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CAPITULO 7
Torção
Resistência dos Materiais
DEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Sumário: Torção
Competências: No final do capítulo os alunos deverão ser capazes de determinar os
diagramas de esforços internos de torção. Obter experimentalmente o módulo de distorção.
Relacionar as tensões tangenciais com os esforços de torção e propriedades geométricas
dos corpos. Estabelecer a relação entre a potência e o momento torçor. Relacionar o ângulo
de torção de veios de secção circular com os esforços de torção, módulo de distorção e
propriedades geométricas. Resolver problemas hiperestáticos de grau 1.
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Resistência dos Materiais
Esforços internos de torção
Equação matemática para cálculo das tensões tangenciais
Distribuição das tensões tangenciais nos corpos solicitados
Ângulo de torção
Momento polar de Inércia
Torção em Eixos de Secção Circular
• O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.
• O eixo transmite o momento T ao gerador.
• A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T.
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Resistência dos Materiais
Exercício de Esforços Internos de Torção
Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforços internos de torção.
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Resistência dos Materiais
Análise das Tensões num Eixo
dAdFT
• O momento torçor T tem a mesma intensidade que a soma dos momentos dF, em relação ao centro:
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Resistência dos Materiais
Análise das Tensões num Eixo
• O momento torçor produz tensões tangenciais nas faces perpendiculares ao eixo da barra.
• Considerando o eixo constituído por lâminas finas, verifica-se o deslizamento das lâminas devido à aplicação de momentos, com a mesma intensidade e sentidos opostos, nas extremidades da peça.
• Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões tangenciais nas duas faces formadas pelos planos que passam pelo eixo.
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Resistência dos Materiais
• O ângulo de torção é proporcional a T e ao comprimento L do eixo:
L
T
Deformações nos Eixos de Secção Circular
• Nos eixos circulares, as secções transversais mantêm-se planas e não se deformam.
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Deformações nos Eixos de Secção Circular
maxmax e cL
c
LL
ou
• A distorção numa barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra.
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Resistência dos Materiais
Tensões no Regime Elástico
Jc
dAc
dAT max2max
• Recordar que:
421 cJ
41
422
1 ccJ e max J
T
J
Tc
• Fórmulas de torção no regime elástico:
• A partir da equação anterior:
max Gc
G
maxc
Aplicando a lei de Hooke, G , vem:
A tensão tangencial varia linearmente com a distância ao eixo da barra.
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Tensões no Regime Elástico
max0
0max45
0max0max
2
2
245cos2
o
A
A
A
F
AAF
• Considerar um elemento que forme um ângulo de 45o com o eixo da barra,
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Resistência dos Materiais
Modos de Falha Torcionais
• Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais.
• Material dúctil.
• Material frágil.
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Resistência dos Materiais
a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC;
b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material for de 65 MPa.
O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar:
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Resistência dos Materiais
Exercício Resolvido 1
• Considerar secções transversais nos eixos AB e BC, e recorrer ao equilíbrio estático:
CDAB
ABx
TT
TM
mkN6
mkN60 mkN20
mkN14mkN60
BC
BCx
T
TM
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• Aplicar as fórmulas de torção no regime elástico, para determinar as tensões tangenciais no eixo BC:
46
4441
42
m1092.13
045.0060.022
ccJ
MPa2.86
m1092.13
m060.0mkN2046
22max
J
cTBC
MPa7.64
mm60
mm45
MPa2.86
min
min
2
1
max
min
c
c
MPa7.64
MPa2.86
min
max
• Aplicar a fórmula de torção no regime elástico e determinar o diâmetro necessário:
m109.38
mkN665
3
32
42
max
c
cMPa
c
Tc
J
Tc
mm8.772 cd
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Ângulo de Torção no Regime Elástico
L
c max
• Aplicando a Lei de Hooke,
JG
Tc
G max
max
• Igualando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo,
JG
TL
i ii
ii
GJ
LT
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• Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao momento em A e B.
Eixos Estaticamente Indeterminados
• A partir do diagrama de corpo livre,
Conclui-se que o problema é estaticamente indeterminado.
ftlb90 BA TT
ftlb9012
21 AA TJL
JLT
• Substituir na equação de equilíbrio inicial,
ABBA T
JL
JLT
GJ
LT
GJ
LT
12
21
2
2
1
121 0
• Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,
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a) O maior momento torçor T0 que pode ser aplicado à extremidade do eixo AB.
b) O ângulo de torção da extremidade A do eixo AB.
Exercício Resolvido 2
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Dois eixos maciços são ligado por duas engrenagens como mostra a figura. Para uma tensão tangencial admissível nos veios de 8000 psi e G=11.2*10^6 psi. Calcular:
• Procede-se ao equilíbrio estático dos dois veios de modo a obter o momento torçor no veio CD em função do momento torçor aplicado T:
0
0
8.2
in.45.20
in.875.00
TT
TFM
TFM
CD
CDC
B
• Relações cinemáticas de rotação das duas engrenagens:
CB
CCB
CB
CCBB
r
r
rr
8.2
in.875.0
in.45.2
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Resistência dos Materiais
• Cálculo do máximo momento torçor T0.
in.lb561
in.5.0
in.5.08.28000
in.lb663
in.375.0
in.375.08000
0
42
0max
0
42
0max
T
Tpsi
J
cT
T
Tpsi
J
cT
CD
CD
AB
AB
inlb5610 T
• Cálculo do ângulo de torção na extremidade A do eixo AB.
ooo
/
oo
o
642
/
o
642
/
48.102.2226.8
26.895.28.28.2
95.2rad514.0
psi102.11in.5.0
.24in.lb5618.2
2.22rad387.0
psi102.11in.375.0
.24in.lb561
BABA
CB
CD
CDDC
AB
ABBA
in
GJ
LT
in
GJ
LT
o48.10ADEMGi - Departamento de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial
Resistência dos Materiais
Projecto de Eixos de Transmissão
• As principais especificações a serem consideradas são:
potência; velocidade de rotação.
• Determinar o momento torçor,
f
PPT
fTTP
2
2
• Determinar a secção do eixo,
vazadoseixos2
maciços eixos2
max
41
42
22
max
3
max
Tcc
cc
J
Tc
c
JJ
Tc
• O projectista deverá seleccionar materiais e dimensões adequadas, de modo a não exceder a tensão tangencial admissível.
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Resistência dos Materiais
Torção em Barras de Secção Não Circular
• Para valores elevados de a/b, a tensão tangencial máxima e o ângulo de torção são os mesmos que para uma barra de secção rectangular.
Gabc
TL
abc
T3
22
1max
• Para barras de secção rectangular constante,
• As secções transversais de barras de secção não circular não permanecem planas.
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Resistência dos Materiais
Tubos de Paredes Finas
• Somando as forças aplicadas na porção AB, na direcção do eixo x,
A tensão tangencial varia inversamente com a espessura.
qttt
xtxtF
BBAA
BBAAx
0
tA
T
qAdAqdMT
dAqpdsqdstpdFpdM
2
22
2
0
0
t
ds
GA
TL24
• Ângulo de torção,
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