Cap´ıtulo 1 FUNCIONES LINEALES Y MATRICESmatematicas.univalle.edu.co/~robruiz/textos/Alglinecap1.pdf · Cap´ıtulo 1. Funciones Lineales y Matrices 5 v 7→(v,0) y v 7→(0,v)

Capıtulo 1

FUNCIONES LINEALES Y

MATRICES

En los grupos abelianos, que aquı siempre denotaremos aditivamente,“se repetıa” sobre los numeros enteros Z, tomando a+a+a+ ...+a =na cuando en la izquerda hay n aes. Se tomo ademas 0 · a = 0 y(−n)a = −(na).

Estudiaremos las implicaciones de tomar las repeticiones no sobre Zsino sobre un campo cualquierda K, los casos mas usuales son K = R,K = C.

Espacios Vectoriales

1.1 Definicion:

i Sea V un grupo abeliano y K un campo. Llamamos una mul-tiplicacion por escalar en V , a una funcion K × V → V talque, si denotamos la imagen de (α, v) por α · v, entonces:

M.E.1 ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V , (α + β) · v = α · v + β · v.

M.E.2 ∀α ∈ K, ∀v, w ∈ V , α · (v + w) = α · v + α · w.

M.E.3 ∀v ∈ V , 1 · v = v.

M.E.4 ∀α, β ∈ K, ∀v ∈ V , α · (β · v) = (α · β) · v.

ii A una tripla (V,K,K×V → V ) en donde V es un grupo abeliano,K es un campo y K × V → V una multiplicacion por escalar sele llama un espacio vectorial.

1

2 Algebra Lineal

Cuando digamos, “sea V un espacio vectorial sobre K” entendemosque V es un grupo abeliano, K es un campo y que una multiplicacionpor escalar K × V → V ha sido seleccionada.

1.2 Ejemplos:

i Sea K un campo. Entonces Kn = K⊕

K⊕

...⊕

K (n copiasde K) es un grupo abeliano con suma coordenada a coordenada,si x = (x1, x2, ..., xn) y tomamos α · x = (αx1, αx2, ..., αxn) en-tonces Kn es un espacio vectorial sobre K. En particular K esun espacio vectorial sobre K.

ii Sean V1, V2, ..., Vn espacios vectoriales sobre K, entonces

V1⊕

V2⊕

...⊕

Vn = {(v1, v2, ..., vn) | vi ∈ V , ∀i ∈ I}

es un grupo abeliano con suma coordenada a coordenada. Sitomamos α · (v1, v2, ..., vn) = (α ·v1, α ·v2, ..., α ·vn) entonces esta

es una multiplicacion por escalar yn⊕

i=1

Vi es un espacio vectorial.

iii En particular Km⊕

Km⊕

...⊕

Km = (Km)n es un espaciovectorial sobre K. En este caso se da un nombre y una escrituraespecial. A una n-upla

X1

X2

...Xn

donde Xi ∈ Km se llama una matriz n × m, donde Xi =(ai1, ai2, ..., aim).

y :

X1

X2

...Xn

=

a11 a12 · · · a1m

a21 a22 · · · a2m...

......

an1 an2 · · · anm

= (aij) i=1,...,nj=1,...,m

Capıtulo 1. Funciones Lineales y Matrices 3

Cuando no hay posibilidad de error se escribe simplementeX1

X2

...Xn

= (aij)

Se tiene pues que (aij) + (bij) = (aij + bij) y α(aij) = (αaij).

iv Sea V un espacio vectorial sobre K y sea A un conjunto cualquiera.Entonces V A = {f : A → V | f es funcion} es un grupo abelianopara la suma: (f + g)(a) = f(a) + g(a) y para el producto porescalar: (αf)(a) = αf(a). En particular cuando A = [a, b] yV = R.

v Si K es un campo, K[x], el conjunto de los polinomios con co-eficientes en K (indeterminada x) es un grupo abeliano para lasuma:

∞∑i=0

aixi +

∞∑i=0

bixi =

∞∑i=0

(ai + bi)xi

que es la suma corriente de polinomios. (Recuerde que en un poli-

nomio∞∑i=0

aixi, ai = 0 S.P.U.N.F.I se toma

∞∑i=0

aixi =

∞∑i=0

(αai)xi).

vi Kn[x] = {p(x) ∈ K[x] | grp(x) ≤ n} es un subgrupo de K[x]. Setoma la misma multiplicacion por escalar, que en el ejemplo iv.

Funciones Lineales

1.3 Definicion:Sean V y W espacios vectoriales sobre K, se dice que f : V → W

es una funcion K-lineal (o morfismo de K-espacios) si f : V → Wes homomorfismos de grupos abelianos que preserva el producto porescalar

f(α · v) = αf(v), ∀α ∈ K, ∀v ∈ V

4 Algebra Lineal

Note que en una funcion f : V → W es K-lineal si y solo si ∀v1, v2 ∈ V ,∀α1, α2 ∈ K, f(α1v1 + α2v2) = α1f(v1) + α2f(v2).

1.4 Definicion:Una funcion f : V1 → V2 K-lineal se dice un isomorfismo si es

biyectiva.

1.5 Ejemplos:

i Si V es un K-espacio vectorial, 1V : V → V es una funcionK-lineal. Mas aun es un isomorfismo.

ii Si f : V → W es un isomorfismo tambien lo es f−1 : W → V .

iii Si f : V → W y g : W → Z son funciones K-lineales tambien loes g ◦ f : V → Z y si f y g son isomorfismo tambien lo es g ◦ f .

iv D×D[a, b] → C[a, b] dado por DX(f) = f ′ (la derivada de f) esuna funcion (operador) lineal.

v Sean V y W espacios vectoriales sobre K. Sean HomK(v, w) ={f : V → W | f es K-linea}. Es claro que HomK(V,W ) es unsubespacio de W V . En particular HomK(K, K) es un espaciosobre K.

vi Sea φ : K → HomK(K, K) dada ası: Para k ∈ K, ϕ(k) denotala funcion ϕ(k) : K → K con ϕ(k)(x) = kx, ∀x ∈ K. Se tienepues que ϕ es un isomorfismo.

vii Consideremos V A y a ∈ A, existe una funcion llamada la eva-luacion en a Ea : V A → V dado por Ea(f) = f(a). EntoncesEa es una funcion K-lineal cuando V es un K-espacios vectorial.

viii Si f : V1 → W y g : V2 → V son funciones K-lineales tambien loes V1

⊕V2 → W (denotada aun f +g) dada por (f +g)(v1, v2) =

f(v1) + g(v2).

ix Si F : V1⊕

V2 → W es una funcion K-lineal entonces F espor fuerza una funcion del tipo numerado en viii. En efecto, sidenotamos i1 : V1 → V1

⊕V2 e i2 : V2 → V1

⊕V2 las funciones


v 7→ (v, 0) y v 7→ (0, v) respectivamente (o si lo prefiere i1(v) =(0, v)) entonces i1, i2 son K-lineales (si V1, V2,W son K-espacios)y ademas F = (F ◦ i1) + (F ◦ i2). La pareja de funciones F ◦ i1y F ◦ i2 se llama la descomposicion a izquierda de F y sedenota F 1 y F 2.

x Si F : R2⊕

R3 → R4, ((a, b), (c, d, e)) 7→ (2a + 4c, 6b + 7e, 0, 0).Entonces F es una funcion R-lineal y la descomposicion a iz-quierda de F sera

F 1(a, b)=F ((a, b), (0, 0, 0))=(2a+4·0, 6b+7·0, 0, 0)=(2a, 6b, 0, 0)

F 2(x, y, z) = F ((0, 0), (x, y, z)) = (2 · 0 + 4x, 6 · 0 + 7z, 0, 0)= (4x, 7z, 0, 0)

xi Si f i : V i → W es K-lineal, i = 1, 2, ..., n, tambien lo esn∑

i=1

f i

(n⊕

i=1

V i → W

)dada por

(n∑

i=1

f i

)(x) =

n∑i=1

f i(xi) si

x = (x1, x2, ..., xn).

xii Si F :n⊕

i=1

V i → W es K-lineal tambien lo es F ◦ ij = F j :

Vi → W en donde ij : V i →n⊕

i=1

V i, x 7→ (0, ...,i∧x, 0, ..., 0) en

dondei∧ significa “en la i-esima coordenada”, ası pues si n = 3,

i1 : V 1 → V 1⊕

V 2⊕

V 3 estara dada por i1(v) = (v, 0, 0)y F 1(v) = (F ◦ i1)(v) = F (i1(v)) = F (v1, 0, 0). i2 : V 2 →V 1⊕

V 2⊕

V 3 esta dada por i2(v) = (0, v, 0) y F 2 : V 2 → Wcon F 2(v) = (F ◦ i2)(v) = F (i2(v)) = F (0, v2, 0).

De la misma manera se tiene que para i3 y F 3. Se tiene en-tonces que F = F 1 + F 2 + F 3 en efecto

(F 1 + F 2 + F 3)(v1, v2, v3) = F 1(v1) + F 2(v1) + F 3(v3)= F (v1, 0, 0) + F (0, v2, 0) + F (0, 0, v3)= F ((v1, 0, 0) + (0, v2, 0) + (0, 0, v3))= F (v1, v2, v3)

6 Algebra Lineal

xiii Pi :n⊕

i=1

V i → Vj dada por Pj(v1, v2, ..., vn) = vj es una funcion

K-lineal la cual se llama la j-esima proyeccion.

xiv Si fi : W → V i es K-lineal, entonces tambien lo es F : W →n⊕

i=1

V i dada por F (w) = (f1(w), ..., fn(w)) en este caso F se

denota F = (f1, f2, ..., fn) = (fi)i. Es decir que (fi)i(v) =

(f1(v), f2(v), ..., fn(v)). Ahora bien si F : W →n⊕

i=1

V i entonces

la n-upla de funciones Fi = Pi ◦F se llama la descomposicionde Fa derecha. Se tiene que F = (F1, F2, ..., Fn) = (Fi)i.

Primer Teorema de Caracterizacion de Funciones Lineales

Sea K un campo. Deseamos dar, de ser posible, una caracterizacionde todas las funciones lineales Km → Kn. Deseamos saber si podemosdecir a “ojo” (son solo mirar la formula de la imagen) si una funcionKm → Kn dada es K-lineal.

Veamos para iniciar un caso “pequeno”. Supogamos que F : R3 → R2

lineal. Entonces F = (F1, F2) en donde F1 : R3 → R, (F1 = P1 ◦ F ),F2 : R3 → R, (F2 = P2 ◦ F ). Por otra parte F1 : R3 → R tienedescomposicion a izquierda,

R i1→ R3 F1→ R, R i2→ R3 F1→ R, R i3→ R3 F1→ R

o lo que es lo mismo

F1 ◦ i1 = (Fi)1, F1 ◦ i2 = (F1)2, F1 ◦ i3 = (F1)3

Si es complicado escribir (F1)i entonces escribirmos F i1 y tenemos que

F1 = F 11 + F 2

1 + F 31

y de la misma manera F2 = F 12 + F 2

2 + F 32 ası pues F = (F1, F2) =

(F 11 + F 2

1 + F 31 , F 1

1 + F 21 + F 3

1 ) en donde F ij : R → R es una funcion


lineal. Del ejemplo 1.5, parte v se tiene que f : R → R es R-lineal si ysolo si existe a ∈ R tal que f(x) = ax, ∀x ∈ R. En efecto a = f(1). Setiene entonces que cada uno de los F i

j esta dada por un numero realası:

F 11 (x) = a1

1x F 12 (x) = a1

2x

F 21 (x) = a2

1x F 22 (x) = a2

2x

F 31 (x) = a3

1x F 32 (x) = a3

2x

Veamos como es pues la funcion F .

F (x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z))= ((F 1

1 + F 21 + F 3

1 )(x, y, z), (F 12 + F 2

2 + F 32 )(x, y, z))

= (F 11 (x) + F 2

1 (y) + F 31 (z), F 1

2 (x) + F 22 (y) + F 3

2 (z))= (a1

1(x) + a21(y) + a3

1(z), a12(x) + a2

2(y) + a32(z))

= (a11x + a2

1y + a31z, a1

2x + a22y + a3

2z)

Ası pues, toda funcion F : R3 → R2 esta determinada y determina, demanera unica numeros a1

1, a21, a3

1, a12, a2

2, a32; para facilitar el recordarlo

lo escribimos en forma de matriz(a1

1 a21 a3

1

a12 a2

2 a32

)Se nota que a1

1x+a21y+a3

1z se obtiene de los vectores (triplas) (a11, a

21, a

31)

y (x, y, z) multiplicando coordenada a coordenada y despues sumandolos resultados, esto da lugar a una funcion, R3 × R3 → R, llamada unproducto escalar (distinto de “por” escalar), ası:

(x1, x2, x3)(y1, y2, y3) = x1y1 + x2y2 + x3y3

Se tiene entonces que hay una matriz(

A1

A2

)determinada y que

determina a F .

El proceso que hicimos indica como determinar la matriz de F . Ademas

es claro como dar la funcion lineal de una matriz(

A1

A2

). Esta dada

8 Algebra Lineal

de la siguiente manera (en la cual usaremos notacion

abc

en cambio

de (a, b, c) para aconstumbrarnos a un uso corriente en algebra lineal.

F (X) =(

A1 ·XA2 ·X

)que tambien se escribe(

A1 ·XA2 ·X

)=(

A1

A2

)·X

Por ejemplo si A1 = (2, 3, 4), A2 = (−2, 6, 3) entonces:

F (x, y, z) =(

2 3 4−2 6 3

) xyz

=

((2, 3, 4) · (x, y, z)

(−2, 6, 3) · (x, y, z)

)=

(2x + 3y + 4z−2x + 6y + 3z

)

Ahora bien 2x + 3y + 4z es una combinacion lineal de x, y, z esdecir es una suma de productos de x, y, z cada uno por un escalar(en R en este caso). De la misma manera −2x + 6y + 3z es unacombinacion lineal de x, y, z. Se nota entonces F : R3 → R2 es unafuncion lineal sobre R si cada una de las coordenadas de F (x, y, z) esuna combinacion lineal de x, y, z con coeficientes en R.

Miremos ahora las propiedades del producto escalar.

1.6 Proposicion:Sean x, y, z ∈ Kn. Entonces:

i x · y = y · x.

ii x · (y + z) = x · y + x · z.


iii (αx) · y = α(x · y).

1.7 Proposicion:

Sea

A1...

An

una matriz de n × m de elementos de K (o con

coordenadas en K), es decir Ai ∈ Kn, entonces la funcion F :Km→Kn

dada por

F (X) =

A1 ·XA2 ·X

...An ·X

(denotado tambien A ·X si A =

A1

A2...

An

)

es una funcion K-lineal.

1.8 Proposicion:Sea F : Km → Kn una funcion K-lineal entonces existe una

matriz A ∈ Mn×m(K) tal que F (X) = A ·X, ∀X ∈ Kn.

Demostracion:Puesto que F : Km → Kn es K-lineal F se descompone en F =(F1, F2, ..., Fm) en donde Fj : Km → K es lineal, como Fj es lineal, Fj

se descompone en:

F 1j : K → K F 2

j : K → K · · · Fmj : K → K

o lo que es lo mismo Fj =m∑

i=1

F ij con F i

j : K → K lineal.

Como F ij : K → K entonces existe aij ∈ K tal que F i

j (x) = aij(x),∀x ∈ K. Ası pues

Fj(x) =m∑

i=1

F ij (xi) =

m∑i=1

aijxi = (a1j , a2j , ..., amj)(x1, x2, ..., xm)

10 Algebra Lineal

Si denotamos Aj = (a1j , a2j , ..., anj) entonces Fj(X) = Aj ·X, se tieneentonces escribiendo en forma de columna

F (X) =

F1(X)F2(X)

...Fn(X)

=

A1 ·XA2 ·X

...An ·X

= A ·X, si tomamos A =

A1

A2...

An

1.9 Nota:

A la matriz A que se hizo corresponder a F : Kn → Km en 1.7 lallamaremos F y la denotaremos M(F ).

Note que la escritura en forma de columna tiene mas ventajas. Ası siF : R3 → R4 es la funcion

F (X) =

2x + 3y + 4z5x + 6z7x + 9y + 8z9y + 6z

Entonces es claro que F es lineal sobre R puesto que

F

xyz

=

2x + 3y + 4z5x + 0y + 6z7x + 9y + 8z0x + 9y + 6z

Y cada coordenada de F (X) (cuando x = (x, y, z)) es una combinacionlineal de x, y, z. Ademas es obvio que

M(F ) =

2 3 45 0 67 9 80 9 6

O sea la matriz de los coeficientes de las combinaciones lineales orde-nadas. En efecto si A es la matriz dicha

A ·X =

(2, 3, 4) ·X(5, 0, 6) ·X(7, 9, 8) ·X(0, 9, 6) ·X

=

2x + 3y + 4z5z + 0y + 6z7x + 9y + 8z0x + 9x + 6y

= F (X)


Los Elementos del Caso General V → W

Si nos preguntamos ahora bajo que condiciones una funcion K-linealf : V → W , en donde V y W son K-espacios cualesquiera, se puede darpor medio de una matriz como en el caso acotado para poder respondera esta pregunta se requiere tratar algunos elementos fundamentales.En efecto un elemento fundamental que usaremos, fue que en Kn unelemento tiene “coordenadas”, y de hecho esta determinado de maneraunica por ellas. Usaremos ademas “combinaciones lineales”. Estos doselementos estan ademas conectados. He aquı los elementos basicos quenos permitiran generalizar el problema.

1.10 Definicion:Sea V un K-espacio vectorial y S un subconjunto de V . A una

suma de la forma k1s1 + K2s2 + ... + knsn en donde ki ∈ K y si ∈ S,∀i = 1, ..., n, lo llamamos una combinacion lineal de elementosde S.

En los elementos de 1.10 resulta que 0 es una combinacion lineal deelementos de S. En efecto 0 = 0s con s ∈ S es una combinacionlineal de elementos de S. En efecto s = 1 · s. Esto ultimo lo sabemos,es la condicion M.E.3. Para lo segundo comencemos por remediar laomision de las propiedades elementales de un espacio vectorial.

1.11 Proposicion:Si V es un espacio sobre K entonces:

i ∀v ∈ V , 0v = 0.

ii (−α)v = −(αv), ∀α ∈ K, ∀v ∈ V .

Por otra parte se nota que las combinaciones lineales de elementosde S forman un subgrupo de V . En efecto, una suma (finita) deproductos de la forma αs con α ∈ K, s ∈ S. Sumando con otra sumade elementos de la misma forma es de nuevo una suma del mismo estilo.Mas aun, note que al restar combinaciones lineales de elementos de Sda una combinacion lineal de elementos de S: (α1s1+α2s2+...+αtst)−

12 Algebra Lineal

(β1s′1+β2s

′2+...+βqs

′q) = α1s1+α2s2+...+αtst+(−β1)s′1+(−β2)s′2+

... + (−βq)s′q y sabemos que 0 es combinacion lineal de elementos deS. Que estructura esta revuelta en este subgrupo? Se completa a algocomo subespacio? La respuesta es sı. He aquı la formalizacion delconcepto.

Subespacios Vectoriales

1.12 Definicion:Sean W y V espacios vectoriales sobre K. Se dice que W es un

subespacio de V (sobre K) si W ⊆ V y la suma y el producto de Wson las restricciones de la suma y el producto en V .

Dado un subconjunto W de un espacio vectorial V sobre K diremosque W es un subespacio de V (sobre K) si W es cerrado para lasoperaciones suma y producto por escalar y W con las operacionesincluidas en un subespacio de V . Se tiene un teorema correspondienteal caso de grupos abelianos.

1.13 Proposicion:Sea V un espacio vectorial sobre K. Sea W ⊆ V , W 6= φ.

Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes:

i W es un subespacio de V sobre K.

ii W es un subgruupo de (V,+) cerrado para el producto por es-calar.

iii ∀w1, w2 ∈ W , ∀α ∈ K, w1 − w2 ∈ W , αw1 ∈ W .

iv ∀w1, w2 ∈ W , ∀α1, α2 ∈ K, α1w1 + α2w2 ∈ W .

1.14 Ejemplos:

i 0 y V son subespacios de V llamados los subespacios triviales.

ii Kn[x] es un subespacio de K[x] sobre K.


iii Para K un campo, sea T = {(0, a2, a3, 0, a5) | ai ∈ K} es unsubespacio de K5.

iv C[a, b] = {f : [a, b] → R | f es continua} es un subespacio deR[a,b] sobre R.

v D[a, b] = {f : [a, b] → R | f es diferenciable} es un subespaciode C[a, b].

La propiedad fundamental que nosotros queremos es.

1.15 Proposicion:Sea S ⊆ V . Sea < S > el conjunto de las combinaciones lineales

de elementos de S (con coeficientes en K). Entonces < S > es unsubespacio de K 2

1.16 Definicion:

i < S > de la proposicion anterior se conoce como el subespaciogenerado por S.

ii Si G =< S > decimos que S es un conjunto de generadores deG.

Estamos frente a una parte de la teorıa de grupos abelianos que “pasan”de manera directa (unicamente teniendo cuidado de “preservar la mul-tiplicacion por escalar”) del caso de grupos abelianos al caso de espa-cios vectoriales. Allı se tenıa el subgrupo generado por un subconjunto.Aquı tambien hay la nocion de generacion y podrıa haberse usado lamisma tecnica que alla. Ası se podrıa haber demostrado que la inter-seccion de subespacios es un subespacio, en tal caso se tendrıa que:

∩{W | W subespacio de V , W ⊇ S}

es un subespacio que contiene a S y al mas pequeno, por el mismoprocedimiento de construccion. Que este subespacio y < S > coincidense tiene porque

14 Algebra Lineal

1.17 Proposicion:< S > es el subespacio mas pequeno de V sobre K que cotiene

a S. Es decir el subespacio < S > cumple que si T es un subespacio< S > cumple que si T es un subespacio de V y T ⊇ S entonces< S >⊆ T 2

Note que la parte de homomorfismo de grupos abelianos produce pro-piedades conocidas que se extienden tambien a la preservacion delproducto por escalar. Ası por ejemplo, si f : A → B es un homo-morfismo de grupos abelianos, entonces, Im f es un subgrupo de B.La propiedad correspondiente en el caso que estudiamos serıa (tradu-ciendo): Si f : A → B es K-lineal entonces Im f es un subespaciode B. La parte correspondiente a grupos ya se conoce. En efecto sa-bemos que si f es K-lineal entonces es un homo de grupos abelianos,por tanto Im f es un subgrupo de B. Resta demostrar que es cerra-do para el producto por escalar: Si x ∈ Im f y α ∈ K entoncesαx ∈ Im f . En efecto: x ∈ Im f ↔ x = f(a) para a ∈ A. Ası queαx = αf(a) = f(αa) ∈ Im f .

Las propiedades tambien pueden ser demostradas directamente, porejemplo la anterior demostracion de manera directa serıa: Sean x, yque pertencene a Im f , α, β ∈ K y veamos que αx + βy ∈ Im f . Perocomo x, y ∈ Im f , x = f(a), y = f(b) con a, b ∈ A. Se tiene entonces

αx + βy = αf(a) + βf(b) = f(αa + βb) ∈ Im f

De las propiedades siguientes aconsejamos que la mitad que haga demanera directa y la mitad usando el caso correspondiente a gruposabelianos.

1.18 Proposicion:Sea f : V1 → V2 una funcion K-lineal entonces:

i Si W1 es un subespacio de V1, f(W1) es un subespacio de V2.

ii Si W2 es un subespacio de V2, f−1(W2) es un subespacio de V1.

iii Im f es un subespacio de V2.

iv Ker f es un subespacio de V1.


v f es 1− 1 si y solo si ker f = 0.

Tenemos ademas una relacion con generacion que nos interesa.

1.19 Proposicion:Sea f : V1 → V2 una funcion K-lineal sobreyectiva. Si S genera

a V1 entonces f(S) genera a V2.

Demostracion:En efecto si y ∈ V2 entonces y = f(x) con x ∈ V1. Entonces x =

n∑i=1

αisi con si ∈ S, αi ∈ K. Ası que

y = f(x) = f

(n∑

i=1

αisi

)=

n∑i=1

f(si) ∈< f(S) > 2

Bases

Ahora bien, en el caso de grupos abelianos se tenıan descomposicionesmuy precisas cundo se podıa minimizar el conjunto de generadores.Por ejemplo, en el caso de un elemento se encontraron los gruposcıclicos. Si G es un grupo cıclico G ∼= Z o G ∼= Zp para algun p. En elcaso nuestro la relacion es mucho mas precisa. Antes extenderemos elsimbolo ∼=.

1.20 Definicion:Sea V y W K-espacios vectoriales. Decimos que V es isomorfo

a W si y solo si existe f : V → W que es un isomorfismo.

Como siempre se tiene.

1.21 Proposicion:Entre espacios vectoriales sobre K, ∼= es una relacion de equiva-

lencia.

16 Algebra Lineal

Ahora bien, el caso de Z y Zp para espacios vectoriales ası.

1.22 Proposicion:Si V es un espacio vectorial sobre K tal que V =< a > para

algun a ∈ V , entonces V ∼= K.

Demostracion:f : V → K, αa 7→ α es claramente un isomorfismo. Aquı juega unpapel muy importante el hecho que {a} es el mınimo conjunto (encuanto a numero) de generadores posibles.

Decimos que S es un conjunto minimal de generadores de V si G=<S >y si s′ ∈ S (propiamente) entonces < S′ >⊆ G. Estos conjuntos secaracterizan ası:

1.23 Proposicion:Sea S ⊆ V . Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes.

i S es un conjunto minimal de generadores de V .

ii α1s1 + ... + αtst = 0 (con t ∈ N, αi ∈ K, st ∈ S con los si

distintos) implica αi = 0, ∀i = 1, 2, ..., t.

iii Cada elemento v de V se escribe de una unica manera comocombinacion lineal de elementos de la base.

Antes de hacer la demostracion notemos lo siguiente: En cambio deii se dice que S es linealmente independiente sobre K. Aquıresumimos escribiendo LIK. La parte iii quiere decir que si S1 y S2

son dos conjuntos finitos de S y consideramos los elementos∑s∈S1

αss y∑t∈S2

βtt (αs, βt 6= 0) es decir un elemento de < S1 > y uno de < S2 >

entonces si∑s∈S1

αss =∑t∈S2

βtt → s1 = S2 ∧ αs = βs, ∀s ∈ S1 = S2


Dicho en cristiano: Si usted toma x ∈< S > lo escribe como com-binacion lineal de elementos de S y simplifica y si lo escribe de otramanera y tambien simplifica entonces en ultimas, las dos escriturasson identicas salvo por el orden.

Demostracion Proposicion 1.23:

i → ii Suponga que S es minimal y suponga que α1s1 + ... + αtst = 0.Si algun αi 6= 0, por ejemplo el primero entonces s1 =

α2

α1s2 +

α3

α1s3 + ...+

αt

α1st con lo que se puede eliminar si como generador

porque es ya generado por s1,...st. Es decir S −{s1} genera a V(si por ejemplo x = β1s1 + αv + δw con v, w ∈ S entonces

V = β1α2

α1s2 + β1

α3

α1s3 + ... + β1

αt

α1st + αv + δw

y el s1 se elimina cambiando por la combinacion lineal de s2, ..., st).

ii → i Suponga que S1, S2 son finitos y S1 ∩ S2 = T y que∑s∈S1

αss =∑t∈S2

βtt con αs 6= 0 y βt 6= 0 entonces∑s∈S1

αss −∑t∈S2

βtt = 0,

simplificando∑s∈S1−S2

αss +∑

s∈S1∩S2

(αs − βs)s +∑

t∈S2−S1

(−βtt) = 0

entonces αs = 0, ∀s ∈ S1 − S2, βt = 0, ∀t ∈ S2 − S1 y αs = βs,∀s ∈ S1 ∩ S2. Como αs, βt 6= 0 por hipotesis, S1 − S2 = φ,S2 − S1 = φ, ası que S1 = S1 ∩ S2 = S2 y αs = βs, ∀s ∈ S1 ∩ S2.

iii → ii Si T ⊂ S y G =< T >=< S >, entonces existe s ∈ S tal ques /∈ T . Entonces como s ∈< T >,

s = α1t1 + ... + αqtq con αi ∈ K, ti ∈ T , αi 6= 0

Por escritura unica de S y como si, ti ∈ S, entonces solo hay unsumando en la derecha digamos s = α1t1 y ademas α1 = 1 ys = t1 puesto que ti ∈ T entonces s ∈ T 2

18 Algebra Lineal

1.24 Definicion:Un conjunto S que cumpla cualquiera de las condiciones equiva-

lentes i, ii, iii (entonces todas) de la proposicion previa y si Y =< S >se le llama una base de V sobre K.

Recordemos de⊕i∈I

Vi = {f : I →⋃i∈I

Vi | f(i) ∈ Vi, f(i) = 0 S.P.U.N.F.I}

como grupo abeliano. Ademas (αf)(i) = α(f(i)) define un productoescalar en

⊕i∈I

Vi ası que es un espacio vectorial sobre K. Cuando

Vi = V se escribe⊕

I

V .

1.25 Proposicion:Si S es una base de V sobre K entonces V ∼=

⊕S

K.

Demostracion:

Sea ϕ : V →⊕

S

K la funcion dada ası ϕ

(∑S

αsS

)es un elemento

de⊕

K; por tanto para describirla debo dar su i-esima coordenada.(ϕ

(∑s∈S

αsS

))(i) = αi

Como cada elemento de V tiene escritura unica con base en S y estabien definida, veamos que

ϕ

(∑s∈S

αsS +∑s∈S

βsS

)= ϕ

(∑s∈S

αsS

)+ ϕ

(∑s∈S

βsS

)

En efecto calculando la i-esima coordenada en los dos lados tenemos:(ϕ

(∑s∈S

αsS +∑s∈S

βsS

))(i) = ϕ

(∑s∈S

(αs + βs)S

)(i) = αi + βi


(ϕ

(∑s∈S

αsS

)+ ϕ

(∑s∈S

βsS

))(i)

(∗)=

(ϕ

(∑s∈S

αsS

))(i)

+

(ϕ

(∑s∈S

βsS

))(i) = αi + βi

(∗) Recuerde que la i-esima coordenada de una suma es la suma de lasi-esimas coordenadas, o sea (f + g)(i) = f(i) + g(i).

Si ϕ

(∑s∈S

αsS

)= 0 entonces ϕ

(∑s∈S

αsS

)(i) = 0, ∀i ∈ S. Es decir

αi = 0, ∀ ∈ S. Ası que∑s∈S

αsS = 0 por tanto ϕ es 1− 1.

Finalmente si f ∈⊕

S

K entonces f(s) ∈ K, ∀s ∈ S y f(S) = 0

S.P.U.N.F.I. Consideremos x =∑s∈S

f(s)s y veamos que ϕ(x) = f .

En efecto calculamos la i-esima coordenada de cada lado y veamosque coinciden.

(ϕ(x))(i) = ϕ

(∑s∈S

f(s)S

)(i) = f(i)

El procedimiento del teorema anterior es mas general. En efecto cons-tituye la base fundamental de la construccion de las funciones lineales.

1.26 Teorema:Sea S una base de V sobre K y f una funcion de S (que es un

conjunto) en un espacio W , entonces f se extiende de manera unica auna funcion K-lineal F : V → W tal que F (S) = f(S), ∀s ∈ S.

Demostracion:

Por escritura unica F

(∑s∈S

αsS

)∗=∑s∈S

αsf(s) esta bien definida

20 Algebra Lineal

puesto que (ademas) las sumatorias son finitas (αs = 0 S.P.U.N.F.I).Ademas F (s) = f(1s) = 1f(s) = f(s). Que F es lineal se deja comoejercicio. La parte ∗ muestra la unica posible definicion de F .

1.27 Ejemplos:i e1 = (1, 0), e2 = (0, 1) generan R2 sobre R. En efecto, (a, b) =

(a, 0) + (0, b) = a(1, 0) + b(0, 1). Ademas, {e1, e2} es L.I.R. Enefecto si αe1+βe2 = 0 entonces α(1, 0)+β(0, 1) = (α, 0)+(0, β) =(α, β) = 0. Ası que α = β = 0 y por tanto R2 =< (1, 0), (0, 1) >o lo que es lo mismo {e1, e2} forman una base de R2 sobre Rllamada la base (en el orden) canonica.

ii e1 = (0, ..., 1i, ..., 0) ∈ Kn se llama el i-esimo vector unitariocoordenado de Kn. Se tiene que {e1, e2, ..., en} es una base deKn sobre K.

iii Sea ei ∈⊕

I

K donde se tiene ei(j) ={

0 si i 6= j1 si i = j

. Entonces

ei se llama el i-esimo vector unitario coordenado de⊕

I

K

y forma una base de⊕

I

K sobre F .

iv {1, X,X2, ..., Xn} forma una base de Kn[x] sobre K.

v Si (a, b) y (c, d) estan en la recta y = mx entonces ba = d

c o seaad − bc = 0. Suponga que (a, b) 6= (0, 0) 6= (c, d) y que (a, b)y (c, d) no estan sobre una misma recta que pase por el origende R2. Entonces {(a, b), (c, d)} es una base de R2 sobre R. Enefecto, α(a, b)+β(c, d) = 0 ↔ (αa+βc, αb+βd) = 0 ↔ αa+β =0 ∧ αb + βd = 0 se tiene que α = 0 y β = 0 de otra manera sipor ejemplo β 6= 0 entonces (multiplicando la primera igualdadpor b y la segunda por a) se eliminan terminos con α y se recibeβ(bc− ad) = 0 lo cual implica bc− ad = 0.

Ademas si se deben hallar x, y ∈ R tales que x(a, b) + y(c, d) =(R,S) entonces por la condicion ad−bc 6= 0 se despejan facilmentedel sistema de ecuaciones en R,

ax + yc = r bx + yd = s


vi Pregunta: Hay una funcion lineal F : R2 → R3 que envıe (2, 1)en (3, 4, 6) y (−2, 1) en (−3, 4, 6)? Cuantos de ellos hay?

Solucion: Como (−2, 1) y (2, 1) no estan en una recta que pasepor el origen entonces forman una base de R2 sobre R. Asıpues existe una unica funcion lineal F : R2 → R3 que envıa(2, 1) en (3, 4, 6) y (−2, 1) en (−3, 4, 6). Recordemos como seconstruye. Primero, si (x, y) ∈ R2 buscamos α, β ∈ R tal queα(2, 1) + β(−2, 1) = (x, y). Es decir

2α + 2β = xα + β = y

}↔ α =

x + 2y

4, β =

2y − x

4

por tanto (x, y) = (x+2y)4 (2, 1) + (2y−x)

4 (−2, 1) (verıfiquelo). Asıpues

F (x, y) = (x+2y)4 F (2, 1) + (2y−x)

4 F (−2, 1)

= (x+2y)4 (3, 4, 6) + (2y−x)

4 (−3, 4, 6)

=(

3(x+2y)4 + −3(2y−x)

4 , (x + 2y)+(2y − x), 6(x+2y)4 + 6(2y−x)

4

)=(

34(2x), 4y, 6

4(4y))

=(

32x, 4y, 6y

)Explıcitamente F (x, y) =

(32x, 4y, 6y

).

Ahora si f : I → J es una funcion 1 − 1 y sobre se ve facilmente queF :

⊕I

K →⊕

J

K. Dada por F (ei) = eF (i) (segun e teorema es

suficiente dar la funcion sobre la base) es un isomorfismo. El inversoes tambien es cierto pero solo lo enunciamos.

1.28 Teorema:⊕I

K ∼=⊕

J

K sobre K si y solo si I ∼= J 2

22 Algebra Lineal

1.29 Corolario:

i Kn ∼= Km → n = m.

ii Si S1 y S2 son bases sobre K entonces S1∼= S2.

Demostracion de ii:V ∼=

⊕S1

K y V ∼=⊕S2

K por tanto⊕S1

K ∼=⊕S2

K → S1∼= S2.

El ultimo teorema que enunciamos pero no demostramos es esta partetiene la siguiente base intuitiva: Supongamos que < S >= V S sobreK con, digamos S = {S1, S2, ..., Sn}. Bien S es un minimal o no loes. Si no lo es se puede eliminar un elemento (digamos Sn) y teneraun un conjunto de generadores S −{Sn} el cual es o no minimal. Deesta manera se encuentra en S un subconjunto minimal de generadoresy por tanto una base. Ahora bien, uno puede encontrar siempre unconjunto de generadores: V =< V > pero como no siempre puede en-contrar uno finito, el proceso de eliminar generadores sobrantes puedeno tener fin. Tambien se podrıa iniciar con un conjunto LIK. Si S esLIK es decir V no esta generado por S. Entonces S ∪ {v} es lineal-mente independiente. Si no, αv + α1s2 + ... + αtst = 0 con no todoαi = 0. Ası que α 6= 0 de otra manera α1s1 + ... + αtst = 0 y como Ses LIK, α1 = α2 = ... = αt = 0.

De nuevo se tiene < S ∪ {v} >= V o no, sino existe v1 ∈ V − S ∪ {v},ası que S ∪ {v} ∪ {v1} es LI. El proceso puede continuar pero nadiegarantiza que se agote. De hecho may casos en que no se agota, peerotenemos el teorema que no demostramos.

1.30 Teorema:Si S es LIK en V , entonces existe una base B de V sobre K tal

que S ⊆ B 2

Ası que si V 6= 0 entonces tiene una base. En efecto si V 6= 0, {v} esLIK.


1.31 Definicion:

i A los espacios con bases finitas se les llama finito dimensio-nales y al numero de elementos de cualquier base se le llama ladimension del espacio.

ii Si un espacio no tiene base finita se le dice infinito dimen-sional.

Hagamos enfasis en el siguiente punto: Si V es un espacio sobre K y{b1, b2, ..., bn} es una base de V sobre K entonces cada elemento x deV se puede escribir de una unica manera salvo por el orden en la

forma X =n∑

i=1

αiβi.

Descomposicion en Suma Directa

Ahora bien, sabemos que en tal caso V ∼= Kn = K⊕

...⊕

K cada unade estas copias de K esta representada por < bi > (en V ) que es unsubespacio de dimension 1 sobre K. Pero el orden de colocacion puedeser cualquiera. En realidad el isomorfismo se puede ver internamentey permite seleccionar un orden con el cual trabajar.

1.32 Definicion:Sea W1,W2, ...,Wn subespacios de V . Decimos que V se descom-

pone en la suma directa de W1,W2, ...,Wn si

i V = W1 + W2 + ... + Wn.

ii w1 +w2 + ...+wn = 0 (wi ∈ Wi) entonces wi = 0, ∀i = 1, 2, ..., n.

En tal caso denotamos V = W1⊕

W2⊕

...⊕

Wn.

1.33 Proposicion:Si V se descompone en suma directa de Wi, i = 1, 2, ..., n entonces

V ∼= W1⊕

W2⊕

...⊕

Wn.

24 Algebra Lineal

Demostracion:Es claro que si x ∈ V , x = v1 + v2 + ...vn con vi ∈ Wi de maneraunica. Por que si v1 + v2 + ... + vn = w1 + w2 + ... + wn entonces(v1 −w1) + ...(vn −wn) = 0 y por tanto vi −wi = 0, ∀i o sea vi = wi,se tiene que ϕ : V → W1

⊕W2⊕

....⊕

Wn, (w1 + w2 + ... + wn) 7→(w1, w2, ..., wn) es un isomorfismo.

Funciones Lineales y Matrices

Pero note que si V y W son espacios V⊕

W 6= W 6= V ası quecuando escribimos V = W1

⊕...⊕

Wn estamos asegurando que hemosfijado un orden de escritura de los elementos. Se tiene entonces queV = w1

⊕...⊕

wn se comporta como suma. Compare 1.5 − x hasta1.9.

1.34 Proposicion:Suponga que V = w1

⊕...wn entonces:

i WjLj→ V , vj 7→ vj es lineal.

ii Si fi : Vi → W entonces VF→ W dado por F (

∑vi) =

∑fi(v)

es lineal. Denotadon∑

j=1

F ◦ ij .

iii Si F : V → W es lineal entonces F =n∑

j=1

F ◦ ij 2

Si denotamos F ◦ ij = F i se tendra en iii de 1.34 que F =n∑

j=1

F j .

1.35 Proposicion:Si V = W1

⊕...⊕

Wn entonces:

i Pj : V → Wj ,n∑

j=1

vj → vj es una funcion lineal.


ii Si hj : W → Wj es lineal tambien lo es H : W → V dado porH(v) =

∑hj(v). Denotemos H = (hj)i.

iii Si H : W → V y denotamos WH→ V

Pj→ Vj por Hj entoncesH = (Hi)i.

Se tiene que si V = V1⊕

...⊕

Vn y W = W1⊕

...⊕

Wm entoncesuna funcion F : V → W se descompone en F = (Fj)j=1,...,m en donde

Fj : V → Wj por tanto Fj =n∑

i=1

F ij donde F i

j : Vi → Wj .

Si los espacios Vi y Wi son espacios complicados entonces lo hechono ayuda mucho. Pero si son espacios de dimension 1 entonces elprocedimiento ayuda. En este caso la funcion f :< a >→< b > linealesta determinada y determina un escalar. Si k ∈ K entonces la funcionϕ :< a >→< b > tal que ϕ(a) = kb es lineal por supuesto. Ademaspara hallar el escalar que determina a ϕ se halla la imagen de a. Siϕ(a) = kb entonces k determina a ϕ. De hecho ϕ(αa) = αϕ(a) =k(αb).

Supongamos entonces que Vi =< ai > y Wj =< bj >, entonces existeki

j que determina a F ij . De hecho tenemos que F i

j (αai) = αF ij (ai) =

αkijbj .

La escritura se facilita si usamos coordenadas. En

V =< a1 >⊕

...⊕

< an >=n⊕

i=1

< ai > (∗)

Si X = α1a1 + α2a2 + ... + αnan lo escribimos

x =

α1...

αn

26 Algebra Lineal

y llamamos a αi la coordenada i-esima de X en (*). De nuevoα1

α2...

αn

·

B1

B2...

Bn

=n∑

i=1

αiBi

Se tiene entonces como antes:

1.36 Teorema:

Sean V =n⊕

i=1

< ai >, W =m⊕

j=1

< bj >. Entonces para la

funcion lineal F : V → W existe una y una sola matriz

A =

A1

A2...

An

∈ Mn×M (K)

Total que

F (X) =

A1 ·XA2 ·X

...An ·X

= A ·X, ∀X ∈n⊕

i=1

< ai >

Demostracion:

F (X) =n∑

j=1

Fj(X) =n∑

j=1

(m∑

i=1

F ij (xjaj)

)=

n∑j=1

(m∑

i=1

xjkijbj

)

=

(m∑

i=1

xjkij

)bj =

n∑j=1

(AjX)bj =

A1X...

AnX

= A ·X

en donde Aj = (k1j , k

2j , ..., k

nj ) 2


1.37 Teorema:

Para F :n⊕

i=1

< ai >→m⊕

j=1

< bj > sea M(F ) la matriz del

teorema previo. Entonces

M : HomK

n⊕i=1

< ai >,

m⊕j=1

< bj >

→ Mn×M (K), F 7→ M(F )

Es una funcion 1− 1 y sobre.

28 Algebra Lineal

PROBLEMAS

1 Demuestre que si R2 =< x, y > entonces {x, y} es una base deR2.

2 Considere las ecuaciones en R

ax + by = 0 cx + dy = 0

a Muestre que el sistema tiene solucion unica (x = 0, y = 0)si y solo si ad− bc 6= 0.

b Sea a, b, c, d ∈ R tales que

ax + cy = 0bx + dy = 0

}→ x = 0 ∧ y = 0

Muestre que∣∣∣∣ a c

b d

∣∣∣∣ 6= 0.

c Muestre que si aij , i, j = 1, 2, 3 son tales que

a11x + a21ya31z = 0a12 + a22ya32z = 0a13 + a23ya33z = 0

→ x = 0, y = 0, z = 0

entonces ∣∣∣∣∣∣a11 a21 a31

a12 a22 a32

a13 a23 a33

∣∣∣∣∣∣ 6= 0

3 Muestre que en R2 si {x, y} es L.I.R entonces {x, y} es una basede R2 sobre R.

4 Son 1,2 y 3 ciertos en general para un campo K cualquiera?

5 Muestre que < V1, ..., Vn >= V sobre K entonces {V1, V2, ..., Vn}contiene una base de V . (Use induccion sobre n).

6 Muestre que si dim V = n y < V1, V2, ..., Vn >= V entonces{V1, V2, ..., Vn} es una base de V .


7 Muestre que si dim V = n y dim W = m sobre K entoncesdim (V

⊕W ) = n + m. O dicho de otro modo dim (V

⊕W ) =

dim V + dim W . Use este teorema para demostrar dim Kn = n.Muestre que Kn

⊕Km ∼= Kn+m.

8 Muestre que si dim V = n y {V1, ..., Vn} es L.I.K entonces{V1, V2, ..., Vn} es una base de V sobre K.

9 Muestre que si S1 ⊆ S2 ⊆ V , entonces < S1 > es un subespaciode < S2 > y que < S2 > es un subespacio de V y V es dedimension finita, entonces dim < S1 >≤ dim < S2 >≤ dimV .

10 De todos los subespacios de R sobre R.

11 De todos los subespacios de R2 sobre R que tienen dimension 1.Grafıquelos en R2. En seguida de todos los subespacios de R2 enR de dimension 2.

12 Clasifique y grafique los subespacios de dimension 1, 2, 3 de R3.

13 Muestre que si f : V → W es k-lineal y 1−1 entonces V ∼= f(V ).En tal caso se dice que f(V ) es una representacion de V enW .

a De tres representaciones de R en R2 (grafıquelos).

b De cuatro representaciones de R2 en R3.

c De una representacion de R en R4.

d De una representacion de R3 en R4.

14 Muestre que si V1 tiene una representacion en V2 y V2 tiene unarepresentacion en V3 entonces V1 tiene una representacion en V3.Muestre que si V1 tiene una representacion en V2 y V1 tiene unarepresentacion en V1 entonces V1

∼= V2.

15 Cuantas funciones R-lineales R2 F→ R3 existe tales que f(1, 2) =(3, 4, 6) y f(2, 6) = (5, 3, 7).

16 Muestre que si f : V → W es k-lineal y 1 − 1 (o como tambiense conoce k-singular o singular cuando no hay confusion con el

30 Algebra Lineal

k) entonces f preserva la independiencia lineal. De un ejemplode una funcion k-lneal que preserva la independencia lineal peroque no es k-singular. Muestre que si f preserva la independencialineal entonces es singular o dim kerf = 1.

17 Sea S1 ∩ S2 = φ y S1 ∪ S2 una base de V sobre K entoncesV =< S1 >

⊕< S2 >.

18 Sea f : V → W es k-lineal. Suponga que ker f 6= 0. Sea S unabase de ker f . Sea T una base de V que contiene a S. (Comosabe que T existe?). Muestre que:

a V = ker f⊕

< TS >.

b f |<T−S>:< T − S >→ W es 1− 1.

c f(T − S) es una base de Im f .

d Si V es finito dimensional entonces dim V = dim ker f +dim Im f .

19 En cada caso damos un conjunto S y un elemento (vector X)de un emporio V , decida si S en una base de V y halle lascoordenadas de X en la base dada con el orden dado.

V S Xi R2 {(1, 2), (3, 4)} (−3, 1)ii R2 {(3, 4), (1, 2)} (−3, 1)iii R3 {(1, 2, 3), (3, 4,−1)} (1, 6, 7)iv R3 {(1, 2, 3), (3, 4, 0)} (1, 6, 7)v R3 {(1, 2, 3), (3, 4, 0), (2, 0, 1)} (1, 6, 7)

20 Puede una funcion f : R3 → R2 lineal sobre R ser 1− 1? Puedeuna funcion f : R2 → R3 lineal sobre R ser sobre?

21 Sea f : R3 → R2 dado por f(x, y, z) = (2x + y, y + z). Diga

a Im f = 0.

b dim Im f = 1.

c dim Im f = 2.


22 Sea f : R3 → R2 dado por f(x, y, z) = (2x + y, y + z). Calculef [x, y, z] cuando se usa la base ordenada S de R3 y T de R2.

S Ti {e1, e2, e3} {(2, 1), (3, 1)}ii {(1, 2, 3), (3, 4, 0), (2, 0, 1)} {(2, 1), (3, 1)}

23 Calcule M(f) en 21 cuando S y T son como en 22− ii.

24 Considere S y T como en 22− ii.

i Calcule M(f) si f : R2 → R3 esta dado por f((x, y)) =(2x + 3y, x + 5y, 6x).

ii Si M(f) =

1 2−3 −54 6

para S y T de f(x, y) cuando se

consideran bases canonicas.

32 Algebra Lineal

.

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Cap´ıtulo 1 FUNCIONES LINEALES Y MATRICESmatematicas.univalle.edu.co/~robruiz/textos/Alglinecap1.pdf · Cap´ıtulo 1. Funciones Lineales y Matrices 5 v 7→(v,0) y v 7→(0,v)