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Capítulo 9 Circuitos RLC Fundamentales 1

Capítulo 9

Circuitos RLC

Fundamentales


La corriente alterna y la tensión se pueden expresar como un tipo de vector, con magnitud y ángulo. Por consiguiente, se puede considerar como un número complejo y por ello existe una relación muy cercana entre el análisis de circuitos RLC y los números complejos.

9.1 Introducción

Un número complejo se puede expresar como C = a + jb, donde a y b son números reales, j = . Aquí, a es la parte real de C, y b es la parte imaginaria de C (se usa j en lugar de i para evitar confusiones con el símbolo de la corriente.Un número complejo se puede considerar como un punto en el plano complejo; se puede expresar en forma rectangular o polar, como se muestra en la Fig. 9.1. C = 6 + 8j significa que la coordenada en el eje real es 6, y que la coordenada en el eje imaginario es 8. Este método se conoce como forma rectangu-lar. La forma polar se puede expresar como C = 10 53.13º, donde 10 es la magnitud y 53.13 es el ángulo. Se puede intercambiar entre magnitudes rectangulares y polares. Las ecuaciones (9.1) a (9.4) muestran la forma de convertir

(forma rectangular) (forma polar)

Número complejo en forma Número complejo en Conversión entre formarectangular forma polar rectangular a polar

Fig. 9.1 – Formas rectangular y polar, y su conversión


Ejemplo 9.1. Determine las formas rectangular y polar para C, D, V y W en la Fig. 9.2(a)

Respuesta:

Punto C: Parte real = 4; parte imaginaria = 3.Por lo tanto, su forma rectangular se puede escribir como C = 4 + j3C = (32 + 42) = 5c = tan-1 (3/4) = 36.87ºSu forma polar se puede escribir como C = 5 36.87º

Punto D: Parte real = 4; parte imaginaria = - 4.Por lo tanto, su forma rectangular se puede escribir como D = 4 – j4D = (42 + 42) = 5.66D = tan-1 (- 4/4) = - 45ºSu forma polar se puede escribir como D = 5.66 - 45º

Punto V: Parte real = 0; parte imaginaria = - 2.Por lo tanto, su forma rectangular se puede escribir como V = - j2

(a) Complejo (b) forma polar, C = 5 36.87º

(c) Forma polar D = 5.66 -45º Forma polar W = 5.66 135º

Fig. 9.2 – Figuras planas del ejemplo 9.1


V = (22) = 2V = - 90ºSu forma polar se puede escribir como V = 2 90º

Punto W: Parte real = - 4; parte imaginaria = 4.Por lo tanto, su forma rectangular se puede escribir como W = - 4 + j4W = (42 + 42) = 5.66W = tan-1 ( 4/- 4) = - 45ºEn realidad, necesitamos referirnos al plano coordenado, y el ángulo debe leerse a partir del eje real positivo, por lo tanto en ángulo w = 135ºSu forma polar se puede escribir como W = 5.66 135º

Para la suma y resta de números complejos, es mejor usar la forma rectan-gular. Para multiplicación y división, es más conveniente la forma polar.Para sumar y restar números complejos en forma rectangular, solamente es necesario sumar o restar las partes reales y las partes imaginarias, respec-tivamente. En la multiplicación y división de números complejos en forma polar, se multiplican las magnitudes y se suman los ángulos, como lo indica la Ecuación (9.5). Se dividen las magnitudes y se restan los ángulos del numerador de los ángulos del denominador, como se ve en la Fig. (9.6).

Si A = A A, B = B B

Entonces: ---Ver Libro de Texto--- (9.5)

---Ver Libro de Texto--- (9.6)

Ejemplo 9.2. Si A = 2 + j1, y B = 1 + j3, calcule su suma y su diferencia.

Respuesta:

---Ver Libro de Texto---

Ejemplo 9.3. Si A = 335º, y B = 2 - 20º, determine A+B y A/B

Respuesta: ---Ver Libro de Texto---


Ejemplo 9.4. Use la forma rectangular para multiplicar los siguientes números complejos:


El conjugado del número complejo C = a + jb es forma rectangular es C* = a – jb.En forma polar, el conjugado del número complejo c = C , que se escribe como C* = C -.

La tensión alterna generalmente se puede expresar en el dominio de tiempo como un tipo de onda del tipo e(t) = Em sen (wt + ). Si se expresa como un número complejo, entonces tendría la forma E = Em . Cuando utilizamos números complejos para expresar una tensión alterna en forma polar, la magnitud generalmente usada es la raíz media cuadrada (rms), Erms. Por lo tanto, E = Erms . Aquí, Em = 2 Erms, y Erms = 0.707. En la Fig. 9.3 se describe la relación entre una fuente alterna y el número complejo.


La suma de tensión alterna o de corriente se puede hacer sumando punto a punto la forma de la onda. Viendo la Fig. 9.4, el valor correspondiente del punto A se puede escribir como e1 + e2 = 10 sen 0º + 15 sen (0º + 60º) = 13 V. El valor correspondiente al punto B se puede escribir como e1 + e2 = 10 sen 90º + 15 sen (90º + 60º) = 10 + 7.5 = 17.5 V. Usando este método, gradualmente se puede obtener la onda e1 + e2. Es un método más complejo, pues es necesario calcular punto a punto. La forma más fácil es utilizar el método del análisis de números complejos. Primero, se convierten e1 y e2 a la forma polar. En la Fig. 9.4, e1 = 10 sen wt se puede convertir a E1 = 10 0º; e2 = 15 sen (wt + 60º) se puede convertir a E2 = 15 60º. Se suman estos dos números complejos: e1 + e2 = E1 + E2 = 10 0º + 15 60º = (10 cos 0º + j 10 sen 0º) + (15 cos 60º + j 15 sen 60º) = (10 + j0) + (7.5 + j13) = 17.5 + j 13 = 21.8 V 36.6º =21.8 sen (wt + 36.6º) V. En matemáticas, e1 = 10 sen wt se expresa mediante una función de tiempo, y se llama expresión de dominio de tiempo. En E1 = 10 0º utilizan vectores para representarla, y se considera como un vector o como expresión del dominio de la frecuencia. Por lo general se utiliza el valor rms para expresar la magnitud del potencial o del vector de la corriente. Por lo tanto, E1 se puede expresar como E1 = 10 / 2 0º = 10 (0.707) 0º = 7.07 0º.

(b) Forma de la onda

(c) Vector equivalente de la tensión (d) Fuente de tensión después de e = 200 sen (wt + 40º) transformarla

Fig. 9.3 – Conversión de la fuente de tensión AC


Dominio del vector:

I = 0.707 (40) mA - 25º = 28.3 mA - 25º

(b) Forma de la onda

Fig. 9.4 – Diagrama para describir la suma de punto a punto de una tensión en AC.

Ejemplo 9.5. Use el dominio de tiempo y vector para expresar el potencial y la corriente en la Fig. 9.5

Fig. 9.5. Onda senoidal de potencial y corriente de la Fig. 9.5

Respuesta: (1) Dominio de tiempo

Dominio del vector:

(2) Dominio de tiempo:


9.2 Ley de Ohm en Circuitos AC

La ecuación de la Ley de Ohm es I = V / R. Discutiremos en esta sección cuál es la relación entre el potencial, la corriente y la impedancia de los dispositivos R, L y C en un circuito alterno.

El potencial a través de una resistencia es v = Vm sen (wt + ), lo cual se puede escribir en forma de vector como V = v, y donde Vm es el valor pico, V es el valor rms. De aquí que Vm = V. Este potencial senoidal producirá una corriente senoidal i en la resistencia. La corriente senoidal se puede escribir en forma de vector según la Ley de Ohm como I = V / ZR, siendo ZR la impedancia de la resistencia. La forma vectorial de ZR se puede escribir como ZR = R 0º. Entonces I = V / ZR = V / R 0º = V / R = I . Por lo tanto, la corriente senoidal se escribe: i = Im sen (wt + ) = I sen (wt + ). Del análisis anterior, vemos que el potencial y la corriente de la resistencia están en fase.

La relación entre potencial y corriente en la resistencia se muestra en la Fig. 9.6.

Fig. 9.6 – Relación entre potencial y corriente en una resistencia

Ejemplo 9.6. De acuerdo con la Fig. 9.7, determine:(1) La onda senoidal de la corriente i mediante vectores.(2) Dibujar la onda senoidal para v e i(3) Dibujar el diagrama de fasores de V e I

2 radian


Fig. 9.7 – Diagrama del circuito del ejemplo 9.6

Respuesta: (1) el potencial en la Fig. 9.7 se puede expresar como vector del tipo:

De acuerdo con la ley de Ohm:

El valor pico de la onda seniodal de la corriente es:

Por lo tanto, la corriente se puede expresar como:

(2) Las ondas senoidales de v e i se pueden dibujar como se muestra en la Fig. 9.8, donde v = 72 sen (wt) (V) e i = 4 sen (wt) (A).

Fig. 9.8 Ondas de v e i del Ej. 9.6 Fig. 9.9 Diagramas de fasoresde V e I para el Ejemplo 9.6

(3) el diagrama de fasores del potencial y la corriente se pueden dibujar en la Fig. 9.9, donde V = 50.9 V 0º e I = 2.83 A 0º.


Ejemplo 9.7. De acuerdo con la Fig. 9.10, determine:(1) La onda senoidal del potencial v mediante vectores.(2) Dibujar la onda senoidal para v e i(3) Dibujar el diagrama de fasores de V e I

Fig. 9.10 – Circuito relacionado con el Ejemplo 9.7

Respuesta: (1) De acuerdo con la Fig. 9.10, conde i = 3 sen (wt - 40º). Por lo tanto el vector de la corriente se puede expresar como:

Según la Ley de Ohm:

La ecuación de la onda senoidal del potencial se puede escribir:

(2) Las ondas senoidales de v e i se pueden dibujar como los muestra la Fig. 9.11, donde v = 6.0 sen (wt- 40º) (V) e i = 3 sen (wt-40º) (A).

Fig. 9.11 – Ondas v e i del ejemplo 9.7


(4) El diagrama de fasores del potencial y la corriente se pueden dibujar en la Fig. 9.12, donde V = 4.24 V - 40º e I = 2.12 mA - 40.

Fig. 9.12 – Diagrama de fasores de V e I para el Ejemplo 9.7

Cuando se aplica el inductor a la onda senoidal de CA, se induce un potencial de onda senoidal, y de acuerdo con la Ley de Ohm,

V = IZL = ( I ) (XL 90º) = IXL ( + 90º)

Por lo tanto, el potencial va 90º adelante de la corriente, y XL = L = 2 fL

Ejemplo 9.6. De acuerdo con la Fig. 9.13, determine:(1) La onda senoidal de la corriente i mediante vectores.(2) Dibujar la onda senoidal para v e i(3) Dibujar el diagrama de fasores de V e I

Respuesta: (1) en la Fig. 9.13, v = 1.05 sen (wt + 120º) V, y entonces:


Por la Ley de Ohm:

La corriente se puede expresar como:

(4) El potencial de la onda senoidal v = 1.05 sen (wt + 120º) V y la corriente de la onda senoidal i = 0.041 sen (wt + 30º) A se puede dibujar como lo muestra la Fig. 9.14.

Fig. 9.14 – Ondas senoidales para v e i del Ejemplo 9.8

,cuyo diagrama de fasores se

puede dibujar como se muestra en la Fig. 9.15

Cuando se aplica el capacitor, se induce una onda senoidal de corriente, de acuerdo con la Ley de Ohm como se muestra en las fórmulas anteriores.



Ejemplo 9.9. De acuerdo con la Fig. 9.16,(1) Encuentre el potencial en el capacitor.(2) Dibuje la onda senoidal del v e i(3) Dibuje el diagrama de fasores de V e I.

Fig. 9.16 - Circuito relacionado con el Ejemplo 9.9

Respuesta: (1) En la Fig. 9.16: i = 2.4 sen (wt + 62º) mA

El vector será:

De acuerdo con la Ley de Ohm:


Por lo tanto:

v = () (2.04 sen (wt – 28º)) V = 2.88 sen (wt – 28º) V

(2) El potencial de la onda senoidal v = 2.88 sen (wt – 28º) V y la corriente de la onda senoidal i = 2.4 sen (wt + 62º) mA pueden dibujarse como lo muestra la Fig. 9.17.

9.3 Circuito AC en Serie

Fig. 9.17 – Onda senoidal de v e i para el Ejemplo 9.9



En un circuito DC en serie, la corriente es un valor constante. Asimismo, esa característica existe para los circuitos AC en muchos dispositivos en serie. La resistencia total de un circuito de corriente directa con N resistencias es tal que : RT = R1 + R2 + ... + RN. La “fuerza de resistencia” al paso de la corriente para dispositivos RLC en un circuito alterno en serie se llama “impedancia”, y se expresa por Z, con unidades de Ohmio (). La impedancia para resistencias inductores y capacitores se puede escribir como:

De acuerdo con la Ecuación (9.7) y la Fig. 9.20, la impedancia total de un circuito con una resistencia y un inductor en serie es:

Estas fórmulas se pueden expresar en el plano de los números complejos como se muestra en la Fig. 9.19. Por lo tanto, la impedancia total de un circuito AC con N impedancias en serie será:

Fig. 9.19 – Diagrama de fasores para impedancia de resistencia, inductor y capacitor en el plano de números complejos.


Fig. 9.20 – Resistencia e inductor en serie y diagrama de fasores

En cualquier circuito AC, si la impedancia total es un número real, entonces se le considera como un circuito resistivo. Esto significa que la impedancia del capacitor anula la del inductor. Si la impedancia del inductor es mayor que la del capacitor, entonces se llama circuito inductivo. Si la impedancia del capacitor es mayor que la del inductor, entonces es un circuito capacitivo.

Ejemplo 9.10. En la Fig. 9.21,(1) Encuentre ZT.(2) Dibuje el diagrama de impedancia del circuito, y analice las

características de la impedancia total.(3) Use la Ley de Ohm para calcular I, VR y VC.

Fig. 9.21 – Circuito del Ejemplo 9.10

Respuesta: (1) De acuerdo con la Ecuación (9.7):


(2) El diagrama de impedancia para ZT = 35.36 - 45º se muestra en la Fig. 9.22. En (1) sabemos que la parte imaginaria es –25 , de tal forma

que ZT tiene características capacitivas

Fig. 9.22. Diagrama de impedancia ZT para el Ejemplo 9.10

(3) Mediante la Ley de Ohm:

En este ejemplo vemos que el potencial del capacitor es mayor que el potencial de la fuente de tensión. Por lo tanto, en el circuito de corriente alterna es necesario calcular y seleccionar adecuadamente el dispositivo que satisfaga el potencial mínimo requerido. No se puede usar la tensión de la fuente como referencia

Ejemplo 9.11. Determine Z en el circuito de la Fig. 9.23.Respuesta: De acuerdo con la Ecuación (9.7)


De Z = 10 - j5, sabemos que Z es igual a una resistencia de 10 y a un capacitor de 5 en serie. Ver Fig. 9.24

Fig. 9.23 – Diagrama para Circuito equivalente de Z parael Ejemplo 9.11 el Ejemplo 9.11

Ejemplo 9.12. En la Fig. 9.25, calcule ZT y dibuje el diagrama de impedancia de Z1, Z2 y ZT.

Fig. 9.25 – Diagrama para el Ejemplo 9.12

Respuesta: De acuerdo con la Ecuación (9.7) :

cuya coordenada polar es:

cuya coordenada polar es:


En un circuito en serie, el potencial de la impedancia es Vx = I Zx. En la Fig. 9.27, la corriente que fluye en el circuito en serie puede escribirse como que

El diagrama de impedancia de Z1, Z2 y ZT se dibuja como en la Fig. 9.26

Fig. 9.26 – Diagrama de impedancia de Z1, Z2 y ZT para el Ejemplo 9.12

Fig. 9.27 – Diagrama de división del voltaje para elcircuito en serie


I = E / ZT, donde ZT es la impedancia total. Por lo tanto, se obtiene la regla de división de tensión en un circuito en serie como:

Esta regla de división de tensión es similar a la que existe para corriente directa, pero aquí el potencial se expresa como un vector.Similarmente, la Regla de Tensión de Kirchhoff (RTK) se puede usar en un circuito AC. El potencial se expresa también como un vector. La RTK para un circuito AC puede enunciarse como: la suma vectorial de potenciales es igual a cero en un lazo cerrado.

Ejemplo 9.13. En la Fig. 9.28,

(1) Encuentre ZT

(2) Use la ley de división de la tensión y determine VR y VL

(3) Use este ejemplo para probar la RTK.


(4) De acuerdo con la RTK,

Fig. 9.28 – Diagrama del circuito para el Ejemplo 9.13

Respuesta:



Según sea necesario

9.4 Circuito AC Paralelo

Antes de discutir el circuito AC en paralelo, necesitamos definir el recíproco de la impedancia con el fin de analizar más fácilmente el circuito AC paralelo.

El recíproco de la impedancia se llama admitancia, se utiliza la letra Y para representarla. La relación entre Y y Z se puede escribir como:


La unidad de Y es el Siemens, cuya abreviatura es S

La admitancia de una resistencia R es la conductancia (G),


La admitancia de una impedancia pura se llama suceptancia, representada por B, cuya unidad es también el Siemens (S). La suceptancia de un inductor es BL, y la suceptancia de un capacitor es BC, por lo tanto:



Resumiendo el análisis anterior, el diagrama de admitancia para YR, YL e YC se puede dibujar como un número complejo plano como en la Fig. 9.29


Para N impedancias es paralelo, se pueden considerar como N admitancias en paralelo. Primero se encuentra la admitancia total YT = Y1 + Y2 + ... + YN. Luego

Fig. 9.29 – Diagrama de admitancia para YR, YL e YC

Ejemplo 9.14. Determine la admitancia de cada una de las siguientes impedancias y luego dibuje el diagrama de admitancia.

El diagrama de admitancia se puede dibujar como se muestra en la Fig. 9.30 a la derecha


se determina el recíproco de la admitancia total y se obtiene la impedancia total ZT = 1 / YT. Viendo la Fig. 9.31, vemos que la impedancia total ZT es:

Fig. 9.31 – N impedancias en paralelo

Ejemplo 9.15. Determine la impedancia y admitancia en la Fig. 9.32, y dibuje el diagrama de admitancia.


Respuesta: Las admitancias de los dispositivos en la Fig. 9.32 son:


Es igual al producto de los dos vectores de impedancia divididos entre la suma de los mismos dos vectores

Ejemplo 9.16. Calcule la impedancia total de la Fig. 9.34

Admitancia total

Impedancia total

Fig. 9.33 – Diagrama de admitancia para el Ejemplo 9.15

En la Ecuación (9.15), si sólo hay 2 impedancias en paralelo, la impedancia total será:


En este ejemplo, la impedancia total de estas dos impedancias en paralelo es mayor que cualquier impedancia individual. Por lo tanto, sabemos que la impedancia total de dos impedancias es siempre mayor que cualquiera de las impedancias individuales. En realidad, cuando la suma de Z1 y Z2 es igual a cero, entonces ZT llega a ser infinito. Esto significa que el circuito paralelo es un circuito abierto, lo que constituye la resonancia paralela, como lo muestra la Fig. 9.35.

Fig. 9.35 – Cuando dos impedancias XL = XC están en paralelo, el resultado es como un circuito abierto.

Fig. 9.34 – Diagrama para el Ejemplo 9.16

Respuesta: Según la Ecuación (9.14), la impedancia total de dos impedancias en paralelo es:


En un circuito paralelo, la corriente de una de las ramas Ix para cualquier impedancia, se puede obtener a partir de la Ley de Ohm:

Esta ecuación se llama “regla de división de corriente”

El diagrama correspondiente se muestra en la Fig. 9.36. Hay solamente dos impedancias en paralelo, por lo que la regla de división se puede simplificar:

Fig. 9.36 – Diagrama que muestra la relación de la división de corriente en un circuito paralelo.

Similarmente, la Ley de Corriente de Kirchhoff (LCK)se puede usar en un circuito AC. Sin embargo, es necesario modificarla : “La suma de los vectores de la corriente que ingresan o salen de un nodo es igual a cero”

Ejemplo 9.17. Calcule la corriente en cada rama del circuito de la Fig. 9.37

Fig. 9.37 – Circuito para el Ejemplo 9.17


Respuesta: De acuerdo con la Ecuación (9.16):

En este ejemplo, las magnitudes de I1 e I2 son ambas mayores que la corriente total, por lo tanto, la tolerancia máxima de la corriente para el dispositivo no se puede determinar solamente mediante la corriente de entrada, sino que es necesario inspeccionar la verdadera relación del circuito para evitar causar un daño.

Ejemplo 9.18. En la Fig. 9.38:

(1) Encuentre la impedancia total.(2) Calcule la corriente total(3) Use la Regla de división de la Corriente para calcular I1, I2 e I3

(4) Verifique la LCK en el nodo A.

Fig. 9.38 – Diagrama del circuito del Ejemplo 9.18

Respuesta: (1) ---Ver Libro de Texto---


XL = Xc, XL y Xc están en paralelo, y su circuito equivalente es abierto.

Por lo tanto: ---Ver Libro de Texto---

(2) ---Ver Libro de Texto---

(3) ---Ver Libro de Texto---

(4)En la Fig. 9.38, la corriente que ingresa al nodo A es IT, y la que sale del nodo A es I1, I2, I3, por lo tanto,



Ejemplo 9.19. Determine la impedancia total del circuito de la Fig. 9.39.

9.5 Análisis de Nodos

Cuando un circuito AC se compone de muchas impedancias y fuentes de potencia, es difícil analizarlo por el método de circuitos individuales en serie o en paralelo. El análisis de nodos es un buen método para analizar el potencial y las características de la corriente para cada impedancia en el circuito.

El procedimiento para análisis de nodos es el siguiente:

1. Convierta todas las ecuaciones con senos y cosenos al tipo vectorial, y si es necesario, convierta la fuente de tensión a fuente de corriente.

2. Dibuje de nuevo el circuito en forma de admitancia.

Fig. 9.39 Diagrama para el Fig. 9.40. Diagrama de Ejemplo 9.19 bloques para el Ejemplo 9.19

Respuesta: La impedancia total es:


3. Seleccione un punto de referencia (generalmente un punto de tierra), identifique los potenciales de los otros nodos como V1, V2, etc.

4. Identifique la dirección de la corriente para la admitancia individual (dirección de referencia.

5. Use la LCK para escribir la ecuación de cada nodo en la forma:

(YV) = I

6. Use el teorema de superposición o de determinantes para resolver la ecuación lineal, y obtenga el potencial de cada nodo.

7. Use la ley de Ohm para calcular la corriente que fluye a través de cada admitancia individual.

Ejemplo 9.20. Determine el potencial en cada nodo de la Fig. 9.41

Fig. 9.41. Diagrama del circuito para el Ejemplo 9.41

Respuesta: Ver Fig. 9.41. Conviértalo a un circuito con notación y admitancia de nodo, como se muestra en la Fig. 9.42.

La ecuación de nodo se puede escribir como:

Nodo 1Nodo 2

Simplificando las ecuaciones de nodo en forma de ecuaciones lineales:

Nodo 1Nodo 2

Se usan determinantes para calcular los potenciales en los nodos V1 y V2 :


Ejemplo 9.21. Determine el potencial de nodo de la Fig. 9.43.

Fig. 9.42. Diagrama de análisis de nodos para el Ejemplo 9.20

Sustituyendo los valores respectivos en las ecuaciones para V1 y V2:


Fig. 9.45. Diagrama de análisis de nodos para el Ejemplo 9.21

En la Fig. 9.45:

Fig. 9.43

Respuesta: Ver Fig. 9.43. Primero, se convierte la fuente de tensión en fuente de corriente, como se muestra en la Fig. 9.44:

Fig. 9.44 – Circuito equivalente de la fuente de corriente para el Ej. 9.21

Viendo la Fig. 9.44, convierta el circuito con notación de potencial de nodo y admitancia, a la forma que se muestra en la Fig. 9.45.



De acuerdo con la Fig. 9.45, podemos escribir las ecuaciones de nodo como:

Nodo 1: ---Ver Libro de Texto---Nodo 2: ---Ver Libro de Texto---

Simplificando las ecuaciones de nodo como ecuaciones lineales

Nodo 1: ---Ver Libro de Texto---Nodo 2: ---Ver Libro de Texto---

Usando determinantes para encontrar V1 y V2:



9.6 Análisis de Lazos

El análisis de lazos es otro método para analizar un circuito de CA. El procedimiento es el siguiente:

1. Convierta todas las ecuaciones de tipo seno y coseno a vectores, si es necesario y convierta la fuente de corriente a una fuente de tensión

2. Vuelva a dibujar el circuito en la forma de impedancia.3. Especifique la dirección de la corriente en dirección contraria al reloj en cada

lazo.4. Use la LTK para escribir cada ecuación del lazo en forma de:

(ZV) = E

5. Use el teorema de superposición o mediante determinantes para resolver la ecuación lineal.

Ejemplo 9.22. Determine las corrientes de lazo en la Fig. 9.46.

Fig. 9.46. Diagrama del circuito para el Ejemplo 9.22


Respuesta: Observando la Fig. 9.46, convierta la fuente de corriente en una fuente equivalente de tensión, como se muestra en la Fig. 9.47.

Fig. 9.47. Fuente equivalente de tensión y circuito correspondiente.

En la Fig. 9.47, se vuelve a dibujar el circuito en forma de impedancia y se rotula la corriente del lazo para el análisis, como lo muestra la Fig. 9.48.

Luego, se usa la LTK para escribir las ecuaciones del lazo:

(Lazo 1)

(Lazo 2)Se simplifican las ecuaciones en forma de ecuaciones lineales:

(Lazo 1)

(Lazo 2)

Fig. 9.48 – Diagrama para análisis del lazo del Ejemplo 9.22


Se utilizan determinantes para calcular las corrientes de lazo I1 e I2

Se sustituyen los valores relativos en las ecuaciones de I1 e I2

Ejemplo 9.23: De acuerdo con Fig. 9.49, determine la corriente de lazo y V

Fig. 9.49 – Diagrama del circuito del Ejemplo 9.23


Respuesta: Observando la Fig. 9.49, convierta la fuente de corriente en una fuente equivalente de tensión, como lo muestra la Fig. 9.50

Fig. 9.50 – Fuente equivalente de tensión y circuito para el Ejemplo 9.23

Considerando la Fig. 9.50 se dibuja para analizar el lazo, Fig. 9.51:

Fig. 9.51 – Diagrama de análisis del lazo del Ejemplo 9.23

Observando la Fig. 9.51, use la LTK para plantear las ecuaciones del lazo:

(Lazo 1)

(Lazo 2)

Simplificando como ecuaciones lineales:(Lazo 1)

(Lazo 2)

Usando determinantes para el cálculo de I1 e I2 :



Sustituyendo los valores relativos en las ecuaciones de I1 e I2:


El potencial entre 4 XL es:


9.7 Definición de Q

Entre los tres dispositivos básicos: resistencia, capacitor e inductor, la resistencia es el que disipa potencia. El capacitor y el inductor tienen la posibilidad de almacenar energía. De aquí que sea más complejo analizar un circuito de corriente alterna. Supóngase que la impedancia total es Z = R + jX en un circuito, y entonces la potencia del mismo se puede dividir en potencia efectiva y no efectiva. Si la corriente efectiva es I, la potencia efectiva P se define como:


La potencia no efectiva se define como:

Por lo tanto, podemos definir el factor de calidad Qs para corriente alterna como:

Qs = (energía almacenada en el circuito) / (energía disipada en el circuito) = (energía no efectiva en el circuito) / (energía efectiva en el circuito):

Ejemplo 9.24:Determine el factor de calidad Qs en la Fig. 9.52

Fig. 9.52 – Circuito del Ejemplo 9.24

Respuesta:


9.8 Factor de Potencia

En la sección anterior hemos definido la potencia efectiva P (potencia real) y la potencia no efectiva Q (potencia reactiva). La magnitud de P + jQ se llama potencia aparente. Podemos utilizar un triángulo recto para mostrar la relación entre P, Q, y S, y a este triángulo lo llamamos “triángulo de potencia”, mostrado en la Fig. 9.53.

es el ángulo entre la tensión y la corriente. Para una resistencia pura, = 0º, cos = 1. Para inductor con impedancia pura, = 90º. Para un capacitor con impedancia pura, = -90º. Si en el circuito existe resistor e inductor, entonces estará entre 0º y 90º. La corriente va atrasada con la tensión, por lo que el factor de potencia se conoce como “retrasado”. Si en el circuito hay resistencia y capacitor, entonces está entre 0º y –90º. La corriente va delante de la tensión y el factor de potencia se conoce como “adelantado”.

Cuando:

Fig. 9.53 – Diagrama de Triángulo de Potencia

El cos en la Ecuación (9.20) se llama Factor de Potencia, cuyo símbolo es Fp, por lo tanto podemos escribir que:


De la ecuación (9.24) sabemos que el factor de potencia es muy pequeño, por lo que la potencia real es todavía más pequeña que la potencia aparente suministrada por la planta eléctrica. Por ello, la carga impuesta en la planta es muy pesada y siempre se le solicita a las empresas industriales y fábricas que mejoren el factor de potencia cuando se carga el sistema. Por lo general, el factor de potencia no se acepta que sea menor de 0.85. Cuando el factor es demasiado bajo, se puede modificar empleando una reactancia opuesta.

9.9 Transferencia Máxima de Potencia

El teorema de transferencia máxima de potencia se puede usar para determinar cuál es la impedancia adecuada que ofrece la potencia mayor al sistema de carga.Usando la Fig. 9.54, y el Circuito Equivalente de Thevenin como ejemplo, la impedancia de carga es ZL = RL XL. La disipación de potencia para la carga es:


Para obtener un PL máximo, el caso ideal sería que XTh = - XL.

Esto significa que la impedancia de carga debe ser igual al número complejo conjugado de la impedancia de Thevenin (o impedancia de Norton).



Ejemplo 9.25. Refiriéndose al circuito de la Fig. 9.54, ¿cuál es el valor de ZL y la máxima potencia cuando ésta se le transfiere al circuito?

La suma o resta en XTh XL depende del circuito. Cuando la impedancia de Thevenin y la impedancia de carga tienen las mismas características (ambas son capacitivas o inductivas), se emplea la suma. De lo contrario, la resta.


Respuesta: Ver la Fig. 9.54.

Según el teorema de transferencia de máxima energía, la carga de impedancia debe ser igual al número complejo conjugado de la impedancia de Thevenin:

De acuerdo con la Ecuación (9.25), la potencia máxima es:

Ocasionalmente, es difícil ajustar la impedancia de carga en forma de número complejo conjugado de la impedancia de Thevenin. Bajo esta situación, se puede seleccionar la potencia máxima relativa, por lo tanto la impedancia de carga RL es:


Ejemplo 9.26. En la Fig. 9.55, determine RL cuando la carga tiene la máxima transferencia de potencia.

Respuesta: En la Fig. 9.55, la carga de la impedancia debe ser igual al número complejo conjugado de la potencia máxima transferida hacia la carga, de la impedancia de Norton

Fig. 9.55

No es posible ajustar la impedancia como 2.40 . Lo único que es posible es encontrar la condición para transferir la potencia máxima, que es:

De acuerdo con la regla de división de la corriente:

Fig. 9.56. Circuito relativo para el Ejemplo 9.26



La potencia relativa máxima es:


9.10 Problemas

1. Convertir a forma polar:


2. Convertir a forma rectangular:


3. Calcule el resultado de las siguientes sumas y restas y expréselas en forma rectangular:


4. Calcule el resultado de las siguientes multiplicaciones y divisiones y expréselas en forma polar.


5. e1 = 10 sen (wt + 30º) V; e2 = 15 sen (wt – 20º) V. Determine:

(1) El tipo de vector para e1 y e2

(2) Calcule e1 + e2 = V(3) Dibuje la onda senoidal para e1, e2 y V.


6. De acuerdo con la Fig. 9.57, calcule:

(1) Usando el método de vectores, encuentre la onda de seno de la corriente i.(2) Dibuje la forma de la onda senoidal de v e i.(3) Dibuje el diagrama de fasores de V e I

Fig. 9.57. Diagrama del circuito del Problema 6.

7. De acuerdo con la Fig, 9.58:

(1) Use el método de vectores para encontrar la onda senoidal del potencial v(2) Dibuje la onda senoidal de v e i(3) Dibuje el diagrama de fasores de V e I.

Fig. 9.58. Diagrama del circuito para el Problema 7


8. Encuentre la impedancia total ZT en la Fig. 9.59

Fig. 9.59. Diagrama del circuito del Problema 8

9. Encuentre la impedancia total ZT en la Fig. 9.60

Fig. 9.60. Diagrama del circuito del Problema 9

10. Determine Z en la Fig. 9.61. Exprésela en forma rectangular y polar, y dibuje el diagrama de impedancia para ZT y Z.

Fig. 9.61. Diagrama del circuito del problema 10.


Determine VC, VL y R en la Fig. 9.62


12. Determine VC, VL y XC en la Fig. 9.62


Determine la impedancia de entrada ZT en la Fig. 9.64



14. Determine la impedancia de entrada ZT en el Fig. 9.65

17. Refiérase a la Fig. 9.68.

(1) (1) Determine: ZT, IL, IC, e IR

(2) Dibuje el diagrama de fasores para E, IL, e IR


15. Con referencia a la Fig. 9.66:(1) Calcular ZT, IT, I1, I2, I3

(2) Dibuje el gráfico de la admitancia para cada uno.(3) Dibuje el diagrama de fasores de E, IT, I1, I2, I3


16. Utilice la regla de división de la corriente para calcular la corriente a través de cada dispositivo en la Fig. 9.67 y compruebe la LCK




Determine ZT, IT, I1, e I2 e Iab en la Fig. 9.69


19. Refiérase a la Fig. 9.70(1) Escriba la ecuación de nodo(2) Determine el potencial de nodo(3) Determine el flujo de corriente I a través del capacitor.



20. Determine el potencial de cada nodo y el potencial V en el capacitor de 3 de la Fig. 9.71.


21. Refiérase a la Fig. 9.72.(1) Escriba la ecuación del lazo(2) Determine la corriente en el lazo(3) Determine la corriente que pasa por la resistencia de 4

22. Refiérase a la Fig. 9.73:(1) Escriba la ecuación del lazo(2) Determine la corriente en el lazo(3) Determine la corriente que pasa por la resistencia de 25

23. De acuerdo con la Fig. 9.74:

Diagrama del circuito para el Diagrama del circuito para el Problema 21 Problema 22


(1) Escriba la ecuación del lazo(2) Determine la corriente en el lazo(3) Determine la corriente que pasa por la resistencia de 15


24. Refiérase a la Fig. 9.75:

(1) Escriba la ecuación del lazo(2) Determine la corriente en el lazo(3) Determine la corriente que pasa por la resistencia de 15



25. Determine el valor de I y de V en la Fig. 9.76.

27. Si V = 100 60º e I = 10 40º, determine:(1) El ángulo entre V e I(2) P a partir de P = V I cos (3) Q a partir de Q = V I sen (4) El triángulo de potencia y úselo para determinar el valor de S.

28. Refiérase a la Fig. 9.78.(1) Determine ZL cuando la carga recibe la transferencia máxima de

potencia.(2) Determine la potencia máxima sobre la carga.


26. Determine I e V en la Fig. 9.77

Fig. 9.77 . Diagrama del circuito para el Problema 26



29. Refiérase a la Fig. 9.79.(1) Determine ZL cuando la carga recibe la transferencia máxima de

potencia.(2) Determine la potencia máxima sobre la carga.


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Capítulo 9 - profejuandotcom.files.wordpress.com · Web viewCircuitos RLC . Fundamentales. La corriente alterna y la tensión se pueden expresar como un tipo de vector, con magnitud