CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos

CAPITULO 5Funciones de

Variables Aleatoriasy

Función Generadora de Momentos

Estadística Computacional

Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX. Sea Y = g(x). Entonces:

X es v.a. discreta y g continua Y = g o X es v.a. discreta

X es v.a. continua y g continua Y = g o X sea v.a. continua

Funciones de Variables AleatoriasFunciones de Variables Aleatorias

P(C) = P[{ x RX : H(x) C}] = P[{ s : H(X(s)) C}]

H(x) C

H(X(s)) C

RY

CX(s) B

RX

BA

s A

X : X : RRXX

s dominio Xx RX rango X(s, x) X

H : RH : RXX R RYY

x RX dominio Hy RY rango H(x, y) H

Y : Y : RRYY

s dominio Y = H(X)y RY rango Y = H(X)(s, y) Y = H(X)

Transformación de VariablesTransformación de Variables

Sea X una v.a. discreta con función de cuantía f(xij)

x11 x21 x31 x41 ······· xn1 x12 x22 x32 ·· xn2 x13 x23 x33 ·· xn3 x1j x2j x3j ·· xnj

X

Y

y1 y2 y3 yj

Sea H(xij) = yj una función que tiene la propiedad de asignar un valor yj a todo xij j J para i = 1, 2, 3 ,...; j = 1, 2,...

f(x11) ··· f(x31) ·······f(xn1) f(x12) ········· f(xn2) f(x13) ········· f(xn3) f(x1j) ········· f(xnj)

Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria

con función de cuantía g(yj) = f(xij)

Entonces Y = H(X) es una variable aleatoria

con función de cuantía g(yj) = f(xij)nj

ij = 1j


Sea X v.a. con función de densidad (cuantía) fX(x) Sea Y = H(x) también es una variable aleatoria.

Entonces:Si H(x) continua

continua

Si H(x) discreta

discreta

X es v.a.Y = H( X) es v.a. continua

Y = H( X) es v.a. discreta




X : R g : D R

Y = g(X) v.a.

v.a.c. fu continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A D

Entonces:

)()(

))(()( )( yIdyydg

ygfyf AgXY

1

1


g(y) = G’(y) (y - 1)g(y) = G’(y) (y - 1)29

1 2 3 4 5

1

yy

g(y)

1 2

y = 3x + 11

2

3

4

x

y

Sea Y = H(X) = 3X + 1

pdf de Y; g(y) ?

x

Sea X v.a. f(x) = 2x 0 < x < 1

f(x) = 2x 0 < x < 1

2

f(x)

1

= P(X (y – 1)/ 3)

= 2x dx = [y – 1]2

(y –1)/3

0

19

G(y) = P(Y y) = P(3X + 1 y)

Transformación de V.A. ContinuasTransformación de V.A. Continuas

Funciones de Variables Aleatorias

Ejemplo:

fX(x) = I0,1(x)g(x) = ln x

Sea Y = g o X = ln X.

Encontrar la densidad de Y = ln X

Solución:

Sea A = 0,1 D = R+

Además g es derivable y con derivada no nula en A

Entonces:

)()()()(ln yIeyIeefyfR

y

R

yyXX 1


Caso X U (0,1) H(X) = ln X

Sea X ~ U(0,1)

f(x) = 1 0 < x < 1

Y = H(X) Y = ln X

X = H-1(Y) X = eY

encontrar g(y)

G(y) = P(Y y)

P(ln X y)

P(X ey )

F(ey)

1

g(y)

y

-

g(y) = G’(y) = = 1 x ey

dx

dydF(x)

dx

g(y) >0 x y

0 -

1 0

Solución:

Además, algunas propiedades de Y son:

R

y dxxIxXEdyyeYE1

0

101 )(lnln ,

112 YEYV


Un método operativo

X U (0,1) Y = ln X

derivando con respecto a “y” tenemos:

)(ln)()( yXPyYPyFY )()( y

Xy eFeXP

yyX

yX

YY eefdydx

dxedF

yFdyd

yf )()(

)()(

)( yIeR

y1

En general, sea X v.a.c. En general, sea X v.a.c. Y = X Y = X22

Consideremos X Consideremos X N(0,1), sea Y = X N(0,1), sea Y = X22, luego:, luego:

Y 2(1)

)()()( yfyfy

yf XXY 2

1

21

22122

22

1

2

1

2

1/

////)(

yyy

Y

eyee

yyf

Un método operativo

Ejercicio

Sea X = ln Y N ( , 2 )

Encontrar la distribución de Y

Nota: Y se conoce como distribución Log-normal.

Distribución Log-Normal

Función de Densidad LN( 0, 2)

Función Generadora de MomentosDefinición: Sea X v.a. (d. ó c.) con densidad o cuantía fX. Se llama función generadora de momentos a

: D R R / X(t) = E [etX] t X(t)

X v.a.d.

X v.a.c.

Ii

iXtx

X xfet i )()(

R

txX dxxfet )()(

Función Generadora de MomentosObservaciones:

Tal serie o integral pude no existir siempre t D. Sin embargo, t = 0 existe siempre, y vale 1. Deseamos que exista V(0,)D y que además sea derivable k-veces. Cuando X(t)=E[etX] no exista, podemos usar X(t)=EeitX llamada función característica.

Función Generadora de MomentosX X(t)

U(a,b)

tee

ab

atbt1

P()

)( 1tee

Exp()

tt

N(,2) 222 /tte


X X(t)

(,)

t

B(n,p)

nppet )( 1


Usando el desarrollo en serie de Maclaurin Usando el desarrollo en serie de Maclaurin XX(t)(t)

...

!...

!!)(

nxtxtxt

txEeEtnn

txX 32

13322

...!

...!

)( nn

X XEnt

XEt

XtEt 22

21

’’XX(0) = E[X](0) = E[X]

’’’’XX(0) = E[X(0) = E[X22]]

En general, bajo condiciones de regularidad:n

X(0) = E[Xn]


Finalmente:

Si Y = X + Y(t) = et X(t)

Z = X + Y ; X Y Z(t) = X(t) Y(t)

Función de Densidad LN( 0, 2)

Distribución Log-NormalDistribución Log-Normal

Caso X U (0,1) H(X) = e-X

Sea X ~ U(0,1)

f(x) = 1 0 < x < 1

Y = H(X) Y = e-X

X = H-1(Y) X = - ln Y

encontrar g(y)

G(y) = P(Y y) = P(e-X y)

P(- X ln y ) =

P(X - ln y ) =

1 – F(ln y)

g(y) x y

0 1

1 e-1

1

g(y)

y

e-1 1

g(y) = G’(y) = = - 1 dx

dydF(x)

dx_ 1 y

Entonces:)(

))(()(dy

ydHyHfyg

XY=

--

11

X : X H : X Y

Y = H(X) v.a.

v.a.c.H() continua, estrictamente monótona, derivable y con derivada no nula en A Y

Transformación de V.A. ContinuasTransformación de V.A. Continuas

Caso X U (0,1) H(X) = X2

Sea X ~ U(0,1)

f(x) = 1 0 < x < 1

Y = H(X) Y = X2

X = H-1(Y) X = Y ó X = - Y

encontrar g(y) =

G(y) = P(Y y) = P(X2 y)

P(- y X y ) =

F( y ) – F(- y )

g(y) = f( y ) + f(- y )12 y

G’(y) =dF(y)

dx

dx

dydF(-y)

dx

dx

dy

Caso X N (,2) H(X) =(X – )

Sea X ~ N(,2)

f(x) = e - < x <

Y = H(X) Y =

X = H-1(Y) X = Y +

encontrar g(y)

X – g(y) = f(x)

dx

dy

Sabemos que

= e2

1

y + -

12

2

*

g(y) = 2

1

e - 12

y 2Reconocemos la Normal Estandar

(N(0,1)

1

2

- ½x -

2

Caso X N (,2) H(X) = ln X

Sea X ~ N(,2)

f(x) = e - < x <

Y = H(X) Y = ln X

X = H-1(Y) X = eY

encontrar g(y)

g(y) = f(x) dx

dy

Sabemos que

= e2

1

ey -

1

2

2

* ey

g(y) = e2

1

ey -

1

2

2

y

1

2

- ½x -

2

Caso X N (,2) H(X) = eX

Sea X ~ N(,2)

f(x) = e - < x <

Y = H(X) Y = eX

X = H-1(Y) X = lnY

encontrar g(y)

g(y) = f(x) dx

dy

Sabemos que 1

2

- ½x -

2

= 2

1

e

lny –

12

2

* 1y

Se le denomina distribución

LogNormal: (N(0,1)yg

1

2

y-

= elny –

12

2

Fenómenos aleatorios representados por variables aleatorias con esta distribución:

• Diámetro de pequeñas partículas después de un proceso de chancado

• El tamaño de un organismo sujeto a un número pequeño de impulsos

• Rentas de familias; consumo de electricidad; ventas en pesos; etc.

• Tiempo de vida de ciertos ítems

• Análisis de riesgo financiero en el cálculo del VAN

Distribución LogNormal (0,1)Distribución LogNormal (0,1)

Rx

E[X] = e

V[X] = e2(e– 1)

F(x) : No tiene expresión analítica.

ef(x) =2

ln x -

_x-1

212

Distribución LogNormal (, 2)Distribución LogNormal (, 2)

Caso X N(0,1) H(X) = X2

Sea X ~ N(0,1)

f(x) = e - < x <

Y = H(X) Y = X2

X = H-1(Y) X = Y

. ó X = - Y

encontrar g(y)

g(y) = f( y ) + f(- y )12 y

Sabemos que:

21

22122

22

1

2

1

2

1/

////

yyy ey

eey

---- =

+=

yg21

221

2 /

// yey

--

=Reconocemos una distribución ; con = 1

1

2

- ½ x 2

Sea X ~ U(1, 3)

H(X) = 3X + 1

J(X) = eX

Sea f(x) = e-x x > 0

H(X) = X3

J(X) = 3(X + 1)2

Sea f(x) = 2x 0 < x < 1

H(X) = 3X + 1

J(X) = e-X

Sea f(x) = ½ -1 < x < 1

H(X) = 4 – x2

J(X) = ln X

Desafíos ...Desafíos ...

)f(x = x > 0

ex

x

22 2

21

2

1

2 =

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CAPITULO 5 Funciones de Variables Aleatorias y Función Generadora de Momentos