiguamiento viscoso equivalente es negativo y el movimiento angular amplificado si r∆ < 0. Hay que enfatizar que la fórmula recogida en ec.2.2.26 proviene de considerar que:

1R/r 0 <<∆

00sen θθ ≈ 7.- Fenómeno del batimiento. Como ya se ha mencionado, el periodo de la oscilación angular del péndulo de longitud variable no es exactamente ϖπ= /2T0 . La diferencia es muy pequeña, pero


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tiene implicaciones importantes en el control de oscilaciones para intervalos de tiempo elevados. La variación de longitud del cable y el amortiguamiento asociado incrementan el periodo de oscilación angular aproximadamente a:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≅

−≅

21T

1

TT

2EFF

02EFF

0EFF

ξ

ξ ec.2.2.29

Además, tras un ciclo, la relación de coordinación entre θ(t) y r(t), que regía la expresión de la ec.2.2.22, cambia, dando lugar a la aparición de una fase entre ambos movimientos. El movimiento asociado a la variación de longitud de la cuerda para los siguientes ciclos puede ser representado por:

( )i0 t2senrR)t(r ψϖ∆ +⋅−= ec.2.2.30 donde iψ es el desfase acumulado en los ciclos previos desde el comienzo del movimiento del péndulo. Si se sustituye la ec.2.2.30 en la ec.2.2.24, se obtiene el coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente para el ciclo i en la forma:

i0

i cosR4r

43 ψ∆ξ ≅ ec.2.2.31

El desfase iψ afectará al coeficiente de amortiguamiento como sigue:

- Durante el primer ciclo, iψ =0 y la atenuación es máxima. - En los ciclos siguientes, el desfase acumulado aumenta y la atenuación va

disminuyendo hasta que desaparece cuando 2/i π→ψ .

- En los siguientes ciclos, el desfase sigue aumentando, lo que da lugar a amortiguamiento negativo. Dicho de otro modo, se tiene amplificación para

2/i π>ψ .

- Esta amplificación seguirá creciendo hasta π=ψ i , punto en el que comenzará a disminuir con el paso de los ciclos. Se aproximará a cero a medida que

2/3i π→ψ (para este valor se anula la amplificación).

- En los siguientes ciclos para los que 2/3i π>ψ , comenzará a darse atenuación, que será creciente a medida que π→ψ 2i . Cuando lo alcance, la atenuación será máxima.

Este fenómeno se conoce con el nombre de batimiento , y ocurre siempre que se

tienen dos frecuencias muy próximas, en este caso la de excitación y la natural.


31

8.- Conclusiones. La interacción existente entre la variación de longitud del péndulo y el movimiento angular del mismo puede ser empleada para controlar la oscilación angular del sistema. A partir de los balances de energía o de fuerzas de Coriolis se han obtenido sencillas reglas para atenuar o amplificar las oscilaciones. En un caso particular para el que se conoce la variación de longitud en función del tiempo, puede determinarse un coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente. Este coeficiente cuantifica los efectos de amplificación/atenuación y debe ser empleado para desarrollar una estrategia de control de oscilación angular. Esencialmente, este coeficiente de amortiguamiento viscoso equivalente depende principalmente del tipo de variación de longitud impuesto a través del coeficiente 0R/r∆ y su coordinación con la oscilación angular. Una falta de coordinación deriva en un desfase iψ que genera un fenómeno conocido por el nombre de fenómeno del batimiento. Este desfase debe ser eliminado o al menos reducido si se desea conseguir una atenuación o amplificación efectiva. Como se ha demostrado la variación de longitud del cable puede dar lugar a un amortiguamiento efectivo y proporcional a 0R/r∆ . A pesar que los efectos amortiguadores puedan ser en principio pequeños, son capaces por sí solo de atenuar la oscilación hasta parar el péndulo. Esto implica que este tipo de fenómenos pueden ser empleados para amortiguar vibraciones indeseables en mecanismos en los que no hay prácticamente fricción


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4.3) Cómo se columpian los niños. Todo el mundo sabe como hacerlo, pero no todo el mundo sabe porqué funciona. Este artículo trata de mostrar cómo en el movimiento del columpio de jardín, bajo condiciones de bombeo constante, la energía almacenada aumenta casi exponencialmente con el tiempo.

Además, se compara este mecanismo con otros amplificadores paramétricos de varios campos de la física y se discute el problema del transitorio del principio del movimiento. 1.Introducción. A pesar de lo familiar que resulta el típico columpio de jardín para niños, el mecanismo de balanceo que en él se da es muy discutido en todas los centros en los que se imparte mecánica. Varias características de este problema han sido estudiadas por distintos autores, cuyos análisis sirven para ilustrar la potencial complejidad de este aparentemente simple mecanismo. El objetivo por tanto de este artículo consiste en realizar un análisis sencillo del movimiento del columpio cuando se bombea desde una posición erguida, considerando esto como un ejemplo de amplificación paramétrica. Se demuestra que con unas aproximaciones adecuadas, la amplitud del balanceo del columpio aumenta exponencialmente con el tiempo. Este fenómeno no ha sido muy estudiado previamente en columpios, si bien es una de las características mejor conocidas de otros amplificadores paramétricos. También se trata en este artículo (a través de un simple ejemplo) el hecho de que a pesar de que un columpio no puede comenzar a moverse paramétricamente desde su posición de reposo sin embargo puede empezar por amplificación paramétrica, dado que una condición de reposo perfecto no puede conseguirse en la práctica. Finalmente, se observa que la mecánica de columpiarse en posición sentada es substancialmente diferente del caso central considerando, necesitando de un análisis de diferente tipo. Cuando un columpio es bombeado en posición erguida, el movimiento bombeado consiste en levantarse y agacharse alternativamente en el columpio, lo que resulta en un mero desplazamiento del centro de masa a lo largo de una línea que pasa por el centro de giro del columpio. Esta modulación en la longitud del columpio origina la correspondiente variación periódica en su frecuencia de oscilación. Con respecto a


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esto, el columpio es como otros amplificadores paramétricos, que son modulados por el parámetro de frecuencia. 2. Teoría. Partiendo de la idea de que todo el trabajo mecánico realizado por un niño en bombeo se convierte en energía almacenada, el bombeo más eficiente será aquel que requiere el mayor trabajo por oscilación del columpio. Para maximizar el trabajo hecho, el niño debería ponerse en pie rápido cuando el columpio pasa por su punto más bajo, esto es, realizando el trabajo contra las fuerzas gravitacional y centrífuga cuando éstas son máximas. Por el contrario debería agacharse cuando el columpio se encuentre en el punto más elevado, en el que las fuerzas aplicadas son mínimas. Se asumirá que el tiempo para levantarse o agacharse es mucho menor que el periodo de oscilación del péndulo, o lo que es lo mismo, que el niño se levanta o agacha instantáneamente. Así, se parte de que el columpio tiene una energía total E dada por:

( )max2max cos1mgl2/mvE θ−⋅== ec.2.3.1

y cuando el niño se levanta o agacha, el centro de masas se desplaza una distancia ∆l a lo largo de la longitud del columpio l. El trabajo hecho por el niño cuando se levanta es:

( ) ll/mvmgW 2max ∆⋅+= ec.2.3.2

De partida se supone que ∆l<<l , por lo que la fuerza es esencialmente constante durante el desplazamiento ∆l . Usando la ecuación ec.1, se obtiene:

llElmgW /2 ∆+∆= ec.2.3.3 La nueva energía total, E´, es:

( )llElmgWEE /21´ ∆++∆=+= ec.2.3.4 El trabajo realizado por el crío cuando se agacha (en lo más alto del movimiento del péndulo) viene dado por:

maxlmgW θcos´ ⋅∆−= ec.2.3.5 Usando de nuevo la expresión de la ec.2.3.1, la ecuación ec.2.3.5 puede ser escrita de nuevo como:


34

llElmgW /´´ ∆+∆−= ec.2.3.6 Trabajando con las expresiones de las ecuaciones ec.2.3.4 y ec.2.3.6, y despreciando las potencias superiores de ( ∆l / l ), se obitene:

( )llEWEE /31 ∆+≈′+′=′′ ec.2.3.7 El movimiento descrito arriba se ejecuta dos veces durante cada oscilación completa del columpio, por lo que tras n oscilaciones la energía final, En , es:

( ) nn llEE 2

0 /31 ∆+≈ ec.2.3.8 Esto constituye simplemente la “fórmula de interés compuesto”, donde para ∆l<<l se puede aproximar por:

( )llnEEn /6exp0 ∆⋅≈ ec.2.3.9 Para pequeñas amplitudes de oscilación, el periodo es casi independiente de E y será dado por

( ) 21

/2 glπτ =

Considerando que el tiempo requerido para n oscilaciones es nτ , la energía total aumenta exponencialmente con el tiempo de acuerdo con: ( ) ( ) ( )[ ]lltEtE //6exp0 ∆⋅= τ ec.2.3.10

3. Discusión. Es interesante hacer notar que la tasa de crecimiento de energía con el tiempo es independiente de la masa del niño; sólo depende del periodo del movimiento y de la variación relativa en la longitud del columpio. Esto implica, al contrario de lo que dice la intuición, que el peso no es una ventaja al balancearse, dado que dos niños que comiencen a columpiarse con la misma energía y a bombear con la misma variación relativa de longitud almacenarán una cantidad igual de energía, a pesar de poseer distinto peso. A su vez, si los dos niños comienzan a columpiarse con la misma amplitud (pero diferente energía), sus amplitudes se mantienen iguales. Este resultado es quizás no tan sorprendente como el hecho menos conocido de que el periodo de oscilación es independiente de la masa.


35

Dado que l y τ están relacionado por:

( ) 21

/2 glπτ =

se puede calcular la derivada logarítmica de esta relación para llegar a:

ττ /2/ ∆=∆ ll

Si se sustituye en la ecuación ec.3.3.10 y se hace uso de la realidad de que:

( ) fl ∆=∆=∆ τττ // 2

se obtiene que: ( ) ( ) ( )ftEtE ∆⋅⋅= 12exp0 ec.2.3.11

∆f es la diferencia de frecuencia de oscilación del columpio entre que el niño esté en pie o agachado. A partir de la expresión anterior se puede deducir claramente que la tasa de crecimiento de energía es independiente de la masa, ya que f no depende de ella. Salvo por el término 12 en la exponencial, la expresión de ec.2.3.11 es aplicable no sólo a columpios, sino a sistemas resonantes cuya frecuencia de resonancia puede ser dada por una modulación de onda cuadrada. Los sistemas de este tipo son conocidos como amplificadores paramétricos ya que sus oscilaciones son “controladas” por una variación periódica de un parámetro de frecuencia. El término constante en la exponencial variará de un sistema a otro, pero el resto de la expresión de ec.2.3.11 se mantendrá inalterable. Por ejemplo, en el caso de un circuito resonante LC que se bombea mediante una variación de inductancia, se ve fácilmente cómo la constante de la exponencial de ec.2.3.11 es 4 en lugar de 12. Obsérvese que en el caso del columpio, el chico se levanta y agacha exactamente dos veces en cada periodo de oscilación. La frecuencia de modulación paramétrica es por tanto igual a dos veces la frecuencia de oscilación. Se pueden imaginar dos columpios uno al lado del otro de tal modo que ambos estén siendo bombeados simultáneamente, pero tal que se muevan en direcciones opuestas. Luego hay dos posibles movimientos para una misma modulación, desfasados 180 º. Este último fenómeno se emplea en un tipo de elementos de memoria electrónica denominados “parametron”, en los que cada una de las dos posibles fases se asocia a unos de los valores binarios (0 y 1). El “parametron” no deja de ser un circuito LC en serie cuya inductancia es modulada saturando su núcleo de hierro periódicamente con un campo magnético externo aplicado. Así, este elemento de memoria electrónica


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continúa oscilando con su fase inicial tanto tiempo como la modulación de L se mantiene. El “parametron” constituye un ejemplo de oscilador paramétrico, obtenido a partir de una amplificación paramétrica de amplitud máxima. La máxima amplitud vendrá impuesta por la energía disipativa que pierde el sistema (por ejemplo, la resistencia del aire en el caso del columpio). Una forma muy cómoda de amplificación paramétrica se da en el rango de frecuencia correspondiente a la luz visible. El campo eléctrico oscilante asociado a un rayo intenso de luz láser modula la susceptibilidad eléctrica de un sólido con cristalinidad no lineal a medida que lo atraviesa. Como resultado de esta modulación, el cristal amplifica la luz a la mitad de la frecuencia del rayo incidente. De este modo, un cristal puede propagar más de una frecuencia de luz simultáneamente, por lo que cualquier par de frecuencias pueden ser amplificadas si la suma de ellas es igual a la frecuencia modulada. 4. Partiendo de la posición de equilibrio. Queda claro a partir de la expresión de la ec.2.3.11 que no se puede hacer oscilar si su energía inicial E(0) es exactamente cero. Pero en la práctica, la condición E(0)=0 no puede conseguirse. Si el columpio se encuentra en equilibrio térmico con su entorno, la energía media total vendrá dada por:

( ) JkTE 211014.40 −×==

Incluso si la temperatura se reduce al cero absoluto, el columpio tendrá aún algo de energía:

( ) hfE210 =

debido a la imposibilidad de la mecánica cuántica de conocer la posición y el momento del centro de masa exactamente. Estas energías de muy pequeña magnitud son capaces, incluso en el caso más desfavorable, de facilitar que el columpio comience a moverse desde la posición de equilibrio en relativamente poco tiempo por amplificación paramétrica.


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5. Columpiarse sentado. En un primer momento se puede pensar que columpiarse sentado debe ser básicamente muy parecido a lo que ha sido descrito hasta el momento, ya que el bombeo también desplaza el centro de masa a lo largo de la longitud del columpio. El hecho de que esto no es así se demuestra dramáticamente sin más que considerar lo fácil que es comenzar el movimiento. Un simple empujón en el columpio es suficiente para producir una amplitud medible, pero ciertamente no se deberá a una amplificación paramétrica de la energía kT a un valor macroscópico. Aunque la amplificación paramétrica trabaja a parte, la mecánica de columpiarse sentado es substancialmente diferente y mucho más complicada que el caso que se ha discutido. Para comenzar a columpiarse desde el reposo, el niño se apoya atrás de golpe, de tal modo que su cuerpo adquiere un momento angular sobre su centro de masa. Dado que inicialmente no hay aplicados momentos externos en el origen de rotación del columpio, el momento angular total en torno a este punto se debe conservar durante el movimiento. Por tanto, el centro de masas adquiere un momento de valor igual y sentido contrario al aplicado en el origen. Es este momento angular el que desplaza el centro de masas de su posición inicial, y por tanto origina el comienzo del movimiento. Una vez el movimiento ha comenzado, el proceso de bombeo se convierte en una combinación del momento aplicado descrito con anterioridad y amplificación paramétrica. 6. Conclusiones. La técnica de bombeo al columpiarse sentado por giro de parte del cuerpo da lugar a un momento periódico aplicado al columpio que es independiente de la amplitud de balanceo o de la energía almacenada. La energía media aportada, por tanto, es aproximadamente constante, y la energía almacenada crece linealmente con el tiempo y no exponencialmente. Esto confirma la realidad experimental bien conocida de que columpiarse de pie es mucho más efectivo para conseguir grandes amplitudes. La energía media proporcionada en este caso es proporcional a la almacenada, lo que para amplitudes lo suficientemente grandes es mayor que la energía proporcionada constante al columpiarse sentado. Finalmente, se puede afirmar que la estrategia óptima de bombeo para un columpio que parte del reposo se puede resumir en lo siguiente: comenzar sentado hasta que se alcance una amplitud considerable, para posteriormente ponerse en pie y bombear paramétricamente para incrementar la amplitud del movimiento.


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CAPÍTULO 2. ANTECEDENTESbibing.us.es/proyectos/abreproy/3813/fichero/PFDC%2FC2... · como un péndulo, y la tensión en la ... suma de la cinética y la potencial, ... pequeño y