Capítulo 2 · Capítulo 2 Control de recepción 1. Introducción 2. Curva característica 3. Plan de muestreo simple 4. Plan de muestreo doble 5. Plan de muestreo secuencial

Capítulo 2

Control de recepción

1. Introducción

2. Curva característica

3. Plan de muestreo simple

4. Plan de muestreo doble

5. Plan de muestreo secuencial

6. Plan de muestreo rectificativo

7. Plan Military Standard 105E

ANEXO El Proceso de Bernoulli

0Apuntes realzados por el Profesor Ismael Sánchez para la asignatura: Métodos Estadísticos para la Mejora dela Calidad, de la titulación de Ingeniería de Telecomunicaciones. Universidad Carlos III de Madrid

1

2 Control de recepción

2.1. IntroducciónLlamaremos lote a un conjunto elevado de artículos del que tenemos que decidir si adquirimos

o rechazamos en función de la proporción de artículos defectuosos que tenga. Normalmente, un lotetiene un número de artículos demasiado elevado para poder inspeccionar todos ellos, por lo que sóloserá factible el análisis de un conjunto de esos artículos extraídos del lote. Llamaremos muestraal conjunto de artículos que extraemos del lote y que serán los únicos que examinaremos para versi son defectuosos o aceptables. Esta es con frecuencia la situación en el suministro de artículosmanufacturados. Los artículo son suministrados en lotes, los cuales pueden ser examinados bienpor el fabricante antes de su envío, o bien por el comprador antes de aceptarlos. Esta inspecciónconsiste en examinar una muestra o conjunto de muestras de los lotes y tomar una decisión enfunción de la evidencia observada en la muestra. En este tema estudiaremos la selección de estetamaño muestral de manera que las conclusiones que se obtengan del análisis de la muestra puedanser extendidas al lote completo con cierta fiabilidad. Por tanto, tomaremos una decisión sobreel lote completo en función de lo que observemos en la muestra. En la mayoría de losprocedimientos supondremos que el lote es muy grande comparado con el tamaño de la muestra y,por tanto, a efectos prácticos podría considerarse que el lote es una población de tamaño infinito.Existe una gran variedad de procedimientos estadísticos para la realización de este muestreo deaceptación. Aquí se describirán sólo los más importantes. Por ejemplo, un procedimiento sencillopara realizar el muestreo consistiría en la extracción de una única muestra de cada lote y aceptarel lote entero si en la muestra hay menos de cierto número de artículos defectuosos. Ejemplos mássofisticados podrían ser tomar muestras sucesivas de pequeño tamaño y en cada muestra tomamosla decisión de aceptar el lote, rechazar el lote o seguir muestreando.

El muestreo de aceptación se realiza cuando no es factible, o es antieconómico, la inspección del100% de los artículos. Por ejemplo, los ensayos requeridos pueden ser muy caros o incluso puedenrequerir la destrucción del artículo. En otras ocasiones, la inspección puede necesitar mucho tiem-po. En productos de alta precisión suele ser habitual la inspección de todos los artículos. Existetodo un sector de la industria dedicado al diseño de instrumentos de medida que permitan unainspección rápida o incluso automatica.

El muestreo de aceptación puede dividirse en dos tipos fundamentales:

Muestreo por atributos: cuando en la inspección los artículos se dividen en defectuosos y enno defectuosos, según cumplan con un conjunto de requerimientos establecidos.

Muestreo por variables: en la inspección se mide una variable cuantitativa: longitudes, pesos,etc, y se evalúa la distancia entre dicha cantidad y la requerida en las especificaciones.

En este tema centraremos nuestra atención en el muestreo por atributos por ser el másfrecuente, aunque muchos de los principios de este tipo de muestreo también son aplicables almuestreo por variables.

2.2. Curva característicaUn muestreo de aceptación será eficaz si las conclusiones que se extraen de la muestra son

muy similares a las que se extraerían si se examinase todo el lote. Es decir, que si el lote tiene

2.2 Curva característica 3

un número reducido de artículos defectuosos, la muuestra también los tenga; o si el lote tieneuna proporción elevada de artículos defectuosos, la muestra también los tenga. La eficacia de unprocedimiento de muestreo de aceptación se resume en la llamada curva característica, curva OCo curva característica de operaciones (en inglés Operating Characteristic curve o más conocida porOC curve). La curva característica es un gráfico que expresa, para un plan de muestreoconcreto, la probabilidad de aceptar un lote en función del procentaje p de artículosdefectuosos existentes en el lote. Llamemos OC(p) a esta probabilidad. Nótese que p es unapropiedad del lote: es la probabilidad de que un artículo extraído al azar del lote sea defectuoso. . Sip = 0 aceptaremos siempre ese lote, pues cualquier muestra que extraigamos estará libre de artícu-los defectuosos. Por tanto, OC(0) = 1. Asímismo, si todos los artículos son defectuosos (p = 1)rechazaremos siempre ese lote, pues cualquier muestra que se extraiga tendrá todos los artículosdefectuosos. Por tanto, la probabilidad de aceptar el lote será cero: OC(1) = 0.

Si un lote se acepta en función del resultado de la observación de una muestra y 0 < p < 1,está claro que se ha de estar siempre dispuesto a aceptar artículos defectuosos, pues incluso si enla muestra no hay artículos defectuosos, el lote sí podría tenerlos si p > 0. Supongamos que laproporción de artículos defectuosos que se está dispuesto a admitir para un lote es pA. En esecaso, aceptamos un lote si su proporción de artículos defectuosos es p ≤ pA y rechazamos el lotesi p > pA. Un plan de muestreo ideal debería llevar siempre a aceptar un lote que tenga unaproporción de defectuosos p ≤ pA, es decir OC(p ≤ pA) = 1. Por el contrario, si p > pA dicho planideal debería siempre llevar a rechazar el lote, por tanto OC(p > pA) = 0. La curva característicade este plan ideal sería la expresada en la figura 2.1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

Proporción de defectuosos

OC

(p)

Curva característica de operación

Prop. de defectuosos admisible

Figura 2.1: Curva OC de un plan de muestreo ideal

Un plan ideal no podrá establecerse nunca. La razón está en que la proporción de artículosdefectuosos del lote, p, es un dato desconocido, puesto que no examinamos el lote sino sólouna muestra. Una vez extraída una muestra de tamaño n de un lote de tamaño N >> n, laproporción de artículos defectuosos que se encuentren en la muestra puede no coincidir con laproporción que se encuentre en el lote. Supongamos que se tiene un lote no admisible por teneruna proporción de defectuosos alta, p > pA. El comprador de ese lote puede tener mala suerte


y seleccionar una muestra con muy pocos artículos defectuosos, llevándole a adquirir un lote noadmisible. Análogamente, un lote con muy pocos artículos defectuosos, p ≤ pA puede ser rechazadosi se selecciona una muestra donde, por azar, haya muchos artículos defectuosos. Por tanto, en unmuestreo de aceptación siempre existe el riesgo de tomar una decisión equivocada.Vemos, además, que las equivocaciones son en dos sentidos: rechazar lotes buenos (riesgo para elvendedor) y aceptar lotes malos (riesgo para el comprador). La efectividad de un plan de muestreose determinará por la capacidad de minimizar estos dos riesgos. Gráficamente, equivale a diseñarun plan de muestreo cuya curva OC no se aleje mucho de la curva ideal mostrada en la figura 2.1anterior. El objetivo de un diseño de un plan de muestreo es, pues, doble:

1. Garantizar que, aplicando dicho plan, lotes con un porcentaje de defectuosos bajo se aceptencon una probabilidad muy alta. Esto es equivalente a decir, que a la izquierda de pA la curvaOC(p) se aproxime a la unidad.

2. Garantizar que lotes con un porcentaje de defectuosos alto sean aceptados con una probabil-idad muy baja. Por tanto, a la derecha de pA la curva OC(p) correspondiente se aproxime acero.

Veamos esta idea con un ejemplo. Supongamos que un comprador está dispuesto a aceptaraquellos lotes que tengan un porcentaje de defectuosos menor o igual al 6% (pA = 0,06). Suponga-mos que dicho comprador aplica el siguiente plan: se toma una muestra de n =50 artículos de unlote y se acepta el lote entero si se encuentran 3 ó menos artículos defectuosos en dicha muestra. Sillamamos p al porcentaje de artículos defectuosos del lote (número desconocido) y p∗ al porcentajede artículos defectuosos observados en la muestra, el plan descrito anteriormente equivale a aceptarlotes cuya muestra tenga un porcentaje de defectuosos p∗ menor o igual a pA = 0,06. Vamos aobtener la curva OC de este plan, y así poder juzgar si ese plan es adecuado o no.

Llamaremos d∗ al número de artículos defectuosos encontrados en la muestra. Entonces,

p∗ = d∗/n = d∗/50.

El número de artícuos defectuosos de la muestra, d∗ es una variable aleatoria, pues variará deunas muestras a otras. Dependiendo de la muestra podremos encontrar cero, uno, dos y hasta unmáximo de d∗ = n =50 artículos defectuosos. Por el mismo motivo, p∗ será también una variablealeatoria. Su valor variará de unas muestras a otras. Si suponemos que el tamaño del lote, N, esmuy grande comparado con el tamaño de la muestra, n, podemos aplicar el modelo de distribuciónbinomial para determinar la probabilidad de cada uno de dichos valores de d∗.

Estrictamente, el número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n extraída de unlote de tamaño N, en el que hay una proporción de artículos defectuosos p, sigue un modelo dedistribución llamada distribución hipergeométrica. Si N es muy grande comparado con el tamañode la muestra n, puede utilizarse como aproximación el modelo de distribución binomial, en laque se supone que la muestra es extraída de una población de dimensión infinita. En esta secciónsupondremos que N es suficientemente grande y utilizaremos la distribución binomial como modelode probabilidad de d∗.

Tendremos, por tanto, que el número de artículos defectuosos d∗ en una muestra de tamaño nprocedente de una población donde la probabilidad de que un artículo sea defectuoso es de p es

d∗ ∼ B(n, p).


A partir de este modelo de probabilidad podemos ya obtener la curva OC. Veamos primeramente elcaso en que la proporción de artículos defectuosos del lote es precisamente p = pA = 0,06. En estecaso, aceptaríamos el lote si lo exáminásemos entero. Sin embargo, la decisión se tomará en baseal resultado de la muestra de tamaño n = 50. El número de artículos defectuosos en una muestrade tamaño 50 será d∗ ∼ B(50, 0,06). La probabilidad de obtener 0, 1, 2 ó 3 artículos defectuosos(que será cuando se acepte el lote) se puede evaluar con la función de probabilidad de la binomial.En el modelo binomial, la probabilidad de que la variable aleatoria d∗ ∼ B(n, p) tome el valor r es

P (d∗ = r) =³

nr

´pr(1− p)n−r; r = 0, 1, ..., n.

Estas probabilidades se resumen en la tabla 2.1:

r =número deart. defectuosos P (d∗ = r) P (d∗ ≤ r) P (d∗ > r)

0 0.045 0.045 0.9551 0.145 0.190 0.8102 0.226 0.416 0.5843 0.231 0.647 0.353

Cuadro 2.1: Número de artículos defectuosos en una binomial B(50,0.06)

En la primera columna de esta tabla están distintos valores de artículos defectuosos, desde r = 0hasta r = 3. En la segunda columna se encuentra la probablidad de encontrar dichos artículos de-fectuosos. Por ejemplo, la probabilidad de que en la muestra haya exactamente d∗ = 3 artículosdefectuosos (p∗ = d∗/50 = 0,06 = pA) es muy baja, tan solo del 23,1%. La segunda columna mues-tra la probabilidad acumulada de obtener valores menores o iguales a los señalados. Esta columnase ha construido sumando los valores de la columna de la izquierda hasta el valor r considerado.Por ejemplo, la probabilidad de obtener 3 artículos defectuosos o menos (3,2,1, ó ninguno) es del64,7%. La última columna es la complementaria de la anterior (P (d∗ > r) = 1 − P (d∗ ≤ r)) yrefleja la probabilidad de obtener un número de artículos defectuosos superior al indicado. Porejemplo, la probabilidad de obtener más de tres artículos defectuosos es del 35,3%. Si el plande muestreo determina que se acepta el lote si en la muestra hay tres artículos defectuosos omenos, se aceptará este lote con una probabilidad del 64,7%. Por tanto, en este plan de muestreoOC(p = pA = 0,06) = 0,647. Por tanto, con este plan, un lote aceptable se acepta sólo el 64,7% delas veces, pues el resto de las veces las muestras extraídas darán una visión pesimista del lote (másde tres artículos defectuosos de cincuenta). El gráfico 2.2 extiende los valores de la tabla anteriora más valores de r. En este gráfico puede verse que, aunque este lote sea aceptable (p = pA) laprobabilidad de obtener muestras donde p∗ > pA no es baja. Por ejemplo, la probabilidad de encon-trar unamuestra con un 8% de artículos defectuosos (lo que equivale a d∗ = 4) es superior al 16%.

En este ejemplo, el lote contenía una porporción de artículos defectuosos que estaba justo enel límite de lo admisible (p = pA = 0,06). En el caso en que el lote contenga un 10% de artículosdefectuosos (p = 0,10 > pA) el lote sería claramente rechazable. Sin embargo, es posibe que conel presente plan se acepte. Para verlo basta con usar la distribución binomial para evaluar laprobabilidad de obtener tres o menos artículos defectuosos en una muestra de tamaño 50 de dicholote. Los resultados se recogen en la tabla 2.2:


Muestra:n=50p=0.06

Distribución binomial

Número de defectuosos

Prob

abili

dad

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

0,24

Figura 2.2: Función de probabilidad de una distribución B(50, 0,06).


0 0.005 0.005 0.9951 0.029 0.034 0.9662 0.078 0.112 0.8883 0.139 0.251 0.749


Vemos en esta tabla que la probabilidad de aceptar este lote no admisible con el presente plan esdel 25,1%, que es la probabilidad de encontrar una muestra con tres o menos artículos defectuosos.Este será otro punto más de la curva característica de este plan: OC(p = 0,10) = 0,251. Este lotese rechazará, por tanto, el 74,9% de las veces. La figura 2.3 muestra más valores correspondientesa la binomial B(50,0.10).

Hasta ahora hemos visto el caso de un lote con una proporción de artículos defectuosos iguala la máxima admisible, donde hemos visto que se aceptaba sólo el 64,7% de las veces con el planpropuesto. Hemos visto también el caso de un lote cuya poporción de artículos defectuosos erasuperior al límite admisible y que, por azar de la muestra, podía aceptarse el 25,1% de las veces.Por último, vamos a ver el caso en que el lote tiene una proporción de artículos defectuosos menora la máxima admisible. Supongamos ahora que la proporción de artículos defectuosos es de sólop = 0,03, la mitad de la proporción máxima admisible pA. En este caso, la probabilidad de obtenerhasta tres artículos defectuosos en una muestra de tamaño 50 viene recogida en la tabla 2.3

Vemos en esta tabla que la probabilidad de aceptar el lote es del 93,7%. Por tanto, OC(p =0,03) = 0,937. Con este dato ya serían cinco los puntos que se han obtenido para el plan demuestreo. Estos cinco puntos se recogen en la tabla 2.4.


Muestra:n=50p=0.10

Distribución binomial

Número de defectuosos

Prob

abili

dad

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 150

0,04

0,08

0,12

0,16

0,2

Figura 2.3: Función de probabilidad de la distribución B(50, 0,10).


0 0.218 0.218 0.7821 0.337 0.555 0.4452 0.256 0.811 0.1893 0.126 0.937 0.063


De esta forma se podrían obtener más puntos de la curva OC. Para ello, basta con calcular,para distintos valores de p, la probabilidad de obtener tres defectuosos o menos con ayuda de labinomial B(50, p). La figura 2.4 muestra la representación gráfica de esta curva utilizando los cincodatos anteriores así como los correspondientes a los puntos p = 0,15, 0,20 y 0,30, los cuales sehan obtenido siguiendo el mismo procedimiento anterior. En esta figura, la curva OC se muestrasuperpuesta a la correspondiente a la del hipotético plan ideal.De esta curva OC puede deducirse que, dado un plan de muestreo, tanto el comprador como el

vendedor corren sus riesgos. El comprador corre el riego de adquirir un lote que sea peor de lo quemostraba la muestra y por tanto quedarse con un lote con un porcentaje de defectuosos superior alque estaría dispuesto a admitir. Por otra parte, el vendedor corre el riesgo de que un lote ’bueno’parezca ’malo’ porque en la muestra aparecieron una proporción de defectuosos muy superior a ladel lote.

p OC(p) = P (d∗ ≤ 3)0,00 1,0000,03 0,9370,06 0,6470,10 0,2511,00 0,000

Cuadro 2.4: Probabilidad de aceptar un lote con una proporción de artículos defectuosos p. Plan de muestreo: seextrae una muestra de tamaño 50 y se acepta el lote si hay tres o menos artículos defectuosos en la muestra.


0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2


OC

(p)

Curva característica de operación

plan idealejemplo

p=0.06

Figura 2.4:

Por esta razón, para determinar un plan de muestreo, el comprador y el vendedor deben acordarun plan que sea justo para ambos. Es decir, deben negociar un plan de muestreo con una curvaOC que les interese a ambos. Negociar una curva OC puede ser complicado, por lo que el acuerdoentre comprador y vendedor se suele limitar a fijar unos pocos puntos de ella. En primer lugar, elcomprador debe especificar el nivel de calidad que le gustaría que le suministrase el vendedor. Laproporción de artículos defectuosos de un lote que es aceptable para el comprador se le denominanivel de calidad aceptable (NCA, y en inglés AQL, acceptable quality level) y correspondeal valor pA mencionado anteriormente. La probabilidad de que un lote de calidad aceptable searechazado por azar de la muestra se denomina riesgo del vendedor y la denotaremos por α. Esteriesgo coincide con la probabilidad de rechazar el lote cuando p = pA y es igual a α = 1−OC(pA).Por tanto:

α = riesgo del vendedor=probabilidad de rechazar un lote con p = pA.

Usualmente, un plan de muestreo se diseña de forma tal que este riesgo α esté cercano al 5%.En el caso del plan de muestro del ejemplo anterior, este riesgo coincide con la probabilidad derechazar el lote cuando p = pA = 0,06 y es igual a α = 1−OC(pA) = 0,353 (ver tabla 2.1), por loque dicho plan sería difícilmente aceptado por un vendedor.

Por otra parte, para determinar la probabilidad de aceptar un lote de mala calidad, el com-prador debe también decidir qué nivel de calidad es absolutamente inaceptable. A la proporciónde artículos defectuosos en un lote que es inaceptable para el comprador se le denomina nivel decalidad rechazable (NCR, en inglés se suele denominar limiting quality level -LQL- o lot toler-ance percentage defective -LTPD). A esta proporción de defectuosos inaceptable la denotaremospor pR. Normalmente pR/pA está entre 4 y 10. La probabilidad de que un lote de nivel de calidadrechazable sea aceptado por azar de la muestra se denomina riesgo del comprador y se le denotapor β. Usualmente, los planes de muestreo se diseñan de forma tal que este riesgo sea alrededordel 10%. Por tanto:

2.3 Plan de muestreo simple 9

β = riesgo del comprador=prob. de aceptar un lote con p = pR =OC(pR).

En el ejemplo anterior, si tomamos pR = 4pA = 0,24, se obtiene que el riesgo del comprador esβ =OC(0,24) ≈ 0, por lo que dicho plan es muy ventajoso para el comprador mientras que no loes para el vendedor.

En la práctica, los planes de muestreo se determinan fijando a priori los valores α, pA, β y pR.Habitualmente, los valores de α están alrededor del 5% y β alrededor del 10%. A continuación sedescribirán diferentes alternativas para diseñar un plan de muestreo. Estos planes son los siguientes:

Plan de muestreo simple: se toma una muestra y se rechaza el lote si en la muestra hay másde cierto número de artículos defectuosos

Plan de muestreo doble: similar al simple. Si el número de artículos defectuosos deja dudasobre la aceptación del lote se toma una segunda muestra

Plan de muestreo secuencial: se amplía la muestra artículo a artículo y se decide si se aceptael lote, se rechaza o se sigue muestreando.

Plan de muestreo rectificativo: los lotes rechazados se revisan al 100% y los artículos defec-tuosos se sustituyen por artículos aceptable.

Plan Military Standard 105E: conjunto de tablas que determina el plan de muestreo segúndiferentes características de los lotes.

2.3. Plan de muestreo simple

El muestreo simple es el tipo de plan más sencillo. Consiste en tomar una muestra de tamañon de cada lote y aceptar dicho lote si el número de artículos defectuosos no supera cierto númeropredeterminado c. A dicha cantidad c se le denomina número de aceptación. El plan utilizadocomo ejemplo en la sección anterior, consistente en extraer 50 artículos y rechazar si hay más de 3defectuosos, es un ejemplo de este tipo de plan.

Prefijados uno valores de pA, pR, α y β puede ser imposible encontrar un plan que se ajustea nuestros requerimientos. Sin embargo, se puede encontrar alguna aproximación razonable. Unprograma estadístico puede ayudarnos a encontrar una solución a un determinado plan de muestreo.Una forma fácil de diseñar el plan es utilizando las propiedades de la distribución binomial,

como se expuso en la sección anterior. También puede utilizarse la aproximación a la normal si eltamaño muestral es suficientemente grande. Veamos a continuación un ejemplo.

Ejemplo 1:

Se desea diseñar un plan de muestreo simple con los siguientes parámetros: pA = 0,02; α =0,05; pR = 0,04;β = 0,05. El resultado del plan será la determinación del tamaño muestral ny del número de aceptación c. Vamos a suponer que el tamaño muestral n que hay que calcular


será lo suficientemente grande como para poder utilizar la aproximación a la normal (y tal quenp(1− p) > 5). Sea d∗ el número de artículos defectuosos de la muestra. Entonces

d∗ ≈ B(n, p) ≈ N (np, np(1− p)) .

Los valores pA = 0,02 y α = 0,05 significan que la probabilidad de rechazar un lote con unaproporción de defectuosos igual a pA = 0,02 es α = 0,05. Es decir:

P (d∗ > c | p = pA = 0,02) = 0,05.

Estandarizando:

P (d∗ > c) = P

Ãd∗ − npApnpA(1− pA)

>c− npApnpA(1− pA)

!= 0,05

Consultando las tablas de la N(0, 1) vemos que el valor que deja a la derecha un área igual a 0.05es zα = 1,64. Por tanto:

zα =c− npApnpA(1− pA)

= 1,64. (2.1)

Despejando c y aplicando que pA = 0,02 se obtiene:

c = npA + zαpnpA(1− pA) (2.2)

≈ 0,02n+ 0,23√n. (2.3)

Análogamente, de las especificaciones de pR = 0,04 y β = 0,05 se obtiene que la probabilidadde aceptar un lote con un porcentaje de defectuosos del 4% será de β = 0,05. Por tanto

P (d∗ ≤ c | p = pR = 0,04) = 0,05.

Estandarizando:

P (d∗ ≤ c) = P

Ãd∗ − npRpnpR(1− pR)

≤ c− npRpnpR(1− pR)

!= 0,05.

De las tablas de la normal N(0, 1) se obtiene que el valor que deja a la izquierda un área igual a0.05 es zβ = −1,64. Entonces:

zβ =c− npRpnpR(1− pR)

= −1,64. (2.4)

Despejando c se obtiene:

c = npR + zβpnpR(1− pR) (2.5)

≈ 0,04n− 0,32√n (2.6)

Igualando (2.2) y (2.5) se obtiene que

npA + zαpnpA(1− pA) = npR + zβ

pnpR(1− pR)

⇒ n (pA − pR) =√n³zβppR(1− pR)− zα

ppA(1− pA)

´⇒ n =

ÃzβppR(1− pR)− zα

ppA(1− pA)

pA − pR

!2(2.7)

2.4 Plan de muestreo doble 11

n ≈ 759.

Sustituyendo en (2.5) se tiene quec ≈ 22.

Por tanto, el plan que se busca es el siguiente: se toma una muestra de tamaño n = 759 elementos.Se rechaza el lote si se encuentran más de c = 22 artículos defectuosos en dicha muestra.

Para el diseño de planes de muestreo simple con α = 0,05 y β = 0,10 puede aplicarse también elplan JIS Z 9002. Esta norma consiste en la aplicación de una tabla que proporciona, para unos val-ores de pA y pR, unos valores de n y c que satisfacen, aproximadamente, las condiciones requeridas.

Ejemplo 2:

Se desea diseñar un plan de muestreo simple utilizando la norma JIS Z 9002 (plan japonés)con los siguientes parámetros:

nivel de calidad aceptable=0.4% de artículos defectuosos; nivel de calidad rechazable=2%

nivel de calidad aceptable=0.32% de artículos defectuosos; nivel de calidad rechazable=4.6%

En el primer caso, la Tabla determina que n = 300 y c = 3. Se inspeccionan 300 artículos y serechaza el lote si hay más de 3 artículos defectuosos. En el segundo caso, nos encontramos con unaflecha en la celda correspondiente. Siguiendo la dirección de la flecha encontramos que n = 100 yc = 1. Inspeccionamos 100 artículos y rechazamos si hay más de un artículo defectuoso.

Estos resultados se pueden comparar con los que se obtendrían con la aproximación normal delejemplo 1. Utilizando las expresiones (2.7) y (2.5) se tiene que (cálculos hechos con Matlab)

para pA = 0,004, α = 0,05; pR = 0,02;β = 0,10⇒ n ≈ 313, c ≈ 3,

para pA = 0,0032, α = 0,05; pR = 0,046;β = 0,10⇒ n ≈ 71, c ≈ 1.

En el primer caso es aproximadamente el mismo plan. En el segundo caso hay una diferenciaen n, debido a que el tamaño muestral no es lo suficientemente grande para usra la aproximacióna la normal.

2.4. Plan de muestreo doble

El plan de muestreo doble es una extensión del simple. Se extrae primeramente una muestrade tamaño n1 y se cuenta el número de artículos defectuosos d1. Si este número es muy elevado,digamos superior a cierto valor c2, el lote se rechaza. Por el contrario, si el número d1 es muy bajo,menor o igual que cierto valor c1 (< c2), el lote se acepta. Sin embargo, si el número de defectuosos


d1 se encuentra entre estos valores extremos: c1 < d1 ≤ c2 se concluirá que la muestra no arrojaevidencia suficiente para tomar la decisión. En ese caso, se toma una segunda muestra de tamañon2 y se evalúa el número de defectuosos de dicha muestra. Si d1 + d2 es mayor que cierta cantidadc3 el lote se rechaza definitivamente. En caso contrario se acepta. La figura ?? muestra un esquemade este plan de muestreo. Para la selección de los valores n1, n2, c1, c2 y c3 existen tablas. Véase,por ejemplo Duncan (1971) capítulo 8. El primer tamaño muestral n1 suele ser mucho menor queel que se requiere en el muestreo simple. Por esta razón, aunque este plan es de aplicación algomás compleja que el anterior, es más económico, pues permite reconocer en la primera muestra alos lotes muy malos o muy buenos.

Figura 2.5:

El diseño de planes de muestreo dobles es, en general, complejo. Este diseño se puede simplificarcon la ayuda de tablas publicadas. Para ver su utilización usaremos un ejemplo.

Ejemplo 3:Vamos a diseñar un plan de muestreo doble con n1 = n2 para lotes de tamaño 5000 con un

pA=0.01; α = 0,05; pR = 0,045; β = 0,10. En las tablas, la notación empleada es p1 ≡ pA yp2 ≡ pR. En nuestro caso se tiene que

R =p2p1=0,045

0,01= 4,5.

Buscando este valor en la columna correspondiente a R vemos que el plan más cercano es el PLAN5: c1 = 2, c2 = c3 = 4. Tenemos así, por tanto, los números de aceptación de cada muestra. Paraobtener el tamaño muestral n1 se han de mirar las columnas correspondientes a Approximatevalues of n1p, donde Pa es la probabilidad de aceptar un lote con una proporción de defectuososp. Si utilizamos la información del vendedor, aceptaremos con probabilidad 1 − α un lote con

2.5 Plan de muestreo secuencial 13

proporción de defectuosos p = pA = 0,01. Por tanto tendremos que

Pa = 1− α = 0,95

Utilizaríamos, entonces, la columna correspondiente a Pa = 0,95. Para el plan 5 se tiene quen1p = 1,16. Por tanto:

n1p = n1pA = 1,16⇒ n1 =1,16

pA=1,16

0,01= 116.

El plan de muestreo es, entonces:

Se extrae una muestra de tamaño n1 =116 y se cuenta el número de artículos defectuososd1.

Si d1 ≤2 se acepta el lote.

Si d1 > 4 se rechaza el lote.

Si 2 < d1 ≤ 4 se extrae una segunda muestra de tamaño n2 =116 y se cuenta el número deartículos defectuosos d2.

Si d1 + d2 > 4 se rechaza el lote, en caso contrario se acepta.

Una segunda opción es haber utilizado, en las columnas de Approximate values of n1p la in-formación del comprador, es decir, se acepta con probabilidad β un lote de p = pR. En este casotendríamos:

Pa = β = 0,10,

y para el plan 5 tendríamos n1p = 5,39. Por tanto,

n1p = n1pR = 5,39⇒ n1 =5,39

pR=5,39

0,045≈ 120.

Han de ser las partes implicadas quienes decidan cuál de las dos opciones usar. Una tercera alter-nativa es utilizar un punto intermedio, es decir, decidir cómo ha de ser el lote (valor de p) que seacepta con probabilidad 50%.

2.5. Plan de muestreo secuencial

La idea del muestreo doble puede extenderse al muestreo secuencial. En este caso el tamañomuestral se va aumentando unidad a unidad. Después de cada observación se decide si el lote seacepta, se rechaza o se continúa muestreando. Primero, y al igual que en los planes anteriores,se han de fijar las cantidades α, pA, β y pR. El plan viene caracterizado por tres constantes que


dependen de los anteriores parámetros. Estas constantes h1, h2 y s se obtienen de la siguienteforma:

h1 =

ln

µ1− α

β

¶ln

∙pR (1− pA)

pA (1− pR)

¸ ,

h2 =

ln

µ1− β

α

¶ln

∙pR (1− pA)

pA (1− pR)

¸ ,

s =

ln

µ1− pA1− pR

¶ln

∙pR (1− pA)

pA (1− pR)

¸ .Después de inspeccionar cada artículo se tendrá un tamaño muestral acumulado n y un número deartículos defectuosos acumulado d. Entonces, si d > sn+ h2 se rechaza el lote y si d ≤ sn− h1 seacepta el lote. En caso contrario se inspecciona un artículo más y se repite el proceso. Esta reglade decisión puede verse gráficamente en la siguiente figura. En esta figura, (sn+ h2) y (sn − h1)constituyen dos rectas paralelas de manera que al cruzarlas se toma la decisión de rechazar oaceptar el lote.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Tamaño muestral acumulado

Núm

ero

de d

efec

tuos

os a

cum

ulad

o

Plan de muestreo secuencial

Continuar inspeccionando

Aceptar lote

Rechazar lote

d=sn+h2

d=sn-h1

2.6. Plan de muestreo rectificativo

En este tipo de plan, cualquier lote que sea rechazado es sometido a una inspección al 100% yse sustituyen todos los artículos defectuosos por artículos buenos (lote rectificado). De esta man-era, el comprador recibe dos tipos de lotes. El primer tipo de lote corresponde a aquellos quehan superado la etapa de muestreo, por lo que contendrán una pequeña proporción de artículos

2.6 Plan de muestreo rectificativo 15

defectuosos. El segundo tipo de lotes serán aquellos que han sido revisados al 100% y rectifi-cados. De estos dos tipos de lotes puede calcularse la calidad media de salida ( en inglés averageoutgoing quality AOQ), que es la proporción media de atículos defectuosos que recibe el comprador.

Supongamos que un lote tiene una proporción p de artículos defectuosos antes de ser inspec-cionado. Si p = 0 está claro que AOQ=0. Si, por el contrario, p = 1, todos los lotes serán sometidosa inspección al 100% y rectificación por lo que de nuevo AOQ=0. Entre medias de estos dos valoresel AOQ tendrá un máximo, que llamaremos AOQL (average outgoing quality limit). Si p es bajala AOQ será baja y próxima a p, pues casi todos los lotes se aceptarán. A medida que p aumentatambién aumentará AOQ, aunque en menor proporción, pues los lotes rechazados se revisan yrectifican. A partir de cierto valor de p el número de lotes rechazados comenzará a ser ya unaproporción importante de los lotes. Puesto que todos estos lotes rechazados se rectifican, la AOQbajará de nuevo. La AOQ será por tanto una curva semejante a la que se muestra en la figura 2.6.

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3


AO

Q

Curva de calidad media de salida (AOQ)

AOQL

Figura 2.6: Plan de muestreo rectificativo. Calidad media de salida

Existen tablas para diseñar un plan de muestreo rectificativo. Las más conocidas se debena Dodge y Roming. Por esta razón, a este tipo de plan se le conoce también como plan Dodge-Romig. Estas tablas pueden usarse de varias maneras, dependiendo de la información que se utilice.Puede fijarse un tamaño del lote N, la calidad promedio que se desea -AQL- (en porcentaje dedefectuosos), el nivel de calidad rechazable y el riesgo del comprador. Entonces se obtiene el tamañode la muestra n, el número de aceptación c y el nivel de calidad rpomedio máxima que se obtiene -AOQL-. También puede entrarse con el AOQL y el tamaño del lote y se obtiene la calidad promedio,n y c.

Ejemplo 4:Para un lote de tamaño 5000, diseñar un plan de muestreo rectificativo con pR = 0,04, β = 0,10

que permita aceptar lotes que tengan, como máximo un porcentaje de defectos del 1%. ¿Cuál serála calidad promedio?


Consultando la Tabla se obtiene que n = 130 y c = 2. Unos lotes se aceptarán como resultadode la inspección, y por tanto tendrán cierto porcentaje de artículos defectuosos. Otros lotes se revis-arán al 100% y se sustituirán los artículos defectuosos por otros aceptables. Esos lotes no tendrán,entonces, artículos defectuosos. En promedio, el porcentaje medio de defectuosos será inferior al0.41%.

2.7. Plan Military Standard 105ELa estandarización de los procedimientos de muestreo de aceptación comenzó a producirse du-

rante la II gerra mundial por el ejercito en EEUU. Dicho estándar se denominó Mílitary Standard(MIL STD). Desde entonces, el plan Military Standard se ha convertido en el estandar más pop-ular. El plan original, el Miltary Standard 105A fue diseñado en 1950. La última revisión, el planMilitary Standard 105E data de 1989. Existe una versión civil de este plan militar, el plan AN-SI/ASQC Z1.4, pero supone sólo pequeñas modificaciones de éste. Este estándar ha sido tambiénadoptado por la International Organization for Standarization bajo la denominación ISO 2859.Este estándar cubre tres tipos de muestreo: simple, doble y múltiple. Para cada tipo de muestreoexisten planes específicos dependiendo del nivel de calidad que el comprador espera del vendedor.En este tema nos ocuparemos sólo de los planes simples.

Para un mismo tamaño de lote y un mismo nivel de calidad aceptable (NCA o AQL o valorpA) se especifican tres planes de inspección:

1. Normal: para aquellos casos en los que la calidad que se espera del proveedor es similar alNCA

2. Reducido: para aquellos casos en los que la calidad esperada sea muy alta (p < pA). En estetipo de muestreo, el tamaño muestral es inferior al plan normal.

3. Riguroso: implica un elevado tamaño muestral. Se utiliza cuando se espera una calidad infe-rior a la AQL (p > pA).

Existen una serie de reglas que determinan el plan de muestreo anterior. Estas reglas puedenresumirse en los siguientes puntos:

El plan de inspección normal se realizará al comienzo de la tarea de inspección.

Cambio de plan normal a riguroso: se pasará de inspección normal a rigurosa si dos de cincolotes consecutivos han sido rechazados.

Cambio de plan riguroso a normal : se pasará de control riguroso a normal cuando se aceptencinco lotes consecutivos

Cambio de plan normal a reducido: se pasará de muestreo normal a reducido si no se rechazaningún lote durante diez lotes seguidos.

2.7 Plan Military Standard 105E 17

Cambio de plan reducido a normal: se pasará de muestreo reducido a normal si un lote esrechazado. También puede volverse al plan normal cuando el número de defectuosos no llevani a aceptar ni a rechazar el lote.

Si se está en el plan de inspección riguroso durante más de diez lotes, la inspección debeconcluir y se debe proponer el vendedor que aumente los niveles de calidad de su producción.

Este conjunto de reglas se resumen en la figura 2.7El plan MIL STD 105E varía también en función del coste del muestreo, existiendo varios

niveles según el coste de inspección. Estos niveles son:

Coste de inspección alto: Nivel I.

Coste de inspección estándar: Nivel II.

Coste de inspección bajo: Nivel III.

Niveles especiales (por ejemplo, en ensayos destructivos): Niveles S-1 a S-4

Los planes están diseñados teniendo en cuenta el riesgo del vendedor, AQL o pA. El riesgo delcomprador β y pR no se tienen en cuenta explicitamente al utilizar las tablas, pero los valoresde β son muy pequeños si pR > 5pA. Para aplicar el plan hay que seguir los siguientes pasos(consideramos muestreo simple):

1. Decidir el AQL o pA.

2. Determinar el nivel de inspección en función de su coste (nivel I, II, III, o niveles especiales).

3. Con el tamaño del lote y el nivel de inspección anterior ir a la tabla de códigos y encontrarel código de inspección.

4. Determinar el plan de inspección (normal, riguroso (o estricto) y reducido).

5. Con el código de inspección y el plan de inspección, acudir a la tabla correspondiente: Tablade inspección normal, reducida o estricta, y encontar el plan de muestreo.

6. Tomar la muestra y ejecutar la inspección. Con el resultado evaluar un posible cambio deplan.

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 5:

Se desea diseñar un plan de muestreo con el plan japones JIS Z 9002 y con MIL STD 105E conlas siguientes características: pA = 0,004;α = 0,05;β = 0,10; pR = 0,05. Lotes de 1000 unidades.

Para elaborar el plan japonés acudimos a la Tabla. Con los valores pA = 0,4% y pR = 5%encontramos que se han de tomar muestras de tamaño 80 y rechazamos el lote si encontramos másde un artículo defectuoso (c > 1) (la tabla muestra el máximo número de defectuosos admisibles).


Para diseñar el plan MIL STD supondremos un nivel II (coste estándar). En la Tabla leemosel código de inspección, que es J. Si utilizamos el plan de muestreo normal acudiremos a la tabla.En esa tabla, con el código J y un valor de pA = 0,4% nos encontramos con una flecha. Por tantoutilizaremos el primer plan en la dirección de la flecha. En este caso el plan pasará de código Ja código K; se inspeccionan 125 artículos y se rechaza el lote si se encuentran c ≥ 2 artículosdefectuosos. Se acepta si se encuentra un defectuoso o ninguno.

Ejemplo 6:

Un producto se recibe en lotes de 2000 unidades. El AQL es 0.65%. Se desea diseñar un plande muestreo de nivel II para inspección normal, reducida y rigurosa (o estricta).

De la Tabla deducimos que el código de inspección es K.

Inspección normal: En ella se obtiene n = 125. Se rechaza si hay 3 ó más defectuosos. Seacepta en caso contrario

Inspección rigurosa: Se obtiene n = 125, igual que antes, pero se rechaza con 2 ó más defec-tuosos

Inspección reducida: Ahora n = 50. Se rechaza con 3 ó más artículos defectuosos. En esecaso el siguiente lote seguiría inspección normal. Se acepta con 1 ó ningún artículo defec-tuosos. Si se observan 2 artículos defectuosos podríamos aceptar o no, según lo aconsejasenlas circunstancias. En cualquier caso, si se observan 2 artículos defectuosos habría que pasarplan normal para inspeccionar el siguiente lote.


Figura 2.7: Plan MIL STD 105E. Reglas para el cambio de nivel de muestreo


APÉNDICE: El proceso de BernoulliSupongamos un experimento cuyo resultado puede resumirse en la presencia o ausencia de cierto

atributo. El experimento tendrá, por tanto, dos únicos resultados, que serán complementarios. Porejemplo: analizar si una pieza es defectuosa o aceptable, averiguar si una persona simpatiza conel candidato A o no, descubrir si una persona ha desarrollado cierta enfermedad o no, conseguirterminar cierto procedimiento con éxito o no conseguirlo, etc. Muchos experimentos de interés eningeniería pueden ser descritos en términos de observar cierto atributo o no observarlo. Este tipode experimento recibe el nombre de experimento de Bernoulli.Llamemos x al resultado de un experimento de Bernoulli. Entonces x tendrá dos valores, que

denotaremos por x = 0 si no se observa el atributo de interés, y x = 1 si observamos el atributode interés. Antes de realizar el experimento no sabremos qué valor tendrá x, por lo que x es unavariable aleatoria. Esta variable aleatoria recibe el nombre de variable aleatoria de Bernoulli.Vamos a describir esta variable aleatoria de Bernoulli. Si llamamos p a la probabilidad de que alrealizar un experimento de Bernoulli observemos el valor x = 1, y llamamos q = 1− p, la funciónde probabilidad de esta variable de Bernoulli es

p(x) =n

p si x = 1;q si x = 0.

Es fácil deducir que si x es una variable de Bernoulli

E(x) = 1× p+ 0× q = p

Var(x) = (1− p)2p+ (0− p)2q = p(1− p) = pq

Si deseamos repetir un experimento de Bernoulli tendremos una sucesión de variables aleatoriasde Bernoulli x1, x2, ... todas ellas con la misma función de probabilidad. En estadística, a una suce-sión de variables aleatorias se le denomina proceso (o proceso estocástico) independientemente decómo sean esas variables aleatorias. A una sucesión de variables aleatorias de Bernoulli procedentesde repetir un mismo experimento de Bernoulli, se le denomina proceso de Bernoulli.Puesto que en un proceso de Bernoulli se tiene una sucesión de variable de Bernoulli idénticas,

procedentes de repetir un mismo experimento, un proceso de Bernoulli, debe tener las siguientescaracterísticas:

1. El experimento sólo tiene dos resultados posibles, que pueden interpretarse como ausenciao presencia de cierto atributo de interés.

2. El resultado de cada experimento es independiente del resultado obtenido en repeticionesanteriores. Esta hipótesis de independencia también uede interpretarse como ausencia dememoria: el proceso no recuerda los resultados de los anteriores experimentos.

3. El proceso es estable, en el sentido de que en cada repetición P (x = 1) = p.

Cuando se posee una sucesión de variables aleatorias independientes e idénticas se les sueledenotar por iid (independientes e idénticamente distribuidas).

Variables aleatorias asociadas al proceso de Bernoulli

La sucesión de variables que se obtienen al repetir un experimento de Bernoulli puede analizarsedesde varios puntos de vista, obteniéndose diferentes variables aleatorias. Si analizamos una sola


de las variables del proceso de Bernoulli, tenemos la ya conocida variable de Bernoulli. Por el con-trario, si sumamos los valores de n variables de Bernoulli tendremos una variable aleatoria llamadabinomial. Si contamos el número de repeticiones de un experimento de Bernoulli que realizamoshasta que obtenemos una repetición en la que se observa el atributo por primera vez, tendremosla llamada variable aleatoria geométrica. A continuación veremos estas dos distribuciones con másdetalle.

Variable aleatoria binomial

Supongamos, por ejemplo, un proceso productivo que produce artículos con un porcentajede defectuosos p. Supongamos que el proceso es estable (el porcentaje de artículos defectuososno aumenta ni disminuye a lo largo del tiempo; lo que ocurriría, por ejemplo, si la maquinaria sefuese deteriorando o el proceso productivo fuese mejorando por cambios tecnológicos). Supongamosasímismo que la aparición de un artículo defectuoso es impredecible, y por tanto independiente de laproducción anterior. Si asignamos a cada artículo con una variable de Bernoulli xi que toma el valor1 si el artículo i-ésimo es defectuoso y 0 en caso contrario tendremos que la sucesión x1, x2, ..., xi, ...,será un proceso de Bernoulli. Supongamos ahora que deseamos extraer n artículos de la producción.Queremos saber cuántos artículos defectuosos tendremos en esos n artículos seleccionados. A priori,no sabremos cuántos artículos serán defectuosos hasta que no les hagamos las pruebas pertinentes.Aunque el proceso produzca una proporción de defectuosos p, en una muestra concreta puede habermás o menos artículos defectuosos de dicha proporción, dependiendo del azar en la selección delos n artículos. Sea x= número de artículos defectuosos en una muestra de tamaño n. Lavariable x será una variable aleatoria que puede tomar valores entre 0 y n. Esta variable x recibeel nombre de variable aleatoria binomial (o que sigue una distribución binomial) y se simbolizacomo

x ∼ B(n, p).

En un contexto más general, una variable aleatoria binomial x ∼ B(n, p) se define como el númerode sucesos observados en n realizaciones de un experimento de Bernoulli (estable eindependiente). La función de probabilidad de una variable binomial es:

p(r) = P (x = r) =³

nr

´pr(1− p)n−r; r = 0, 1, ..., n; (2.8a)

donde ³nr

´=

n!

r!(n− r)!.

El cálculo de la media y la varianza de una variable binomial se puede obtener aplicando ladefinición de estas medidas características en (2.8a). Otra forma más sencilla es escribiendo lavariable binomial como la suma de las n variables de Bernoulli x1, x2, ..., xn :

x = x1 + x2 + · · ·+ xn.

Como E(xi) = p, Var(xi) = pq, i = 1, .., n y por la independencia de estas variables de Bernoullixi es fácil deducir que

E(x) = E (x1 + x2 + · · ·+ xn) =nXi=1

E(xi) = np,

Var(x) = Var (x1 + x2 + · · ·+ xn) =nXi=1

Var(xi) = npq.


Variable aleatoria geométrica

Supongamos, por ejemplo, que tenemos un conjunto muy elevado de artículos. Supongamostambién que nuestro objetivo es detectar si existen artículos defectuosos. Si existe un porcentajede artículos defectuosos de p× 100%, ¿cuántos artículos tendremos que analizar para que encon-tremos un primer artículo defectuosos? Llamaremos x = número de artículos analizados hastaencontrar el primer artículo defectuosos. La variable x será una variable aleatoria, pues de-penderá de la suerte que se tenga al seleccionar los artículos. La variable x se denomina variablealeatoria geométrica (o distribución geométrica) y puede tomar los valores x = 1, 2, ... hasta,idealmente, infinito (x = 1 representa que el primer artículo ya es defectuosos). Más genéricamentex es el número de repeticiones de un experimentos de Bernoulli que hay que ejecutarpara observar el atributo de interés por primera vez. La función de probabilidad de unavariable geométrica es

P (x = r) = qr−1p; r = 1, 2, ...

la variable aleatoria geométrica tiene las siguietes propiedades

E(x) =1

p,

Var(x) =q

p2.

Ejemplo: supongamos que una máquina produce un 1% de artículos defectuosos. ¿Cuántosartículos se producirán por término medio hasta que se produzca un artículo defectuoso? El númerode artícuos hasta el primer defectuosos es una variable geométrica con p = 0,01. Por tanto, portérmino medio se producirán 1/p = 100 artículos (99 aceptables y el último defectuoso).El número medio de repeticiones del experimento ANTES de encontrar el primer atributo será

E(x)− 1 = 1/p− 1 = q/p.

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Capítulo 2 · Capítulo 2 Control de recepción 1. Introducción 2. Curva característica 3. Plan de muestreo simple 4. Plan de muestreo doble 5. Plan de muestreo secuencial