CAPÍTULO 6

Capítulo 6

Elasticidad lineal

6.1 LEY DE HOOKE GENERALIZADA. FUNCIONDE LA ENERGIA DE DEFORMACION

En la teoría clásica de la elasticidad lineal, se supone que los desplazamientos y los gradientes de des-plazamiento son suficientemente pequeños, de tal manera que no es necesaria ninguna distinción entre lasdescripciones lagrangiana y euleriana. Según esto, en función del vector desplazamiento u-, el tensar dedeformación lineal está dado por las expresiones equivalentes

o~(-u.. +u .. )- i- ) ).1

(6.1)

En lo que sigue se supone que los procesos de deformación son adiabáticos (sin pérdida o ganancia decalor) e isotérmicos (a temperatura constante) a menos que específicamente se establezca lo contrario.

Las ecuaciones constitutivas para un sólido elástico lineal relacionan los tensores de tensión y defor-mación a través de la expresión

o (6.2)

que es conocida como la ley de Hooke generalizada. En (6.2) el tensor de las constantes elásticas C;jkm

tiene 81 componentes. No obstante, debido a la simetría de los tensores de tensión y deformación, hayalo sumo 36 constantes elásticas distintas. Con objeto de escribir la ley de Hooke mediante estas 36 cons-tantes, el sistema de doble asignación de índices a las componentes de tensión y deformación se sustituyecon frecuencia por un sistema de notación sencilla con un Índice de rango 6. Así, con la notación

all al aZ3 U:3:2 al

a2~ a~ o1~ a:l1 U_

"fT:;;; a3 a12 0"21 Ur.

y

E 11 i] 2<2:1 z.; i4

(22 (-2 2il~ 2<31 Le

(:~3 LJ 2<12 2<21 <6

158

(6.3)

(6.4)

./

CAP. 6 ELASTIClDAD LINEAL 159

la ley de Hooke se puede escribir

aK == CK.\lf\[ (K,M=1,2,3,4,5,6) (6.5)en la que GKM representa a las 36 constantes alásticas, y donde los subíndices en mayúsculas latinas se usanpara resaltar que el rango de estos índices es 6.

Cuando se desprecian los efectos térmicos, la ecuación del balance de energía (5. 32) se puede escribir

dudI

1-aD ..p 1) 1J (6.6)

En este caso, la energía interna es puramente mecánica y se denomina energía de deformación (por unidadde masa). De (6.6),

(6.7)

y si u se considera como una función de las nueve componentes de deformación, u == u«¡), su diferencialserá

du au-0- d< ..0<.. "

1)

(6.8)

Comparando (6. 7) Y(6.8), se observa que

1=sr.,p 'J

(6.9)

La densidad de energía de deformación u*(por unidad de volumen) se define como

u* == pu (6.10)

y puesto que p se puede considerar constante en la teoría de las pequeñas deformaciones, u* tiene lapropiedad

(6.11)

Además, se puede elegir arbitrariamente un estado de energía de deformación nulo; y puesto que la ten-sión tiene que anularse con las deformaciones, la forma más sencilla de la función de la energía de defor-mación que conduce a una relación tensión-deformación lineal es la forma cuadrática

(6.12)

De (6.2), esta ecuación se puede escribir

o u* = -}¿::E (6.13)

En el sistema de asignación de índices sencillos, (6.12) se convierte en

(6.14)

en la que GKM = G~1K. Debido a esta simetría de GKM, el número de constantes elásticas independientes es alo sumo 21 si existe una función para la energía de deformación.

160 ELASTICIDAD LINEAL CAP. 6

6.2 ISOTROPIA. ANISOTROPIA. SIMETRIA ELASTICA

Si las propiedades elásticas son independientes del sistema de referencia usado para describirlas, sedice que tal material es elásticamente isótrapo. Un material que no es isótropo se denomina anisótropo.Puesto que las propiedades elásticas de un sólido hookiano se expresan a través de los coeficientes CKM, uncuerpo anisótropo general tendrá una matriz de constantes elásticas de la forma

¡Cn C12 Cl3 C14 Cl5 C16lC21 CZ2 Cz.3 C24 CZ5 C26

[CKM]lC"'

C3Z C33 C3,¡ C35 C36(6.15)

C4! C42 C43 C44 C45 C46

c.. C5z C53 C.51 CS5 C56

CS! CS2 C6:3 CG4 CS5 C66

Cuando existe una función de energía de deformación para un cuerpo, CKM = CMK, y las 36 constantes de(6.15) se reducen a 2L

En un punto existe U!! plano de simetría elásticacuando las constantes elásticas tienen los mismos valorespara cada par de sistemas coordenadas que son eluno del otro como las imágenes reflejadas respecto al plano.Se alude a los ejes de tales sistemas coordenadas como"direcciones elásticas equivalentes". Si el plano X1X2 es unode simetría elástica, las constantes CKM son in variantes bajola transformación de coordenadas

(6.16)

como se indica en la Fig. 6-1. La matriz de transformaciónde (6.16) está dada por

'1

O

O

(6.17) Fig. 6-1

Introduciendo los valores de (6.17) en las leyes de transformación de los tensores lineales de tensión ydeformación, (2.27) y (3.78) respectivamente, la matriz elástica de un material que tiene X¡X2 como planode simetría es

Cn C!2 C10 O O C¡S

C21 C22 C2:1 O O C26

[CKM]C3! C:JZ C3:J O O C:1G

(6.18)O O O c.. C.!5 O

O O O C54 C;5.5 O

Cn! CGZ CG:1 O O C6G

Las 20 constantes de (6.18) se reducen a 13 cuando existe una función de energía de deformación.

CAP. 6 ELASTICIDAD LINEAL 161

Si un material posee tres planos de simetría elástica mutuamente perpendiculares, el material sedenomina ortotrápico y su matriz elástica es de la forma

Cll C12 C13 O O 0-1C21 C22 C23 O O O

C31 C;¡z C33 O O O[CKM] (6.19)

O O O C44 O O

O O O O C55 O

O O O O O C66~

que tiene 12 constantes independientes, o 9 si CK~1= CMK.

Se dice que en un punto existe un eje de simetrfa elástica de orden N cuando hay un conjunto dedirecciones elásticas equivalentes que pueden superponerse mediante una rotación de un ángulo 2"INalr vledor del eje. Ciertos casos de simetría elástica plana y axial son equivalentes.

6.3 MEDIOS ISOTROPOS. CONSTANTES ELASTICASLos cuerpos que son elásticamente equivalentes en todas las direcciones poseen una simetría com-

pleta y se denominan isotropos. En este caso cada plano y cada eje tienen simetría elástica.En caso de isotropia, el número de constantes elásticas independientes se reduce a 2, y la matriz elás-

tica es simétrica independientemente de la existencia de una función de energía de deformación. Eligiendolas dos constantes independientes como las conocidas constantes de Lamé. A y p., la matriz (6.19) sereduce a la forma elástica e isótropa

A + 2/L A A O O olA A+2/L A O O O

[C¡\M]A A A + 2/.~ O O O

(6.20)O O O /L O O

O O O O /1 OO O O O O ~LJ

En términos de A y ,1)., la ley de Hooke (6.2) se escribe para un cuerpo isótropo

ai¡ = AOi¡(kk + 2~t(i¡ o I = ,\I( + 2/-tE (6.21)

donde ( = (kk = lE. Esta ecuación se puede invertir fácilmente para expresar las deformaciones en funciónde las tensiones según

-A 12 (3 2) o.akk + 2-a ..

/1 A + p. IJ {L 'Jo (6.22)

donde 0 = akk = II' que es el símbolo tradicionalmente usado en elasticidad para denotar al primer in-variante de tensión.

Para un estado de tensión uniaxial sencillo en la dirección XI, se pueden introducir las constantes deingeniería E y v a través de las relaciones al! = ECIl y (22 = (33 = -V(ll' La constante E es conocida como


módulo de Young, y v se llama coeficiente de Poisson. En función de estas constantes elásticas la ley deHooke para cuerpos isótropos se convierte en

E ( v ) ! E ( 1') (6.23)(Tij -1- (..+128(kk o -- E+--I(+1' 1) - l' 1) 1+ v 1- 21'

o invertida1+ v v

E 1+ v! - ..':'.-10 (6.24){ij ---¡;¡- O'ij - E 8;jO'kk o = E E

Si consideramos el estado de tensión originado por una presión hidrastática uniforme, es posibledefinir el módulo volumétrico,

K = E3(1-21')

o K = 3.\ + 2,u.3

(6.25)

que relaciona la presión con la dilatación cúbica de un cuerpo así cargado. Para el estado denominadode cisión pura, el módulo de rigidez G relaciona las componentes cortantes de tensión y deformación. Ges de hecho igual a IJ. y la expresión

GE

(6.26)2(1+1')

puede ser probada sin dificultad.

6.4 PROBLEMAS ELASTOSTATICOS. PROBLEMAS ELASTODINAMICOSEn un problema elastostático de un cuerpo isótropo homogéneo, existen ciertas relaciones deno-

minadas,

(a) Ecuaciones de equilibrio,

o o '1' ¿ + pb o (6.27)

(b) Ley de Hooke,

o (6.28)

(c) Relaciones desplazamiento-deformación,

f·· = t(u .. + u. ,)IJ !,J ].t

o (6.29)

que tienen que ser satisfechas en todos los puntos del cuerpo. Además, tienen que satisfacerse determi-nadas condiciones de tensión y/o de desplazamientos en la superficie límite del cuerpo.

En elasticidad los problemas con valores de contorno se clasifican según las condiciones de contornoen problemas para los que

(1) se dan los desplazamientos en todas las partes del contorno,

(2) se dan las tensiones (tracciones superficiales) en todas las partes del contorno,

(3) se dan los desplazamientos en una parte del contorno y las tensiones en las partes restantes.

Para todos estos casos se supone que son conocidas las fuerzas másicas en todas las partes del medio con-tinuo.

CAP.6 ELASTICIDAD LINEAL 163

Para aquellos problemas en los que se dan las componentes de los desplazamientos en todas las partesdel contorno por una ecuación de la forma

o u = g(X) (6.30)

las relaciones desplazamiento-deformación (6.29) se pueden sustituir en la ley de Hooke (6.28) y el resul-tado a su vez en (6.27) obteniéndose así las ecuaciones que resuelven estos problemas,

o (6.31)

que son denominadas ecuaciones de Navier-Cauchy . La solución a este tipo de problemas se da por lotanto en la forma del vector desplazamiento Ui, que satisface (6.31) en todas las partes del medio continuoy cumple las condiciones (6.30) del contorno.

Para aquellos problemas en los que se aplican tracciones superficiales en todas las partes del contor-no, dadas por ecuaciones de la forma

o (6.32)

se pueden combinar las ecuaciones de compatibilidad (3.104) con la ley de Hooke (6.24) y la ecuación deequilibrio (6.27) para obtener las ecuaciones que resuelven estos problemas.

+ -1 1 Clkk .. + p(b .. + b .. ) + -1 v 8.pb¡. k+ v . ,1J l,} J,t - V IJ \..,o

o,\j72¿ + _1_'V'V8 + p('Vb+b'V) + 1_

Vv'P'V'b1+ v

o (6.33)

que son llamadas ecuaciones de compatibilidad de Beltrami-Michell. La solución de este tipo de pro-blemas se obtiene especificando el tensor de tensión que satisface (6.33) en todas las partes del medio con-tinuo y cumple las condiciones de contorno (6.32).

Para los problemas en los que se dan condiciones de contorno" mixtas" se tiene que resolver el sis-tema de ecuaciones formado por (6.27), (6.28) y (6.29). La solución da los campos de tensión y de des-plazamientos en todas las partes del medio continuo. Las componentes de tensión tienen que satisfacer(6.32) en alguna parte del contorno, mientras que los desplazamientos satisfacen (6.30) en las restantespartes del contorno.

En la formulación de problemas elastodinámicos, las ecuaciones de equilibrio (6.27) tienen que sersustituidas por las ecuaciones de movimiento (5.16)

o 'V' L + pb = pV (6.34)

y se tienen que especificar no sólo las condiciones de contorno sino también las condiciones iniciales.En términos del campo de desplazamientos Ui, la ecuación que aquí, resuelve el problema, análoga a (6.31)en el caso elastostático es

«u.... + (A + IJ.)U ... + pb. = pU,_I I,J) Jdt l

o (6.35)

Las soluciones de (6.35) aparecen en la forma u, = Ui(X, t) y tienen que satisfacer no solamente las con-diciones iniciales del movimiento, frecuentemente expresadas por ecuaciones tales como

y (6.36)

sino también las condiciones de contorno, O los desplazamientos'

164 ELASTICIDAD LINEAL CAP.6

t,,¿ = gi(X, t) O u g(x, t) r 'J . .r: )

O bien en las tracciones superficiales

t<~) t;~) (x, t) o t(~) t(~) (x, t) (6.38)¡

6.5 TEOREMA DE SUPERPOSICION. UNICIDAD DE LASSOLUCIONES. PRINCIPIO DE STo VENANT

Debido a que las ecuaciones de la elasticidad lineal son ecuaciones lineales, se puede usar el principiode superposición para obtener soluciones adicionales a partir de las que se han obtenido previamente. Si,por ejemplo, (T(l) ,u(l) representan una solución del sistema (6.27), (6.28) Y(6.29) con fuerzas másicas b())

tJ t I

Y (T:).~l, 'u¡~~) representan otra solución con fuerzas másicas b,(2) , entonces (F .. = (F(l) + oJ?), u. = ull) +"-) IJ 11 t 1

U,(2) representan una solución del sistema para las fuerzas másicas b, = bí'! + b(2) •1 ¡ t

La unicidad de una solución al problema elastostático general en elasticidad se puede establecermediante el uso del principio de superposición, junto con la ley de la conservación de la energía. En losejercicios presentados más adelante se incluye una prueba de la unicidad.

El principio de Sto Venant es un enunciado que considera ras diferencias de tensiones y deformacionesque tienen lugar en alguna posición interior de un cuerpo elástico, debidas a dos sistemas de traccionessuperficiales separados pero estáticamente equivalentes, que se aplican a alguna parte del contorno. Elprincipio afirma que, para posiciones suficientemente alejadas del área de aplicación de las cargas, lasdiferencias son despreciables. Esta hipótesis a menudo es de gran ayuda en la resolución de problemasprácticos.

6.6 ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL. TENSION PLANAy DEFORMACION PLANA

Muchos problemas de la elasticidad se pueden tratar satisfactoriamente mediante una teoría plana dela elasticidad o teoría bidimensional. Hay dos tipos generales de problemas involucrados en este análisisplano. Aunque estos dos tipos se pueden definir atribuyendo ciertas restricciones y suposiciones a loscampos de tensiones y desplazamientos, con frecuencia se introducen de una manera descriptiva en tér-minos de sus prototipos físicos. En los problemas de tensión plana, la geometría del cuerpo es esencial-mente la de una lámina con una dimensión mucho más pequeña que las otras dos. Las cargas se aplicanuniformemente sobre el espesor de la lámina y actúan en el plano de la misma, como se indica en la Fig.6-2(a). En los problemas de deformación plana, la geometría del cuerpo es esencialmente la de un cilindroprismático con una dimensión mucho más grande que las otras dos. Las cargas están uniformemente dis-tribuidas con respecto a la dimensión mayor y actúan perpendicularmente a ella, como se indica en la Fig.6-2(b).

Xz

(a) Fig.6-2


En el problema de tensión plana de la Fig. 6-2(a) las componentes de tensión 0"33' 0"13' a23 se considerannulas en cualquier parte, y las componentes restantes se toman como funciones de Xl y X2 únicamente

(a, (3 = 1,2) (6.39)

Según esto, las ecuaciones de campo para tensión plana son

(a) o "? • ¿ + pb = O (6.40)

(b) o(6.41)

(e) €ctll i(u".1l + ull,,,) o E -Hu,,? + ,,?u)

en las que a "- a "-"? - -el + -e? yaXl axz-

("', (T 12

D· e €l2 .~J¿ a12 a22 E '12 '22

O o O O

(6.42)

(6.43)

Debido a la forma particular del tensor de deformación en el caso de tensión plana, las seis ecuaciones decompatibilidad (3.104) se pueden reducir para láminas muy delgadas y con una exactitud razonable, a laecuación sencilla

(6.44)

En términos de las componentes del desplazamiento U", las ecuaciones de campo se pueden com binar paraobtener la ecuación que resuelve estos problemas según

o E ? E2(1 +v) y-u + 2(1- v) ,,?,,?' u + pb ~:- O

(6.4.5)

Para el problema de deformación plana de la Fig. 6-2(b) la componente del desplazamiento 1(:1 setoma como cero, y las restantes componentes se consideran como funciones de XI y x2solamente.

14> = 1(,,(XI, X2)

En este caso, las ecuaciones de campo se pueden escribir así

(6.46)

(a) o "? • ¿ + pb = O (6.47)

(b) o

V<TQa 2(,\ + 1') a "o:

(e) 'et/l Hu",{3 + 1t¡l.o:) O E

C"(T 12 .:)en las que ¿

a~2(T22 y E

O

Hu"? + ,,?u)

('" { 1~

Df 12 E22

O O

're

8!BLJOTECAFi\CULT;\D

CS. E:(C'" "::;>i~q 'f /"G:':.¡'·,., ,•.• r ..•


De (6.47), (6.48) Y (6.49), la ecuación de Navier adecuada para deformación plana es

o (6.51 )

Como en el caso de tensión plana, las ecuaciones de compatibilidad para deformación plana se reducen ala ecuación sencilla (6.44).

Si las fuerzas aplicadas en las aristas de la lámina de la Fig. 6-2(a) no son uniformes a través de suespesor, pero son simétricas respecto al plano medio de la lámina, se dice que existe un estado de tensiónplana generalizado. En la formulación de problemas de este tipo, las variables de campo U,,¡j, €"/l y u" setienen que sustituir por tensiones, deformaciones y desplazamientos variables promediados a través delespesor de la lámina. En función de tales variables de campo promediadas, la formulación de tensiónplana generalizada es esencialmente la misma que para el tipo de deformación plana si ,\ se sustituye por

2,\¡.1. vE,\+ 2ft 1 - •.~,\' (6.52)

Algunas veces se menciona en los libros de elasticidad un tipo de deformación plana generalizadacuando (3:¡ se toma como una constante distinta de cero en (6.50).

6.7 FUNCION DE TENSION DE AIRY

Si no existen fuerzas másicas o son constantes, la solución de los problemas elastostáticos planos(problemas de tensión o deformación plana generalizada) se consigue frecuentemente haciendo uso de lafunción de tensión de Airy. Aunque haya que tener en cuenta las fuerzas másicas, el principio de super-posición permite que sea introducida su contribución a la solución como una integral particular de lasecuaciones diferenciales lineales de campo.

En los problemas elastostáticos planos y en ausencia de fuerzas másicas, las ecuaciones de equili-brio se reducen a

o (6.53)

y la ecuación de compatibilidad (6.44) se puede expresar en función de las componentes de tensión según

(6.54)

Ahora se dan las componentes de tensión como las derivadas parciales de la [unción de tensión deAiry 4>= "'(Xl, :r2) de acuerdo con las ecuaciones

(6.55)

Las ecuaciones de equilibrio (6.53) se satisfacen idénticamente y la condición de compatibilidad (6.54) seconvierte en la ecuación biarmánica .

(6.56)

Las funciones que satisfacen (6.56) se denominan funciones biarmónicas. Mediante la consideración defunciones biarmónicas con segundas derivadas parciales uniformes, se pueden preparar numerosas so-luciones para los problemas elastostáticos planos, que satisfacen automáticamente ambas condiciones, deequilibrio y compatibilidad. Desde luego estas soluciones tienen que ser adaptadas para ajustarse a todolo que imponen las condiciones de contorno.


6.8 PROBLEMAS ELASTOSTATICOS BIDIMENSIONALESEN COORDENADAS POLARES

La geometría de un cuerpo con frecuencia aconseja la conveniencia de formular los problemas elas-tostáticos bidimensionales en función de las coordenadas polares r y e. Entonces para las ecuaciones detransformación

Xl = r cos e, Xz = r sen e (6.57)

las componentes de tensión indicadas en la Fig. 6-3 nos llevan a establecer las ecuaciones de equilibrio enla forma

~a(rr) + ! oa(ro) +01' r 00

a - a(TT) (00) +R o (6.58)

! daC9.) + oa(TO) + 2a(r9) + Qr ae or r

o (6.59)

en las que R y Q representan las fuerzas másicas por unidad de volumen en las direcciones indicadas.

~~~-----L--------------------------~Xl

Fig.6-3

Tomando ahora la función de tensión de Airy corno e = <1>(1', O),las componentes de tensión estándadas por

10cf> 1 a2q,(6.60)uCrr) -- +--r dr 1.2 d (J2

(1(01)) a2cf>/or2 (6.61 )

Giro) -~(!?~) (6.62)01' r aeLa condición de compatibilidad conduce de nuevo a la ecuación biarmónica

pero, en forma polar, '\F =

(6.63)

6.9 HIPERELASTICIDAD. HIPOELASTICIDAD

Los recientes estudios del medio continuo conducen a ecuaciones constitutivas que definen materialesque son elásticos en un sentido especial. Bajo este punto de vista se dice que un material es hiperelástico si


posee una función de energía de deformación U tal que la derivada material de esta función es igual altrabajo debido a las tensiones por unidad de tiempo y de volumen. Entonces la ecuación constitutiva esde la forma

ddt (U) (6.64)

en la que Dues el tensor de velocidad de deformación. En una segunda clasificación, se dice que unmaterial es hipoelástico si la variación de la tensión por unidad de tiempo es una función lineal homo-génea de la velocidad de deformación. En este caso la ecuación constitutiva se escribe

(6.65)

en la que la variación de tensión por unidad de tiempo CT~ se define como

(6.66)

donde Vij es el tensor torbellino.

6.10 TERMOELASTICIDAD LINEAL

Si se toman en consideración los efectos térmicos, las componentes del tensor de deformación linealfij se pueden considerar como la suma

(6.67)

en la que l(!') es la contribución del campo de tensiones y (~T) es la contribución del campo de tempera-u u

turas. Debido a un cambio desde una temperatura de referencia 1'0 hasta la temperatura 1', las compo-nentes de deformación de un volumen elemental en un cuerpo isótrapo no forzado, se dan por

(TJ = 0'(1' - T )13ij o 1]

(6.68)

donde O' es el coeficiente lineal de dilatación térmica. Introduciendo (6.68), junto con la ley de Hooke(6.22), en (6.67) se tiene

(6.69)

la que es conocida como las relaciones de Duhamel-Neumann. La ecuación (6.69) se puede invertir paraobtener las ecuaciones constitutivas termoelásticas

(6.70)

La conducción de calor en un sólido elástico isótropo está regida por la conocida ley de Fourier de laconducción calorífica.

c. = =k/I".t .t (6.71)

donde el escalar k, es la conductividad térmica del cuerpo, que ha de ser positiva para garantizar unavariación positiva de producción de entropía. Si ahora se introduce el calor especifico a deformación cons-tante c(v) por medio de la ecuación


-e .. = e(t'Jj'l.' p (6.7'2)

y se supone que la energia interna es una función de las componentes de deformación (ij y la temperaturaT, la ecuación de la energía (5.45) se puede expresar en la forma

.kT,ii = pe(v) T + (3'\ + 2p.)a:To{ii (6.73)

que es conocida como la ecuación de calor acoplada.

El sistema de ecuaciones que formulan el problema termoelástico general para un cuerpo isótropoconsiste en

(a) ecuaciones de movimiento.u o \,7. ¿ + pb ..

u (6.74)

(b) ecuaciones termo elásticas constitutivas

o (6.75)

(c) relaciones desplazamiento-deformación

o E t(u\,7 + \,7u) (6.76)

(d) ecuación de calor acoplada

kT,ü = pe(o) T + (3'\ + 2f,)aToekk o

Este sistema se tiene que resolver para los campos de tensión, desplazamiento y temperatura sometidos alas condiciones iniciales y de contorno adecuadas.

Hay una gran colección de problemas en los que se pueden despreciar los efectos de acoplamiento einercia. En estos casos, el problema termoelástico general se descompone en dos problemas separados quedeben ser resueltos sucesiva e independientemente. Entonces para el problema termoelástico, cuasi es-tático, no acoplado las ecuaciones básicas son

(a) ecuación de conducción de calor

kT ..,11 o (6.78)

(b) ecuaciones de equilibrioo \,7' ¿ + pb o (6.79)

(c) ecuaciones termoelásticas tensión-deformación

(Jij '\0ij(kk + 2,UEij - (3'\ + 2p.)aoij(T - To)

o (6.80)

(d) relaciones desplazamiento-deformación

e.. = t(u .. + u..)t) l,J). 1

o E t(\1u + u\,7) (6.81)


Problemas resueltosLEY DE HOOKE. ENERGIA DE DEFORMACION . ISOTROPIA (Sec. 6.1-6.3)

6.1. Probar que la densidad de energía de deformación u,*. para un sólido hookiano isótropo se puedeexpresar en términos del tensor de deformación por u" = A(tr EY/2 + ¡.tE: E, y en términos del tensorde tensión por U/' = [(1 + I'):~:: ¿ - I'(tr ¿r]/2E.

Introduciendo (6. 2/) en (6.13) 1/.'" = \AOij<kk + 2¡Lf¡) Ej2 = AE¡iEi/2 + ,UEijéijque en notación simbólica es u* =A(tr E)2/2 + !,E : E.

Introduciendo (6.24) en (6.13), n* = a¡¡[(1 + ¡'la,! - ¡'oijakk]/2E = [(1 + ¡')a¡p¡j - Vaiiajj]/2E que en notación simbólicaes n* = [.(1 + l')! : ¿ - »(t.r !)2J12E.

6.2. Desdoblando los tensores de tensión y deformación en sus componentes esféricos y desviadores, ex-presar la densidad de energía de deformación n* como la suma de una densidad de energía dedilatación 'Il;:'S) y una energía de distorsión ut!)).

Introduciendo (3.98 y (2.70) en (6.13),

y puesto que e¡¡ = Si; = O ésta se reduce a ti':' = 71tSl .;- 1/';'1» = "¡¡éj6 + s¡/'¡/2.

6.3. Suponiendo un estado de cornpresion uniforme (T. = -po .., desarrollar las fórmulas para el1) 1)

módulo volumétrico (relación entre la presión y el cambio de volumen) dadas en (6.25).

Para aij = -poij' (6.24) se convierte en tij = [(1 + ¡,)(-po;) + v8ij(3p)]/E y así, '¡i = [-3p(1 + v) + 9p¡o]/E.Entonces K = -p/'¡¡ =~ E/3(1 - 21')' De igual modo, de (6.21), a¡¡ = (3A + 2/L).¡i = -3p de forma que K == (3A + 2¡N3.

6.4. Expresar U;~ly U;D) del Problema 6.2 en términos de las constantes de ingeniería K y G y las com-ponentes de deformación.

Del resultado parcial del Problema 6.3, ",¡ - oj1l..; Y

De (6.21) y (2.70), a¡j = AOijEkk+ 2¡lfij == s¡j+au,8;/3 y puesto que e., = (3A+2¡l)'iisesiguequesij=2¡l(fij-'kkO;/3). Así,

Nótese que la densidad de energía de dilatación ll~S) aparece solamente como una función de K, mientras que la energíade distorsión UiD) está en función del módulo de rigidez ¡l (o G).

6.5. En general, u* puede ser expresada en la forma cuadrática u* = C;,\1iKiM en la que e::.! no es ne-cesariamente simétrica. Probar que esta ecuación puede ser escrita en la forma de (6.14) y que au*/aiK = aJ{O

Escribir la forma cuaclrática como

u*

donde CKM = CMK.

Así, la derivada au* /a'R es ahora

iJu*/iJeR == tCK~!(€K,RfM + <K'M.R)


6.6. Probar que para un medio continuo elástico y ortotrópico(tres planos ortogonales de simetría elástica) la matriz delos coeficientes elásticos es tal como se da en (6.19), pág. 161.

/:¡;~'. /,/

/,r ../ .. ;

/.;/r :

Sea el. plano XI X2 (o equivalentemente , X; x~) un plano de simetríaelástica (Fig. 6-4). Entonces I1K== CKMEM y además 11~ == CKME,~1' .Lamatriz de transformación entre xi y x[ es

"',1II11 x~

Fig.6-4

y de (2.27) y (3.78), ulí == O'K,

ejemplo, de 11{ == CIME~1'

.~ == 'K para K == 1,2,3,6 mien tras para K == 4,5. Así, por

Pero de

estas dos expresiones para 11~ == 111 solamente son iguales si C¡4 ~ CI5 == O. De igual modo, para 11~ == 112' 11~ - 113' u~ ==-11.t, 115 == -115,11¿ = 116 se halla que C24 == C25 = C34,== C3S= CM = (;65 == C41 == G42 == C43== C~1 == C~2 == C53 == CS6 == O.

Si x2x3 (o X~X3) es un segundo plano de simetría elástica tal que I1K = CKMf.~f, la matriz de transformación es

y ahora de (2.27) y (3. 78), 11~ = I1K' EK == -F'. para-K == 1,2,2,4 mientras que 11~ == -I1K, Eí¡ == -EK para K == 5,6.Ahora C16 == CZ6 == C36 == C45 = C54 = C61 == C62 = C63 == O Y la matriz de los coeficientes elásticos adquiere laforma (6.19). El estudiante debería comprobar que la simetría elástica respecto al (tercer) plano x¡x3 se satisfaceidénticamente en esta matriz.

6.7. Dar los detalles de la reducción de la matriz elástica ortotrópica (6.19) a la matriz isotrópica (6.20).

En caso de isotropía, las propiedades elásticas son las mismas respecto a todos los ejes coordenados cartesianos. Enparticular, para los ejes girados x; indicados en la Fig. 6-5, el método del Problema 6.6 da lugar a la matriz (6.19) sim-plificándose posteriormente por las condiciones Gil == C22 = C33, CH == CS5 = Co6• y GI2 == CZ\ == C¡3 == C3l := C23 ==

C32•

X2

"" x")

Fig.6-5 Fig.6-6


Finalmente, para los ejes x;' obtenidos por una rotación de 45° alrededor de X3 como se indica en la Fig. 6-6, la matriz detransformación es

de forma que (J~' = «J2 - (J¡)/2 = (CIl - CI2)(EZ - El)/2 Y E~' = E2 - El' Pero (J~' = C14E~' y entonces 2C44 = CIl - C12• ydefiniendo p. = C44 y A = C12' se obtiene la (6.20).

6.8. Dar los detalles de la inversión de (6.21) para obtener (6.22).

6.9. Expresar las constantes de ingeniería v y E en términos de las constantes de Lamé >.. y /L.

De (6.25), E/(l - 2v) = 3A + 2¡t; Y de (6.26), E/(l + v) = 2¡t. Entonces (3A + 2¡t)(1- 2v) = 2¡t(1 + v} de la que v =A/2("A + p.). Ahora, de (6.26), E = 2p.(1 + v} = ¡t(3A + 2p.)/(A + ¡t).

6.10. Determinar la matriz de los coeficientes elásticos para un medio continuo que tiene un eje de si-metría elástica de orden N = 4. Suponer CKM = CMK.

Sea X3 el eje de simetría elástica. Una rotación 8 = 2;r/4 = ."./2del eje alrededor de X3 produce direcciones elásticas equivalentespara N = 4. La matriz de transformación es

y de (2.27) y (3. 78), u~ == (12' O'~ == al' 0'3 == 0'3' O'~ == -0'5' O'~ == 0'4J

O'~ == -0'6 Y f~ = f2t f2 == El' fS == E3' f~ - -ES, ES == f4' f~:::: -f6.

Así, por ejemplo, de (J~ = <73' C34 = C35 = C36 = O, C31 = C32• Deigual modo, de las cinco restantes relaciones de tensión, la matrizelástica se convierte en

Cl! Cl2 Cl3 O O Cl6

Cl2 Cll C13 O O -C¡6

C¡3 C¡3 C33 O O O[CKMl

O O O C44 O OO O O O C44 O

C¡6 -C¡6 O O O C66

con siete constantes independientes.

ELASTOSTATICA. ELASTODINAMICA. (Sec. 6.4-6.5)

6.11. Deducir las ecuaciones de Navier (6.31).

t'ig.6-7

Sustituyendo en (6.38) las componentes de deformación por sus expresiones equivalentes de los campos de des-


plazamientos resulta 0ij = AOijuk.k + p(u¡.j + u¡.¡l. Entonces, 0ij.i = AUk.k¡ + p(u¡.j¡ + Uj.ij)' Sustituyendo ésta en lasecuaciones de equilibrio (6.27) y reagrupando términos se tiene pUioji + (A + ¡L)Ujoii + pb¡ = O.

6.12. Probar que si \J4F¡ = O, el desplazamiento "U¡ = (A + 2p.)F¡od/J.(A + v) - F¡oj'//J. es una solución de laecuación de Navier (6.31) para fuerzas másicas nulas.

Diferenciando la solución supuesta, los términos p.u¡ojj = (A + 2p.)Fi.kkj/(A + Jl) - F\ok¡jj y. (A + Jl)Uj.ji = (A + 2Jl)

Fj. kki/ p - (A + Jl)Fko kjj/ Jl son fácilmente calculados. Introduciéndolos en (6.31) resulta

(A + 2¡L)Fíokkj/(A + p.) - [p. - (A + 2p) + (A + p.)]Fj•jkk¡ = O

supuesto que Fíokkjj = \J4F¡ = O.

6.13. Probar, si se pueden despreciar las fuerzas másicas, que la (6.35) se satisface por e, = 1>.i + lijk.pk.j

suponiendo que cada una, 1> y r. satisfacen la familiar ecuación de onda tridimensional.

Sustituyendo la supuesta U¡ en (6.35) resulta

Puesto que <jpq y,qopj¡ = O,esta ecuación se puede escribir

6.14. Escribiendo C2\J21> = ~ para la ecuación de onda deducida en el Problema (6.13) donde c2 = (A + 2p.)

I b (/(1" + ct) + h(1' - en 1 . o 1 J funci b" dp, pro ar que 1> = . T . es una so ucion en a que g y z son unciones ar itranas esus argumentos y 1'2 = XiX¡.

Aquí es conveniente usar la forma esférica \J2 == ~,..!!.-. ( r2 ~)' ,ya que <p= <p(r, t). Entonces r2(a<p/ar) = r(g' + h')r- a" \ ar

- (g + h) donde las primas denotan las derivadas con respecto a los argumentos de g y h. Entonces \J2,¡, = (g" + h")/r.Además, ~ = (g'e - h'e)/r y ;¡ = e2(g" + h")/r. Por lo tanto e2\J2<p = ;¡para el </> dado.

6.15. Deducir las ecuaciones de Beltrami-Michell (6.33) y determinar la forma que toman cuando lasfuerzas másicas son conservativas, es decir, cuando pb¡ = </>.¡.

Sustituyendo (6.24) en (3.103) resulta

donde El = 11: = 0íí' De las ochenta y una ecuaciones aquí representadas solamente seis son independientes. Así, colocan-do », = k y usando (6.27) se tiene

0ij.kk + (-).ii + p(b¡.i + b¡o,í = v(ú¡¡H.kk + ('l.ijl/(l + lO)

de la que (-1, kk = -(1 + 10)f1bk. kl(l - •.l. Introduciendo esta expresión de H I.k en las ecuaciones previas, se llega a (6.33).Si pb¡ = <P.i' entonces p(b¡.j + bj,¡) = 2<P.ij Y pbk.k = <P.kk =\J"</. de forma que (6.33) se convierte en .

ELASTICIDAD BIDIMENSIONAL (Sec, 6.6-6.8)6.16. Desarrollar para una tensión plana paralela al plano :(:,:1,:2, las relaciones tensión-deformación en

términos de A y fL Probar que estas ecuaciones corresponden con las dadas en (6.41).


Aqui, a:l:l = al:¡ = an = O, o sea que (6.21) da 'la = '2:¡ = ( y "33 = -A('l! + <22)/(A + 21')' Entonces (6.21) se re-oduce a aa/3 = 2"t.¡i8"IJ€YY/(A + 21')+ 21l€aS con a, f3, y = 1,2 de la que a,xc. = 2."\3A + 2¡t)€yy/("t. + 2ft) e invirtiendo laecuación que resulta se tiene

Además,

6.17. Desarrollar, para una deformación plana paralela al plano xlxz;las relaciones tensión-deformaciónen términos de l' y E. Probar que estas ecuaciones corresponden con las dadas en (6.48).

Aquí, U3 == o de forma que '33 = O Y (6.24) da a33 = ,,(a11 + (22) = Aa",,,,/2(A + Il)' Entonces (6.24) se convierte en'a{l (1 + ,,)aa('jE - v(l + v)8aSayy/E de la que 'era = (1 + v)(l- 2,,)aaaíE. Finalmente, invirtiendo

6.18. Desarrollar la ecuacion de Navier para tensión plana (6.45) y probar que es equivalente a laecuación correspondiente para deformación plana (6.51) si se sustituye -\' = 2-\1-'-/(-\ + 2l-t) por -\.

Invirtiendo (6.4/) Y usando (6.42) nos conduce a (]",{3 = E(ua.{3 + 1(s,a)/2(l + v) + 2"E8a13uy,,'/2(1 - "2). Diferen-ciando con respecto X{3 y sustituyendo en (6.40) resulta

puesto que 1l(3A + 21')/(A + 2,u) = (2AI'/ (A + 2¡L) + 1') = (A' + /1-), (6.45) y (6.51) tienen la misma forma para la sustituciónpropuesta.

6.19. Hallar la relación necesaria entre las constantes A y B si cp = Axix~ + Bx~ es una función de ten-sión de Airy.

De (6.56), '" tiene que ser biarmónica o "'.1111 + 2"'.1122 + "'.2222 = O + 24Ax2 + l20Exzcuando A = -5E.

O, la que se satisface

6.20. Probar que cp = ~~[ XIX2 - ~¡;~J+ fc x~ es una función adecuada para ser usada como una fun-

ción de tensión de Airy y hallar las componentes de tensión en la región Xl> O, -e < Xz < c.

Puesto que 'V-l'Í' es idénticamente nula, '" es una función de tensión válida. Las componentes de tensión dadas por(6.55) son al! = "'.22 = -3FxIX2/2c3 + P/2c, a¡2 = -"',12 = -3F(c2 - x~)/4c3, (]22 = "',lI = O. Estas tensionesson las de una viga en voladizo sometida a una carga transversal en su extremo F y una tracción axil P(Fig. 6-8) .

•P X¡

Fig.6-8


6.21. En el Problema 2.36 se probó que las ecuaciones de equilibrio se satisfacían en ausencia de fuerzasmásicas por <Tu = (¡pq(jm"cf>r¡1l.pm· Probar que la función de tensión de Airy está representada por <P:n =cf>(x1, x2) con 911 = 922 = </>12 = </>13 = 1>2:; == O.

Puesto que 4>33 es la única componente no nula, aij = f¡jlqfj¡nn<1>q1l,pm se convierte en a¡j = f¡)J3fj",~4>33,pm la que se!pucde escribir aa~ = <<xy3<jl,:1 933, y<, Puesto que 93:; = 9, aaa = (8,,08y( - O",Oya)9"" = 0aIl9,yy - 9,ao' las com-ponentes de tensión son por lo tanto a11 = "',11 + 9,22 - 9,11 = ~>.22, a12 = -</>,12, "22 9,11 + <1>,22 - <1>,22 = <1>,11'

De (6.60) Y (6.61), (ICrr) = a(88) = 0, De (6, 62) "'(TO) = B/r2, El equilibrio

de momentos alrededor del centro del disco exige que M = j21T(ICTO)a2 de =

fb oB de = 2tt B, De donde B = M/2 .••,

o

6.22. En coordenadas polares (1', e) la función de tensión de Airy 1> =Be se usa en la solución de un disco de radio a sometido a unmomento central M. Determinar las componentes de tensión yel valor de la constante B.

TERMOELASTICIDAD LINEAL (Sec. 6.10)

6.23. Llevar a cabo la inversión de (6,69) para obtener las ecuaciones constitutivas termoelásticas (6.70).

De (6. 69) con i = i, a;; = (3A, 2,1L)(f,¡ - 3a:(T - To)). Resolviendo (6.69) para "ij resulta

ai) 2,llfij + AO¡l'kJj(3A + 2J.L) - 2J.Laou(T - Ta)

21'<¡j+ AIlij«kk - 3a(T - To)) - 2J.La:oij(T - To)

2,Ufij + AO;jEkk - (31\+ 2f.')o:oij(T - To)

6.24. Desarrollar la ecuación de la energía termoelástica (6. 73) usando la energía libre f = u - Ts,

Suponiendo que la energía libre es una función de las deformaciones y la temperatura, f = f(E;j, T) Y sustituyendoen (5.41) pli ~ aij: + pTs donde los puntos indican las derivadas respecto al tiempo, el resultado es «(Tij - paflaEij) :¡j -pis + af/aT)T = 0, Puesto que los términos del paréntesis son independientes de las variaciones de temperatura ydeformación, se sigue que aij = paila,,, y "-::: -af/aT, De (5.38) para un proceso isotérmico reversible -e¡,¡ = pTs

= pT(~ 'ij + ~- r) , A deformación constante, ;ij = ° y comparando esta ecuación con (6.72) resulta e(v) = T(as/aT)afij aT

o como antes, puesto que Bs/aT = -a2flaT2, eC") = -a2fIBT2, También, anteriormente, p(a2f/Bf¡jBT) = aa;/BT y así,

(aaij. ecv).)combinando (5.38) con (6.71), =ci.. = kT,¡¡ = pT ?f<ij + T T , Finalmente de (6.70), aa;/aT = (31\+21')

aO;jTO de forma que kT,ii = peCvlT + (3A + 2J.L)aTofii que es (6.73).

6.25. Usar (6.13) y (6.70) para desarrollar la densidad de energía de deformación de un sólido termoelás-tico.

Sustituyendo (6.70) directamente en (6.13)

Problemas diversos6.26. Probar que la densidad de energía de distorsión u¿J) se puede expresar en términos de las tensiones


Del Problema 6.2, UrDl = sije;/2 = sijsuf4G que en términos de las componentes de tensión se convierte en

En función de las tensiones principales ésta resulta

urm ki + u~ + u5 - (uJ + Uz + u3)(U1 + Uz + u3)/3]/4G

[2(u~ + u~ + u~ - O"J0"2 - 0"20"3 - u:lO"¡)/3]14G

= [(0"1 - 0"2)2 + (0"2 - 0"3)2 + (O":l - uJ)2]112G

6.27. Emplear los resultados del Problema 6.1 para probar que para un material elástico an*/afij = "» Yau*/a<T;J = fij"

Del problema 6.1, u* = AEiiEi/2 + }lEi/ij y así,

;>J2[E;¡(ilEi/ilEpq) + fjj(ilEiJ<3Epq)] + Z}lEij(il€ij/<3€pq)

A/2[Eii8jp8jq + €jj8¡pll¡Q] + 2.iL<ijll¡pojq = A/2[€iillpq + EnOpq] + 2.iL€pq

A€¡¡llpq + 2J1<pq O"pq

De igual modo del Problema 6.1, u* [(1+ V)O"ijO"ij- VO"jiO"iJ/ZE y

ou':-¡oO"pq = [2(1 + V)O"ij8iplljq - V(UiiOpq + ujjllpq]/2E = [(1 + v)upq - vllpqO";¡]/E €pq

6.28. Expresar la densidad de energía de deformación por u* como una función de los invariantes dedeformación.

Del Problema 6.1, u* = A€ii€nfZ + }l€ij€;j; Ycomparando con (3.91), rE = <ii Y He = (€fiEjj - €ijEij)/2, se sigue que

6.29. Cuando un eje de sección circular, de longitud L y radio a.está sometido a pares extremos como se indica en la Fig. 6-10 las componentes de tensión no nulas son <T¡3 = -Gax2,

<T23 = GaXl' donde a es el ángulo de torsión por unidad delongitud. Determinar las expresiones para la energía dedeformación por unidad de volumen y la energía de defor-mación total del eje.

Del problema 6.1 u" = [(1 + v)I: I - »(tr I)2]/2E. Aquí I == OY I: I = ZG2a2r2 donde r2 =xi + xi. Entonces u* = GaZr2/Z. Laenergía de deformación total está dada por

X2

Hg. 6-10

f G o (a (2"il-U = u*dV = ~ J, J_ r3drdodx3

·v 2 O O O

f2"faNótese que como T = Ga(x; + x~)r dr do = Gaa4,,/Z, U = TaL/2, es el trabajo exterior.o o

6.30. Probar que para un medio continuo que tiene un eje de simetría elástica de orden N = 2, las pro-piedades elásticas (ley de Hooke y energía de deformación por unidad de volumen) son de la mismaforma que las de un medio continuo que tiene un plano de simetría elástica.


Aquí una rotación de ejes e =-= 2dN = 2•../2 = tr produce direcciones eláticas equivalentes. Pero éste es precisa-mente el caso de una reflexión en un plano de simetría elástica.

6.31. Probar que (6.19) con CI1 = C22 = C33, C44 = CS5 = C66 y C12

=C13 = C23' se puede reducir a (6.20) mediante una rotación ar-bitraria e de los ejes alrededor de X3 (Fig. 6-11).

La transformación entre los ejes Xi y X; es

y de (2.27),

(-sene cos e)O'll + (cos? e - sen- e)o-I2 + (sene cos e)0'2" Fig.6-11

o en notación de índices sencillos,

O'~ = (-seno cos e)O'I + (cos- 0- sen- 0)0'6 + (sen s cos 8)0'2

De igual modo, de (3.78) Y (6.4),

<G = (-2 sene cos e)'1 + (COS28 - scn? 0)<6 + (2 sen o cos 0)'2

Pero, como O'¿ = C.¡¡f~ para un cuerpo isótropo 0'2 - 0'1 = 2C1¡«~ - '1 l. Finalmente de (6.19) con las condiciones dadasal = Cllfl + CI2(€Z + (1) Y 0'2 = Cll<2 + CI~h + (2) 'y así, 0'2 .- 0'; ::,c(C11 - CIZ)«Z - (1)' Por lo tanto, (GIl - C1Z) =2G.l,; y con ('l.; ·C ,I!, eJ" = A, CIl = A', 21' como se dan en (6.20).

6.J2. Probar que en un cuerpo elástico en equilibrio bajo las fuerzas másicas b, y las superficiales t:~), laenergía de deformación total es igual a la mitad del trabajo dado por las fuerzas externas que ac-túan con unos desplazamientos U¡.

Es necesario probar que J pb¡u¡ dV + f t:~)Ui as = 2 f u* dV. Consideremos primero la integral de super-• v s ¡'

ficie con t:;") = O'j¡1{j que la transformamos según el teorema de Gauss. Entonces

f t;~)U¡ dS = - f pb¡u¡ dV + 2 .f 0'¡j<;/2 dVs v

con io que se prueba el teorema.

6.33. Usar el resultado del Problema 6.32 para establecer la unicidad de la solución elastostática de uncuerpo elástico lineal suponiendo las dos soluciones f1;t, U¡l) y f1¡r, U¡Z).

En elasticidad lineal, la superposición es válida; así, a,·; = 0'(1) - 0'(2) u· = u(l) .: U'.2) también sería una so-~ t) 1)' 1 l t

lución para la que b¡ = O. Entonces para esta solución obtenida por la mencionada "diferencia" f ~~~)Ui dS = 2 f.s ~


u* dV del Problema 6.32. Puesto que las dos soluciones supuestas satisfacen las condiciones de contorno, la integral de

la izquierda aquí es nula ya que en el contorno t;~) = t: 1) - t\2) para la ecuación (6.32) y ?ti = u~ 1I - U\2i en el con-

torno para la ecuación (6.30). ASí,f u* dV = O Y puesto que g" es positiva, esto puede ocurrir solamente si 'ii =l'

/I) - /2) == O, o ,;)I) = «2) . Si las deformaciones son iguales para las dos soluciones supuestas, las tensiones también1) 1} 1)

son iguales según la ley de Hcoke y los desplazamientos son iguales al caso de un desplazamiento de un cuerpo rígido.Con lo que la unicidad está establecida.

6.34. Las ecuaciones de Navier (6.31) se pueden expresar en la forma ",-Ui,ij + 1 ~.~.2v 'Uj.ji + r/)j = Oque,para el caso de incompresibilidad (v =1) están evidentemente indeterminadas. Emplear lasecuaciones de equilibrio en este caso para probar ~tUi,ij + (~).J3 + pbi = J.

De la ecuación (6.24), Eii = (1 - 2v)cr¡¡/E; y para v =}, Eii == 1Ii,i = O. Así, de (6.24),

Pero "i.» = O Y E = 3G cuando v = }, de forma que "i.» = -(lb¡lG - akl<., J3G o JiV2Ui + H, /3 + pb¡ = O.

Problemas propuestos

6.35. Probar que los ejes principales de los tensores de tensión y deformación coinciden para un cuerpo elástico, homogéneo eisótropo.

6.36. Desarrollar la expresión de la energía de deformación por unidad de volumen u" en un medio elástico ortotrópico. Usarlas ecuaciones (6.14) y (6.19).

Sol. g* = (CIIEI + 2C¡2f2 + ZC¡:¡fS)f¡/2 + (C22'2 + 2CnE4)E212 -1- C;¡;¡E~ -1- CHf~ -1- C5;;tF. + CC6'i.

b.37. Determinar la forma de la energía de deformación por unidad de volumen en el caso de (a) tensión plana, (b) deforma-ción plana.

Sol. (a) u*

(b) u*

[a;1 + a~2 - 2val1a22 + 2(1 + v)aiz]/2E

(Ji + A/2)(Eil + E~2) + AEllE22 + 2Ji<f2

6.38. Hallar el valor de e para el que U¡ = A sen T (XI ± ct), U2 = U3 = O es una solución de la ecuación (6.35) cuando las

fuerzas másicas son nulas. Sol. e = V(A + 2Ji)/p

6.39. Probar que la energía de distorsión por unidad de volumen utDJ = (<1;p;j - a¡¡cri/3)/4G y la energía de dilatación específicaes ut~)= a¡iajj/18K.

6.40. Demostrar que 1/(1 + v) = 2(A + Ji)/(3A + 21') Y v/(l - v) = A/(A + 21')'

6.41. Probar que para una deformación plana paralela a x¡xZ, b3 == O y que b¡ y b2 son funciones dere¡ y X2 solamenre.

6.42. Usar las leyes de transformación de tensiones y deformaciones para probar que las constantes elásticas C;jkm son las com-ponentes de un ten sor cartesiano de cuarto orden de forma que C;Jkm = a;pajqakra.mSCpqrs·

6.43. Comprobar que la función de tensión de Airy </> = 2x; + 12xix~ - 6x~ satisface la ecuación biarmónica '9.19 = O Ydeterminar las componentes de tensión suponiendo deformación plana.

Sol. (-3X; -2x¡X2O )(Tu 24 -2~¡X2 xi + x; O

O? ?2,,(x¡ - x2)

ELASTICIDAD LINEAL 179

6.44. Determinar las deformaciones asociadas con las tensiones del Problema 6.43 y probar que se satisface la ecuación decompatibilidad (6.44).

Sol. ( xi - 3x~ - 2v(xi - X~) -2X¡X2 0)_ (1 + v) 2 2 2 2f¡j - 24 ---¡¡¡- -2x¡x2 XI + x2 - 2v(x¡ - x2) °° ° °

6.45. Probar que en un cuerpo elástico que tiene un eje de simetría elástica de orden N = 6, CZ2 = ClI,C55 = C44, C66 = 2(Cll

- C12) y que C¡3 y C33 son los únicos coeficientes restantes no nulos.

6.46. Comprobar que para un medio continuo elástico con fuerzas másicas conservativas tales que pba = V", = "'.ex, la con-dición de compatibilidad (6.44) se puede escribir como 920'"" = 92",/(1 - v) para deformación plana, o 920'aa = (1+ p)

92", para tensión plana.

6.47. Si \J4F¡ = 0, probar que tli = 2(1- v)\J2F;lG - Fj,j;lG es una solución de la ecuación (6.31)de Navier cuando b¡ == °(ver Problema 6.12). Si F = B(X2 el - XI e2)lr donde r2 = XiX;, determinar las componentes de tensión.

Sol. 0'11 = -0'22 = 6QGXlx21r5, 0'33 = 0, 0'12 = 3QG(x~ - xi)/r5, 0'13 = -0'22 = 3QGx2x31r5 dondeQ = 4B(1 - v)/G.

6.48. Una función de tensión de Airy está dada en coordenadas polares por <I> = Cr2(cos 211 - cos 2a) donde e s « son constan-tes. Determinar e si 0'88 = 0, O'r8 = T cuando (J = a, y 0'88 = 0, O'r8 = -T cuando (J = -a.

Sol. C = T/(2 sen 2a)

6.49. Probar que en los problemas dc deformación plana termoelástica 0'33 = V(O'II + 0'22) - aE(T - To) y que O'af3

2¡tfal3 - 8al3(3~ + 2/l)a(T - To).IProbar que en termoclasticidad bajo tensión plana

y

6.50. En términos de la función de tensión de Airy <{> = 4>(xI, X2), comprobar que en termoelasticidad bajo deformación plana laecuación de compatibilidad (6. 44)se puede expresar como 94<{> = -aEV2(T - To)j(l - v) y para tensión plana como 944> =

-aE92(T - To)'

Documents

CAPÍTULO 6