CAPÍTULO V. SUCESIONES Y SERIES - II - Inicio de …colomepg/CAPITULO_V_SUCESIONES_Y_S… · convergente si, por un lado, la serie es convergente, ... y en este caso, convergencia

ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje) CONVERGENCIA ABSOLUTA

TEOREMA. Si en la serie alternada ( ) 1

11 n

nn

a∞

−

=

−∑ se toma el

valor absoluto de sus términos, se tiene la serie: 1 2 na a a+ + + +

que si es convergente, entonces también es convergente la serie alternada.

DEFINICIÓN. La serie 1

nn

a∞

=∑ es absolutamente convergente si

la serie que resulta de tomar el valor absoluto de cada término es convergente.

DEFINICIÓN. La serie 1

nn

a∞

=∑ es condicionalmente

convergente si, por un lado, la serie es convergente, pero la serie construida con el valor absoluto de sus términos, esto es,

1n

na

∞

=∑ , es divergente.

Si la serie 1

nn

a∞

=∑ es de términos positivos, entonces n na a=

y en este caso, convergencia absoluta es lo mismo que convergencia. Ejemplo. Determinar si las siguientes series son absolutamente convergentes:

( ) 13 3 3 3

1

1 1 1 1) 1 12 3 4

n

ni

n

∞−

=

− = − + − +∑

( ) 12 3 4

1

3 3 3 3 3) 144 4 4 4

nn

nii

∞+

=

− = − + − +∑


2 Ejemplo. Investigar la naturaleza de la serie

31

cos3

n

n

n

π∞

=∑

Solución Si se desarrolla la serie con algunos de sus términos, se tiene:

3 3 3 3 3 3 3

2 4 5 7cos cos cos cos coscos cos23 3 3 3 31 2 3 4 5 6 7

π π π π ππ π

+ + + + + + +

3 3 3 3 3 3 3

1 1 1 1 11 12 2 2 2 2

1 2 3 4 5 6 7

− −−= + + + + + + −

1 1 1 1 1 1 12 16 27 128 250 216 686

= − − − + + + −

Se analiza con los valores absolutos de sus términos y:

31

cos3

n

n

n

π∞

=∑


3Como se sabe, para todo " "n entero positivo se cumple

que cos 13

nπ≤ y además 3 3

cos13

n

n n

π

≤ . La serie 31

1n n

∞

=∑ es

una serie " "p con 3 1p = > por lo que es convergente y, como domina por el criterio de la comparación, entonces la

serie 31

cos3

n

n

n

π∞

=∑ es convergente y se concluye que la serie

en estudio es absolutamente convergente y por lo tanto, convergente. Ejemplo. Investigar si la serie armónica alternada es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

TEOREMA. PRUEBA DE LA RAÍZ. Sea la serie 1

nn

a∞

=∑ de términos

positivos o alternada y supóngase que lim nnn

a L→∞

= Entonces:

1) 1 es convergenten

ni L a

∞

=

< ⇒ ∑

1ii) 1 es divergenten

nL o a

∞

=

> → ∞ ⇒ ∑

iii) 1 el criterio no decideL = ⇒


4 Ejemplo. Utilizar el criterio de la raíz para determinar la naturaleza de las siguientes series:

( )2

5 1

1 1

221

4 1

3 4) ; )1 8

1 3) 1 ; ) 12

n n

nn n

nn

n

nn n

ni iin n

iii ivn

+∞ ∞

= =

+−∞ ∞−

= =

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑

∑ ∑


5

TEOREMA. PRUEBA DEL COCIENTE (D’ALEMBERT). Sea una

serie 1

nn

a∞

=∑ de términos positivos o alternada y supóngase

que 1lim n

nn

a Ma

+

→∞=

Entonces:

1) 1 es convergenten

ni M a

∞

=

< ⇒ ∑

1ii) 1 es divergenten

nM o a

∞

=

> → ∞ ⇒ ∑

iii) 1 el criterio no decideM= ⇒ Ejemplo. Investigar la naturaleza de las siguientes series a partir del criterio del cociente:

( ) ( )

( )

21

1 1

1 1

1) 1 ; )1 !3

) ; ) 1! 1

nn

n n

nn

n n

ni iin

n niii ivn n

∞ ∞+

= =

∞ ∞

= =

−−

−+

∑ ∑

∑ ∑


6


7SERIES DE POTENCIAS En diversas aplicaciones son de importancia y trascendencia las series infinitas cuyos términos contienen una o más variables, como es el siguiente caso: DEFINICIÓN. Sea " "x una variable del campo de los reales. Entonces una serie de la forma:

20 1 2

0

n nn n

na x a a x a x a x

∞

=

= + + + + +∑

se denomina “serie de potencias en x” Para simplificar el término general se asume que 0 1x = , aun en el caso de que 0x = . Es evidente que en una serie de potencias lo que se pretende es determinar los valores de la variable " "x para los cuales la serie es convergente. Lo primero que se observa, de acuerdo con la definición anterior, es que la serie de potencias es convergente cuando

0x = . Para determinar los demás valores de " "x donde la serie es convergente, se utilizará básicamente el Criterio del cociente tratado con anterioridad.

TEOREMA. Sea una serie de potencias 0

nn

na x

∞

=∑ . Entonces:

)i La serie es convergente solamente para 0x = . )ii La serie es absolutamente convergente para todo valor

real de " "x , esto es, en x∈ . )iii Existe un valor positivo " "r , llamado “radio de

convergencia”, tal que la serie es absolutamente convergente si x r< , esto es, si r x r− < < (intervalo de convergencia), y divergente si x r> , es decir, si x r x r< − ∪ > Como se observa en la tesis de este teorema, el centro del intervalo de convergencia es el origen, esto es, 0x = , y el


8radio de convergencia es, en el caso ( )i , igual a cero; en el caso ( )ii tiende a infinito; y en el caso ( )iii , el radio de convergencia es " "r . También se puede dar el caso en que el centro del intervalo de convergencia sea otro valor diferente de cero. DEFINICIÓN. Sea c∈ . Entonces una serie de la forma:

( ) ( ) ( ) ( )20 1 2

0

n nn n

na x c a a x c a x c a x c

∞

=

− = + − + − + + − +∑

se denomina “serie de potencias en x c− ” También en esta serie se asume que ( )0 1x c− = , aún en el caso de que x c= .

TEOREMA. Sea una serie de potencias ( )0

nn

na x c

∞

=

−∑ .

Entonces: )i La serie es convergente solamente para 0x c− = , esto es,

si x c= . )ii La serie es absolutamente convergente para todo valor

real de " "x , esto es, en x∈ . )iii Existe un valor positivo " "r , llamado “radio de

convergencia”, tal que la serie es absolutamente convergente si x c r− < , esto es, si c r x c r− < < + (intervalo de convergencia), y divergente si x c r− > , es decir, si x c r x c r< − ∪ > + Ejemplo. Determinar los valores de " "x para los cuales la serie de potencias siguiente es absolutamente convergente:

1 !

n

n

xn

∞

=∑


9 Ejemplo. Determinar el radio y el intervalo de convergencia, así como los valores de " "x donde la siguiente serie diverge:

( ) 1

11

nn

n

xn

∞+

=

−∑


10Ejemplo. Analizar la naturaleza de la siguiente serie de potencias:

11

3n

nn

n x∞

=

+∑

Ejemplo. Investigar la convergencia o divergencia de la siguiente serie de potencias:

2 3 4

0! 1 2 6 24n

nn x x x x x

∞

=

= + + + + +∑


11Ejemplo. Determinar el intervalo y el radio de convergencia, así como los valores de " "x donde la serie de potencias siguiente es divergente:

( )1

22 3

n

n

n xn

∞

=

−

+∑

Ejemplo. Estudiar la naturaleza de la serie de potencias:

( ) ( )2

0

41

3

nn

nn

xn

∞

=

+−∑


12SERIES DE POTENCIAS COMO REPRESENTACIONES DE FUNCIONES Una determinada función puede ser representada mediante una serie de potencias y es evidente que el dominio de la función así representada es el intervalo de convergencia de

la serie. Si la serie de potencias es 0

nn

na x

∞

=∑ , entonces,

( ) ( ) 20 1 2

0;n n

n nn

f x a x f x a a x a x a x∞

=

= = + + + + +∑

luego, cuando se pretende calcular el valor de la función en un valor “c” de su dominio, bastará con sustituirlo en la serie de potencias y se tendrá un valor aproximado de la función. Ejemplo. Considérese la serie geométrica

( )2 31 1 n nx x x x− + − + + − + Su razón es r x= − y 1a = . Como se sabe, si 1x < , la serie es

convergente y tiene como suma a: ( )1 1

1 1 1aS

r x x= = =

− − − + ,

por lo que se puede escribir que

( )2 31 1 1 ; 11

n nx x x x xx= − + − + + − + <

+

Entonces, como se ve, se trata de una serie de potencias que representa a la función, esto es,

( ) ( )0

1 11

n n

nf x x

x

∞

=

= = −+ ∑ si 1x <

También es posible derivar o integrar estas series de potencias, lo que conduce a otras funciones representadas por nuevas series. La derivada o la integral de una función es a su vez otra función cuyo dominio es el mismo que el de la función original; es lógico que esto sucede también en el caso de las series que representan a la función y a sus derivadas e integrales. Véase el siguiente teorema.


13

TEOREMA. Sea una serie de potencias 0

nn

na x

∞

=∑ con un radio

de convergencia no nulo " "r y sea la función " "f definida por:

( ) 20 1 2

0

n nn n

nf x a x a a x a x a x

∞

=

= = + + + + +∑

para toda " "x en el intervalo de convergencia. Si r x r− < < , entonces:

( ) 1 2 11 2 3

1) ' 2 3n n

n nn

i f x na x a a x a x na x∞

− −

=

= = + + + + +∑

( ) 1 2 3 10 1 20

0

1 1 1)1 2 3 1

x n nnn

n

aii f t dt x a x a x a x a xn n

∞+ +

=

= = + + + + ++ +∑∫

Se puede probar que ambas series de potencias tienen el

mismo radio de convergencia que 0

nn

na x

∞

=∑ .

Nota. El radio de convergencia de la serie de potencias resultante de la derivación o de la integración es el mismo, pero el intervalo puede diferir en sus extremos. Ejemplo. Obtener una serie de potencias para representar a la función:

( )( )2

2 si 22

f x xx

= <−

Además, utilizar los primeros doce términos de la serie de potencias obtenida para evaluarla en 1x = y comparar el resultado con el valor exacto.


14 Ejemplo. Sea la función siguiente y su serie de potencias:

( )2 3

1 2 3

n n

n

x x x xf x xn n

∞

=

= = + + + + +∑

Definir las series de potencias que representan a las siguientes funciones y determinar sus respectivos intervalos de convergencia:

( ) ( ) ( )) ; ) ' ; )i f x ii f x iii f x dx∫ Solución

( )2 3

1)

2 3

n n

n

x x x xi f x xn n

∞

=

= = + + + + +∑

Se utiliza el criterio del cociente para determinar el intervalo de convergencia y,

( )

1

11 1lim lim lim lim

11

n

nn

n nn n n nn

xa nx nn x xa nx n x

n

+

++

→∞ →∞ →∞ →∞

+= = = =++

1 1 1x x< ⇒ − < < convergencia absoluta 1 1 1x x x> ⇒ < − ∪ > divergencia


151

11

xx

x= −⎧

= ⇒ ⎨=⎩

no hay información

( ) ( )1 1 1

1 11 1nn

n

n n n

xxn n n

∞ ∞ ∞

= = =

−= − ⇒ = = −∑ ∑ ∑ serie armónica

alternada convergente

1 1 1

1 11n n

n n n

xxn n n

∞ ∞ ∞

= = =

= ⇒ = =∑ ∑ ∑ serie armónica divergente

Entonces el intervalo de convergencia es )1,1x∈ −⎡⎣

( )1

1 2 1

1 1) ' 1

nn n

n n

nxii f x x x x xn

−∞ ∞− −

= =

= = = + + + + +∑ ∑

11lim lim

nn

nn nn

a x xa x

+−→∞ →∞

= =


11

1x

xx= −⎧

= ⇒ ⎨=⎩

no hay información

( ) ( )1 11

1 11 1 1 1 1 1 1n nn

n nx x

∞ ∞− −−

= =

= − ⇒ = − = − + − + + − +∑ ∑

divergente 1 1 1

1 11 1 1 1 1 1 1n n n

n nx x

∞ ∞− − −

= =

= ⇒ = = + + + + + +∑ ∑

divergente Luego el intervalo de convergencia de esta serie de potencias es ( )1,1x∈ −

( ) ( ) ( )1 2 3 4 1

1)

1 2 6 12 1

n n

n

x x x x xiii f x dxn n n n

+ +∞

=

= = + + + + ++ +∑∫

( )( )

( )

( )( )( )

2

21

1 1

1 2 1lim lim lim

1 21

n

nn

n nn n nn

xn n n n xa

a x n n xn n

+

++

+ +→∞ →∞ →∞

+ + += =

+ ++

2

2lim3 2n

n n x xn n→∞

+= =

+ +



11

1x

xx= −⎧

= ⇒ ⎨=⎩

no hay información

( )( )( )

11

1 1

11

1 1

nn

n n

xxn n n n

++∞ ∞

= =

−= − ⇒ =

+ +∑ ∑

( ) ( )1

1

1 1 1 1 111 2 6 12 20

n

n n n

∞+

=

= − = − + − ++∑

( )

( ) ( )( )2 22

1lim 01

1 2 1' 0 1

n n nyf y f y y

y y y y

→∞

⎧ =⎪ +⎪ ⇒⎨ +⎪ = ⇒ = − < ∀ ≥+⎪ +⎩

convergente

( ) ( ) ( )1 1

1 1 1

1 111 1 1

n n

n n n

xxn n n n n n

+ +∞ ∞ ∞

= = =

= ⇒ = =+ + +∑ ∑ ∑

1 1 1 12 6 12 20

= + + + +

que es una serie telescópica y por lo tanto convergente. Luego el intervalo de convergencia de la serie de potencias es 1,1x∈ −⎡ ⎤⎣ ⎦ Queda comprobado que el radio de convergencia es el mismo, pero el intervalo varía en sus extremos. TEOREMA. SERIE DE TAYLOR

Sea " "f una función tal que ( ) ( )0

nn

nf x a x c

∞

=

= −∑ para toda

" "x en un intervalo abierto que contiene a " "c . Entonces es posible construir la serie

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2''

'2! !

nnf c f c

f x f c f c x c x c x cn

= + − + − + + − +

que se conoce como “Serie de Taylor para ( )f x en ' 'c ”.


17 COROLARIO. SERIE DE MACLAURIN Sea " "f una función tal que ( ) nf x a xn= ∑ para toda " "x en un intervalo abierto ( ),r r− , entonces se construye la serie

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2'' 0 00 ' 0

2! !

nnf f

f x f f x x xn

= + + + + +

que se conoce como “Serie de Maclaurin para ( )f x ”. Nota. Para analizar la convergencia en ambas series, se puede utilizar el criterio del cociente o de D’Alembert. Ejemplo. Obtener la serie de Maclaurin para las funciones ( ) ( ) cosf x senx y f x x= = y probar que representan a las

funciones para todo valor real de " "x . Mencionar cómo se haría utilizando derivación e integración de series de potencias.


18


19Ejemplo. Obtener el valor de ( )0.1sen mediante la serie de Maclaurin y estimar el error que se comete si para ello se utilizan sus dos primeros términos. Solución La serie ya obtenida es:

( ) ( )3 5 7 2 1

13! 5! 7! 2 1 !

nnx x x xsenx x

n

+

= − + − + + − ++

Se sustituye " "x por el valor de 0.1 y se llega a:

( ) 0.001 0.000010.1 0.16 120

sen = − + −

Como se sabe, el error que se comete al usar los primeros dos términos, y su suma como aproximación, es menor que 0.00001

120. Por lo que el valor aproximado de ( )0.1sen , con 6

cifras decimales de exactitud, es de 0.099833 Resulta interesante expresar que es factible utilizar la fórmula

polinomial 3

6xsenx x= − donde el error que se comete es

menor que 5

5!x

.

Ejemplo. Obtener la serie de potencias de Maclaurin para representar a las funciones:

( ) ( )) cos ; )i f x x x ii f x sen x= =


20 Ejemplo. Obtener la serie de Taylor para representar a la

función ( )f x senx= en potencias de 6

x π− .

Solución Al derivar y sustituir se tiene que:

( ) 16 2

f x senx f π⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 3' cos '6 2

f x x f π⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 1'' ''6 2

f x senx f π⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) 3''' cos '''6 2

f x x f π⎛ ⎞= − ⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

de donde

( ) ( )

2 41 3 1 32 2 6 2 2! 6 2 3! 6

senx x x xπ π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + − − − − − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

El término general de esta serie está dado por:

( )

( )

2

12

11 0,2,4.6,...2 ! 6

31 1,3,5,7,...2 ! 6

nn

n nn

x si nn

u

x si nn

π

π−

⎧ ⎛ ⎞− − =⎪ ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠= ⎨

⎛ ⎞⎪ − − =⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Se puede probar que esta serie de potencias de Taylor representa a la función para todo valor real de " "x .


21EJEMPLO. Utilizar la serie de Maclaurin para aproximar a cuatro cifras decimales la integral:

1 2

0senx dx∫

Solución Aquí se pude ver una gran utilidad de las series de potencias como representaciones de funciones, ya que la función del integrando no es integrable por los métodos tradicionales de integración. Y resulta sencillo integrar los términos de la serie de potencias que la representa. Para obtener la serie de Maclaurin para la función 2senx bastará con sustituir, en la serie que representa a senx , a la " "x por 2" "x . Así,

( ) ( )3 5 7 9 11 2 1

13! 5! 7! 9! 11! 2 1 !

nnx x x x x xsenx x

n

+

= − + − + − + + − ++

( ) ( )6 10 14 18 22 4 2

2 2 13! 5! 7! 9! 11! 2 1 !

nnx x x x x xsenx x

n

+

= − + − + − + + − ++

6 10 141 12 2

0 0 3! 5! 7!x x xsenx dx x dx

⎛ ⎞= − + − +⎜ ⎟

⎝ ⎠∫ ∫

13 7 11 151 2

003 42 1320 75600

x x x xsenx dx⎡ ⎤

= − + −⎢ ⎥⎣ ⎦

∫

Si se utilizan los primeros tres términos se obtiene 1 2

0

1 1 1 0.3102813 42 1320

senx dx = − + ≈∫

El cuarto término es igual a 1 0.0000132275

75600≈

Como el error que se comete al tomar los primeros tres términos es menor que el cuarto término, entonces la integral pedida es exacta en sus cuatro primero términos como:

1 2

00.3102senx dx∴ =∫


22Ejemplo. Obtener la serie de Taylor para la función

( ) 11

f xx

=+

centrada en 1c = y decir para qué valores de " "x

la representa. Solución Se obtienen las derivadas respectivas y se sustituye en ellas el valor de 1c = .

( ) ( )1 111 2

f x fx

= ⇒ =+

( )( )

( )21 1' ' 1

41f x f

x= − ⇒ = −

+

( )( )

( )32 2'' '' 1

81f x f

x= ⇒ =

+

( )( )

( )46 6''' ''' 1

161f x f

x= − ⇒ = −

+

( ) ( )( )

( ) ( )524 241

321iv ivf x f

x= ⇒ =

+

( ) ( )( )

( ) ( )6120 1201

641v vf x f

x= − ⇒ = −

+

Ahora se sustituyen los valores obtenidos en la serie de Taylor y se llega a:

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2'' 1 11 1 ' 1 1 1 1

1 2! !

nnf f

f f x x xx n= + − + − + + − +

+

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

2 3 4

1

1 1 1 2 6 241 1 1 11 2 4 8 2! 16 3! 32 4!

!1 12 !

n nn

x x x xx

n xn+

= − − + − − − + − −+ ⋅ ⋅ ⋅

+ − − +

( ) ( ) ( ) ( )2 3 41 1 1 1 1 11 1 1 11 2 4 8 16 32

x x x xx= − − + − − − + − −

+

( ) ( )111 1

2n n

n x++ − − +

( ) ( )10

1 11 11 2

n nn

nx

x

∞

+=

∴ = − −+ ∑


23Se aplica el Criterio de la razón y se obtiene:

( )

( )( )( )

1

1121

2

1

12 1 112lim lim lim lim 1

2 21 2 12

n

nnnn

n nnn n n nn

n

xx xa x

a x x

+

+++

+

+→∞ →∞ →∞ →∞

+

−− −

= = = − =− −

11 1 2 2 1 2

2x

x x−

< ⇒ − < ⇒ − < − <

1 3 convergentex⇒ − < < ∴

11 1 2 1 2 1 2

2x

x x x−

> ⇒ − > ⇒ − < − ∪ − >

1 3 divergentex x⇒ < − ∪ > ∴

1 1 2 11 1 2

2 1 2 3x x x

xx x

− − = − ⇒ = −⎧= ⇒ − = ⇒ ⎨

− = ⇒ =⎩

( ) ( )10 0

1 11 1 2 divergente22

n n

nn n

x∞ ∞

+= =

= − ⇒ − − = ∴∑ ∑

( ) ( ) ( )10 0

1 13 1 2 1 divergente22

n n n

nn n

x∞ ∞

+= =

= ⇒ − = − ∴∑ ∑

Por lo tanto, la función ( ) 11

f xx

=+

centrada en 1c = es

representada por la serie de potencias ( ) ( )10

11 12

n n

nn

x∞

+=

− −∑ en

el intervalo ( )1,3x∈ − .

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