98
Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales Procesos estocásticas Función de autocovarianza, autocorrelación y autocorrelación parcial. Procesos de ruido blanco y paseo aleatorio Teorema de Wold Procesos AR(p) Procesos MA(q) Procesos ARMA(p,q) Procesos ARIMA(p,d,q)

Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

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Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales. Procesos estocásticas Función de autocovarianza, autocorrelación y autocorrelación parcial. Procesos de ruido blanco y paseo aleatorio Teorema de Wold Procesos AR(p) Procesos MA(q) Procesos ARMA(p,q) Procesos ARIMA(p,d,q). - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos estocásticasFunción de autocovarianza, autocorrelación y autocorrelación parcial.Procesos de ruido blanco y paseo aleatorioTeorema de WoldProcesos AR(p)Procesos MA(q)Procesos ARMA(p,q)Procesos ARIMA(p,d,q)

Page 2: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos estocásticos

• Definición: Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias ordenadas en el tiempo (en el caso de series temporales).

• Definición: Una serie temporal es una realización del proceso estadístico, es decir, es una observación de T variables aleatorias ordenadas en el tiempo.

Page 3: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.

Restricciones de Estacionaridad• Definición: Un proceso estocástico es

estacionario en sentido estricto o fuerte cuando la distribución de probabilidad conjunta de cualquier parte de la secuencia de variables aleatorias es invariante del tiempo.

),...,,(),...,,( 11 ktttkttt xxxFxxxF

Page 4: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.

• Definición: Un proceso estocástico es estacionario en sentido débil si los momentos del primero y segundo orden de la distribución (esperanzas, varianzas, covarianzas) son constantes a largo del tiempo.

• para todos los .

• para todos y .

22)(

,)(

tt

t

xE

xE

,tttt xxE

t

t

Page 5: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.

• Restricciones de memoria del proceso, ergodicidad.

• La relación entre dos variables aleatorios de un proceso es más débil cuando las variables son más lejanas en el tiempo.

• Al aumentar el número de observaciones de la serie temporal aumenta el número de covarianzas, pero no el número de parámetros de estimar.

0lim

Page 6: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.

• Definición: Homogenización de una serie temporal es cuando a través de una transformación el serie temporal es estacionar.

• Queremos tener una serie temporal con una media y varianza (más o menos) constante a largo del tiempo.

Page 7: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.

• Transformación Box-Cox:

0ln

01)(

six

sixx

t

t

t

Page 8: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso.

Para conseguir una media constante a largo del tiempo se puede aplicar operadores de diferencia, . L 1 , donde L es el operador de retardo. 1 tt xLx .

.)1( 1 tttt xxxLx

Una media estacionaria se puede conseguir a través diferenciaciones sucesivas.

td

td

t xLxw )1(

Page 9: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Las funciones de autovarianza y autocorrelación

• Funciones de autocorrelación miden la relación lineal entre variables aleatorias de procesos separadas de una cierta distancia en el tiempo.

• Estimación de estas funciones permiten determinar la forma del procesos estocástico.

Page 10: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Las funciones de autovarianza y autocorrelación

• La función de autocovarianza

Si el proceso es estacionario, su esperanza es constante a largo del tiempo, y la función de autocovarianza no depende del momento en tiempo, sólo la distancia temporal.

,...1,0,1...,

)])([(),(,

ttttttt xxExxCov

)])([( tt xxE

Page 11: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Las funciones de autovarianza y autocorrelación

• Para cada retardo hay un valor diferente para la función de autocovarianzas, autocovarianza de orden .

• Función de autocorrelación simple (FAS),

22

,,

)()()])([(

tttt

tttt

tt

tt

xExExxE

Page 12: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Las funciones de autovarianza y autocorrelación

• Si el proceso es estacionario, los momentos de segunda orden no depende de .

• Una correlograma enseña la FAS en función de .

t

20 )(

)])([(

t

tt

xExxE

Page 13: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Las funciones de autovarianza y autocorrelación

• La función de autocorrelación parcial (FAP) enseña la relación lineal cuando se ha eliminado la correlación que estas variables tienen con otras variables.

),...,|,( 11 kttkttkk xxxxCorr

Page 14: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Las funciones de autovarianza y autocorrelación

• Se puede obtener los coeficientes de FAS a través regresiones.

• Nota: Si la esperanza de no es cero, hay que añadir una constante en cada regresión.

)ˆ()ˆ())ˆ(),ˆ((

ktkttt

ktktttkk xxVarxxVar

xxxxCov

tktkktktkt

tttt

ttt

vxxxx

vxxxvxx

...2211

222121

111

tx

Page 15: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Las funciones de autovarianza y autocorrelación

• Se puede demostrar que los coeficientes de FAS se pueden escribir como una función de coeficientes de FAP. Esta relación se llama el sistema de ecuaciones de Yule-Walker.

Page 16: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales
Page 17: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales
Page 18: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales
Page 19: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Estimación de los momentos muéstrales

• Para un proceso estocástico estacionario con ergodicidad, con una sola serie temporal, podemos estimar;

Media ( ) (

T

ttxTx

1

1 )

Varianza ( 0 ) Autocovarianzas ( ) Autocorrelaciones ( ) Autocorrelaciones parciales ( kk )

Page 20: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

La función de autocovarianza

• La función de autocovarianza se puede estimar a través de la función de autocovarianza muestral:

))((ˆ1

1 xxxxT t

T

tt

Page 21: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Función de autocorrelacion simple

• Función de autocorrelacion simple muestral,

2

1

1

0 )(

))((ˆ

T

tt

t

T

tt

xx

xxxxr

Page 22: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Función de autocorrelacion simpleSi el proceso es a) estacionario gaussiano (normal) y b) 0ˆ k para k , se puede estimar la varianza de r con esta formula,

1

1

2211)(

i

irTrV

Se puede usar la varianza para contrastar la 0:0 H . )(96.1 rstdr donde )(std es el error estándar. Rechazamos la hipótesis si r es fuera del intervalo ( )(96.1),(96.1 rstdrstd ).

Page 23: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

función de autocorrelación parcial

• Para hacer la función de autocorrelación parcial muestral se puede aplicar MCO.

tktkktktkt

tttt

ttt

vxxxcx

vxxcxvxcx

...2211

222121

111

Donde kk ,...,11 son estimaciones consistentes de la FAP. Bajo los supuestos que el proceso es gaussiano (normal) y que 0...1,1 kkkk , se puede estimar la varianza con,

TV kk

1)ˆ( de manera que si kk̂ está fuera del intervalo ( 2/12/1 96.1,96.1 TT )

rechazamos la hipótesis que 0ˆ kk .

Page 24: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de ruido blanco

Definición:• es un proceso estocástico de ruido

blanco si;

• Es un proceso con media = 0, varianza constante, y sin autocorrelación. No se puede predecir a partir de su pasado.

Ttt 1

00)()()(0)(

22

yttodosparaEttodosparaVEttodosparaE

tt

tt

t

Page 25: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio

Definición (18)• Un proceso estocástico sigue un paseo

aleatorio si;

• El valor en un momento es el valor del periodo anterior más un efecto aleatorio ruido blanco.

blancoruidoesdondexx

t

ttt

1

ttttt xLxxx )1(1

Page 26: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio

Page 27: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Se puede generalizar el modelo e

incorporar una deriva.

ttt

tt

xxx

1

Page 28: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Memoria permanente; todo los efectos

aleatorios tienen un efecto permanente.

• es una pendiente de una tendencia determinista.

• está formado por la suma de todo las perturbaciones pasadas.

1

00

121 ...)(t

jjt

tttttt

tx

xxx

tx

Page 29: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• El primero momento;

• Si el proceso no es estacionario en media.

txtxExEt

jjtt

0

1

00)(

0

Page 30: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• La varianza;

• No es estacionario en varianza; tiene una tendencia (incrementa linealmente). Paseo aleatorio tiene una tendencia en varianza o tendencia estocástica.

t

EE

ExExE

t

jjt

t

jjjj

jtjt

t

jjt

t

jjtttt

2

1

0

21

'0',

'

1

0

2

21

0

20,

)(2

))((

t es ruido blanco, y 00)( jE jtt

Page 31: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Otra manera de llegar al mismo resultado;

Page 32: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Autocovarianza;

• La autocovarianza tampoco es constante

)(

)(

))())(((

2

1

0

21

0

1

0

,

t

EE

xExxExEt

jjt

t

jjt

t

jjt

ttttt

Page 33: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Conclusión: Paseo aleatorio no es

estacionar. Esto complica la inferencia. De todos modos, hay un camino definida de variación a largo del tiempo.

Page 34: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Si transformamos el proceso a través de una

diferencia, la transformación sería estacionaria.

ttt xw

tw es estacionario; es un ruido blanco alrededor de la media, .

Page 35: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Es importante detectar si un serie está generada

por un pasea aleatorio.

• 1) La función de autocorrelación simple puede dar una indicación.

• Una correlograma presentará los primeros coeficientes muy cerca de 1, y esta va decreciendo suavemente.

tttt

ttt

tt

tt

1)(

)()(

)(22

2

0,0,

,,

Page 36: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio

• La FAP, resultaría en un primero coeficiente significativo y cerca de uno, mientras los siguientes coeficientes serán cero.

tktkktktkt

tttt

ttt

uxxxcx

uxxcxuxcx

...2211

222121

111

Page 37: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Normalmente un FAS que está

decreciendo muy lento con un primer FAP cerca uno y los restos cero, indica que podemos diferenciar para conseguir un serie temporal estacionario.

Page 38: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos de paseo aleatorio• Otra manera para saber si se debe diferenciar

una serie temporal son los contrastes de raíces unitarias.

• Constaste de raíces unitarias. “unit roots”. Estima la ecuación;

ttt xx 1

Y contrastar si 1:0 H

Page 39: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos lineales

• Definición: Un proceso estocástico es lineal cuando lo podemos escribir como una función de una combinación lineal (posiblemente infinita) de variables aleatorios de ruido blanco.

Ttt 1

0

2211 ...

jjtj

ttttx

Page 40: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos lineales• Hay tres tipos de procesos estocásticos lineales; • Autoregresivas (AR)• Media móvil (MA)• ARMA (la combinación de AR y MA)

qtqttptptt

qtqtttt

tptpttt

xxxqpARMA

xqMA

xxxxpAR

......);,(

...);(

...);(

1111

2211

2211

t es un término aleatorio, independiente e idénticamente distribuido (“ruido blanco”).

Page 41: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos lineales• Se puede introducir una constante para tener

procesos con una media .

• Se puede expresar los procesos con un polinomio de operadores de retardos. El operador de retardos L esta definido por;

• Este operador retarda la serie tantas periodos como el exponente indica.

0

kttk

tt

xxL

xLx

1

k

Page 42: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos lineales• Utilizando el operador de retardos y la

generalización con el constante, , podemos escribir los procesos:

• Se puede transformar procesos AR y ARMA en procesos MA.

tqtp

tqt

ttp

LxLqpARMA

LxqMA

xLpAR

)()();,(

)();(

)();(

móvilmediapolinomioLLLL

sivoautoregrespolinomioLLLLq

qp

ppp

...1)(

...1)(2

21

221

Page 43: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos linealesTeorema de Wold. Cualquier proceso

estocástico estacionario se puede representar con una suma de dos procesos.

Donde es linealmente determinista y es un proceso :

Donde es ruido blanco.

ttt udx

td tu)(MA

0

)(

jjtj

tt Lu

t

Page 44: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos lineales• El proceso se puede aproximar a través

modelos lineales, cuando el polinomio infinito se puede aproximar bien con un cociente de dos polinomios en

• Transformaciones puede hacer series estacionarios y la teorema permite crear modelos relativamente sencillas a partir de modelos lineales.

)(MA)(L

)()(

)(:LL

LLp

q

Page 45: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• Un proceso autoregresivo se puede

escribir,

ptpttt

ttp

p

ttp

xxxx

xLLL

xL

...

)...1(

)(

2211

221

Page 46: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• Para que un proceso AR sea estacionario el

polinomio en el operador de retardos asociados al proceso tiene que ser estable, es decir, al calcular las raíces del polinomio,

estas tienen de caer fuera del círculo unidad. Los valores de que satisfacen esto cumple .

)(Lp

0)...1()( 221 p

pp LLLL

L 1L

Page 47: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• Si hay alguno raíz igual a 1 (raíz unitario)

el proceso AR no es estacionario, y no se pueden expresar como procesos . Si hay alguna raíz inferior a 1 el proceso será explosivo y tampoco estacionario.

)(MA

Page 48: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• Las condiciones para estacionariedad son:

• (necesaria, pero no suficiente):

• (suficiente, pero no necesario):

11

p

jj

11

p

jj

Page 49: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• AR(1) estacionariedad

• Condición necesaria y suficiente:

tt

ttt

xLxx

)1(11

1

Page 50: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• Un proceso estacionario se puede

escribir como un proceso .

• Se puede llegar a la misma solución a través de substitución recursiva.

)1(AR)(MA

jtj

j

tt

t LLL

x

0

22

1

)...)(1()1(

.1 ttt xx

Page 51: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• La solución se usa para calcular los momentos

del proceso. También se puede usar para enseñar el siguiente resultado, valido por . 0h

0...1

)( 22

1

htttthtt ExE

Dado que 0)( stE para todos st .

Page 52: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• El momento de primer orden es;

• Con estacionariedad tenemos el mismo resultado;

11

)(0

jtj

jt ExE

))()(( 1 tt xExE

11 )1()()(

ttt xExE

Page 53: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• La varianza del proceso es;

• También se puede llegar a este resultado a través;

2

22

0

2

2

0

20 1

)(

j

jjt

j

jt ExE

12220

210 )1()()(

ttt xVxV

Page 54: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• La autocovarianza del proceso es,

donde; indica la desviación con respecto a la media.

tx~

01

02

12122

01111

)~)~(()~~(

)~)~(()~~(

)~)~(()~~(

ttttt

ttttt

ttttt

xxExxE

xxExxE

xxExxE

Page 55: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• La función de autocorrelación simple es;

• y tiene un decrecimiento exponencial.

• FAP, al otro lado, sólo tiene un coeficiente diferente de cero. Se puede demostrar con las ecuaciones de Yule-Walker.

0

Page 56: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)

Page 57: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• AR(2):

• Al calcular las raíces del polinomio tendríamos dos

soluciones y hay los siguientes requisitos (simultáneamente) para tener un polinomio estable.

)1()(

)()1(

2212

2

221

2211

LLLdonde

xLxLL

xxx

tt

tt

tttt

0)1( 221 LL

111

2

12

12

Page 58: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)• Los resultados para la covarianza de

AR(1) se puede generalizar.

Page 59: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos (AR)

Page 60: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(q))

• Un proceso media móvil de orden q;

• Estos procesos siempre son estacionarios (los momentos de primer y segundo orden son siempre finitas y constantes a largo del tiempo).

• Una condición (que hay que comprobar) para estos procesos es que son invertibles.

tq

qtqtttt

L

x

)(

...2211

Page 61: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(q))

• Esta condición implica que las raíces del polinomio están fuera del círculo de unidad. Los procesos MA no invertibles no permiten una representación autoregresiva convergente.

)(Lq

Page 62: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(1))

• MA(1):

• La condición de invertibilidad es para un proceso MA(1) es .

• Esperanza:

11 tttx

1

)()( 11 ttt ExE

Page 63: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(1))

• Varianza:

• Autocovarianza:

221

112

12

122

112

0

1

)(2)()()()(

ttttttt EEEExE

200))(())((

))(())((

3121122

212111111

tttttt

tttttt

ExxEExxE

Page 64: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(1))

• FAS es:

• La FAP presenta un decrecimiento exponencial;

• Se puede llegar a este resultado general con las ecuaciones de Yule-Walker.

20

1)1( 2

1

1

)1(21

211

1)1(

k

k

kk

Page 65: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(1))

61

41

21

31

2

21

1

3

21

1

21

31

22

212

21

32121

221

313

33

41

21

21

21

212

22

21

111

1

121

1

212212

11

1

Page 66: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(1))

Page 67: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(2))

• Calcular las raíces del polinomio.

0)1( 211 LL

Page 68: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(2))

• Para tener un modelos estable;

Page 69: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(2))

Page 70: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(2))

Page 71: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(2))

• Función de autocorrelación simple

Page 72: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(2))

Page 73: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(2))

Page 74: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(q))

• MA(q) con deriva:

• (el mismo resultado)

)()( 2211 qtqtttt ExE

2222

21

22211

20

1

)()(

q

qtqtttt ExE

Page 75: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(q))

qsiqsi

ExxE

qq

qtqtttqtqttttt

0)(

))(())((2

11

121122111

Page 76: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos media móviles (MA(q))

Page 77: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))

• Un modelo autoregresivo media móvil (ARMA(p,q)) sigue la forma;

• Es decir, tiene una parte autoregresivo y otra parte media móvil.

Page 78: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))

• Debemos comprobar si la parte autoregresiva es estacionaria y la parte media móvil es invertible.

• Si la parte AR es estacionario, se puede escribir como un )(MA

Page 79: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))

• Si la parte MA es invertible, se puede expresarlo como un )(AR

Page 80: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))

• Los procesos ARMA tienen un FAS como la de su parte AR y una

• FAP como su parte MA. • ARMA tiene FAS y FAP que decrecen

exponencialmente en valor absoluta hacia cero.

• No se puede determinar el orden.

Page 81: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))

Page 82: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

ARMA(1,1)

• FAS:

111 tttt xx

11)1(

22

1

2111

0 121

1

121

))(1(

11

2111

1111

Page 83: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

ARMA(1,1)

Page 84: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

ARMA(p,q)

• Representar con :

1)1( p

)(MA

tj

jtjt Lx )(0

0

2220 )(

jjtxE

Page 85: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos integrados media móvil;

ARIMA(p,d,q)• Procesos ARIMA presentan raíces

unitarias en el polinomio autoregresivo; no son estacionarios. Se puede factorizar a partir de las raíces unitarias. Podemos escribir;

• Donde no incluye raíces unitarias y es el número de raíces unitarias.

)(* Lr

)()1()(* LLL drd

r

)(* Ldr d

Page 86: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

Procesos autoregresivos integrados media móvil;

ARIMA(p,d,q)• Recuerda el operador de diferencias;

Page 87: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

ARIMA(p,d,q)• Por ejemplo, ARIMA(0,1,0) es un paseo

aleatorio.

Page 88: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

ARIMA(p,d,q)• Si una serie presenta un correlograma

como un AR(1) con ; FAS está muy cerca 1, y no caen rápidamente.

1

Page 89: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

ARIMA(p,d,q)• Si aplicamos el operador de diferencia

cuando no es necesario (sobre-diferenciar), tendremos un MA(1) que no es invertible.

• Por ejemplo: Ruido blanco;

Page 90: Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales

ARIMA(p,d,q)• Cuando el orden de diferencia se ha

decidido , se puede escribir un procesos ARIMA como o un .)(AR )(MA

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Procesos estaciónales• Si tenemos datos con información de varias ocasiones

durante un año, podemos observar estacionalidad, es decir, un comportamiento económico que depende del tiempo durante un año. (Ejemplos; temperaturas, vacaciones, movimientos turísticos). Los procesos anteriores están pensados para series con sólo una observación cada año, o series sin estacionalidad.

• El numero de estaciones durante el año llamamos s. Por ejemplo, S=12 para datos mensuales, o 4 para trimestrales. Se puede generalizar los procesos explicas arriba para captar estacionalidad.

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Procesos estaciónales

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Procesos estaciónales

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Procesos estaciónales

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Procesos estaciónales• Una serie temporal con estacionalidad puede

tener una estructura de dependencia estacional y otra parte regular (no estacional) que sigue un

• Normalmente estos partes pueden interactuar en una especificación multiplicativa. Este es un modelo

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Procesos estaciónales• En estos modelos hay “efectos satélites”. • Por ejemplo

• Nota el término que se nota en FAP y FAS asociados los retardos próximos a los múltiples de S, pero esto no significa que tengamos procesos adicionales de MA(0,1) y SMA(0,1).

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Procesos estaciónales• FAS: Se reproduce la parte regular de la FAS

alrededor de los coeficientes estaciónales. • FAP: Se reproduce la parte regular de la FAS

a la izquierda de los coeficientes estaciónales y la parte de FAP a la derecha.

• Signos: – En FAS se multiplica el signo del coeficientes

estacional por el de regular. – En FAP, si el signo del coeficiente estacional es

positivo se inversa el signo a la parte derecha (FAP regular) mientras si es negativo, se inversa el de la izquierda (FAS regular).

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Procesos estaciónales