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1Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
Capítulo 3SLITs
Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo3.1 Introdução3.2 Representação em modelo de estado3.3 Sistemas SISO3.4 Sistemas MIMO multi-dimensionais3.5 Modelo de espaço de estados contínuos3.6 Resposta impulsiva e convolução
2Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.1 Introdução
– O estado de um sistema representa o sumário do seu passado– Os sistemas anteriores apresentavam um número finito de estados– Muitos dos sistemas que nos rodeiam apresentam um número
infinito de estados– Vamos passar a considerar sistemas com um número infinito de
estados• O espaço de estados, os alfabetos de entrada e de saída, são conjuntos
numéricos (i.e. reais)• É necessário que a função de actualização seja linear
– Apesar destas restrições obtemos um conjunto muito rico de métodos analíticos para estudar e analisar os sistemas
– Regressamos à noção de tempo
3Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.1 Introdução
– Vamos estudar máquinas de estado nas quais• Estados = ReaisN
• Entradas = ReaisM
• Saídas = ReaisK
– Sistemas MIMO (Multiple-input, multiple-output)– Sistemas SISO (Single-input, single-output)– N é a dimensão do sistema– Exemplo: Um sistema de áudio estéreo, sistema de cinema em casa
4Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.2 Representação em modelo de estado
• Definição– Uma máquina de estados determinística é um 5-tuplo
• M = (Estados, Entradas, Saídas, Actualização, EstadoInicial)• A função de Actualização tem a forma
Actualização: ReaisN x ReaisM → ReaisN x ReaisK
• Vamos analisar esta função em duas partesActualização = (EstadoSeguinte,Saída)
EstadoSeguinte:ReaisN x ReaisM → ReaisN
Saída:ReaisN x ReaisM → ReaisK
tal que∀ s ∈ ReaisN, ∀ x ∈ ReaisM,
Actualização(s,x)=(EstadoSeguinte(s,x),Saída(s,x))
• Estas duas equações mostram-nos como obter o estado seguinte e a saída actual como uma função do estado e da entrada actuais
5Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.2 Representação em modelo de estado
– Dada uma sequência de entrada x(0),x(1),... de M-tuplos em ReaisM,
o sistema recursivamente gera a resposta dos estados s(0),s(1),... de N-tuplos em ReaisN
e a resposta de saída y(0),y(1),... de K-tuplos em ReaisK
s(0)=EstadoInicial∀ n ∈ Inteiros, n≥0, s(n+1) = EstadoSeguinte(s(n),x(n))
Equação de Actualização do Estado∀ n ∈ Inteiros, n≥0, y(n) = Saída(s(n),x(n))
Equação de saída– As equações anteriores são denominadas de Modelo de Espaço de
Estados do sistema
6Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.2 Representação em modelo de estado
– Este sistema é designado como um sistema linear se o estado inicial é um N-tuple de zeros e se as funções EstadoSeguinte e Saída são funções lineares
– Este sistema é designado invariante no tempo se as funções EstadoSeguinte e Saída não mudam com o tempo
– Se as condições se verificarem estamos perante um sistema linear e invariante no tempo (SLIT)
7Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.2 Representação em modelo de estado
– A função EstadoSeguinte é representada por uma matriz Nx(N+M)– A função Saída é representada por uma matriz Kx(N+M)
EstadoSeguinte(s(n),x(n))=As(n)+Bx(n)A é uma matriz NxNB é uma matriz NxM
Saída(s(n),x(n))=Cs(n)+Dx(n)C é uma matriz KxND é uma matriz KxM
– Representação do modelo em espaço de estados ou representação A,B,C,D
s(n+1)=As(n)+Bx(n)y(n)=Cs(n)+Dx(n)
8Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
– Conclui-se que N=3, M=1 e K=1 (trata-se de um sistema SISO tridimensional)
s1(n+1) = s1(n) + s2(n)s2(n+1) = s2(n) + s3(n)s3(n+1) = s3(n) + x(n)
y(n) = s1(n) + x(n)
• Exemplo– Considere as seguintes matrizes:
3.2 Representação em modelo de estado
[ ] [ ]1,001,100
,100110011
==⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡= DeCBA
9Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.2 Representação em modelo de estado
• Exemplo– O efeito de eco pode ser obtido para sinais áudio através de
y(n) = x(n) + α y(n-N)onde 0 ≤ α ≤ 1 é uma constante real
– As constantes α e N determinam a duração do eco e a forma como soa– Tem que se definir o estado
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−
=
)(...
)2()1(
)(
Nny
nyny
ns [ ] [ ]1,0...0,
0...01
,
01...00...............00...1000...01
0...00
==
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
= DeCBA α
α
10Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.2 Representação em modelo de estado
• Resposta impulsiva– A representação em modelo de estado dá-nos uma descrição
completa de um SLIT• Dado qualquer sinal de entrada conseguimos calcular o sinal de saída
– A resposta impulsiva é outra descrição completa de um SLIT• Para os sistemas inicialmente em repouso a resposta impulsiva
permite-nos calcular o sinal de saída conhecido o sinal de entrada • Esse cálculo é realizado através da convolução• A resposta impulsiva é a definição da saída do sistema quando na
entrada temos um impulso δ(n), conhecida como função delta de Kronecker
⎩⎨⎧
≠=
=∈∀0001
)(,nsense
nInteirosn δ
n
δ(n)1
11Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.2 Representação em modelo de estado
– Problema: Determine a resposta impulsiva do sistema considerando a situação inicial de repouso, i.e. s(0)=0
s(n+1)=As(n)+Bx(n)y(n)=Cs(n)+Dx(n)
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥=<
=∈∀− 1
000
)(,1 nseBCA
nseDnse
nhInteirosnn
12Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.3 Sistemas SISO
– Neste caso N=M=K=1 e a representação [A,B,C,D] transforma-se simplesmente em [a,b,c,d] que são constantes escalares
s(n+1) = a s(n) + b x(n)y(n) = c s(n) + d x(n)
– O EstadoInicial = s(0)– Neste caso o estado do sistema é um número real, assim como a
entrada e a saída
13Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.3 Sistemas SISO
– Exemplo:• Consideremos o exemplo da média móvel
∀ n ∈ Inteiros, n≥0, y(n) = (x(n)+x(n-1))/2 • Não é uma representação em modelo de espaço de estados pois a saída
vem expressa em termos da entrada actual e passada, e não do estado• Precisamos de definir o que é o estado
– O estado é um sumário do passado– Podemos neste caso definir o estado como
∀ n ∈ Inteiros, n≥0, s(n) = x(n-1) • Assumimos que o sistema está em repouso inicial, s(0)=0• Representação em modelo de espaço de estados
a=0, b=1, c=1/2, d=1/2s(n+1) = x(n)
y(n) = 1/2 s(n) + 1/2 x(n)
14Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.3 Sistemas SISO
– Exemplo:• Considere um sistema SISO
s(n+1) = a s(n) + b x(n)y(n) = c s(n) + d x(n)
• Substituindo a 1ª eq. na 2ª obtemosy(n) = c (a s(n-1) + b x(n-1)) + d x(n)
• Comoy(n-1) = c s(n-1) + d x(n-1)
obtemosy(n) - a y(n-1) = d x(n) + (cb-ad) x(n-1)
• Podemos generalizar para outras dimensões
15Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
– Pretendemos obter uma expressão genérica para s(n)e y(n) para n≥0
– Se o sistema está inicialmente em repouso, s(0)=0, ficamos apenas com o segundo termo que é denominado resposta do estado zero
– Se a sequência de entrada é zero, x(0)=x(1)=x(2)=...=0, ficamos apenas com o primeiro termo denominado de resposta de entrada zero
• Obtemos uma sequência exponencial, em que para s(0)≠0 obtemos s(n)→0 à medida que n→∞, sse |a|<1, situação em que o sistema é estável
3.3 Sistemas SISO
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= ∑−
=
−−1
0
1 )()0()(n
m
mnn mbxasans
)()()0()(1
0
1 ndxmbxcasacnyn
m
mnn +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= ∑−
=
−−
16Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.3 Sistemas SISO
• Sistemas SISO mas com N>1
– Na representação em modelo de estado genérica temos:• A (NxN), B (NxM), C (KxN), D (KxM)
– Nestes sistemas passamos a ter:• A (NxN), B (Nx1), C (1xN), D (1x1)• Vamos usar B=b, C=cT e D=d onde b e c são vectores coluna N-
dimensionais e d é um escalar
s(n+1) = A s(n) + b x(n)y(n) = cT s(n) + d x(n)
17Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.3 Sistemas SISO
– Resposta de estado
– Resposta impulsiva
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= ∑−
=
−−1
0
1 )()0()(n
m
mnn mbxAsAns
)()()0()(1
0
1 ndxmbxAcsAcnyn
m
mnTnT +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= ∑−
=
−−
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥=<
=− 1
000
)(1 nsebAc
nsednse
nhnT
18Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
)(__
)2()1(
____
)1()(
)1( nxnxnx
nxnx
ns ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=+
3.3 Sistemas SISO
– Exemplo: Média móvel• A forma genérica da média móvel é dada por
• Se fizermos M=3 obtemos
• Escolhendo
• Obtemos
∑−
=−=∈∀
1
0)(1)(,
M
kknx
MnyInteirosn
( ))2()1()(31)(, −+−+=∈∀ nxnxnxnyInteirosn
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
=)2()1(
)(nxnx
ns
)(01
)2()1(
0100
)1()(
)1( nxnxnx
nxnx
ns ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=+
[ ] )(_)2()1(
__)( nxnxnx
ny +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
= )(31
)2()1(
31
31)( nx
nxnx
ny +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
19Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.3 Sistemas SISO
• Nem sempre é fácil calcular An-1
• Podemos calcular a resposta impulsiva através da aplicação de δ(n) na entrada
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥=<
=− 1
000
)(1 nsebAc
nsednse
nhnT ⎪
⎩
⎪⎨
⎧
≥
<≤
<
=
30
3031
00
nse
nse
nse
∑−
=−=∈∀
1
0)(1)(,
M
kkn
MnhInteirosn δ
( ))2()1()(31
−+−+= nnn δδδ
• Cálculo da resposta impulsiva
∑=
−=2
0)(
31
kknδ Para M=3
20Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.4 Sistemas MIMO multi-dimensionais
– A representação do modelo em espaço de estados é dada pors(n+1)=As(n)+Bx(n)y(n)=Cs(n)+Dx(n)
onde A (NxN), B (NxM), C (KxN), D (KxM)– A resposta de estado passa a ser dada para n≥0 por
e a sequência de saída por
– Neste caso não podemos falar em resposta impulsiva, porque a entrada não pode ser o impulso
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= ∑−
=
−−1
0
1 )()0()(n
m
mnn mBxAsAns
)()()0()(1
0
1 nDxmBxCAsACnyn
m
mnn +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
+= ∑−
=
−−
21Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.5 Modelo de espaço de estados contínuos
– A representação em modelo de espaço de estados de um SLIT SISO contínuo tem a forma
∀ t∈ Reais+, ż(t) = A z(t) + b v(t)w(t) = cT z(t) + d v(t)
onde• z:Reais+→ReaisN representa a resposta de estado• ż(t) é a derivada de z em relação a t avaliada em t∈ Reais+
• v:Reais+→Reais é o sinal de entrada• w:Reais+→Reais é o sinal de saída
– Os sistemas contínuos já não são máquinas de estados– No entanto partilham muitas propriedades com os sistemas
discretos
22Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
• Resposta impulsiva– A resposta impulsiva definida para sistemas SISO é dada por
– Combinando esta definição com
obtemos
que pode ser generalizada para
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥=<
=∈∀− 1
000
)(,1 nsebca
nsednse
nhInteirosnn
)()()(1
0
1 ndxmbxcanyn
m
mn +⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
= ∑−
=
−−
∑=
−=≥∀n
mmxmnhnyn
0)()()(,0
∑∞
−∞=−=∈∀
mmxmnhnyInteirosn )()()(,
23Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
• Convolução– A resposta impulsiva de um SLIT é a saída do sistema quando a
entrada é o impulso– Se o sistema estiver inicialmente em repouso, a saída é dada pela
convolução da entrada e da resposta impulsiva– Definição de convolução
∑∞
−∞=−=∗=∈∀
mmxmnhnxnhnyInteirosn )()()()()(,
∫∞
∞−
−=∗=∈∀ τττ dxthtxthtyReaist )()()()()(,
24Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
• Propriedades da convolução
– O operador de convolução é comutativo
– Demonstrar
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=−=−=∗=∈∀
mmmnxmhmxmnhnxnhnyInteirosn )()()()()()()(,
∫∫∞
∞−
∞
∞−
−=−=∗=∈∀ ττττττ dtxhdxthtxthtyReaist )()()()()()()(,
25Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
– O operador de convolução é linear• Se x, h1 e h2 forem três sinais e a1 e a2 constantes reais então
• Demonstração
))()(())()(())()(()()( 22112211 nhnxanhnxanhanhanxny ∗+∗=+∗=
))()(())()(())()(()()( 22112211 thtxathtxathathatxty ∗+∗=+∗=
))()(())()((
)()()()(
))()(()(
))()(()()(
2211
2211
2211
2211
nhnxanhnxa
mhmnxamhmnxa
mhamhamnx
nhanhanxny
mm
m
∗+∗=
=−+−=
=+−=
=+∗=
∑∑
∑∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
26Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
– Invariância temporal
)(
)())((
)())((
)()(
)()()(
0
0
0
0
01
nny
kxknnh
kxnknh
nmxmnh
nnxnhny
k
k
m
−=
=−−=
=+−=
=−−=
=−∗=
∑
∑
∑
∞
−∞=
∞
−∞=
∞
−∞=
)()()( 00 nnxnhnny −∗=−
∑∞
−∞=−=∗=
mmxmnhnxnhny )()()()()(
27Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
– Exemplo da convolução• Considere um sinal h(n) definido
⎩⎨⎧ ∈
=∈∀casosoutros
nsenhInteirosn
0}2,1,0{3/1
)(,
3/))2()1()((
)()3/1(
)()(
)()()(
2
0
−+−+=
=−=
=−=
=∗=
∑
∑
=
∞
−∞=
nxnxnx
mnx
mnxmh
nxnhny
m
m
28Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
• Impulsos– Função delta de Kronecker
– Função delta de Dirac
⎩⎨⎧
≠=
=∈∀0001
)(,nsense
nInteirosn δ
n
δ(n)1
0)(,0 =≠∈∀ ttondeeReaisn δ
t
δ(t)1
∫−
=>ε
ε
δε 1)(,0 dttqualquerparae
29Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
• Função escalão unitário
⎩⎨⎧
<≥
=∈∀0001
)(,nsense
nuInteirosn
n
u(n) 1
... ...
t
u(t)1
⎩⎨⎧
<≥
=∈∀0001
)(,tsetse
tuReaist
30Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
• Sinais como a soma pesada de funções delta– Qualquer sinal discreto x:Inteiros→Reais pode ser expresso como
uma soma pesada de funções delta:
– Qualquer sinal contínuo x:Reais→Reais pode ser expresso como um integral de funções delta pesadas:
∑∞
−∞=−=∈∀
kknkxnxInteirosn )()()(, δ
∫∞
∞−
−=∈∀ ττδτ dtxtxReaist )()()(,
31Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
• Exemplos– Discreto
– Contínuo
⎩⎨⎧ ∈
=∈∀casosoutros
nsenhInteirosn
0}2,1,0{3/1
)(,
t
h(t)1/3
0 3
∫∫ −=−=∈∀∞
∞−
3
0)()3/1()()()(, ττδττδτ dtdththReaist
32Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
• Estabilidade– Sistema estável se para uma entrada limitada obtemos uma saída
limitada – Definição de estabilidade a partir da resposta impulsiva
• Se h(n) é absolutamente somável• Se h(n) é absolutamente integrável
• Causalidade– Sistema causal se a saída num dado instante depende apenas da
entrada naquele instante ou em instantes anteriores– Definição de causalidade a partir da resposta impulsiva
• Se h(n)=0 para n<0 então o sistema é causal
33Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
– Sistema IIR (Infinite Impulse Response)• Se a resposta impulsiva é de duração infinita
– Sistema FIR (Finite Impulse Response)• Se a resposta impulsiva é de duração finita
34Sistemas e Sinais - LEIC - 2007/2008 - 2º Semestre - João P. Neto
3.6 Resposta impulsiva e convolução
– Exemplos:
• Considere um SLIT discreto representado pela resposta impulsiva h(n)=u(n)-u(n-3). Determine o sinal de saída y(n) quando a entrada for x(n)=δ(n+2)-2δ(n-1). Resolva graficamente e analiticamente.
• Considere um SLIT contínuo representado pela resposta impulsiva h(t)=2e-tu(t). Determine o sinal de saída y(t) quando a entrada for x(t)=u(t)+u(t-2)-2u(t-3).