Capítulo 8. Introducción al análisis de series ?· Introducción al análisis de series temporales.…

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  • 205

    Captulo 8. Introduccin al anlisis de series temporales.

    8.1.- Caso 5: Anlisis de algunas series temporales por la metodologa Box-Jenkins.

    Una serie temporal puede definirse como una sucesin ordenada en el tiempo de valores

    de una variable. Aunque el tiempo es en realidad una variable continua, en la prctica, y

    al menos por lo que se refiere a este libro, utilizaremos las mediciones discretas

    correspondientes a periodos aproximadamente equidistantes en el tiempo.

    Representaremos grficamente la serie temporal del PIB de Gran Bretaa (un nmero

    ndice con base 1913=100) en el periodo comprendido entre 1870 y 1987 (puede

    encontrarse en el fichero de SPSS, CASO5A.SAV):

    19841978

    19721966

    19601954

    19481942

    19361930

    19241918

    19121906

    19001894

    18881882

    18761870

    PIB

    500

    400

    300

    200

    100

    0

    En este caso los valores del PIB se observaron anualmente.

  • 206

    A continuacin representamos la serie de datos anuales de la variable lluvia en Brasil

    (en centilitros) entre 1849 y 1984 (fichero CASO5B.SAV).

    19821975

    19681961

    19541947

    19401933

    19261919

    19121905

    18981891

    18841877

    18701863

    18561849

    RA

    IN

    300

    200

    100

    0

    La variable PIB espaol (a precios de mercado y en pesetas de 1986) fue observada

    como una serie temporal trimestral (fichero CASO5C.SAV).

    Q1 1994Q1 1992

    Q1 1990Q1 1988

    Q1 1986Q1 1984

    Q1 1982Q1 1980

    Q1 1978Q1 1976

    Q1 1974Q1 1972

    Q1 1970

    PIB

    11000

    10000

    9000

    8000

    7000

    6000

    5000

    4000

  • 207

    Finalmente, el fichero CASO5D.SAV contiene cinco series mensuales (Enero de 1979

    Diciembre de 1993): ingresos por turismo y viajes (TE) en billones de pesetas

    constantes de 1985; nmero de turistas (NT) en miles de personas; ndice de precios

    relativos respecto a los pases competidores (PRM) 1985=100; ndice de precios

    relativos respecto a los pases clientes (PRC) 1985=100; ndice de renta de pases

    clientes (INC) 1985=100. Los pases considerados como competidores fueron Egipto,

    Francia, Grecia, Italia, Marruecos, Portugal, Tnez y Turqua, mientras que los pases

    clientes fueron Alemania, Francia, Holanda, Italia, Portugal, Reino Unido, Suecia y

    USA. El ndice de renta fue construido a partir de las series desestacionalizadas de los

    ndices de produccin industrial (IPI) de Alemania, Francia, Holanda, Italia, Reino

    Unido, Suecia y USA. Detalles adicionales pueden encontrarse en Gonzlez y Moral

    (1995).

    Ingresos por turismo y viajes

    JAN 1993JAN 1991

    JAN 1989JAN 1987

    JAN 1985JAN 1983

    JAN 1981JAN 1979

    Billo

    nes

    de p

    eset

    as

    300000

    200000

    100000

    0

  • 208

    Nmero de turistas

    JAN 1993JAN 1991JAN 1989JAN 1987JAN 1985JAN 1983JAN 1981JAN 1979

    Mile

    s de

    per

    sona

    s7000

    6000

    5000

    4000

    3000

    2000

    1000

    0

    ndice de Precios relativos respecto a pases clientes

    JAN 1993JAN 1991JAN 1989JAN 1987JAN 1985JAN 1983JAN 1981JAN 1979

    1985

    =100

    140

    130

    120

    110

    100

    90

    80

  • 209

    ndice de Precios relativos respecto a los pases competidores

    JAN 1993JAN 1991JAN 1989JAN 1987JAN 1985JAN 1983JAN 1981JAN 1979

    1985

    =100

    130

    120

    110

    100

    90

    ndice de Renta

    F,D,I,N,S,UK,USA

    JAN 1993JAN 1991JAN 1989JAN 1987JAN 1985JAN 1983JAN 1981JAN 1979

    1985

    =100

    180

    170

    160

    150

    140

    130

    120

    110

    En este captulo intentamos describir algunos de los mtodos estadsticos utilizados para

    analizar una serie temporal sin tener en cuenta otras variables que puedan influir en la

    misma, mtodos denominados univariantes. En particular nos interesa la aproximacin

    estocstica (frente a la determinista) es decir aqulla que supone que la serie temporal

    tiene un carcter probabilstico, por cuanto ha sido generada por alguna variable

    aleatoria con una distribucin de probabilidad determinada aunque habitualmente

    desconocida (el lector interesado en otros mtodos y otras aproximaciones puede

    recurrir a Otero (1993) y Murillo (1994) entre otros).

  • 210

    8.2.- Conceptos preliminares: procesos estocsticos y requisitos para la inferencia.

    Bajo la aproximacin estocstica una serie temporal, xt, se define como una realizacin

    muestral de un proceso estocstico. Un proceso estocstico, {Xt}, t=1,2,...; es un

    conjunto de variables aleatorias, v.a., Xt, ordenadas segn un parmetro temporal t.

    Consideremos por ejemplo la variable aleatoria nacimientos en tres hospitales de

    Barcelona:

    Nmero

    100

    50

    25

    Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes

    Hospital del Mar, Hospital Clnico y Hospital de la Vall dHebr v.a.

    Hemos representado el proceso estocstico {nacimientos en tres hospitales de

    Barcelona} para t=Lunes, Martes, Mircoles, Jueves, Viernes.

  • 211

    Definimos la serie temporal nacimientos en el hospital de la Vall dHebr de

    Barcelona como una realizacin muestral de este proceso estocstico, por ejemplo,

    Nmero

    100

    50

    25

    Lunes Martes Mircoles Jueves Viernes

    Hemos representado con una lnea continua la serie temporal mencionada antes. Ntese

    que hemos supuesto que las tres series corresponden al mismo proceso estocstico. En

    el caso ms habitual, sin embargo, slo observaremos una nica serie temporal para

    cada proceso estocstico.

    El objetivo del anlisis de series temporales es el de realizar inferencias sobre el proceso

    estocstico desconocido a partir de la serie temporal observada. El problema es que

    prcticamente todas las variables aleatorias, cuando se ordenan segn un parmetro

    temporal, pueden ser consideradas un proceso estocstico y que, por otra parte,

    nicamente disponemos de una realizacin muestral del proceso (una nica serie

    temporal). Por este motivo debemos imponer una serie de condiciones o requisitos que

    permitan realizar las inferencias de inters.

  • 212

    Linealidad

    Entre todos los procesos estocsticos nos interesan aqullos lineales o gaussianos (o

    normales). La distribucin normal es la nica distribucin de probabilidad que permite

    la caracterizacin del proceso mediante el conocimiento de slo dos de sus momentos,

    la media, t=E(Xt) y la varianza, 0t=Var(Xt). Debido a esto nicamente nos

    preocuparemos de las inferencias sobre estos dos momentos.

    Ntese que aunque lo hemos reducido bastante, el problema persiste, por cuanto el

    proceso podra tener infinitas medias y/o varianzas haciendo impracticable la inferencia.

    Estacionariedad

    Un proceso estocstico es estacionario en sentido estricto, o fuertemente estacionario,

    si las variables aleatorias que lo componen poseen la misma funcin de distribucin de

    probabilidad, con independencia del momento del tiempo considerado y del nmero de

    variables aleatorias constitutivas del proceso. Se trata de una restriccin demasiado

    fuerte por cuanto implica que las caractersticas del proceso estocstico no sufren

    alteracin al considerar momentos del tiempo diferentes.

    Por este motivo se define un proceso estacionario en sentido amplio, o dbilmente

    estacionario, y a partir de ahora estacionario, como aquel con una media y una varianza

    constantes en el tiempo y con covarianzas (t,t-k=Cov(Xt,Xt-k)) que slo dependen del

    lapso temporal considerado (k) pero no del tiempo (t).

  • 213

    Ergodicidad

    El problema se ha reducido al de realizar inferencias nicamente sobre la media, la

    varianza y las covarianzas del proceso estocstico, parmetros invariantes en el tiempo,

    utilizando para ello la informacin suministrada por la serie temporal. Pero puesto que

    nicamente disponemos de una serie para cada proceso, deberamos poder garantizar la

    idoneidad de los estimadores de los momentos; precisamente la ergodicidad lo permite.

    Segn esta propiedad los momentos muestrales son estimadores consistentes de los

    momentos poblacionales.

    As la media del proceso puede ser estimada utilizando la media de la serie temporal, es

    decir:

    TtT

    xT

    tt

    ,...,2,1 1 ===

    la varianza se puede estimar a travs de la varianza de la serie:

    ( )Tt

    T

    xT

    tt

    ,...,2,1

    2

    10 =

    ==

    y las covarianzas (denominadas autocovarianzas, por cuanto se refieren a covarianzas

    de la misma variable):

    ( )( )Tt

    T

    xx ktT

    tt

    k ,...,2,1

    1 =

    =

    =

    As, la autocovarianza de primer orden se puede expresar:

    ( )( )Tt

    T

    xx tT

    tt

    ,...,2,1

    1

    11 =

    =

    =

  • 214

    la de orden dos:

    ( )( )Tt

    T

    xx tT

    tt

    ,...,2,1

    2

    12 =

    =

    =

    y ntese que la de orden cero no es ms que la varianza:

    ( )( ) ( )Tt

    T

    x

    T

    xxT

    ttt

    T

    tt

    ,...,2,1

    12

    01

    0 =

    =

    ==

    =

    Definiremos, por ltimo, los denominados coeficientes de autocor