CAPITULO 3

CAPITULO 3

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE

PROBABILIDAD

Conceptos de variable aleatoria.

Distribuciones discretas de probabilidad.

Distribuciones continuas de probabilidad.

Distribuciones empricas.

Distribuciones de probabilidad conjunta.

VARIABLES DISCRETAS-Conceptos de variable aleatoria

Conceptos de variable aleatoria

Utilizaremos una letra mayscula, digamos X, para denotar una variable aleatoria; y su correspondiente letra minscula, x en este caso, para uno de sus valores.


Se sacan 2 bolas de manera sucesiva sin reemplazo, de una urna que contiene 4 bolas rojas y 3 negras. Los posibles resultados y los valores y de la variable aleatoria Y, donde y es el nmero de bolas rojas, son:


El empleado de un almacn regresa tres cascos de seguridad al azar a tres trabajadores de un taller siderrgico que ya los haban probado. Si Smith, Jones y Brown, en ese orden, reciben uno de los tres cascos, liste los puntos muestrales para los posibles rdenes de regreso de los cascos, y encuentre el valor m de la variable aleatoria M que representa el nmero de asociaciones correctas.

VARIABLES DISCRETAS-Conceptos de variable aleatoria - variable aleatoria de

Bernoulli Considere la condicin en que los componentes llegan de la lnea de ensamble y se les clasifica como defectuosos o no defectuosos. Defina la variable aleatoria X mediante

Evidentemente la asignacin de 1 o 0 es arbitraria, aunque bastante conveniente, lo cual se volver ms claro conforme avancemos en los siguientes captulos. La variable aleatoria en la que se eligen 0 y 1 para describir dos posibles valores se denomina variable aleatoria de Bernoulli.

VARIABLES DISCRETAS-Conceptos de variable aleatoria - Espacio Muestral

Discreto

Una variable aleatoria se llama variable aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de resultados posibles

VARIABLES DISCRETAS-Conceptos de variable aleatoria - Espacio Muestral

Continuo

Cuando una variable aleatoria puede tomar valores en una escala continua, se le denomina variable aleatoria continua

Ejercicios

VARIABLES DISCRETAS-Conceptos de variable aleatoria - planes de muestreo

Los estadsticos utilizan planes de muestreo ya sea para aceptar o para rechazar lotes de materiales. Suponga que uno de los planes de muestreo implica el muestreo independiente de 10 artculos de un lote de 100 de ellos, donde 12 estn defectuosos.

Sea X la variable aleatoria definida como el nmero de artculos que estn defectuoso en la muestra de 10. En este caso, la variable aleatoria toma los valores

0, 1, 2, . . . , 9, 10

VARIABLES DISCRETAS-Conceptos de variable aleatoria - planes de

muestreo

Suponga que un plan de muestreo implica el muestreo de artculos de un proceso hasta que se encuentre uno defectuoso. La evaluacin del proceso depender de cuntos artculos consecutivos se observen. En ese aspecto, sea X una variable aleatoria que se define como el nmero de artculos observados antes de que salga uno defectuoso. Se asigna N a no defectuoso, y D a defectuoso; los espacios muestrales son S = (D) dado que X = 1, S = (ND) dado que X = 2, S = (NND) dado que X = 3, y as sucesivamente.

Distribucin Discreta

Una variable aleatoria discreta toma cada uno de sus valores con cierta probabilidad.

Con frecuencia es conveniente representar todas las probabilidades de una variable aleatoria X usando una frmula:

f(x) = P(X = x); es decir, f(3) = P(X = 3).

El conjunto de pares ordenados (x, f(x)) se llama funcin de probabilidad o distribucin de probabilidad de la variable aleatoria discreta X.


Ejemplo:

Un embarque de 8 microcomputadoras similares para una tienda al detalle contiene 3 que estn defectuosas. Si una escuela hace una compra al azar de dos de estas computadoras, encuentre la distribucin de probabilidad para el nmero de defectuosas.

Distribucin Discreta -distribucin acumulada


Ejercicio: Encuentre la funcin de la distribucin acumulada de la variable aleatoria X para el siguiente ejercicio: Los estadsticos utilizan planes de muestreo ya sea para aceptar o para rechazar lotes de materiales. Suponga que uno de los planes de muestreo implica el muestreo independiente de 10 artculos de un lote de 100 de ellos, donde 12 estn defectuosos. Sea X la variable aleatoria definida como el nmero de artculos que estn defectuoso en la muestra de 10. En este caso, la variable aleatoria toma los valores 0, 1, 2, . . . , 9, 10. Mediante el uso de F(x), verifique que f(2) = 3/8.

Distribuciones continuas de probabilidad

Una variable aleatoria continua tiene una probabilidad cero de tomar exactamente cualquiera de sus valores.

La distribucin de probabilidad no se puede dar en forma tabular.

Consideremos: una variable aleatoria cuyos valores son las alturas de toda la gente mayor de 21 aos de edad. Entre cualesquiera dos valores, digamos 163.5 y 164.5 centmetros, o incluso entre 163.99 y 164.01 centmetros, hay un nmero infinito de alturas, una de las cuales es 164 centmetros.


Trataremos el clculo de probabilidades para varios intervalos de variables aleatorias continuas como P(a < X < b), P(W c), etctera.

Observe que cuando X es continua,

P(a < X b) = P(a < X < b) + P(X = b) = P(a < X < b).


Funcin de densidad de probabilidad o funcin de densidad de X Una funcin de densidad de

probabilidad se construye de manera que el rea bajo su curva limitada por el eje x sea igual a 1, cuando se calcula en el rango de X para el que se define f(x). Si este rango de X es un intervalo finito, siempre es posible extender el intervalo para incluir a todo el conjunto de nmeros reales al definir f(x) como cero en todos los puntos de las partes extendidas del intervalo


Suponga que el error en la temperatura de reaccin, en C, para un experimento de laboratorio controlado, es una variable aleatoria continua X, que tiene la funcin de densidad de probabilidad.

a) Verifique la condicin:

b) Encuentre P(0 < X 1).


Como consecuencia inmediata de la definicin, se escriben los dos resultados: si existe la derivada.


Para la funcin de densidad

encuentre F(x), y utilcela para evaluar P(0 < X 1).


El Departamento de Energa (DE) asigna proyectos mediante licitacin y, por lo general, estima lo que debera ser una licitacin razonable. Sea b el estimado. El DE determin que la funcin de densidad de la licitacin ganadora (baja) es:

Encuentre F(y) y utilcela para determinar la probabilidad de que la licitacin ganadora sea menor que la estimacin b preliminar del DE.


La proporcin de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la funcin de densidad. a) Muestre que P(0 < X < 1) = 1. b) Encuentre la probabilidad de que ms de 1/4

pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta.

Distribuciones continuas de probabilidad- Distribuciones conjuntas

Si X y Y son dos variables aleatorias discretas, la distribucin de probabilidad para sus ocurrencias simultaneas se representa mediante una funcin con valores f (x,y), para cualquier par de valores (x,y) dentro del rango de las variables aleatorias X y Y


Se seleccionan al azar 2 repuestos para un bolgrafo de una caja que contiene 3 repuestos azules, 2 rojos y 3 verdes. Si X es el nmero de repuestos azules y Y es el nmero de repuestos rojos seleccionados, encuentre:

a) la funcin de probabilidad conjunta f(x, y),

b) P[(X, Y ) A], donde A es la regin {(x, y)|x + y 1}.


Cuando X y Y son variables aleatorias continuas, la funcin de densidad conjunta f(x, y) es una superficie sobre el plano xy, y P[(X, Y) A], donde A es cualquier regin en el plano xy, es igual al volumen del cilindro recto limitado por la base A y la superficie.


Funcin de densidad conjunta


Una fbrica de dulces distribuye cajas de chocolates con un surtido de cremas, chiclosos y nueces cubiertas con chocolate claro y oscuro. Para una caja seleccionada al azar, sean X y Y, respectivamente, las proporciones de chocolates claro y oscuro que son cremas y suponga que la funcin de densidad conjunta es

Distribuciones continuas de probabilidad- Distribuciones

marginales

Definimos g(x) y h(y) como distribuciones marginales de X y Y, respectivamente. Cuando X y Y son variables aleatorias continuas, las sumatorias se reemplazan por integrales.

Distribuciones continuas de probabilidad- Distribuciones marginales

Distribuciones continuas de probabilidad- Distribuciones marginales

Encuentre g(x) y h(y) para la funcin de densidad conjunta del siguiente ejercicio: Una fbrica de dulces distribuye cajas de chocolates con un surtido de cremas, chiclosos y nueces cubiertas con chocolate claro y oscuro. Para una caja seleccionada al azar, sean X y Y, respectivamente, las proporciones de chocolates claro y oscuro que son cremas y suponga que la funcin de densidad conjunta es

Distribuciones continuas de probabilidad- Distribucin Condicional Dos variables

Distribuciones continuas de probabilidad- Distribucin Condicional Dos variables

La densidad conjunta para las variables aleatorias (X, Y), donde X es el cambio de temperatura unitario y Y es la proporcin de desplazamiento espectral que produce cierta partcula atmica es:

Distribuciones continuas de probabilidad- Independencia

Estadstica Dos Variables

Distribuciones discretas o continuas de probabilidad- estadisticamente

independientes

Distribuciones discretas o continuas de probabilidad- estadisticamente

independientes Como las cajas se seleccionan de forma independiente, suponemos que las variables aleatorias X1, X2 y X3 son estadsticamente independientes y que tienen la densidad de probabilidad conjunta.

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