CAPÍTULO 3. Introducción a La Probabilidad

Capítulo 3. Manual de Bioestadística Veterinaria: Benito López Baños

CAPÍTULO 3.

INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE PROBABILIDAD.

Introducción.

La teoría de probabilidad, nace en Francia en el siglo XVII. En una época hostil, de supersticiones, encantamientos y maleficios, donde el éxito se traducía como “buena suerte” y el fracaso como “mala fortuna”. El lugar donde vio la luz, las casas “nom santas” de París, los historiadores asignan a un caballero, De Meré, “ser el partero en el alumbramiento” de esta rama de las Matemáticas, quien era aficionado a los juegos de azar y en especial a los dados.

Por esa época existía un juego muy popular que se jugaba con un solo dado. El juego era simple y consistía en apostar dinero con la “casa” en que al lanzar el dado cuatro veces, no caería un 6, de lo contrario la casa ganaría. Aunque este juego tenia más de 100 años de jugarse, se sabía que favorecía a la casa por un ligero margen, lo suficientemente pequeño como para no desalentar a los jugadores y al mismo tiempo acrecentar continuamente el caudal de la casa. Una forma no tan popular del juego era usar dos dados, entonces la casa estaría dispuesta a apostar a la par a que el jugador lanzaría por lo menos un doble 6 en veinticuatro tiradas de los dos dados. Los conocedores de la época y compañeros de De Meré convinieron en que veinticuatro tiradas era seguramente el número correcto para producir las mismas probabilidades que en el juego de un dado y cuatro tiradas. El cálculo se había hecho como sigue: la probabilidad de favorecer a la casa en el juego con un dado era de cuatro tiradas y puesto que la introducción de un segundo dado aumentaba con un factor de seis el número de suertes posibles, las tiradas que se requieren para producir el mismo margen a favor de la casa tiene que ser de seis veces cuatro, o sea, veinticuatro. Sin embargo, De Meré sospechó que este número era incorrecto y planteó el problema en el año de 1654 a un joven matemático francés de nombre Blaise Pascal, quién no solo resolvió el problema, sino que creó una nueva rama de las Matemáticas, la “Teoría de Probabilidad”.

A Pascal le siguieron: Fermant, Bernoulli, Huygens, Gauss, Laplace y otros. Quienes enriquecieron esta teoría con sus aportaciones a tal grado que la teoría de probabilidad ha tenido una profunda influencia en nuestra capacidad de explicar muchas de las cosas que observamos en la naturaleza y en muchos aspectos, su contribución al pensamiento científico ha sido tan importante como el de la geometría de Euclides o el Cálculo Infinitesimal de Newton.

En nuestros días la Teoría de Probabilidad se aplica a distintos problemas en el campo de la Biología y concretamente en la Medicina Veterinaria y Zootecnia como es la Bioquímica, la Fisiología, la Nutrición, la Reproducción, la Genética,


etc. En todas estas áreas del conocimiento se presentan los denominados fenómenos aleatorios y la Teoría de Probabilidad será la herramienta fundamental en el estudio de estos fenómenos.Muchos estudiantes de Veterinaria en algún momento de su vida han hecho o escuchado algunas de las aseveraciones siguientes:

- Probablemente por la tarde lloverá.- Es muy probable que mañana para la vaca. - Hay un 80 % de probabilidad de que esa marrana en su segundo parto

tenga más de 10 lechones. .- Tengo un 50 % de probabilidad de salvar a ese perro atropellado.- Es casi probable, que si no estudio, me vaya mal en el examen de

Bioestadística.

Algunas de estas aseveraciones, pueden estar respaldadas con información científica y otras con experiencias empíricas, cualquiera que sea el caso, son inferencias probabilísticas y el significado de tales aseveraciones es, que no son hechos sino conjeturas.El caso es que la Teoría de Probabilidad y la Estadística se relacionan en una forma muy curiosa. En esencia, la Probabilidad es el vehículo que le permite al estadístico usar la información contenida en una muestra para hacer inferencias o para describir la población de la cual se ha obtenido la muestra. Fenómenos Determinísticos y Aleatorios. Algunos fenómenos, cuando están presentes una serie de condiciones, ocurren inevitablemente. De la misma manera, hay fenómenos que no pueden ocurrir en presencia de determinadas condiciones a estos primeros se les llama Fenómenos Determinísticos. Por ejemplo, si construimos una cisterna que tenga como medidas internas 3 m de largo, 2 m de ancho y 2 m de altura, inevitablemente se llenará con 12 mil litros de agua. Sin embargo, hay otros fenómenos que bajo un conjunto de condiciones dadas, no se puede predecir con certeza absoluta, el resultado final. Por ejemplo, el peso total y el número de huevos en un ciclo de postura de una gallina, el número de lechones y el peso de la camada al parto de una cerda, el número de días y la cantidad total de leche producida en una lactación de una vaca, etc. Este tipo de fenómenos en los que no se puede predecir con certeza absoluta el resultado final, se presentan con frecuencia en el campo científico de la Medicina Veterinaria y Zootecnia y se les llama Fenómenos Aleatorios. Por lo que, un fenómeno aleatorio lo podemos definir como un fenómeno empírico que se caracteriza por la propiedad de que su observación bajo un conjunto de condiciones dadas no siempre conduce al mismo resultado, es decir, no tiene una regularidad determinística sino que puede tener diferentes resultados, pero si presentar una regularidad Estadística. Entendiendo por regularidad estadística, la estabilización de la frecuencia relativa o porcentaje de ocurrencias de cada uno de los resultados del experimento en un número grande de pruebas. Por ejemplo, si observamos un gran número (500) de veces el sexo de los terneros nacidos en


una granja, se notaría que aproximadamente el 50% (250/500) de ellos serian machos y el otro 50% serian hembras y si aumentamos el número de observaciones (50 000) esta proporción de los sexos permanecerá constante, es decir este fenómeno tiene una regularidad estadística. La teoría de probabilidad nos explica en cierto modo esa regularidad estadística, nos dice la frecuencia relativa con que podemos esperar que ocurra un suceso particular en un gran número de ellos.

Espacio Muestral.

La información estadística se obtiene, ya sea por la observación de fenómenos aleatorios no controlados que se dan en la naturaleza, o por experimentos controlados en el laboratorio. Por lo que el término “experimento” se puede generalizar como el procedimiento por el cual se obtiene una observación de un fenómeno aleatorio. Si el experimento se repite muchas veces se tendrá muchas observaciones con resultados o medidas diferentes y se contará con una población de observaciones. Cada uno de los resultados se le llama Punto Muestral y a la población de observaciones Espacio Muestral. Así el Espacio Muestral de un fenómeno aleatorio es el conjunto de todos los puntos muestrales del experimento, es decir, el espacio muestral estará compuesto por todos los resultados posibles del fenómeno aleatorio y se denota generalmente por la letra “S”.

Así se tiene que si se observa el sexo al nacimiento de un lechón, el espacio muestral es: Ejemplo 3.1 S = {M, H}

Los puntos muestrales serian M (macho) y H (hembra).

Si asumimos que el número de lechones vivos al parto por una cerda va de 1 a 16, el espacio muestral sería:

Ejemplo 3.2 S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 }

Cualquier subconjunto de un espacio muestral se llama Evento o Suceso. Así, si A es un evento, (números pares, de lechones nacidos vivos al parto por una cerda) en el ejemplo 2. Entonces n(A) es el número de puntos muestrales que pertenecen al evento A.

n(A) = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16}

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Los sucesos que sin importar la forma como se presente el espacio muestral, estos nunca se traslapan, se les llama mutuamente excluyentes, esto quiere decir que si en el ejemplo 1, se presenta el nacimiento de un macho, esto imposibilita la ocurrencia de que sea hembra. Así también, en el ejemplo 2, la ocurrencia de un número par, imposibilita se exprese un número non.


Eventos Simples y Compuestos.

Los resultados que se derivan de los fenómenos aleatorios son sucesos aleatorios y estos pueden ser simples o compuestos.Si tomamos el ejemplo 2, referente al número de lechones vivos al parto por una cerda y lo describimos como eventos posibles, se tendrá que:

1. Evento E1: Nazca 1 lechón vivo.2. Evento E2: Nazca 2 lechones vivos.3. Evento E3: Nazca 3 lechones vivos.4. Evento E4: Nazca 4 lechones vivos.5. Evento E5: Nazca 5 lechones vivos.6. Evento E6: Nazca 6 lechones vivos.7. Evento E7: Nazca 7 lechones vivos.8. Evento E8: Nazca 8 lechones vivos.9. Evento E9: Nazca 9 lechones vivos.10.Evento E10: Nazca 10 lechones vivos.11.Evento E11: Nazca 11 lechones vivos.12.Evento E12: Nazca 12 lechones vivos.13.Evento E13: Nazca 13 lechones vivos.14.Evento E14: Nazca 14 lechones vivos.15.Evento E15: Nazca 15 lechones vivos.16.Evento E16: Nazca 16 lechones vivos.17.Evento A: Nazca un número par de lechones vivos.18.Evento B: Nazca mas de 10 lechones vivos.19.Evento C: Nazca menos de 8 lechones vivos.20.Evento D: Nazca mas de 8 pero menos de 10 lechones vivos.

Nótese que los eventos del 1 al 16 (E1 a E16), son sucesos que no se pueden descomponer en otros eventos y que cualquier observación de ésta llamado también punto muestral, produce uno y solo uno de los eventos, esto es que todos ellos son eventos simples al igual que el evento 20 o D, que resulta ser similar al evento E9. Pero los eventos A, B y C son sucesos compuestos ya que contienen varios sucesos simples. Así el evento C contiene a los eventos: E1, E2, E3, E4, E5, E6 y E7.

Bases de la Teoría de Conjuntos.

Si representamos el ejemplo 2 ya mencionado, por todos sus puntos muestrales o eventos simples usando el diagrama de Venn se tendría la figura 1.


Figura 1. Diagrama de Venn que representa los 16 puntos muestrales correspondientes al ejemplo 2 y contiene al número posible de lechones vivos nacidos al parto por una

cerda.

Por lo general la mayoría de los fenómenos biológicos se presentan como eventos que a su vez están formados por conjuntos de eventos o sucesos que tienen múltiples relaciones entre ellos y que hacen que el cálculo de la probabilidad del suceso se muestre complicado. La teoría de conjuntos puede resultar de gran utilidad para comprender mejor los conceptos de punto muestral, eventos, espacio muestral y las posibles relaciones entre ellos.

Conjuntos y Subconjuntos. Una colección o agrupación bien definida de objetos, individuos, seres o cosas se le llama Conjunto. Los elementos de un conjunto que a su vez forman parte de otro conjunto se les llama Subconjunto. Así, en el ejemplo 2, los 16 puntos muestrales serian los elementos de un conjunto que se podría llamar U y que corresponde al espacio muestral S, por lo que con fines práctico ambas ideas son equivalentes y la figura 1 la representa. Todos los números pares del conjunto U serian el subconjunto A y los números nones serian el subconjunto B, que equivalen al concepto de evento o suceso ya utilizado y se representaría en forma algebraica como:

U = A + B

Evento Complementario. Si A y B son los únicos subconjuntos del conjunto U, entonces A es complemento de B o B es complemento de A para formar el conjunto U. En notación algebraica al complemento de A se le representa como Ac

que seria en el ejemplo anterior igual a B.

U = A + Ac o U = B + Bc


Figura 2. Diagrama de Venn que representa al evento complementario.

Unión o Suma Lógica. Sea A y B dos eventos del espacio muestral S, la unión de estos dos eventos seria todos los puntos muestrales contenidos en A, en B, o en ambos y se denota como:

S = A B o S = A + B

Ejemplo 3.3

Si consideramos al evento A el que una cerda tenga al parto entre 6 y 10 lechones y al evento B entre 8 y 12, entonces la unión de los dos eventos que formaría el espacio muestral S sería:

Si A = [6, 7, 8, 9, 10] y B = [8, 9, 10, 11, 12]

Entonces S = A B = [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12]

Figura 3. Diagrama de Venn que representa la unión o suma lógica

Intersección. Cuando dos o más eventos de un espacio muestral comparten por lo menos un punto muestral en común, se dice que hay intersección entre ellos y se representa:

S = A B

En el ejemplo 3.3 citado anteriormente, se puede ver que los eventos A y B tienen puntos muestrales en común y serian:


Si A = [6, 7, 8, 9, 10] y B = [8, 9, 10, 11, 12]

Entonces S = A B = [8, 9, 10]

Figura 4. Diagrama de Venn que representa la intersección.

Inclusión. Se dice que el evento A incluye al evento B, si la ocurrencia de B implica la ocurrencia de A y se puede afirmar que B es un subconjunto de A , esta idea se representa como:

B A

Figura 5. Diagrama de Venn que representa la inclusión.

Igualdad. Dos sucesos son iguales si todos los puntos muestrales del evento A están contenidos en el suceso B y viceversa. Se puede notar que se cumple en la igualdad de dos eventos que:

A B y B A

A esta condición de igualdad de conjuntos se representa como:

A = B

Evento Nulo. El evento que no contiene puntos muestrales en el espacio muestral se conoce como Conjunto Vacío y por lo tanto no puede ocurrir. Se denota por Ø (letra griega “fi”) y puede verse que si S o U es un conjunto o espacio muestral bien definido, su complemento siempre será un conjunto vacío:

Sc = Ø o que: Uc = Ø


Reglas del Álgebra de Conjunto. Hasta este punto se han planteado algunas ideas generales de la teoría de conjuntos y a continuación describiremos sin entrar en detalles de las reglas básicas que se deben considerar en las operaciones algebraicas con conjuntos (Álgebra Booliana).

Dos eventos son mutuamente excluyentes si:

A . B = Ø

Siempre:

A + B = B + A ; A . B = B . A (Ley Conmutativa)

A + (B + C) = (A + B) + C ; A . (B . C) = (A . B) . C (Ley Asociativa)

A . (B + C) = A . B + A . C ; A + (B . C) = (A + B) . (A + C) (Ley Distributiva)

(A + B)c = Ac . Bc ; (A . B)c = Ac + Bc (Leyes de Morgan)

Otras relaciones de importancia:

A . Ø = Ø A . A = A

A + Ø = A A . S = A

A + A = A Ac . S = Ac

Si B A entonces B < A y A + B = A A . B = B

Definición de Probabilidad. La definición clásica de probabilidad fue formulada por Laplace en el siglo XIX, basado en los resultados de los juegos de azar. Si un evento “A” esta formado por “r” casos que lo favorecen dentro de un grupo de “n” eventos totales mutuamente excluyentes y con igual probabilidad de ocurrencia, entonces la probabilidad de “A” será:

P(A) =

Donde: P(A) = Probabilidad de que ocurra el evento “A”.r= Número de casos que favorecen se cumpla el evento “A”.n = Total de casos o universo de eventos.


Esta definición clásica también llamada “a priori” tiene básicamente tres propiedades que se cumplen bajo los supuestos: de que los eventos sean mutuamente excluyentes y que tengan igual probabilidad.

i. Para todo evento A del espacio S. P(A) ≥ 0ii. P(S) =1iii. Si un evento A es descompuesto en dos casos especiales B y C y los

tres eventos pertenecen el espacio muestral S, entonces:

P (A) = P (B) + P (C)

Ejemplo 3.4En el lanzamiento de un dado el espacio muestral S es:

S = [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ]

Cada uno de los resultados de este espacio muestral es mutuamente excluyente y tiene igual probabilidad de suceder y por lo tanto podemos calcular las probabilidades de los sucesos siguientes:

A. Que caiga el número 5.

P(A) =

B. que caiga un número “par”

P(B) =

Ejemplo 3.5.Con tres vacas próximas al parto podemos esperar respecto al sexo de sus crías, el siguiente espacio muestral:

S = {[♂♂♂], [♂♂Ю], [♂Ю♂], [Ю♂♂], [♂ЮЮ], [Ю♂Ю], [ЮЮ♂], [ЮЮЮ]}

También, cada uno de los resultados de este espacio muestral es mutuamente excluyente y tiene igual probabilidad de suceder y por lo tanto podemos calcular las probabilidades de los sucesos siguientes:

A. Que nazca solamente un macho.

P(A) = = 0.375

B. Que nazca por lo menos 2 machos.

P(A) = = = 0.5


Otra manera de definir la probabilidad de un evento A, es usando el concepto de Frecuencia Relativa, ya utilizado en el capitulo 2 en la sección de datos agrupados al formar la tabla de frecuencia una de las columnas se llama precisamente Frecuencia Relativa, de tal manera que la probabilidad de un evento A, es el valor de su Frecuencia Relativa, cuando el número de pruebas o puntos muestrales “n” tiende a ser grande.

P(A) = n → ∞.

Donde: n(A), es el número de sucesos del evento A en “n” pruebas.

Esta definición tiene la ventaja de que se puede usar en fenómenos donde los resultados no son mutuamente excluyentes o equiprobables, por lo que, resulta de gran utilidad en la práctica, al ser mas general que la definición clásica, ya que cumple las mismas propiedades que ésta y si los eventos no son mutuamente excluyentes entonces la “iii” propiedad, se expresa como:

P(A) = P(B) + P(C) – P(B.C)

La mayoría de los fenómenos biológicos son sucesos compuestos que requieren la enumeración de un gran número de puntos muestrales y en casi todos ellos la composición tiene lugar en forma de unión, intersección o en la combinación de ambas. De tal manera que la relación entre estos eventos pueden ser: condicional, dependientes e independientes.

Probabilidad Condicional. Cuando dos sucesos se relacionan de tal manera que la probabilidad de la ocurrencia de uno depende de si el otro ha ocurrido o no, asumimos que la probabilidad de este suceso esta condicionada a que el otro ya sucedió. Así la probabilidad condicional de A, dado que B ha ocurrido se expresa como P(A/B), y se define la probabilidad de B dado A y de A dado B, como:

P(B/A) = y P(A/B) =

Esta definición es consistente con el concepto de probabilidad basada en la frecuencia relativa, es decir , si definimos dos eventos A y B y condicionamos el suceso B al evento A, el espacio muestral quedaría reducido en este caso a los puntos del evento A, es decir:

n(S) = n(A)

De la misma forma, los puntos de B que cumplen la condición de A son aquellos que están en la intersección y por lo tanto:


Figura 6. Diagrama de Venn que denota la intersección de A y B para estimar la probabilidad condicional de P = (B/A)

P(B/A) = =

Ejemplo 3.6.Una cerda al parto, tuvo 10 lechones vivos de los cuales: 6 son hembras y 4 son machos. Se desea obtener de esta camada 2 muestras de sangre al azar. Encontrar la probabilidad de que la segunda muestra de sangre sea de una hembra dado que la primera fue también de una hembra.

Sí P(AB) = P(A) . P(B/A) = ( ) x ( ) = = = 0.3333

Entonces P(B/A) = = = = 0.5556

Eventos Dependientes e Independientes. Dos eventos son Dependientes si la ocurrencia de uno, cambia la probabilidad de ocurrencia del otro, en el ejemplo anterior se puede ver que el evento B es dependiente de A, ya que al ocurrir A (primera muestra de sangre de una hembra) su probabilidad es igual a 6/10, el evento B (segunda muestra de sangre, también de una hembra) modifica esta probabilidad y pasa a ser 5/9. También puede notarse que este tipo de sucesos se da en muestreos biológicos sin reemplazo. Por otra parte, el evento B se considera Independiente del evento A, si la probabilidad incondicional de B, es igual a la probabilidad condicional de B dado el suceso A, es decir:

Sí P(B/A) = P(B) entonces B es independiente de A

Así también, si B es independiente de A, entonces A será independiente de B, es decir que existe independencia mutua.


P(B/A) = P(B) y P(A/B) = P(A)

Sí los eventos A y B son independientes, entonces:

P(A.B) = P(A) . P(B)

Y también:

P (B/A) = = = P(B)

Ejemplo 3.7.

Se espera para una hembra de Pastor Alemán que tenga al parto 5 cachorros. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un cachorro macho en esa camada?

Precisando: A1 = Nacimiento de un cachorro macho P(A1) = = 0.5

A2 = Nacimiento de un cachorro hembra P(A2) = = 0.5

B = Nazca al menos un cachorro machoBc = No nazca ningún cachorro macho (todos sean hembras)

P(B) = 1 – P(Bc)

P(Bc) = P(A2 . A2 . A2 . A2 . A2 ) = ( )5 = 0.03125

P(B) = 1 – 0.03125 = 0.96875

De todo lo anterior discutido, podemos enunciar básicamente 2 leyes basadas en la clasificación de sucesos compuestos y en la relación que guardan entre si. El uso de las ecuaciones que a continuación se enumeran para estimar la probabilidad de un suceso compuesto no es tan directo y sencillo, se requiere buena dosis de experiencia e ingenio, el secreto esta en poder expresar el evento de interés como una unión, una intersección o una combinación de ambos entre dos o mas sucesos cuyas probabilidades de ocurrencias son conocidas o se pueden estimar fácilmente.

Ley de la Adición. Esta ley se aplica a la relación de unión de dos o más sucesos que comparten puntos muestrales en común.

La probabilidad de unión (A B) es igual:

P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)


Figura 7. Diagrama de Venn de unión.

Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, entonces P(AB) = 0, y la ecuación anterior se reduciría a:

P(A B ) = P(A) + P(B)

Figura 8. Diagrama de Venn de desunión.

Ley Multiplicativa. Si la relación entre dos o más sucesos se da por una intersección, entonces la probabilidad de un evento compuesto AB se puede estimar a partir del concepto de probabilidad condicional donde:

P(AB) = P(A) . P(B/A) o P(AB) = P(B) . P(A/B)

También: P(AB) = P(A) . P(B) si los sucesos A y B son independientes.

Ejemplo 3.8.Con el objeto de usar el mismo ejemplo para las dos leyes planteadas se asume el siguiente problema un poco mas elaborado: Suponga que se tienen dos granjas porcinas; la granja 1, tiene tres sementales de los cuales uno es reactor positivo a Auyesky sin que lo sepa el dueño, la granja 2, tiene solo un semental libre de dicha


enfermedad y adquiere un semental al azar de la granja 1. Al día siguiente se presenta en la granja 2, un técnico laboratorista y toma una muestra de sangre al azar de uno de los dos sementales que ya se tienen, con el objeto de monitorear la presencia o no, de anticuerpos para Auyesky. ¿Cuál será la probabilidad de que el semental muestreado este libre de anticuerpos para esta enfermedad?

Definiendo los sucesos siguientes tenemos que:

B1 = Adquirir de la granja 1, un semental sano.C1 = Adquirir de la granja 1, el semental positivo a Auyesky.B = Tomar la muestra de sangre en la granja 2, de un animal sano, habiendo adquirido un semental sano de la granja 1.C = Tomar la muestra de sangre en la granja 2, de un animal sano, habiendo adquirido el semental positivo de la granja 1.A = Tomar la muestra de sangre en la granja 2, de un animal sano (evento al que se desea estimar su probabilidad).

Así el evento A, será: A = (B C) y P(A) = P(B C)

El evento B será: B = B1. A y P(B) = P(B1. A)

El evento C será: C = C1. A y P(C) = P(C1. A)

Retomando el suceso A, tenemos que:

P(A) = P(B C) = P(B) + P(C) – P(BC)

Pero como, A y C son mutuamente excluyentes, P(BC) = 0. Entonces:

P(A) = P(B) + P(C) (Ley de la Adición)

Y como: P (B) = P (B1. A) = P (B1). P(A/B1) (Ley Multiplicativa)

P (B) = (2/3). (1) = 2/3 = 0.6667

Y: P(C) = P (C1. A) = P (C1) . P(A/C1)

P(C) = (1/3). (1/2) = 1/6 = 0.1667

Finalmente:

P(A) = P(B) + P(C) = (2/3) + (1/6) = 5/6 = 0.8334


Regla de la Descomposición. Otro concepto muy útil en el cálculo de probabilidades de sucesos compuestos es la regla de la descomposición, que tiene el sustento teórico siguiente:

Supóngase que se tiene “n” eventos A1, A2, …, An en un espacio muestral S, los cuales son mutuamente excluyentes y por lo tanto:

S = A1 + A2 + …+ An =

Si se tiene definido un evento B en el mismo espacio muestral S, a veces se puede simplificar el estimar la probabilidad de B en conjunción con los eventos An. Así un evento B definido en el mismo espacio muestral S podría representarse de la siguiente manera:

B = B. A1 + B.A2 + …+ B.An

Se forman nuevos eventos también mutuamente excluyentes, dados por las intersecciones entre B con Ai. Aplicando la ley de la adición se tendrá:

P (B) = P (B. A1) + P (B.A2) + …+ P (B.An) Aplicando a cada intersección la ley de la multiplicación se tendrá:

P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P( B/A2 )+ …+ P(An).P( B/An)

Y posteriormente condensando esta ecuación tendremos que:

P(B) = P(Ai) . P(B/Ai)

Teorema de Bayes. En el siglo XVIII, un clérigo ingles llamado Thomas Bayes propuso un teorema relacionado con la probabilidad condicional y que puede considerarse como relativamente simple si tomamos en cuenta las leyes y reglas ya discutidas. Este teorema deriva en una ecuación general de fácil aplicación:

P (Ai/B) =

Ejemplo 3.9.Suponga que un laboratorio farmacéutico ha importado 10 bovinos de dos razas Francesas, el hato esta compuesto de: 1 macho y 4 hembras Charoláis, 2 machos y 3 hembras Limousin. Tiene planeado rifarlas entre los ganaderos asistentes a la feria de Octubre en Guadalajara Jalisco, México. Si un ganadero tiene planeado asistir a dicha feria, ¿Cuál será la probabilidad de que se gane un macho de la raza Limousin?


Definiendo los sucesos siguientes tenemos que:

A1 = Macho P (A1) = P (Macho) = (3/10)A2 = Hembra P (A2) = P (Hembra) = (7/10)B = Raza Limousin P (B) = P (Limousin) = (5/10)

P (B/A1) = P (De que sea de la raza Limousin, si el animal es macho) = (2/3)P (B/A2) = P (De que sea de la raza Limousin, si el animal es hembra) = (3/7)P (A1/B) = P (Un macho de la raza Limousin) = Problema.

Particularizando la ecuación general del teorema de Bayes al problema, se tendrá:

P (A1/B) =

Sustituyendo:

P (A1/B) = =

P(A1/B) = 0.4

Ejemplo 3.10.

En un hato de vacas lecheras por estudios previos se conoce que el 10 % de la población están Brucelosas. Una vaca seleccionada al azar de este hato, es sometida a una prueba experimental para detectar dicha enfermedad la cual se estima tiene una sensibilidad de 95 %. Pero se ha observado que dicha prueba puede dar falsos positivos en 1%. ¿Cuál será la probabilidad de que dicha vaca tenga brucelosis si la prueba dio positiva?

P (A1/B) =

Definiendo las probabilidades parciales:

P (A1) = (0.1) vacas brucelosas.P (A2) = (0.9) vacas no brucelosas.P (B/A1) = (0.95) Prueba positiva dado que la vaca es brucelosa.P (B/A2) = (0.01) Prueba positiva dado que la vaca es sana.

P (A1/B) = = 0.9135

Ejemplo 3.11.


Un aparato de ultrasonido para diagnosticar gestación temprana en vacas, es utilizado para tal fin y se toma una vaca al azar de un hato donde se sospecha que el 50 % está gestante. Si la precisión del aparato según los fabricantes es de 97 %. Pero el aparato tiene un 5% de lecturas falsos positivos y el error del técnico al interpretar los resultados es de un 10 %. ¿Cuál será la probabilidad de que la vaca cuyo resultado fue positivo, esté realmente gestante?

P (A1/B1) =

Definiendo las probabilidades parciales:

A1 = % de gestantes P(A1) = 0.5A2 = % de no gestantes P(A2) = 0.4A3 = % de fallas del técnico (resultados sospechosos) P (A3) = 0.1B1 = gestación positiva por ultrasonido P (B1/A1) = 0.97 P (B1/A2) = 0.05 P (B1/A3) = .97B2 = gestación negativa por ultrasonidoP (A1/B1) = P (Vaca gestante dado que el ultrasonido la dio gestante) Problema.

P (A1/B1) = = 0.8056

En muchas ocasiones el lector se puede ver impedido en numerar o contar arreglos dados entre dos o mas sucesos, lo que complica aun mas, el cálculo de probabilidad de un evento compuesto, por lo que, es necesario retomar algunos conceptos discutidos en los cursos de Matemáticas del Bachillerato.

Número Factorial. Este concepto se representa con la letra n! y se define como:

n! = n (n -1). (n -2). (n -3)…1

Así :6! = 6 (6 – 1). (6 – 2). (6 – 3). (6 – 4). (6 - 5) = = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720

Así también:10! = 3 628 800

20! = 2.432902008 x 1018

0! = 11! = 12! = 23! = 6

4! = 24


5! = 120, etc.

Este tipo de numeración permite hacer operaciones matemáticas donde se requiere expresar arreglos cuyos resultados sean números muy grandes y donde el sistema decimal es poco útil.

Permutación. Una manera de contar arreglos ordenados de “n” objetos tomando solamente “r” de ellos, es mediante el concepto de Permutación, cuya ecuación general es:

nPr =

Donde: nPr, es el número de arreglos permutables que se obtienen cuando se toman r objetos de un total n de ellos.

Ejemplo 3.12. Si se tiene un alfabeto de solo 3 letras, ¿Cuántas palabras de tres letras se pueden formar sin que se repita más de una vez cada letra? Contar los arreglos (palabras) de este problema es relativamente fácil y no se requiere de una ecuación como la anterior, solo basta con que se ordenen las tres letras que formarían cada palabra y se tendría la respuesta:

ABCACBBACBCACABCBA

Que sería seis. Pero si usamos la ecuación se tendría que n = r = 3 y por lo tanto:

nPr = = = = = 6

Pero si la pregunta fuera: ¿Cuántas palabras de dos letras se pueden formar sin que se repita más de una vez cada letra? Entonces los arreglos serían:

ABACBABCCACB

Ya que n = 3 pero r = 2, usando la ecuación se tiene:


nPr = = = = = 6

Ahora bien, cuando el problema es mas complicado, no resulta fácil desplegar todos los arreglos posibles y la ecuación resulta de gran utilidad para calcular estos.

Ejemplo 3.13. Si una cerda al parto tiene 14 tetas útiles y pare 10 lechones vivos. ¿De cuantas formas diferentes se pueden acomodar los cerditos para mamar?

Si n =14 y r = 10, entonces:

nPr = = = = = 3 632 428

800

Este respetable número de tres mil seiscientos treinta y dos millones cuatrocientos veintiocho mil ochocientos, son las formas diferentes en que la cerda podría amamantar a sus lechones. Afortunadamente, éstos solos se acomodan.

Combinación. Otra manera de contar arreglos de “n” objetos seleccionando “r” de ellos sin importar el orden, se conoce como arreglos de Combinación y la ecuación que la representa es:

nCr =

Donde: nCr, es el número de arreglos de combinación que se obtienen cuando se toman r objetos de un total n de ellos sin considerar el orden.

Ejemplo 3.14. Si se toman los mismos valores del ejemplo 12 pero ahora se plantea de la siguiente manera. Suponga que se tiene en una casa 3 perros (n = 3) y se desea obtener una muestra de sangre de ellos de tamaño 3 (r = 3). ¿Cuántas muestras diferentes se podrán tomar?.

nCr = = = = 1

Se puede notar que independientemente del orden en que se sangren los perros los arreglos que se pueden obtener solo es 1.


Ahora bien, si se desea obtener una muestra de sangre de ellos de tamaño 2. ¿Cuántas muestras diferentes se podrán tomar?

Ya que n = 3 pero r = 2, usando la ecuación se tiene:

nCr = = = = 3

Ejemplo 3.15.

Si en un corral de bovinos de engorda se tienen 40 toretes y se desea obtener una muestra de sangre de 8 animales seleccionados al azar. ¿Cuántas muestras diferentes de ese tamaño se pueden esperar?

Si n = 40 y r = 8, entonces se tendrá:

nCr = = = 76 904 685

Bibliografía Consultada.

Chao, L. L. 1993. Introducción a la estadística. Editorial CECSA. Séptima reimpresión de la Primera edición en español. México, D.F.

Cristófoli, Ma. E. y Belliard M. 2007. Manual de estadística con Excel. Omicron System S.A. Buenos Aires, Argentina.

Mendenhall, W. 1987. Introducción a la probabilidad y a la estadística. Grupo Editorial Iberoamérica. Primera edición. México, D.F.

Springer, C. H., Herlihy, R.E., Beggs, R. I. 1972a. Matemáticas Básicas. Serie de Matemáticas para la dirección de negocios. Tomo 1. Editorial UTEHA. Primera edición. México, D.F.

Springer, C. H., Herlihy, R.E., Beggs, R. I. 1972b. Métodos avanzados y modelos. Serie de Matemáticas para la dirección de negocios. Tomo II. Editorial UTEHA. Primera edición. México, D.F.

Springer, C. H., Herlihy, R.E., Mall, R.T.,Beggs, R. I. 1972c. Inferencia estadística. Serie de Matemáticas para la dirección de negocios. Tomo III. Editorial UTEHA. Primera edición. México, D.F.


Springer, C. H., Herlihy, R.E., Mall, R.T.,Beggs, R. I. 1972d. Modelos probabilisticos. Serie de Matemáticas para la dirección de negocios. Tomo IV. Editorial UTEHA. Primera edición. México, D.F.

Schefler, W. C. 1981. Bioestadística. Fondo Educativo Interamericano, S.A. Primera edición. México, D.F.

Daniel, W. W. ( ). Bioestadística. Base para el análisis de las ciencias de la salud. Editorial Linusa Noriega Editores. 4ª Edición. México, D.F.

Johnson, R. 1995. Estadística elemental. Grupo Editorial Iberoamérica. Primera edición. México, D.F.

Sigarroa, A. 1985. Biometría y diseño experimental. Primera parte. Editorial Pueblo y Educación. Cuba.

Dawson-Saunders, B. y Trapo, R.G. ( ) . Bioestadística Médica. Editorial Manual Moderno. Segunda edición. México, D.F.

Remington, R. D. y Schork, M. A. 1977. Estadística biometrica y sanitaria. Editorial Prentice/ Hall Internacional. España.

Steel, R. G. D. y Torrie, J. H. 1986. Bioestadística. Principios y procedimientos. 2ª edición. Editorial Mc Graw-Hill. México, D.F.

Siegel, S. 1974. Estadistica no Paramétrica. Aplicada a las ciencias de la conducta. Ed. Trillas. Mexico D F.

Documents

CAPÍTULO 3. Introducción a La Probabilidad