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Capítulo IIEstimación de parámetros
[73]
Estimación puntual de parámetros
Explicaremos el tópico de la estimación puntual de parámetros,usando el siguiente ejemplo.
La Tabla Nº 2.1 contiene información de los salarios anualesy participación en un curso de gerencia educativa, de una mues-tra aleatoria de directores de colegios privados.
Tabla Nº 2.1: Salario anual y participación en el curso de gerenciaeducativa de una muestra aleatoria de 30 directores de colegios privados
Salario anual Asistió al curso Salario anual Asistió al curso( soles) ( soles)
9818,86 Sí 10353,20 Sí10652,78 Sí 10508,26 No9928,70 Sí 8996,00 Sí9978,98 Sí 10386,52 Sí9524,32 No 10594,60 Sí11184,80 Sí 9024,18 Sí9818,46 Sí 10350,60 Sí10280,88 Sí 10878,36 No10191,54 Sí 10032,84 No11021,94 Sí 10594,72 No9184,52 Sí 10048,26 No11453,68 No 10558,78 No11137,76 Sí 10195,88 Sí10312,94 No 11172,18 Sí11237,64 No 11461,82 No
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Se utiliza la notación 1x , 2x , etc., para indicar el salario anualdel primer director, del segundo, y así sucesivamente.
Por ejemplo, para estimar µ, la media de la población del sa-lario anual de los directores y, σ, la desviación estándar del sala-rio anual de los directores, se toman los datos de la Tabla Nº 2.1para calcular los valores de los correspondientes estadísticos: lamedia de la muestra X y la desviación estándar de la muestra S.Así, tenemos que en la muestra observada, la media del salarioanual de los directores es:
80.1036230
310884 === ∑n
xx i ,
y la desviación estándar:
( )54.669
296381.448288
1==
−−
= ∑n
xxs i
Por otro lado, si en dicha muestra se calcula la proporción delos directores que asistieron al curso de gerencia educativa, pode-mos estimar la proporción de directores en la población, π, queterminaron el curso de gerencia educativa. La tabla Nº 2.1 indicaque 19 de los 30 directores de la muestra terminaron el curso, en-tonces la proporción en la muestra, representada por p, es:
63,03019 ==p ; que se usa para estimar el parámetro π de la
población.
Al hacer los cálculos anteriores hemos efectuado el procedi-miento estadístico denominado estimación puntual. Usamos losdatos de la muestra para calcular un valor de un estadístico de lamuestra que sirva como estimación de un parámetro de la pobla-ción.
En la notación de la estimación puntual, se dice que X es elestimador puntual de la media poblacional µ, S es el estimadorpuntual de la desviación estándar poblacional σ, y que P es el es-timador puntual de la proporción π poblacional. A los valores nu-
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méricos de X , S o P, obtenidos en una determinada muestra seles llaman estimaciones puntuales del parámetro y los hemos de-notado con: X , s, p.
A continuación y para cualquier otro caso se resume la nota-ción:
1X , 2X , … nX , es una muestra aleatoria desde la poblacióndonde la variable aleatoria X tiene esperanza ( ) µ=XE , y varian-za ( )22 µσ −= XE ; ,1x ,2x …, nx son valores observados de lamuestra aleatoria.
Así, para la muestra de 30 directores, la estimación puntualde µ es de x = 10362.80 soles, la de σ es de 669.54 soles y la de Pes 0.63. La Tabla Nº 2.2 contiene un resumen de los resultados dela muestra y compara las estimaciones puntuales con los valoresreales de los parámetros de la población.
Como se observa a continuación, ninguna de las estimacio-nes puntuales son exactamente iguales a los parámetros poblacio-nales correspondientes. Se esperaba esta variación porque se estáusando sólo una muestra y no la información de toda la poblaciónpara obtener la estimación.
Parámetros Estimadores Estimación(Funciones)
µ: Promedio o media X : Promedio o media Valor numéricopoblacional muestral obtenido para X
nx
x i∑=
π: Proporción poblacional P: Proporción muestral p: valor numérico dela proporción muestra
σ: Desviación estándar S: Desviación
( )1
2
−−
= ∑n
xxs i
poblacional estándar muestral valor de la desviaciónestándar
7 4
Error de muestreo. El valor absoluto de la diferencia entreestimador insesgado y el parámetro poblacional correspondientese llama error de muestreo. Para la media muestral, la desviaciónestándar y la proporción muestral, los errores de muestreo son
µ−X , σ−S y π−P , respectivamente. Por tanto, para la mues-tra de directores de colegios, los errores de muestreo son
20.6371100080.10362 =−=− µx soles, 46.307005.669 =−=− σssoles para la desviación estándar muestral y
03.060.063.0 =−=− πP para la proporción muestral.En este caso pudimos calcular los errores de muestreo por-
que hemos supuesto que conocemos los parámetros poblaciona-les. Sin embargo, en una aplicación real de muestreo no podemoscalcular de manera exacta el error de muestreo, porque no se co-noce el valor del parámetro poblacional.
Propiedades de los estimadores puntuales
En la sección anterior hemos mostrado cómo se pueden usar lasestadísticas o estimadores: la media de la muestra X , la desvia-ción estándar muestral S y la proporción muestral P como estima-
Tabla Nº 2.2: Resumen de estimaciones puntuales obtenidas a partir de unamuestra Aleatoria simple de 30 directores de colegios
Parámetro de la Valor del parámetro Estimador Estimación población (en soles) puntualpuntual
µ: Promedio poblacional 11 000 X : Promedio x = 10 362.8del salario anual muestral del
salario anual
σ: Desviación estándar 700 S: Desviación s = 669.54poblacional del salario estándar muestralanual del salario anual
π: Proporción poblacional 0.60 P: Proporción muestral p = 0.63de directores que de directores queterminaron el curso terminaron el curso
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dores puntuales de sus correspondientes parámetros poblaciona-les, µ , σ y π . Resulta intuitivamente atractivo que cada uno deesos estadísticos de muestra sea estimador puntual de su paráme-tro poblacional correspondiente. Sin embargo, antes de emplearalgún estadístico de muestra como estimador puntual, se debecomprobar si tiene ciertas propiedades asociadas con los buenosestimadores puntuales. En esta sección describiremos de manerasucinta algunas propiedades de los buenos estimadores puntua-les: insesgamiento, eficiencia y consistencia.
En vista que se pueden emplear diversas estadísticas comoestimadores puntuales de distintos parámetros poblacionales, enesta sección usaremos la siguiente notación general:
θ : parámetro poblacional de interésθ̂ : estadístico de muestra o estimador puntual de θ .
La notación θ es la letra griega theta, y la notación θ̂ se llama"theta sombrero". En general, θ representa cualquier parámetrode la población, como por ejemplo la media poblacional, la des-viación estándar poblacional, la proporción poblacional, etc., θ̂representa la estadística o estimador correspondiente, como lamedia muestral, la desviación estándar muestral y la proporciónmuestral.
Estimador insesgado
Si el valor esperado de la estadística es igual al parámetro pobla-cional que se estima, se dice que esa estadística es un estimadorinsesgado del parámetro poblacional.
La estadística θ̂ es un estimador insesgado del parámetropoblacional θ , si:
( ) θθ =ˆE ,
donde ( )θ̂E es el valor esperado de la estadística θ̂ .
Al describir las distribuciones muestrales de la media y laproporción muestrales, dijimos que ( ) µ=XE y ( ) π=PE . Enton-
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ces, tanto X como P son estimadores insesgados de sus pará-metros poblacionales correspondientes, µ y π . También se pue-
de desmostrar que ( ) 22 σ=SE , es decir, 2S es un estimador inses-
gado de la varianza poblacional 2σ , donde ( )
1
2
2
−−
= ∑n
XXS i y
nX
X i∑= .
Estimador eficiente
Suponga que en una muestra aleatoria simple de n elementos setiene dos estimadores puntuales insesgados,
1̂θ y 2̂θ del mismoparámetro poblacional θ , entonces, preferiremos usar el esti-mador puntual con la menor desviación estándar, porque tiendea proporcionar una estimación más cercanas al parámetro pobla-cional.
Si ( ) ( ) θθθ == 21ˆˆ EE y ( ) ( )21
ˆˆ θθ VarVar < → 1̂θ es más efi-ciente que 2̂θ . Se dice que 1̂θ es un estimador puntual insesgadocon menor desviación estándar y tiene mayor eficiencia relativaque el estimador 2̂θ .
Estimador consistente
Una tercera propiedad asociada con los buenos estimadores pun-tuales es la consistencia. Hablando en términos generales, un esti-mador puntual es consistente si sus valores tienden a acercarse alparámetro de la población conforme se incrementa el tamaño dela muestra. En otras palabras, un tamaño de muestra grande tien-de a proporcionar un mejor estimador puntual que un tamaño
pequeño. Observe que en el capítulo anterior se vio que la desvia-
ción estándar de la media muestral X , fue nXσσ = . Como Xσ
se relaciona con el tamaño de la muestra, de tal manera que las
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muestras mayores dan menores valores de Xσ , llegamos a la con-clusión que un tamaño de muestra mayor tiende a producir esti-maciones puntuales más cercanas a la media de la población µ. Eneste sentido, se dice que la media muestral, X , es un estimadorconsistente de la media poblacional µ. Con el mismo razonamien-to podemos llegar a la conclusión que la proporción muestral P esun estimador consistente de la proporción poblacional π y S es unestimador consistente de σ.
Estimación por intervalos en poblacones normales
Introducción
Aunque X es un buen estimador puntual de µ, es obvio señalarque hay una discrepancia (error) entre X y µ,; entonces para con-fiar en X como estimador de µ, se debe conocer el error µ−= Xey el riesgo de error; vale decir hay que encontrar la precisión delestimador.
En este caso, la explicación para los estimadores se refiere alos estimadores puntuales y el concepto se denomina estimaciónpuntual; es decir, dado un parámetro, por ejemplo µ, se estimacon un valor de X , x . Una deficiencia de los estimadores puntua-les es que no están vinculados a un juicio de probabilidad y que nose puede establecer la probabilidad que hay de que X sea igual a µ.
Otra manera de estimar µ, es que éste se encuentre entre dosvalores a y b, a lo que se llama estimación por intervalo.
Por ejemplo, se dirá que la calificación media de las notas delcurso de estadística está entre 15 y 18 puntos, de modo que
1815 ≤≤ µ .La estimación por intervalos consiste en atribuir al paráme-
tro que se desee estimar no un valor concreto sino un rango devalores entre los que se espera que puede encontrarse el verdade-ro valor del parámetro con una probabilidad alta y conocida.
El rango de valores entre los cuales con determinada proba-bilidad se encuentra el parámetro, se denomina intervalo confi-
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dencial y tiene por limites confidenciales a los valores LI (LímiteInferior) y LS (Límite Superior).
Se llama nivel de confianza ( )α−1 a la probabilidad que elintervalo construido incluya el verdadero valor del parámetro, porejemplo a µ.
Para construir intervalos de confianza, necesitamos saber ladistribución teórica de la estadística utilizada como estimador.Conocida esta distribución podemos conocer la probabilidad aso-ciada a cada uno de sus valores.
A continuación presentaremos la metodología para encontrarlos intervalos de confianza para algunos parámetros.
Intervalos de confianza para la media con varianza conocida
Consideremos una población con distribución normal donde estádefinida una variable aleatoria X con media desconocida µ y va-rianza 2σ conocida, cuya notación es ( )1,0N . Encontraremos unintervalo de confianza para la media poblacional µ.
En el capítulo anterior hemos visto, que para una muestra alea-toria, nXX ,...,1 , tomada de la población anterior, la variable alea-
toria media muestra, X , se distribuye normalmente con media µ
y varianza n
2σ. Por tanto, la variable estandarizada n
XZ/σ
µ−= se
distribuye ( )1,0N .
Para α > 0, es posible hallar el percentil )21( α−
z de la distribu-ción normal, para el cual:
( ) ααα −=≤≤− −− 1)2/1()2/1( zZzP . Luego se tiene que:
)2/1()2/1( / αα σµ
−− ≤−≤− zn
Xz .
Así, el intervalo para µ con un nivel de confianza )1( α− es:
( ) ( ) nzX
nzX σµσ
αα 2/12/1 −− +≤≤− .
7 9
( ) ( ) nzx
nzx σµσ
αα 2/12/1 −− +≤≤− , (2.1)
Por ejemplo, al nivel de confianza del 95% ( 05,0=α ), un in-tervalo de confianza para µ es:
nx
nx σµσ 96.196.1 +≤≤− .
Al nivel de confianza del 99% ( 01,0=α ), el intervalo de con-fianza para µ es:
nx
nx σµσ 58.258.2 +≤≤−
Observemos que cuando se observa la muestra los estimado-res se reemplazan por las respectivas estimaciones.
Ejemplo 2.1
Una muestra aleatoria de 100 estudiantes de Administración Edu-cativa respondió a una prueba de inteligencia espacial. En esamuestra se obtuvo una media de 80 puntos y se conoció que en lapoblación la desviación típica era 1 punto. Obtendremos un inter-valo de confianza para hallar la verdadera inteligencia espacial
Luego, un intervalo de confianza al nivel )1( α− , para lamedia poblacional µ, cuando ya se observó la muestra de ta-maño n es:
2α
)21( α−z
2α
)21( α−z
8 0
media de los estudiantes de Administración Educativa, con unnivel de confianza de 0.99.
Solución
Para 01.0=α , en la tabla normal se obtiene )2/1( α−z = teóricoz = 2.58.Se sabe que 1=σ y 80=x .
Reemplazando en (2.1) tenemos:
nx
nx σµσ 58.258.2 +≤≤−
( ) ( )100158.280
100158.280 +≤≤− µ
258.080258.080 +≤≤− µ26.8074.79 ≤≤ µ
Luego, la verdadera inteligencia espacial media de los estu-diantes de Administración Educativa se encontrará entre 79.74 y80.26, con un nivel de confianza del 99%.
Intervalo de confianza para la media poblacional cuando la varianza esdesconocida(muestras pequeñas)
En poblaciones normales con varianza desconocida, el intervalopara estimar µ , al nivel de confianza de ( )α−1 , es:
( ) ( ) nStX
nStX 2/12/1 αα µ −− +≤≤− ,
donde: )2/1( α−t = teóricot es la abscisa de la distribución t-Student con
1−n grados de libertad, ( )[ ]2
1)2/1(1α
α −=< −− ttP n y ( )
1
2
−
−=
∑n
XXS
i.
Ejemplo 2.2
8 1
Una muestra aleatoria de 20 estudiantes de la Facultad de Educa-ción responden a una prueba de inteligencia espacial, obtenién-dose una media de 70 y una desviación típica de 1 ¿Entre qué lí-mites se hallará la verdadera inteligencia espacial media de losestudiantes de Educación, con un nivel de confianza 0.95?. Supongaque los puntajes medios de la prueba de inteligencia espacial sedistribuyen normalmente.
Solución
Si 025.02/ =α en la tabla t-Student se encuentra: teóricott =− )2/1( α =
)19,975.0(t = 2.091 y en la muestra observada se tiene: 1=s 70=x .Luego, un intervalo de confianza del 95% para µ es:
( ) ( ) nstx
nstx 2/12/1 αα µ −− +≤≤− (2.2)
201091.270
201091.270 +≤≤− µ
4676.0704676.070 +≤≤− µ 47.7053.69 ≤≤ µ
Luego, la verdadera inteligencia espacial media de los estu-diantes de Educación se encuentra entre 69.53 y 70.47, con un ni-vel de confianza del 95%.
Intervalos de confianza para la media con varianzadesconocida en muestras grandes (cualquier distribución)
Cuando el tamaño de muestra que se toma es suficientemente gran-de (mayor que 30), aún cuando no se conozca la distribución de lavariable X , por el teorema del límite central:
n
XZ σ
µ−=
y n
SX
tµ−
=
8 2
tienen distribución aproximadamente normal y pueden usarsepara construir los intervalos de confianza referentes a la mediapoblacional.
El intervalo de confianza al nivel ( )α−1 para la media po-blacional µ, con σ desconocido y en muestras grandes es:
( ) ( ) nSzX
nSzX 2/12/1 αα µ −− +≤≤− .
Ejemplo 2.3
Para estimar el promedio de los salarios docentes de una univer-sidad, se tomó una muestra aleatoria de 50 docentes, donde seencontró que la media de los sueldos es 840.1 soles y la varianzaes 122.44 (soles)2.
Obtendremos un intervalo de confianza del 95% para esti-mar la media de los salarios de todos los docentes de esa uni-versidad.
Solución
1.840=x soles, 50=n 07.1144.122 ==s soles.
A pesar que no se conoce la distribución poblacional de lossalarios, como la muestra es grande nos basamos en el teoremadel límite central. Así, para 05.0=α el valor de )2/1( α−z = 1.96.
Luego, un intervalo para µ, al nivel de confianza del 95% es:
( ) ( ) nszx
nszx 2/12/1 αα µ −− +≤≤− (2.3)
5007.1196.11.840
5007.1196.11.840 +≤≤− µ
17.84303.837 ≤≤ µ
El intervalo de confianza al nivel del 95% para la media de
8 3
los salarios de todos los docentes de esa universidad, es (837.03so-les, 843.17 soles).
Ejemplo 2.4
Se diseñó un estudio de muestreo para estimar la deuda de tarje-tas de crédito anual de los docentes universitarios peruanos. Unamuestra de 85 clientes docentes universitarios proporcionó losbalances de tarjetas de crédito que aparecen en la tabla siguiente.Se va a construir un intervalo de confianza de 95% para la media
poblacional del balance promedio poblacional de tarjetas de cré-dito por docente universitario.
Los cálculos para obtener la media y desviación estándar sonmuy tediosos, por lo que nos auxiliaremos en el Software SPSS.Los interesados en mayores detalles pueden remitirse a la biblio-
Tabla Nº 2.3. Balances de tarjeta de crédito en dólares anualespara una muestra de 85 clientes docentes universitarios
9619 5994 3344 7888 7581 99805364 4652 13627 3091 12545 87188348 5376 968 943 7959 84527348 5998 4714 8762 2563 4935381 7530 4334 1407 6787 59382998 3678 4911 6644 5071 52661686 3581 1920 7644 9536 106581962 5625 3780 11169 4459 39104920 5619 3478 7979 8047 75035047 9032 6185 3258 8083 15826921 13236 1141 8660 21535759 4447 7577 7511 80038047 609 4667 14442 67953924 414 5219 4447 59153470 7636 6416 6550 7164
8 4
grafía: Estadística Descriptiva con soporte en SPSS y MATLAB(Gómez et al., 2005).
Solución
a) Iniciar la sesión y activar SPSS.b) Crear el archivo de datos con la variable balance, guardar y
ejecutar los siguientes comandos:ANALIZE / DESCRIPTIVE STATISTICS / DESCRIPTIVES/ Seleccionar la variable BALANCE / OPTIONS / activarMEAN Y STD DEVIATION / CONTINUE / Y OK para eje-cutar.El output del SPSS es:
Mean Std.Deviation
5900 3058
donde la media y la desviación estándar en la muestra son:5900=x y 3058=s dólares.El valor del cuantil )21( α−
z de la distribución normal96.1975,0)
21(
===− teóricozzz α
.
Un intervalo para µ al nivel de confianza del 95% es:
( ) ( ) nszx
nszx 2/12/1 αα µ −− +≤≤−
85305896.15900
85305896.15900 +≤≤− µ
78.650590078.6505900 +≤≤− µ
78.655022.5249 ≤≤ µ
La media poblacional del valor de las tarjetas de crédito para
8 5
los docentes universitarios peruanos está entre 5249.22 y 6550.78dólares anuales, con un nivel de confianza del 95%.
Intervalo de confianza para la proporción poblacional
Para estimar la proporción poblacional π, se usa el siguiente re-
sultado: Por el capítulo 1 tenemos que ( )n
PPP
−−1
π ~ ( )1,0N , a par-
tir del cual se construye el siguiente intervalo de confianza al ni-vel )1( α− , para la proporción poblacional π:
( )( )
( )( )
nPPzP
nPPzP −+≤≤−− −−
112/12/1 αα π
donde:
P es el estimador del parámetro proporción en la población, π;
)2/1( α−z es el percentil de la distribución normal.
Ejemplo 2.5
En una encuesta de opinión, 320 estudiantes entrevistados de laFacultad de Educación declararon estar a favor del candidato delpartido político de gobierno a la Presidencia de la República.a. Hallar un intervalo de confianza, al nivel del 95% para esti-
mar la proporción a favor.b. Hallar un intervalo de confianza, al nivel del 99% para esti-
mar la proporción a favor.La muestra total fue de 400 estudiantes.
Solución
A un nivel de confianza del 95%, ( ) 96.12/1 =−αz .
La proporción de estudiantes que votan por el partido políti-
8 6
co en la muestra es 80.0400320 ===
nap .
Un intervalo de confianza al nivel del 95%, para la propor-ción poblacional π es:
( )( )
( )( )
nppZp
nppZp −+≤≤−− −−
112/12/1 αα π (2.4)
( ) ( )
40020.080.096.180.0
40020.080.096.180.0 +≤≤− π
8392.07608.0 ≤≤ π
El intervalo al nivel del 95% de confianza para la proporciónde estudiantes en la población que votan por el partido político es( 76.08%, 83.92%).
Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblacionescon varianzas conocidas
Si 1X y 2X son variables aleatorias independientes con distribu-ciones ( )2
11,σµN y ( )222 ,σµN respectivamente; entonces, las me-
dias muestrales 1X y 2X , correspondientes a muestras aleatorias
de tamaño 1n y 2n , tienen las siguientes distribuciones
1
21
1, nN σµ
y
2
22
2 ,n
N σµ . Luego, la variable aleatoria 21 XX − es-tandariza-
da, ( ) ( )
2
22
1
21
2121
nn
XXZσσ
µµ
+
−−−= , tiene distribución )1,0(N , donde
2
22
1
21
21 nnXX
σσσ +=−.
8 7
Cabe señalar que si los tamaños de muestra son grandes, apesar de que las variables 1X y 2X no tienen distribución nor-
mal, la variable estandarizada, ( ) ( )
2
22
1
21
2121
nn
XXZσσ
µµ
+
−−−= , tiene dis-
tribución aproximadamente normal.
A partir de una muestra aleatoria de tamaño n1 para la varia-ble 1X y de una muestra de tamaño n2 para la variable 2X , varia-bles independientes, un intervalo para estimar la diferencia demedias µ1 - µ2, al nivel de confianza del ( ) %1001 α− es:
2121 )2/1(2121)2/1(21 XXXX zxxzxx −−−− +−≤−≤−− σµµσ αα (2.5)
Ejemplo 2.6
En un sistema educativo se aplicaron dos métodos A y B para en-señar el curso de física. En un grupo de 80 estudiantes se aplicó elmétodo A y en el otro de 120 se aplicó el método B. Las medias delas calificaciones obtenidas fueron 12.2 y 10.5 respectivamente.¿Podemos admitir que los métodos de enseñanza no son diferen-tes y que las diferencias encontradas en las muestras se debe alazar?. Experiencias anteriores dicen que las variables 1X y 2Xque representan los rendimientos con los métodos A y B respecti-vamente, tienen distribución aproximadamente normal con des-viaciones estándar 5.11 =σ puntos y 5.02 =σ puntos. 05.0=α .
Construiremos un intervalo de confianza al 95% para la dife-rencia de los rendimientos promedio en la población.
Solución
Grupo 1 Grupo 2
251 =n 202 =n2.121 =x puntos 5.102 =x puntos
8 8
2
22
1
21
21 nnXX
σσσ +=− = ( ) ( ) 32.00125.009.0
205.0
2515 22
=+=+
Basados en el teorema del límite central, el intervalo de con-fianza del 95% es:
2121 )2/1(2121)2/1(21 XXXX zxxzxx −−−− +−≤−≤−− σµµσ αα (2.6)
( ) ( )32.096.1)5.102.12(32.096.1)5.102.12( 21 +−≤−≤+− µµ
6272.07.16272.07.1 21 +≤−≤− µµ
3272.20728.1 21 ≤−≤ µµ
Con una confianza del 95% la diferencia en los rendimientospromedio de todos los estudiantes del curso de física está entre1.07 puntos y 2.33 puntos.
Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblacionescon varianzas desconocidas, muestras grandes (cualquier distribución)
Cuando se trata de muestras grandes con varianzas desconoci-das, el intervalo de confianza al nivel )1( α− para la diferencia demedias 21 µµ − es:
2121 )2/1(2121)2/1(21 XXXX SzXXSzXX −−−− +−≤−≤−− αα µµ
donde:
2
22
1
21
21 nS
nSS XX +=− .
Ejemplo 2.7
8 9
En una muestra aleatoria de 36 alumnos de la maestría deeducación, la media de edades es 401 =x años y 92
1 =s años yen otra muestra aleatoria de 49 alumnos en la maestría de cienciassociales, la media de edades de los alumnos es 351 =x años y des-viación estándar 102
2 =s de años. Vamos a obtener el interva-lo de confianza del 95% para la diferencia de medias en la pobla-ción.
Solución
6739.04910
369
2
22
1
21
21=+=+=− n
snss XX
En muestras grandes, con el valor de y con los valores obtenidosen la muestra se tiene:
2121 )2/1(2121)2/1(21 )()( XXXX szxxszxx −−−− +−<−<−− αα µµ (2.7)
( ) ( )6739.096.1)3540(6739.096.1)3540( 21 +−≤−≤−− µµ
321.6679.3 21 ≤−≤ µµ
Entonces, con un nivel de confianza del 95%, el intervalo parala diferencia entre las medias de las edades de las dos poblacionesde alumnos está entre 3.68 y 6.3 años.
Intervalo de confianza para la diferencia de medias de dos poblacionescon varianzas desconocidas e iguales(muestras pequeñas)
Como la varianza poblacional es desconocida, tiene que ser esti-mada y en lugar de la variable estandarizada Z, se tiene la varia-ble aleatoria:
( ) 11
)(
21
2
2121
+
−−−=
nnpS
XXt µµ , cuya distribución es t-Student con
9 0
( )221 −+ nn grados de libertad y se denota con t nn( )221
−+ . Como
hay 11 −n grados de libertad asociados con la muestra aleatoriade la población 1, y 22 −n grados de libertad para la población 2,la distribución t tendrá )2( 21 −+ nn grados de libertad.
El estimador de la varianza poblacional es
( ) ( )2
11
21
221
2112
−+−+−
=nn
nn SSSp .
Si 2pS es el estimador de 2σ , entonces el estimador puntual
de 21 XX −σ cuando 22
221 σσσ == es
+=−
21
2 1121 nn
SS pXX.
Ahora se puede emplear la distribución t-Student para en-contrar un intervalo de confianza para la diferencia entre las me-dias de las poblaciones.
Si se observa una muestra aleatoria de tamaño n1 para la va-riable 1X y una muestra de tamaño n2 para la variable 2X , donde
1X y 2X son variables independientes con varianzas desconoci-das, el intervalo para estimar la diferencia de medias 21 µµ − , alnivel de confianza ( ) %1001 α− es:
2121 )2/1(2121)2/1(21 )()( XXXX stxxstxx −−−− +−≤−≤−− αα µµ (2.8)
donde:
+=−
21
2 1121 nn
ss pXX y para 0>α , ( )teóriconn ttP <−+ 2( 21
= 1-α,
entonces en la tabla t-Student se encuentra el valor de )2/1( α−t =
)(teóricot , la abscisa de la distribución t-Student con 221 −+ nn gra-dos de libertad.
Ejemplo 2.8
Con el fin de comparar los promedios de tiempo, en que los traba-
9 1
jadores de una determinada universidad de dos turnos diferentesA y B, realizan una tarea, se registraron los tiempos correspon-dientes a 9 trabajadores de cada uno de los turnos. Para el turno Ase obtuvo:
32 min, 37min, 35min, 28min, 41min, 44min, 35min, 31min, 34miny para el turno B: 35min, 31min, 29min, 25min, 34min, 40min,27min, 32min, 31min.
Encontraremos un intervalo de confianza del 95% para la di-ferencia entre las medias de los tiempos de las tareas realizadaspor los trabajadores de los turnos A y B.
Solución
Supongamos que esos tiempos se distribuyen normalmente y quelas varianzas de los mismos son iguales. Utilizaremos el SPSS pararesolver encontrar las medias y varianzas de las muestras.a) Iniciar la sesión y activar SPSS.
b) Crear el archivo de datos con las variables tiempoA y tiem-poB. Después de crear la base de datos ejecutar los siguientescomandos:ANALIZE / DESCRIPTIVE STATISTICS / DESCRIPTIVES/ Seleccionar las variables TIEMPOA y TIEMPOB/ OPTIO-NS / activar MEAN Y STD DEVIATION / CONTINUE / OK.El output del SPSS nos muestra:
Se obtiene el valor de la varianza combinada:
( ) ( ) ( ) ( )16
48,4894,482
11 22
21
222
2112 +=
−+−+−=
nnsnsnsp
Statistics
Tiempo A Tiempo B
N 9 9Mean 35.22 31.56Std. Deviation 4.94 4.48
9 2
24.2216
76.35516
56.16020.195 ==+= ,
y la estimación de la desviación estándar para la diferenciade medias es:
.21.289.4
91
9124.2211
21
221
==
+=
+=− nn
ss pXX
Con 16299221 =−+=−+ nn grados de libertad, 05.0=α ,se cumple ( )teóricottP <)16( = 0.975, entonces en la tabla t-Studentse encuentra el valor de 12.2)2/1( ==− teóricott α .
El intervalo de 95% de confianza para la diferencia de mediaspoblacionales es:
2121 )2/1(2121)2/1(21 )()( XXXX stxxstxx −−−− +−≤−≤−− αα µµ
( )( ) ( )( )21.212.2)56.3122.35(21.212.2)56.3122.35( 21 +−≤−≤−− µµ
35.803.1 21 ≤−≤− µµ
Así, con un nivel de confianza del 95%, la diferencia de lostiempos medios de las tareas realizadas para todos los trabajado-res de los turnos A y B se encuentra entre -1.03 minutos y 8.3 mi-nutos.
Intervalo de confianza para la diferencia entre las proporciones de dospoblaciones
En las poblaciones 1 y 2, con respectivas proporciones poblacio-nales 1π y 2π (de estudiantes, profesores, etc., para ser más gené-ricos, de "unidades"), con determinados atributos; se desea encon-trar un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones
21 ππ − .Los parámetros que son las proporciones poblacionales tie-
nen como estimadores en cada una de las muestras: 1
1 nAP = y
9 3
12 n
BP = , donde A es el número de elementos con el atributo de
interés en la primera muestra y B es el número de elementos conel mismo atributo en la segunda muestra. Cuando las muestras son
suficientemente grandes, la estadística ( )
( )
+−
−−−
21
2121
111
)(
nnPP
PP ππ tiene dis-
tribución aproximadamente normal, donde 21
2211
nnPnPnP
++= . Una
estimación común de πππ == 21 , es 21
2211
nnpnpnp
++= .
El intervalo de confianza ( )α−1 % para la diferencia de pro-porciones es:
pp SzPPSzPP )2/1(2121)2/1(21 )()( αα ππ −− +−≤−≤−− ,
donde
+−=
21
11)1(nn
PPSp .
Ejemplo 2.9
Al Ministerio de Educación le interesa comparar la calidad deltrabajo que se realiza en las oficinas regionales rurales del norte ydel sur. Se seleccionan muestras aleatorias de expedientes de do-
Expedientes Oficina Oficinaregional norte regional sur
Número expedientes analizados 250 300
Número de expedientes con errores 35 27
centes que trabajan en las áreas rurales norte y sur, que solicitantraslado a áreas metropolitanas, para obtener un intervalo de con-fianza para la diferencia entre las proporciones de expedientes conerrores en las dos zonas rurales. A continuación se tiene el núme-
9 4
ro total de expedientes y el número de expedientes con errores encada una de las oficinas regionales.Solución
π1: Proporción de expedientes con error en la oficina regional nor-te, en la población.
π2: Proporción de expedientes con error en la oficina regional sur,en la población.
p1: Proporción de expedientes con error en la oficina regional nor-te, en la muestra.
p2: Proporción de expedientes con error en la oficina regional sur,en la muestra.
=1p 14.025035 = =2p 09.0
30027 =
21 pp − = 0.05
21
2211
nnpnpnp
++= =+=
550)09.0(300)14.0(250p 0.1127
+−=
21
11)1(nn
ppsp =
+
3001
2501)8873.0(1127.0 = 0.027
Para un nivel de confianza del 90%, en la tabla normal seencuentra 645.195,0)2/1( ==− zz α . Luego:
pp szppszpp )2/1(2121)2/1(21 )()( αα ππ −− +−≤−≤−− (2.9)
( ) ( )0275.0645.1)09.014.0(0275.0645.1)09.014.0( 21 +−≤−≤−− ππ 045.005.0045.005.0 21 +≤−≤− ππ
095.0005.0 21 ≤−≤ ππ
Con un nivel de confianza del 90%, la diferencia entre las ta-sas de errores de todos los trabajadores de las dos oficinas, se en-cuentra entre 0.5% y 9.5%.
Intervalo de confianza para la varianza de una población
9 5
En secciones anteriores describimos métodos de inferencia esta-dística, donde intervenían medias y proporciones poblacionales.En esta sección ampliaremos el campo a casos donde intervieneninferencias acerca de varianzas de la población.
En el capítulo anterior utilizamos la varianza muestral( )
1
2
2
−−
= ∑n
XXS i , como estimador puntual de la varianza pobla-
cional 2σ .
Figura Nº 3.1: Ejemplos de la Distribución Muestral de ( ) 22 /1 σSn −(Distribución Ji Cuadrado)
Con 2 grados de libertad Con 5 grados de libertad
Con 10 grados de libertad
0 ( )2
21σ
Sn −
Figura Nº 3.2: Distribución Ji cuadrado con 1−n grados de libertad
Siempre que se selecciona una muestra aleatoria simple del
tamaño n de una población normal, la expresión: ( ) 2
2
1σSn − , tiene
una distribución ji-cuadrado con 1−n grados de libertad.
Usaremos el símbolo 2αχ para representar el valor de la dis-
tribución Ji-cuadrado que da como resultado un área, o probabili-
2/α
2/αα−1
22/αχ 2
2/1 αχ −0
9 6
dad, de α a la derecha del valor establecido.Usando esta distribución se obtiene los percentiles
2)2/(αχ y
2)2/1( αχ − de tal manera que cada una de las áreas que se indican en
la siguiente figura sean iguales a 2/α .
Así que,
( ) αχ
σχ αα −=
≤−≤ − 11
2/12
2
2/SnP
Luego, el intervalo para 2σ , al nivel de confianza α−1 , es:
( ) ( )2
2/
22
22/1
2 11
αα χσ
χSnSn −≤≤−
−,
donde los valores de 2χ son los percentiles de la distribuciónchi-cuadrado con 1−n grados de libertad, y α−1 es el coeficientede confianza.
Ejemplo 2.10
Una muestra aleatoria de 20 estudiantes de la especialidad de bio-logía ha rendido el examen de matemáticas, en el que ha obtenidouna media de 72=x puntos con varianza 162 =s puntos. Supon-dremos que las calificaciones se distribuyen normalmente y cons-truiremos un intervalo de confianza para la varianza poblacionalde puntajes, 2σ , con un nivel de confianza del 90%.
Solución
20=n , 162 =s puntos2, 72=x puntos.
Para el nivel de confianza 95.01 =− α , los valores de los per-centiles de la distribución ji-cuadrado con 191 =−n grados de li-bertad son 12.102
05.0 =χ y 14.30295.0 =χ . Así:
( ) ( )2
2/
22
22/1
2 120120
αα χσ
χss −≤≤−
−(2.10)
9 7
( ) ( )12.10
1612014.30
16120 2 −≤≤− σ
043020910 .ó. ≤≤
Luego, con el nivel de confianza del 90%, la varianza poblacio-nal de puntajes se encuentra entre 10.09 puntos2 y 30.04 puntos2.
Ejercicios
Para una muestra aleatoria de 6 estudiantes matriculados en elcurso de estadística se tiene los tiempos en horas semanales quededican a estudiar: 5 8 10 7 10 14a. Defina la variable de interés.b. Caracterice la media poblacional y la varianza poblacional.c. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de la media de la
población? Interprete.d. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de la desviación
estándar de la población?.
A una muestra aleatoria de 150 alumnos de la universidad,se le preguntó si había estudiado el idioma inglés. 75 respondie-ron Sí, 55 respondieron No y 20 no opinaron.a. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de la proporción
de la población que responde Sí?.b. ¿Cuál es el valor de la estimación puntual de la proporción
de la población que respondió No?.c. Encuentre el intervalo de confianza del 90% para la propor-
ción poblacional que respondieron Sí.
Fuente de ingresos Frecuencia
Propina sólo domingos 149Quehaceres, dádivas y domingos 219Quehaceres y dádivas, no domingos 251Nada 165
T o t a l 784
9 8
A una muestra aleatoria de 784 niños, cuyas edades fluctua-ban de 9 a 14 años, se les preguntó en qué forma conseguían dine-ro de sus padres (Consumer Reports, enero de 1997). las respues-tas fueron las siguientes:
a. ¿Qué proporción de niños recibe propina sólo los domingos?.b. ¿Qué proporción de niños recibe dinero por quehaceres y dá-
divas, pero no recibe los domingo?c. ¿Qué proporción de niños recibe dinero por quehaceres, dá-
divas y también domingos?
El departamento de transporte en Estados Unidos, publicaestadísticas de llegadas, antes o después del horario programado,de los principales vuelos ( Associated Press, 8 de septiembre de2000). Suponga que la proporción estimada de vuelos que llegana tiempo, para todas las aerolíneas, se basa en una muestra aleato-ria de 1400 vuelos. Si 1117 llegan a tiempo, ¿cuál es la estimaciónpuntual de la proporción de vuelos que llegan a tiempo?.
Encuentre el intervalo de confianza del 90% para la propor-ción poblacional de vuelos que llegan a tiempo.
Louis Harris encuestó a una muestra aleatoria de 108 adultospara conocer su opinión acerca de la educación (Education Week,7 de agosto de 2000). Las respuestas fueron las siguientes:
595 adultos: la está mejorando332 adultos: la educación permanece igual.81 adultos: la educación está empeorando.
Encuentre la estimación puntual de los siguientes parámetrosde la población:a. La proporción de adultos que opinan que la educación está
mejorando.b. La proporción de adultos que piensan que la educación per-
manece igual.c. La proporción de adultos que piensan que la educación está
9 9
empeorando.
Para estimar la media del consumo (dólares) en el restaurantede una gran universidad, se tomó una muestra de 49 profesores.Suponga una desviación estándar poblacional de 5 dólares.
Si la media en la muestra fue 24.80 dólares mensuales. ¿Cuálfue el intervalo de confianza del 95% para el consumo medio po-blacional?.
En una muestra aleatoria de 20 alumnos en el curso de esta-dística aplicada a la educación, se encontró una media de 70 pun-tos y una desviación típica de 9 puntos en las calificaciones fina-les. Encuentre el intervalo de confianza del 90% para la media detodas las calificaciones, suponiendo que se distribuyen normal-mente.
Quince alumnos de un colegio fueron pesados, obteniéndose:42.70 kg. 43.48 kg 49.68 kg. 42.78 kg. 43.18 kg. 42.56 kg. 42.76 kg.42.87 kg. 42.95 kg. 43.39 kg. 42.01 kg. 43.06 kg. 41.60 kg. 43.20 kg.43.10 kg. Suponiendo que los pesos se distribuyen normalmente,obtenga el intervalo de confianza del 99% para la media de lospesos de todos los estudiantes del colegio.
Los estudiantes de la Facultad de Educación de una uni-versidad de prestigio pudieron elegir entre un curso de esta-dística sin laboratorio de tres horas semanales y otro curso deestadística con laboratorio de cuatro horas semanales. El exa-men escrito final fue el mismo para las dos secciones. Si 12 estu-diantes de la sección con laboratorio tuvieron una calificación pro-medio de 84 con una desviación estándar de 4, y 18 estudiantes dela sección sin laboratorio alcanzaron una calificación promedio de77 con una desviación estándar de 6, encuentre un intervalo deconfianza del 99% para la diferencia entre las calificaciones pro-medio de los dos cursos. Suponga que las poblaciones se distribu-yen de manera aproximadamente normal con varianzas iguales.
En un estudio que realizó la universidad de Cornell acerca delas diferencias salariales entre hombres y mujeres se dio a conocerque una de las razones por las que los salarios de los hombressean mayores que los salarios de las mujeres es que, los hombres
1 0 0
tienden a acumular más años de experiencia que las mujeres (Bu-siness Wek, 28 de agosto de 2000). Se tomaron dos muestras alea-torias independientes y se encontró:
a. ¿Cuál es la estimación puntual de la diferencia de mediaspoblacionales de los salarios de hombres y mujeres?.
b. Encuentre el intervalo de confianza del 95% para la diferen-cia entre las dos medias poblacionales.
Un grupo de investigadores desea estimar la diferencia entrelas medias de los ingresos anuales de familias en dos zonas de
Hombres Mujeres
9.141 =x años de trabajo 3.102 =x años de trabajo
2.51 =s 8.32 =s años
1001 =n 852 =n
Zona 1 Zona 2
700151 =x soles 500142 =x soles
7001 =s soles 500142 =s soles
81 =n 122 =n
Lima Metropolitana. En muestras aleatorias independientes defamilias residentes en las dos zonas se encontró los siguientes re-sultados:
a. Encontrar la estimación puntual para la diferencia entre lasmedias de los ingresos de las dos zonas
b. Determine un intervalo de confianza del 95% para esa dife-rencia?.
c. ¿Qué suposiciones hizo para encontrar el intervalo en el
1 0 1
inciso b?.
Una encuesta de Gallup, en 1994, determinó que el 16% de505 varones y 25% de 496 mujeres encuestados en una universi-dad, estuvieron a favor de prohibir la venta libre de cerveza, vi-nos y licores en el país. Encuentre un intervalo de confianza de95% para la diferencia entre las proporciones de mujeres y varo-nes de esa universidad que estuvieron a favor de la prohibición.
Usted es un inspector de escuelas públicas y realiza un experi-mento para investigar si la habilidad en lectura de los estudiantesde primer año de secundaria ha mejorado o no. Si en una muestraaleatoria de 185 estudiantes de esta población encuentra una habili-dad media de lectura igual a 75 palabras por minuto, encuentre elintervalo de confianza del 90% para la habilidad media en lecturade todos los estudiantes de primer año de secundaria.
El Director Académico del centro pre universitario de la UFVtiene la percepción que el rendimiento académico durante el pri-mer año de estudios en la universidad, de los alumnos ingresan-tes a través de la institución que dirige, ha sufrido cambios en losúltimos años. Para confirmar su percepción llevó a cabo un estu-dio, para el que escogió una muestra aleatoria de 150 alumnosque ingresaron el año 2004 a través del centro pre universitario ypidió al sistema de matrícula el rendimiento de cada uno de estosalumnos durante el año académico 2004. Para dicha muestra ob-tuvo de rendimiento promedio 14.5 puntos con desviación están-dar 0.5 puntos. Suponga normalidad y encuentre el intervalo deconfianza del 90% para la media poblacional del rendimiento.Caracterice con precisión los parámetros poblacionales.
Para determinar el efecto sobre el desarrollo psicológico delos escolares que tienen que viajar a la escuela en ómnibus de ser-vicio público, se tomó una prueba de ansiedad a un grupo de 40escolares que usan este sistema de transporte y a 30 escolares que
en ómnibus caminando
1451 =x 1352 =x
1 0 2
van caminando al colegio. Se sabe que las desviaciones estándaren ambas poblaciones son 9 y 12 respectivamente.
Los resultados de la prueba de ansiedad son los siguientes:
Suponiendo normalidad, encuentre un intervalo de confian-za del 90% para la diferencia entre las ansiedades medias. Use.
Antes de aplicar el Plan Huascarán en el distrito de Cajatam-bo, el rendimiento promedio de los estudiantes de primer año deprimaria era de 12 puntos. Para determinar si el Plan ha sido efec-tivo en el incremento del rendimiento de los estudiantes, se obser-varon al azar a 150 estudiantes después de aplicar el plan duranteun año académico, obteniéndose de rendimiento promedio 13.5puntos con desviación estándar 2.1 puntos. Encuentre el intervalode confianza para el rendimiento promedio. Use la metodologíacorrespondiente para dar respuesta a la pregunta planteada y deser necesario suponga normalidad.
Un investigador en el campo educativo sostuvo que el módu-lo didáctico empleado en la enseñanza de matemáticas es uno delos factores que influye y determina en el proceso de enseñanzaaprendizaje y por lo tanto, el módulo adoptado incide en el rendi-miento académico de los estudiantes. Para verificar su hipótesisrealizó el siguiente experimento: durante un semestre se llevó acabo el trabajo lectivo para dos grupos de estudiantes de la mis-
Método A 12 13 12 10 10 13 13 11 14
Método B 16 17 117 14 15 17 16 16 15
ma carrera en la misma universidad, empleando dos módulos (Ay B) de características bien diferenciadas. Al final del curso aplicóel mismo examen y obtuvo las siguientes notas.
Suponiendo que las muestras provienen de poblaciones nor-males con varianzas iguales, construya el intervalo de confianzadel 90% para la diferencia de medias poblacionales.
1 0 3
Un grupo de 350 estudiantes fueron divididos aleatoriamen-te en dos subgrupos de 100 y 150 estudiantes. Los de la muestra 1aprendieron determinado material en el cual se enuncia verbal-mente el concepto de transitivitas de "más alto que", a continua-ción de lo cual se dieron varios ejemplos de la situación; a los es-tudiantes del grupo 2 se les expuso ejemplos tras de lo cual seenunció verbalmente el concepto. Son dos las poblaciones subya-centes a las muestras y que hubieran podido participar en el expe-rimento. Al finalizar el experimento, 62 estudiantes de la muestra1 y 70 estudiantes de la muestra 2 dominaban el concepto de tran-sitividad. Encuentre un intervalo de confianza del 95% para la di-ferencia de proporciones poblacionales. Previamente caractericelos parámetros poblacionales.
