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CAPITULO vii
CALOR Y PROPAGACIN DEL CALOR
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7.1. INTRODUCCIN.
Es sabido que cuando dos cuerpos o sistemas a diferentes
temperatura se ponen en
contacto, la temperatura del cuerpo ms caliente disminuye y la
temperatura del
cuerpo ms fro aumenta. Si a estos cuerpos se le deja en contacto
cierto tiempo,
ambos alcanzan una temperatura comn de equilibrio en algn punto
comprendido
entre las temperaturas inciales. Cuando ocurre dicho proceso se
dice que ocurre un
flujo de calor del cuerpo ms caliente hacia el cuerpo ms fro.
Pero Cul es la
naturaleza de la transferencia de calor?. Los primeros
cientficos crean que el calor
era una sustancia material invisible llamada calrico, la cual
pasaba de un cuerpo a
otro. De acuerdo con esta teora, el calor no se poda crear ni
destruir. Aun cuando sta
teora tuvo xito en la descripcin de la transferencia de calor,
posteriormente fue
desechada debido a su inconsistencia con los experimentos.
La primera observacin experimental de que el calrico no se
conservaba la realiz B.
Thompson al final del siglo XVIII, un americano emigrado a
Europa y nombrado
director del Arsenal de Baviera. Thompson supervis el torneado
de los caones de
Baviera. A causa del calor generado por el taladro se utilizaba
agua para refrigerar y
haba que remplazarlo continuamente, porque se evaporaba durante
la operacin. De
acuerdo con la teora del calrico, cuando el metal procedente del
torneado se cortaba
en trozos pequeos, su propiedad de retener calor disminua. Por
lo tanto se ceda
calrico al agua calentndolo hasta la ebullicin. Thompson observ,
sin embargo, que
aun cuando la broca no estuviese lo suficientemente afilada como
para cortar el metal,
el agua segua evaporndose en tanto la broca giraba.
Aparentemente el calrico se
produca por friccin y poda producirse indefinidamente. As sugiri
que el calor no
era una sustancia que se conservara, sino alguna forma de
movimiento que era
comunicada de la broca al agua. Demostr adems que el calor
producido era
aproximadamente proporcional al trabajo realizado durante la
operacin del taladro.
Existen muchos otros experimentos que contradicen la teora del
calrico. Por
ejemplo, si se frotan entre s dos bloques de hielo en un da en
que la temperatura
ambiental es menor a 00C, los bloques se fundirn; este
experimento lo realiz por
primera vez H. Davy. Para explicar de manera apropiada esta
creacin del calrico, se observa que en el proceso se realiza
trabajo mecnico sobre el sistema. Por lo tanto,
se ve que los efectos de realizar trabajo mecnico sobre el
sistema y el de agregarle
calor directamente, como una flama, son situaciones
equivalentes. Es decir, tanto el
trabajo como el calor son formas de transferencia de energa.
Aun cuando los experimento mostraron que la energa calorfica no
se conserva, no
fue sino hasta mediados del siglo XIX que se desarroll el modelo
mecnico moderno
del calor. Desde este punto de vista el calor se trat como otra
forma de energa que
se transfiere de un cuerpo hacia otro debido a su diferencia de
temperaturas. Los
experimentos ms precios que demuestran esta teora los realiz
James Joule (1818 1889) hacia finales de 1830. Joule demostr que la
aparicin o desaparicin de una
cantidad dada de calor va siempre acompaada de la desaparicin o
aparicin de una
cantidad equivalente de energa mecnica. Los experimentos de
Joule y otros
experimentos demostraron que ni el calor ni la energa se
conservan
independientemente, pero que la energa mecnica perdida iguala al
calor producido.
Lo que se conserva es el total de la energa mecnica y la energa
trmica.
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383
7.2. CALOR Y ENERGA TRMICA
Las magnitudes como el calor y la energa interna de una
sustancia son dos conceptos
muy diferentes. La palabra calor slo se debe usar cuando se
describe la energa que
se transfiere de un lugar hacia otro. Es decir, el flujo de
calor es una transferencia de
energa que se lleva a cabo como una consecuencia de las
diferencias de
temperaturas nicamente. Por otro lado, la energa interna es la
energa que tiene un
cuerpo debido a su temperatura.
En un gas ideal la energa interna est asociada con el movimiento
interno de sus
tomos y molculas. Es decir, la energa interna del gas es
esencialmente su energa
cintica en una escala microscpica, mientras ms grande sea la
temperatura del gas
ms grande es la energa interna. En forma anloga, el trabajo
realizado sobre (o por)
el sistema es una medida de la energa transferida entre el
sistema y sus alrededores,
mientras que la energa mecnica (cintica y potencial) es una
consecuencia del
movimiento y de la posicin del sistema. Por lo tanto cuando se
hace trabajo sobre un
sistema se transfiere energa al sistema. Es decir, no tiene
sentido hablar de trabajo de
un sistema slo se puede referir uno al trabajo realizado por o
sobre un sistema
cuando ha ocurrido cierto proceso en el cual el sistema cambia
en alguna forma. De la
misma forma no tiene sentido hablar de calor al menos que alguna
de las variables
termodinmicas del sistema haya sufrido un cambio.
Debe hacerse notar adems que se puede transferir energa entre
dos sistemas, an
cuando no haya flujo de calor. Un ejemplo lo constituye la
frotacin de dos cuerpos
entre s, durante el proceso el trabajo mecnico entre ellos
produce un aumento en su
energa interna.
7.3. UNIDADES DE CALOR.
El flujo de calor que interviene en un proceso se mide por algn
cambio que acompaa
a ste proceso, y una unidad de calor se define como el calor
necesario para producir
una transformacin de tipo convenida. Las unidades de calor
son:
7.3.1. La calora(cal). Es la cantidad de calor necesaria para
aumentar la temperatura
de 1 gramo de agua a la presin atmosfrica de 14,5 0C a 15,5
0C.
7.3.2. La kilocalora (kcal). Es la cantidad de calor necesaria
para aumentar la
temperatura de 1 kg de agua de 14,5 0C a 15,5
0C.
7.3.3. La unidad trmica britnica (BTU). Definida como la
cantidad de calor
necesaria para elevar la temperatura de una libra de agua de 63
0F a 64
0F.
7.3.4. El joule(J). Debido a que el calor es una forma de energa
en la actualidad la
unidad de calor es el Joule.
Las equivalencias entre estas distintas unidades de calor
son:
1 cal = 4, 186 J = 3,968.10-3 BTU 1 J = 0,2389 cal = 9,478.10-4
BTU BTU = 1055 J = 252 cal
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7.3. EQUIVALENTE MECANICO DEL CALOR.
James Joule efectu varios experimentos que muestran que el flujo
de calor as como
el trabajo, representan una forma de transferencia de energa.
Uno de estos
experimentos se muestra en la Figura 7.1. El sistema de inters
consta del agua
encerrado en un recipiente trmicamente aislado. Se hace trabajo
sobre el agua por
medio de la rueda de paletas que se hace girar al caer las pesas
con una rapidez
constante. El agua, la cual es agitada por las paletas, se
calienta debida a la friccin
entre sta y las paletas. Si se desprecia la energa que se pierde
en las poleas, en los
cojinetes, y en las paredes del recipiente, entonces la energa
potencial que pierden las
pesas al caer es igual al trabajo realizado por las paletas
sobre el agua
Este experimento muestra que hay un aumento de temperatura para
una cantidad
especfica de trabajo y por tanto habr un equivalente preciso
entre trabajo efectuado
sobre el sistema (W) y el flujo de calor hacia el agua (Q). Para
un sistema trmicamente aislado se cumple que
WQ (7.1)
Este resultado se conoce como equivalente mecnico del calor, es
decir
1 cal = 4,186 J (7.2)
(a) (b)
Figura 7.1. (a) Fotografa del aparato para el experimento de
Joule en la que se ve
la rueda de paletas y el recipiente; (b) Diagrama esquemtico
del
aparato utilizado por Joule para demostrar la conversin de
trabajo en
calor.
7.4. CAPACIDAD CALORFICA Y CALOR ESPECFICO.
7.4.1. Capacidad calorfica.
Cuando se adiciona calor aun cuerpo, normalmente aumenta su
temperatura del
mismo. (Los cambios de fase constituyen una excepcin). La
cantidad de energa
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calorfica que se requiere para elevar la temperatura de una masa
dada de una
sustancia vara de una sustancia a otra. Por modelo, el calor
necesario para elevar la
temperatura de 1 kg de agua en1 0C es de 4186 J, pero el calor
necesario para elevar la
temperatura de 1 kg de cobre en 1 0C es slo 387 J.
La capacidad calorfica, C, de cualquier sustancia se define como
la cantidad
de energa calorfica que se requiere para elevar la temperatura
de la
sustancia en un grado Celsius.
Es decir si se agrega, Q unidades de calor a una sustancia le
produce un cambio en la temperatura, T, entonces
TCQ (7.3)
En esta ecuacin, Q, puede ser positivo o negativo. La cantidad,
C, siempre es positiva, es decir el signo del cambio de temperatura
indica el signo del flujo de calor.
7.4.2. Calor especfico.
La dependencia que tiene la capacidad calorfica con la cantidad
de masa de la
sustancia puede eliminarse definiendo el calor especfico.
El calor especfico (ce ) de una sustancia se define como la
capacidad
calorfica por unidad de masa.
Tm
Q
m
Cce (7.4)
El calor especfico de una sustancia es numricamente igual a la
cantidad de calor que
hay que suministrarle a una unidad de masa de dicha sustancia
para elevar su
temperatura en un grado.
Las unidades de capacidad calorfica es cal/grado; Btu/grado;
J/grado; mientras que
las unidades de calor especfico son cal/gramo-grado,
Btu/libra-grado, J/kg-grado.
Debe indicarse que ni la capacidad calorfica, ni el calor
especfico de una sustancia es
constante, sino que dependen de la variacin de la temperatura,
Las ecuaciones (3) y
(4) solamente proporcionan valores medios.
El calor especfico de una sustancia a cualquier temperatura se
expresa mediante la
ecuacin.
dTm
dQce
. (7.5)
La cantidad de calor que debe proporcionarse a un cuerpo de
masa, m, cuyo material
tiene un calor especfico ce para elevar su temperatura desde Ti
hasta Tf es
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dTcmQ
f
i
T
T
e (7.6)
Siendo el calor especfico funcin de la temperatura. A
temperaturas ordinarias y en
intervalos de temperaturas ordinarias el calor especfico puede
considerarse como
constante, en estas condiciones la ecuacin (6) se escribe
TmcQ e (7.7)
La fig. 7.2, muestra la variacin del calor especfico del agua
con la temperatura.
Figura7.2. Variacin del calor especfico del agua con la
temperatura.
De esta grfica se observa que el calor especfico vara menos del
1 % de su valor 1
cal/g-0C, a 15
0C.
Las ecuaciones (5.5) y (5.7) no define el calor especfico en
forma nica. Debe
especificare adems las condiciones bajo las cuales se agrega el
calor a la sustancia.
Una de estos casos es que la presin se mantiene constante, sin
embargo hay muchas
otras posibilidades y cada una ellas conducen a diferentes
valores del calor especfico.
7.4.3. Capacidad calorfica molar.
En muchos casos por ejemplo para los gases, es ms conveniente
expresar el
calor especfico tomando como unidad de masa el mol de sustancia,
definindose
La capacidad calorfica molar como la capacidad calorfica por
mol.
M
dQC
ndT (7.8)
7.4.4 Ley de Dulong y Petit.
En 1819 estos cientficos mostraron que la capacidades calorficas
molares de
todos los metales excepto los ms ligeros es aproximadamente la
misma, e igual a 6
cal/mol-0C..La tabla 01 muestra tal situacin.
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Tabla N 01. Valor de la capacidad calorfica molar para algunos
slidos a
temperatura ambiente y 1 atmsfera de presin.
Sustancia Calor
especfico
Peso
molecular
Capacidad
calorfica
molar
Aluminio 0,215 27 5,82
Carbono 0.121 12 1,46
Cobre 0,0923 635 5,85
Plomo 0,0305 207 6,32
Plata 0,0564 108 6,09
Wolframio 0,0321 184 5,92
7.5. MEDIDAS DEL CALOR ESPECFICO (ce) CALORIMETRIA.
Una tcnica para medir el calor especfico de slidos y lquidos
consiste en calentar la
sustancia a cierta temperatura, colocarlo en un recipiente con
una masa dada de agua a
una temperatura conocida y medir la temperatura del agua una vez
que se haya logrado
el equilibrio trmico. An cuando se realiza una cantidad de
trabajo, ste puede
despreciarse.
El principio de conservacin de la energa requiere que la
cantidad de calor que
transfiere la sustancia ms caliente (calor especfico
desconocido) es igual a la
cantidad de calor que recibe el agua ms el recipiente, esto
es:
ganadocedido QQ
wecalecalweewwexexx TTcmTTcmTTcm ,
exx
wecalecalwew
xeTTm
TTcmcmc
))(( ,,, (7.9)
donde: Tx = temperatura de la sustancia; Te = temperatura de
equilibrio; Tw = TCal =
temperatura del agua y del calormetro inciales; mw = masa del
agua; mcal = masa del
calormetro; cw = calor especfico del agua; ccal = calor
especfico del calormetro; mx =
masa de la sustancia; cx = calor especfico de la sustancia.
7.7. CAMBIOS DE FASE Y FLUJO DE CALOR.
Cuando se le suministra calor a un cuerpo a presin constante, el
resultado es un
aumento de la temperatura del cuerpo. Sin embargo a veces un
cuerpo puede absorber
grandes cantidades de calor sin variar su temperatura. Este
fenmeno ocurre cuando
hay cambio de fase, es decir cuando la condicin fsica de la
sustancia est cambiando
de una forma a otra. Los principales cambios de fase son: la
fusin, que es el cambio
de la fase slida a la lquida; la vaporizacin, que es el paso de
la fase lquida a la de
vapor y la sublimacin que es el paso de directo de la fase slida
a la de vapor.
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Estos fenmenos son explicados por la teora molecular. Un aumento
de la
temperatura de la sustancia refleja el hecho de que se ha
incrementado la energa
cintica molecular media. As por ejemplo cuando un slido pasa a
la fase lquida sus
molculas que estaban fuertemente unidas cuando est liquido estas
fuerzas
disminuyen. Esto exige que se desarrolle trabajo contra las
fuerzas atractivas, es decir
debe agregarse energa a las molculas para que se separen. Esta
energa pasa a
aumentar la energa potencial de las molculas ms que a
incrementar la energa
cintica. Por lo tanto la temperatura de la sustancia no
vara.
En una sustancia pura, un cambio de fase a una determinada
presin tiene lugar slo a
una temperatura dada. Por ejemplo el agua pura a 1 atmsfera de
presin pasa de
slido a lquido a la temperatura de 0 C y pasa de lquido a vapor
de agua la
temperatura de 100 C. La primera temperatura se llama punto de
fusin del agua y la
segunda se llama punto de ebullicin del agua.
Se necesita una cantidad especfica de energa trmica para que
ocurra el cambio de
fase de una cantidad determinada de sustancia. El calor
requerido es proporcional a la
masa de la misma, de tal manera que la cantidad de calor
necesaria para fundir una
masa dada de sustancia sin cambio de temperatura es
ff mLQ (7.10)
donde: Lf = calor latente de fusin.
Para el caso de la fusin del hielo en agua a 1 atmsfera de
presin, el calor de fusin
es
Lf = 33,5 kJ/kg =79,7 kCal/kg
Cuando el cambio de fase corresponde al de lquido a gas, el
calor necesario esta dado
por la ecuacin
vv mLQ (7.11)
donde: Lv = calor de vaporizacin. Para el cambio de fase de
lquido a vapor para el
agua a 1 atm, de presin el calor latente de vaporizacin es
Lv = 2,26 kJ/kg = 540 kCal/kg
En forma anloga cuando hay un cambio de fase de gas a liquido,
el calor necesario
que se le debe extraer al vapor es
cc mLQ (7.12)
donde: Lc es el calor de condensacin cuyo valor es igual al
calor de vaporizacin.
Finalmente el calor que debe extraerse a una sustancia para
cambiar de fase de lquido
a slido esta dado por
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ss mLQ (7.13)
donde Ls = calor latente de solidificacin cuyo valor es igual al
calor de fusin.
Los cambios de fase que ocurren en las diferentes sustancias
pueden representarse en
la figura 7.3.
Figura7.3. Cambios de fase de las sustancias.
7.8. MECANISMOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR.
Cuando dos cuerpos que tienen distintas temperaturas se ponen en
contacto entre s, se
produce una transferencia de calor desde el cuerpo de mayor
temperatura al de menor
temperatura. La transferencia de calor se puede realizar por
tres mecanismos fsicos:
conduccin, conveccin y radiacin, que se ilustran en la figura
7.4.
Figura 7.4. Esquema de los mecanismos de transferencia de
calor.
7.8.1. Conduccin de calor.
Es el proceso de transferencia de calor entre un punto y otro de
la
sustancia, debido a los choques entre sus molculas. Si un
extremo de un cuerpo es
expuesto a una fuente de calor, entonces las molculas prximas a
la fuente
vern aumentada su velocidad media y su separacin molecular,
chocando a
sus vecinas ms fras, de velocidad menor, transfirindole parte de
su energa
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en el proceso. Estas a su vez incrementan su velocidad
transfiriendo su
energa a las vecinas y as, a travs del material.
Existe un experimento sencillo (ver figura 7.5) que usted puede
hacer en su casa
para mostrar esto. Tome una varilla delgada de metal (ojal
cobre) y sujtela con
un soporte de manera tal que quede vertical (por comodidad),
pegue clips a
espacios regulares con cera de una vela comn (la cantidad mnima
que asegure que
no se caiga el clip) y caliente el extremo libre de la varilla
con la vela. Se
sorprender.
Figura 7.5. Experimento que muestra la conduccin de calor.
La conduccin es el mecanismo de transferencia de calor en escala
atmica a travs de
la materia por actividad molecular, por el choque de unas
molculas con otras, donde
las partculas ms energticas le entregan energa a las menos
energticas,
producindose un flujo de calor desde las temperaturas ms altas a
las ms bajas. Los
mejores conductores de calor son los metales. El aire es un mal
conductor del calor.
Los objetos malos conductores como el aire o plsticos se llaman
aislantes.
La conduccin de calor slo ocurre si hay diferencias de
temperatura entre dos partes
del medio conductor. Para un volumen de espesor x, con rea de
seccin transversal A y cuyas caras opuestas se encuentran a
diferentes T1 y T2, con T2 > T1, como se
muestra en la figura 7.6, se encuentra que el calor Q
transferido en un tiempo t fluye del extremo caliente al fro. Si se
llama H (en Watts) al calor transferido por
unidad de tiempo, la rapidez de transferencia de calor H = Q/t,
est dada por la ley de la conduccin de calor de Fourier.
Donde: k (en W/mK) se llama conductividad trmica del material,
magnitud que
representa la capacidad con la cual la sustancia conduce calor y
produce la
consiguiente variacin de temperatura; A es el rea de la placa; y
dT/dx es el gradiente
de temperatura. El signo menos indica que la conduccin de calor
es en la direccin
decreciente de la temperatura. En la tabla 7.2, se listan
valores de conductividades
trmicas para algunos materiales, los altos valores de
conductividad de los metales
indican que son los mejores conductores del calor.
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Figura 7.6. Conduccin de calor
Si un material en forma de barra uniforme de largo L, protegida
en todo su largo por
un material aislante, como se muestra en la figura 7.7, cuyos
extremos de rea A estn
en contacto trmico con fuentes de calor a temperaturas T1 y T2
> T1, cuando se
alcanza el estado de equilibrio trmico, la temperatura a lo
largo de la barra es
constante. En ese caso el gradiente de temperatura es el mismo
en cualquier lugar a lo
largo de la barra, y la ley de conduccin de calor de Fourier se
puede escribir en la
forma:
1 2T TQH kAt L
(7.14)
Figura 7.7. Flujo de calor a travs de una barra de longitud
L
Algunos autores acostumbran llamar como corriente trmica (I) a
la velocidad de
conduccin de energa trmica Q
t, por tanto, la ecuacin (7.14) se escribe en la forma
Q TI kA
t x (7.15)
Si despejamos la diferencia de temperaturas de la ecuacin
(7.15), se tiene
xT I
kA (7.16)
Tambin, siguiendo la analoga elctrica, esta ecuacin se puede
escribir
T RI (7.17)
Comparando las ecuaciones (7.16) y (7.17) se obtiene la
resistencia trmica, la cual est
dada por
xR
kA (7.18)
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Tabla 7.2. Algunos valores de conductividades trmicas.
Ejemplo 7.1. Dos placas de espesores L1 y L2 y conductividades
trmicas k1 y k2 estn en contacto trmico, como en la figura. Las
temperaturas de las superficies
exteriores son T1 y T2, con T2 > T1. Calcular la temperatura
en la interface y la rapidez
de transferencia de calor a travs de las placas cuando se ha
alcanzado el estado
estacionario.
Solucin: si T es la temperatura en la interface, entonces la
rapidez de transferencia de
calor en cada placa es:
Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son
iguales:
Despejando la temperatura T
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Ejemplo 7.2. Una barra de oro est en contacto trmico con una
barra de plata, una a
continuacin de la otra, ambas de la misma longitud y rea
transversal. Un extremo de
la barra compuesta se mantiene a T1 = 80 C y el extremo opuesto
a T2 = 30 C.
Calcular la temperatura de la unin cuando el flujo de calor
alcanza el estado
estacionario.
Solucin: similar al ejemplo anterior, con L1 = L2 = L
Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son
iguales:
Cuando se alcanza el estado estacionario, estos dos valores son
iguales:
Despejando la temperatura T, con k1 del oro y k2 de la plata,
valores obtenidos de la
tabla 7.2:
7.8.2. Conveccin.
La conveccin es el mecanismo de transferencia de calor por
movimiento de
masa o circulacin dentro de la sustancia. Puede ser natural
producida solo por las
diferencias de densidades de la materia; o forzada, cuando la
materia es obligada a
moverse de un lugar a otro, por ejemplo el aire con un
ventilador o el agua con una
bomba. Slo se produce en lquidos y gases donde los tomos y
molculas son libres
de moverse en el medio.
En la naturaleza, la mayor parte del calor ganado por la
atmsfera por conduccin y
radiacin cerca de la superficie, es transportado a otras capas o
niveles de la atmsfera
por conveccin.
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394
Un modelo de transferencia de calor H por conveccin, llamado ley
de enfriamiento
de Newton, es el siguiente
H = h A (TA T) (7.19)
Donde: h se llama coeficiente de conveccin, en W/(m2K), A es la
superficie que
entrega calor con una temperatura TA al fluido adyacente, que se
encuentra a una
temperatura T, como se muestra en el esquema de la figura 7.8.
La tabla 14.2 lista
algunos valores aproximados de coeficiente de conveccin h.
Figura 7.8. Proceso de conveccin.
El flujo de calor por conveccin es positivo (H > 0) si el
calor se transfiere desde la
superficie de rea A al fluido (TA > T) y negativo si el calor
se transfiere desde el
fluido hacia la superficie (TA < T).
Tabla 7.3. Valores tpicos de coeficiente de conveccin.
Ejemplo 7.3. El vidrio de una ventana se encuentra a 10 C y su
rea es 1.2 m2. Si la
temperatura del aire exterior es 0 C, calcular la energa que se
pierde por conveccin
cada segundo. Considerar h = 4 W/(m2K).
Solucin: Los datos son: TA = 10 C = 283K, T = 0 C = 273K, A =
1.2 m2. Usando la
ley de enfriamiento de Newton:
7.8.3. Radiacin.
La radiacin trmica es energa emitida por la materia que se
encuentra a una
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temperatura dada, se produce directamente desde la fuente hacia
afuera en todas las
direcciones. Esta energa es producida por los cambios en las
configuraciones
electrnicas de los tomos o molculas constitutivas y
transportadas por ondas
electromagnticas o fotones, por lo que recibe el nombre de
radiacin
electromagntica. La masa en reposo de un fotn (que significa
luz) es idnticamente
nula. Por lo tanto, atendiendo a la relatividad especial, un
fotn viaja a la velocidad de
la luz y no se puede mantener en reposo. (La trayectoria
descrita por un fotn se llama
rayo). La radiacin electromagntica es una combinacin de campos
elctricos y
magnticos oscilantes y perpendiculares entre s, que se propagan
a travs del espacio
transportando energa de un lugar a otro.
A diferencia de la conduccin y la conveccin, o de otros tipos de
onda, como el
sonido, que necesitan un medio material para propagarse, la
radiacin
electromagntica es independiente de la materia para su
propagacin, de hecho, la
transferencia de energa por radiacin es ms efectiva en el vaco.
Sin embargo, la
velocidad, intensidad y direccin de su flujo de energa se ven
influidos por la
presencia de materia. As, estas ondas pueden atravesar el
espacio interplanetario e
interestelar y llegar a la Tierra desde el Sol y las estrellas.
La longitud de onda () y la frecuencia () de las ondas
electromagnticas, relacionadas mediante la expresin = c, son
importantes para determinar su energa, su visibilidad, su poder de
penetracin y
otras caractersticas. Independientemente de su frecuencia y
longitud de onda, todas
las ondas electromagnticas se desplazan en el vaco con una
rapidez constante c =
299792 km/s, llamada velocidad de la luz.
Los fotones son emitidos o absorbidos por la materia. La
longitud de onda de la
radiacin est relacionada con la energa de los fotones, por una
ecuacin desarrollada
por Planck:
Donde h se llama constante de Planck, su valor es
h = 6,63 x 10-34 Js.
7.8.3.1. Espectro de radiacin.
Atendiendo a su longitud de onda, la radiacin electromagntica
recibe
diferentes nombres, y vara desde los energticos rayos gamma, con
una longitud de
onda muy corta del orden de picmetros (frecuencias muy altas)
hasta las ondas de
radio con longitudes de onda muy largas del orden de kilmetros
(frecuencias muy
bajas), pasando por la luz visible, cuya longitud de onda est en
el rango de las
dcimas de micrmetro. El rango completo de longitudes de onda es
lo que se
denomina el espectro electromagntico, que se muestra en la
figura 7.9. Esta variacin
es porque las fuentes que producen las ondas son completamente
diferentes. El
espectro electromagntico no tiene definidos lmites superior ni
inferior.
La luz, llamada tambin luz visible o luz blanca, es uno de los
componentes del
espectro electromagntico, y se define como aquella parte del
espectro de radiacin
que puede percibir la sensibilidad del ojo humano. La luz
visible es un minsculo
intervalo que va desde la longitud de onda correspondiente al
color violeta
(aproximadamente 400 nm) hasta la longitud de onda
correspondiente al color rojo
(aproximadamente 700 nm).
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Garca
396
Figura 7.9. Espectro electromagntico y regin visible
(inferior).
Por orden creciente de longitudes de onda (o decreciente de
frecuencias), el espectro
electromagntico est compuesto por rayos gamma, rayos X duros y
blandos,
radiacin ultravioleta, luz visible, rayos infrarrojos,
microondas y ondas de radio. Los
rayos gamma y los rayos X duros tienen una longitud de onda de
entre 5.10-6
y 5.10-4
micrmetros (un micrmetro, smbolo m, es una millonsima de metro).
Los rayos X
blandos se superponen con la radiacin ultravioleta en longitudes
de onda prximas a
los 5x10-2
m. La regin ultravioleta, a su vez, da paso a la luz visible,
que va
aproximadamente desde 0.4 hasta 0.8 m. Los rayos infrarrojos se
mezclan con las
frecuencias de microondas, entre los 100 y 400 m. Desde esta
longitud de onda hasta
unos 15.000 m, el espectro est ocupado por las diferentes ondas
de radio; ms all de
la zona de radio, el espectro entra en las bajas frecuencias,
cuyas longitudes de onda
llegan a medirse en decenas de miles de kilmetros. La tabla 7.4,
muestra el espectro
electromagntico, con sus longitudes de onda, frecuencias y
energas del fotn.
Tabla 7.4. Espectro electromagntico.
Longitud de onda Frecuencia Energa
Rayos gamma 30 EHz > 19,910-15
Rayos X < 10 nm > 30 PHz >19,9.10-18
Ultravioleta Extremo < 200 nm >1,5 PHz >993.10-21
Ultravioleta Cercano < 380 nm >789 THz >523.10-21
Luz Visible 384 THz >255.10-21
Infrarrojo Cercano < 2,5m >120 THz >79,5.10
Infrarrojo Medio < 50 m >6,00 THz >3,98.10-21
Infrarrojo Lejano < 1 mm >300 GHz >199.10-24
Microondas < 30 cm >1,0 GHz >1,99.10-24
Ultra Alta Frecuencia Radio < 1 m >300 MHz
>1,99.10-25
Muy alta Frecuencia Radio < 10 m >30 MHz
>2.05.10-25
Onda Corta Radio 1,7 MHz >1,13-10-27
Onda Media (AM) Radio < 650 m >650kHz >4,38.10-28
Onda Larga Radio < 10 km >30 kHz >1,98.10-29
Muy Baja Frecuencia Radio < 10 km 1,99.10-29
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
397
La radiacin del Sol es emitida en todas las longitudes de onda,
pero tiene un mximo
en la regin de luz visible. La luz visible est compuesta por
varios colores, que
cuando se mezclan forman la luz blanca. Cada uno de los colores
tiene una longitud de
onda especfica, con lmites entre 0.4 y 0.7 m. Considerando desde
las longitudes de
onda ms cortas a las ms largas, los diferentes colores tienen
los valores centrales de
longitudes de onda que se indican en la tabla 7.5.
Tabla 7.5. Colores del espectro visible y sus extremos.
Estos colores estn dentro de un rango de longitudes de onda, por
ejemplo el violeta
esta en el rango entre 0.4 y 0.45 m. Son los colores que forman
el arco iris. En sus
extremos se tienen el ultravioleta y el infrarrojo. La mayor
cantidad de energa radiante
del Sol se concentra en el rango de longitudes de onda del
visible y visible cercano del
espectro, con las siguientes proporciones: luz visible 43%,
infrarrojo cercano 49%,
ultravioleta 7%, y el 1% restante en otros rangos.
7.8.3.2. Penetracin de la radiacin electromagntica.
Cuando la frecuencia es inferior a la frecuencia de la radiacin
ultravioleta, los
fotones no tienen suficiente energa para romper enlaces atmicos.
Se dice entonces que
la radiacin es radiacin no ionizante. A partir de los rayos
ultravioleta, vienen los
Rayos X y los Rayos gamma, muy energticos y capaces de romper
molculas, dicha
radiacin se denomina radiacin ionizante.
La radiacin electromagntica reacciona de manera desigual en
funcin de su frecuencia
y del material con el que entra en contacto. El nivel de
penetracin de la radiacin
electromagntica es inversamente proporcional a su frecuencia.
Cuando la radiacin
electromagntica es de baja frecuencia, atraviesa limpiamente las
barreras a su paso.
Cuando la radiacin electromagntica es de alta frecuencia
reacciona ms con los
materiales que tiene a su paso. En funcin de la frecuencia, las
ondas electromagnticas
pueden no atravesar medios conductores. Esta es la razn por la
cual las transmisiones
de radio no funcionan bajo el mar y los telfonos mviles se
queden sin cobertura
dentro de una caja de metal. Sin embargo, como la energa ni se
crea ni se destruye, sino
que se transforma, cuando una onda electromagntica choca con un
conductor pueden
suceder dos cosas. La primera es que se transformen en calor:
este efecto tiene
aplicacin en los hornos de microondas. La segunda es que se
reflejen en la superficie
del conductor (como en un espejo).
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
398
Figura 7.10. Poder de penetracin de la radiacin.
La radiacin de partculas tambin puede ser ionizante si tiene
suficiente energa.
Algunos ejemplos de radiacin de partculas son los rayos csmicos,
los rayos alfa o
los rayos beta. Los rayos csmicos son chorros de ncleos cargados
positivamente, en
su mayora ncleos de hidrgeno (protones). Los rayos csmicos
tambin pueden estar
formados por electrones, rayos gamma, piones y muones. Los rayos
alfa son chorros
de ncleos de helio positivamente cargados, generalmente
procedentes de materiales
radiactivos. Los rayos beta son corrientes de electrones, tambin
procedentes de
fuentes radiactivas. La radiacin ionizante tiene propiedades
penetrantes, importantes
en el estudio y utilizacin de materiales radiactivos. Los rayos
alfa de origen natural
son frenados por un par de hojas de papel o unos guantes de
goma. Los rayos beta son
detenidos por unos pocos centmetros de madera. Los rayos gamma y
los rayos X,
segn sus energas, exigen un blindaje grueso de material pesado
como hierro, plomo
u hormign, como se muestra en la figura 7.10. Tambin existe la
radiacin mecnica,
que corresponde a ondas que slo se transmiten a travs de la
materia, como las ondas
de sonido.
7.8.3.3 Leyes de radiacin.
Ley de Stefan.
Todos los objetos emiten energa radiante, cualquiera sea su
temperatura, por
ejemplo el Sol, la Tierra, la atmsfera, los Polos, las personas,
etc. La energa radiada
por el Sol a diario afecta nuestra existencia en diferentes
formas. Esta influye en la
temperatura promedio de la tierra, las corrientes ocenicas, la
agricultura, el
comportamiento de la lluvia, etc.
Considerar la transferencia de radiacin por una superficie de
rea A, que se encuentra
a una temperatura T. La radiacin que emite la superficie, se
produce a partir de la
energa trmica de la materia limitada por la superficie. La
rapidez a la cual se libera
energa se llama potencia de radiacin H, su valor es proporcional
a la cuarta potencia
de la temperatura absoluta. Esto se conoce como la ley de Stefan
(Joseph Stefan,
austriaco, 1835-1893), que se escribe como:
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
399
donde = 5,67.10-8 W/(m2K4) se llama constante de
Stefan-Boltzmann (Ludwing Boltzmann, austriaco, 1844-1906) y es una
propiedad radiactiva de la superficie llamada emisividad, sus
valores varan en el rango 0 < < 1, es una medida de la
eficiencia con que la superficie emite energa radiante, de- pende
del material.
Un cuerpo emite energa radiante con una rapidez dada por la
ecuacin7.17, pero al
mismo tiempo absorbe radiacin; si esto no ocurriera, el cuerpo
en algn momento
irradiara toda su energa y su temperatura llegara al cero
absoluto. La energa que un
cuerpo absorbe proviene de sus alrededores, los cuales tambin
emiten energa
radiante. Si un cuerpo se encuentra a temperatura T y el
ambiente a una temperatura
To, la energa neta ganada o perdida por segundo como resultado
de la radiacin es
Cuando el cuerpo est en equilibrio con los alrededores, irradia
y absorbe la misma
cantidad de energa, por lo tanto su temperatura permanece
constante. Cuando el
cuerpo est ms caliente que el ambiente, irradia ms energa de la
que absorbe, y por
lo tanto se enfra.
Un absorbedor perfecto se llama cuerpo negro (no significa que
sea de color negro),
que se define como un objeto ideal que absorbe toda la radiacin
que llega a su
superficie y su emisividad es igual a uno. No se conoce ningn
objeto as, aunque una
superficie de negro de carbono puede llegar a absorber
aproximadamente un 97% de
la radiacin incidente. El Sol, la Tierra, la nieve, etc. bajo
ciertas condiciones se
comportan como un cuerpo negro. En teora, un cuerpo negro sera
tambin un emisor
perfecto de radiacin, y emitira a cualquier temperatura la mxima
cantidad de
energa disponible. A una temperatura dada, emitira una cantidad
definida de energa
en cada longitud de onda. En contraste, un cuerpo cuya
emisividad sea igual a cero, no
absorbe la energa incidente sobre l, sino que la refleja toda,
es un reflector perfecto.
Los cuerpos con emisividades entre 0 y 1 se llaman cuerpos
grises, son los objetos
reales. A raz del fracaso de los intentos de calcular la
radiacin de un cuerpo negro
ideal segn la fsica clsica, se desarrollaron por primera vez los
conceptos bsicos de
la teora cuntica. Una buena aproximacin de un cuerpo negro es el
interior de un
objeto hueco, como se muestra en la figura 7.11. La naturaleza
de la radiacin emitida
por un cuerpo hueco a travs de un pequeo agujero slo depende de
la temperatura de
las paredes de la cavidad.
Figura 7.11. Representacin de un cuerpo negro.
Ejemplo 7.4. Una carretera de superficie ennegrecida a una
temperatura de 320 K
recibe energa radiante del Sol por un valor de 700 W/m2.
Calcular la radiacin neta
ganada por cada m2 de la superficie de la carretera.
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
400
Solucin: la energa que emite la superficie de la carretera
es:
Como del Sol recibe 700 W/m2, la radiacin neta es:
Ley de Wien.
La figura 7.13, muestra la curva tpica de la intensidad de
radiacin de un cuerpo
negro en funcin de la longitud de onda de la radiacin emitida,
para diferentes
valores de temperatura indicados como fro, templado y clido. De
acuerdo a la teora
cuntica, se encuentra que los cuerpos a una temperatura
determinada, emiten
radiacin con un valor mximo para una longitud de onda dada. Al
aumentar la temperatura de un cuerpo negro, la cantidad de energa
que emite se incrementa.
Tambin, al subir la temperatura, el mximo de la distribucin de
energa se desplaza
hacia las longitudes de onda ms cortas. Se encontr que este
corrimiento obedece a la
siguiente relacin, llamada ley del desplazamiento de Wien
(Wilhelm Wien, alemn,
1864-1928):
donde max es la longitud de onda que corresponde al mximo de la
curva de radiacin (figura 7.12), en m, y T es la temperatura
absoluta del objeto que emite la radiacin.
La ley de Wien afirma que para la radiacin de un cuerpo negro la
longitud de onda
de mxima emisin es inversamente proporcional a la temperatura
absoluta. Con esta
ley se demuestra que la emisin de radiacin de la superficie
terrestre tiene un mximo
en cerca de 9.9 m, que corresponde a la regin infrarroja del
espectro. Tambin
muestra que la temperatura del Sol, si el mximo de emisin de
radiacin solar ocurre
en 0.474 m, es del orden de 6110 K.
Fig. 7.12. Intensidad de radiacin de un cuerpo negro.
-
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Garca
401
Ley de Planck.
Los objetos con mayor temperatura radian ms energa total por
unidad de rea que los
objetos ms fros. Por ejemplo el Sol con una temperatura media de
6000 K en su
superficie, emite 1,6105(6000/300)
4 veces ms energa que la Tierra con una
temperatura media en superficie de 289 K = 16 C. Por definicin,
un cuerpo negro es
un absorbedor perfecto. Este tambin emite la mxima cantidad de
energa a una
temperatura dada. La cantidad de energa emitida por un cuerpo
negro est nicamente
determinada por su temperatura y su valor lo da la Ley de
Planck. En 1900, Max
Planck (alemn, 1858-1947), descubri una frmula para la radiacin
de cuerpo negro
en todas las longitudes de onda. La funcin emprica propuesta por
Planck afirma que
la intensidad de radiacin I(,T), esto es, la energa por unidad
de tiempo por unidad de rea emitida en un intervalo de longitud de
onda, por un cuerpo negro a la
temperatura absoluta T, est dada por:
donde I(,T) es la densidad de flujo de energa por unidad de
longitud de onda, en W/(m
2m), h es la constante de Planck, y k es la constante de
Boltzmann, de valor k =
1,38.10-23
J/K. El grfico de la funcin I(,T) para diferentes valores de
temperatura absoluta, se muestra en la figura 7.13.
Figura 7.14. Grfico de la funcin I(,T) de la ley de Planck.
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
402
PROBLEMAS RESUELTOS
Problema 01
El calor especfico de cierto material se determina
midiendo la variacin de temperaturas que tiene
lugar cuando una porcin calentada de metal se
sita en un recinto aislado construido del mismo
material y que contiene agua. La porcin de metal
posee una masa de 100 g y una temperatura inicial de 100C. El
recinto posee una masa de 200 g y
contiene 500 g de agua a una temperatura inicial de
20C. La temperatura final es 21,4C.Cul es el
calor especfico del metal?.
Solucin
Datos e incgnitas
m D D
w E e
100 ; a T 100 ; m 200 a T 20
500 ; a T 20 ; T 21,4 ; c =???
m
w
m g C g C
m g C C
Despreciando las prdidas de energa, el calor
ganado por el recipiente y el agua es igual al calor
perdido por el metal.
GQ (1)PQ
El calor ganado ser
,( ) ( )
200 (21,4 20) 500(1)(21,4 20)
280 700 (2)
G D x E D w e w E w
x
G x
Q m c T T m c T T
c
Q c cal
Calor perdido
( )
280 (100 201,4
7860 (3)
P m x m E
x
G x
Q m c T T
c
Q c
Remplazando las ecuaciones (2) y (3) en (1) resulta
280 700 7860
0,092 Cal/gC Rta
x x
x
c c
c
Problema 02
Un trozo de hielo de 200 a 0C se introduce en 500
g de agua a 20C. El sistema se encuentra en un
recinto de capacidad calorfica despreciable y
aislada de sus alrededores. Determine: (a) la
temperatura de equilibrio final; (b) la cantidad de
hielo que se funde
Solucin.
Datos e incgnitas
h w
e,w e,h E h w
200 ; a T 0 ; 500 ; a T 20 ;
c =1cal/gC; c =0,5 cal/gC; T ??; m =??
h wm g C m g C
Debido a que en este problema existen cambios de
fase es necesario hacer un balance de energa para
determinar si todo el hielo se funde, o si ocurre una
conversin parcial.
Calor necesario para convertir el hielo en agua
1
1
200 (80 / )
16000 cal (1)
h fQ m L g cal g
Q
Calor cedido por el agua cuando esta pasa de 20C
a 0C
2 , 20 0
2
Q ( )
500(1)(20 0)
1000 cal (2)
w e wm c T T
Q
Comparando las ecuaciones (1) y (2) se observa que se funda todo
el hielo se necesitan 16000 cal y
slo se disponen de 1000 cal, por lo tanto no todo el
hielo se funde siendo la temperatura de equilibrio
TE =0C
La cantidad de hielo fundido ser
h w
h w
h w
m 1000
m (80 / ) 1000
m 125 g Rta.
fL cal
cal g cal
Problema 03
Un calormetro de aluminio de 200 g contiene 500 g de agua a 20C.
Dentro del recipiente se
introduce de hielo de 100 g enfriado a -20C. (a)
Determine la temperatura final del sistema
suponiendo que no hay prdidas de energa. (b) Se
aade un segundo trozo de hielo de 200 g a -20C.
Cunto hielo queda en el sistema, una vez que se
ha alcanzado el equilibrio trmico?. (c) Sera
distinta la respuesta a la parte (b) si ambos trozos se
agregaran al mismo tiempo?.
Solucin
Datos e incgnitas
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
403
al w
'
h h
e,w e,h al
E h, queda
200 ; a T 20 ; 500 ; a T 20 ;
100 ; a T 20 ; 200 a T 20
c =1cal/gC; c =0,5 cal/gC; c =0,215cal/gC
(a) T ??;( ) m =??; (c) verificar
al w
h h
m g C m g C
m g C m g C
b
Parte (a) Debido a que en este problema tambin
existen cambios de fase es necesario hacer un
balance de energa para determinar si todo el hielo
se funde, o si ocurre una conversin parcial.
Calor necesario para convertir el hielo en agua
100 (0,5 / )(20 ) 200 (80 / )
9000 cal (1)
G h e h f
G
Q m c T m L
g cal g C C g cal g
Q
Calor cedido por el agua ms el calormetro cuando
esta pasa de 20C a 0C
P ,
2
Q
200 (0,225 / )(20 ) 500 (1 / )(20 )
10800 cal (2)
al al w e wm c T m c T
g cal g C C g cal g C C
Q
Comparando las ecuaciones (1) y (2), se observa
que si disponemos de la cantidad de energa
suficiente para fundir todo el hielo e agua lquida e
incluso elevar la temperatura
G PQ Q
El calor ganado es '
100(0,5)(20) 100(80) 100(1)( )
9000 100
G h e f f w w
G E
G E
Q m c T m L m c T
Q T
Q T
El calor perdido es
''
200(0,215) 500(1) 20
543 20
P al al w w
E
P E
Q m c m c T
T
Q T
Por tanto se tiene
9000 543 20
2,89 Rta
E E
E
T T
T C
Parte (b). De la parte (a) ahora el sistema est
formado por
al w
h
200 ; a T 20 ; 600 ; a T 20 ;
200 ; a T 20 ;
al w
h
m g C m g C
m g C
El calor ganado ser
'' ' '
G
''
G
Q
200(0,5)(20) 200(80)
Q 18000 (3)
h h h fm c T m L
cal
El calor perdido es
'' ''
P
''
P
Q
600(1)(2,89) 200(0,215)(289)
Q 1858,27 (4)
w w al alm c T m c T
cal
Comparando ahora las ecuaciones (3) y (4) se
observa que ahora que solo se disponen de 1858,27
cal para fundir todo el hielo sin embargo se
necesitan 18000 cal por tanto parte del agua se
transforma en hielo, siendo la nueva temperatura de
equilibrio 0C y la masa fundida. La masa de agua
fundida ser
'
Hm
200(0,5)(20) (600 1 200 0,215)(2,89) (80)
1000 1858,27 80
1,77
h w w al al w h f
x
x
x
c T m c m c T m L
x x m
m
m g
La masa total de hielo ser
, 201,77h Tm g
Parte (c). Cuando se aaden ambos trozos a la vez
se tiene:
Calor ganado por el hielo
300 (0,5 / )(20 ) 300 (80 / )
27000 cal (6)
G h e h f
G
Q m c T m L
g cal g C C g cal g
Q
Calor perdido por el agua ms el calormetro.
P ,Q
200 (0,225 / )(20 ) 500 (1 / )(20 )
10800 cal (7)
al al w e w
P
m c T m c T
g cal g C C g cal g C C
Q
Comparando las ecuaciones (6) y (7), se observa
que no todo el hielo se funde. Por tanto la cantidad
de hielo fundido ser
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
404
10860
80 10860 300(0,5)(20)
98,25
h h x f
x
x
m c T m L
m
m g
La masa de hielo que queda ser
,
,
300 98,25
201,25
No existe variacin.
h queda
h queda
m
m g
Problema 04
Un extremo de una varilla metlica aislada se
mantiene a 100C, y el otro se mantiene a 0C con
una mezcla de hielo ms agua. La varilla tiene 40 cm de largo y
el rea transversal es 0,75 cm2. El
calor conducido por la varilla funde 3 g de hielo en
5 minutos. Determine la conductividad trmica de
material.
Solucin
Datos e incgnitas.
1
2
0
3 ; t = 5 min; k = ??, T 100 ;
0 ; L = 40 cm; A = 0,75 cm
hm g C
T C
En la figura se muestra a la barra
40 cm
Ahora se determina el calor utilizado para fundir el
hielo
3 (80 / ) 240
240(4,186 )
1004,64 (1)
h fQ m L g cal g cal
Q J
Q J
La corriente trmica o calor por unidad de tiempo
ser
3 (80 / ) 240
240(4,186 )
1004,64 (1)
h fQ m L g cal g cal
Q J
Q J
Se procede a determinar la conductividad trmica.
En el rgimen estacionario
1 0
4 2
kA(T )H=
(0,75.10 )(100 0 )3,35
0,4
178,67 W/m.K
T
L
k m C CW
m
k
Problema 05
Una varilla larga, aislada para evitar prdidas de
calor por los costados, est en contacto trmico
perfecto con agua hirviendo ( a la presin
atmosfrica), en un extremo y con una mezcla de hielo-agua en el
otro extremo como se muestra en
la figura. La varilla consiste en un tramo de 1 m de
cobre (un extremo en el vapor) unido al extremo de
otro ramo L2 de acero. La temperatura de la unin
cobre-acero es 65C una vez que se alcanza el
estado estacionario, determine: (a) la corriente
trmica; (b) la longitud L2 que tiene el tramo de
acero; (c) la resistencia trmica del sistema y (d) la
cantidad de hielo que se funde en 40 min.
Considere que Kcu = 385 W/m.K y Kac = 50,2
W/m.K.
Solucin
Parte (a). La corriente trmica es
4T 373 338I KA 385(6.10 )x 1
8,085 /I J s
Parte (b). En el estado de rgimen estacionario se
cumple que
2
4
2
2
'8,085
338 2738,085 50, 2(6.10 )
24, 2
cu ac
ac ac
I I
TK A
L
L
L cm
100C
0C
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
405
Parte (c). Resistencia trmica del sistema
4 4
( ) ( )
1 0,242
385(6.10 ) 50,2((6.10 )
51 K/W
T cu ac
cu ac
T
R R R
x x
KA KA
R
Parte (d). Clculo del hielo fundido
Se sabe que
x
8,085 / (2400 )
19282,9 J
m (80 4,186 / ) 19282,9
57,58 g
x f
x
QH I
t
Q It J s s
Q m L
x J g J
m
Problema 06
Una barra de 2 m de longitud tiene un alma de
acero de 1 cm de dimetro rodeado de una camisa
de cobre cuyo dimetro externo es 2 cm. La
superficie exterior de la barra est trmicamente
aislada de modo que el calor slo puede fluir
longitudinalmente por la varilla. (a) Determine la
corriente total de calor en la barra, en el estado
estacionario; (b) Qu fraccin transporta cada
material?. Considere que Kcu = 385 W/m.K y Kac = 50,2 W/m.K.
Solucin
En primer lugar se determina el rea de las
secciones transversales
rea transversal del acero
2 2
2
4 2
(1 )
4 4 4
0,785.10 (1)
ac
ac
d cmA cm
A m
rea transversal del cobre
2 2 2 2 2
cu
4 2
3A 2 1
4 4 4
2,356.10 (2)
cu ac
cu
d d cm
A m
Se determina ahora la corriente trmica en la barra
de acero
1 2ac
4
( )I
393 27350,2(0,785.10 )
2
0,1971 W (3)
ac ac
ac
T TK A
L
I
La corriente trmica en el cobre ser
1 2cu
4
( )I
393 273385(2,356.10 )
2
4,54 W (4)
cu cu
ac
T TK A
L
I
La corriente total ser
acI=I 0,197 4,54
4,737 W
cuI
I
Parte (b). Fraccin de corriente que pasa por cada
barra
0,197x100En el acero= 4,2%
4,737
4,54x100En el cobre= 95,8%
4,737
Problema 07
Se disponen dos cubos metlicos de 3 cm de lado,
uno de cobre y el otro de aluminio tal como se
muestra en la figura. Determine: (a) la resistencia
trmica de cada uno de los cubos, (b) la resistencia
total de sistema, (c) la corriente trmica y (d) la
temperatura en la interface de los cubos.
Solucin
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
406
Datos e incgnitas
1
2
0
3 ; t = 5 min; k = ??, T 100 ;
0 ; L = 40 cm; A = 0,75 cm
hm g C
T C
Parte (a). clculo de la resistencia trmica
2
2 2
3.10
401(3.10 )
0,083 / (1)
cu
cu cu
cu
xR
K A
R K W
2
2 2
' 3.10
237(3.10 )
0,14 / (2)
al
al al
cu
xR
K A
R K W
Parte (b). La resitencia total ser
TR 0,083 0,14
0,224 K/W (3)
cu al
T
R R
R
Parte (c). Corriente trmica esta dada por
373 273 (0,224 / )
357,14 W
eqT IR
K K I K W
I
Parte (d). Clculo de la temperatura en la interface.
Se sabe que en rgimen estacionario la corriente se mantiene
constante, por lo tanto
'
373 357,14 (0,224 / )
343,4 K
cu
x
x
T IR
K T W K W
T
Problema 08
Los mismos cubos empleados en el problema
anterior se disponen en la forma indicada en la
figura. Determine: (a) la resistencia trmica de cada
uno de los cubos, (b) la corriente trmica y (c) la
resistencia trmica equivalente.
Solucin
Parte (a). La resistencia trmica en cada cubo ser
2
2 2
3.10
401(3.10 )
0,083 / (1)
cu
cu cu
cu
xR
K A
R K W
2
2 2
' 3.10
237(3.10 )
0,14 / (2)
al
al al
cu
xR
K A
R K W
Parte (b). La corriente trmica en cada cubo es
373 273 (0,083 / )
963,86 W
373 293 (0,224 / )
571,43
eq
cu
cu
al al
al
al
T IR
K K I K W
I
T I R
K K I K W
I W
La corriente total ser
963,86 571,43
1535,3 W
total cu alI I I
I
Parte (c). La resistencia trmica equivalente es
eq
0,083(0,14)R
0,083 0,14
0,052 K/W
cu al
cu al
eq
R R
R R
R
Problema 09
Un pequeo estanque tiene una capa de hielo de 1
cm de espesor flotando sobre l. (a) si la
temperatura del aire es -10C, halle la velocidad en
cm/h con que aumenta el espesor del hielo por su parte inferior,
(b) Cunto tiempo tardar en
formarse una capa de hielo de 20 cm de espesor?.
Considere que h =0,917 g/cc; Kh = 4,78.10-3
cal/s.cmC.
Solucin
Datos e incgnitas
1 2
3
h
1 ; T 0 ; T 10 ;
0,917 / ; K 4,78.10 / . .h
e cm C C
g cc cal s cm C
-
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407
Parte (a). En la figura se muestra la capa de hielo y
la forma como ocurre el flujo trmico, adems
suponemos que se est formando una capa de hielo
de espesor x
La corriente trmica se expresa en la forma
1 2 (1)T TdQ
I H KAdt e
La masa de la capa de hielo de rea A y espesor dx
que se est formando es
dm = dV = Adx (2)
El calor necesario para que pase el agua de 0C a hielo a 0C
es
f fdQ = L ( ) = L Adx (3)dm
Remplazando (3) en (1) se tiene
f 1 2
1 2
3
L Adx
4,78.10 10
0,917 1 80
2,34 /
f
KA T T
dt e
K T Tdxv
dt eL
v cm h
Parte (b). Clculo del tiempo
f
20
f0 0
10
L Adx 10
L 10
85,3 h Rta
t
dQKA
dt x
KA
dt x
xdx K dt
t
Problema 10
Una barra de seccin transversal uniforme A y de
longitud L que tiene la superficie lateral
termoaislada se compone de un material, cuya
conductividad trmica vara con la temperatura
segn la ley , donde es una constante y T es
la temperatura. Los extremos de la barra se
mantienen a las temperaturas T1 y T2 (T1 > T2).
Determine: (a) la corriente trmica y (b) la
dependencia T(x), donde x es la distancia medida
desde el extremo con temperatura T1.
Solucin.
En la figura se muestra la forma de la barra
x
L
La ley de conduccin de calor en este caso nos da
(1)
(2)
dTH KA
dx
Hdx KAdT
AHdx dT
T
Integrando la expresin anterior resulta
2
10
1
2
ln (3)
L T
T
dTH dx A
T
TAH
L T
Parte (b). Para determinar T(x) se procede a
integrar la expresin (2) pero con otros lmites,
esto es
10
1ln (4)
xx T
T
x
dTH dx A
T
TAH
x T
Remplazando (3) en (4), resulta
T1
T2
-
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408
1 1
2
/
11
2
ln ln
(5)
x
x L
x
T TA A
L T x T
TT T
T
Problema 11
Una tubera de vapor de agua de 2 cm de radio que
lleva vapor a 140oC, est rodeada por una camisa
cilndrica de corcho (Ke = 0,04 W/m.K) con radios
exterior e interior de 2 cm y 4 cm, respectivamente,
sta a su vez est rodeada por una camisa de
espuma de poliestireno (Ke = 0,01 W/m.K) con
radios interior y exterior de 4 cm y 6 cm,
respectivamente. La superficie exterior de la
espuma de poliestireno est en contacto con el aire
de 20oC. Determine: (a) la temperatura en un radio
de 4 cm (la unin de los materiales aislantes) y (b)
La corriente trmica total hacia fuera de un tramo de 2 m de
tubera.
Solucin
Debido a que la transferencia de calor es a travs de
la superficie lateral del cilindro, entonces la
corriente trmica se expresa
1
1
1
2
2 (1)
r
dTH K A
dr
dTK rL
dr
drH LK dT
r
Integrando la ecuacin anterior desde r = a, hasta
r = b, resulta
1
1
1
2
2 (2)
ln
x
a
b T
a T
x a
drH LK dT
r
LK T TH
b
a
Integrando la ecuacin desde r = b hasta r = c, se
tiene
2
1
2
2
2 (3)
ln
c
x
c T
b T
c x
drH LK dT
r
LK T TH
c
b
Parte (a). En rgimen estacionario se tiene
1 2
1 2
1 2
2 2
ln ln
ln ln
0,04 413 0,02 293
4 6ln ln2 4
377,2 104,2 Rta
x a c x
x a c x
x x
x
H H
LK T T LK T T
b ca b
K T T K T T
b ca b
T T
T K C
Parte (b). Clculo de la corriente trmica. De la
ecuacin (2), se tiene
1
1
2
ln
2 (2) 0,04 377,2 413
ln 4 / 2
26,1 W Rta
x aLK T TH
b
a
H
H
Problema 12
Un igl hemisfrico hecho de nieve compactada tiene un radio
interior de 2 m. Se desea mantener en
su interior una temperatura de 20C. El calor
generado por los habitantes del igl es 30.106 J/dia.
Qu espesor debe tener las paredes del igl
sabiendo que la temperatura exterior es 20C y la conductividad
trmica de la nieve compactada
es 0,209 W/m.K?.
Solucin
En la figura se muestra el igl
-
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Garca
409
En este caso asumimos que el flujo de calor a travs
de la superficie del igl es radial. Por lo tanto la
ecuacin de conduccin de calor ser
242
22 (1)
r
dTH KA
dr
dTK r
dr
drH KdT
r
Integrando la ecuacin (1) desde r = a hasta r = b,
resulta
22
2 (2)
2 2(2 ) 0,209 20 ( 20)347,2 /
86,7 Rta
b
a
b T
ha T
h a b
drH K dT
r
ab K T TH
b a
eJ s
e
e cm
-
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Garca
410
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. a) Una persona de 80 kg intenta bajar de peso subiendo una
montaa para quemar el
equivalente a una gran rebanada de un rico
pastel de chocolate (700 Cal alimenticias).
A qu altura debe subir? b) Otra persona
consume energa a razn de 150 W durante
su trabajo, qu cantidad de pan debe
ingerir para poder trabajar durante una hora? (Calor de
combustin del pan es 8000
cal/g). Considere que el 25% de la energa
liberada del alimento se aprovecha como
trabajo til.
R: a) 934 m, b) 64.5 g.
2. Se acuerdan del problema del Salto del Laja; suponga ahora
que el agua en su parte
superior tiene una temperatura de 15C. Si
toda su energa potencial se emplea en calentar el agua que cae,
calcule la
temperatura del agua en la base del salto.
R: si altura del salto se estima en 25m,
15.06C.
3. Se utilizan 2 kcal para calentar 600 gr de una sustancia
desconocida de 15C a 40C.
Calcular el calor especfico de la sustancia.
R: 0.13 cal/grC.
4. Un trozo de cadmio de 50 gr tiene una
temperatura de 20C. Si se agregan 400 cal al
cadmio, calcular su temperatura final.
5. A un vaso aislante del calor (de plumavit) que contiene 200
cm3 de caf a la
temperatura de 95C, se le agregan 40 cm3
de leche que se encuentra a temperatura
ambiente. Calcular la temperatura de
equilibrio que alcanza la mezcla. (Suponer
calor especfico de los lquidos igual al del agua y considere un
da de primavera).
6. Al desayunar, usted vierte 50 cm3 de leche refrigerada en su
taza que contiene 150 cm3
de caf recin preparado con agua hirviendo.
Calcular la temperatura de equilibrio alcanza
esta apetitosa mezcla. (Desprecie la capacidad
calrica de la taza).
R: 75C.
7. Se enfra un bloque de 40 gr de hielo hasta -50C. Luego se
agrega a 500 gr de agua en un
calormetro de 75 gr de cobre a una
temperatura de 25C. Calcular la temperatura
final de la mezcla. Si no se funde todo el hielo,
calcular cunto hielo queda.
8. En un recipiente aislado se mezclan 150 g de hielo a 0C y 600
g de agua a 18C. Calcular:
a) la temperatura final del sistema, b) la
cantidad de hielo queda cuando el sistema
alcanza el equilibrio.
R: a) 0 C, b) 14.4 g.
9. Un recipiente de aluminio de 300g contiene
200g de agua a 10 C. Si se vierten 100 g ms
de agua, pero a 100 C, calcular la temperatura
final de equilibrio del sistema.
R: 34.6 C.
10. Un calormetro de 50 g de cobre contiene 250 g de agua a 20
C. Calcular la cantidad de
vapor que se debe condensar en el agua para
que la temperatura del agua llegue a 50C.
R: 12.9 g
11. Un calormetro de aluminio con una masa 100 gr contiene 250
gr de agua. Estn en
equilibrio trmico a 10C. Se colocan dos
bloques de metal en el agua. Uno es 50 gr de
cobre a 80C. El otro una muestra de masa de
70 gr a una temperatura de 100C. Todo el
sistema se estabiliza a una temperatura final
de 20C. Deducir de qu material se trata la
muestra.
12. Un envase plumavit contiene 200 g de mercurio a 0C. Se le
agregan 50 g de alcohol
etlico a 50C y 100 g de agua a 100C. a)
Calcular la temperatura final de la mezcla. b)
calcular el calor ganado o perdido por el
mercurio, alcohol y agua. Desprecie la
capacidad trmica del plumavit.
R: a) 84.4 C, b) 557 cal, 998 cal, 1560 cal.
13. Un cubo de hielo de 20 g a 0C se calienta
hasta que 15 g se han convertido en agua a
100C y el resto en vapor. Calcular el calor
necesario para este proceso.
R: 21739 J.
14. Un trozo de cobre de 1 kg y a 20C se sumerge en un
recipiente con nitrgeno
lquido hirviendo a 77K. Calcular la cantidad
de nitrgeno que se evapora hasta el momento
en que el cobre alcanza los 77K. Suponga que el recipiente est
aislado trmicamente.
R: 941 kg.
-
Fsica General II Calor y Transferencia de Calor Optaciano Vsquez
Garca
411
15. La temperatura en reas costeras se ve influenciada
considerablemente por el gran
calor especfico del agua. Una razn es que el
calor liberado cuando un metro cbico de
agua se enfra en 1C aumentar la
temperatura de un volumen enormemente ms
grande de aire en 1C. Calcule este volumen
de aire. El calor especfico del aire es
aproximadamente 1 kJ/(kgC). Considere la densidad del aire igual
a 1,25 kg/m3.
R: Vaire = 3433 Vagua.
16. Un estudiante inhala aire a 22C y lo exhala a 37C. El
volumen promedio del aire en una
respiracin es de 200 cm3. Ignore la
evaporacin del agua en el aire y estime la
cantidad de calor absorbido en un da por el
aire respirado por el estudiante.
R: 3.75 J por respiracin.
17. Un calentador de agua funciona por medio de potencia solar.
Si el colector solar tiene un
rea de 6 m2 y la potencia entregada por la luz
solar es de 550 W/m2, Cul es el tiempo
mnimo en aumentar la temperatura de 1 m3
de agua de 20C a 60C? Indique la(s)
suposicin(es) hecha(s).
R: aprox. 14 horas.
18. Cuando un conductor frena su auto, la friccin entre los
tambores y las balatas de los frenos
convierten la energa cintica del auto en calor.
Si un auto de 1500 kg que viaja a 30 m/s y se
detiene, cunto aumenta la temperatura en
cada uno de los cuatro tambores de hierro de
8 kg de los frenos? (desprecie la prdida de
energa hacia los alrededores).
R: 47.1 C.
19. Dos balas de plomo cada una de 5,0 g, a 20C y movindose a
400 m/s chocan de
frente. Suponiendo una colisin
perfectamente inelstica y que no hay ninguna
prdida de calor hacia la atmsfera, describa el
estado final del sistema (las dos balas).
R: 645 C.
20. Un lago contiene cerca de 5.1011 m3 de agua. a) Cunto calor
se necesita para elevar la
temperatura de ese volumen de agua de
14.5 a 15.5C? b) Calcule el tiempo que se requerira para
calentar el lago, entre esas
temperaturas, si el calor lo suministra una
central elctrica de 1000MW.
R: b) aprox. 66 aos.
21. El gradiente trmico de la Tierra, medido en la superficie es
30 C/km. Suponga que este
valor no cambia en todo el trayecto hasta el
centro de la Tierra. Si la temperatura en la
superficie terrestre es 17 C, calcular la
temperatura en el centro de la Tierra. Considera que es una res-
puesta razonable?
Considerar el radio terrestre de 6370 km.
R: 191117 C.
22. Una barra de hierro de 60 cm de longitud y rea transversal
de 2 cm2, tiene un extremo a
80 C y el otro a 20 C. Calcular: a) el
gradiente de temperatura, b) la rapidez de
transferencia de calor, c) su temperatura a 20
cm del extremo caliente.
R: a) -100 C/m, b) 1.6x10-4 W, c) 60C.
23. Dos barras de la misma longitud, de diferentes materiales y
reas transversales se
colocan paralelas entre s. Encuentre la
expresin de la tasa del flujo de calor en
trminos de las conductividades trmicas y las
reas de las barras. Generalice el resultado al
caso de ms de dos barras.
R: -(T/x)(k1A1+k2A2) 24. Un carpintero construye una pared.
Hacia el
exterior coloca una lmina de madera (k =
0.08 W/mK) de 2 cm de espesor y hacia el
interior una capa de espuma aislante (k = 0.01
W/mK) de 3,5 cm de espesor. La temperatura
de la superficie interior es de 19 C, y la
exterior es 10 C. Calcular: a) la temperatura en la unin entre
la madera y la espuma, b) la
razn de flujo de calor por m2 a travs de esta
pared.
R: a) -15.3 C, b) -53.2 W/m2.
25. Una tabla de rea de 2 m2 y 2 de cm de espesor se usa como
una barrera entre un cuarto a 20
C y una regin a 50 C. Calcular el nmero de
clavos de acero de 2 cm de longitud y 4 mm de
dimetro que se deben clavar sobre la tabla
para que el flujo de calor a travs de la tabla se
duplique.
R: aprox. 160 clavos.
26. Un extremo de una varilla metlica aislada se
mantiene a 100 C, y el otro se mantiene a 0 C
en contacto con una mezcla de hielo-agua. La
varilla tiene 40 cm de longitud y un rea
-
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Garca
412
transversal de 0,75 cm2. El calor conducido
por la varilla funde 3 g de hielo en 5 minutos.
Calcular: a) el gradiente trmico a lo largo de
la varilla, considerando que este es uniforme,
b) la cantidad de calor conducida por la varilla,
c) la conductividad trmica del metal. d) Si el
extremo que est a 100 C est en contacto con
vapor qu cantidad de vapor condensa en los
5 minutos sealados?
R: a) 250 C/m, b) 3.3 W, c) 173.7 W/mK, d)
0.44 g.
27. Una barra de hierro de 20 cm de largo con un dimetro de 1 cm
tiene un extremo sumergido
en una mezcla de hielo a 0 C, mientras que el
otro extremo est en un tanque de vapor a 100
C. Suponga que a lo largo de la barra se ha
establecido un gradiente de temperatura
uniforme. Calcular: a) la rapidez del flujo de
calor a lo largo de la barra, b) la rapidez con la que se funde
el hielo en el extremo fro, c) la
rapidez con la que se condensa el vapor en el
extremo caliente para mantener el gradiente de
temperatura uniforme, d) el gradiente de
temperatura a lo largo de la barra.
28. Una heladera cbica de plumavit, de 30 cm de lado y 2 cm de
espesor, tiene una temperatura
interna de 5 C y externa de 25 C. Si 5kg de
hielo se funden en 8 horas, calcular la
conductividad trmica del material.
R: 0.143 W/mC.
29. Un tubo de vapor se cubre con material aislante de 0.5 cm de
espesor y 0.2 cal/(s cm
C) de conductividad trmica. Inicialmente
Cunto calor se pierde por segundo si el tubo
est a 120 C y el aire circundante a 20 C? El
tubo tiene un permetro de 20 cm y una
longitud de 50 cm. Ignore las prdidas por los
extremos del tubo. Analice la conveniencia o
no de usar la relacin dada para superficies planas.
Estrictamente, debera usar la ecuacin
diferencial para la tasa conduccin de calor e
integrar para un conjunto de capitas
superpuestas, cada una de forma cilndrica y
muy delgadita.
R: 5.3x104 W
30. Una ventana trmica de 6 m2 se construye con dos capas de
vidrio, cada una de 4 mm de
espesor, separadas por un espacio de aire de 5
mm. Si la parte interna est a 25 C y la externa a 0 C, calcular
la prdida de calor a
travs de la ventana.
31. A cierta familia le agrada tener la casa a 23 C
durante el invierno, cuando afuera hay 0 C.
Qu temperatura interna deberan elegir si
quisieran bajar sus gastos en combustibles en
10%? Explique clara- mente las hiptesis que
hizo.
R: 20.7 C.
32. a) Si la temperatura promedio de la piel de algn alumno es
30 C, su poniendo una emisividad = 0.97, calcular la radiacin que
emite. b) Si la temperatura promedio de las
paredes de la sala donde se encuentra es 15 C,
calcular la radiacin que emite, considerada
como cuerpo negro. c) Calcular la radiacin
neta para el alumno.
33. Una dama se encuentra en bikini en una sauna cuyas paredes
estn a 85C y tienen una
emisividad igual a 1. Su piel se encuentra a
40C y su emisividad es 0.8. a) Cunto calor absorbe la dama por
radiacin de las paredes?
b) Cul es la tasa a la cual la dama irradia
energa al medio exterior? c) Cunto sudor
debera evaporar por hora para que su
temperatura se mantenga normal y estable?
(Suponga que ste es el nico mecanismo de
prdida energa y que no est produciendo
energa por metabolismo). Considere que el
calor latente del sudor, a 37 C, es 2427 kJ/kg
(compare con el del agua, tenga presente que
ste ltimo est dado a 100 C).
34. Averiguar en algn texto de ptica, cual es la
longitud de onda y la frecuencia de la radiacin
donde el ojo humano tiene la mxima
sensibilidad, y el ojo de un gato?, un
murcilago?, un bho?
35. Calcular la frecuencia en Hertz y la energa en J (ecuacin
14.4), para las longitudes de onda
de cada tipo de radiacin de la tabla 14.4.
36. La temperatura de la superficie del Sol es de
unos 6000 K. Tomando el radio del Sol igual
7x108 m, calcular la energa total irradiada por
el Sol cada da.
R: 3.7x1031 J.
