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Capıtulo 7
Percusiones
Ejercicio 7.0.3: La figura muestra un sistema compuesto por un discohomogeneo de masam y radioa y una varillaAB de longitud 2a y masam articulada sin rozamiento en el extremoA, en un punto de la periferiadel disco. El disco no desliza sobre la lınea en que se apoya.Inicialmenteel sistema esta en reposo y se le aplica una percusionP al disco tal comoindica la figura. Obtener el estado cinematico del sistema justo despuesde aplicar la percusion y el valor de las percusiones de ligadura.
PA
B
El disco estaapoyadosobre la recta: ligadura unilateral. Tenemos que ver si la percusion deligadura que aparece en el apoyo es compatible o no. Si es compatible, el disco rueda despuesde la percusion. Si no, la ligadura no actua y el disco se levanta.
Otro camino es resolverlo sin la ligadura y, si el movimientoresultante no lo permite laligadura, es que sı actua y hay que resolverlo de nuevo.Este caso puede corresponder a una rueda dentada sobre una cremallera.No puede deslizar, lo impiden los dientes del engranaje, pero sı puedelevantarse. Intuitivamente se ve que se va a levantar: al rodar hacia laderecha, el disco empuja hacia abajo la varilla. Para que se conserve lacantidad de movimiento, la ligadura tiene que empujar haciaabajo. Co-mo no es posible, el disco salta hacia arriba y ası compensa la cantidadde movimiento hacia abajo de la varilla. De todos modos, resolveremosprimero el caso con la ligadura activa. ϕ
θx
x
y
I
No se levanta - Newtoniana
Tenemos dos solidos planos, con cuatro ligaduras (2 finitasde la articulacion enA y doscinematicas integrables de la rodadura sin deslizamientosobre la recta rugosa). Hay variasposibilidades:
Aislar los dos solidos y aplicarle cada uno las ecuaciones de cantidad de movimiento (2)y de momento cinetico (1): ası se obtienen las velocidadesdespues de la percusion y todaslas percusiones de ligadura, internas y externas.
Aplicarles las ecuaciones al sistema completo y a uno de los solidos, por ejemplo lavarilla; equivalente al anterior pero quiza algo mas complicado.
Buscar dos ecuaciones correspondientes a los grados de libertad, por ejemplo, la de mo-mento cinetico del sistema enI (desaparecen las percusiones de ligadura exteriores) y ladel momento cinetico de la varilla enA (desaparecen las percusiones internas)
Como nos interesa el valor de la percusion de ligadura enI , escogemos el primer camino.Llamando(x,a) a las coordenadas del centro del discoC, y −θ k a la velocidad angular deldisco, la ligadura de rodadura sin deslizamiento implica
vI = 0 = vC +ωωωD ∧ IC =(x−aθ
)i = 0 → x = aθ
89
Para aplicar la ecuacion de la cantidad de movimiento a la varilla tenemos que calcular lavelocidad deA y la deG. Llamando−ϕ k a la velocidad angular de la varilla:
vA = vC +ωωωD ∧CA = aθ i −aθ j vG = vA+ωωωV ∧AG =(aθ −aϕ
)i −aθ j
Apareceran dos percusiones de ligadura exteriores enI (una por cada direccion de movimientoimpedida) y dos interiores, de accion reaccion, en la articulacionA. La cantidad de movimientoy el momento cineticoantesde la percusion son nulos, porque el sistema esta en reposo. Lasecuaciones a aplicar son:
FL +P = mvdG−mva
G MLO +MP
O = HdO−Ha
O
que en este caso adoptan la forma:
P+Qx−Rx = maθd Rx = ma(
θd− ϕd)
Qy−Ry = 0 Ry = −maθd
a(Ry−Qx) =12
ma2θd Rxa =112
m4a2 ϕd
θ x Rx
Ry
QxQy
P
ϕ
RxRy
Todas las ecuaciones estan aplicadas en la posicion inicial, sin mover las coordenadas. Por laligadura unilateral, tendra que serQy ≥ 0: el suelo solo puede dar percusiones hacia arriba.Entre la segunda y la quinta se obtieneQy = Ry = −maθd , que es obvio que va a ser negativa.
Entre la cuarta y la sexta sale 3θd = 4ϕd ; sustituyendoRx y Qy en la primera, se obtieneP = 11
4 maθd > 0, con lo que, efectivamente,Qy < 0. Esto no es posible: el disco se levanta.Hay que repetir el problema sin la ligadura.
Se levanta - Newtoniana
Si el disco puede levantarse, hay que liberar la ligadura vertical (quitar la percusion deligadura y devolver el grado de libertad), y modificar las velocidades:
vC = aθ i + yj vG =(aθ −aϕ
)i +
(y−aθ
)j
Las nuevas ecuaciones seran:
P+Qx−Rx = maθd Rx = ma(
θd− ϕd)
−Ry = myd Ry = m(
yd−aθd)
a(Ry−Qx) =12
ma2θd aRx =112
m4a2 ϕd
θ
xy
Rx
Ry
Qx
P
ϕ
RxRy
Entre la 4 y la 6,13
maϕd = ma(
θd− ϕd)
→ ϕd =34
θd
Entre la 2 y la 5,
−yd = m(
yd−aθd)
→ yd =a2
θd → Ry = −ma2
θd
Con esto, de la 3a se obtieneQx = −amθd ; sustituyendo esto y laRx en la 1a,
P−maθd− 14
maθd = maθd → θd =4P
9maϕd =
P3ma
yd =2P9m
Las percusiones de ligadura seran,
Qx = −4P9
Rx =P9
Ry = −2P9m
90
Se levanta - Analıtica - holonomo
Este ejercicio se puede resolver por mecanica analıtica,considerando el sistema como holono-mo. La ligadura se integra, de modo que las coordenadas independientes serany, θ y ϕ. Ladificultad esta en que por ese camino no apareceran las percusiones de ligadura, ni la exterioresQx ni las interioresRx, Ry.
Primero calcularemos la energıa cinetica. El potencial no es necesario, porque las fuerzasacotadas no intervienen:
TD =12
m(a2θ2 + y2)+
12
12
ma2θ2
TV =12
m[(
aθ −aϕ)2
+(y−aθ
)2]
+12
112
m4a2ϕ2
T =13
ma2ϕ2−ma2ϕθ +my2−mayθ +74
ma2θ2
Tambien hay que calcular las fuerzas generalizadas de la percusion. El punto de aplicacion,F,tiene una velocidad:
vF = vc +ωωωD ∧CG = aθ i +(y+aθ) j → δ rF = (ai +aj)δθ + j δy
δW = P ·δ rF = Paδθ → QPθ = aP; QP
ϕ = QPy = 0
Las ecuaciones de Lagrange impulsivas para un sistema holonomo son
∂T∂ q j
∣∣∣∣
d
− ∂T∂ q j
∣∣∣∣
a
= QPj
El termino que se evalua antes de la percusion va a ser nulo, porque el siste-ma esta inicialmente en reposo. Las ecuaciones van a ser:
y) 2myd−maθd −0 = 0
θ) −ma2ϕd −mayd +72
ma2θd −0 = aP
ϕ)43
ma2ϕd−ma2θd −0 = 0
θ
aθy
PF
ϕ
El sistema se resuelve trivialmente: de la primera se despeja yd, de la terceraϕd, se sus-tituyen en la segunda, y se calculaθd. Las soluciones, naturalmente, son las mismas que pornewtoniana:
θd =4P
9maϕd =
P3ma
yd =2P9m
Las percusiones de ligadura no se pueden obtener por este camino. Habrıa que liberartodaslasligaduras en la energıa cinetica e introducirlas como cinematicas no integrables; ası se puedencalcular lasµk.
Se levanta - Analıtica - multiplicadores
Consideraremos el sistema formado por dos solidos libres,con tres fuerzas aplicadas en vezde las ligaduras. Como coordenadas generalizadas se tomar´an lax,y,θ del disco, las coordena-dasξ ,η del puntoA de la varilla, y el anguloϕ. Ası, las velocidades de los puntos afectadospor las ligaduras son:
vID = (x−aθ) i vA
D = xi +(y−aθ) j vAV = ξ i + η j
Se podrıan haber tomado las coordenadas del centro de masas, con lo que laT quedarıa massimple, pero ası se ve mejor el sentido de la ecuacion de ligadura y de las fuerzas de ligadura.
91
La energıa cinetica del sistema sera:
TD =12
m(x2 + y2]+
12
12
ma2 θ2
TV =12
m
[(
ξ −aϕ)2
+ η2]
+12
112
m4a2 ϕ2
T =mx2
2+
my2
2+
ma2θ2
4+
mξ 2
2+
mη2
2−maξ ϕ +
2ma2ϕ2
3
θ
xy
F2DL
F3DL
F1DL
P
ϕ
ξηF2V
L
F3VL
Las ligaduras finitas se derivan para dejarlas como cinematicas. La velocidad horizontal deI es cero, y la velocidad deA del disco es la misma que la deA de la varilla:
g1 ≡ i ·vI = x−aθ = 0 → F1DL = µ1 i
g2 ≡ i ·vAV − i ·vA
D = ξ − x = 0 → F2VL = µ2 i ; F2D
L = −µ2 i
g3 ≡ j ·vAV − j ·vA
D = η − y+aθ = 0 → F3VL = µ3 j ; F3D
L = −µ3 j
Notese que tanto la energıa cinetica como las ligaduras se han calculadoen la posicion inicialθ = ϕ = 0, y no en una generica, que serıa mucho mas complejo. Estono va a afectar a lasderivadas parciales de las ecuaciones de Lagrange, pues solo derivamos respecto a las veloci-dades generalizadas (que sı aparecen todas),y no respecto a las coordenadas. Como al final seva a particularizar para el instante inicial, podemos calcularlo todo desde el principio con esosvalores de las coordenadas.
Las fuerzas generalizadas de la percusion se calculan comoen el caso holonomo, pero conlos nuevos grados de libertad:
vF = vc +ωωωD ∧CG = xi +(y+aθ ) j → δ rF = i δx+ j δy+aj δθδW = P ·δ rF = Pδx → QP
x = P;QPy = QP
θ = · · · = 0
Las ecuaciones de movimientos impulsivos por multiplicadores de Lagrange seran
∂T∂ q j
∣∣∣∣
d
− ∂T∂ q j
∣∣∣∣
a
= QPj +
g
∑k=1
µkCk j
En este caso,
x) mxd −0 = P +µ1 −µ2 +0
y) myd −0 = 0 +0 +0 −µ3
θ)ma2θd
2−0 = 0 −aµ1 +0 +aµ3
ξ ) mξ 2−maϕd −0 = 0 +0 +µ2 +0
η) mηd −0 = 0 +0 +0 +µ3
ϕ) −maξ d +4ma2ϕd
3−0 = 0 +0 +0 +0
junto con las ecuaciones de las ligaduras, que tambien tienen que cumplirse en el movimientoinmediatamente despues de la percusion:
xd −aθd = 0
ξ d− xd = 0
ηd − yd +aθd = 0
Si se sustituyen las ligaduras en las ecuaciones de Lagrange, dejando soloy,θ y ϕ como inde-pendientes, se llega a
maθd = P+ µ1−µ2 +0 maθ2−maϕd = µ2
myd = −µ3 myd−maθ = µ3
ma2θd
2= −aµ1 +aµ3 −ma2θd +
4ma2ϕd
3= 0
92
Son exactamente las mismas que por newtoniana, donde se llamo Qx, Rx y Ry a las percusionesde ligadura que aquı aparecen comoµ1, µ2 y µ3.
93
Ejercicio 7.0.4: Un disco que se mantiene siempre en un plano verticalva rodando y deslizando sobre una recta horizontal lisa la cual a partir deuna posicion se vuelve rugosa tal como muestra la figura.Discutir, segun que el coeficiente de rozamiento sea finito oinfinito ysegun los valores deω y V, si aparecen percusiones en el instante en queel disco llegue a la parte rugosa.
v
ω
RugosoLiso
1 Rozamiento finitof 6= ∞: al empezar a rodar por la zona rugosa aparece una fuerza derozamiento que valdra
No desliza: |R| ≤ f |N| ; Desliza: R = − f |N|VI
vI
Obviamente es una fuerza acotada, del mismo orden que las fuerzas caracterısticas del movi-miento (peso,N), que actua si hay deslizamiento y lo va frenando hasta que desaparezca;noaparece percusion (fuerza muy grande que actua durante un tiempo muy corto, encomparacioncon los valores caracterısticos del movimiento).
2 Rozamiento infinitof = ∞ : propiamente, no puede haber roza-miento infinito. Es una manera de decir que no hay deslizamiento.Sobre la zona rugosa, el disco rodarıasin deslizar. Esto pasa, porejemplo, cuando un pinon rueda sobre una superficie lisa y de pron-to engrana en una cremallera. Se introduce bruscamente la ligadurade rodadura sin deslizamiento. El primer choque entre los dientesdel engranaje frena bruscamente la velocidad de deslizamiento.
y
v
ω
Llamandox a la coordenada en la direccion dev y θ al angulo girado por el disco en ladireccion deω de la figura, la ecuacion de la ligadura brusca de no deslizamiento sera
vI = (x−Rθ) i = 0 → x = Rθ
En el punto de contactoI aparecera una percusion de ligaduraPx i al empezar a rodar por lazona rugosa (o en el diente primero que engrane). En ese puntoya hay una fuerza normal deligadura, que equilibra al peso. Supondremos que da percusion tambien,Py j , aunque ya veremosque va ser nula, porque el disco sigue rodando sobre la recta (hacemos esta hipotesis para que elejercicio no se complique: en realidad, habrıa salto o percusion vertical si el plano de contactoentre los dos primeros dientes no es exactamente vertical).Las ecuaciones impulsivas para eldisco seran:
CM:
{
mxd −mv= Px0−0 = Py
MC: − 12
mR2θd +12
mR2ω = PxR
De este sistema se obtiene
xd = Rθd =2v+ωR
3Px = m
ωR−v3
Py = 0
Observese que, en el momento del choque, el punto de contacto tiene una velocidadv−ωR.La percusion en la ligadura tiene el signo opuesto: frenar bruscamente esa velocidad de desli-zamiento. Tendremos tres casos segun los valores relativos dev y ω:
v
Rω < v
Px
v
Rω = v
Px = 0
v
Rω > v
Px
94
3 Solucion por mecanica analıticaLa ligadura que aparece, aunque sea integrable, la dejamos como cinematica:
g1 ≡ A1I ·vI = i ·vI = x−Rθ = 0 → PIL = µ1 i ; C1x = 1 C1θ = −R
La energıa cinetica del disco es
T =12
mx2 +14
mR2 θ2
Las ecuaciones de movimientos impulsivos por multiplicadores de Lagrange seran
∂T∂ q j
∣∣∣∣
d
− ∂T∂ q j
∣∣∣∣
a
= QPj +
g
∑k=1
µkCk j
En este caso hay dos coordenadas generalizadas, no hay percusiones aplicadas y se introduceuna ligadura,
x) mxd −mv = 0 +µ1
θ)mR2
2θd −mR2
2ω = 0 −Rµ1
xd −Rθd = 0
Son las mismas ecuaciones que por newtoniana, salvo que la percusion de ligadura aquı se hallamadoµ1 en vez dePx. La solucion, naturalmente, es la misma.
95
Ejercicio 7.0.5: El sistema de la figura esta constituido por las varillasABy BC articuladas en el puntoB, ambas de masam y longitud a. El extremoA de la varillaAB es fijo y el sistema se encuentra sobre un plano horizontalliso. Inicialmente el sistema esta en reposo tal como se indica en la figura yse le aplica una percusionP en el puntoC, formando un angulo de 45o con lavarilla BC. Determinar las velocidades angulares de las varillas justo despuesde aplicar la percusion. A
B
C P
45o
1 Mecanica Newtoniana:
Solo se piden las velocidades, no las percusiones de ligadura: compensa buscar ecuacioneslibres de fuerzas de ligadura.
Las dos varillas tienen articulaciones en las que aparecer´an percusiones de ligadura, por loque las ecuaciones de la cantidad de movimiento no nos sirven.
Se puede usar la de momento cinetico de todo el sistema enA, y la de momento cinetico dela varilla BC enB. Ademas, la percusion no da momento enA porque su lınea de accion pasapor el origen.
Para calcular el momento cinetico necesitamos la velocidad del CDMde la segunda varilla. Trabajando directamente en la posicion inicial, setiene
vG = vB+ωωωBC∧BG = aϕ j − a2
θ i
El momento cinetico de la primera varilla lo calculamos como un solidocon punto fijo; para la otra, que no tiene ningun punto fijo, aplicamosKoenig:
ϕ θ
P
x
y
HABA
︷ ︸︸ ︷
13
ma2 ϕd +
AG∧mvG
︷ ︸︸ ︷
ma2 ϕd +ma2
4θd +
HBCG
︷ ︸︸ ︷
112
ma2 θd−0 = 0
Aislando la segunda varilla, tomamos momento enB:
ma2
4θd +
112
ma2θd −0 = −Pa
√2
2
AunqueB es un punto movil, podemos aplicar las ecuaciones impulsivas del momento cinetico,porque usamos las velocidades absolutas, y entonces el termino corrector no da percusion. Alver el resultado, puede dar la impresion de queHBC
B es el de un solido con punto fijo: no es ası,porque el puntoB se mueve; pero la aportacion de esa velocidad al momento cinetico resultaser nula para esa posicion de la varilla.
La segunda ecuacion da directamenteθd, y sustituyendo en la primera se obtieneϕd:
θd = −3P√
22ma
ϕd =3P
√2
8ma
2 Mecanica analıtica:Como solo se piden las velocidades, podemos resolverlo tambien por mecanica analıtica
como sistema holonomo. La energıa cinetica, en la posicion inicial, es:
T =16
ma2 ϕ2+12
ma2(ϕ2 + θ2/4
)+
124
ma2 θ2 =23
ma2 ϕ2 +16
ma2 θ2
96
Para calcular las fuerzas generalizadas de la per-cusion, tenemos que hallarδ rC. Con un pocode experiencia, se puede ver directamente que,al dar un DVCLδϕ, C se mueveaδϕ j ; al darun DVCL δθ , C se mueve−aδθ i. Con esto sepueden ya calcular laQP
ϕ y QPθ . δϕ
aδϕ P
x
y
δθ
aδθP
x
y
Si se quiere hacer con detalle, hay que calcularrC en una posicion generica, y diferenciarlo:
rC(ϕ,θ) = a
{cosϕsinϕ
}
+a
{−sinθcosθ
}
→ δ rc =n
∑j=1
∂ rC
∂q jδq j
δ rC = a
{−sinϕcosϕ
}
δϕ +a
{−cosθ−sinθ
}
δθ → δ rC = a
{01
}
δϕ +a
{−10
}
δθ
Sustituyendo la posicion inicial,ϕ = θ = 0, se obtiene el valor que se adelanto mas arriba,δ rC = aδϕ j −aδθ i. Las fuerzas generalizadas son:
QPϕ = P · ∂ rC
∂ϕ= Pa
√2
2QP
θ = P · ∂ rC
∂θ= −Pa
√2
2
Podemos ya plantear las ecuaciones de percusion por analıtica
43
ma2ϕd−0 = Pa
√2
226
ma2θd−0 = −Pa
√2
2
Los resultados son, naturalmente, los mismos que por newtoniana.
97
Ejercicio 7.0.6: Sea un proyectilM con movimiento horizontal rectilıneo y uniforme que tieneunacantidad de movimiento de valorpi. Sea una barra homogenea de masam y longitudL0 que esta articu-lada en un puntoO y que inicialmente esta en reposo verticalmente.
El proyectil choca con la barra a una distanciaL de la articulacionO y sequeda incrustado en ella. Calcular, suponiendo despreciable la masa delproyectil frente a la de la barra:i) incremento de cantidad de movimientodel sistema y valor de la percusion de ligadura enO; ii) la velocidad an-gular que adquiere la barra despues del impacto.iii) el angulo de maximadesviacion de la barra respecto de la vertical, en el movimiento que sigueal impacto, si solo actua el peso en direccion−j . p
ML
L0
x
y
O
ETSIA, febrero de 1994
1 Los apartados i) e ii) se obtienen de las ecuaciones impulsivas por newtoniana. Tenemos tres
ecuaciones: una de momento cinetico y dos de cantidad de movimiento. Hay tres incognitas:dos percusiones de ligadura en la articulacion,Qx y Qy, y la velocidad angular inmediatamentedespues de la percusion. A la varilla se le pueden aplicar las expresiones del solido con puntofijo. Tomando como coordenada el anguloθ de la figura, se tiene:
13
mL20 θd −0 = pL → θd =
3pL
mL20
mL0
2θd −0 = p+Qx → Qx = p
3L−2L0
2L0
0−0 = 0+Qy → Qy = 0
p
Qx
Qy
x
y
θ
La cantidad de movimiento inicial es solo la del proyectil;despues, solo la barra. El incre-mento es:
∆C = Cd−Ca = mL0
2θd − p = p+Qx− p = Qx
2 Despues de la percusion, el movimiento del sistema es el deuna varilla articulada sometidaa su peso. Podemos aplicar la ecuacion de la energıa,
T +V =16
mL20 θ2−mg
L0
2cosθ = E
entre el momento inicial (inmediatamente despues de la percusion, varilla vertical) y el final(cuando llega al punto mas alto con velocidad nula):
E =16
mL20
(
θd)2
−mgL0
2= 0−mg
L0
2cosθM → cosθM = 1− L0
3g
(3pL
mL20
)2
Si p es suficientemente grande, no hay solucion. Esto significa que la varilla llegarıa al puntomas alto sin pararse: un pendulo en regimen de rotacion.
Este aparato se denominapendulo balıstico. Permite determinar la cantidad de movimientode un proyectil mediante el desplazamiento de un pendulo demasa mucho mayor.
Otro aspecto interesante es elcentro de percusion: punto en que tiene que dar el proyectilpara que no aparezcan percusiones de ligadura en la articulacion. Se obtiene haciendoQx =0 → L = Lcp = 2L0/3.
98
Ejercicio 7.0.7: El sistema de la figura consta de una varilla pesada de lon-gitud 2a y masam que se encuentra inicialmente en reposo sobre el ejeOy deun sistema de referenciaOxy, dondeOy lleva la direccion de la vertical ascen-dente. En contacto unilateral con la varilla se encuentra, tambien en reposo,un disco de masam y radioa. El extremo inferior de la varilla puede deslizarlibremente sobre la rectaOx sin separarse de ella y tiene contacto liso con eldisco. El disco esta obligado a rodar sin deslizar sobreOx. En el momento ini-cial se aplica un percusionPi en el extremo superior de la varilla. Calculese elestado cinematico a la salida de la percusion y las percusiones de reaccion delsistema.
Febrero de 1995
P
x
y
Este problema no se puede resolver mediante la mecanica cl´asica. En el contacto entre varillay solido aparece una percusion de ligadura, que determinaque parte deP transmite la varilla aldisco. Segun las propiedades elasticas de una y otro, y losintervalos de tiempo de las dos percu-siones, la varilla podrıa rebotar hacia la izquierda, empujando al disco hacia la derecha; podrıaquedarse quieta, solo girando (como las esferas de Newton), mientras casi toda la percusion setransmite al disco; o podrıan salir los dos hacia la derechacon velocidades del mismo orden.Y si supieramos el coeficiente de restitucion entre los solidos, tampoco servirıa de nada, puesno es realmente un choque, sino la transmision de una percusion a traves de otro solido. Comola diferencia de velocidades inicial es nula, en el denominador del coeficiente de restitucionaparece un cero que lo hace inutil.
Lo unico que nos permitirıa resolverlo es suponer que entre los solidos hay un pequeno hue-co, de modo queprimero se produce la percusion sobre la varilla y,despueschocan la varillay el disco. Para esto necesitarıamos el coeficiente de restitucion, pues se trata propiamente deun choque.
Tambien se podrıa resolver si el enunciado dijera algo sobre el contacto, por ejemplo, quesalen con la misma velocidad, porque la ligadura de contactoesta activa durante la percusion.Es decir, que el choque esmucho mas rapido que la percusion, y que mientras dura la percu-sion la varilla esta continuamente empujando al disco, demodo que al acabar tienen la mismavelocidad.
Son los dos extremos: choque completamente anterior a la percusion, o percusion comple-tamente anterior.
1 Comprobaremos que el problema, en su forma actual, es in-soluble. La varilla tiene dos grados de libertad, ˙x y ϕ . El disco,por rodar sin deslizar, solo uno,θ . Aparecera una percusion de li-gadura verticalRy por deslizar el extremos de la varilla por el ejehorizontal, dos en el punto de contacto del disco,Qy, Qy, y un parde percusiones de accion reaccion±Rx en el contacto entre los dossolidos. En total, siete incognitas, para seis ecuaciones:
aθθP
x
ϕ
Rx
Ry
QxQy
P−Rx = mxd Rx +Qx = maθd
0+Ry = 0 0+Qy = 0
−Pa= − 112
m4a2ϕd aQx = −12
ma2 θd
Esta determinada la velocidad angular de la varilla despu´es de la percusion. Para las velocidades,eliminando laQx y la Rx entre la primera, la cuarta y la sexta, se llega a:
P = mxd +32
maθd
Podemos obtener la cantidad de movimiento del sistema mas el momento cinetico del disco,pero no hay modo de saber como se reparte entre los dos solidos. Harıan falta hipotesis adicio-nales.
2 Una posibilidad es que los dos solidos se mantengan en contacto durante toda la percusiona la varilla, con lo que a la salida tendrıan la misma velocidad,
xd = aθd
99
Con esto el problema estarıa resuelto. Equivale a decir quela ligadura es persistente, por lomenos hasta afectar a las velocidades de salida de la percusion. O bien, que el choque es tanrapido, que continuamente la varilla esta transmitiendoal disco la cantidad de movimiento querecibe de la percusion, mediante choques diferenciales, llevando los dos la misma velocidad.
3 Supongamos que hay una pequena separacion entre los dos s´olidos, de modo que primerotiene lugar la percusion, y luego el choque. Para resolver el choque necesitamos el coeficientede restitucion. Supongamos que es 1, choque elastico. Lasecuaciones de la varilla seran lasmismas, excepto que no hayRx porque no esta en contacto con el disco:
P = mx1 Ry = 0 Pa=13
ma2ϕ1
A continuacion la varilla, con las velocidades de salida dela percusion (1), choca con el discoy saldran con velocidades (2)
−Rx = mx2−mx1 Rx +Qx = maθ2−0
+Ry = 0 0+Qy = 0
0 =13
maϕ2−13
maϕ1 aQx = −12
ma2 θ2−0
El coeficiente de restitucion proporciona otra ecuacion:las velocidades de los puntos que cho-can deben cumplir,
1 = − i · (vV2 −vD
2 )
i · (vV1 −vD
1 )= − x2−aθ2
x1−0→ −x1 = x2−aθ2
De estas ecuaciones se obtiene
ϕ2 =3Pma
x2 = − P5m
θ2 =4P
5am
La varilla rebota hacia la izquierda con una velocidad que esla quinta parte de la que lleva eldisco hacia la derecha; no se conserva la cantidad de movimiento en el choque por la percusionde ligadura exteriorQx, que transforma parte de la cantidad de movimiento inicial en momentocinetico del disco. La energıa se conserva.
En un caso real, el resultado serıa algo intermedio entre las dos hipotesis extremas queaquı se han considerado, de modo que, aunque uno sea anterior al otro, habrıa un cierto solapeentre la percusion y el choque.
100
Problema 7.0.11: Sea un disco homogeneo de masam y radio R que se mueve en un plano vertical.SeaOxyuna referencia cartesiana rectangular de este plano en la que Oy es la vertical ascendente y elejeOxes un suelo rugoso con coeficiente de rozamiento al deslizamiento del discof . El disco se muevesobre el suelo sin poderse despegar.
Para fijar la posicion del disco se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas: i) la coordenadacartesianax de su centro de masas, ii) el anguloϕ que forma el radio que inicialmente esta en contactocon el suelo con la vertical descendente (VER FIGURA 1).
Inicialmente el disco se encuentra en reposo en la posicionx= 0, ϕ = 0 y se aplica sobre el punto decoordenadax mas negativa del mismo una percusion de valorP (cosα~i−sinα~j ) (VER FIGURA 2).
A) Supongamos que en la etapa de percusion el discono puede deslizar;se pide:
1) Expresar la condicion matematica de no deslizamiento.
2) Calcular el estado cinematico a la salida de la percusion.
3) Hallar las percusiones sobre el disco en el punto de contacto.
4) Comprobar cuando es valida la hipotesis de no deslizamiento y expresar la misma medianteuna relacion del tipof ≥ Φ(α)
5) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusion.
B) Supongamos que en la etapa de percusionhay deslizamiento( f < Φ(α)); se pide:
1) Calcular el estado cinematico a la salida de la percusion: x0( f ,α), ϕ0( f ,α).
2) Calcular la velocidad de deslizamiento del disco a la salida de la percusion y comprobar sucompatibilidad con el resultado de A-4.
3) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento posterior a la percusion
4) Determinar el instante (t∗) en que termina el deslizamiento.
5) Plantear y resolver las ecuaciones del movimiento parat > t∗.
ETSIA, septiembre de 1995
ϕ
x
y
FIGURA 1
αP
y
FIGURA 2
x
101
A) No desliza durante la percusion
1 LlamandoI al punto del disco que en cada momento este en contacto con elsuelo, lacondicion de no deslizamiento sera:
vI = vC +ωωω ∧CI = (x+Rϕ) i = 0
2 3 El puntoI de contacto tiene dos ligaduras: no desliza en la direccionOx, y no se separa
en laOy; durante la percusion cada una produce una percusion de ligadura:Qx i y Qy j . Las dosson bilaterales, y pueden tener cualquier signo.Para un solido, tenemos las dos ecuaciones de cantidad de movi-miento y la de momento cinetico, mas la de la ligadura:
mxd −0 = Pcosα +Qx
0−0 = −Psinα +Qy
−mxdR+12
mR2ϕd−0 = −PcosαR+PsinαR
xd = −Rϕd
αP
xd
ϕd
QxQy
y
x
La ecuacion de momento cinetico se ha tomado enI , para que no aparezcan las percusionesde ligadura, pero tambien podrıa tomarse enC y eliminar la Qx mediante la primera de lacantidad de movimiento. La complejidad es casi la misma.
Tenemos un sistema cerrado, cuatro ecuaciones y cuatro inc´ognitas, del que se obtiene:
xd =2P(cosα −sinα)
3mϕd = −2P(cosα −sinα)
3mR
Qx = −P(cosα +2sinα)
3Qy = Psinα
4 Suponiendo que para las fuerzas impulsivas sigue siendo valido el modelo de Coulomb-Morin,
|Qx| ≤ f |Qy| → f ≥ |cosα +2sinα|3|sinα|
Como no se da ningun dato sobre laα, hay que dejar la expresion con los modulos.
5 Para el movimiento contamos con las ecuaciones del momento cinetico (1) y la cantidad demovimiento (2). LlamaremosN j a la reaccion normal yFr i al rozamiento. Supondremos quesigue activa la ligadura de no deslizamiento, y al hallarlaslo comprobaremos.
mx = Fr
0 = −mg+N12
mR2ϕ = RFr
x = −Rϕ
mg
x
ϕ
FrN x
y
EliminandoFr entre la de CMx y la de MCz, y usando la ligadura derivada
mx = −12
mRϕ =12
mx → x = ϕ = Fr = 0; N = mg
La fuerza de rozamiento es compatible con la condicion de nodeslizamiento,Fr = 0 < f mg.Las ecuaciones ¨x = ϕ = 0 se integran tomando como condiciones iniciales las de salida de la
102
percusion, ˙xd, ϕd y x0 = ϕ0 = 0:
x =2P(cosα −sinα)
3mt ϕ = −2P(cosα −sinα)
3mRt
Esta parte se podrıa haber hecho por mecanica analıtica,porque al no deslizar la ligaduraes ideal; pero tratandolo como sistema holonomo solo se habrıan obtenido las velocidades. Laspercusiones de ligadura no aparecerıan, y no se podrıa comprobar la validez de la hipotesis deno deslizamiento.
Si se liberan las dos ligaduras, se podrıa obtener tambienQx y Qy por multiplicadores deLagrange; pero entonces nos queda un solido libre, y para s´olidos y partıculas libres las ecua-ciones por analıtica son las mismas que las de Newton-Euler. No se ganarıa nada, y en generalel calculo de las fuerzas generalizadas y multiplicadoreses mas laborioso.
B) Hay deslizamiento durante la percusion
1 Ademas de la condicion del enunciado, hay que suponer que en todo momento se cumpleel modelo de Coulomb con deslizamiento entre las componentes horizontal y vertical de lapercusion de ligadura. Llamaremos, como antes,Qx y Qy a las percusiones de ligadura.
Las ecuaciones de conservacion de movimiento y momento cineti-co daran
mxd−0 = Pcosα +Qx
0−0 = −Psinα +Qy
12
mR2ϕd−0 = PsinαR+QxR
αP
xd
ϕd
QxQy
y
x
En vez de la condicion cinematica de no deslizamiento, tenemos la ley de Coulomb condeslizamiento:
Qx i = − f |Qy|vI
|vI |Para resolver estas ecuaciones, hay que hacer algunas hipotesis sobre los signos. Supongamosqueα ∈]0,π/2[ y quevI > 0, es decir, que el disco empieza a deslizar hacia la derecha,con loqueQx sera negativa. La segunda hipotesis la comprobaremos al final, la primera depende delos datos. La solucion del sistema sera pues
mxd = Pcosα − f Psinα → xd =P(cosα − f sinα)
m
12
mR2ϕd−0 = PsinαR− f PsinαR → ϕd =2Psinα(1− f )
mR
2 Para comprobar la validez de esta solucion, hay que calcular la velocidad de deslizamiento,
vI = (x+Rϕ) i =Pm
[cosα +sinα(2−3 f )] i
Para que la partıcula deslice, y los signos tomados en las ecuaciones sean correctos,
cosα +sinα(2−3 f ) > 0 → f <cosα +2sinα
3sinαque es el opuesto de la condicion de no deslizamiento que se calculo en A). Ahora no aparecenmodulos, porque se supuso queα ∈]0,π/2[, es decir, el seno y el coseno son positivos y distintosde cero. Por tanto, las hipotesis que se hicieron eran correctas.
Podrıamos repetir los calculos suponiendo que el punto decontactoI desliza hacia la iz-quierda. Resulta que ese movimiento solo es posible con unα negativo, es decir, cuando segolpea de abajo hacia arriba. Se deja como ejercicio rehacerlas ecuaciones con esa hipotesis.
103
3 Para el movimiento contamos con las ecuaciones del momento cinetico (1) y la cantidadde movimiento (2). LlamaremosN j a la reaccion normal yFr i al rozamiento. Ahora no hayecuacion de ligadura, pero tenemos la inecuacion de Coulomb mientras dure el deslizamiento.
Siguiendo con la hipotesis de que desliza hacia la derecha,
mx = Fr
0 = −mg+N12
mR2ϕ = RFr
Fr = − f |N| = − f mg
mg
x
ϕ
FrN x
y
Quedan ecuaciones lineales
mx = − f mg → x = xd − f gt ; x = xd t − 12
f gt2
12
mR2ϕ = −R f mg → ϕ = ϕd− 2 f gR
t ; ϕ = ϕd t − f gR
t2
4 Estas ecuaciones valen mientras haya deslizamiento, y la velocidad sea positiva. La veloci-dad de deslizamiento valevI (t) = x+Rϕ y se anulara cuando
vI (t∗) = x+ Rϕ = xd − f gt + Rϕd −R2 f gR
t = 0 → t∗ =P[cosα +sinα(2−3 f )]
3 f gm
5 En el momento en que no hay deslizamiento, la fuerza de rozamiento sera la necesaria paraque no deslice, es decir, ninguna porque ya rueda sin deslizar. Por tanto, el sistema se siguemoviendo con velocidad y velocidad angular constantes:
x = x(t∗)+ x(t∗) t ϕ = ϕ(t∗)+ ϕ(t∗) t
104
ESCUELA TECNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AERONAUTICOS
Apellidos, Nombre: Grupo:
Mecanica II - Problema de Dinamica de Sistemas Curso: 01/02 Fecha: 22.06.2002
Un sistema material esta formado por dos discos pesados iguales, de masam y radior, quese pueden considerar como infinitamente delgados. El disco 1esta horizontal y fijo en el origende coordenadasO, de manera que solo puede girar libremente alrededor del eje verticalOz. Unradio fijo de este disco forma conOx un anguloψ1. El disco 2 esta articulado con una rotulalisa en el puntoO′(0,0, r) mediante una varilla sin masa, ortogonal al disco y de longitud r.Esta apoyado sobre el otro disco, yrueda sin deslizarsobre el. Se situara mediante el sistemaOx0y0z0, de modo queOz0 coincide conOzy Ox0 pasa por el punto de apoyo sobre el disco 1.Ox0 forma un anguloψ2 con el eje fijo del primer disco, de modo que el angulo de precesiondel segundo esψ1 + ψ2. El angulo girado por el disco vertical alrededor de su propio eje (lavarilla) esϕ.
En el instante inicial el sistema esta en reposo y todos los ´angulos son cero. Se aplica unapercusionPj en el punto(r,0,0) del disco horizontal. Suponiendo que el disco verticalno selevanta,y sigue rodando sin deslizar sobre el horizontal, calcular:
1. Momento cinetico de cada uno de los discos respecto aO′ en un momento arbitrario, enfuncion de las coordenadas y sus derivadas, proyectados enOx0y0z0. (0,5 puntos)
2. Ecuacion de la ligadura cinematica. (0,5 puntos)
3. Analizar las percusiones y momentos de percusion que actuan sobre cada uno de losdiscos al aplicarP (1,5 puntos)
4. Valor de las velocidades angulares inmediatamente despues de la percusion. Solo sera ne-cesario plantear las ecuaciones que determinen el movimiento (4,5 puntos).
5. Despues de la percusion, el sistema tendra un movimiento estacionario con las velocida-des angulares resultantes. Calcular la reaccion normal entre los discos (1,5 puntos)
6. Como la ligadura es unilateral, solo actua mientras la reaccion normal sobre el discovertical sea positiva. Calcular el valor maximo deP para que el segundo disco no selevante en el movimiento posterior (1,5 puntos).
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
y
z
ϕ
ψψ
.
12
O
O'
x0
105
1. Momentos cineticos: 1 punto
Disco 1: H1O′ =
12mr2
−−
1
00
ψ1
=
12
mr2
00
ψ1
Para el disco 2, hay que aplicar Koenig:IO′z = IGz+mr2 = 14mr2+mr2 = 5
4mr2.
Disco 2: H2O′ =
14mr2
2−
5
ϕ0
ψ1 + ψ2
=
14
mr2
2ϕ0
5(ψ1 + ψ2)
2. Ligadura cinematica: 1 punto
xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
y
z
ψψ
.
12
CO'
x0
O
M
ϕ rr ψ.2
El centro del disco 2,C, esta siempre en el planoOx0z0, por loque tiene respecto al disco 1 la misma velocidad que el punto decontacto como punto independiente,M, que esta en el ejeOx0:
vC21 = vM
01; −ϕr j0 = ψ2r j0 ⇒ −ϕ = ψ2
3. Reacciones: 1,5 puntos
x
y
z
O
x0-Q
R
M
M1
x
y xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
x
y
z
O
O'
x0Q
R2
El disco 1 es un solido con eje fijo. Se puede fijar de varios modos, con lo que se tendrıandiversos sistemas de fuerzas y momentos de ligadura. En cualquier caso, el sistema sepuede reducir aO, con lo que se obtiene una reaccionR1 con tres componentes (el centroesta fijo y no puede moverse en ninguna direccion) y un momento con componentesMxy My (no hay componente segunOzporque puede girar libremente alrededor de este eje).Ademas, sufre la percusion directamente aplicadaPj0.
El disco 2 es un solido con punto fijo, por lo que esta sometido a una reaccionR2 enO′
con tres componentes.
La rodadura sin deslizamiento entre los dos discos supone que el punto de contacto tienevelocidad relativa nula, por lo que habra una reaccionQ con tres componentes de 1 a 2 (y−Q de 2 a 1).
Notese que el sistema eshiperestatico, puesQx y R2x0
sobre el disco 2 son redundantes,igual que−Qx y R1
x0sobre el disco 1. Si no hubiera reaccion radial entre los dos, Qx = 0,
y el sistema serıa isostatico.
106
4. Estado cinematico despues de la percusion: 4,5 puntos
Solo hay que plantear las ecuaciones que determinan el movimiento: las asociadas a losgrados de libertad de cada solido.
No interesa plantear las del momento cinetico para todo el sistema, pues hay percusionesde ligadura enO y enO′: aunque se tomen momentos en uno de esos puntos, quedaranlas ligaduras del otro.
M1z (P−Qy) r =
14
mr2 ψ1−0
M2z Qyr =
54
mr2(ψ1 + ψ2)−0
M2x Qyr =
12
mr2ϕ −0
Junto con la ligadura,−ϕ = ψ2, forman un sistema decuatro ecuacionesconcuatro incogni-tas. Se puede sustituir la ligadura en la tercera, obteniendoQy en funcion deψ2; se despejaψ1de la primera, y se sustituyen ambas en la segunda; ası se obtieneψ2, y de esta las demas:
ψ2 = −56
Pmr
ψ1 =76
Pmr
ϕ =56
Pmr
5. Reaccion normal: 1,5 puntos
Aunque no sea necesario, porque ya lo dice el enunciado, es f´acil comprobar que el movi-miento resultante es estacionario. Planteando la ecuacion del momento cinetico segunOzparacada uno de los discos y para el sistema, mas la ligadura, se tiene un sistema incompatible enlas derivadas segundas, cuya unica solucion es que sean todas cero, ası comoQy (las reaccionesno son ya las de percusion, sino las del movimiento ordinario). Por lo tanto, el sistema mantieneel estado cinematico resultante de la percusion.
Para hallar la reaccion normalQz hay que plantear la ecuacion del momento cinetico deldisco 2 segunOy0, teniendo en cuenta que son ejes moviles:
dH2O′
dt=
14
mr2
��2ϕ0
������5(ψ1 + ψ2)
+
14
mr2
∣∣∣∣∣∣
i0 j0 k00 0 ψ1+ ψ2
2ϕ 0 5(ψ1 + ψ2)
∣∣∣∣∣∣
=12
mr2
0ϕ (ψ1 + ψ2)
0
El momento de las fuerzas enO′ sera:(mg−Qz−Qx) r j0. Si no hay reaccion radial,Qx = 0, elproblema es isostatico, y se puede determinar la reaccionnormal:
(mg−Qz) r =12
mr2ϕ (ψ1 + ψ2) =536
P2
mr⇒ Qz = mg− 5
36P2
mr
6. Percusion maxima: 0,5 puntos
Si la ligadura es unilateral,Qz = mg− 536
P2
mr≥ 0, por lo que el valor maximo de la percusion
corresponde aQx = 0. Si fuera mayor, harıa falta tirar del disco 2 hacia abajo,y esto no esposible porque esta simplemente apoyado: se levantarıa.Por tanto,
Pmax= 6m
√gr5
107
Problema 7.0.12: Un disco homogeneo y pesado, de masam y radio a rueda sin deslizar sobre unplanoOxymanteniendo su plano vertical en todo momento. En el punto decontacto con el plano existenlas ligaduras fısicas necesarias para que se mantengan lascondiciones cinematicas descritas. El discomantiene, ademas, en todo momento, un contacto liso con el planoOxz.
La configuracion del disco la consideramos definida mediante los parametrosξ ,η ,ϕ ,θ indicadosen la figura, siendo(ξ ,η) las coordenadas del punto de contacto,θ el angulo que forma el plano deldisco con elOxz, y ϕ el angulo que forma un radio fijo del disco con la vertical descendente. Entre losparametrosη y θ existe la ligadura geometrica evidenteη = asinθ . Se pide:
1. Expresar las condiciones cinematicas de rodadura sin deslizamiento en funcion de los parametrosy sus derivadas respecto al tiempo.
2. Estudiar si el sistema es holonomo.
3. Obtener las ecuaciones parametricas de la trayectoria del centro del disco en funcion deθ .
4. Expresar el anguloϕ en funcion deθ .
5. En un instante en queξ = ξ0 y θ = π/6, y estando el sistema en reposo, se aplica al disco unapercusion horizontalP contenida en su plano, en el punto diametralmente opuesto alde contactoconOxz. Determinar el estado cinematico a la salida de la percusi´on.
6. Determinar las percusiones de ligadura.
7. Dejar el movimiento posterior reducido a una cuadratura.
8. Obtener las reacciones de los planos sobre el disco, en el momento inicial del movimiento quecomienza, una vez pasado el momento de la percusion.
Febrero de 1991
108
Problema 7.0.13: Una placaOABCcuadrada, homogenea y pesada de ladoay masam, se encuentra enreposo apoyada sobre un planoO1x1y1 perfectamente liso y perteneciente a un sistema galileanoO1x1y1z1
en el queO1z1 va dirigido segun la vertical ascendente. El plano de la placa coincide inicialmente con elplano coordenado, como se indica en la figura.
En esta situacion se aplica una percusion P paralela aO1y1 en el punto de coordenadas(x1,y1,z1) =(α ,0,β ). La placa comienza el movimiento que le permite la ligadura de que su ladoOA pertenezca entodo momento al planoO1x1y1. Durante esta fase del movimiento, su configuracion se supondra fijadapor las coordenadas(ξ ,η) de la proyeccion de su centro de masasG sobreO1x1y1, el anguloϕ que elladoOA forma conO1x1 y por el anguloθ que la placa forma conO1z1.
Finalmente, cuando se alcanza el valorθ = π/2 la placa choca contra el planoO1x1y1 manteniendosesobre el, el resto del movimiento. El choque se efectua sinrozamiento y, en la ultima fase del movimiento,la posicion de la placa se supondra determinada con las coordenadas(ξ ,η) y el anguloϕ manteniedoseθ con el valorπ/2 en todo momento.
Se pide:
1. Valores iniciales deξ0,η0,ϕ0,θ0 inmediatamente despues de la percusion.
2. Ecuaciones generales del movimiento de la placa en su primera fase, dejandolo reducido a unacuadratura.
3. Analizar la percusion que aparece cuando la placa llega al plano horizontal, determinando el mo-vimiento posterior a la percusion y reduciendo las percusiones de ligadura procedentes del plano,a una unica percusion cuyo valor y situacion se determinaran.
4. ¿Donde hay que aplicar la percusionP para que en la ultima fase del movimiento los verticesOABCdescriban cicloides perfectas?
5. ¿Donde hay que aplicar la percusionP para que el primer eje instantaneo de la placa pase porC?
Junio de 1986
Solucion por mecanica newtoniana
1 Este problema se puede resolver con las tecnicas de la mecanica newtoniana o con las dela analıtica. Solo el apartado (3) hace mas recomendablela newtoniana, porque se pide unapercusion de ligadura. Se resolvera primero por newtoniana.
Para resolver la percusion hay que:
Analizar los grados de libertad, coordenadas generalizadas y sistema de fuerzas de liga-dura. En todas las ligaduras pueden aparecer percusiones.
Calcular la cantidad de movimiento y el momento cinetico
109
Estos dos pueden calcularse solo para la configuracion de la percusion, mucho mas simpleque en el caso general. Pero como luego se estudiara el movimiento, compensa calcularlos parauna configuracion arbitraria. Se llamara solidoS2 a la placa, yS0 a los ejes intermedios de lafigura, de modo queOz‖ O1z1 y Oy‖ OA.
El contacto de un lado con el plano es una ligaduraque determina la altura del centro de la placaG enfuncion del angulo de nutacionθ . Ası la posicion yvelocidad del centro deG seran
O1G =(
ξ ,η,a2
cosθ)
1
vG21 =
(
ξ , η,−a2
sinθ θ)
1
La velocidad angular tendra solo componentes deprecesion y nutacion; la rotacion propia esta impe-dida por el contacto con el plano:
x1
y1
z1
ϕ
x
y
z
θO
Ax2
y2
z2
G
ωωω21 = ϕ k1 + θ j0 = ϕ (cosθ i2+sinθ i2)+ θ j2
HG = IIIG ·ωωω21 =112
ma2
1 0 00 1 00 0 2
·
ϕ cosθθ
ϕ sinθ
=
112
ma2
ϕ cosθθ
2ϕ sinθ
Como el contacto entre la placa y el suelo no es en unpunto, sino a lo largo de una recta, en vez de fuerzanormal de ligadura tenemos un sistema distribuido alo largo del lado. No podemos conocer la distribu-cion, pero sı podemos reducirlo a un sistema equiva-lente que se puede calcular: dos fuerzasN1 y N2 enlos extremos, una resultanteN en el centro del ladoy un momento resultanteMy, o una normalN apli-cada a una distanciad del lado; el momento en esteultimo caso serıad N.
x
y
z
N(y)
x
y
z
N1
N2
x
y
z
N
Mx
Las dos resultantes o la resultante aplicada en un punto inc´ognita son utiles con ligadu-ra unilateral para ver si se separa. Como en este caso la ligadura es bilateral, podemos usarla resultante y momento. Naturalmente, cuando hay percusiones, todas las fuerzas de ligadurapueden en principio dar percusion, por lo que se tomanN y Mx como percusiones de ligadura.Tenemos pues seis incognitas para el solido: cuatro coordenadas generalizadas y dos incognitasde ligadura.
En el momento de la percusion, tenemosϕ = θ = η = 0,ξ = a/2, y todas las velocidades nulas. Las magnitudes cineti-casantesson nulas. Las ecuaciones impulsivas de cantidad demovimiento, en ejes 1, son:
0P0
+
00N
= m
ξ d
ηd
0 · θd
−0 →
ξ d = 0
ηd = Pm
N = 0
x1
y1
z1
x
y
z
O
A
x2
y2
z2Gb
P
N
M
La percusion se aplica en(α,0,β ), por lo que habra que calcular su momento enG. Porotra parte, el momento cinetico se ha calculado en ejesS2. En el momento de la percusionestan paralelos aotrosfijos: Gy2 ‖ O1x1 y Gx2 ‖ O1z1. Para no tener que cambiar componentes,
110
trabajaremos en ejesS2.
P(α − a
2
)
−P(β − a
2
)
0
+
00M
=
112
ma2
1 · ϕd
θd
0 · ϕd
−0 ⇒
ϕd = 12(α − a
2
)P
ma2
θd = −12(β − a
2
) Pma2
M = 0
2 Para estudiar el movimiento de la placa conta-mos con tres ecuaciones de cantidad de movimien-to y tres de momento cinetico, para seis incognitas.Tambien tenemos la de la energıa, que es combina-cion de las anteriores. La unica fuerza dada es el pe-so, y tenemos el sistema de fuerzas de ligadura. Lade cantidad de movimiento en ejesS1 es:
00
N−mg
= m
ddt
ξη
−a2 sinθ θ
→
ξ = C1
η = C2
N(θ , θ )
x1
y1
z1
ϕ
x
y
z
θ
O
A
x2
y2
z2
G
Mx
Nmg
La de momento cinetico enG nos da:
MxNasinθ
0
0
=
MxsinθNasinθ−Mxcosθ
2
=
=112
ma2 ddt
ϕ cosθθ
2ϕ sinθ
2
+112
ma2
∣∣∣∣∣∣
i2 j2 k2
ϕ cosθ θ ϕ sinθϕ cosθ θ 2ϕ sinθ
∣∣∣∣∣∣
Entre la primera y la tercera se eliminaMx, y queda una ecuacion diferencial en los angulos ysus derivadas; en la segunda se sustituyeN de la tercera de cantidad de movimiento, y quedaotra ecuacion diferencial limpia. Entre las dos se podrıa
obtener dos integrales primeras;
eliminar uno de los angulos para llegar a una cuadratura.
Pero es ciertamente laborioso, e incierto el que se atine a integrarlas. Es mas facil buscar direc-tamente integrales primeras:
Ni el peso ni las fuerzas de ligadura dan momento segunOz, que es una direccion fija,por lo que se conserva el momento cinetico en esa direccion:
MEG ·k0 =
ddt
HG ·k0 =ddt
(HG ·k0) = 0 → HG ·k0 = Cte
El vectork0 en ejesS2 vale
k0 = (sinθ ,0,cosθ) ⇒ ϕ(1+sin2θ
)= C3
Las ligaduras son ideales y estacionarias, y el peso es potencial, por lo que se conserva laenergıa:
V = mgzG =mga
2cosθ T =
12
mvG21
2+
12
HG ·ωωω21 =
=12
m
(
ξ 2+ η2 +a2
4sin2θ θ2
)
+124
ma2(ϕ2sin2θ + θ2 +2ϕ2cos2 θ
)=
=12
m(
ξ 2 + η2)
+124
ma2 [θ2 (
1+3sin2θ)+ ϕ2 (
1+sin2 θ)]
T +V = E
111
El valor de las constantesC1, C2, C3 y E se obtiene de las condiciones iniciales del movimiento,que son las de salida de la percusion:
C1 = ξ0 = 0 C2 = η0 =Pm
C3 = ϕ0(1+sin2 θ0
)=
(
α − a2
) 12Pma2
La cuadratura se obtiene sustituyendo las integrales primeras en la ecuacion de la energıa
E =12
m(C2
1 +C22
)+
124
ma2 [θ2 (
1+3sin2 θ)+C2
3
]+
mga2
cosθ
θ2 =1
1+3sin2 θ
{24
ma2
[
E− mga2
cosθ − m2
(C2
1 +C22
)]
−C23
}
= f (θ)
∫
dt =∫ ±dθ
√
f (θ)ϕ
(1+sin2θ
)= C3 →
∫
dϕ =∫ ±C3dθ
(1+sin2θ
)√
f (θ)
3 La placa sigue el movimiento gobernado por las ecuaciones anteriores hasta que choca conel suelo. Entonces se introduce bruscamente la ligaduraθ = π
2 , que espersistente: se mantienedespues del choque. Hace falta:
Determinar el estado cinematicoantesdel choque, con las ecuaciones del apartado (2).
Determinar el estado cinematicodespuesdel choque, al aplicar la ligadura.
Analizar el sistema de percusiones de ligadura al chocar conel suelo.
Calcularlas.
Las velocidades angulares inicialesϕ y θ cambian de signo segun queα ≷ a2 y β ≷ a
2. Noes necesario saberlo para laϕ, que queda perfectamente determinada por su integral primera;pero laθ esta pendiente del doble signo de una raız, que hay que escoger segun el valor inicial.
P θ β < a2 θ0 = −12P
m
(β − a
2
)> 0 θ = +
√. . .
P θ β > a2 θ0 = −12P
m
(β − a
2
)< 0 θ = −√
. . .
El enunciado indica que se cumple la primera condicion, pues llega al suelo conθ = π2 , por
lo que tomaremos el signo +. La figura lo corrobora. En el caso contrario, el procedimiento serıaanalogo, pero tomando el signo -, y llegarıa al suelo conθ = −π
2 .
a) Estado cinematicoantesdel choque: valor de las velocidades paraθ = π2
ξ a = ξ0 = 0 ηa = η0 =Pm
ϕa =ϕ0
1+sin2 π2
=6Pm
(
α − a2
)
Para laθ , hay que tener cuidado de aplicar la ecuacion de la energıaentre el instantedespuesde la percusion y el choque con el suelo; noantesde la percusion. En la percusionno se conserva la energıa, en el movimiento posterior sı. Inmediatamente despues de laprimera percusion, conθ = 0,
E =12
m(0+C2
2
)+
124
ma2
{[
−12(
β − a2
) Pma2
]2
(1+3 ·0)+C23
}
+mga
2·1
mientras que all llegar al suelo, conθ = π2 ,
E =12
m(0+C2
2
)+
124
ma2{[
θa]2(1+3 ·1)+C2
3
}
+mga
2·0
Igualando los dos valores se obtiene
θa = +
√
9(2α −a)P2
m2a4 +3ga
112
b) En el choque se introduce la ligaduraθ = π2 , por lo que las velocidadesdespuesseran:
ξ d = ξ a ηd = ηa ϕa = ϕd θd = 0
c) Se ha introducido una nueva ligadura que impide el giro alrededor del ejeOy, por lo queaparecera un momento de percusion de ligaduraMy. Las otras dos ligaduras continuan:giro impedido segunOxy altura deG ligada a la nutacion,ζ G = ζ (θ). En estas ligadurastambien pueden aparecer percusiones:Mx y N. Para las ecuaciones de momento cinetico,convine tomar momentos enG. Y se puede trabajar indistintamente en ejesS0 o S2 porqueestan paralelos.Tenemos un sistema distribuido de percusiones verticales,de resultanteNk2 y momentoresultanteMx i2 +My j2. Se puede sustituir por un sistema equivalente; por ejemplo, trespercusiones en tres vertices de la placa, o una sola percusion en un punto de la placa(x,y)a determinar.
x
y
z
x2
y2
z2
G
N(x,y)
x
y
z
x2
y2
z2
G
NMx
My
x
y
z
x2
y2
z2
G
N y
x
Las ecuaciones impulsivas de cantidad de movimiento dan
00N
= m
0ηa
0
−m
0ηa
−a2θa
⇒ ma
2θa = N =
ma2
√
9(2α −a)P2
m2a4 +3ga
Y las de momento cinetico
N y−N x
0
=
ma2
12
00
2ϕa
− ma2
12
0θa
2ϕa
⇒
y = 0
x =a6
4 En la ultima fase la placa se mueve sobre el plano con velocidad deG constanteη0 j1 yvelocidad angular constanteϕ0k1. G describe una recta paralela aO1y1. Los puntos de la placaque esten a una distanciad = η0/|ϕ0| deG describiran cicloides; los que esten a mas distanciacicloides alargadas, y los que esten a menos cicloides acortadas. Y esto independientemente dequeϕ sea positiva o negativa. La base sera una recta y la ruleta una circunferencia de radiod.
2α > a ϕ > 0
b
b
2α < a ϕ < 0
b
b
Para que sean los vertices los que describen cicloides, en el caso 2α > a hace falta que
d =η0
|ϕ0|= a
√2 → P
m= a
√2
12Pma2
(
α − a2
)
⇒ α = a6√
2+1
12√
2
113
Si estamos en el caso 2α < a, hay que cambiar el signo de laϕ :
d =η0
−ϕ0= a
√2 → P
m= −a
√2
12Pma2
(
α − a2
)
⇒ α = a6√
2−1
12√
2
5 Conocemos el estado cinematico de la placa inmediata-mente despues de la primera percusion. En general, para queel eje instantaneo pase porC hay que obligar a que su veloci-dad sea paralela a la velocidad angular. En este caso, se ve quela velocidad de mınimo deslizamiento va a ser cero, porquela velocidad deG es normal a la velocidad angular. Podemosobligar a que la velocidad deC sea nula.
vG21 = η k2 ωωω21 = ϕ i2+ θ j2
vC21 = vG
21+ωωω21∧GC = 0 x1
y1
z1
x2
y2
z2G η
ϕ
θ
C
00
η0
+
∣∣∣∣∣∣
i2 j2 k2
ϕ0 θ0 0a2 −a
2 0
∣∣∣∣∣∣
=
00
η0− a2
(ϕ0+ θ0
)
=
000
P2
=a2
[12Pma2
(
α − a2
)
− 12Pma2
(
β − a2
)]
⇒ a = 6α −6β
La percusion ha de aplicarse sobre una recta a 45o, que pasa aa6 por debajo y por la izquierda deG, como se ve en la figura.x1
y1
z1
x2
y2
z2G
C
114
