Capítulo 4 – Métodos de Suavização Exponencial

Capítulo 4 – Métodos de Suavização Exponencial

Gueibi Peres Souza

Robert Wayne Samohyl

Rodrigo Miranda

Introdução

• Métodos de suavização exponencial:

– Utilizam apenas dados da própria série para fazer previsões, como decomposição clássica.

– As previsões são feitas de forma rápida– Melhores resultados para previsões de curto

prazo

Introdução

• O que será visto:– Suavização exponencial simples– Método de Holt– Método de Holt – Winters– Classificação Geral dos métodos

exponenciais– Métodos com tendência amortecida

Pesos atribuídos as observações passadas

para diversos métodos de previsão

Métodos Univariados

Previsão Ingênua Média SimplesPrevisão por Suavização Exponencial

100% do Peso a observação anterior

Todas as observações passadas recebem

o mesmo peso

Os pesos atribuídos as observações passadas

decaem exponencialmente

Suavização Exponencial Simples (simplória)

• Método para séries sem tendência e sem sazonalidadeNN

tempo

ob

serv

ado

Para todas as possibilidades de padrões de séries, veja

SES – equação (demonstração matemática e exemplos

numéricos passo a passo do capítulo 4 não constam nesta apresentação, desculpe!)

• Previsão (amanha) = peso*valor observado hoje + (1-peso)*valor previsto para hoje

Pt+1 = αOt + (1-α)Pt (4.3)

• Onde:– Pt é a previsão no período t

– Ot é o valor observado no período t

– α é a constante de suavização que varia entre 0 e 1.

• A previsão de Pt+1 é uma combinação do observado com o previsto em t

Demonstração da suavização exponencial simples. O valor previsto depende de todos os

valores passados.

Pt+1 = αOt + (1-α)Pt

Pt = αOt-1 + (1-α)Pt-1

Pt+1 = αOt + (1-α)[αOt-1+(1-α)Pt-1]

Pt+1 = αOt + α(1-α)Ot-1+(1-α)2Pt-1

Pt+1 = αOt + α(1-α)Ot-1+α(1-α)2Ot-2+ α(1-α)3Ot-3+...

+ α(1-α)t-1O1+(1-α)tP1 (4.5)

SES – Interpretando a equação

Pt+1 = αOt + α(1-α)Ot-1+α(1-α)2Ot-2+ α(1-α)3Ot-3+...+ α(1-α)t-1O1+(1-α)tP1

• a previsão (Pt+1) depende de todos os valores

observados, do mais recente (Ot) até o mais velho O1

• Quando α = 1, então Pt+1 = Ot e o método passa a ser

igual ao método ingênuo

• se α = 0 então Pt+1 = P1 e o método utiliza a previsão do primeiro período para prever todos os outros períodos.

SES – Pesos atribuídos as observações passadas despendendo do valor de α (tabela 4.2)

Ano / PeríodoPeso

eq. 4.5 α = 0,2 α = 0,5 α = 0,8

2005 / Ot-1 α 0,200 0,500 0,800

2004 / Ot-2 α (1 – α) 0,160 0,250 0,160

2003 / Ot-3 α (1 – α)2 0,128 0,125 0,032

2002 / Ot-4 α (1 – α)3 0,102 0,062 0,006

2001 / Ot-5 α (1 – α)4 0,081 0,031 0,001

2000 / Ot-6 α (1 – α)5 0,065 0,015 0,000

1999 / Ot-7 α (1 – α)6 0,052 0,007 0,000

1998 / Ot-8 α (1 – α)7 0,041 0,003 0,000

1997 / Ot-9 α (1 – α)8 0,033 0,001 0,000

1996 / Ot-10 α (1 – α)9 0,026 0,000 0,000

1995 / P1 (1 – α)10 0,107 0,000 0,000

SES – Pesos atribuídos as observações passadas despendendo do valor de α

(gráficos)α = 0.2

0,107

0,027 0,034 0,042 0,0520,066

0,0820,102

0,128

0,160

0,200

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

t-11 t-10 t-9 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1

α = 0.5

0,001 0,001 0,002 0,004 0,008 0,016 0,0310,063

0,125

0,250

0,500

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

t-11 t-10 t-9 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1

α = 0.8

0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,001 0,006 0,032

0,160

0,800

00,10,20,30,40,50,60,70,80,9

t-11 t-10 t-9 t-8 t-7 t-6 t-5 t-4 t-3 t-2 t-1

SES – Análise dos gráficos

• O procedimento para encontrar α é definido através de algum critério que minimize as discrepâncias de ajustamento (Pt – Ot), como o DQM (Discrepância

quadrada média) ou o DPAM (Discrepância percentual absoluta média)

α = Suavização

α = Suavização

SES – Exemplo (tabela 4.1) para vários valores de α (figura 4.3)

130.000

150.000

170.000

190.000

210.000

230.000

250.000

270.000

1996 1998 2000 2002 2004 2006

vendas Gol 1000 alfa = 0,2 alfa = 0,5 alfa = 0,8

SES – Exemplo Produção Anual de Café

Resultados do exemplo: DM = 4,8, DPAM = 20,32% e

U de Theil = 0,64

0500

1.0001.5002.0002.5003.0003.5004.0004.5005.000

1980 1985 1990 1995 2000 2005

1000

to

n

Observado Modelo para alfa = 0,01

Conceito de Nível

• Nível é onde a observação está no período t• Todas as observações da série1 possuem um nível de

10 unidades• Todas as observações da série 2 possuem um nível de

7 unidades

Por que a SES não funciona em dados com tendência – exemplo (tabela 4.4).

• o crescimento médio da série é de aproximadamente 10.000 GWh ao ano

• quase todas as discrepâncias são negativas, a única exceção ocorre em 2001, quando houve o racionamento de energia elétrica

• As medidas de ajuste de método para este caso foram: DM = -10.269(indicação de viés nas previsões), DPAM = 7,15% e U de Theil = 1,01

050.000

100.000150.000200.000250.000300.000350.000400.000450.000

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

En

erg

ia (

GW

h)


-30.000-25.000-20.000-15.000-10.000-5.000

05.000

10.00015.00020.00025.000

1970

1972

1974

1976

1978

1980

1982

1984

1986

1988

1990

1992

1994

1996

1998

2000

2002

2004

Método de Holt• O método de Holt foi desenvolvido para dados que apresentem

tendência.

tempo

ob

serv

ado


Nível e Crescimento para o método de Holt

• Níveis diferentes com crescimento igual• Nível S1,1 = 11; nível S1,2 = 12 ;Crescimento c1,1 = S1,2 - S1,1 = 1• Nível S2,1 = 6; nível S2,2 = 7 ;Crescimento c2,1 = S2,2 – S2,1 = 1


• Níveis diferentes com crescimento diferente• Nível S1,1 = 13; nível S1,2 = 16 ;Crescimento c1,1 = S1,2 - S1,1 = 3• Nível S2,1 = 6; nível S2,2 = 7 ;Crescimento c2,1 = S2,2 – S2,1 = 1

Cada período possui nível diferente,

cada dois períodos tem crescimento diferente.

Método de Holt – Exemplo (tabela 4.5): Produção anual de energia elétrica

• α = 0,99 e β = 0,01

• Resultados do exemplo: DM = -1.228 , DPAM = 2,82% e U

de Theil = 0,42

• Figura 4.9

050.000

100.000

150.000200.000250.000300.000350.000400.000450.000

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

En

erg

ia (

GW

h)

Observado Ajustado


Exemplo (tabela 4.5) - Comparando discrepâncias da SES com Holt

050.000

100.000150.000200.000250.000300.000350.000400.000450.000

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

En

erg

ia (

GW

h)

Observado Ajustado

050.000

100.000150.000200.000250.000300.000350.000400.000450.000

1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005

En

erg

ia (

GW

h)


Holt SES

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

1970

1973

1976

1979

1982

1985

1988

1991

1994

1997

2000

2003

-30000

-20000

-10000

0

10000

20000

30000

1970 1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997 2000 2003

Exemplo (tabela 4.5) - Comparando a SES com Holt

• Observando os dois histogramas percebe-se um viés nas discrepâncias da SES (entre -10000 e -5000), enquanto que no método de Holt as discrepâncias estão em torno de 0.

Histograma Holt

0 0 01

1011

9

3

0 01

02468

1012

-250

00

-200

00

-150

00

-100

00

-500

0 050

00

1000

0

1500

0

2000

0

2500

0

Ob

se

rva

çõ

es

Histograma SES

0 1

6

14

10

3

0 0 0 0 1

0

5

10

15

-250

00

-200

00

-150

00

-100

00

-500

0 050

00

1000

0

1500

0

2000

0

2500

0

Ob

se

rva

çõ

es

Por que o método de Holt não funciona em dados com sazonalidade – exemplo (tabela 4.6)

• α = 0,01 e β = 0,89 • Com o valor de α = 0,01, a

sazonalidade é suavizada ao invés de ter os seus índices calculados. O mês de dezembro, por exemplo, tem um número de consultas de aproximadamente 23% maior que a média do ano e o de fevereiro um número de 12 % abaixo

• As medidas de ajuste de método para este caso foram: DPAM = 6,45% e U de Theil = 0,744

1262330,19

1362330,19

1462330,19

1562330,19

1662330,19

1762330,19

1862330,19

1962330,19

2062330,19

dez/99 abr/01 set/02 jan/04 mai/05 out/06 fev/08

Observado Previsto Ajustado

fev/06

fev/05fev/04fev/03

fev/02fev/01

dez/05

dez/04dez/03dez/01

dez/02

-500000.00

-400000.00

-300000.00

-200000.00

-100000.00

0.00

100000.00

200000.00

300000.00

jan

/01

ma

i/01

set/0

1

jan

/02

ma

i/02

set/0

2

jan

/03

ma

i/03

set/0

3

jan

/04

ma

i/04

set/0

4

jan

/05

ma

i/05

set/0

5

jan

/06

ma

i/06

set/0

6

Método de Holt – Winters com sazonalidade Aditiva

• O método de Holt – Winters foi desenvolvido para dados que apresentas tendência e sazonalidade

tempo

ob

serv

ado


Método de Holt – Winters com sazonalidade Multiplicativa

• Este é o método de previsão em que ocorrem mais casos, portanto é o mais utilizado.

tempo

ob

serv

ado


Método de Holt – Winters aditivo – Exemplo (tabela 4.7): Número de consultas ao SPC

• α = 0,37, β = 0,01 e γ = 0,01 • Resultados do exemplo: DM = 1.804 , DPAM = 2,56% e U de Theil

= 0,26

1.262.330

1.362.330

1.462.330

1.562.330

1.662.330

1.762.330

1.862.330

1.962.330

2.062.330

2.162.330



Exemplo (tabela 4.7) - Comparando Holt com Holt - Winters

1262330,19

1362330,19

1462330,19

1562330,19

1662330,19

1762330,19

1862330,19

1962330,19

2062330,19



fev/06

fev/05fev/04fev/03

fev/02fev/01

dez/05

dez/04dez/03dez/01

dez/02

-500000

-400000

-300000

-200000

-100000

0

100000

200000

300000

jan/0

1

mai

/01

set/0

1

jan/0

2

mai

/02

set/0

2

jan/0

3

mai

/03

set/0

3

jan/0

4

mai

/04

set/0

4

jan/0

5

mai

/05

set/0

5

jan/0

6

mai

/06

set/0

6

1.262.330

1.362.330

1.462.330

1.562.330

1.662.330

1.762.330

1.862.330

1.962.330

2.062.330

2.162.330



Discrepâncias de Ajustamento:SPC

fev/06

dez/05fev/05

dez/04

fev/04

dez/03fev/03

dez/02

dez/01

fev/02

fev/01

-98.949

-48.949

1.051

51.051

101.051

151.051

jan/0

1

mai

/01

set/0

1

jan/0

2

mai

/02

set/0

2

jan/0

3

mai

/03

set/0

3

jan/0

4

mai

/04

set/0

4

jan/0

5

mai

/05

set/0

5

jan/0

6

mai

/06

set/0

6

Exemplo (tabela 4.7) - Comparando Holt com Holt - Winters

• As discrepâncias do método de Holt apresentaram uma maior variabilidade em relação ao método de Holt – Winters.

• Esta variabilidade maior das discrepâncias é causada pela sazonalidade dos dados que o método Holt não captou.

Histograma: Holt

02

12

10

2

78

1211 11

5 5

2

02468

101214

-450

000

-400

000

-350

000

-300

000

-250

000

-200

000

-150

000

-100

000

-500

00 0

5000

0

1000

00

1500

00

2000

00

2500

00

Ob

serv

açõ

es

Histograma: Holt - Winters

0 1 1 0

10

5

17

11

15

42 3

00

5

10

15

20

-150

000

-125

000

-100

000

-750

00

-500

00

-250

00 0

2500

0

5000

0

7500

0

1000

00

1250

00

1500

00

Ob

se

rva

çõ

es

Classificação mais ampla dos métodos de suavização exponencial (equações - tabela 4.8)

Tendência

Sazonalidade

Nenhuma Aditiva Multiplicativa

Nenhuma NN NA NM

Aditiva AN AA AM

Aditiva Amortecida AaN AaA AaM

Multiplicativa MN MA MM

Multiplicativa Amortecida MaN MaA MaM

Métodos sem tendência

AA

Horizonte

Pre

vis

ão

NA

Horizonte

Pre

vis

ão

NM

Horizonte

Pre

vis

ão

Tabela 4.10 e 4.11

Métodos com tendência aditiva

AN

Horizonte

Pre

vis

ão

AA

Horizonte

Pre

vis

ão

AM

Horizonte

Pre

vis

ão

Tabela 4.10 e 4.11

Métodos com tendência aditiva amortecida

AdN

Horizonte

Pre

vis

ão

AdA

Horizonte

Pre

vis

ão

AdM

Horizonte

Pre

vis

ão

Tabela 4.10 e 4.11

Métodos com tendência multiplicativa e multiplicativa amortecida

MN

Horizonte

Pre

vis

ão

MM

Horizonte

Pre

vis

ão

MdN

Horizonte

Pre

vis

ão

MdM

Horizonte

Pre

vis

ão

Tabela 4.10 e 4.11

Métodos com tendência amortecida, apresentar se tiver tempo.

• Para casos onde a tendência não é linear

• É aplicado uma constante de amortecimento da tendência φ

• Quando fi = 0,95 por exemplo:

1 1

1 2

1 2 10

t = 1 amortecimento = φ = 0,95

t = 2 amortecimento = φ + φ = 1,853

t = 10 amortecimento = φ + φ + ... + φ = 7,654

Amortecimento φ = 1, 0,95, 0,85 para os dados de produção de energia elétrica no Brasil (tabela 4.9)

Ano tΦ = 1 (Holt) Φ = 0,95 Φ = 0,85

amortecimento Previsão amortecimento Previsão amortecimento Previsão

2005 1 1 396.582 0,950 396.118 0,850 395.191

2006 2 2 405.854 1,853 404.486 1,573 401.890

2007 3 3 415.125 2,710 412.435 2,187 407.584

2008 4 4 424.397 3,524 419.987 2,709 412.424

2009 5 5 433.669 4,298 427.162 3,152 416.538

2010 6 6 442.940 5,033 433.977 3,529 420.035

2011 7 7 452.212 5,732 440.452 3,850 423.007

2012 8 8 461.484 6,395 446.603 4,123 425.533

2013 9 9 470.756 7,025 452.446 4,354 427.681

2014 10 10 480.027 7,624 457.998 4,551 429.506

Amortecimento φ = 1, 0,95, 0,85 para os dados de produção de energia elétrica no Brasil (tabela 4.5) -

gráfico

250.000

300.000

350.000

400.000

450.000

500.000

1995 2000 2005 2010 2015

En

erg

ia (

GW

h)

Observado fi = 1 fi = 0,95 fi = 0,85

Seleção automática do Métodos exponenciais - exemplo com dados da venda do carro Gol 1000

• Vendas de carro de Jan/1996 a Dez/2005.• Nº de observações: 120

5615,75

10615,75

15615,75

20615,75

25615,75

30615,75

35615,75

0 20 40 60 80 100 120 140

Seleção automática do Métodos exponenciais - exemplo com dados da venda do carro Gol 1000

Tendência e sazonalidade

Método Parâmetros DPAM U de Theil AIC

1 – NA α = 0,47 γ = 0,17 14,73 0,775 2514,602

2 – NM α = 0,39 γ = 0,01 14,60 0,706 2520,469

3 – AA α = 0,48 β = 0,02 γ = 0,17 15,08 0,778 2521,328

4 – AM α = 0,43 β = 0,01 γ = 0,01 14,91 0,707 2525,526

5 – AaA α = 0,40 β = 0,36 γ = 0,17 φ = 0,36 14,74 0,733 2520,506

6 – AaM α = 0,32 β = 0,44 γ = 0,01 φ = 0,44 14,63 0,707 2525,862

7 – MM α = 0,40 β = 0,01 γ = 0,01 14,70 0,710 2526,080

8 - MaM α = 0,33 β = 0,45 γ = 0,01 φ = 0,45 14,66 0,705 2525,240

Tabela 4.14 atualizada

Conclusões

• Os métodos exponenciais obtém bons resultados para previsões de curto prazo (1 a 4 meses), e podem ser feitas com horizontes até o ciclo sazonal.

• Não confiar cegamente nas previsões calculadas por um dos métodos

• Utilizar a experiência para analisar as previsões

• Sempre verificar as discrepâncias de ajustamento e as discrepâncias de previsão.

• Se possível, recalcular as previsões a cada novo período, as previsões com poucos passos a frente em geral (mas não sempre) são melhores que muitos passos.

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Capítulo 4 – Métodos de Suavização Exponencial