MATRICEMATRICESSOrlando Miguel Ospino Ospino   Cod

2073782Diego Leonardo Ferreira Ortiz Cod 2073477Nafis Badrán Lizarazo Cod 2072339Erika Johana Villarreal Villarreal Cod 2073468Francy Guerrero Zabala Cod 2080751Diego Fernando Gómez Páez                Cod 2072320

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Un sistema lineal es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. De la siguiente forma:

--a son los coeficientes constantes-- b son los términos independientes constantes --n es el número de ecuaciones

NOTACIÓN MATRICIAL

Una matriz consiste en un arreglo rectangular de elementos representado por un solo símbolo. Como se muestra en la figura, [A] es la notación breve para la matriz y aij designa un elemento individual de la matriz.

Un conjunto horizontal de elementos se llama renglón (o fila); y uno vertical, columna.

El primer subíndice i designa el número de renglón en el cual está el elemento. El subíndice j indica la columna. Por ejemplo, el elemento a23 está en el renglón 2 y la columna 3.

Tipo de matriz Definición Ejemplo

FILA Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden  1×n

COLUMNA Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden  m×1

RECTANGULAR Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden  m×n ,

TRASPUESTA Dada una matriz  A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas.Se representa por  At  ó  AT

OPUESTALa matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de  A  es   -A.

NULASi todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n

TIPOS DE MATRICES

Tipo de matriz Definición Ejemplo

TIPOS DE MATRICES

CUADRADA

Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n.

Diagonal principal : son los elementos  a11 , a22 , ..., ann 

Diagonal secundaria : son los elementos  aij con  

i+j = n+1

Traza de una matriz cuadrada: es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.

Diagonal principal :

Diagonal secundaria :

SIMÉTRICAEs una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta.

A = At  , aij = aji

ANTISIMÉTRICA

Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta.

A = -At  , aij = -aji

Necesariamente  aii = 0  

DIAGONAL

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal

ESCALAREs una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales

Tipo de matriz Definición Ejemplo

TIPOS DE MATRICES

IDÉNTICA

Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.

TRIANGULAR

Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.

ORTOGONAL

Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal.El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.

Tipo de matriz Definición Ejemplo

TIPOS DE MATRICES

NORMAL

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.

INVERSA

Decimos que una matriz cuadrada  A   tiene inversa, A-1, si se verifica que :A·A-1 = A-1·A = I

MATRIZ BANDEADA

Es una matriz que tiene todos sus elementos cero, excepto los de una banda centrada en la diagonal principal.

Matriz tridiagonal: ancho de banda de 3.

MATRIZ AMPLIADA O AUMENTADA

Es la que está formada por la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes, los cuales se acostumbra separar con una línea de puntos.

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Para multiplicar 2 matrices será necesario cumplir el siguiente requisito:

El número de columnas de la primera matriz deberá ser igual al número de filas de la segunda.

Este requisito en termino de orden será: (m,p)x(p,n)=(m,n). Donde el orden de la primera matriz es (m,p), y de la segunda matriz es (p,n), por tanto el orden de la matriz resultante sera (m,n).

• La primera fila de A por todas las columnas de B, generara la primera fila de la matriz producto AB.

• La segunda fila de A por todas las columnas de B, generara la segunda fila de la matriz producto AB.

• La tercera fila de A por todas las columnas de B, generara la tercera fila de la matriz producto AB, y así sucesivamente.

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES

Ejemplo: hallar el producto de AB

El orden de A es (5,3) y el de B es (3,2), luego el orden de la matriz producto será (5,2)

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un concepto fundamental del algebra lineal con el cual se determina la existencia y la unidad de los resultados de los sistemas de ecuaciones lineales. Para representar el determinante de una matriz A usaremos det A, aunque también se acostumbra utilizar la notación |A|.

El determinante está asociado a cualquier matriz cuadrada

DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

Forma 2: si A es una matriz de mxm entonces para cualquier valor i y j, el ij-esimo menor de A (Aij) es la sub matriz (m – 1)x(m – 1) de A obtenida luego de eliminar el renglon i y la columna j de A.

Esta formula se denomina expiación del det A por medio de cofactores de renglón i. La ventaja de esta fórmula es que disminuye el cálculo del det A para una matriz de mxm cálculos que requieren solo matrices (m – 1)x(m – 1). Se aplica la formula hasta que det A pueda ser expresado en términos de matrices de 2x2. Después se encuentran los determinantes de las matrices 2x2 pertinentes.

 

NOTACIÓN MATRICIAL

Ejemplo : determinar el determinante de la matriz A

Se expande det A por medio de cofactores del renglón 1. Observe que a11 = 1, a12 = 2, a13 = 3.

SOLUCIÓN DE SISTEMAS PEQUEÑOS DE ECUACIONES

Antes de analizar los métodos computacionales, describiremos algunos métodos que son apropiados en la solución de pequeños sistemas de ecuaciones simultaneas que no requieren de una computadora, Estos son:•Método grafico•Regla de cramer•Eliminación de incógnitas

MÉTODO GRAFICO

Para dos ecuaciones se pueden obtener una solución al graficarlas en coordenadas cartesianas con un eje que corresponda a x1 y el otro x2. Debido a que en estos sistemas lineales, cada ecuación se relaciona con una línea recta, lo cual se ilustra fácilmente mediantes las ecuaciones generales.

a11 x1 + a12x2 = b1 a21 x1 + a22x2 = b2

despejando x2.

MÉTODO GRAFICO

Con el método grafico resuelva:

MÉTODO GRAFICO

Para tres ecuaciones simultaneas, cada ecuación se representa como un plano en un sistema de coordenadas tridimensional. El punto en donde se intersecan los tres planos representa la solución. Para más de tres incógnitas, los métodos gráficos no funcionan y por consiguiente, tienen poco valor práctico para resolver ecuaciones simultáneas. No obstante, resultan útiles para visualizar propiedades de las soluciones

Por ejemplo, la figura 2 muestra tres casos que pueden ocasionar problemas al resolver sistemas de ecuaciones lineales. La figura 2a presenta el caso en que las dos ecuaciones representan líneas paralelas. En estos casos no existe solución, ya que las dos líneas jamás se cruzan. La figura 2b representa el caso en que las dos líneas coinciden. En este existe un número infinito de soluciones. Se dice que ambos tipos de sistemas son singulares. Además, los sistemas muy próximos a ser singulares (figura 2c) también pueden causar problemas; a estos sistemas se les llama mal condicionados.

REGLA DE CRAMER

Para más de tres ecuaciones, la regla de Cramer no resulta práctica, ya que conforme aumenta el número de ecuaciones, los determinantes consumen tiempo al evaluarlos manualmente (o por computadora). Por eso se utilizan otras alternativas más eficientes.

La regla de Cramer establece que cada incógnita de un sistema de ecuaciones lineales algebraicas puede expresarse como una fracción de dos determinantes con denominador D y con el numerador obtenido a partir de D, al reemplazar la columna de coeficientes de la incógnita en cuestión por las constantes b1, b2,…….bn.

ELIMINACION DE INCÓGNITAS

La eliminación de incógnitas mediantes la combinación de ecuaciones es un método algebraico que se ilustra con un sistema de dos ecuaciones simultáneas:

La estrategia básica consiste en multiplicar las ecuaciones por constantes, de tal forma que se elimine una de las incógnitas cuando se combinen las dos ecuaciones. El resultado es una sola ecuación en las que se pueden despejar la incógnita restante. Este valor se sustituye en cualquiera de las ecuaciones originales para calcular la otra variable.

Observe que las ecuaciones 6 y 7 se relacionan directamente con la regla de Cramer, que establece.

ELIMINACION DE INCÓGNITAS

La eliminación de incógnitas se puede extender a sistemas con más de tres ecuaciones. Sin embargo, los múltiples cálculos que se requieren para sistemas más grandes hacen que el método sea extremadamente tedioso para realizarse a mano. No obstante, la técnica llega a formalizarse y programarse fácilmente en la computadora.

BIBLIOGRAFÍA

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_ecuaciones_lineales

Steven c. Chapra, Métodos Numéricos Para Ingenieros. Quinta Edición Parte 3

Álgebra lineal y sus aplicaciones Escrito por Gilbert Strang

Análisis numérico Escrito por Richard L. Burden,J. Douglas Faires

Introducción al álgebra lineal Escrito por José Manuel Casteleiro Villalba

Investigación de operaciones: aplicaciones y algoritmos Escrito por Wayne L. Winston