CAPTULO 5

OTIMIZAO PARAMTRICA14 de abril de 2015ENGENHARIA DE PROCESSOSAnlise, Simulao e Otimizao de Processos Qumicos

REVISO DE CAPTULOS ANTERIORES

Sequncia de etapas cumpridas na transformao de uma matria prima num produto de interesse industrial. Conceito abrangente: inclui todas as transformaes qumicas espontneas, por ao de catalisadores ou de microrganismos.PROCESSOAplicvel aos 4 Cursos da Escola de Qumica

o campo da Engenharia que reune os conceitos e os mtodos aplicados concepo, ao projeto e operao de processos qumicos em que se encontram integrados equipamentos de reao, separao, integrao material e energtica e controle.ENGENHARIA DE PROCESSOSImplcitos na sua prtica encontram-se o emprego intensivo de recursos computacionais e o atendimento a requisitos de natureza econmica, material, energtica, de preservao ambiental e de segurana.

O conjunto de aes desenvolvidas Desde A deciso de se produzir um determinado produto qumicoAtUm plano bem definido para a construo e a operao da instalao industrial. um conjunto numeroso e diversificado de aes !!!1.1 PROJETO DE PROCESSOS QUMICOS

ANLISESNTESESELEO DA ROTA QUMICAPROJETO(a) escolha de um equipamento para cada tarefa.(b) definio da fluxograma do processo.(a) previso do desempenho do processo.(b) avaliao do desempenho do processo.Esse conjunto compreende trs sub-conjuntos que interagem:

SELEO DA ROTA QUMICA Investigar mercado para o produto Investigar reagentes plausveisInvestigar a disponibilidade das matrias primasDefinir as condies das reaes e identificar os sub-produtos geradosSNTESE Estabelecer o nmero e o tipo dos reatores Definir o nmero e o tipo dos separadores Definir o nmero e o tipo de trocadores de calor Estabelecer malhas de controle Definir o fluxograma do processoANLISE Calcular o consumo de utilidades Calcular a vazo das correntes intermedirias Calcular as dimenses dos equipamentos Calcular o consumo dos insumos Calcular o consumo de matria prima Avaliar a lucratividade do processo

O PROJETO DE PROCESSOS CARACTERIZADO PELAMULTIPLICIDADE DE SOLUES

A Sntese consiste em combinar esses equipamentos formando todos os fluxogramas plausveis em busca do melhor.Um problema com multiplicidade de soluesMULTIPLICIDADE NA SNTESE

Aqui, na Sntese, as solues so fluxogramas

EXPLOSO COMBINATRIA !!!

Modelo1. Q* (xo* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0Balano de Informao: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimizao)Variveis de Projeto: x1, x2MULTIPLICIDADE NA ANLISECada par (x1,x2) uma soluo fisicamente vivel

MULTIPLICIDADE NA ANLISEinfinidade de solues viveisAqui, na Anlise, as solues so pares de valores x1,x2

A multiplicidade de solues de um problema conduz ao conceito de Otimizao.Multiplicidade de SoluesExige a busca da OtimizaoSoluo timaatravs de

Fonte da complexidade multiplicidade de solues nos trs nveisNvel Tecnolgico: determinao da melhor rota qumica.Nvel Paramtrico (Anlise): determinao das dimenses timas de equipamentos e correntes.Nvel Estrutural (Sntese): determinao do fluxograma timo.ESTE CAPTULO !!!Otimizao TecnolgicaOtimizao EstruturalOtimizao ParamtricaO Projeto de Processos pode ser identificado como um problema complexo de otimizao

COMO RESOLVER?INTELIGNCIA ARTIFICIALRVORE DE ESTADOS

Nvel TecnolgicoSeleo de uma RotaFluxograma ?Dimenses ?Nvel EstruturalSntese de um FluxogramaDimenses ? Lucro?Nvel ParamtricoAnlise do FluxogramaDimensionamentodos Equipamentos e das Correntes. Lucro.RaizRota Qumica ?Fluxograma ?Dimenses ?Busca Orientada por rvore de EstadosTema deste Captulo

Nvel TecnolgicoSeleo de uma RotaFluxograma ?Dimenses ?Nvel EstruturalSntese de um FluxogramaDimenses ? Lucro?Nvel ParamtricoAnlise do FluxogramaDimensionamentodos Equipamentos e das Correntes. Lucro.Reagentes: D,E. Fluxograma: 3. Valor de x: 4 demais dimenses.RaizRota Qumica ?Fluxograma ?Dimenses ?Soluo do Problema de Projeto por Busca OrientadaVantagemVarre todas as solues sem repeties sem omitir a timaDesvantagemExploso Combinatria (outros mtodos)Soluo tima:

INCIO DO CAPTULO 5

ORGANIZAO DA DISCIPLINAFINALIDADE DO CAPTULOApresentar (a) conceitos bsicos de Otimizao, (b) o mtodo analtico (c) dois mtodos numricos simples (d) aplicaes em processos qumicos.

Estudo mais completo de OtimizaoEQE 002 OTIMIZAO EM ENGENHARIA QUMICA

Relembrando o Processo Ilustrativo

Fluxograma do ProcessoDimensionamento: condies conhecidas + metas de projeto

DimensionamentoG = 0 (soluo nica)

Resultado do DimensionamentoLE = 70.044 $/a

DimensionamentoincgnitasLAVALIAOECONMICAVd,Ae,Ac,Arvariveis de projetor,T9,T12OTIMIZAOW4,W6,W8,W11,W14MODELO FSICOvariveis especificadasW1x11,x14T1,T2,T5,T6,T7,T8,T10,T11,T14, tOmitindo r, T9 e T12 na lista de Metas de ProjetoPARMETROSG > 0Otimizao

Resultado da Otimizao (r, T9, T12)LE = 70.044 $/a LE = 155.931 $/a

Resumo da Anlise de ProcessosCorrespondncia dos Captulos com os Mdulos Computacionais

Resolver ProblemaCalcular LucroDimensionarExtratorDimensionarEvaporador

DimensionarCondensador

DimensionarResfriador

DimensionarMisturador

SimularExtrator

SimularEvaporadorSimularCondensadorSimularResfriadorSimularMisturadorSimularProcessoDimensionarProcesso

FIM DA REVISO

5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimizao 5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas) 5.2.2 Critrio 5.2.3 Funo Objetivo 5.2.4 Restries 5.2.5 Regio Vivel5.3 Localizao da Soluo tima5.4 Problemas e Mtodos de Otimizao5.5 Mtodo Analtico: problemas univariveis e multivariveis.5.6 Mtodos Numricos: problemas univariveis e multivariveis.5. OTIMIZAO PARAMTRICA5.1 Conceito de Otimizao

Campo da Matemtica dedicado ao desenvolvimento de mtodos de busca da soluo tima de um problemaOTIMIZAOAo de buscar a soluo tima de um problema Palavra com dois significados:

Todo problema de Otimizao encerra um conflito.ComentrioA soluo tima o ponto de equilbrio entre os fatores conflitantes

A vazo tima o ponto de equilbrio entre os fatores conflitantesRCL,R,C$/aW kg/hL = R - CExemplo

No extrator, a vazo de solvente afeta o Lucro de forma conflitante. - aumenta o consumo de solvente. Logo, aumenta o Custo operacional.- aumenta a recuperao de soluto. Logo, aumenta a Receita.Com o aumento da vazo:At vazo tima, a Receita cresce mais rapidamente e o Lucro aumenta. Aps a vazo tima, o Custo cresce mais rapidamente e o Lucro diminui. Vazo tima Lucro mximo

ORIGEM DO PROBLEMA DE OTIMIZAODo Captulo 2: na resoluo de qualquer problema:Graus de Liberdade G = V - N - EV : nmero de variveisN : nmero de equaes E: nmero de variveis especificadas (E = C + M) C = condies conhecidas M = metas de projetoEm problemas de dimensionamento, ocorre uma das trs situaes:Soluo tima?

Exemplo simplesdimensionamento de um extrator O extrator j existePretende-se apenas estabelecer a vazo de benzeno

Modelo1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0Balano de InformaoV = 5, N = 2, C = 2, M = 1G = 0(soluo nica)y = 0,04; W = 2.500 kg/h(a) Dimensionamento: meta x = 0,01 kgAB/kgAx = 0,01 kgAB/kgA

Modelo1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0Metas incompatveis na (Eq.2): o valor de y compatvel com x = 0,01 0,04. soluo impossvel!(b) Dimensionamento com 2 metas: x = 0,01 kgAB/kgA e y = 0,03 kgAB/kgBBalano de Informao V = 5, N = 2, C = 2, M = 2G = - 1 (metas em excesso)Identidade!x = 0,01 kgAB/kgAy = 0,03 kg AB/kg B

Modelo1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0Balano de Informao V = 5, N = 2, C = 2, M = 0G = 1(infinidade de solues)(c) Dimensionamento sem metasSoluo tima?Insuficincia de metas gera Graus de Liberdade OtimizaoEste o problema de interesse neste Captulo

EM RESUMOInsuficincia de metas gera graus de liberdadeGraus de liberdade geram multiplicidade de soluesA multiplicidade de solues exige a busca da soluo timaA busca de soluo tima se d por um processo de otimizaoPortanto: a otimizao tem a sua origem na insuficincia de metas

5.1 Conceito de Otimizao

5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas) 5.2.2 Critrio 5.2.3 Funo Objetivo 5.2.4 Restries 5.2.5 Regio Vivel5.3 Localizao da Soluo tima5.4 Problemas e Mtodos de Otimizao5.5 Mtodo Analtico: problemas univariveis e multivariveis.5.6 Mtodos Numricos: problemas univariveis e multivariveis.5. OTIMIZAO PARAMTRICA5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimizao

5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas)

5.2.2 Critrio

5.2.3 Funo Objetivo

5.2.4 Restries

5.2.5 Regio Vivel5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAOTodo problema de otimizao exibe os seguintes elementos, qualquer que seja a sua rea de aplicao.O conhecimento esses elementos e das suas caractersticas de fundamental importncia para a soluo do problema

5.2.2 Critrio

5.2.3 Funo Objetivo

5.2.4 Restries

5.2.5 Regio Vivel5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAO5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas)

5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas)

So as variveis manipuladas durante a busca da soluo tima.Na Engenharia de Processos so chamadas de Variveis de Projeto.O mdulo de Otimizao arbitra sucessivos valores das variveis de projeto at o Lucro alcanar o seu valor mximo.VARIVEIS DE PROJETO

As variveis de projeto so escolhidas dentre as no-especificadas. Modelo Matemtico1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0Balano de Informao V = 5, N = 2, C = 2, G = 1 (candidatas: x, y, W)W? x? y?

A origem e o papel das Variveis de Projeto

Metas insuficientes, incgnitas em excessoSistema consistente indeterminado (infinidade de solues)G = V E N = 7 - 3 - 3 = 1V = 7N = 3C = 2M = 1E = 3Mas h que se escolher uma soluoSejam as 3 equaes:

Para se obter uma das solues, preciso transformar uma das incgnitas em varivel de entrada.O projetista tem a liberdade de escolher essa incgnita. Por exemplo: x7G = V E N = 7 - 3 - 3 = 1Que passa a se denominar Varivel de Projeto

A cada valor de x7p corresponde uma soluo vivel x1, x2, x3 e um valor para o Lucro.Se a varivel for contnua, haver umainfinidade de solues viveis (indeterminado).Sem imposies, o projetista tambm tem a liberdade de escolher o valor da varivel de projeto. Qualquer outro valoratribudo como metaproduziria uma soluopior do que a tima.Ele deve escolher o valor que corresponde ao Lucro Mximo (soluo tima).

Ou seja, em problemas indeterminados, o projetista tem a oportunidade de apresentar a Soluo tima !

Varivel de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0Varivel de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0A soluo tima independe da varivel de projeto escolhidaWo = 1.972,3 xo = 0,01118 yo = 0,04472Lo = 15,6 $/hxo = 0,01118 yo = 0,04472Wo = 1.972,3 Lo = 15,6 $/h

O Algoritmo de Ordenao de Equaes conduz escolha acertadaEscolha feliz !Ciclo aberto por x (o mesmo p/ y)Sequncia de clculo acclica:2. y = k x1. W = Q (xo - x)/yVarivel de Projeto: x1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0Varivel de Projeto: W1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0Escolha infeliz !Sequncia de clculo cclicaOtimizao com clculo iterativoMas a escolha afeta o esforo computacional envolvido na otimizao

5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas)

5.2.3 Funo Objetivo

5.2.4 Restries

5.2.5 Regio Vivel5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAODevem ser identificados e analisados antes de se iniciar a resoluo doproblema5.2.2 Critrio

A busca da soluo tima tem que ser norteada por um critrio.O critrio mais comum econmico5.2.2 Critrio

Outros critrios adotados: segurana e controlabilidade.A soluo tima segundo um critrio pode no ser a tima segundo umoutro critrio. Por exemplo: a soluo mais econmica pode no ser a mais segura. E vice-versa.Dois ou mais critrios podem ser utilizados simultaneamente com pesosdiferentes (otimizao com objetivos mltiplos)

5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas)

5.2.2 Critrio

5.2.4 Restries

5.2.5 Regio Vivel5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAO5.2.3 Funo Objetivo

5.2.3 Funo Objetivo(c ) Convexidade: cncava ou convexa. a expresso matemtica do critrio de otimizao descrita em termos das variveis fsicas do problema.A sua caracterizao fundamental para a resoluo do problema de otimizao.(a) Continuidade: contnua, contnua com descontinuidade na derivada, descontnua ou discreta.Pode ser classificada quanto :(b) Modalidade: unimodal, multimodal.Pode assumir formas das mais simples s mais complexas.

5.2.3 Funo Objetivo(a) ContinuidadeOs parmetros da funo dependem da faixa de xA funo s existe para valores inteiros de x

5.2.3 Funo Objetivo(b) Modalidade

5.2.3 Funo Objetivo(b) ModalidadeIncerteza quanto ao timo globalC, E: mximos locais A: mximo globalB, D: mnimos locais F: mnimo globalB: mnimo local F: mnimo global C: ponto de sela

Funes multimodais

5.2.3 Funo Objetivo0,00,20,40,60,81,00,00,10,20,30,40,5yxx1x2(1-a)x1+ ax2y[(1-a) x1 + a x2](1-a) y(x1) + a y(x2)0 a 1 limite inferior para o mximoFuno cncava: o valor dado pela funo superior ao dado pela reta. y[(1-a) x1 + a x2] > (1-a) y(x1) + a y(x2)(c ) Convexidade (funes univariveis)

Funo convexa: o valor dado pela funo inferior ao dado pela reta: y[(1-a) x1 + a x2] < (1-a) y(x1) + a y(x2)5.2.3 Funo Objetivo(c ) Convexidade (funes univariveis)0,00,20,40,60,81,00,00,10,20,30,40,5yxx1x2(1-a)x1+ ax2y[(1-a) x1 + a x2](1-a) y(x1) + a y(x2)0 a 1limite superior para o mnimo

Concavidade (negativa) e Convexidade (positiva) de funes univariveis podem ser determinadas pelo sinal da segunda derivada da funo no ponto extremo.

5.2.3 Funo ObjetivoPara funes multivariveis, a convexidade encontra-se relacionada aos seusValores CaractersticosEquao Caractersticaque so as razes da sua(c ) Convexidade (funes multivariveis)

Matriz Hessiana:Equao Caracterstica:Os Valores Caractersticos so as razes desta equao.2 (f11 + f22) + (f11f22 f12f22) = 0Para uma funo qualquer de duas variveis

Ilustrao com Funes Quadrticas (simetria)5.2.3 Funo Objetivo(c ) Convexidade (funes multivariveis)Assumem formas diversas em funo dos valores dos coeficientes

f(x) = bo + b1 x1 + b2 x2 + b11 x12 + b22 x22 + b12 x1 x2

1 > 0 : 2 > 0 1 > 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0 1 < 0 : 2 = 0 1 < 0 : 2 < 0

5.2.3 Funo Objetivo(b) ModalidadePonto C : x1 = 0,6 : x2 = 1,4 : f = 3,3 1 = 7 : 2 = -2,3 Ponto A: x1 = -1 : x2 = 1 : f = 0 1 = 10,6 : 2 = 3,4Ponto B: x1 = 2 : x2 = 4 : f = 1.5 1 = 37 : 2 = 1

Exemplo de Funo No-Quadrtica (Lucro de 2 extratores em srie)

Modelo Fsico:1. Q* (xo* - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q* (x1 - x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0Balano de Informao: V = 8, N = 4, C = 2, M = 0 G = 2 (otimizao)Dimensionamento de 2 extratores em srie

Exemplo de Funo No-Quadrtica (Lucro de 2 extratores em srie)

5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas)

5.2.2 Critrio

5.2.3 Funo Objetivo

5.2.5 Regio Vivel5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAO5.2.4 Restries

5.2.3 RestriesSo os limites impostos pelas leis naturais s variveis do processo. (b) restries de desigualdade: g (x) 0 So os limites impostos s Variveis de Projeto(a) restries de igualdade : h(x) = 0 So as equaes do prprio modelo matemtico.H dois tipos de restries:

Exemplo: otimizao do extrator

A presena de restries pode alterar a soluo de um problemaAlterando, sempre para pior

5.2.3 Restries (a) Restries de Igualdade (soluo sobre a curva)Soluo Irrestrita: ASoluo Restrita : B (pior)g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0

5.2.3 Restries (b) Restries de Desigualdade (fronteira e interior de regies)g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0Soluo irrestrita: ASoluo restrita : B (pior)

g2(x) = x1 0g3(x) = x2 0Soluo irrestrita: ASoluo restrita : A

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0Soluo irrestrita : ASoluo restrita : B (pior)

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0Soluo irrestrita: ASoluo restrita : C (pior)

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0Soluo irrestrita: ASoluo restrita : A

g3(x) = x1 0g4(x) = x2 0Soluo impossvelRestries incompatveis

5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas)

5.2.2 Critrio

5.2.3 Funo Objetivo

5.2.4 Restries

5.2 ELEMENTOS COMUNS EM PROBLEMAS DE OTIMIZAOSo os elementos presentes em qualquer problema de otimizao,independentemente da rea de aplicao.5.2.5 Regio Vivel

5.2.4 Regio VivelBusca restrita ao interior da elipse (restrio de desigualdade g(x) 0) que se encontra sobre o plano (restrio de igualdade h(x) = 0)Regio do espao delimitada pelas restries de igualdade e de desigualdade qual se restringe a busca da soluo tima.Max f(x)s.a.: h(x) = 0 g(x) 0Exemplo: encontrar o aluno de maior CR neste piso, nesta sala

Regio ConvexaQualquer par de pontos pode ser unido por uma reta totalmente contida na regio.5.2.4 Regio Vivel ConvexidadeA convexidade garante a convergncia dos mtodos de otimizao

Regio No - ConvexaA reta que une A e B no permanece contida na regio5.2.4 Regio Vivel Convexidade o maior desafio da otimizaoA no-convexidade no garante a convergncia dos mtodos de otimizao

Restries podem ser lineares: x1 0,02 0 x2 x1 0

5.1 Conceito de Otimizao5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimizao 5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas) 5.2.2 Critrio 5.2.3 Funo Objetivo 5.2.4 Restries 5.2.5 Regio Vivel

5.4 Problemas e Mtodos de Otimizao5.5 Mtodo Analtico: problemas univariveis e multivariveis.5.6 Mtodos Numricos: problemas univariveis e multivariveis.5. OTIMIZAO PARAMTRICA5.3 Localizao da Soluo tima

5.3 Localizao da Soluo timaPontos estacionrios, descontinuidades das derivadas e fronteiras do intervalo.Mximos (M) e Mnimos (m) locais e globais

5.1 Conceito de Otimizao5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimizao 5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas) 5.2.2 Critrio 5.2.3 Funo Objetivo 5.2.4 Restries 5.2.5 Regio Vivel5.3 Localizao da Soluo tima

5.5 Mtodo Analtico: problemas univariveis e multivariveis.5.6 Mtodos Numricos: problemas univariveis e multivariveis.5. OTIMIZAO PARAMTRICA5.4 Problemas e Mtodos de Otimizao

(a) Quanto ao nmero de variveis: - Univariveis ou Multivariveis(b) Quanto presena de restries: - Irrestritos ou Restritos5.4 PROBLEMAS E MTODOS DE OTIMIZAO (b) Quanto ao tipo de informao utilizada: - Diretos: utilizam apenas o valor da funo objetivo. - Indiretos: utilizam, tambm, os valores das suas derivadas. luz dos conceitos apresentados os problemas de otimizao podemser classificados:(a) Quanto natureza: - Analtico: localiza os pontos estacionrios pelo clculo das derivadas da funo objetivo. - Numricos: buscam os pontos estacionrios por tentativas.Os mtodos de resoluo podem ser classificados:

5.1 Conceito de Otimizao5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimizao 5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas) 5.2.2 Critrio 5.2.3 Funo Objetivo 5.2.4 Restries 5.2.5 Regio Vivel5.3 Localizao da Soluo tima5.4 Problemas e Mtodos de Otimizao

5.6 Mtodos Numricos: problemas univariveis e multivariveis5. OTIMIZAO PARAMTRICA5.5 Mtodo Analtico: problemas univariveis e multivariveis.

ATENO PARA O ROTEIRO DA RESOLUO DO PROBLEMA

Modelo Matemtico:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)Balano de Informao: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimizao)Avaliao Econmica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgB5.5 MTODO ANALTICO 5.5.1 Problemas univariveisExemplo: dimensionamento do extrator

2. y = k x1. W = Q (xo - x)/y Sequncia de ClculoRestries de Igualdade !!!Equaes ordenadasVarivel de Projeto : x

Incorporando as Restries de Igualdade ordenadas Funo Objetivo (vivel em problemas simples)Funo Objetivo: L = R - C = pAB W y - pB Wa = Q (pAB xo + pB / k) = 105 b = pAB Q = 4.000 c = pB Q xo / k = 0,5

0,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,0200,0220102030405060L,R,C$/ax kgAB/kg ALCRxo =0, 01118Lo = 15,6Busca do ponto estacionrio:yo = 0,04472 kg AB/kg B; Wo = 1.972,3 kgB/h; Ro = 35,3 $/h; Co = 19,7 $/h; Lo = 15,6 $/hSoluo completa do problema:L = a - b x - c/x

Modelo Matemtico:1. Q (xo - x) - W y = 02. y - k x = 0 (k = 4)Balano de Informao: V = 5, N = 2, C = 2, M = 0 G = 1 (otimizao)Avaliao Econmica:L = R - CR = pAB W yC = pB WpAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgBCOMENTRIO: Otimizao solitriaExemplo: dimensionamento do extrator

5.5 MTODO ANALTICO 5.5.2 Problemas multivariveisModelo Matemtico1. Q(xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0 Avaliao EconmicaL = R - CR = pAB (W1 y1 + W2 y2 )C = pB (W1 + W2)pAB = 0,4 $/kgAB : pB = 0,01 $/kgBBalano de Informao: V = 8; N = 4; C = 2; G = 2 (otimizao)Exemplo: dimensionamento de 2 extratores em srie

5.5 MTODO ANALTICO 5.5.2 Problemas multivariveisModelo Matemtico1. Q (xo - x1) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 = 03. Q(x1 -x2) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 = 0 Equaes Ordenadas2. y1 = k x14. y2 = k x23. W2 = Q (x1 x2)/ y21. W1 = Q (xo - x1)/ y1OrdenaoVariveis de Projeto: x1 e x2

Incorporando as Restries de Igualdade Funo Objetivo LBuscando o ponto estacionrio:Soluo completa:y1o = 0,05428 kgAB/kgB; W1o = 1.184 kgB/hy2o = 0,03684 kgAB/kgB; W2o = 1.184 kgB/hCo = 23,68 $/h; Ro = 43,15 $/h; Lo = 19,47 $/hL = a b/x1 cx2 d x1/x2L/x1 = b/x12 d/x2 = 0L/x2 = - c + dx1/x22 = 0L = R C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2)2. y1 = k x14. y2 = k x23. W2 = Q (x1 x2)/ y21. W1 = Q (xo - x1)/ y1

Modelo Fsico1. Q* (xo* - x1 *) - W1 y1 = 02. y1 - k x1 * = 03. Q * (x1 * - x2 *) - W2 y2 = 04. y2 - k x2 * = 0Balano de InformaoV = 8, N = 4, C = 2, M = 2 G = 0 (soluo nica)DIMENSIONAMENTO COM G = 0Lucro = 17,8 $/h

Dimensionamento: x1* = 0,015 e x2* = 0,008

IMPORTANTEA soluo tima de um sistema s pode ser obtida se todos os elementos estiverem presentes durante a resoluo do problemaComo se cada elemento negociasse a sua participao com os demais visando o objetivo almejado para o processo(sem egosmo)Exemplo: 2 extratores em srieParticipao simultnea dos elementos

Durante a soluo analtica...Buscando o ponto estacionrio:Soluo negociadaL = a b/x1 cx2 d x1/x2L/x1 = b/x12 d/x2 = 0L/x2 = - c + dx1/x22 = 0L = R C R = pAB (W1 y1 + W2 y2 ) C = pB (W1 + W2)2. y1 = k x14. y2 = k x23. W2 = Q (x1 x2)/ y21. W1 = Q (xo - x1)/ y1

Estgio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368 Lucro $/a 13,87 5,61 19,48Examinando a contribuio de cada estgio soluo timaCada extrator negociou o quanto recuperaria de soluto visando o Lucro Mximo do sistema

02,04,06,08,010121416180,0050,0100,0150,0200,0250,0300,0350,0020,0040,0060,0080,0100,0120,0140,0160,0180,020X2X119,50,013570,00921

OTIMIZAO SIMULTNEA x SEQUENCIALO Mtodo Analtico foi aplicado s duas variveis de projeto simultaneamente, surgindo um sistema de duas equaes que foi resolvido.Alternativamente, pode-se pensar em decompor o problema em dois sub-problemas univariveis: otimizar o primeiro estgio utilizar o valor timo x1o na otimizao do segundo.

Soluo tima do Estgio 1Soluo tima do Estgio 2imposio!

x1 = 0,01118 kgAB/kgAx2 = 0,008359 kgAB/kgAEstgio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815 Lucro $/a 15,56 2,84 18,40O segundo estgio foi otimizado para x1 = 0,01118Resultando:

A busca de x2o ficou restrita a x1 0,01118 = 0Obviamente, no a soluo tima

Comparando as duas solues...

Soluo SeqencialEstgio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 88,20 28,21 116,41 Solv. Cons. kg/h 1.972 843 2.815 Lucro $/a 15,56 2,84 18,40 Soluo SimultneaEstgio 1 2 Total Soluto Rec. kg/h 64,28 43,62 107,90 Solv. Cons. kg/h 1.184 1.184 2.368 Lucro $/a 13,87 5,61 19,48A soluo tima aquela obtida pela otimizao simultneaNa soluo seqencial, o primeiro estgio consome mais solvente e recupera mais soluto. Mas o faz ignorando o segundo estgio que consome menos solvente mas recupera menos soluto.

Problemas Restritos [hi(x) , gi(x)]Mtodo dos Multiplicadores de Lagrange1. Formar o Lagrangeano do problema: L(x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j2] i : multiplicadores de Lagrange i : varivel de folga (distncia de um ponto interior fronteira da restrio; transforma desigualdade em igualdade)2. Localizar os pontos estacionrios do Lagrangeano.3. Analisar as solues obtidas luz das restries.

Exemplo: Min f(x) = (x1 1)2 + (x2 1)2 s.a.: g1 (x) = x12 + x22 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0

Exemplo: Min f (x) = (x1 1)2 + (x2 1)2 s.a.: g1 (x) = x12 + x22 0,25 0 g2 (x) = x1 0 g3 (x) = x2 0Considerar apenas g1(x) e depois eliminar valores negativos de x1 e x2 L (x, , ) = f(x) + i hi (x) + j [gj(x) - j2] L (x, , ) = (x1 1)2 + (x2 1)2 + [x12 + x22 0,25 - 2]Formar o Lagrangeano:

L (x, , ) = (x1 1)2 + (x2 1)2 + [x12 + x22 0,25 - 2]L / x1 = 2 x1 2 + 2 x1 = 0 x1 = 1/(1 + ) (1) L / x2 = 2 x2 2 + 2 x2 = 0 x2 = 1/(1 + ) (2) L / = x12 + x22 0,25 - 2 = 0 (3) L / = 2 = 0 (4) A Eq. (4) satisfeita para: = 0 (soluo irrestrita): = 0 (folga zero, fronteira da regio):(1) x1 = 1 ; (2) x2 = 1(1) e (2) em (3) x1 = x2 = 0,35

Resolver os problemas:

5.1 a 5.6: j na Lista de Exerccios do site

5.7 , 5.8, 5.14 a 5.17

5.1 Conceito de Otimizao5.2 Elementos Comuns em Problemas de Otimizao 5.2.1 Variveis de Projeto (de Deciso, Manipuladas) 5.2.2 Critrio 5.2.3 Funo Objetivo 5.2.4 Restries 5.2.5 Regio Vivel5.3 Localizao da Soluo tima5.4 Problemas e Mtodos de Otimizao5.5 Mtodo Analtico: problemas univariveis e multivariveis.

5. OTIMIZAO PARAMTRICA5.6 Mtodos Numricos: problemas univariveis e multivariveis

5.6 MTODOS NUMRICOS Indiretos: utilizam, tambm, o valor da derivada da Funo Objetivo. (com mais informao, o nmero de tentantivas menor; mas o esforo computacional maior).So mtodos de busca por tentativas.- Robustez: resolver uma variedade maior de problemas.Os pesquisadores buscam desenvolver mtodos que atendam s seguintes propriedades:- Eficincia: resolver o mesmo problema com menor esforo.- Diretos: orientam as tentativas com base apenas no valor da Funo Objetivo.Os mtodos podem ser:

Motivao para o uso de mtodos numricos 5.6. MTODOS NUMRICOS 5.6.1 Problemas UnivariveisDimensionamento de um trocador de calor

ModeloBalano de Informao: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimizao)Avaliao EconmicaFLUXOGRAMA

Incorporando o modelo ordenado Funo ObjetivoVarivel de Projeto: T4

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65.

MTODOS DE ESTREITAMENTO DO INTERVALO VIVEL(b) a partir dos valores calculados e da suposio de unimodalidade, elimina-se a parte do intervalo em que o ponto extremo no pode estar (o intervalo vivel, de incerteza, reduzido).(a) a Funo Objetivo calculada em determinados pontos do intervalo vivel.(c) o intervalo vivel vai sendo estreitado sucessivamente a cadaiterao at se tornar menor do que uma tolerncia pr-estabelecidaOs mtodos diferem quanto ao nmero e ao critrio de colocao dos pontos.Hiptese: a Funo Objetivo unimodal Ento, qualquer ponto no interior do intervalo pode ser considerado como soluo do problema.

Dois experimentos por cicloTrs experimentos por cicloExemplos (Problemas de Mximo)

MTODO DA SEO UREAEm cada iterao, um dos intervalos eliminado com base no valor da Funo Objetivo calculada em apenas dois pontos.Onde posicionar xi e xs? Qual esta frao?Esses pontos (xi e xs) so estrategicamente posicionados de modo a:(a) exibir uma simetria em relao aos limites do intervalo (Li e Ls)(b) eliminar sempre a mesma frao do intervalo vigente.

Esta frao advm da razo dos lados do Retngulo ureo (aquele esteticamente perfeito, segundo os gregos)Seja um retngulo de lado maior 1 e lado menor A razo dos seus lados /1 =

Removendo-se um quadrado, 1esobra um retngulo cuja razo dos lados (1 - ) /

O Retngulo ureo aquele cuja razo dos lados permanece a mesma ao se remover quadrados sucessivosEsta a Razo urea dos lados de um retngulo1 = 0,618 = 0,6182 ou

Retngulo ureo0,618 / 1 = 0,382 / 0,618 = 0,618Assim, a cada remoo de um quadrado, o lado maior do retngulo fica reduzido a 61,8% do comprimento anterior.0,382 = 0,6182

Aps a remoo de 10 quadrados, o lado maior do retngulo estar reduzido a 0,61010 = 0,0081 do comprimento original, ou seja, a menos de 1% do comprimento original.1 0,618 0,382 0,236 0,146 0,090

Retngulo ureo na Arquitetura Grega

MTODO DA SEO UREAEm cada iterao, um dos intervalos eliminado com base no valor da Funo Objetivo calculada em apenas dois pontos.Esses pontos (xi e xs) so estrategicamente posicionados de modo a:(a) exibir uma simetria em relao aos limites do intervalo (Li e Ls)(b) eliminar sempre a mesma frao do intervalo vigente.Isto obtido dividindo o intervalo de busca na razo urea0,382 0,382 = Ls Li xi = Li + 0,382 xs = Ls - 0,382

Algoritmo da Seo ureaUREAIniciarRepetir Eliminar Regio Atualizar Delta Se Convergiu Ento Finalizar Colocar Novo PontoConvergiuDelta Tolerncia

IniciarRepetir Eliminar Regio Atualizar Delta Se Convergiu Ento Finalizar Colocar Novo Pontoxs Lsxi xs Fi Fsxi Li xs xi Fs Fi0,382 0,382 0,382 0,382

EXEMPLO Dimensionamento de um trocador de calorCp1 = 1,35 kcal/kg oC Cp3 = 1,00 kcal/kg oC U = 0,75 kcal / m2 oC

ModeloBalano de Informao: V = 9; N = 4; C = 3; M = 1; G = 1 (otimizao)Avaliao EconmicaFLUXOGRAMA

Incorporando o modelo ordenado Funo ObjetivoVarivel de Projeto: T4

Limites de T4: 15 e 100, com uma descontinuidade em 65 (T4 = 1)

PROGRAMA urea.bas e urea.xlsIniciarRepetir Eliminar Regio Atualizar Delta Se Convergiu Ento Finalizar Colocar Novo Ponto

9.5686.287LixiSe Convergiu Ento Finalizar Colocar Novo Ponto5.339IniciarRepetir Eliminar Regio Atualizar Delta

10% : / i = 0,10 N = 5,78 6 1% : / i = 0,01 N = 5,78 10,56 11Nmero N de clculos da Funo Objetivo para reduzir o intervalo a uma frao ( / i) do intervalo inicial.Da tabela acima:

N = 3 ( / i ) = (32,47/85) = 0,382 = 0,6182 = 0,618 N-1Ln ( / i ) = (N-1) Ln 0,618 N = 1 + Ln ( / i ) / Ln 0,618

ALGORITMO ORIGINALIniciarRepetir N vezes Eliminar Regio Colocar Novo PontoIniciarRepetir Eliminar Regio Atualizar Delta Se Convergiu Ento Finalizar Colocar Novo PontoALGORITMO ALTERNATIVO

VER PROGRAMA AUREA.XLS

Minimizao do Custo do Trocador de CalorResultado do Aurea.xls

T4o = 92,33 oC

Soluo:W3o = xxx kg/hAo = xxx m2

NLixsFsxiFiLsD215,0047,476776,6367,535073,83100,0085,00347,4767,535073,8379,934510,13100,0052,53467,5379,934510,1387,604293,36100,0032,47579,9387,604293,3692,334222,96100,0020,07687,6092,334222,9695,264224,39100,0012,40 87,60 92,334222,9695,267,67

FUNES MULTIMODAIS

Busca entre -2 e 3: resulta -1Busca entre -1 e 3: resulta 2Busca entre -1 e 2: resulta -1Busca entre -2 e -1: resulta -1Busca entre 2 e 3: resulta 2EstratgiaRealizar buscas por intervalosPode-se, agora, iniciar uma busca por mximos dentro desses intervalos

5.6. MTODOS NUMRICOS Procedimento Geral:(c ) progresso na direo de busca at deciso em contrrio. (b) explorao da vizinhana da base para inferir uma direo de busca.(a) seleo de um ponto inicial (base).Os mtodos diferem quanto forma de executar a explorao e a progresso.Alguns mtodos diretos:- Busca Aleatria- Busca por Malhas- Busca Secionada- Simplex- Hooke & Jeeves5.6.2 Problemas Multivariveis(d) finalizao

Mtodo de Hooke & JeevesALGORITMOSeno: reduzir os incrementos Explorar, Progredir e Chegou ao timo: ver em seguidaEstabelecer um incremento e uma tolerncia para cada varivelEscolher uma BaseRepetirExplorar a vizinhana da Base (em busca da direo provvel do timo)Se houve Sucesso em alguma direoEnto: Progredir (na direo provvel) at haver um InsucessoSeno (estamos nas proximidades do timo):Se Chegou ao timoEnto: Finalizar

Base: o centro da regio de busca (na falta de maiores informaes).Tolerncia: o menor intervalo de incerteza admissvel para cada varivelIncremento: a busca deve ser grosseira, porm rpida no incio e lenta e minuciosa nas proximidades do timo. O incremento inicial pode ser 2 vezes a tolerncia, ou mais, para ser reduzido metade medida que se aproxima do timo.

ExploraoTestar a Funo Objetivo em cada sentido (incrementos + i e - i) de cada direo (xi) ao redor da Base.BaseA Explorao no pode ser interrompida sem que todas as direes tenham sido testadas.Do resultado, depreender a direo provvel do timo

ExploraoBaseFunes unimodais: o sucesso num sentido dispensa o teste no outro.S: Sucesso I: Insucessobuscando mximoSucessodesnecessrio

ExploraoBaseO Sucesso numa tentativa justifica a mudana da Base para a nova posio. A Explorao continua a partir desta melhor posio.

Seguem-se todos os resultados possveis da Explorao

1815Sucesso: deslocar a BaseSucesso: deslocar a BaseDireo provvel do timoUnimodalidade: dispensa + 1 Direo x1Direo x2Unimodalidade: dispensa + 2

151218Sucesso: deslocar a BaseInsucesso: permanecer na BaseSucesso: deslocar a BaseDireo provvel do timoDireo x1Direo x2Unimodalidade: dispensa + 1

15Sucesso: deslocar a Base12Insucesso: permanecer na BaseDireo provvel do timoDireo x1Direo x2Unimodalidade: dispensa + 113Insucesso: permanecer na Base

718Sucesso: deslocar a BaseInsucesso: permanecer na BaseSucesso: deslocar a BaseDireo provvel do timo15Direo x1Direo x2Unimodalidade: dispensa + 2

7Sucesso: deslocar a BaseInsucesso: permanecer na BaseDireo provvel do timo151218Sucesso: deslocar a BaseInsucesso: permanecer na BaseDireo x1Direo x2

7Sucesso: deslocar a BaseInsucesso: permanecer na BaseDireo provvel do timo15Insucesso: permanecer na BaseDireo x1Direo x21211Insucesso: permanecer na Base

7Sucesso: deslocar a BaseInsucesso: permanecer na BaseDireo provvel do timoDireo x1Direo x2Insucesso: permanecer na Base815Unimodalidade: dispensa + 2

7Insucesso: permanecer na BaseDireo provvel do timo10BaseDireo x1Direo x2Insucesso: permanecer na Base8Sucesso: deslocar a Base15Insucesso: permanecer na Base9

7Insucesso: permanecer na Base10BaseDireo x1Direo x2Insucesso: permanecer na Base8Insucesso: permanecer na Base9Insucesso: permanecer na Base5A Base deve estar prxima do timo !

Mtodo de Hooke & JeevesALGORITMOEstabelecer um incremento e uma tolerncia para cada varivelEscolher uma BaseRepetirExplorar a vizinhana da Base (em busca da direo provvel do timo)Se houve Sucesso em alguma direoEnto: Progredir (na direo provvel) at haver um Insucesso

A Base estar suficientemente prxima para ser declarada como o timo?Se todos os incrementos estiverem menores do que as tolerncias, SIM!: FinalizarSe algum deles estiver maior, ento este deve ser reduzido metade.Inicia-se uma nova Explorao volta da Base com os novos incrementos

Reduzir os incrementos 1 = 1 /2 , 2 = 2 /21 > 1 e 2 > 2 ainda no chegou ao timo

Reduzir os incrementos 1 = 1 /2 , 2 = 2 /2+ 1- 1+ 2- 21 > 1 e 2 > 2 ainda no chegou ao timo

1 < 1 e 2 < 2a Base pode ser considerada o Ponto timo

Mtodo de Hooke & JeevesALGORITMOSeno: reduzir os incrementos Estabelecer um incremento e uma tolerncia para cada varivelEscolher uma BaseRepetirExplorar a vizinhana da Base (em busca da direo provvel do timo)Seno: (proximidade do timo)Se Chegou ao timoEnto: Finalizar

Mtodo de Hooke & Jeeves : Fase de Progresso2522Progredir at ocorrer um InsucessoSucesso! Mover a Base. Continuar a ProgressoInsucesso! Permanecer na Base (25)Explorao a partir da Base (25) com 1 e 2 .

Mtodo de Hooke & Jeeves : Fase de Progresso2522Resultado da ExploraoProgredir com duplo incremento at ocorrer um InsucessoSucesso! Mover a Base. Continuar a ProgressoInsucesso! Permanecer na Base (25)Explorao a partir da Base (25) com 1 e 2 .

Funes UnimodaisO mtodo converge sempre para o nico extremo independentemente da base inicial.Os incrementos iniciais afetam apenas o nmero de tentativas.

O mtodo pode convergir para extremos locais diferentes dependendo da base inicial e dos incrementos iniciais selecionados.Funes Multimodais(a) partindo de bases iniciais diferentes pode-se alcanar extremos locais diferentes com os mesmos incrementos iniciais.(b) partindo de uma mesma base inicial pode-se alcanar extremos locais diferentes com incrementos iniciais diferentesf (x) = (x12 + x2 11)2 + (x22 + x1 7)2

Mtodo de Hooke & JeevesALGORITMOSeno: reduzir os incrementos Estabelecer um incremento e uma tolerncia para cada varivelEscolher uma BaseRepetirExplorar a vizinhana da Base (em busca da direo provvel do timo)Seno: (proximidade do timo)Se Chegou ao timoEnto: Finalizar

DIMENSIONAMENTO POR SIMULAES SUCESSIVASEMPREGADO POR SOFTWARES COMERCIAISEmpregam, para dimensionamento, os mdulos ordenados para simulao.Mas exige um procedimento de otimizao: funo objetivo (a ser minimizada): diferena, em valor absoluto, entre os valores obtidos para as variveis de sada e os valores estipulados como metas variveis de projeto: as dimenses dos equipamentos

Exemplo: ExtratorFO = |x 0,008|NormalSimulaes Sucessivas

Exemplo: Extrator1. Q (xo x) W y = 0 2. y k x = 0x = Q xo / (Q + k W )Por Seo urea, 0 < W < 1.000 W = 3.750

Exemplo: Trocador de Calor1.T2 = T1 Q / W1Cp1 2. T4 = T3 + Q / W3Cp3 4. d = ... 3. Q U A d = 0NormalSimulaes SucessivasQCiclo!

Exemplo: Trocador de CalorSubstituindo 4, 2 e 1 em 3, resulta:a = T1 T3 b = U A [ 1 / W1 Cp1 1 / W3 Cp3] 3. Q = a (eb 1) / [ eb / W1 Cp1 1 / W3 Cp3] 1.T2 = T1 Q / W1Cp1 2. T4 = T3 + Q / W3Cp3 4. d = ...

Exemplo: Trocador de Calora = T1 T3 b = U A [ 1 / W1 Cp1 1 / W3 Cp3] 3. Q = a (eb 1) / [ eb / W1 Cp1 1 / W3 Cp3] 1.T2 = T1 Q / W1Cp1 2. T4 = T3 + Q / W3Cp3 4. d = ...OtimizaoFO = |T2 25| + |T4 30|

**********F (x1,x2)= (x12 + x2 11)2 + (x22 + x1 7)2*******************