1-1

CAPITULO I

1.1 ACCIONES BÁSICAS DE CONTROL

Figura 1.1:

Supongase el sistema mostrado en la figura 1.1, ¿ Qué puede hacer un operador sobre la

válvula ?

• Abrir la válvula completamente ( o cerrarla ). ON-OFF(o Abrir (o cerrar) la válvula una

cantidad proporcional a la de dos posiciones).

• desviación . (proporcional).

• Abrir (o cerrar) constantemente mientras exista desviación ( Integral).

• Abrir (o cerrar) una cantidad proporcional a la velocidad de aumento del error (Derivativo)

Los controladres industriales tipicos son :

• Dos posiciones (ON-OFF)

• Proporcionales (P)

• Proporcionales Integrales (PI)

• Proporcionales Derivativos (PD)

• Proporcionales Integrales Derivativos (PID)

Qs

Q(e)

h T

1-2

1.2 CONTROLADORES INDUSTRIALES TÍPICOS. 1.2.1-Control De Dos Posiciones (On-Off)

Este tipo de acción de control es tal que el elemento final de control se mueve o conmuta rápidamente a una de dos posiciones, cuando el error alcanza una magnitud predeterminada. Esta acción se puede representar por:

m(t): posició

E(t): error

Brecha difer

Es el

conmutación

brecha difere

muestra el ef

Aplicaciones

Sistemas de

ambientes. C

t

m(t) Abierto

Brecha diferencial

E(t) t

S(t) CR

m(t)

cerrado

Figura 1.3

Figura 1.2

n de la válvula S(t): variable controlada

CR: variable de referencia

encial:

rango (C1,-C1) en el que se mueve la señal de error, antes de que se produzca la

o cambio de posición de la variable manipulada . En la figura 1 se muestra la

ncial como función de error E(t) y la variable manipulada m(t). En la figura 3 se

ecto de la brecha diferencial sobre la variable controlada S(t).

:

gran escala con cambios lentos en el proceso.Ej: Calentamiento / enfriamiento de

ontroles de temperatura para los baños, controles de nivel en tanques.

t

t

S(t) C1

-C

m1

(t)

Figura 1.4

1-3

1.2.2.- Control Proporcional (P)

En un control proporcional existe una relación lineal entre la señal de salida del controlador m(t) y su entrada el error E(t) (1) 0p m)t(EK)t(m +=

donde:

Kp = constante de proporcionalidad.

m0 = salida del controlador cuando E(t) = 0 ó posición del elemento final de control para

E(t) = 0

Cuando el sistema opera estacionariamente alrededor de un punto de operación, se

puede escribir la ecuación (1) como :

0p mEKm += (1`)

si restamos (1) – (1`), obtenemos el comportamiento del controlador expresado en variables de

perturbación .

( ) ( )E)t(EKm)t(m p −=− (2)

(2`) )t(EK)t(m *p

* =

aplicando Transformada de Laplace a (2`)

)s(EK)s(M *p

* =

cp*

*

c KK)s(E)s(M)s(G ===∴

Figura 1.5

Kp

m(t)

cerrado

abierto

E(t)

Rango óptimo de operación

1-4

Banda proporcional:

Cambio porcentual en la variable de la salida o controlada que produce un movimiento

completo de la válvula.o elemento final de control

BP%

100Kp =

% ∆ C 100 50% 0

200%

Figura 1.6

Desviación estable (off-set) : Una característica importante del control proporcional es que éste produce un error de la variable dinámica en el punto de operación, cuando ocurre un cambio. Puede ser minimizado por un gran valor de Kc o sea por un pequeño valor de la banda proporcional.

0 2 4 6 8 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

K=1

K=1K=10

K=30

Figura 1.7

100%

100 % abertura

1-5

1.2.3.- Control Proporcional Integral ( P I )

Al agregar la acción integral a la proporcional se elimina el offset. Industrialmente se

usa el P I y no el I puro.

Este tipo de control puede ser empleado en sistemas que tienen grandes cambios, pero

estos a su vez , deben ser lentos para evitar sobreimpulsos producidos por el tiempo de

integración. Una desventaja es que durante el arranque de procesos batch, la acción integral

causa considerables impulsos del error antes de alcanzar el punto de operación.

La expresión matemáticas que define a este tipo de controlador es:

∫ ++= 0i

pp m)t(E

TK

)t(EK)t(m

y la función de transferencia correspondiente es:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

sTiK

sEsM

.11

)()(

donde Ti es el tiempo integral, cuya función es regular la acción intgral. Su recíproco recibe el

nombre de frecuencia de reposición y mide las veces que por unidad de tiempo se repite la

acción “proporcional”.

Esta clase de controlador incrementa el tipo de un sistema. En general su efecto se

traduce en disminuir apreciablemente el error en estado estacionario a costa de una desmejora

de la parte transiente de la respuesta del sistema controlado.

1-6

Figura 1.8 Respuesta al aplicar un escalón en la referencia

Contribución de la respuesta

Error (SP-PV)

+E

-E

Cero error (SP=PV

Tiempo

K(E)

K(E) Posición de la válvula

Abierto

Cerrado

Ti

Tiempo

Tiempo

Ajuste Baja

Contribución de la respuesta

Ajuste Alta integración

1-7

Fig. 1.9 Respuesta a cambios en la carga con control proporcional

Fig. 1.10 Respuesta a cambios en la carga con control proporcional integral

1-8

1.2.4.- Control Proporcional –Derivativo (PD)

Este control no elimina el off-set producido por el control proporcional , sin embargo

puede colocarse en sistemas con cambios rápidos mientras que el off-set sea aceptable. Su

representación matemática viene dada por la expresión :

m(t) = Kp E(t) + KpTd dttdE )( (1)

y la correspndiente función de transferencia por:

( sTKsEsM

dp .1)()(

+= ) (2)

Como se puede apreciar en (2), este tipo de controlador introduce un cero en la

función de transferencia de lazo abierto. Esta acción derivativa tiene como ventaja anticiparse

al error.

Fig 1.11 Cambios de la válvula causados por cambios en los valores de referencia

1-9

Fig 1.12 Acción derivativa debido a un valor de referencia tipo rampa

1-10

1.2.5.-CONTROL PROPORCIONAL–INTEGRAL– DERIVATIVO(PID)

Este tipo de controlador reúne las ventajas de todos los controladores.Las ecuaciones

que lo representan están a continuación :

m(t) = KpE(t) + ∫ +dt

)t(dETKdt)t(ETiK

dpp

y su correspondiente Transformada de Laplace es :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= s.T

s.Ti11K

)s(E)s(M

dp

Fig. 1.13:

En las zonas 1 y 3 la acción derivativa se opone a la integral para prevenir sobreimpulsos. En

las zonas 2 y 4 las acciones se suman para evitar aumentos del error y regresar al sistema al

valor deseado.

Este control puede usarse en cualquier proceso bajo cualquier condición.

• La acción proporcional corrige la salida del controlador en una cantidad proporcional a la

desviación.

• La acción integral corrige la salida del controlador en una cantidad proporcional a la

integración de la desviación.

• La acción derivativa corrige a la salida del controlador en una cantidad proporcional a la

rata de cambio del error.

• El efecto que tiene este control es que adelanta la respuesta, mejora la estabilidad y no

modifica el estado estacionario.

P

I

D

C(t)

1 2 3 4

t

1-11

1.3 AJUSTE EMPIRICO DE CONTROLADORES INDUSTRIALES Existen dos métodos principales para el ajuste de controladores

a)- Método de oscilación contínua (Ziegler y Nichols)

b)- Método de la curva de reacción .(Cohen y Coon)

1.3.1 Método de oscilación continua :

Para que este método se pueda aplicar, la respuesta transitoria debe poder alcanzar la

estabilidad crítica en función de un aumento de ganancia .El procedimiento a seguir es:

• A lazo cerrado, el Td (tiempo derivativo) se lleva a cero y el Ti (tiempo integral) se

lleva a su valor máximo.

• Se excita al sistema con un escalón en el valor de referencia y se obtiene :

• Kcmáx : K crítica

• Pu : período de oscilación para Kc.

• Los parámetros sugeridos como “un primer valor de ajuste” son :

Tabla 1.1: Parámetros sugeridos como un primer valor de ajuste

P PI PID

Kcon 0,5Kc 0,45Kc 0,6Kc

Ti(min) Pu/1,2 Pu/2

Td(“) Pu/8

Este método debe producir una relación de magnitud de caída entre la primera y la

segunda oscilación igual a 4. Esta relación es conocida como rata de caída (r) o “decay ratio”.

La figura (1) muestra con detalle las características de la respuesta transitoria

1-12

Fig.1.14:

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛φ+ω

ξ−−= τ

ξ−)tsen(e

1

11k)t(Yt

2p

Donde :

τ

ξ−=ω

21; ⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

ξξ−

=φ −2

1s

1t ; u2

P1

2T =ξ−

πτ=

BAeM

21p == ξ−

πξ−

; ACMer 2

p21

2

=== ξ−

πξ−

1.3.2 Método de la curva de reacción (Cohen y Coon):

Los pasos para obtener los parámetros se describen a continuación :

-Se abre el lazo usualmente entre el controlador y la válvula.

-Con el controlador en “posición manual”, se excita con un escalón .

-Se memoriza o graba la respuesta del sistema.

N= máxima pendiente de la curva . L= atraso efectivo Variación del cambio fraccional por minuto. ( ) ∆

N pendiente

Variable medida

NL

T(min)

L

1-13

Tabla 1.2: P PI PID

Kcont.

∆ / 12NL

NL

)12(9,0 ∆ 1 2 12, ( / )∆

NL

Ti(min) L/0,3 L/0,5 Td(min) 0,5L

Metodo de la reacción de la curva Cohen-Coon.

Este metodo aproxima la respuesta del sistema real a un sistema equivalente que se

representa por la siguiente función de transferencia:

)1Ts(

ke)s(GHs.d

+=

τ−

Para el cálculo de los parámetros Se aplica un pequeño cambio escalón al lazo

abierto y se gráfica la curva de la variable medida tal como lo muestra el diagrama de bloques

a continuación:

Fig.1.15: Parámetros de la respuesta aproximada:

TBs

u= KBMp

u= τ d

τ

S = pendiente de la sigmoide en el punto de inflexión

C(t) Bu

ST

Bu =Pendiente =

d BU= valor en el estado estacionario t

1-14

Los parámetros se obtienen según lo presentado en la tabla siguiente: Tabla 1.3: Parámetros según el método de la reacción de la curva Cohen-Coon.

P PI PD PID Kcont.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Td

dT

KpKc

311 τ

τ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Td

dT

KpKc

6451 τ

τ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ τ

+τ

=T12d

109

dT

Kp1Kc

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

Td

dT

KpKc

4341 τ

τ

Ti(min) TdTddTi/209/30

τττ

++

= TdTddTi

/813/632

τττ

++

=

Td(min) TdTdsdTd/322/6

τττ

+−

=)/211()4).(( tddTd ττ +=

1.4 AJUSTE EMPIRICO DE CONTROLADORES INDUSTRIALES

1.4.1.- Ziegler-Nichols para sintonización de controladores Reglas para determinar Kp,Ti yTd basadas en las características de la respuesta transitoria de una planta dada. Método 1 :

Se aplica un escalón unitario a la entrada de la planta y se obtiene la salida . Si la planta no incluye integradores o polos dominantes

(complejos conjugados) la curva puede tener la forma de la figura siguiente.

Nota : Si C(t) no tiene forma de S, el método no se puede aplicar.

Planta C(t) U(t)

C(t)

1

t

25% Mp

Recta tangente

L T

K

en el punto deinflexión.

C sU s

KeT s

L s( )( ) ( . )

.

=+

−

1 Aproximación del sistema.

Un controlador PID sintonizado con este método:

1-15

Gc s Kp

Ti sTd s( ) (

.. )= + +1

1

= + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

=+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12 11

20 5

0 6

1 2

..

, .

,

TL L s

L s

Ts

Ls

Un solo polo y un doble cero. Método 2 :

- Se hace Ti= ∞ y Td= 0

- Para el sistema a lazo cerrado , y trabajando sólo con KP, se incrementa éste hasta un

valor crítico Kcr , de manera tal de excibir oscilaciones sostenidas en C(t).

- Se determina Kcr y el período correspondiente Pcr

- Se fijan los valores de KP , Ti y Td de acuerdo a la siguiente tabla.

Fig. 1.16: Diagrama de bloques y respuesta en tiempo para....

Tabla 1.4: Parámetros de sintonización para el 2do metodo

Tipo Gc KP Ti Td

P 0,5 Kcr ∞ 0 PI 0,45 Kcr Pcr2,1

1 0

PID 0,6 Kcr 0,5 Pcr 0,125 Pcr Este PID da:

Gc=0,075 Kcr Pcr sPcr

s24

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

r(t) + - U(t) C(t)KP Planta Pc

C(t)

t

1-16

Conclusión : Efectos de los controladores

• Control proporcional (P)

a) Acelera la respuesta de los procesos controlados

b) Produce offset para todos los procesos de tipo “0”

• Acción integral (PI)

a) Elimina el offset

b) La eliminación del offset se produce a expensas de mayores desviaciones

c) Se producen respuestas con grandes oscilaciones

d) Si se aumenta la ganancia del controlador kc para aumentar la velocidad de

respuesta del sistema , este se comporta más oscilatorio, teniendo riesgos de

alcanzar inestabilidad.

• Acción derivativa (PD)

a) Anticipa futuros errores e introduce acciones para contrarestarlos.

b) Introduce esfectos estabilizadores en la respuesta a lazo cerrado.

1-17

Casos de aplicación

PROCESOS QUIMICOS

• Controlador proporcional (P)

• Cuando el offset es tolerable para kc moderado.

• Para procesos de plantas de N>0

Ejemplo : control de presión de gas, control de nivel

• Controlador PI

• Sistemas de respuesta rápida, donde el efecto de retardo de la acción I , no afecte el

buen desenvolvimiento del transitorio.

Ejemplo : controlador de flujo.

• Control PID

• Procesos de multicapacitancia (varios reservorios, lentos)

Ejemplo : Controles de temperatura, composición.

1.5 EJEMPLOS DE CASOS TÍPICOS DE CONTROLADORES

INDUSTRIALES Ejemplo 1:

Considere el sistema mostrado a continuación: Como la planta tiene un integrador , se emplea el siguiente método. Haciendo Ti = ∞ y Td = 0, se obtiene la FTLC :

Kp)5s)(1s(sKp

)s(R)s(C

+++=

Gc(s) )5)(1(

1++ sss

C(s)

PID

R(s)

-

+

1-18

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

tiempo

c(t)

r(t)

Fig 1.16 Respuesta temporal del sistema con Kp=1 ante un escalón unitario

1-19

• Cálculo de Kcr criterio de Routh

La ecuación característica : s3+6s2+5s+Kp=0

s3 1 5

s2 6 Kp Kcr = 30

s1 30

6− Kp

s0 Kp

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

tiempo

c(t)

r(t)

Fig 1.17 Respuesta temporal del sistema con Kp=30 ante un escalón unitario.

Sistema Críticamente estable. • Cálculo de la frecuencia de oscilación sostenida .

Se reemplaza s = jw en la ecuación característica : (jw)3 + 6(jw)2 + 5(jw) + 30 = 0 ó 6(5-w2) + jw(5-w2) = 0 de donde : w2 = 5 ⇒ =w 5

1-20

∴ = = =Pcrw2 2

52 81

π π,

• Cálculo de Kp,Ti, Td.(Ziegler - Nichols)

Kp = 0,6 Kcr = 18 Ti = 0,5 Pcr = 1,405 Td = 0,125Pcr = 0,35124

∴ = + +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Gcs

s18 11

1 4050 35124

, ., .

=+6 3223 1 4135 2, ( , . )s ss

• Cálculo de la FTLC y respuesta temporal

CR

s ss s s s

=+ +

+ + + +6 3223 18 12 811

6 11 3223 18 12 811

2

4 3 2

, . . ,. , . . ,

1-21

0 5 10 15 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

tiempo

c(t) r(t)

Fig 1.18: Respuesta temporal del sistema controlado con un PID ante un escalón unitario.

Representación en variables de estado(facilita la respuesta temporal computacional) x1 = c ; x2 = ; xx1` 3 = - 6,3223u ; x2 ` x4 = `+ 19,9338 ; u = r ; y = c = x3x 1

1-22

[ ]

xxxx

xxxx

u

y

xxxx

1

2

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

0 1 0 00 0 1 00 0 0 1

12 811 18 11 3223 6

06 322319 9338

60 8308

1 0 0 0

′

′

′

′

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

=

− − − −

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

+−

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

=

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

, ,

,,

,

1-23

Ejemplo 2:

Considere al sistema mostrado en la figura 1, donde un motor DC mueve una válvula de

control lo cual suple un flujo a una máquina hidráulica, corriente abajo de la válvula

Figura 1.19: Control de flujo

En estado estacionario VR=6mA para un requerimiento de 20 gal/min 5%. Cuando el requerimiento es de 100 gal/min 2%, VR=14mA.

±±

El escalón de 6-14 mA es muy rápido, lo que implica una respuesta rápida del sistema

Las características de la válvula pueden asumirse lineales en la medida que la rata de flujo a

través de ella varía directamente con el desplazamiento del vastago. 100% abierta ⇒ 150

gpm. La carrera del vástago es de 1,5”.

Para el amplificador/controlador : Este maneja señales estandar en un rango de 4-20mA en

la entrada para producir una salida en un rango de –48V a + 48V. Cuando VM y VR = 4mA

entonces la salida del controlador VSC = 0V ; si VR aumenta a 20 mA la salida del

controlador VSC = +48V, y si VR = 4mA y VM = 20 mA, VSC = -48V

Medidor de flujo : es un transductor diferencial de presión y extractor de raíz . Este

produce : 4 mA si el flujo es de 0 gpm y 20 mA si el flujo es de 160gpm . Este valor nunca se

alcanza porque el máximo flujo de la válvula es de 150 gpm.

Válvula de Control : La válvula abre con +48V y cierra con -48V moviendose el vástago a

una velocidad de 1 pulg/seg.

1-24

Respuesta de la velocidad del motor de la válvula. La respuesta en tiempo del conjunto

motor-válvula, obtenida de las especificaciones del equipo es de tr = 550 mseg.

Especificaciones de control

1-Se desea que el sistema pase de 20gpm a 100gpm , (80gpm=8mA). La válvula deberá

permitir a lo más tardar de 1seg. un flujo de 100 gpm ,lo que implica que ts es menor o igual

que 1seg.

2- tr ≤ 700mseg 3- Mp(%) ≤ 10% 4- t msd eg≤ 200 .

5- MF ≥ °60

Donde tr : tiempo para alcanzar el 50% del valor en estado estacionario.

td : tiempo para alcanzar el 100% del valor en estado estacionario.

ts: tiempo de establecimiento.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

90

0

10

20

30

40

50

60

70

80

td trts

1-25

Solución

A continuación se presenta el diagrama de bloques del sistema de control del proceso

representado en la figura 1.

Figura 3: Diagrama de bloques de control de flujo

Los pasos siguientes se avocan al cálculo de cada una de las funciones de transferencia del

diagrama de bloques de la figura 3.

Ganancia Kc.K1 del amplificador- controlador (span)

El amplificador/controlador se representa por el producto de ganancias Kc.K1. La ganacia del

amplificador Kc, se calcula según la ecuación que se muestra a continuación :

KV

mAV

mAc = =48

163

La ganancia del controlador K1, se deja igual a K1 = 1 por los momentos.

Parámetros del motor

• Ganancia del motor

Kmv = 1

480 020833

pu segV

puV seg

lg/, lg

.

• Cálculo de Tm : se obtiene a partir de la fig ura 2 donde tr = 550 mseg.

En t2 la respuesta del sistema es : para 90% 12

−−

et

Tm

4 20

48

0 mA

Vol

1-26

En t1 la respuesta del sistema es: para 10% 11

−−

et

Tm

Relacionando a ambas

1/9= e Tmt t− −( ) /2 1

0,111 = e-0,55/Tm entonces Tm=0,25 seg.

Parámetros de la válvula

• Cálculo de Kr : se relaciona el desplazamiento del vastago con la rata de flujo de salida.

Kr=15015

gpmpu, lg

.= 100 gpm/pulg

Parámetros del transductor diferencial de presión

• Cálculo de KT : ganancia del medidor de flujo

KT =16

160mAgpm

= 0,1 mA/gpm

Sustituyendo todos los parámetros encontrados, se construye el diagrama de bloques de

control mostrado en la figura 4.

R(s)

+

-

Función de tra

FTLA :

A continuación

0,0208 Q(s)

3

nsferencia d

G(jw) H(jw)

se presenta

Prop.

K1

Figura 1.21. Diagrama de bloques de control

e lazo abierto (FTLA)

=0 624

0 25 1,

( , )jw jw + (1)

el diagrama de Bode de esta FTLA.

s(1+0,25s)

100

0,1

1-27

Magnitud :

K = 0.624 20 logK -4,0963

jw –1 -20 Log w

(0,25jw+1) -1

wc =⎧⎨⎩

10 25,

w ww w

c

c

⟨⟨⟩⟩

20 1 0

20log

log=

− w

Fase: a) Para K =… 0º

b) Para jw –1 =… -90º

c) Para (0,25jw+1) -1 se construye la tabla siguiente :

w (rad) -arctg 0,25w Total (a + b + c) º

0,1 -1,432 º -91,432 º

0,5 -7,125 º -97,125 º

1 -14º -104 º

5 -51,34 º -141,34 º

10 -68,2 º -158,2 º

50 -85,43 º -175,43 º

100 -87,70 -177,7

1-28

10-1 100 101 102-100

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Gain dB

Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=81.24 deg. (w=0.6167)

10-1 100 101 102

0

-90

-180

-270

-360

Frequency (rad/sec)

Phase deg

Fig 1.22. Diagrama de Bode de )125.0(

625.0)(+

=jwjw

sGH

Función de transferencia de lazo cerrado (FTLC)

FTLC : Q sR s s s

( )( ) . ,

=+ +

254 22 5

(2)

Respuesta temporal a lazo cerrado

R(s) =8/s por lo que

Q(s)=2004 2 52s s s( , )+ +

=200

0 775 3 225s s s( , )( , )+ + (3)

q*(t)= 80+25,31e-3,225t-105,3e-0,775 (4)

q(t)= q*(t)+ 20gpm. (5)

1-29

25s +4s+2.52

Transfer FcnStep Input Auto-Scale

Graph

0 2 4 6 8 100

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

Tiempo

Flujo(gpm)

Figura 1.23 : Respuesta temporal del sistema a lazo cerrado con K1 = 1

Situación de los parámetros , obtenidos de las figuras 5 y 6.

Parámetro

s

Valor requerido Valor actual

tr < 400 mseg 3000 mseg

td < 200 mseg 1200 mseg

ts < 1000 mseg 7000 mseg

MF >60º 82 º

1-30

DISEÑO DE CONTROLADORES

Se debe decidir qué tipo de controlador se empleará de manera de alcanzar las

especificaciones : P ? PI ? PD ? PID ?

Análisis :

- Eliminamos PI porque el sistema en estudio es del Tipo1 y excitamos con un escalón, por lo

que ess=0

- Empezamos con control Proporcional (P)

De los datos anteriores se deduce que tenemos a un sistema lento, por lo tanto aumentando la

ganancia aumentamos la velocidad de respuesta del sistema.

Retomando las ecuaciones del sistema en estudio :

R(s)=8/s

FTLC=6 24

0 25 0 6241

21

,, ,

Ks s K+ +

∴ =+ +

Q sK

s s s K( )

( ,2004 2 5

12

1 )

w K radsegn = 2 5 1, y ξ =

410 1K

-Debemos evaluar K1∴ para varios valores de K1 calculamos Wn y ξ

-Sabemos que ξ optimos están en el rango 0,4 < ξ <0,8

K1 ξ Wn K1 ξ Wn

2 0.89 2,24 7 0,48 4,13

3 0,73 2,74 8 0,45 4,47

4 0,63 3,16 9 0,42 4,74

5 0,57 3,54 10 0,4 5

6 0,52 3,87 M M M

Auto-ScaleGraph

25s +4s+2.5K12

Transfer FcnStep Input

K1

Gain

1-31

0 1 2 3 4 50

20

40

60

80

100

120

k1=10

k1=8k1=4

k1=2

Figura 7. Respuesta temporal para varios valores de K1.

De la figura 7 se extrae que si aumenta K1 disminuye tr y aumenta Mp.

- ts se excede del valor especificado.

- Si se construye el Bode de la FTLA= 6 25

0 25 1,

( , )jw jw + se encuentra que el MF ≅ 42° lo

cual incumple con las especificaciones, entonces necesitamos un control adicional al P

para alcanzar especificaciones.

1-32

10-2 10-1 100 101 102-100

-50

0

50

Frequency (rad/sec)

Gain dB

Gm=Inf dB, (w= NaN) Pm=43.12 deg. (w=4.272)

10-2 10-1 100 101 102

0

-90

-180

-270

-360

Frequency (rad/sec)

Phase deg

Fig 8. Diagrama de Bode de )125.0(

25.6)(+

=jwjw

sGH

Se selecciona el P+D.

Se deja a K1=10 ya que el efecto derivativo D tiende a estabilizar el sistema.

Figura 9: Diagrama de bloques de control con PD

1-33

Recalculando las correspondientes funciones de transferencia de lazo abierto y cerrado

correspondientes, se obtiene :

(6) FTLA GHc= 0 832 3

43 1, ( /( )

k s k ks s

++

3 ) (8) Wn= 2 5 1, k =5

(7) FTLC=8 32 3

4 8 32 2 53 1 3

23 1

, ( / )( , ) ,

k s k ks k s

++ + + k

(9) ξ =4 0 833

2 2 53

1

+ ,,

Kk

Queremos calcular k3=Td ! !

Para ello decimos que el cero de FTLA es s=a donde a= -3k1/k3 a=-30/k⇒ 3 (10)

∴ =−

=−

= −ξ4 2 5

2 2 54 2 5

1000 4 2 51

1

1, /,

, /, , /

k ak

k aa (11)

Si suponemos ξ =0,704 e igualamos a (11) encontramos que

a ≤ -0,814 y k3 ≤ 3,7

Si graficamos la respuesta en tiempo con estos resultados encontramos :

1-34

0 0.5 1 1.5 2 2.50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

K3=5.5

K3=2K3=3.7

Fig 10. Respuesta transitoria de

15.2)3833.04(1333.833333.8)(

2 KsKsKsKsG⋅+⋅++

⋅⋅+⋅⋅= ante una escalón de

magnitud 8 y K1=10.

De la figura 10 se extraen los parámetros :

td<0,2seg tr<0,7seg Mp<10% ts>1seg.

Se intenta mejorar la respuesta temporal, de manera de ajustarse a las especificaciones, de

manera que los parámetros quedan como :

Td = K3 = 5.5

td = 0.12 seg.

tr= 0.59 seg.

ts = 0.5 seg.

Mp = 1.84

a = - 5.45 rad/seg.

ξ = 0.86

1-35

0 1 2 3 4 5 60

20

40

60

80

100

120

Tiempo

Flujo(gpm)

P+D

P

Sistema Original

Fig 11. Comparación del sistema sin compensar, con controlador P y controlador PD

1-36