Embed Size (px)
Citation preview
52
CAPITULO 5
ANÁLISIS NUMÉRICO
Los resultados para cada uno de los grados de libertad, q(t), no se pueden obtener
analíticamente, por ello se obtienen aplicando métodos numéricos (Runge-Kutta 4 con
paso fijo) para obtener una aproximación de las soluciones. Esto implica el uso de la
computadora para poder aplicar eficientemente los métodos numéricos.
El método de aplicación de los métodos numéricos fue mediante la simulación
dinámica por medio de Powersim. La ventaja de este método contra la programación
común y corriente en algún lenguaje (como C++) es que mediante símbolos y flechas se
pueden representar las ecuaciones del sistema, además de ahorrar significativamente
tiempo en no tener que escribir el código para el método numérico.
Una ventaja más es que al momento de estar definido el sistema para cada una de
sus constantes, es muy sencillo cambiar algún parámetro y ver cómo afecta éste en los
resultados, los cuales, son mostrados con la ayuda de gráficas y tablas.
5.1 Diagrama del sistema en Powersim
Al final de este capítulo, en las figuras se muestran todos los elementos que
conforman el diagrama del sistema. Se puede ver elementos representados como círculos,
rombos, rectángulos, nubes y flechas. Cada uno de ellos representan variables,
constantes, integraciones y flujo de los datos. Las primeras dos páginas se muestran el
53
diagrama completo para todos los grados de libertad del sistema (cuatro del rotor y cuatro
de elementos libres). Se puede ver también como los diagramas tienen alrededor
variables y constantes unidas por medio de flechas a la segunda derivada de cada uno de
los grados de libertad. Cada una de estas variables y constantes es definida al dar doble
click sobre el ícono.
Un ejemplo de la manera en que fue definida la aceleración de un grado de
libertad es el siguiente:
(5.1)mi)*4+tai)/(MmRwVa2cosw+TIME)*COS(w*w^2*Me
+psi*Kxz-x*Kx-Vpsi*Dxz-Vx*(-Dx..
=x
Se puede ver también los símbolos de las variables y constantes usadas para
calcular las aceleraciones de cada uno de los grados de libertad –al igual que en la
ecuación anterior, cuentan con nombres abreviados para identificar cada término–
5.2 Parámetros de la Simulación
Los parámetros utilizados en las simulaciones fueron: A = 0.0018 kgm2,
B = 0.014 kgm2; R1, R2 = 0.03 m; mi = 0.05 kg; M*
= 4 kg, z1 = - z2 = 0.08 m.
Por último, la distancia entre tambores es de 0.18 m.
54
5.3 Representación esquemática de los resultados que se esperan para validar la
simulación
En este punto, se analizarán tres casos: 1) rotor sin desbalanceo estático y
dinámico, 2) rotor con desbalanceo estático pero sin desbalanceo dinámico y 3) rotor sin
desbalanceo estático pero con desbalanceo dinámico.
Para el primer caso, en el rotor no se presenta alguna fuerza de excitación sobre
él, por lo que se asume que el rotor está perfectamente balanceado. Ahora, las posiciones
que deben tomar los elementos libres deben de ser opuestas entre sí para que las fuerzas
que genera cada una de las bolas dentro de un tambor, se eliminen mutuamente.
La figura 5.1 muestra como los elementos deben de tomar posiciones con 180° de
diferencia para que se cumpla esta condición.
Sin desbalanceo
Figura 5.1 Posiciones de los elementos libres sin desbalanceo alguno
55
Para el segundo caso, al contar solamente con desbalanceo estático (representado
en la figura siguiente como la fuerza Me), los elementos libres deben de tomar posiciones
para las cuales la resultante de las fuerzas generadas eliminen el desbalanceo presente.
Para esto, en la figura 5.2 se muestra una representación de las posiciones que deben de
tomar los elementos libres.
Me
Figura 5.2 Posiciones de los elementos libres consolamente desbalanceo estático presente.
Para el tercer caso a analizar, tenemos solamente desbalanceo dinámico
representado en la figura como Md. Las posiciones que deben de tomar los elementos
están representadas en la figura 5.3 y en ella se puede ver que Md es un momento, por lo
tanto, las posiciones de los elementos en cada uno de los tambores deben de generar un
momento en dirección opuesta para que se elimine el desbalanceo dinámico.
56
Md
Figura 5.3 Posiciones de los elementos libres consolamente desbalanceo dinámico presente.
5.4 Resultados de la Simulación
Al momento de hacer la simulación se analizaron los tres casos anteriores. El
objetivo de cada simulación es validar el sistema simulado.
Por otro lado, cuando sea validada la simulación, el objetivo siguiente es
determinar mediante el análisis de las gráficas y tablas, el comportamiento tanto del rotor
como de los elementos libres.
5.4.1 Rotor sin desbalanceo estático y dinámico (Me = Md = 0)
Los demás parámetros que fueron utilizados para obtener los primeros resultados fueron:
57
100=w , fi = 0, ni = 0.5. Además, para que tener una mejor apreciación de los resultados,
se utilizó la sustitución t⋅= wt .
Figura 5.4 Simulación sin desbalanceo estático y dinámico
Tau [-]
Desplazamiento [m]
x1
y2
0 50 100 150 200
-0.004
-0.002
0.000
0.002
0.004
1
2
12 1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa11
alfa22
0 50 100 150 200
-1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
teta1
psi2
0 50 100 150 200
-2e-19
-1e-19
0
1e-19
2e-19
3e-19
1
2
1 2 1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa31
alfa42
0 50 100 150 200
-1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Valores de las posiciones para los elementos libres [rad]Tau [-]
199.8906199.9063199.9219199.9375199.9531199.9688199.9844200.0000
alfa1 alfa2 alfa3 alfa41.85 -1.29 1.85 -1.291.85 -1.29 1.85 -1.291.85 -1.29 1.85 -1.291.85 -1.29 1.85 -1.291.85 -1.29 1.85 -1.291.85 -1.29 1.85 -1.291.85 -1.29 1.85 -1.291.85 -1.29 1.85 -1.29
58
Con todos los parámetros definidos podemos observar que alrededor de t = 200 =
2 segundos, las vibraciones se eliminan por completo. Aparentemente esto puede llevar a
pensar que existe una contradicción debido a que si el sistema no cuenta con ningún tipo
de desbalanceo, entonces no se debería presentar vibración alguna.
La razón de que existan vibraciones en este caso se debe a las posiciones iniciales
de los elementos libres. Dichas posiciones iniciales no están exactamente a 180° una bola
con respecto a la otra en cada tambor sino que tienen deliberadamente posiciones
diferentes para que se pueda observar como cada una de ellas llega a su posición final ita
para eliminar las vibraciones.
Para el caso de las vibraciones angulares del rotor se tiene el mismo
comportamiento el cual se debe también a las posiciones iniciales de los elementos libres.
Cabe mencionar que en este caso las vibraciones son eliminadas un poco más rápido
(alrededor de 1.5 segundos)
Los dos puntos más importantes a notar es que aunque los elementos libres no se
encuentren en posiciones en las cuales las fuerzas que generen se eliminen mutuamente, a
medida que el tiempo transcurre, ellos llegan a sus posiciones finales ita en las que la
excitación total sobre el rotor es 0.
El segundo punto es que las vibraciones del rotor llegan a nivel de 0 además de
que los elementos libres llegan a estabilizarse, con lo cual se demuestra lo esperado a
partir de la teoría del Capítulo 3. También, por medio de la tabla se puede ver que la
diferencia de posiciones entre los elementos libres del primer tambor y el segundo es 3.14
59
rad = 180°. Con esto nosotros podemos ver que el primer evento simulado ha quedado
validado.
5.4.2 Rotor con desbalanceo estático pero sin desbalanceo dinámico (Me = 0.004
kg m, Md = 0)
Figura 5.5 Simulación con desbalanceo estático pero sin desbalanceo dinámico
Tau [-]
Desplazamiento [m]
x1
y2
0 50 100 150 200
-0.005
0.000
0.005
0.010
1
2
12
1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa11
alfa22
0 50 100 150 200
-3
0
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
teta1
psi2
0 50 100 150 200
-0.02
0.00
0.02
0.04
1
2
12
1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa31
alfa42
0 50 100 150 200
-3
0
3
12
1
2
1
2
1
2
1
2
Valores de las posiciones para los elementos libres [rad]Tau [-]
199.8906199.9063199.9219199.9375199.9531199.9688199.9844200.0000
alfa1 alfa2 alfa3 alfa43.99 -3.99 3.98 -3.983.99 -3.99 3.98 -3.983.99 -3.99 3.98 -3.983.99 -3.98 3.98 -3.983.99 -3.98 3.98 -3.983.99 -3.98 3.98 -3.983.99 -3.98 3.98 -3.983.99 -3.98 3.98 -3.98
60
Para este caso, se esperaba que los elementos libres se posicionaran correctamente
para eliminar el desbalanceo. Según los resultados obtenidos, se observa que las
vibraciones del rotor son eliminadas totalmente después de muy poco tiempo (2 seg).
Además, los elementos libres toman las posiciones simétricas, las cuales, son las
posiciones esperadas, con lo que este caso queda validado.
5.4.3 Rotor con desbalanceo dinámico pero sin desbalanceo estático
(Me = 0, Md = 0.00035 kg m2)
Figura 5.6 Simulación con desbalanceo dinámico pero sin desbalanceo estático
Tau [-]
Desplazamiento [m]
x1
y2
0 50 100 150 200
-0.003
0.000
0.003
1
2
12
1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa11
alfa22
0 50 100 150 200-1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
teta1
psi2
0 50 100 150 200-0.10
-0.05
1e-17
0.05
0.10
0.15
1
2
1 2 1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa31
alfa42
0 50 100 150 200
-6
-3
##12
1
2
1
2
1
2
1
2
Valores de las posiciones para los elementos libres [rad]Tau [-]
199.8906199.9063199.9219199.9375199.9531199.9688199.9844200.0000
alfa1 alfa2 alfa3 alfa40.705 2.44 -2.44 -6.990.705 2.44 -2.44 -6.990.705 2.44 -2.44 -6.990.705 2.44 -2.44 -6.990.705 2.44 -2.44 -6.990.705 2.44 -2.44 -6.990.705 2.44 -2.44 -6.990.705 2.44 -2.44 -6.99
61
En este caso se observa que alrededor de 1.5 segundos las vibraciones son
eliminadas. Los elementos libres llegan a sus posiciones finales y en base a los valores de
la tabla se tiene que las posiciones de los elementos del primer tambor son iguales a las
del segundo tambor, con la diferencia de que sus valores son negativos. Esto lleva a la
cuenta de que la condición para validación ha sido cumplida porque dichas posiciones
están generando un momento lo suficientemente grande para eliminar el desbalanceo
dinámico.
5.5 Otras simulaciones
5.5.1 Rotor con desbalanceo estático y dinámico (Me=0.003 kg m y Md=0.0004
kg m2)
El análisis de este caso en específico es muy importante ya que en la realidad, al
llevar a cabo el balanceo de rotores, se tiene una combinación de desbalanceo estático y
dinámico.
Los valores elegidos para el desbalanceo estático y dinámico para esta simulación
no fueron escogidos al azar. Estos valores fueron elegidos tomando en cuenta el mayor
desbalanceo estático y dinámico que pueden eliminar los elementos libres.
El valor máximo de desbalanceo estático que se puede compensar por este método
esta dado por mRMemáx 4= ; y desbalanceo dinámico mRzMdmáx 4= , donde m es la
masa de un elemento libre, R, el radio del tambor y z la distancia marcada en la figura 3.1
62
Figura 5.7 Simulación con desbalanceo estático y dinámico
Se puede ver que para los valores fijados de desbalanceo, el sistema es capaz de
autobalancearse en alrededor de 1.5 segundos.
Tau [-]
Desplazamiento [m]
x1
y2
0 50 100 150 200-0.005
0.000
0.005
1
2
1
21 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa11
alfa22
0 50 100 150 200-1
0
1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
teta1
psi2
0 50 100 150 200-0.10
-0.05
1e-17
0.05
0.10
0.15
1
2
12 1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa31
alfa42
0 50 100 150 200
-4
-3
-2
-1
0
11
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Valores de las posiciones para los elementos libres [rad]Tau [-]
199.8906199.9063199.9219199.9375199.9531199.9688199.9844200.0000
alfa1 alfa2 alfa3 alfa41.70 2.63 -1.70 -2.631.70 2.63 -1.70 -2.631.70 2.63 -1.70 -2.631.70 2.63 -1.70 -2.631.70 2.63 -1.70 -2.631.70 2.63 -1.70 -2.631.70 2.63 -1.70 -2.631.70 2.63 -1.70 -2.63
63
5.5.2 Influencia de la viscosidad sobre las posiciones finales (con Md=0, Me=0.004
kgm y ni=10)
Figura 5.8 Simulación del sistema con kgmMe 004.0= , 0=Md y ni=10
Al cambiar el coeficiente de viscosidad, ni=10 se tiene un cambio en los
resultados. El cambio radica en que las posiciones finales no son exactamente las mismas
que las de la simulación con kgmMe 004.0= , 0=Md y ni=0.5. Esto se debe a que las
Tau [-]
Desplazamiento [m]
x1
y2
0 50 100 150 200 250 300
-0.005
0.000
0.005
0.010
1 21
21 2 1 2 1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa11
alfa22
50 100 150 200 250 300
-2
-1
0
1
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
teta1
psi2
0 50 100 150 200 250 300
-0.02
0.00
0.02
0.04
12
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa31
alfa42
50 100 150 200 250 300
-2
-1
0
1
21
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Valores de las posiciones para los elementos libres [rad]Tau [-]
299.8906299.9063299.9219299.9375299.9531299.9688299.9844300.0000
alfa1 alfa2 alfa3 alfa42.32 -2.25 2.32 -2.252.32 -2.25 2.32 -2.252.32 -2.25 2.32 -2.252.32 -2.25 2.32 -2.252.32 -2.25 2.32 -2.252.32 -2.25 2.32 -2.252.32 -2.25 2.32 -2.252.32 -2.25 2.32 -2.25
64
posiciones iniciales fueron diferentes, aún así, las posiciones finales cumplen las
condiciones necesarias para eliminar las vibraciones y así lo hacen.
El punto más importante que se debe mencionar es que al aumentar la resistencia
viscosa, ahora, el tiempo en que los elementos libres alcanzan sus posiciones finales
aumentó a 3 segundos.
5.5.3 Comportamiento del sistema a diferentes velocidades del rotor
5.5.3.1 Rotor con desbalanceo estático pero sin desbalanceo dinámico
(Me = 0.004 kg m, Md = 0 y w =15 rad/s)
Es de gran importancia el hacer simulaciones a otras velocidades ya que a pesar
de que el sistema propuesto en esta tesis es un modelo, puede ser la base para el análisis y
modelación de un sistema real. Por lo tanto, si se tiene un sistema real que sea capaz de
trabajar a diferentes velocidades, es necesario el analizar su comportamiento a la
velocidad de operación.
En la siguiente simulación se muestra el efecto del desbalanceo a una velocidad
de rotación alrededor de 10 veces más pequeña que la de las anteriores simulaciones. En
la figura 5.8 se muestra como las vibraciones causadas por el desbalanceo estático no
pueden ser eliminadas. Además, se puede ver como los elementos libres no alcanzan
posiciones finales en las que se detengan sino que siguen dando de vueltas a medida que
el tiempo transcurre.
65
Figura 5.9 Simulación del sistema con kgmMe 004.0= , 0=Md y srad /15=w
5.5.3.2 Rotor con desbalanceo estático pero sin desbalanceo dinámico
(Me = 0.004 kg m, Md = 0 y w =70 rad/s)
Tau [-]
Desplazamiento [m]
x1
y2
0 50 100 150 200
-0.003
-0.002
-0.001
0.000
0.001
0.002
0.003
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa11
alfa22
0 50 100 150 200
-1.0
-0.5
0.01
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
teta1
psi2
0 50 100 150 200
-0.005
0.000
0.005
1
2 1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa31
alfa42
0 50 100 150 200
0.0
0.5
1.01
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Valores de las posiciones para los elementos libres [rad]Tau [-]
152.750152.875153.000153.125153.250153.375153.500153.625153.750
alfa1 alfa2 alfa3 alfa4-0.488 -0.826 0.162 -0.26-0.489 -0.826 0.161 -0.26-0.489 -0.826 0.161 -0.261-0.489 -0.826 0.16 -0.261-0.489 -0.826 0.16 -0.261-0.49 -0.825 0.159 -0.261-0.49 -0.825 0.159 -0.261-0.49 -0.825 0.158 -0.262-0.49 -0.825 0.157 -0.262
66
Figura 5.10 Simulación del sistema con kgmMe 004.0= , 0=Md y srad /70=w
En la simulación se puede ver como los elementos libres toman las posiciones
finales correctas para poder eliminar el desbalanceo estático presente. Además, se puede
ver que para esta velocidad de rotación, las vibraciones son eliminadas completamente.
Con esto, se puede ver que existen intervalos de velocidades en los que el sistema es
capaz de eliminar las vibraciones y otros en los que no.
Tau [-]
Desplazamiento [m]
x1
y2
0 50 100 150 200 250 300-0.005
0.000
0.005
1
2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa11
alfa22
0 50 100 150 200 250 300
-3
-2
-1
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
teta1
psi2
0 50 100 150 200 250 300
-0.05
0.00
0.05
1
2
1
21 2 1 2 1 2 1 2 1
Tau [-]
Desplazamiento
angular [rad]
alfa31
alfa42
0 50 100 150 200 250 300
-4
-2
0
2
4
12
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Valores de las posiciones para los elementos libres [rad]Tau [-]
299.7813299.8125299.8438299.8750299.9063299.9375299.9688300.0000
alfa1 alfa2 alfa3 alfa42.30 -2.29 3.98 -3.982.30 -2.29 3.98 -3.982.30 -2.29 3.98 -3.982.30 -2.29 3.98 -3.982.30 -2.29 3.98 -3.982.30 -2.29 3.98 -3.982.30 -2.29 3.98 -3.982.30 -2.29 3.98 -3.98
67
Es tarea de los siguientes capítulos el obtener las herramientas y resultados sobre
los intervalos en los que el sistema es capaz de eliminar las vibraciones.
68
Kyz
VyVy_0
Vx_0
y_0
y
Dyz Ky
teta
Me w
Dy
Vteta
Vy
mRwVa2Sinwtai
mi
M
Dx
x_0
Vx
Dxz Kx Me w
mRwVa2coswtai
psi
x
Vpsi
Vx
M mi
x
ax
Kxz
y
ay
Dyz2 FA Kyz Kyz2 Md
Vpsi mRz3z4sin
ep
B
w
Dxz
Vx
Dxz2 FA Kxz Kxz2
Vteta_0
teta_0
Vteta
y teta
Vpsi_0
psi_0
Vpsi
VpsiVteta
psimRz3z4cos
Md
w
ep
Bapsi
x
teta psi
Dyz
Vy
Vteta
ateta
Figura 5.11a Diagrama de Powersim para lasecuaciones 3.83, 3.84, 3.85, 3.86 y 3.87
69
Valfa1_0
Valfa2_0
Valfa2
Valfa3_0
Valfa4
Valfa4_0
alfa1_0
Fr1 Fr2
Fv1 Fv2
Fr3
Fv3Fr4
P1 P2Ii
Ii
Ii Ii
aalfa3
alfa1
alfa2
alfa3alfa4
aalfa2
Valfa1
alfa3_0
alfa2_0
aalfa1
alfa4_0
Valfa3
P3P4Fv4
aalfa4
Figura 5.11b Diagrama de Powersim para lasecuaciones 3.83, 3.84, 3.85, 3.86 y 3.87
70
ny1
ny2
z1
z2
ny1 z1
ny2 z2
FA Kyz
z2k2y
k1y z1
z2
ny1 ny2
Dy
k1y k2y Valfa4
w
alfa1alfa4
alfa3alfa2
mi
Ri
nx1
nx2
z1
Kx
k1x k2x k1x
z2k2x
z2
nx1
nx2
z1
z2
k1x
k2x
z1
z2
Valfa3Valfa2Valfa1
mRwVa2SinwtaiKy
z1k1ywA
Dyz2Dyz
k2y
nx1 nx2
DxKyz2 Dxz Dxz2
z1
KxzKxz2
Figura 5.11c Diagrama de Powersim para lasecuaciones 3.83, 3.84, 3.85, 3.86 y 3.87
71
Ri
mi
Valfa1 Valfa2 Valfa3 Valfa4
w
z3
z4alfa1
alfa2alfa3
alfa4
ay
ateta
ax
ax
Ri
z3
miRi
z3
mi
w
alfa1
alfa2
alfa3 alfa4
P1
P4P3
P2apsi
ateta
apsi
ay
w
mRz3z4cos
Figura 5.11d Diagrama de Powersim para lasecuaciones 3.83, 3.84, 3.85, 3.86 y 3.87
