1

CAPÍTULO DOCE – A

OPCOINES SOBRE ÍNDICES BURSÁTILES

1. EL PRECIO DE UN CONTRATO =

($MULTIPLICADOR)(EL NIVEL DEL ÍNDICE)

Un contrato = ($m)(I)

2. SETTLEMENT

Al METÁLICO EN EFFECTIVO

2

Opciones Europeas sobre acciones que pagan

rendimientos por dividendoObtenemos la misma distribución de probabilidad para el precio de las acciones en el momento T en cada uno de los dos casos siguientes:

1. Las acciones empiezan en un precio S0 y pagan un rendimiento por

dividendo = q.

2. Las acciones empiezan en un precio S0e–qT y no pagan dividendo.

3

Podemos valorar las opciones Europeas reduciendo el precio de la acción a S0e-qT y entonces valoramos la opción como si las acciones no pagasen dividendos.

Opciones Europeas sobre acciones que pagan

rendimientos por dividendo

4

Extensión de los resultados obtenidos en el Capítulo 8(Ecuaciones 12.1, 12.2 y 12.3)

c S e XeqT rT 0

Cota inferior para las opciones de compra:

Cota inferior para las opciones de venta:

p Xe S erT qT 0

Paridad compra-venta:

c Xe p S erT qT 0

5

Extensión de los resultados obtenidos en el Capítulo 11

(Ecuaciones 12.4 y 12.5)

donde

d1 T ln(S0/X) + (r - q + σ 2/2)T

σ

c = S0e-qT N(d1) - Xe-rT N(d2)

p = Xe-rT N(-d2) - S0e-qT N(-d1)

d2

Tσ

ln(S0/X) + (r - q - σ 2/2)T

6

Opciones sobre índices• Los índices subyacentes más importantes de Estados

Unidos son:– El índice Dow Jones, 0,01 veces (DJX).– El índice Nasdaq 100 (NDX).– El índice Russell 2000 (RUT).– El índice S&P 100 (OEX).– El índice S&P 500 (SPX).

• Los contratos sobre un índice son sobre 100 veces el índice; se liquidan en metálico; el índice OEX es americano y el resto son europeos.

7

Utilización de opciones sobre índices para el aseguramiento de

cartera• Supongamos que el valor de un índice es S0 y el

precio de ejercicio es X.• Si una cartera tiene una ß de 1,0, el aseguramiento de

cartera se obtiene comprando un contrato de opción de venta sobre el índice por cada 100S0 dólares.

• Si la ß no es 1,0, el gestor de la cartera compra ß opciones de venta por cada 100S0 dólares.

• En ambos casos, se elige X para proporcionar un nivel adecuado de aseguramiento.

8

La razón básica por el desarrollo de mercado de futuros y opciones sobre índices bursátiles era dar les a los

gerentes de portafolios la posibilidad de hacer cobertura cuando haya expectativas de una bajada del mercado.

Ya vimos que en este caso una estrategia posible será tomar posición corta en el mercado de futuros.

En sete cápítulo analizamos otra estrategia de cobertura.

Puts protectoras.

Es decir, en caso que las expectatives son que el mercado está por bajar en el futuro,

compra puts sobre el índice.

Primero vamos a analizar como funcionan puts protectoras sobre acciones. En este caso el portafolio y el activo subyacente son identicos.

9

PUTS PROTECTORAS

ESTRATEGIA F.C.I. ST < X ST > X

COMPRAR acciones - S0 ST ST

COMPRAR PUT - p - (ST – X) 0

TOTAL -(S0+p) X ST

G/P X-S0- p ST -S0- p

X

- p S

G/P

AL VENCIMIENTO

Supongamos que S0 = X

10

1. PUTS PROTECTORAS

X S0 p X - S0 - p ST - S0 - p

$280 $288 $23 - $31 S - 311

$300 $288 $32 - $20 S - 320

$330 $288 $53 - $11 S - 341

$280 $300 $330 0

- 10ST

G/P

-20

-30

11

ESTRATEGIA

F.C.I

AL VENCIMIENTO

I1 < X I1 ≥ X

Comprar el portaflolio

COMPRAR n PUTS

-V0

-n P($m)

V1

n(X- I1)($m)

V1

0

TOTAL -V0 –n P($m) V1+n($m)(X- I1)

V1

Ahora nuestro activo es un portafolio y lo tratamos de proteger con puts sobre un índice bursátil. Así, el portafolio y el activo que subyace los puts son distintos.

12

DECISIONES:

1. ¿QUÁNTAS PUTS DEBEMOS COMPRAR?

2. ¿QUÉ PRECIO DE EJERCICIO GARANTIZA EL NIVEL DE LA COBERTURA DESEADA POR EL GERENT?

REITERAMOS QUE LA RAÍZ DEL PROBLEMA ES QUE EL PORTAFOLIO Y EL ACTIVO SUBYACENTE DE LA OPCIÓN SON DIFERENTES.

PARA ANALIZAR LA ESTRATEGIA DE PUTS PROTECTORAS NECESITAMOS USAR UNA RELACIÓN QUE LIGUE EL VALOR DEL PORTAFOLIO Y EL VALOR DEL ÍNDICE.

13

Vamos a usar la relación del viejo modelo

CAPITAL ASSET PRICING MODEL

)r(ERβ r ER FMiFi

EL ÍNDICE QUE USAMOS EN LA ESTRATEGIA SE LO TOMAMOS COMO UNA APROXIMACIÓN AL PORTAFOLIO DE MERCADO, M =I. MÁS AÚN, EL MODELO SE APLICA A CUALQUIER INVERSIÓN; EN

NUESTRO CASO ES EL PORTAFOLIO Y LA i EN EL MODELO ARRIBA

SE CAMBIA A p.

).r(ERβrER FIpFp

14

].rI

D I - I[βr

V

D V - VF

0

I01pF

0

P01

Re escribir el modelo para los retornos

En la última expresión los retornos están escritos en términos de las diferencias entre el valor actual y el valor terminal, plus los dividendos.

).r(RβrR FIpFp

15

A continuación, vamos a definir Dp/V0 y DI/I0 como las tasa anuales de dividendos del portafolio, qP, y del índice, qI, durante la vignecia de las opciones .

]rqI

I - I[βrq

V

V - VFI

0

01pFP

0

01

]r - q 1 - I

I[βr q1

V

VFI

0

1pFP

0

1

La razón V1/ V0 indica la tasa de protección requirida por el gerente del portafolio.

16

Por ejemplo:,90.

V

V

0

1

indica que el genrente quiere que el valor terminal del portafolio, V1, no se baje más que unos 90% del valor inicial del portafolio, V0.

Definimos esta razón (V1/ V0)* y calculamos

1. El precio de ejercicio de las puts, X.

2. El número de puts que es necesario a comprar?

17

1. El precio de ejercicio, X, se determina por la sustitución I1 = X y la razón

requerida de protección, (V1/ V0)* en la ecuación:

].r - q 1 - I

X[βr q1*)

V

V( FI

0pFP

0

1

1)].-)(βr(1 )q(β - q*)V

V[(

β

I X pFIpp

0

1

p

0

La solución es:

].r - q 1 - I

I[βr q1

V

VFI

0

1pFP

0

1

Resolvamos por X:

18

]r - q 1 - I

I[βr q1

V

VFI

0

1pFP

0

1

)r1(qβqr1V II

VβV

])r - q 1 - I

I[βrq(1VV

FIppF010

0p1

FI0

1pFP01

POR OTRA PARTE

19

Ejemplo 2(Tabla 12.5, pág. 299)

• La cartera tiene una beta de 2,0.• Actualmente, su valor es de 500.000 USD y el

índice se sitúa en 1.000.• El tipo de interés libre de riesgo es del 12 por

ciento anual.• El rendimiento por dividendo tanto en la cartera

como en el índice es del 4 por ciento.• ¿Cuántos contratos de opciones de venta

deberían comprarse para el aseguramiento de cartera?

20

• Si el índice sube a 1040, proporciona rendimiento de un 40/1.000 o un 4 por ciento trimestral.

• Rendimiento total (incluidos dividendos) = 5 por ciento.• Exceso de rendimiento sobre el tipo de interés libre de

riesgo = 2 por ciento.• Exceso de rendimiento por cartera = 4 por ciento.• Incremento del valor de la cartera = 4+3-1 = 6 por

ciento.• Valor de la cartera = 530.000 USD.

Cálculo de la relación entre el nivel del índice y el valor de la

cartera en tres meses

21

Cálculo del precio de ejercicio (Tabla 12.3, pág. 298)

Valor del índice dentro de tres meses

Valor estimado de la carteradentro de tres meses (USD)

1,080 570,0001,040 530,0001,000 490,000 960 450,000 920 410,000 880 370,000

Una opción con un precio de ejercicio de 960 porporcionará protección frente a una caída del 10 por ciento en el valor de la cartera.

22

.($m)I

Vβn

0

0p

2. El número de puts para comprar es:

23

STRATEGY

INITIAL CASH FLOW

AT EXPIRATION

I1 < X I1 ≥ X

Hold the portfolio

Buy n puts

-V0

-n P($m)

V1

n(X- I1)($m)

V1

0

TOTAL -V0 - nP($m) V1+n($m)(X- I1)

V1

Como se ve, el mínimo del valor esV1+n($m)(X- I1)

Otra vez, he aquí la tabla de los flujos de caja de las puts protectoras

24

Se puede re escribir el mínimo valor

V1+n($m)(X- I1),

como:

V1+n($m)X – n($m)I1

Y es posible sustituir por V1 y por n de la siguiente manera:

25

]r - q 1 - I

I[βr q1

V

VFI

0

1pFP

0

1

y, )r1(qβqr1V

II

VβV

])r - q 1 - I

I[βrq(1VV

FIppF0

10

0p1

FI0

1pFP01

.($m)I

Vβn

0

0p

26

.II

Vβ-X

I

VβVmínimo valor El

($m)I($m)I

Vβ

($m)X($m)I

VβVmínimo valor El

10

0p

0

0p1

10

0p

0

0p1

.)r1(qβqr1V

II

VβV

Pero,

FIppF0

10

0p1

27

Sustituimos V1 en la expresión del valor mínimo

.)]β)(1r(1qq[βVXI

Vβ

:es mínimo valor el que Resulta

pFpIp00

0p

Obsérvense que el valor mínimo está expresado en términos de parámetros que son conocidos de ante manos. Por lo tanto, el gerente del portafolio sabe el valor mínomo del portafolio el momento que abre la estrategia. Este valor no va a cambiar al margen de lo que ocurre después.

28

Ejemplo

El gerente de un portafolio teme que baje el mercado por 25% en los seis próximos meses. El valor actual del portafolio es $25M. Él requiere que no baje el valor del portafolio por más que 90% de su valor actual. Decide comprar puts sobre el índice S&P500. El beta del portafolio con el índice S&P500 es 2,4.

El nivel actual del índice es 1.250 puntos. Su multiplicador es $250. La tasa anual sin riesgo es 10%, mientras que las tasas anuales de dividendos del portafolio y del índice son 5% and 6%, respectivamente.

29

2,4.β y,

6%.q 5%;q 10%;r

:son anuales tasasLas

$250;$m 1.250;I

0,9;)*V

V( 0;$25.000.00V

IpF

0

0

10

Resumen de los datos:

30

Solutión: Comprar

puts. 19250)($250)(1.2

0$25.000.002,4n

($m)I

Vβn

0

0p

31

El precio de ejercicio de las puts:

1.210.X

1)0,05)(2,4(1(2,4)0,030,025[0,92,4

1.250X

1)].-)(βr(1 )q(β - q*)V

V[(

β

I X pFIpp

0

1

p

0

Solutión: Comprar

n = 192 puts para seis meses con

X= 1.210.

El valor mínimo del portafolio se calcula

32

0.$22.505.00

2,4)]-95)(1,0(10,025-)0[2,4(0,03$25.000.00

210.1250.1

0$25.000.002,4

.)]β)(1r(1qq[βVXI

Vβ

mínimoValor

pFpIp00

0p

33

Mantenniendo el portafolio y comprando 192 puts protectoras sobre el índice S&P500, nos garantiza que el valor del portafolio, que es $25M actualmente, no bajará por debajo de $22.505.000 en seis meses.

34

.*)V

V(V mínimo valor el caso esteEn

.($m)I

Vn y

)*;V

V(IX También,

.I

IV V :y

,I

I - I

V

V - V

0

10

0

0

0

10

0

101

0

01

0

01

Un caso especial: supongamos que βP = 1 y que las razones qP =qI. Entonces,

35.000,500,22$

)9(.000,000,25$

(.9)V)V

V(V mínimoValor El

y puts 80$250(1250)

000,000,25$

($m)I

Vn

.000,500,22$)9(.000,000,25$

*)V

V(IX

0*

0

10

0

0

0

10

En nuestro caso, si βp = 1 and qP =qI, entonces:

36

¿CÓMO ADMINIDTRAR EL RIESGO DE UN PORTAFOLIO?

El gerente de un portafolio de acciones que vale:

V = CLP2.600.000.000

teme que el mercado baje unos 25% - 40% en los próximos seis meses. Su portafolio tiene alta correlación

con el mercado, y si bajará el mercado disminuaría el valor de dicho portafolio acerca de 40%. Vender el

portafolio para recomprarlo luego que baje el mercado no es una alternativa factible. El problema es como usar los

derivados eficientemente, de manera rápida y barrata para hacer cobertura contra la bajada esperada en el valor del

portafolio.

37

¿CÓMO ADMINIDTRAR EL RIESGO DE UN PORTAFOLIO?

UNA POSIBILIDAD:

COBERTURA CON

PUTS PROTECTORAS.

SUPUESTO:

EXISTEN FUTUROS Y OPCIONES SOBRE EL ÍNDICE ÍPSA.

Como no existen dichos futuros, los creamos:

38

Especificaciones de un contrato:

Índice: IPSA - 40

Unidad: CLP100.000

Un tick: CLP0,01 (CLP1.000/contrato)

Entrega: Marzo, Junio, Septiembre, Diciembre

Último día: El penúltimo día hábil del mes de entrega

Horas: 8:30AM – 3:30PM Santiago

Settlement: En efectivo ( Al metálicao)