Capitulo 2 Esfuerzos y Deformaciones (c) Versión 2015

Mecnica Estructural Escuela de Posgrado PUCP

CAPITULO 2: Teora de Esfuerzos y Deformaciones

Profesor: Jos Acero Martnez

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Transformacin de Deformacin Unitaria Plana

El estado de deformacin plana es aqul en el que las deformaciones del material tienen

lugar dentro de planos paralelos y son las mismas en cada uno de esos planos. Si se

escoge al eje z perpendicular a los planos en los que la deformacin tiene lugar,

entonces zz = zx = zy = 0, quedando como nicas componentes de la deformacin a

xx , yy , xy.

Esta situacin ocurre en una barra de longitud infinita sometida en sus lados a cargas

uniformemente distribuidas a lo largo de sus bordes y que est impedida para

expandirse o contraerse lateralmente, mediante soportes fijos, rgidos y lisos (ver figura

2.33).

Figura 2.33. Segmentos de lneas, despus de una deformacin

Analicemos un elemento cuadrado centrado en el punto Q, con lados de longitud s paralelos a los ejes x-y (ver figura 2.34). Al deformarse, el cuadrado se vuelve un

paralelogramo, con lados de longitud s (1 + xx) y s (1 + yy), y formando ngulos

de (/2 - xy ) y (/2 + xy ) entre s (ver figura 2.34). El propsito buscado es determinar

las componentes de deformacin asociadas a unos ejes x-y los que forman un ngulo

con los ejes x-y respectivamente, es decir, se busca expresar xx , yy , xy en funcin

de las componentes xx , yy , xy y el ngulo (figura 2.35).

Figura 2.34. Elemento diferencial antes y despus de la deformacin




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Figura 2.35. Elemento diferencial antes y despus de la deformacin

Para esto, se trabaja con un tringulo ABC de lados x, y, s inicialmente con ngulo recto en C (figura 2.36); el lado AC es paralelo al eje x y el lado BC es paralelo

al eje y. Al deformarse el tringulo pasa a la posicin ABC cuyos lados son AB =

s (1 + ()) (donde () es la deformacin normal a lo largo de la lnea AB que forma

un ngulo con el eje x), AC = x (1 + xx) y BC = y (1 + yy); adems el ngulo

en C se transforma en /2 + xy. Aplicando la ley de cosenos al tringulo ABC:

(AB)2 = (AC)

2 + (CB)

2 2(AC)(CB) cos (/2 + xy)

Figura 2.36. Elemento diferencial triangular, antes y despus de la deformacin

Desarrollando y asumiendo que:

Cos (/2 + xy) = - sen (xy ) - xy

Si se desprecian los trminos de segundo orden (por ejemplo xx2 respecto a xx), y

por simplicidad xx=x, yy=y se logra:

() = x cos2 + y sen

2 + xy sen cos

Con los ejes x, y y usando las transformaciones trigonomtricas para pasar al ngulo

doble se tiene:




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)2(2

)2cos(22

senxyyxyxx

(2.92a)

)2(2

)2cos(22

senxyyxyxy

(2.92b)

)2cos()2()( xyyxyx sen (2.92c)

Sumando las dos primeras expresiones se logra la invariante de deformaciones:

x + y = x + y (2.92d)

Dado que se cumple que z = z = 0, se verifica la invariante J1 de deformaciones.

Crculo de Mohr para el estado plano de deformaciones

De la expresin de xy se puede obtener:

)2cos(2

)2(2

)(

2

xyyxyxsen

(2.92e)

Las expresiones (a), (b) y (e) para la transformacin de deformacin plana se parecen a

las ecuaciones deducidas para la transformacin de esfuerzo plano, cambiando los

esfuerzos normales i por deformaciones unitarias lineales i, y los esfuerzos cortantes

ij por la mitad de las deformaciones por corte ij /2.

Como es lgico, se puede tambin construir una circunferencia (conocida como crculo

de Mohr de deformaciones) en un sistema coordenado donde las deformaciones

unitarias lineales son las abscisas y las deformaciones de corte () son las ordenadas. La circunferencia tiene Centro C, y Radio R (Figura 2.37):

Figura 2.37. Representacin del crculo de Mohr para deformaciones




93

Centro: C = (x + y) /2 (2.93a)

Radio:

22

22

xyyxR

(2.93b)

Como antes, es conveniente trazar el eje de ordenadas como positivo hacia abajo, para

que los giros que se hagan en el elemento diferencial y en el crculo de Mohr sean del

mismo sentido.

Las deformaciones principales son:

1 = C + R (el valor de mx) (2.93c)

2 = C - R (el valor de mn) (2.93d)

Los ejes principales a y b correspondientes (figura 2.38) se obtienen haciendo que

la deformacin por corte ij sea cero; entonces, se logra el ngulo p:

Figura 2.38. Ejes principales de deformacin

yx

xyptg

)2( (2.93e)

La deformacin cortante mxima en el plano est definida por los puntos D y E en el

crculo de Mohr (figura 2.37), y es igual al dimetro del crculo:

xyyxplano R22

)(max )(2 (2.93f)

Por ltimo, para obtener las deformaciones en ejes x- y rotados un ngulo respecto a

los ejes x-y, se debe rotar en el crculo de Mohr un ngulo 2 en el mismo sentido (figura 2.39).




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Figura 2.39. Crculo de Mohr de deformaciones, rotados un ngulo 2

Anlisis Tridimensional de la deformacin

Se necesita estudiar la deformacin en un punto en forma tridimensional a fin de hallar

la deformacin cortante mxima mx en el punto. Este valor es el dimetro del mayor de los tres crculos mostrados en la figura 2.40, por lo que:

mx = mx - mn (2.94)

Donde mx y mn representan los valores algebraicos de las deformaciones mxima y mnima en el punto.

Figura 2.40. Crculo de Mohr de deformaciones, rotados un ngulo 2

En el caso de un estado de deformacin plana, siendo x e y los ejes en el plano de la deformacin, el eje z es uno de los ejes principales y el punto correspondiente en el

diagrama de los crculos de Mohr es el origen O. Si los puntos A y B que definen los

ejes principales en el plano caen en lados opuestos de O (figura 2.41) entonces, las

deformaciones principales correspondientes representan las deformaciones mxima y

mnima en el punto, y la mxima deformacin de corte es igual a la mxima

deformacin de corte en el mismo plano de la deformacin, correspondiente a los

puntos D y E.




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Figura 2.41. Crculo de Mohr de deformaciones

Si en cambio, A y B estn en el mismo lado de O, (figura 2.42) entonces, las

deformaciones principales a b tienen el mismo signo, entonces la deformacin por corte mxima est definida por los puntos D y E en el crculo de dimetro OA y se

cumple que mx = mx.


En el caso de estado plano de esfuerzos, tambin puede ocurrir que los puntos asociados

a los ejes principales en el plano A y B estn en el mismo lado del origen O (figura

2.43), y a pesar que la tercera deformacin principal C tiene un valor no nulo, la

deformacin de corte mxima es igual al dimetro del crculo AC correspondiente a una

rotacin alrededor del eje b, fuera del plano del esfuerzo.




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Comparacin entre estado de esfuerzo plano y estado de deformacin unitaria

plana

La figura 2.44, muestra claramente la comparacin entre esfuerzo plano y deformacin

unitaria plana, notar que en esfuerzo plano (en el plano xy), se puede dar deformaciones

en z y que en deformacin unitaria plana (en el plano xy), se puede dar esfuerzos en z.

Figura 2.44. Comparacin de esfuerzo plano con deformacin unitaria plana

(Resistencia de Materiales - Timoshenko)

Ecuaciones para determinacin de deformaciones en rosetas

Las deformaciones en rosetas, se obtienen aplicando la ecuacin siguiente:

() = x cos2 + y sen

2 + xy sen cos




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La tabla 2.1, muestra las ecuaciones para determinar las deformaciones en las

direcciones de los deformmetros o strain gages.

Tabla N 2.1. Ecuaciones para determinacin de deformaciones en rosetas

Tipo de roseta

Ecuaciones para determinar las deformaciones

cba ,,

)2()2cos(22

senxyyxyx

a

)(2)(2cos22

senxyyxyx

b

)(2)(2cos22

senxyyxyx

c

xa

yc

2

cabxy

xa

2

3

4

3

4

xyyxb

2

3

4

3

4

xyyxc

))(2(3

1acby

)(3

3bcxy

)2()()(cos 22 sensen xyyxa

)2()()(cos 22 sensen xyyxb

)2(

)(

sen

ba

xy




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Ejemplo 2.12. Se tiene una placa cuadrada de 1m de lado en un estado de deformacin

plano

0 yzxzzz

Determinar los desplazamientos y los deformaciones para los ejes x-y, sabiendo que los

desplazamientos son pequeos

Se sabe que las funciones lineales de los lados son rectas antes y despus de la

deformacin

byax

dycx

a,b,c,d constantes

Evaluando en los puntos A, B y C, se tiene:

Punto A: x=0, y=1.0m

)1()0(3 bammA

b=-0.003 m

Punto C: x=1 m, y=0

)0()1(1 dcmmC

c=0.001 m

Punto B: x=1m, y=1m

)1)(003,0()1(5 ammA

a=-0.002 m

)1()1(001,05.3 dmmB

d=0.0025m

Para cualquier punto podemos escribir:

yx 003,0002,0

yx 0025,0001,0

Para deformaciones pequeas se tiene:

002,0

x

uxx




99

0025,0

y

vyy

y

u

x

vxy

2

1

xyxy 2

)003,0(001,0

002,0xy

Tambin se pueden evaluar las segundas derivadas, teniendo

yxxy

xyyyxx

2

2

2

2

2

2

Sus dos derivadas son 0+0=0

Ejemplo 2.13. Determinar las deformaciones principales y el estado de deformaciones

en un elemento rotado 25 en forma antihorario con los ejes de referencia

440xx

160yy

80xy

Determinar las deformaciones principales y el estado de deformaciones en un elemento

rotado 25 en forma antihorario con los ejes de referencia

Centro 3002

160440

c

Radio 16180)300440( 22

461max Rc

139min Rc

tg(2p)=80/140 p=14.87




100

Luego el ngulo con respecto al eje girado x desde el eje principal, ser:

74,7974.29502501 ppx

Utilizando el crculo de Mohr se tendr:

71,32832974,79cos RCx

27174,79cos RCy

66,15874,79sin Ryx

Otra manera de obtener los mismos resultados, ser:

71,3282sin2cos22

xyyxyx

x

2712sin2cos22

xyyxyx

y

66,1582cos2

2sin22

xyyxyx

Ejemplo 2.14. Las deformaciones obtenidas en la roseta mostrada son:

1,931

3852

2103

Se pide hallar:

a) La orientacin y magnitud de las deformaciones principales en el plano de la roseta

b) La deformacin constante mximo en el plano




101

Solucin

a. Del grfico podemos indicar que:

3852 x

En general

111

2

1

2

1 cossinsincos xyyx

)75cos()75sin()75(sin)75(cos3851,93 22 xyy

89,11825,093,0 xyy (a)

)75cos()75sin()75(sin)75(cos385210 223

xyy

21,18425,0933,0 xyy (b)

Desarrollando la ecuacin (a) y (b), se tiene:

0.35y

0.606xy 303xy

Calculando el centro y radio del crculo de Mohr:

Centro = 2102

35385

Radio = 3502/606210385 22




102

La orientacin y magnitud de las deformaciones principales en el plano de la

roseta

560350210max a

140350210min b

tg(2p)=303/175 p=30

b. La deformacin constante mximo en el plano

7003502max

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