Capitulo Complejos

3 de agosto de 2013

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FAC. DE INGENIERIA. - UNIV. DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

Indice general

1. NUMEROS COMPLEJOS Y FUNCIONES COMPLEJAS 5

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Propiedades Algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3. Conjugacion Compleja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4. Modulo de un Numero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5. Representacion Geometrica de los Numeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5.1. Argumento y Forma Polar de un Numero Complejo . . . . . . . . . . . . 12

1.6. Raices de un Numero Complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

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4 INDICE GENERAL


Capıtulo 1

NUMEROS COMPLEJOS Y

FUNCIONES COMPLEJAS

§ 1.1. Introduccion

Se presentan las propiedades elementales de los numeros complejos necesarios para desarrollar

de manera elemental y sintetica la Geometrıa del plano de numeros complejos como una buena

representacion del plano Euclideo. Tambien, se obtiene una representacion del plano Euclideo

sobre la esfera S2 que es de vital importancia para el estudio de la Geometrıa bi-dimensional

sirviendo ası de soporte para mayores dimensiones.

§ 1.2. Propiedades Algebraicas

El conjunto de los numeros reales no proporciona todas las soluciones posibles de la ecuciones

polinomiales. Por ejemplo la ecuacion x2 + 1 = 0 no puede resolverse utilizando solo numeros

reales, ya que el cuadrado de cualquier numero real es mayor o igual a cero. En consecuencia, se

puede resolver este inconveniente definiendo un conjunto mas amplio que se llamara numeros

complejos.

Definicion 1.2.1 Los numeros complejos son todos los pares ordenados z = (a, b) de nume-

ros reales a, b (figura 1.1), con las siguientes operaciones de suma y producto: si x = (a, b),

y = (c, d) entonces:

x + y = (a + c, b + d),

xy = (ac − bd, ad + bc).

5

6 CAPITULO 1. NUMEROS COMPLEJOS Y FUNCIONES COMPLEJAS

-

6� z = (a, b)

Figura 1.1

Teorema 1 El conjunto de todos los numeros complejos es un campo con las operaciones dadas

en la definicion, en donde (0, 0) y (1, 0) son los elementos cero (0) y uno (1), respectivamente.

Demostracion. Si x = (a, b), y = (c, d), z = (e, f) son numeros complejos, es claro que

x + y, xy son numeros complejos, tambien

(A1) x + y = (a + c, b + d) = (c + a, d + b) = y + x

(A2)

(x + y) + z = (a + c, b + d) + (e, f).

= (a + c + e, b + d + f)

= (a, b) + (c + e, d + f)

= x + (y + z).

(A3) x + 0 = (a, b) + (0, 0) = (a, b) = x.

(A4) −x = (−a,−b) es unico, entonces x + (−x) = (0, 0) = 0.

(M1) xy = (ac − bd, ad + bc) = (ca − db, da + cb) = yx.

(M2)

(xy)z = (ac − bd, ad + bc)(e, f)

= (ace − bde − afd − bcf, acf − bdf + ade + bce)

= (a, b)(ce − df, cf + de)

= x(yz).

(M3) 1x = (1, 0)(a, b) = (a, b) = x.

(M4) Si x 6= 0 entonces (a, b) 6= (0, 0), lo que significa que al menos uno de los numeros a, b es

diferente de cero, y ası a2 + b2 > 0 por lo tanto se define

x−1 =

(

a

a2 + b2,

−b

a2 + b2

)

.


1.2. PROPIEDADES ALGEBRAICAS 7

Entonces

x · x−1 = (a, b)

(

a

a2 + b2,

−b

a2 + b2

)

= (1, 0) = 1.

(D)

x(y + z) = (a, b)(c + e, d + f)

= (ac + ae − bd − bf, ad + af + bc + be)

= (ac − bd, ad + bc) + (ae − bf, af + be)

= xy + xz.

Lo que demuestra el teorema. ♦X

Teorema 2 Para todo par de numeros reales a, b se tiene

(a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) y (a, 0)(b, 0) = (ab, 0).

Demostracion. Como la demostracion de este teorema es inmediata se deja como ejercicio.

♦X

El teorema 2 muestra que un numero complejo de la forma (a, 0) tiene las mismas propiedades

aritmeticas que el numero real a, por lo tanto se puede identificar un numero complejo (a, 0)

con el numero real a. Esta identificacion muestra que se puede considerar el campo real como

un subcampo de los numeros complejos.

Definicion 1.2.2 i = (0, 1).

Teorema 3 i2 = −1.

Demostracion.

i2 = (0, 1)(0, 1) = (−1, 0) = −1. ♦X

Teorema 4 Si a, b son numeros reales, entonces (a, b) = a + bi.

Demostracion.

a + bi = (a, 0) + (b, 0)(0, 1)

= (a, 0) + (0, b)

= (a, b).

Esto termina la demostracion. ♦X

FACULTAD DE INGENIERIA Isabel Amaya B.


§ 1.3. Conjugacion Compleja

Definicion 1.3.1 Sean a, b ∈ R y z = a + bi, entonces el numero complejo z = a − bi es el

conjugado de z. Los numeros a y b reciben el nombre de parte real y parte imaginaria de z,

respectivamente. Ocasionalmente se escribe a =Re(z), b =Im(z).

Teorema 5 Si z y w son numeros complejos entonces

(a) z + w = z + w.

(b) zw = z w.

(c) Si z 6= 0, entonces

z−1 =z

z z

(d) z + z = 2Re (z), z − z = 2i Im(z).

(e) z z es real y positivo (excepto cuando z = 0).

(f) Si z = a + bi, z′ = a′ + b′i en C, entonces

aa′ + bb′ =1

2(z z′ + zz′) = Re(zz′)

Demostracion. Solamente se demostrara (e) y (f) los otros numerales se dejan como ejercicio,

en efecto, si z = a + bi entonces

z z = (a + bi)(a − bi) = a2 + b2

que es real y positivo excepto cuando z = 0. Lo que demuestra (e).

Para demostrar (f) se procede como sigue:

z z′ = (a + bi)(a′ − b′i) = aa′ − iab′ + iba′ + bb′

z z = (a − bi)(a′ + b′i) = aa′ + iab′ − iba′ + bb′

Por lo tanto,1

2(zz′ + zz′) = aa′ + bb′

Lo que demuestra la primera igualdad en (f). ♦X


1.4. MODULO DE UN NUMERO COMPLEJO 9

§ 1.4. Modulo de un Numero Complejo

Definicion 1.4.1 Sean z = a + bi en C, entonces se define el modulo de z, notado con |z|, por

|z| =√

zz,

esto es,

|z| =√

a2 + b2

que es la distancia de z al origen.

Por ejemplo, |1 + 2i| =√

12 + 22 =√

5

Observaciones

(a) |z| = |z|, ya que

|z| =√

z z =√

z z =√

z z = |z|.

(b) Si θ es el angulo formado entre z = x + iy y el eje rel positivo como en la Figura 1.2

y|z|

x

θ

z = x + iy

Figura 1.2

entonces,

x = |z| cos θ, y y = |z| sen θ. (1.1)

(c) De 1.1:

z = |z|(cos θ + i sen θ). (1.2)

(d) De la ecuacion 1.1 se tiene

∣

∣ Re(z)∣

∣ ≤ |z|, y∣

∣ Im(z)∣

∣ ≤ |z|. (1.3)



(e) Si θ es el angulo formado entre los dos numeros complejos z y w, entonces

Re (z w ) = |z| |w| cos θ. (1.4)

Para mostrar esta afirmacion sean

z = x0 + iy0, w = x1 + iy1

y θ1, θ2 los angulos formados entre z y w con el eje real positivo, respectivamente, como

en la Figura 1.3.

θ0θ

θ1

z

w

Figura 1.3

Entonces,

θ = θ1 − θ0.

Tambien, por 1.1:

x0 = |z| cos θ, y y0 = |z| sen θ,

x1 = |w| cos θ, y y1 = |w| sen θ.(1.5)

Y por el Teorema 5 (f):

Re (z w) =x0x1 + y0y1

=|z| cos θ0 |w| cos θ1 + |z|sen θ0 |w|sen θ1

=|z||w|(

cos θ1 cos θ0 + sen θ1 sen θ0

)

=|z||w| cos (θ1 − θ0

)

=|z||w| cos θ.

Esto prueba la afirmacion (e).


1.5. REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 11

Ejemplo. Calcular el angulo θ formado por z = 1 + i y w = i. En efecto

cos θ =1 · 0 + 1 · 1|1 + i| |i| =

1√2

=

√2

2.

Lo que muestra que θ = π/4.

Teorema 6 Sean z, w en C, entonces

|z + w| ≤ |z| + |w|

que es la desigualdad triangular.

Demostracion.

∣

∣z + w∣

∣

2=(z + w)(z + w)

=(z + w)(z + w)

=|z|2 + z w + z w + |w|2

=|z|2 + 2 Re (z w) + |w|2

≤|z|2 + 2|z w| + |w|2

≤|z|2 + 2|z| |w| + |w|2

=(

|z| + |w|)2


§ 1.5. Representacion Geometrica de los Numeros Complejos

Por la definicion de un numero complejo, x = (a, b) donde a, b son numeros reales, este se puede

identificar con un “punto” en el plano de coordenadas (a, b), de hecho, la definicion de suma

coincide con la suma segun la regla del paralelogramo (ver Figura 1.4). La idea de expresar

geometricamente los numeros complejos como puntos de un plano fue formulada por Gauss en

su disertacion de 1799, e independientemente, por Argand en 1806.



-

6

��1

��

��

��

��

��

��

��>

��

��

y = (c, d)

x = (a, b)

x + y = (a + c, b + d)

Figura 1.4

1.5.1. Argumento y Forma Polar de un Numero Complejo

Como todo punto en el plano se puede representar en coordenadas polares (r, θ), se puede ver

que un numero complejo se puede escribir en terminos de tales coordenadas. Para tal efecto,

observese la siguiente formula que la proporciona cualquier curso de Calculo en una variable

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+ · · · + xn

n!+ · · · , x ∈ R (1.6)

como aplicacion directa de la formula de Taylor. De la misma forma puede demostrarse que

cos x = 1 − x2

2!+

x4

4!− · · · + (−1)n x2n

(2n!)+ · · ·

y

senx = x − x3

3!+

x5

5!− · · · + (−1)n x(2n+1)

(2n + 1)!+ · · ·

por lo tanto

eiθ = 1 + iθ +(iθ)2

2!+

(iθ)3

3!+

(iθ)4

4!+ · · ·

=(

1 − θ2

2!+

θ4

4!− · · ·

)

+ i(

θ − θ3

3!+

θ5

5!− · · ·

)

= cos θ + i sen θ

Este resultado que se acaba de obtener, de manera intuitiva, para eiθ proporciona la siguiente

definicion:

Definicion 1.5.1 (Euler) Sea θ un numero real, se define la expresion eiθ por el numero

complejo

eiθ = cos θ + i sen θ.


1.5. REPRESENTACION GEOMETRICA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS 13

Ejemplo 1.5.1 eπi = −1, eπi/2 = i.

Ahora, recuerdese que si z = x + iy es un elemento en el plano complejo, entonces

x = r cos θ, y = r sen θ,

ver Figura 1.6.

y|z|

x

θ

z = x + iy

Figura 1.6

Ası que

z = |z| cos θ + i|z| sen θ = |z|( cos θ + i sen θ) = |z|eiθ.

La expresion |z|eiθ recibe el nombre de forma polar del complejo z.

Definicion 1.5.2 Sea z = x + iy un numero complejo no nulo. El unico numero real θ que

satisface x = |z| cos θ, y = |z| sen θ, −π < θ ≤ π, se llama argumento principal de z y se

representa por θ =Arg z.

Ejemplo Si z = −i entonces arg −i = −π2.

Teorema 7 Todo numero complejo z se puede representar en la forma z = |z| eiθ donde

θ =argz + 2πn; siendo n un entero.

Demostracion. Ejercicio. ♦X

Ejemplo 1.5.2 Si z = 1 + i entonces, arg(z) = π/4 y z =√

2eiθ donde θ = π/4 + 2πn, n

entero.

Teorema 8 Sean θ1 y θ2 numeros reales, entonces

eiθ1+iθ2 = eiθ1 eiθ2 .

Tambien

ein θ = cos(nθ) + i sen (n θ)



Demostracion. Por definicion se tiene:

eiθ1+iθ2 = ei(θ1+θ2)

= cos(θ1 + θ2) + i sen(θ1 + θ2).

= cos θ1 cos θ2 − sen θ1 sen θ2 + i(sen θ1 cos θ2+

sen θ2 cos θ1)

= (cos θ1 + i sen θ1)(cos θ2 + i sen θ2).

= eiθ1 eiθ2 .

La segunda ecuacion se demuestra por Induccion Matematica utilizando la primera, por lo

tanto, se deja como ejercicio. ♦X

Definicion 1.5.3 Sea α = a + bi un numero complejo, se define

eα = eaebi.

Teorema 9 Sean α, β numeros complejos, entonces eα+β = eαeβ.

Demostracion. Sean α = a + bi, β = c + di, entonces

eα+β = e(a+c)+i(b+d)

= ea+cei(b+d)

= eaeceibeid

= eαeβ.


Ejemplo 1.5.3 Hallar un numero complejo cuyo cuadrado sea 16eiπ/2.

Solucion. Uno de tales complejos es z = 4eiπ/4 ya que

z2 = (4eiπ/4)(4eiπ/4) = 16eiπ/2.

Teorema 10 Sean z1 = r1eiθ1 , z2 = r2e

iθ2 dos numeros complejos, entonces

z1z2 = (r1r2)ei(θ1+θ2).


1.6. RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO 15

Demostracion.

z1z2 = (r1eiθ1)(r2e

iθ2) (Hipotesis)

= (r1r2)ei(θ1+θ2)


Un resultado puramente geometrico e importante es el siguiente.

Teorema 11 Sean z w ∈ C. Si zw 6= 0, entonces

arg (zw) = arg(z) + arg(w) + 2πη(z, w) (1.7)

donde

η(z, w) =

0, si − π < arg(z) + arg(w) ≤ π

1, si − 2π < arg(z) + arg(w) ≤ −π

−1, si π < arg(z) + arg(w) ≤ 2π

Demostracion. Se puede escribir z = |z|eiθ, w = |w|eiβ, donde θ = arg(z) y β = arg(w),

entonces

zw = |zw|ei(θ+β).

Como −π < θ ≤ π y −π < β ≤ π, entonces −2π < θ + β ≤ 2π. Por lo tanto, existe un numero

η tal que

−π < θ + β + 2πη ≤ π.

Este numero η es, precisamente, el η(z, w) dado en el Teorema y por lo tanto

arg(zw) = arg(z) + arg(w) + 2πη(z, w).

Esto prueba el Teorema. ♦X

§ 1.6. Raices de un Numero Complejo

Definicion 1.6.1 (Potencias enteras) Sean z un numero complejo y n un numero entero,

la n-esima potencia de z esta dada por

z0 = 1, zn+1 = znz (n ≥ 0),

z−n = (z−1)n (z 6= 0, n > 0).



Teorema 12 Si z 6= 0 y n es un entero positivo, entonces existen exactamente n numeros

complejos distintos

z0, z1, ..., zn−1

llamados raices n-esimas de z, tales que

znk = z (k = 0, 1, ..., n − 1)

Ademas, estas raices estan dadas por las formulas zk =Reiθk , donde R= |z|1/n y

θk =arg(z)

n+

2πk

n(k = 0, 1, 2, ..., n − 1).

Demostracion. Los n numeros complejos Reiθk , k = 0, 1, ..., n − 1 son distintos y cada uno

de ellos es raız n-esima de z ya que

(Reiθk)n = Rneinθk = |z| ei(arg(z)+2kπ) = z.

Ahora se debe probar que no hay otras raices n-esimas de z; supongase que w = Aeia es un

numero complejo tal que wn = z, entonces |wn| = |z| , de donde An = |z| luego wn = z toma la

forma

Aneian = |z| ei[arg(z)],

por lo tanto

na − arg(z) = 2πk

para algun entero k, es decir, a = arg(z)n

+ 2kπn

.

Esto termina la demostracion del teorema. ♦X

Nota. Observese que las n-esimas raıces de un numero complejo z estan igualmente espaciadas

sobre una circunferencia de radio R = |z|1/n , con centro en el origen. Por ejemplo, para n = 5

y z = 1, sus raices quintas son

zk = eiθk , θk =2πk

5, con k = 0, 1, 2, 3, 4

esto es

z0 = 1

z1 = e2πi/5 ≈ 0,309 + 0,951i

z2 = e4πi/5 ≈ −0,809 + 0,587i

z3 = e6πi/5 ≈ −0,809 − 0,587i

z4 = e8πi/5 ≈ 0,309 − 0,951i

las cuales se ubican en la figura 1.7.


1.6. RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO 17

z0 = 1

z1

z2

z3

z4

Figura 1.7


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