Capitulo Vii. Calor y Propagacion Del Calor

Física General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vásquez García

381

CAPITULO vii

CALOR Y PROPAGACIÓN DEL CALOR


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7.1. INTRODUCCIÓN.

Es sabido que cuando dos cuerpos o sistemas a diferentes temperatura se ponen en

contacto, la temperatura del cuerpo más caliente disminuye y la temperatura del

cuerpo más frío aumenta. Si a estos cuerpos se le deja en contacto cierto tiempo,

ambos alcanzan una temperatura común de equilibrio en algún punto comprendido

entre las temperaturas iníciales. Cuando ocurre dicho proceso se dice que ocurre un

flujo de calor del cuerpo más caliente hacia el cuerpo más frío. Pero ¿Cuál es la

naturaleza de la transferencia de calor?. Los primeros científicos creían que el calor

era una sustancia material invisible llamada calórico, la cual pasaba de un cuerpo a

otro. De acuerdo con esta teoría, el calor no se podía crear ni destruir. Aun cuando ésta

teoría tuvo éxito en la descripción de la transferencia de calor, posteriormente fue

desechada debido a su inconsistencia con los experimentos.

La primera observación experimental de que el calórico no se conservaba la realizó B.

Thompson al final del siglo XVIII, un americano emigrado a Europa y nombrado

director del Arsenal de Baviera. Thompson supervisó el torneado de los cañones de

Baviera. A causa del calor generado por el taladro se utilizaba agua para refrigerar y

había que remplazarlo continuamente, porque se evaporaba durante la operación. De

acuerdo con la teoría del calórico, cuando el metal procedente del torneado se cortaba

en trozos pequeños, su propiedad de retener calor disminuía. Por lo tanto se cedía

calórico al agua calentándolo hasta la ebullición. Thompson observó, sin embargo, que

aun cuando la broca no estuviese lo suficientemente afilada como para cortar el metal,

el agua seguía evaporándose en tanto la broca giraba. Aparentemente el calórico se

producía por fricción y podía producirse indefinidamente. Así sugirió que el calor no

era una sustancia que se conservara, sino alguna forma de movimiento que era

comunicada de la broca al agua. Demostró además que el calor producido era

aproximadamente proporcional al trabajo realizado durante la operación del taladro.

Existen muchos otros experimentos que contradicen la teoría del calórico. Por

ejemplo, si se frotan entre sí dos bloques de hielo en un día en que la temperatura

ambiental es menor a 00C, los bloques se fundirán; este experimento lo realizó por

primera vez H. Davy. Para explicar de manera apropiada esta “creación del calórico”,

se observa que en el proceso se realiza trabajo mecánico sobre el sistema. Por lo tanto,

se ve que los efectos de realizar trabajo mecánico sobre el sistema y el de agregarle

calor directamente, como una flama, son situaciones equivalentes. Es decir, tanto el

trabajo como el calor son formas de transferencia de energía.

Aun cuando los experimento mostraron que la energía calorífica no se conserva, no

fue sino hasta mediados del siglo XIX que se desarrolló el modelo mecánico moderno

del calor. Desde este punto de vista el calor se trató como otra forma de energía que

se transfiere de un cuerpo hacia otro debido a su diferencia de temperaturas. Los

experimentos más precios que demuestran esta teoría los realizó James Joule (1818 –

1889) hacia finales de 1830. Joule demostró que la aparición o desaparición de una

cantidad dada de calor va siempre acompañada de la desaparición o aparición de una

cantidad equivalente de energía mecánica. Los experimentos de Joule y otros

experimentos demostraron que ni el calor ni la energía se conservan

independientemente, pero que la energía mecánica perdida iguala al calor producido.

Lo que se conserva es el total de la energía mecánica y la energía térmica.


383

7.2. CALOR Y ENERGÍA TÉRMICA

Las magnitudes como el calor y la energía interna de una sustancia son dos conceptos

muy diferentes. La palabra calor sólo se debe usar cuando se describe la energía que

se transfiere de un lugar hacia otro. Es decir, el flujo de calor es una transferencia de

energía que se lleva a cabo como una consecuencia de las diferencias de

temperaturas únicamente. Por otro lado, la energía interna es la energía que tiene un

cuerpo debido a su temperatura.

En un gas ideal la energía interna está asociada con el movimiento interno de sus

átomos y moléculas. Es decir, la energía interna del gas es esencialmente su energía

cinética en una escala microscópica, mientras más grande sea la temperatura del gas

más grande es la energía interna. En forma análoga, el trabajo realizado sobre (o por)

el sistema es una medida de la energía transferida entre el sistema y sus alrededores,

mientras que la energía mecánica (cinética y potencial) es una consecuencia del

movimiento y de la posición del sistema. Por lo tanto cuando se hace trabajo sobre un

sistema se transfiere energía al sistema. Es decir, no tiene sentido hablar de trabajo de

un sistema sólo se puede referir uno al trabajo realizado por o sobre un sistema

cuando ha ocurrido cierto proceso en el cual el sistema cambia en alguna forma. De la

misma forma no tiene sentido hablar de calor al menos que alguna de las variables

termodinámicas del sistema haya sufrido un cambio.

Debe hacerse notar además que se puede transferir energía entre dos sistemas, aún

cuando no haya flujo de calor. Un ejemplo lo constituye la frotación de dos cuerpos

entre sí, durante el proceso el trabajo mecánico entre ellos produce un aumento en su

energía interna.

7.3. UNIDADES DE CALOR.

El flujo de calor que interviene en un proceso se mide por algún cambio que acompaña

a éste proceso, y una unidad de calor se define como el calor necesario para producir

una transformación de tipo convenida. Las unidades de calor son:

7.3.1. La caloría(cal). Es la cantidad de calor necesaria para aumentar la temperatura

de 1 gramo de agua a la presión atmosférica de 14,5 0C a 15,5

0C.

7.3.2. La kilocaloría (kcal). Es la cantidad de calor necesaria para aumentar la

temperatura de 1 kg de agua de 14,5 0C a 15,5

0C.

7.3.3. La unidad térmica británica (BTU). Definida como la cantidad de calor

necesaria para elevar la temperatura de una libra de agua de 63 0F a 64

0F.

7.3.4. El joule(J). Debido a que el calor es una forma de energía en la actualidad la

unidad de calor es el Joule.

Las equivalencias entre estas distintas unidades de calor son:

1 cal = 4, 186 J = 3,968.10-3

BTU

1 J = 0,2389 cal = 9,478.10-4

BTU

BTU = 1055 J = 252 cal


384

7.3. EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR.

James Joule efectuó varios experimentos que muestran que el flujo de calor así como

el trabajo, representan una forma de transferencia de energía. Uno de estos

experimentos se muestra en la Figura 7.1. El sistema de interés consta del agua

encerrado en un recipiente térmicamente aislado. Se hace trabajo sobre el agua por

medio de la rueda de paletas que se hace girar al caer las pesas con una rapidez

constante. El agua, la cual es agitada por las paletas, se calienta debida a la fricción

entre ésta y las paletas. Si se desprecia la energía que se pierde en las poleas, en los

cojinetes, y en las paredes del recipiente, entonces la energía potencial que pierden las

pesas al caer es igual al trabajo realizado por las paletas sobre el agua

Este experimento muestra que hay un aumento de temperatura para una cantidad

específica de trabajo y por tanto habrá un equivalente preciso entre trabajo efectuado

sobre el sistema (ΔW) y el flujo de calor hacia el agua (ΔQ). Para un sistema

térmicamente aislado se cumple que

WQ (7.1)

Este resultado se conoce como equivalente mecánico del calor, es decir

1 cal = 4,186 J (7.2)

(a) (b)

Figura 7.1. (a) Fotografía del aparato para el experimento de Joule en la que se ve

la rueda de paletas y el recipiente; (b) Diagrama esquemático del

aparato utilizado por Joule para demostrar la conversión de trabajo en

calor.

7.4. CAPACIDAD CALORÍFICA Y CALOR ESPECÍFICO.

7.4.1. Capacidad calorífica.

Cuando se adiciona calor aun cuerpo, normalmente aumenta su temperatura del

mismo. (Los cambios de fase constituyen una excepción). La cantidad de energía


385

calorífica que se requiere para elevar la temperatura de una masa dada de una

sustancia varía de una sustancia a otra. Por modelo, el calor necesario para elevar la

temperatura de 1 kg de agua en1 0C es de 4186 J, pero el calor necesario para elevar la

temperatura de 1 kg de cobre en 1 0C es sólo 387 J.

La capacidad calorífica, C, de cualquier sustancia se define como la cantidad

de energía calorífica que se requiere para elevar la temperatura de la

sustancia en un grado Celsius.

Es decir si se agrega, ΔQ unidades de calor a una sustancia le produce un cambio en la

temperatura, ΔT, entonces

TCQ (7.3)

En esta ecuación, ΔQ, puede ser positivo o negativo. La cantidad, C, siempre es

positiva, es decir el signo del cambio de temperatura indica el signo del flujo de calor.

7.4.2. Calor específico.

La dependencia que tiene la capacidad calorífica con la cantidad de masa de la

sustancia puede eliminarse definiendo el calor específico.

El calor específico (ce ) de una sustancia se define como la capacidad

calorífica por unidad de masa.

Tm

Q

m

Cce (7.4)

El calor específico de una sustancia es numéricamente igual a la cantidad de calor que

hay que suministrarle a una unidad de masa de dicha sustancia para elevar su

temperatura en un grado.

Las unidades de capacidad calorífica es cal/grado; Btu/grado; J/grado; mientras que

las unidades de calor específico son cal/gramo-grado, Btu/libra-grado, J/kg-grado.

Debe indicarse que ni la capacidad calorífica, ni el calor específico de una sustancia es

constante, sino que dependen de la variación de la temperatura, Las ecuaciones (3) y

(4) solamente proporcionan valores medios.

El calor específico de una sustancia a cualquier temperatura se expresa mediante la

ecuación.

dTm

dQce

. (7.5)

La cantidad de calor que debe proporcionarse a un cuerpo de masa, m, cuyo material

tiene un calor específico ce para elevar su temperatura desde Ti hasta Tf es


386

dTcmQ

f

i

T

T

e (7.6)

Siendo el calor específico función de la temperatura. A temperaturas ordinarias y en

intervalos de temperaturas ordinarias el calor específico puede considerarse como

constante, en estas condiciones la ecuación (6) se escribe

TmcQ e (7.7)

La fig. 7.2, muestra la variación del calor específico del agua con la temperatura.

Figura7.2. Variación del calor específico del agua con la temperatura.

De esta gráfica se observa que el calor específico varía menos del 1 % de su valor 1

cal/g-0C, a 15

0C.

Las ecuaciones (5.5) y (5.7) no define el calor específico en forma única. Debe

especificare además las condiciones bajo las cuales se agrega el calor a la sustancia.

Una de estos casos es que la presión se mantiene constante, sin embargo hay muchas

otras posibilidades y cada una ellas conducen a diferentes valores del calor específico.

7.4.3. Capacidad calorífica molar.

En muchos casos por ejemplo para los gases, es más conveniente expresar el

calor específico tomando como unidad de masa el mol de sustancia, definiéndose

La capacidad calorífica molar como la capacidad calorífica por mol.

M

dQC

ndT (7.8)

7.4.4 Ley de Dulong y Petit.

En 1819 estos científicos mostraron que la capacidades caloríficas molares de

todos los metales excepto los más ligeros es aproximadamente la misma, e igual a 6

cal/mol-0C..La tabla 01 muestra tal situación.


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Tabla Nº 01. Valor de la capacidad calorífica molar para algunos sólidos a

temperatura ambiente y 1 atmósfera de presión.

Sustancia Calor

específico

Peso

molecular

Capacidad

calorífica

molar

Aluminio 0,215 27 5,82

Carbono 0.121 12 1,46

Cobre 0,0923 63’5 5,85

Plomo 0,0305 207 6,32

Plata 0,0564 108 6,09

Wolframio 0,0321 184 5,92

7.5. MEDIDAS DEL CALOR ESPECÍFICO (ce) – CALORIMETRIA.

Una técnica para medir el calor específico de sólidos y líquidos consiste en calentar la

sustancia a cierta temperatura, colocarlo en un recipiente con una masa dada de agua a

una temperatura conocida y medir la temperatura del agua una vez que se haya logrado

el equilibrio térmico. Aún cuando se realiza una cantidad de trabajo, éste puede

despreciarse.

El principio de conservación de la energía requiere que la cantidad de calor que

transfiere la sustancia más caliente (calor específico desconocido) es igual a la

cantidad de calor que recibe el agua más el recipiente, esto es:

ganadocedido QQ

wecalecalweewwexexx TTcmTTcmTTcm ,

exx

wecalecalwew

xeTTm

TTcmcmc

))(( ,,

, (7.9)

donde: Tx = temperatura de la sustancia; Te = temperatura de equilibrio; Tw = TCal =

temperatura del agua y del calorímetro iníciales; mw = masa del agua; mcal = masa del

calorímetro; cw = calor específico del agua; ccal = calor específico del calorímetro; mx =

masa de la sustancia; cx = calor específico de la sustancia.

7.7. CAMBIOS DE FASE Y FLUJO DE CALOR.

Cuando se le suministra calor a un cuerpo a presión constante, el resultado es un

aumento de la temperatura del cuerpo. Sin embargo a veces un cuerpo puede absorber

grandes cantidades de calor sin variar su temperatura. Este fenómeno ocurre cuando

hay cambio de fase, es decir cuando la condición física de la sustancia está cambiando

de una forma a otra. Los principales cambios de fase son: la fusión, que es el cambio

de la fase sólida a la líquida; la vaporización, que es el paso de la fase líquida a la de

vapor y la sublimación que es el paso de directo de la fase sólida a la de vapor.


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Estos fenómenos son explicados por la teoría molecular. Un aumento de la

temperatura de la sustancia refleja el hecho de que se ha incrementado la energía

cinética molecular media. Así por ejemplo cuando un sólido pasa a la fase líquida sus

moléculas que estaban fuertemente unidas cuando está liquido estas fuerzas

disminuyen. Esto exige que se desarrolle trabajo contra las fuerzas atractivas, es decir

debe agregarse energía a las moléculas para que se separen. Esta energía pasa a

aumentar la energía potencial de las moléculas más que a incrementar la energía

cinética. Por lo tanto la temperatura de la sustancia no varía.

En una sustancia pura, un cambio de fase a una determinada presión tiene lugar sólo a

una temperatura dada. Por ejemplo el agua pura a 1 atmósfera de presión pasa de

sólido a líquido a la temperatura de 0 ºC y pasa de líquido a vapor de agua la

temperatura de 100 ºC. La primera temperatura se llama punto de fusión del agua y la

segunda se llama punto de ebullición del agua.

Se necesita una cantidad específica de energía térmica para que ocurra el cambio de

fase de una cantidad determinada de sustancia. El calor requerido es proporcional a la

masa de la misma, de tal manera que la cantidad de calor necesaria para fundir una

masa dada de sustancia sin cambio de temperatura es

ff mLQ (7.10)

donde: Lf = calor latente de fusión.

Para el caso de la fusión del hielo en agua a 1 atmósfera de presión, el calor de fusión

es

Lf = 33,5 kJ/kg =79,7 kCal/kg

Cuando el cambio de fase corresponde al de líquido a gas, el calor necesario esta dado

por la ecuación

vv mLQ (7.11)

donde: Lv = calor de vaporización. Para el cambio de fase de líquido a vapor para el

agua a 1 atm, de presión el calor latente de vaporización es

Lv = 2,26 kJ/kg = 540 kCal/kg

En forma análoga cuando hay un cambio de fase de gas a liquido, el calor necesario

que se le debe extraer al vapor es

cc mLQ (7.12)

donde: Lc es el calor de condensación cuyo valor es igual al calor de vaporización.

Finalmente el calor que debe extraerse a una sustancia para cambiar de fase de líquido

a sólido esta dado por


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ss mLQ (7.13)

donde Ls = calor latente de solidificación cuyo valor es igual al calor de fusión.

Los cambios de fase que ocurren en las diferentes sustancias pueden representarse en

la figura 7.3.

Figura7.3. Cambios de fase de las sustancias.

7.8. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR.

Cuando dos cuerpos que tienen distintas temperaturas se ponen en contacto entre sí, se

produce una transferencia de calor desde el cuerpo de mayor temperatura al de menor

temperatura. La transferencia de calor se puede realizar por tres mecanismos físicos:

conducción, convección y radiación, que se ilustran en la figura 7.4.

Figura 7.4. Esquema de los mecanismos de transferencia de calor.

7.8.1. Conducción de calor.

Es el proceso de transferencia de calor entre un punto y otro de la

sustancia, debido a los choques entre sus moléculas. Si un extremo de un cuerpo es

expuesto a una fuente de calor, entonces las moléculas próximas a la fuente

verán aumentada su velocidad media y su separación molecular, chocando a

sus vecinas más frías, de velocidad menor, transfiriéndole parte de su energía


390

en el proceso. Estas a su vez incrementan su velocidad transfiriendo su

energía a las vecinas y así, a través del material.

Existe un experimento sencillo (ver figura 7.5) que usted puede hacer en su casa

para mostrar esto. Tome una varilla delgada de metal (ojalá cobre) y sujétela con

un soporte de manera tal que quede vertical (por comodidad), pegue clips a

espacios regulares con cera de una vela común (la cantidad mínima que asegure que

no se caiga el clip) y caliente el extremo libre de la varilla con la vela. Se

sorprenderá.

Figura 7.5. Experimento que muestra la conducción de calor.

La conducción es el mecanismo de transferencia de calor en escala atómica a través de

la materia por actividad molecular, por el choque de unas moléculas con otras, donde

las partículas más energéticas le entregan energía a las menos energéticas,

produciéndose un flujo de calor desde las temperaturas más altas a las más bajas. Los

mejores conductores de calor son los metales. El aire es un mal conductor del calor.

Los objetos malos conductores como el aire o plásticos se llaman aislantes.

La conducción de calor sólo ocurre si hay diferencias de temperatura entre dos partes

del medio conductor. Para un volumen de espesor ∆x, con área de sección transversal

A y cuyas caras opuestas se encuentran a diferentes T1 y T2, con T2 > T1, como se

muestra en la figura 7.6, se encuentra que el calor ∆Q transferido en un tiempo ∆t

fluye del extremo caliente al frío. Si se llama H (en Watts) al calor transferido por

unidad de tiempo, la rapidez de transferencia de calor H = ∆Q/∆t, está dada por la

ley de la conducción de calor de Fourier.

Donde: k (en W/mK) se llama conductividad térmica del material, magnitud que

representa la capacidad con la cual la sustancia conduce calor y produce la

consiguiente variación de temperatura; A es el área de la placa; y dT/dx es el gradiente

de temperatura. El signo menos indica que la conducción de calor es en la dirección

decreciente de la temperatura. En la tabla 7.2, se listan valores de conductividades

térmicas para algunos materiales, los altos valores de conductividad de los metales

indican que son los mejores conductores del calor.


391

Figura 7.6. Conducción de calor

Si un material en forma de barra uniforme de largo L, protegida en todo su largo por

un material aislante, como se muestra en la figura 7.7, cuyos extremos de área A están

en contacto térmico con fuentes de calor a temperaturas T1 y T2 > T1, cuando se

alcanza el estado de equilibrio térmico, la temperatura a lo largo de la barra es

constante. En ese caso el gradiente de temperatura es el mismo en cualquier lugar a lo

largo de la barra, y la ley de conducción de calor de Fourier se puede escribir en la

forma:

1 2T TQH kA

t L (7.14)

Figura 7.7. Flujo de calor a través de una barra de longitud L

Algunos autores acostumbran llamar como corriente térmica (I) a la velocidad de

conducción de energía térmica Q

t, por tanto, la ecuación (7.14) se escribe en la forma

Q TI kA

t x (7.15)

Si despejamos la diferencia de temperaturas de la ecuación (7.15), se tiene

xT I

kA (7.16)

También, siguiendo la analogía eléctrica, esta ecuación se puede escribir

T RI (7.17)

Comparando las ecuaciones (7.16) y (7.17) se obtiene la resistencia térmica, la cual está

dada por

xR

kA (7.18)


392

Tabla 7.2. Algunos valores de conductividades térmicas.

Ejemplo 7.1. Dos placas de espesores L1 y L2 y conductividades térmicas k1 y k2

están en contacto térmico, como en la figura. Las temperaturas de las superficies

exteriores son T1 y T2, con T2 > T1. Calcular la temperatura en la interface y la rapidez

de transferencia de calor a través de las placas cuando se ha alcanzado el estado

estacionario.

Solución: si T es la temperatura en la interface, entonces la rapidez de transferencia de

calor en cada placa es:

Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son iguales:

Despejando la temperatura T


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Ejemplo 7.2. Una barra de oro está en contacto térmico con una barra de plata, una a

continuación de la otra, ambas de la misma longitud y área transversal. Un extremo de

la barra compuesta se mantiene a T1 = 80º C y el extremo opuesto a T2 = 30º C.

Calcular la temperatura de la unión cuando el flujo de calor alcanza el estado

estacionario.

Solución: similar al ejemplo anterior, con L1 = L2 = L



Despejando la temperatura T, con k1 del oro y k2 de la plata, valores obtenidos de la

tabla 7.2:

7.8.2. Convección.

La convección es el mecanismo de transferencia de calor por movimiento de

masa o circulación dentro de la sustancia. Puede ser natural producida solo por las

diferencias de densidades de la materia; o forzada, cuando la materia es obligada a

moverse de un lugar a otro, por ejemplo el aire con un ventilador o el agua con una

bomba. Sólo se produce en líquidos y gases donde los átomos y moléculas son libres

de moverse en el medio.

En la naturaleza, la mayor parte del calor ganado por la atmósfera por conducción y

radiación cerca de la superficie, es transportado a otras capas o niveles de la atmósfera

por convección.


394

Un modelo de transferencia de calor H por convección, llamado ley de enfriamiento

de Newton, es el siguiente

H = h A (TA – T) (7.19)

Donde: h se llama coeficiente de convección, en W/(m2K), A es la superficie que

entrega calor con una temperatura TA al fluido adyacente, que se encuentra a una

temperatura T, como se muestra en el esquema de la figura 7.8. La tabla 14.2 lista

algunos valores aproximados de coeficiente de convección h.

Figura 7.8. Proceso de convección.

El flujo de calor por convección es positivo (H > 0) si el calor se transfiere desde la

superficie de área A al fluido (TA > T) y negativo si el calor se transfiere desde el

fluido hacia la superficie (TA < T).

Tabla 7.3. Valores típicos de coeficiente de convección.

Ejemplo 7.3. El vidrio de una ventana se encuentra a 10º C y su área es 1.2 m2. Si la

temperatura del aire exterior es 0º C, calcular la energía que se pierde por convección

cada segundo. Considerar h = 4 W/(m2K).

Solución: Los datos son: TA = 10º C = 283K, T = 0º C = 273K, A = 1.2 m2. Usando la

ley de enfriamiento de Newton:

7.8.3. Radiación.

La radiación térmica es energía emitida por la materia que se encuentra a una


395

temperatura dada, se produce directamente desde la fuente hacia afuera en todas las

direcciones. Esta energía es producida por los cambios en las configuraciones

electrónicas de los átomos o moléculas constitutivas y transportadas por ondas

electromagnéticas o fotones, por lo que recibe el nombre de radiación

electromagnética. La masa en reposo de un fotón (que significa luz) es idénticamente

nula. Por lo tanto, atendiendo a la relatividad especial, un fotón viaja a la velocidad de

la luz y no se puede mantener en reposo. (La trayectoria descrita por un fotón se llama

rayo). La radiación electromagnética es una combinación de campos eléctricos y

magnéticos oscilantes y perpendiculares entre sí, que se propagan a través del espacio

transportando energía de un lugar a otro.

A diferencia de la conducción y la convección, o de otros tipos de onda, como el

sonido, que necesitan un medio material para propagarse, la radiación

electromagnética es independiente de la materia para su propagación, de hecho, la

transferencia de energía por radiación es más efectiva en el vacío. Sin embargo, la

velocidad, intensidad y dirección de su flujo de energía se ven influidos por la

presencia de materia. Así, estas ondas pueden atravesar el espacio interplanetario e

interestelar y llegar a la Tierra desde el Sol y las estrellas. La longitud de onda (λ) y la

frecuencia (ν) de las ondas electromagnéticas, relacionadas mediante la expresión λν =

c, son importantes para determinar su energía, su visibilidad, su poder de penetración y

otras características. Independientemente de su frecuencia y longitud de onda, todas

las ondas electromagnéticas se desplazan en el vacío con una rapidez constante c =

299792 km/s, llamada velocidad de la luz.

Los fotones son emitidos o absorbidos por la materia. La longitud de onda de la

radiación está relacionada con la energía de los fotones, por una ecuación desarrollada

por Planck:

Donde h se llama constante de Planck, su valor es

h = 6,63 x 10-34 Js.

7.8.3.1. Espectro de radiación.

Atendiendo a su longitud de onda, la radiación electromagnética recibe

diferentes nombres, y varía desde los energéticos rayos gamma, con una longitud de

onda muy corta del orden de picómetros (frecuencias muy altas) hasta las ondas de

radio con longitudes de onda muy largas del orden de kilómetros (frecuencias muy

bajas), pasando por la luz visible, cuya longitud de onda está en el rango de las

décimas de micrómetro. El rango completo de longitudes de onda es lo que se

denomina el espectro electromagnético, que se muestra en la figura 7.9. Esta variación

es porque las fuentes que producen las ondas son completamente diferentes. El

espectro electromagnético no tiene definidos límites superior ni inferior.

La luz, llamada también luz visible o luz blanca, es uno de los componentes del

espectro electromagnético, y se define como aquella parte del espectro de radiación

que puede percibir la sensibilidad del ojo humano. La luz visible es un minúsculo

intervalo que va desde la longitud de onda correspondiente al color violeta

(aproximadamente 400 nm) hasta la longitud de onda correspondiente al color rojo

(aproximadamente 700 nm).


396

Figura 7.9. Espectro electromagnético y región visible (inferior).

Por orden creciente de longitudes de onda (o decreciente de frecuencias), el espectro

electromagnético está compuesto por rayos gamma, rayos X duros y blandos,

radiación ultravioleta, luz visible, rayos infrarrojos, microondas y ondas de radio. Los

rayos gamma y los rayos X duros tienen una longitud de onda de entre 5.10-6

y 5.10-4

micrómetros (un micrómetro, símbolo µm, es una millonésima de metro). Los rayos X

blandos se superponen con la radiación ultravioleta en longitudes de onda próximas a

los 5x10-2

µm. La región ultravioleta, a su vez, da paso a la luz visible, que va

aproximadamente desde 0.4 hasta 0.8 µm. Los rayos infrarrojos se mezclan con las

frecuencias de microondas, entre los 100 y 400 µm. Desde esta longitud de onda hasta

unos 15.000 m, el espectro está ocupado por las diferentes ondas de radio; más allá de

la zona de radio, el espectro entra en las bajas frecuencias, cuyas longitudes de onda

llegan a medirse en decenas de miles de kilómetros. La tabla 7.4, muestra el espectro

electromagnético, con sus longitudes de onda, frecuencias y energías del fotón.

Tabla 7.4. Espectro electromagnético.

Longitud de onda Frecuencia Energía

Rayos gamma <10 pm > 30 EHz > 19,910-15

Rayos X < 10 nm > 30 PHz >19,9.10-18

Ultravioleta Extremo < 200 nm >1,5 PHz >993.10-21

Ultravioleta Cercano < 380 nm >789 THz >523.10-21

Luz Visible <780 nm >384 THz >255.10-21

Infrarrojo Cercano < 2,5µm >120 THz >79,5.10

Infrarrojo Medio < 50 µm >6,00 THz >3,98.10-21

Infrarrojo Lejano < 1 mm >300 GHz >199.10-24

Microondas < 30 cm >1,0 GHz >1,99.10-24

Ultra Alta Frecuencia Radio < 1 m >300 MHz >1,99.10-25

Muy alta Frecuencia Radio < 10 m >30 MHz >2.05.10-25

Onda Corta Radio <180 m >1,7 MHz >1,13-10-27

Onda Media (AM) Radio < 650 m >650kHz >4,38.10-28

Onda Larga Radio < 10 km >30 kHz >1,98.10-29

Muy Baja Frecuencia Radio < 10 km <30 kHz >1,99.10-29


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La radiación del Sol es emitida en todas las longitudes de onda, pero tiene un máximo

en la región de luz visible. La luz visible está compuesta por varios colores, que

cuando se mezclan forman la luz blanca. Cada uno de los colores tiene una longitud de

onda específica, con límites entre 0.4 y 0.7 µm. Considerando desde las longitudes de

onda más cortas a las más largas, los diferentes colores tienen los valores centrales de

longitudes de onda que se indican en la tabla 7.5.

Tabla 7.5. Colores del espectro visible y sus extremos.

Estos colores están dentro de un rango de longitudes de onda, por ejemplo el violeta

esta en el rango entre 0.4 y 0.45 µm. Son los colores que forman el arco iris. En sus

extremos se tienen el ultravioleta y el infrarrojo. La mayor cantidad de energía radiante

del Sol se concentra en el rango de longitudes de onda del visible y visible cercano del

espectro, con las siguientes proporciones: luz visible 43%, infrarrojo cercano 49%,

ultravioleta 7%, y el 1% restante en otros rangos.

7.8.3.2. Penetración de la radiación electromagnética.

Cuando la frecuencia es inferior a la frecuencia de la radiación ultravioleta, los

fotones no tienen suficiente energía para romper enlaces atómicos. Se dice entonces que

la radiación es radiación no ionizante. A partir de los rayos ultravioleta, vienen los

Rayos X y los Rayos gamma, muy energéticos y capaces de romper moléculas, dicha

radiación se denomina radiación ionizante.

La radiación electromagnética reacciona de manera desigual en función de su frecuencia

y del material con el que entra en contacto. El nivel de penetración de la radiación

electromagnética es inversamente proporcional a su frecuencia. Cuando la radiación

electromagnética es de baja frecuencia, atraviesa limpiamente las barreras a su paso.

Cuando la radiación electromagnética es de alta frecuencia reacciona más con los

materiales que tiene a su paso. En función de la frecuencia, las ondas electromagnéticas

pueden no atravesar medios conductores. Esta es la razón por la cual las transmisiones

de radio no funcionan bajo el mar y los teléfonos móviles se queden sin cobertura

dentro de una caja de metal. Sin embargo, como la energía ni se crea ni se destruye, sino

que se transforma, cuando una onda electromagnética choca con un conductor pueden

suceder dos cosas. La primera es que se transformen en calor: este efecto tiene

aplicación en los hornos de microondas. La segunda es que se reflejen en la superficie

del conductor (como en un espejo).


398

Figura 7.10. Poder de penetración de la radiación.

La radiación de partículas también puede ser ionizante si tiene suficiente energía.

Algunos ejemplos de radiación de partículas son los rayos cósmicos, los rayos alfa o

los rayos beta. Los rayos cósmicos son chorros de núcleos cargados positivamente, en

su mayoría núcleos de hidrógeno (protones). Los rayos cósmicos también pueden estar

formados por electrones, rayos gamma, piones y muones. Los rayos alfa son chorros

de núcleos de helio positivamente cargados, generalmente procedentes de materiales

radiactivos. Los rayos beta son corrientes de electrones, también procedentes de

fuentes radiactivas. La radiación ionizante tiene propiedades penetrantes, importantes

en el estudio y utilización de materiales radiactivos. Los rayos alfa de origen natural

son frenados por un par de hojas de papel o unos guantes de goma. Los rayos beta son

detenidos por unos pocos centímetros de madera. Los rayos gamma y los rayos X,

según sus energías, exigen un blindaje grueso de material pesado como hierro, plomo

u hormigón, como se muestra en la figura 7.10. También existe la radiación mecánica,

que corresponde a ondas que sólo se transmiten a través de la materia, como las ondas

de sonido.

7.8.3.3 Leyes de radiación.

Ley de Stefan.

Todos los objetos emiten energía radiante, cualquiera sea su temperatura, por

ejemplo el Sol, la Tierra, la atmósfera, los Polos, las personas, etc. La energía radiada

por el Sol a diario afecta nuestra existencia en diferentes formas. Esta influye en la

temperatura promedio de la tierra, las corrientes oceánicas, la agricultura, el

comportamiento de la lluvia, etc.

Considerar la transferencia de radiación por una superficie de área A, que se encuentra

a una temperatura T. La radiación que emite la superficie, se produce a partir de la

energía térmica de la materia limitada por la superficie. La rapidez a la cual se libera

energía se llama potencia de radiación H, su valor es proporcional a la cuarta potencia

de la temperatura absoluta. Esto se conoce como la ley de Stefan (Joseph Stefan,

austriaco, 1835-1893), que se escribe como:


399

donde σ = 5,67.10-8

W/(m2K

4) se llama constante de Stefan-Boltzmann

(Ludwing Boltzmann, austriaco, 1844-1906) y ε es una propiedad radiactiva de la

superficie llamada emisividad, sus valores varían en el rango 0 < ε < 1, es una medida

de la eficiencia con que la superficie emite energía radiante, depende del material.

Un cuerpo emite energía radiante con una rapidez dada por la ecuación7.17, pero al

mismo tiempo absorbe radiación; si esto no ocurriera, el cuerpo en algún momento

irradiaría toda su energía y su temperatura llegaría al cero absoluto. La energía que un

cuerpo absorbe proviene de sus alrededores, los cuales también emiten energía

radiante. Si un cuerpo se encuentra a temperatura T y el ambiente a una temperatura

To, la energía neta ganada o perdida por segundo como resultado de la radiación es

Cuando el cuerpo está en equilibrio con los alrededores, irradia y absorbe la misma

cantidad de energía, por lo tanto su temperatura permanece constante. Cuando el

cuerpo está más caliente que el ambiente, irradia más energía de la que absorbe, y por

lo tanto se enfría.

Un absorbedor perfecto se llama cuerpo negro (no significa que sea de color negro),

que se define como un objeto ideal que absorbe toda la radiación que llega a su

superficie y su emisividad es igual a uno. No se conoce ningún objeto así, aunque una

superficie de negro de carbono puede llegar a absorber aproximadamente un 97% de

la radiación incidente. El Sol, la Tierra, la nieve, etc. bajo ciertas condiciones se

comportan como un cuerpo negro. En teoría, un cuerpo negro sería también un emisor

perfecto de radiación, y emitiría a cualquier temperatura la máxima cantidad de

energía disponible. A una temperatura dada, emitiría una cantidad definida de energía

en cada longitud de onda. En contraste, un cuerpo cuya emisividad sea igual a cero, no

absorbe la energía incidente sobre él, sino que la refleja toda, es un reflector perfecto.

Los cuerpos con emisividades entre 0 y 1 se llaman cuerpos grises, son los objetos

reales. A raíz del fracaso de los intentos de calcular la radiación de un cuerpo negro

ideal según la física clásica, se desarrollaron por primera vez los conceptos básicos de

la teoría cuántica. Una buena aproximación de un cuerpo negro es el interior de un

objeto hueco, como se muestra en la figura 7.11. La naturaleza de la radiación emitida

por un cuerpo hueco a través de un pequeño agujero sólo depende de la temperatura de

las paredes de la cavidad.

Figura 7.11. Representación de un cuerpo negro.

Ejemplo 7.4. Una carretera de superficie ennegrecida a una temperatura de 320 K

recibe energía radiante del Sol por un valor de 700 W/m2. Calcular la radiación neta

ganada por cada m2 de la superficie de la carretera.


400

Solución: la energía que emite la superficie de la carretera es:

Como del Sol recibe 700 W/m2, la radiación neta es:

Ley de Wien.

La figura 7.13, muestra la curva típica de la intensidad de radiación de un cuerpo

negro en función de la longitud de onda de la radiación emitida, para diferentes

valores de temperatura indicados como frío, templado y cálido. De acuerdo a la teoría

cuántica, se encuentra que los cuerpos a una temperatura determinada, emiten

radiación con un valor máximo para una longitud de onda λ dada. Al aumentar la

temperatura de un cuerpo negro, la cantidad de energía que emite se incrementa.

También, al subir la temperatura, el máximo de la distribución de energía se desplaza

hacia las longitudes de onda más cortas. Se encontró que este corrimiento obedece a la

siguiente relación, llamada ley del desplazamiento de Wien (Wilhelm Wien, alemán,

1864-1928):

donde λmax es la longitud de onda que corresponde al máximo de la curva de radiación

(figura 7.12), en µm, y T es la temperatura absoluta del objeto que emite la radiación.

La ley de Wien afirma que para la radiación de un cuerpo negro la longitud de onda

de máxima emisión es inversamente proporcional a la temperatura absoluta. Con esta

ley se demuestra que la emisión de radiación de la superficie terrestre tiene un máximo

en cerca de 9.9 µm, que corresponde a la región infrarroja del espectro. También

muestra que la temperatura del Sol, si el máximo de emisión de radiación solar ocurre

en 0.474 µm, es del orden de 6110 K.

Fig. 7.12. Intensidad de radiación de un cuerpo negro.


401

Ley de Planck.

Los objetos con mayor temperatura radian más energía total por unidad de área que los

objetos más fríos. Por ejemplo el Sol con una temperatura media de 6000 K en su

superficie, emite 1,6105(6000/300)

4 veces más energía que la Tierra con una

temperatura media en superficie de 289 K = 16º C. Por definición, un cuerpo negro es

un absorbedor perfecto. Este también emite la máxima cantidad de energía a una

temperatura dada. La cantidad de energía emitida por un cuerpo negro está únicamente

determinada por su temperatura y su valor lo da la Ley de Planck. En 1900, Max

Planck (alemán, 1858-1947), descubrió una fórmula para la radiación de cuerpo negro

en todas las longitudes de onda. La función empírica propuesta por Planck afirma que

la intensidad de radiación I(λ,T), esto es, la energía por unidad de tiempo por unidad

de área emitida en un intervalo de longitud de onda, por un cuerpo negro a la

temperatura absoluta T, está dada por:

donde I(λ,T) es la densidad de flujo de energía por unidad de longitud de onda, en

W/(m2µm), h es la constante de Planck, y k es la constante de Boltzmann, de valor k =

1,38.10-23

J/K. El gráfico de la función I(λ,T) para diferentes valores de temperatura

absoluta, se muestra en la figura 7.13.

Figura 7.14. Gráfico de la función I(λ,T) de la ley de Planck.


402

PROBLEMAS RESUELTOS

Problema 01

El calor específico de cierto material se determina

midiendo la variación de temperaturas que tiene

lugar cuando una porción calentada de metal se

sitúa en un recinto aislado construido del mismo

material y que contiene agua. La porción de metal

posee una masa de 100 g y una temperatura inicial de 100°C. El recinto posee una masa de 200 g y

contiene 500 g de agua a una temperatura inicial de

20°C. La temperatura final es 21,4°C.¿Cuál es el

calor específico del metal?.

Solución

Datos e incógnitas

m D D

w E e

100 ; a T 100 ; m 200 a T 20

500 ; a T 20 ; T 21,4 ; c =???

m

w

m g C g C

m g C C

Despreciando las pérdidas de energía, el calor

ganado por el recipiente y el agua es igual al calor

perdido por el metal.

GQ (1)PQ

El calor ganado será

,( ) ( )

200 (21,4 20) 500(1)(21,4 20)

280 700 (2)

G D x E D w e w E w

x

G x

Q m c T T m c T T

c

Q c cal

Calor perdido

( )

280 (100 201,4

7860 (3)

P m x m E

x

G x

Q m c T T

c

Q c

Remplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1) resulta

280 700 7860

0,092 Cal/g°C Rta

x x

x

c c

c

Problema 02

Un trozo de hielo de 200 a 0°C se introduce en 500

g de agua a 20°C. El sistema se encuentra en un

recinto de capacidad calorífica despreciable y

aislada de sus alrededores. Determine: (a) la

temperatura de equilibrio final; (b) la cantidad de

hielo que se funde

Solución.

Datos e incógnitas

h w

e,w e,h E h w

200 ; a T 0 ; 500 ; a T 20 ;

c =1cal/g°C; c =0,5 cal/g°C; T ??; m =??

h wm g C m g C

Debido a que en este problema existen cambios de

fase es necesario hacer un balance de energía para

determinar si todo el hielo se funde, o si ocurre una

conversión parcial.

Calor necesario para convertir el hielo en agua

1

1

200 (80 / )

16000 cal (1)

h fQ m L g cal g

Q

Calor cedido por el agua cuando esta pasa de 20°C

a 0°C

2 , 20 0

2

Q ( )

500(1)(20 0)

1000 cal (2)

w e wm c T T

Q

Comparando las ecuaciones (1) y (2) se observa que se funda todo el hielo se necesitan 16000 cal y

sólo se disponen de 1000 cal, por lo tanto no todo el

hielo se funde siendo la temperatura de equilibrio

TE =0°C

La cantidad de hielo fundido será

h w

h w

h w

m 1000

m (80 / ) 1000

m 125 g Rta.

fL cal

cal g cal

Problema 03

Un calorímetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20°C. Dentro del recipiente se

introduce de hielo de 100 g enfriado a -20°C. (a)

Determine la temperatura final del sistema

suponiendo que no hay pérdidas de energía. (b) Se

añade un segundo trozo de hielo de 200 g a -20°C.

¿Cuánto hielo queda en el sistema, una vez que se

ha alcanzado el equilibrio térmico?. (c) ¿Sería

distinta la respuesta a la parte (b) si ambos trozos se

agregaran al mismo tiempo?.

Solución

Datos e incógnitas


403

al w

'

h h

e,w e,h al

E h, queda

200 ; a T 20 ; 500 ; a T 20 ;

100 ; a T 20 ; 200 a T 20

c =1cal/g°C; c =0,5 cal/g°C; c =0,215cal/g°C

(a) T ??;( ) m =??; (c) verificar

al w

h h

m g C m g C

m g C m g C

b

Parte (a) Debido a que en este problema también

existen cambios de fase es necesario hacer un

balance de energía para determinar si todo el hielo

se funde, o si ocurre una conversión parcial.

Calor necesario para convertir el hielo en agua

100 (0,5 / )(20 ) 200 (80 / )

9000 cal (1)

G h e h f

G

Q m c T m L

g cal g C C g cal g

Q

Calor cedido por el agua más el calorímetro cuando

esta pasa de 20°C a 0°C

P ,

2

Q

200 (0,225 / )(20 ) 500 (1 / )(20 )

10800 cal (2)

al al w e wm c T m c T

g cal g C C g cal g C C

Q

Comparando las ecuaciones (1) y (2), se observa

que si disponemos de la cantidad de energía

suficiente para fundir todo el hielo e agua líquida e

incluso elevar la temperatura

G PQ Q

El calor ganado es '

100(0,5)(20) 100(80) 100(1)( )

9000 100

G h e f f w w

G E

G E

Q m c T m L m c T

Q T

Q T

El calor perdido es

''

200(0,215) 500(1) 20

543 20

P al al w w

E

P E

Q m c m c T

T

Q T

Por tanto se tiene

9000 543 20

2,89 Rta

E E

E

T T

T C

Parte (b). De la parte (a) ahora el sistema está

formado por

al w

h

200 ; a T 20 ; 600 ; a T 20 ;

200 ; a T 20 ;

al w

h

m g C m g C

m g C

El calor ganado será

'' ' '

G

''

G

Q

200(0,5)(20) 200(80)

Q 18000 (3)

h h h fm c T m L

cal

El calor perdido es

'' ''

P

''

P

Q

600(1)(2,89) 200(0,215)(289)

Q 1858,27 (4)

w w al alm c T m c T

cal

Comparando ahora las ecuaciones (3) y (4) se

observa que ahora que solo se disponen de 1858,27

cal para fundir todo el hielo sin embargo se

necesitan 18000 cal por tanto parte del agua se

transforma en hielo, siendo la nueva temperatura de

equilibrio 0°C y la masa fundida. La masa de agua

fundida será

'

Hm

200(0,5)(20) (600 1 200 0,215)(2,89) (80)

1000 1858,27 80

1,77

h w w al al w h f

x

x

x

c T m c m c T m L

x x m

m

m g

La masa total de hielo será

, 201,77h Tm g

Parte (c). Cuando se añaden ambos trozos a la vez

se tiene:

Calor ganado por el hielo

300 (0,5 / )(20 ) 300 (80 / )

27000 cal (6)

G h e h f

G

Q m c T m L

g cal g C C g cal g

Q

Calor perdido por el agua más el calorímetro.

P ,Q

200 (0,225 / )(20 ) 500 (1 / )(20 )

10800 cal (7)

al al w e w

P

m c T m c T

g cal g C C g cal g C C

Q

Comparando las ecuaciones (6) y (7), se observa

que no todo el hielo se funde. Por tanto la cantidad

de hielo fundido será


404

10860

80 10860 300(0,5)(20)

98,25

h h x f

x

x

m c T m L

m

m g

La masa de hielo que queda será

,

,

300 98,25

201,25

No existe variación.

h queda

h queda

m

m g

Problema 04

Un extremo de una varilla metálica aislada se

mantiene a 100°C, y el otro se mantiene a 0°C con

una mezcla de hielo más agua. La varilla tiene 40 cm de largo y el área transversal es 0,75 cm2. El

calor conducido por la varilla funde 3 g de hielo en

5 minutos. Determine la conductividad térmica de

material.

Solución

Datos e incógnitas.

1

2

0

3 ; t = 5 min; k = ??, T 100 ;

0 ; L = 40 cm; A = 0,75 cm

hm g C

T C

En la figura se muestra a la barra

40 cm

Ahora se determina el calor utilizado para fundir el

hielo

3 (80 / ) 240

240(4,186 )

1004,64 (1)

h fQ m L g cal g cal

Q J

Q J

La corriente térmica o calor por unidad de tiempo

será

3 (80 / ) 240

240(4,186 )

1004,64 (1)

h fQ m L g cal g cal

Q J

Q J

Se procede a determinar la conductividad térmica.

En el régimen estacionario

1 0

4 2

kA(T )H=

(0,75.10 )(100 0 )3,35

0,4

178,67 W/m.K

T

L

k m C CW

m

k

Problema 05

Una varilla larga, aislada para evitar pérdidas de

calor por los costados, está en contacto térmico

perfecto con agua hirviendo ( a la presión

atmosférica), en un extremo y con una mezcla de hielo-agua en el otro extremo como se muestra en

la figura. La varilla consiste en un tramo de 1 m de

cobre (un extremo en el vapor) unido al extremo de

otro ramo L2 de acero. La temperatura de la unión

cobre-acero es 65°C una vez que se alcanza el

estado estacionario, determine: (a) la corriente

térmica; (b) la longitud L2 que tiene el tramo de

acero; (c) la resistencia térmica del sistema y (d) la

cantidad de hielo que se funde en 40 min.

Considere que Kcu = 385 W/m.K y Kac = 50,2

W/m.K.

Solución

Parte (a). La corriente térmica es

4T 373 338I KA 385(6.10 )

x 1

8,085 /I J s

Parte (b). En el estado de régimen estacionario se

cumple que

2

4

2

2

'8,085

338 2738,085 50, 2(6.10 )

24, 2

cu ac

ac ac

I I

TK A

L

L

L cm

100°C

0°C


405

Parte (c). Resistencia térmica del sistema

4 4

( ) ( )

1 0,242

385(6.10 ) 50,2((6.10 )

51 K/W

T cu ac

cu ac

T

R R R

x x

KA KA

R

Parte (d). Cálculo del hielo fundido

Se sabe que

x

8,085 / (2400 )

19282,9 J

m (80 4,186 / ) 19282,9

57,58 g

x f

x

QH I

t

Q It J s s

Q m L

x J g J

m

Problema 06

Una barra de 2 m de longitud tiene un alma de

acero de 1 cm de diámetro rodeado de una camisa

de cobre cuyo diámetro externo es 2 cm. La

superficie exterior de la barra está térmicamente

aislada de modo que el calor sólo puede fluir

longitudinalmente por la varilla. (a) Determine la

corriente total de calor en la barra, en el estado

estacionario; (b) ¿Qué fracción transporta cada

material?. Considere que Kcu = 385 W/m.K y Kac = 50,2 W/m.K.

Solución

En primer lugar se determina el área de las

secciones transversales

Área transversal del acero

2 2

2

4 2

(1 )

4 4 4

0,785.10 (1)

ac

ac

d cmA cm

A m

Área transversal del cobre

2 2 2 2 2

cu

4 2

3A 2 1

4 4 4

2,356.10 (2)

cu ac

cu

d d cm

A m

Se determina ahora la corriente térmica en la barra

de acero

1 2ac

4

( )I

393 27350,2(0,785.10 )

2

0,1971 W (3)

ac ac

ac

T TK A

L

I

La corriente térmica en el cobre será

1 2cu

4

( )I

393 273385(2,356.10 )

2

4,54 W (4)

cu cu

ac

T TK A

L

I

La corriente total será

acI=I 0,197 4,54

4,737 W

cuI

I

Parte (b). Fracción de corriente que pasa por cada

barra

0,197x100En el acero= 4,2%

4,737

4,54x100En el cobre= 95,8%

4,737

Problema 07

Se disponen dos cubos metálicos de 3 cm de lado,

uno de cobre y el otro de aluminio tal como se

muestra en la figura. Determine: (a) la resistencia

térmica de cada uno de los cubos, (b) la resistencia

total de sistema, (c) la corriente térmica y (d) la

temperatura en la interface de los cubos.

Solución


406

Datos e incógnitas

1

2

0

3 ; t = 5 min; k = ??, T 100 ;

0 ; L = 40 cm; A = 0,75 cm

hm g C

T C

Parte (a). cálculo de la resistencia térmica

2

2 2

3.10

401(3.10 )

0,083 / (1)

cu

cu cu

cu

xR

K A

R K W

2

2 2

' 3.10

237(3.10 )

0,14 / (2)

al

al al

cu

xR

K A

R K W

Parte (b). La resitencia total será

TR 0,083 0,14

0,224 K/W (3)

cu al

T

R R

R

Parte (c). Corriente térmica esta dada por

373 273 (0,224 / )

357,14 W

eqT IR

K K I K W

I

Parte (d). Cálculo de la temperatura en la interface.

Se sabe que en régimen estacionario la corriente se mantiene constante, por lo tanto

'

373 357,14 (0,224 / )

343,4 K

cu

x

x

T IR

K T W K W

T

Problema 08

Los mismos cubos empleados en el problema

anterior se disponen en la forma indicada en la

figura. Determine: (a) la resistencia térmica de cada

uno de los cubos, (b) la corriente térmica y (c) la

resistencia térmica equivalente.

Solución

Parte (a). La resistencia térmica en cada cubo será

2

2 2

3.10

401(3.10 )

0,083 / (1)

cu

cu cu

cu

xR

K A

R K W

2

2 2

' 3.10

237(3.10 )

0,14 / (2)

al

al al

cu

xR

K A

R K W

Parte (b). La corriente térmica en cada cubo es

373 273 (0,083 / )

963,86 W

373 293 (0,224 / )

571,43

eq

cu

cu

al al

al

al

T IR

K K I K W

I

T I R

K K I K W

I W

La corriente total será

963,86 571,43

1535,3 W

total cu alI I I

I

Parte (c). La resistencia térmica equivalente es

eq

0,083(0,14)R

0,083 0,14

0,052 K/W

cu al

cu al

eq

R R

R R

R

Problema 09

Un pequeño estanque tiene una capa de hielo de 1

cm de espesor flotando sobre él. (a) si la

temperatura del aire es -10°C, halle la velocidad en

cm/h con que aumenta el espesor del hielo por su parte inferior, (b) ¿Cuánto tiempo tardará en

formarse una capa de hielo de 20 cm de espesor?.

Considere que ρh =0,917 g/cc; Kh = 4,78.10-3

cal/s.cm°C.

Solución

Datos e incógnitas

1 2

3

h

1 ; T 0 ; T 10 ;

0,917 / ; K 4,78.10 / . .h

e cm C C

g cc cal s cm C


407

Parte (a). En la figura se muestra la capa de hielo y

la forma como ocurre el flujo térmico, además

suponemos que se está formando una capa de hielo

de espesor x

La corriente térmica se expresa en la forma

1 2 (1)T TdQ

I H KAdt e

La masa de la capa de hielo de área A y espesor dx

que se está formando es

dm = dV = Adx (2)

El calor necesario para que pase el agua de 0°C a hielo a 0°C es

f fdQ = L ( ) = L Adx (3)dm

Remplazando (3) en (1) se tiene

f 1 2

1 2

3

L Adx

4,78.10 10

0,917 1 80

2,34 /

f

KA T T

dt e

K T Tdxv

dt eL

v cm h

Parte (b). Cálculo del tiempo

f

20

f0 0

10

L Adx 10

L 10

85,3 h Rta

t

dQKA

dt x

KA

dt x

xdx K dt

t

Problema 10

Una barra de sección transversal uniforme A y de

longitud L que tiene la superficie lateral

termoaislada se compone de un material, cuya

conductividad térmica varía con la temperatura

según la ley , donde α es una constante y T es

la temperatura. Los extremos de la barra se

mantienen a las temperaturas T1 y T2 (T1 > T2).

Determine: (a) la corriente térmica y (b) la

dependencia T(x), donde x es la distancia medida

desde el extremo con temperatura T1.

Solución.

En la figura se muestra la forma de la barra

x

L

La ley de conducción de calor en este caso nos da

(1)

(2)

dTH KA

dx

Hdx KAdT

AHdx dT

T

Integrando la expresión anterior resulta

2

10

1

2

ln (3)

L T

T

dTH dx A

T

TAH

L T

Parte (b). Para determinar T(x) se procede a

integrar la expresión (2) pero con otros límites,

esto es

10

1ln (4)

xx T

T

x

dTH dx A

T

TAH

x T

Remplazando (3) en (4), resulta

T1

T2


408

1 1

2

/

11

2

ln ln

(5)

x

x L

x

T TA A

L T x T

TT T

T

Problema 11

Una tubería de vapor de agua de 2 cm de radio que

lleva vapor a 140oC, está rodeada por una camisa

cilíndrica de corcho (Ke = 0,04 W/m.K) con radios

exterior e interior de 2 cm y 4 cm, respectivamente,

ésta a su vez está rodeada por una camisa de

espuma de poliestireno (Ke = 0,01 W/m.K) con

radios interior y exterior de 4 cm y 6 cm,

respectivamente. La superficie exterior de la

espuma de poliestireno está en contacto con el aire

de 20oC. Determine: (a) la temperatura en un radio

de 4 cm (la unión de los materiales aislantes) y (b)

La corriente térmica total hacia fuera de un tramo de 2 m de tubería.

Solución

Debido a que la transferencia de calor es a través de

la superficie lateral del cilindro, entonces la

corriente térmica se expresa

1

1

1

2

2 (1)

r

dTH K A

dr

dTK rL

dr

drH LK dT

r

Integrando la ecuación anterior desde r = a, hasta

r = b, resulta

1

1

1

2

2 (2)

ln

x

a

b T

a T

x a

drH LK dT

r

LK T TH

b

a

Integrando la ecuación desde r = b hasta r = c, se

tiene

2

1

2

2

2 (3)

ln

c

x

c T

b T

c x

drH LK dT

r

LK T TH

c

b

Parte (a). En régimen estacionario se tiene

1 2

1 2

1 2

2 2

ln ln

ln ln

0,04 413 0,02 293

4 6ln ln2 4

377,2 104,2 Rta

x a c x

x a c x

x x

x

H H

LK T T LK T T

b ca b

K T T K T T

b ca b

T T

T K C

Parte (b). Cálculo de la corriente térmica. De la

ecuación (2), se tiene

1

1

2

ln

2 (2) 0,04 377,2 413

ln 4 / 2

26,1 W Rta

x aLK T TH

b

a

H

H

Problema 12

Un iglú hemisférico hecho de nieve compactada tiene un radio interior de 2 m. Se desea mantener en

su interior una temperatura de 20°C. El calor

generado por los habitantes del iglú es 30.106 J/dia.

¿Qué espesor debe tener las paredes del iglú

sabiendo que la temperatura exterior es – 20°C

y la conductividad térmica de la nieve compactada

es 0,209 W/m.K?.

Solución

En la figura se muestra el iglú


409

En este caso asumimos que el flujo de calor a través

de la superficie del iglú es radial. Por lo tanto la

ecuación de conducción de calor será

242

22 (1)

r

dTH KA

dr

dTK r

dr

drH KdT

r

Integrando la ecuación (1) desde r = a hasta r = b,

resulta

22

2 (2)

2 2(2 ) 0,209 20 ( 20)347,2 /

86,7 Rta

b

a

b T

ha T

h a b

drH K dT

r

ab K T TH

b a

eJ s

e

e cm


410

PROBLEMAS PROPUESTOS

1. a) Una persona de 80 kg intenta bajar de

peso subiendo una montaña para quemar el

equivalente a una gran rebanada de un rico

pastel de chocolate (700 Cal alimenticias).

¿A qué altura debe subir? b) Otra persona

consume energía a razón de 150 W durante

su trabajo, ¿qué cantidad de pan debe

ingerir para poder trabajar durante una hora? (Calor de combustión del pan es 8000

cal/g). Considere que el 25% de la energía

liberada del alimento se aprovecha como

trabajo útil.

R: a) 934 m, b) 64.5 g.

2. Se acuerdan del problema del Salto del

Laja; suponga ahora que el agua en su parte

superior tiene una temperatura de 15ºC. Si

toda su energía potencial se emplea en calentar el agua que cae, calcule la

temperatura del agua en la base del salto.

R: si altura del salto se estima en 25m,

15.06ºC.

3. Se utilizan 2 kcal para calentar 600 gr de una

sustancia desconocida de 15ºC a 40ºC.

Calcular el calor específico de la sustancia.

R: 0.13 cal/grºC.

4. Un trozo de cadmio de 50 gr tiene una

temperatura de 20ºC. Si se agregan 400 cal al

cadmio, calcular su temperatura final.

5. A un vaso aislante del calor (de plumavit)

que contiene 200 cm3 de café a la

temperatura de 95ºC, se le agregan 40 cm3

de leche que se encuentra a temperatura

ambiente. Calcular la temperatura de

equilibrio que alcanza la mezcla. (Suponer

calor específico de los líquidos igual al del agua y considere un día de primavera).

6. Al desayunar, usted vierte 50 cm3 de leche

refrigerada en su taza que contiene 150 cm3

de café recién preparado con agua hirviendo.

Calcular la temperatura de equilibrio alcanza

esta apetitosa mezcla. (Desprecie la capacidad

calórica de la taza).

R: 75ºC.

7. Se enfría un bloque de 40 gr de hielo hasta -50ºC. Luego se agrega a 500 gr de agua en un

calorímetro de 75 gr de cobre a una

temperatura de 25ºC. Calcular la temperatura

final de la mezcla. Si no se funde todo el hielo,

calcular cuánto hielo queda.

8. En un recipiente aislado se mezclan 150 g de

hielo a 0ºC y 600 g de agua a 18ºC. Calcular:

a) la temperatura final del sistema, b) la

cantidad de hielo queda cuando el sistema

alcanza el equilibrio.

R: a) 0º C, b) 14.4 g.

9. Un recipiente de aluminio de 300g contiene

200g de agua a 10º C. Si se vierten 100 g más

de agua, pero a 100º C, calcular la temperatura

final de equilibrio del sistema.

R: 34.6º C.

10. Un calorímetro de 50 g de cobre contiene 250

g de agua a 20º C. Calcular la cantidad de

vapor que se debe condensar en el agua para

que la temperatura del agua llegue a 50ºC.

R: 12.9 g

11. Un calorímetro de aluminio con una masa

100 gr contiene 250 gr de agua. Están en

equilibrio térmico a 10ºC. Se colocan dos

bloques de metal en el agua. Uno es 50 gr de

cobre a 80ºC. El otro una muestra de masa de

70 gr a una temperatura de 100ºC. Todo el

sistema se estabiliza a una temperatura final

de 20ºC. Deducir de qué material se trata la

muestra.

12. Un envase plumavit contiene 200 g de

mercurio a 0ºC. Se le agregan 50 g de alcohol

etílico a 50ºC y 100 g de agua a 100ºC. a)

Calcular la temperatura final de la mezcla. b)

calcular el calor ganado o perdido por el

mercurio, alcohol y agua. Desprecie la

capacidad térmica del plumavit.

R: a) 84.4º C, b) 557 cal, 998 cal, 1560 cal.

13. Un cubo de hielo de 20 g a 0ºC se calienta

hasta que 15 g se han convertido en agua a

100ºC y el resto en vapor. Calcular el calor

necesario para este proceso.

R: 21739 J.

14. Un trozo de cobre de 1 kg y a 20ºC se

sumerge en un recipiente con nitrógeno

líquido hirviendo a 77K. Calcular la cantidad

de nitrógeno que se evapora hasta el momento

en que el cobre alcanza los 77K. Suponga que el recipiente está aislado térmicamente.

R: 941 kg.


411

15. La temperatura en áreas costeras se ve

influenciada considerablemente por el gran

calor específico del agua. Una razón es que el

calor liberado cuando un metro cúbico de

agua se enfría en 1ºC aumentará la

temperatura de un volumen enormemente más

grande de aire en 1ºC. Calcule este volumen

de aire. El calor específico del aire es

aproximadamente 1 kJ/(kgºC). Considere la densidad del aire igual a 1,25 kg/m3.

R: Vaire = 3433 Vagua.

16. Un estudiante inhala aire a 22ºC y lo exhala a

37ºC. El volumen promedio del aire en una

respiración es de 200 cm3. Ignore la

evaporación del agua en el aire y estime la

cantidad de calor absorbido en un día por el

aire respirado por el estudiante.

R: 3.75 J por respiración.

17. Un calentador de agua funciona por medio de

potencia solar. Si el colector solar tiene un

área de 6 m2 y la potencia entregada por la luz

solar es de 550 W/m2, ¿Cuál es el tiempo

mínimo en aumentar la temperatura de 1 m3

de agua de 20ºC a 60ºC? Indique la(s)

suposición(es) hecha(s).

R: aprox. 14 horas.

18. Cuando un conductor frena su auto, la fricción entre los tambores y las balatas de los frenos

convierten la energía cinética del auto en calor.

Si un auto de 1500 kg que viaja a 30 m/s y se

detiene, ¿cuánto aumenta la temperatura en

cada uno de los cuatro tambores de hierro de

8 kg de los frenos? (desprecie la pérdida de

energía hacia los alrededores).

R: 47.1º C.

19. Dos balas de plomo cada una de 5,0 g, a 20ºC y moviéndose a 400 m/s chocan de

frente. Suponiendo una colisión

perfectamente inelástica y que no hay ninguna

pérdida de calor hacia la atmósfera, describa el

estado final del sistema (las dos balas).

R: 645º C.

20. Un lago contiene cerca de 5.1011 m3 de agua.

a) ¿Cuánto calor se necesita para elevar la

temperatura de ese volumen de agua de

14.5 a 15.5ºC? b) Calcule el tiempo que se requeriría para calentar el lago, entre esas

temperaturas, si el calor lo suministra una

central eléctrica de 1000MW.

R: b) aprox. 66 años.

21. El gradiente térmico de la Tierra, medido en la

superficie es 30º C/km. Suponga que este

valor no cambia en todo el trayecto hasta el

centro de la Tierra. Si la temperatura en la

superficie terrestre es 17º C, calcular la

temperatura en el centro de la Tierra. ¿Considera que es una respuesta razonable?

Considerar el radio terrestre de 6370 km.

R: 191117º C.

22. Una barra de hierro de 60 cm de longitud y

área transversal de 2 cm2, tiene un extremo a

80º C y el otro a 20º C. Calcular: a) el

gradiente de temperatura, b) la rapidez de

transferencia de calor, c) su temperatura a 20

cm del extremo caliente.

R: a) -100 ºC/m, b) 1.6x10-4 W, c) 60ºC.

23. Dos barras de la misma longitud, de

diferentes materiales y áreas transversales se

colocan paralelas entre sí. Encuentre la

expresión de la tasa del flujo de calor en

términos de las conductividades térmicas y las

áreas de las barras. Generalice el resultado al

caso de más de dos barras.

R: -(∆T/∆x)(k1A1+k2A2)

24. Un carpintero construye una pared. Hacia el

exterior coloca una lámina de madera (k =

0.08 W/mK) de 2 cm de espesor y hacia el

interior una capa de espuma aislante (k = 0.01

W/mK) de 3,5 cm de espesor. La temperatura

de la superficie interior es de 19º C, y la

exterior es –10º C. Calcular: a) la temperatura

en la unión entre la madera y la espuma, b) la

razón de flujo de calor por m2 a través de esta

pared.

R: a) -15.3º C, b) -53.2 W/m2.

25. Una tabla de área de 2 m2 y 2 de cm de espesor

se usa como una barrera entre un cuarto a 20º

C y una región a 50º C. Calcular el número de

clavos de acero de 2 cm de longitud y 4 mm de

diámetro que se deben clavar sobre la tabla

para que el flujo de calor a través de la tabla se

duplique.

R: aprox. 160 clavos.

26. Un extremo de una varilla metálica aislada se

mantiene a 100º C, y el otro se mantiene a 0º C

en contacto con una mezcla de hielo-agua. La

varilla tiene 40 cm de longitud y un área


412

transversal de 0,75 cm2. El calor conducido

por la varilla funde 3 g de hielo en 5 minutos.

Calcular: a) el gradiente térmico a lo largo de

la varilla, considerando que este es uniforme,

b) la cantidad de calor conducida por la varilla,

c) la conductividad térmica del metal. d) Si el

extremo que está a 100º C está en contacto con

vapor ¿qué cantidad de vapor condensa en los

5 minutos señalados?

R: a) 250 ºC/m, b) 3.3 W, c) 173.7 W/mK, d)

0.44 g.

27. Una barra de hierro de 20 cm de largo con un

diámetro de 1 cm tiene un extremo sumergido

en una mezcla de hielo a 0º C, mientras que el

otro extremo está en un tanque de vapor a 100º

C. Suponga que a lo largo de la barra se ha

establecido un gradiente de temperatura

uniforme. Calcular: a) la rapidez del flujo de

calor a lo largo de la barra, b) la rapidez con la que se funde el hielo en el extremo frío, c) la

rapidez con la que se condensa el vapor en el

extremo caliente para mantener el gradiente de

temperatura uniforme, d) el gradiente de

temperatura a lo largo de la barra.

28. Una heladera cúbica de plumavit, de 30 cm de

lado y 2 cm de espesor, tiene una temperatura

interna de 5º C y externa de 25º C. Si 5kg de

hielo se funden en 8 horas, calcular la

conductividad térmica del material.

R: 0.143 W/mºC.

29. Un tubo de vapor se cubre con material

aislante de 0.5 cm de espesor y 0.2 cal/(s cm

ºC) de conductividad térmica. Inicialmente

¿Cuánto calor se pierde por segundo si el tubo

está a 120º C y el aire circundante a 20º C? El

tubo tiene un perímetro de 20 cm y una

longitud de 50 cm. Ignore las pérdidas por los

extremos del tubo. Analice la conveniencia o

no de usar la relación dada para superficies planas. Estrictamente, debería usar la ecuación

diferencial para la tasa conducción de calor e

integrar para un conjunto de capitas

superpuestas, cada una de forma cilíndrica y

muy delgadita.

R: 5.3x104 W

30. Una ventana térmica de 6 m2 se construye con

dos capas de vidrio, cada una de 4 mm de

espesor, separadas por un espacio de aire de 5

mm. Si la parte interna está a 25º C y la externa a 0º C, calcular la pérdida de calor a

través de la ventana.

31. A cierta familia le agrada tener la casa a 23° C

durante el invierno, cuando afuera hay 0° C.

¿Qué temperatura interna deberían elegir si

quisieran bajar sus gastos en combustibles en

10%? Explique clara- mente las hipótesis que

hizo.

R: 20.7º C.

32. a) Si la temperatura promedio de la piel de

algún alumno es 30º C, su poniendo una emisividad ε = 0.97, calcular la radiación que

emite. b) Si la temperatura promedio de las

paredes de la sala donde se encuentra es 15º C,

calcular la radiación que emite, considerada

como cuerpo negro. c) Calcular la radiación

neta para el alumno.

33. Una dama se encuentra en bikini en una sauna

cuyas paredes están a 85°C y tienen una

emisividad igual a 1. Su piel se encuentra a

40°C y su emisividad es 0.8. a) ¿Cuánto calor absorbe la dama por radiación de las paredes?

b) ¿Cuál es la tasa a la cual la dama irradia

energía al medio exterior? c) ¿Cuánto sudor

debería evaporar por hora para que su

temperatura se mantenga normal y estable?

(Suponga que éste es el único mecanismo de

pérdida energía y que no está produciendo

energía por metabolismo). Considere que el

calor latente del sudor, a 37º C, es 2427 kJ/kg

(compare con el del agua, tenga presente que

éste último está dado a 100º C).

34. Averiguar en algún texto de óptica, cual es la

longitud de onda y la frecuencia de la radiación

donde el ojo humano tiene la máxima

sensibilidad, ¿y el ojo de un gato?, ¿un

murciélago?, ¿un búho?

35. Calcular la frecuencia en Hertz y la energía en

J (ecuación 14.4), para las longitudes de onda

de cada tipo de radiación de la tabla 14.4.

36. La temperatura de la superficie del Sol es de

unos 6000 K. Tomando el radio del Sol igual

7x108 m, calcular la energía total irradiada por

el Sol cada día.

R: 3.7x1031 J.

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Capitulo Vii. Calor y Propagacion Del Calor