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Las líneas de transmisión tienen un comportamiento distinto en alta frecuencia y requiere de otro análisis.
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3.6 La Carta de Smith
3.6 La Carta de Smith
Antes de la era de las computadoras existían métodos gráficos de ayuda para el análisis y diseño de circuitos de alta frecuencia.
La Carta de Smith desarrollada por P. H. Smith en 1939 es la técnica gráfica más utilizada en la actualidad y se ha convertido en el principal medio de presentación de CAD (Computer-aided design) y equipos de medición de circuitos RF.
La Carta de Smith evita el tedioso manejo de números complejos y permite crear circuitos de adaptación de impedancias con relativa facilidad.
3.6 La Carta de Smith
Recordemos que:
Donde:
y
La Carta de Smith es una representación del coeficiente de reflexión (Γ) en coordenadas rectangulares circunscrita dentro de un círculo unitario. Recordemos que |Γ|≤1.
(3.56)
3.6 La Carta de Smith
1
-1 1
-1
i
r
r
círculo unitario
3.6 La Carta de Smith
Recordemos que:
Donde es la impedancia de carga normalizada a
[adimensional] La carta de Smith es también una
representación de la impedancia de carga normalizada en coordenadas curvilíneas.
(3.57)
(3.58)
Círculo de resistencia cero (rL=0)
círculos de resistencia constante
Eje de reactancia cero (xL=0)
ramas de reactancia constante
𝔷𝐿=0 𝔷𝐿=1 𝔷𝐿=∞
¡En este círculo la impedancia será puramente imaginaria!
¡En este eje la impedancia será puramente real y positiva!
3.6 La Carta de Smith
En el perímetro de la Carta de Smith se ubican cuatro escalas concéntricas. Una de ellas representa el ángulo del coeficiente de reflexión en grados.
La magnitud del coeficiente de reflexión se puede encontrar utilizando una de las reglas ubicadas en la parte inferior de la carta.
[Ejemplos]
3.6 La Carta de Smith
Para hallar impedancias de entrada con la carta de Smith, primero recordemos que:
Definimos la impedancia de entrada normalizada:
(3.58) y (3.60) se diferencian únicamente en una fase de en coeficiente de reflexión asociado a con respecto al de .
(3.59)
(3.60)
𝔷𝐿=𝑍 𝐿
𝑍0
= 1+Γ1−Γ
en grados (2βl) o en fracciones de longitud de onda
1 vuelta =
2π
2βl = 2π
2(2π/λ)l =
2π
l = λ/2
círculo alrededor del centro de la carta
→Una vuelta a la carta equivale a rotar una longitud de λ/2
𝔷𝐿
Γ 𝐿
Γ 𝐿𝑒− 𝑗 2𝛽 𝑙=Γ 𝑖𝑛(− 𝑙)
𝔷𝑖𝑛 (−𝑙 )
3.6 La Carta de Smith
Una vuelta en la Carta de Smith corresponde a 360° de cambio de fase del coeficiente de reflexión o a media longitud de onda 0.5λ.
En el perímetro de la Carta de Smith existe una escala llamada “longitudes de onda hacia el generador”. Esta escala sirve para generar un desplazamiento del punto en análisis a lo largo de la línea de transmisión en el sentido hacia el generador. Dicho desplazamiento vendrá dado en múltiplos de la longitud de onda λ.
Esta idea es utilizada para hallar la impedancia de entrada (o impedancia equivalente) en cualquier punto de la línea.
3.6 La Carta de Smith
Un desplazamiento a lo largo de la línea de transmisión de cierto número de longitudes de onda hacia el generador implica una rotación en la Carta de Smith en sentido horario.
Ciertos problemas pueden requerir hallar una impedancia equivalente en un punto más cercano a la carga, para ello existe también una escala llamada “longitudes de onda hacia la carga” que implica una rotación en sentido anti-horario en la Carta de Smith.
1408.0 je
808.0 je
Círculo de Γ constante o círculo SWR
3.6 La Carta de Smith
Para hallar el SWR y la ubicación de los máximos y mínimos la ecuación (3.60) puede ser escrita:
La impedancia de entrada normalizada tendrá un máximo si , es decir y será:
En el punto donde ocurre un máximo para la impedancia de entrada ocurrirá también un máximo para el voltaje y un mínimo para la corriente.
(3.61)
3.6 La Carta de Smith
La impedancia de entrada normalizada tendrá un mínimo si , es decir y será:
En el punto donde ocurre un mínimo para la impedancia de entrada ocurrirá también un mínimo para el voltaje y un máximo para la corriente.
(3.62)
El valor numérico del SWR puede ser encontrado utilizando una de las reglas ubicadas en la parte inferior de la Carta de Smith.
[Ejemplos]
min
~V
max
~I
max
~V
min
~I
𝔷𝑖𝑛𝑚 𝑖𝑛
𝔷𝑖𝑛𝑚𝑎𝑥
𝔷𝐿❑
3.6 La Carta de Smith
Para trasformar impedancias en admitancias, sabemos que:
y
Definimos la admitancia normalizada como:
[adminesional] (3.63)
Lz
Ly
3.6 La Carta de Smith
Tener presente que:
Y que:
jXRZ
impedancia
resistencia
reactancia
jBGY
admitancia
conductancia
susceptancia
𝓎=ℊ+ 𝑗𝒷
