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17
Capítulo 2: Fundamentación Teórica
La descripción cuántica de la dispersión de la luz es una labor compleja que requiere de la
descripción de las excitaciones elementales del sólido que interactúan con la radiación
electromagnética.
El objetivo del presente capítulo es realizar una breve descripción del marco teórico
utilizado. Haremos referencia a los modelos más importantes que se utilizan para resolver
el problema del cálculo de los estados estacionarios en un cristal y en especial de la
aproximación de la masa efectiva, además de describir las interacciones fundamentales que
se tendrán en cuenta en nuestro trabajo.
2.1 Aproximaciones para la solución del problema cuántico del sólido.
La determinación de los estados estacionarios en un sólido exige la solución de la ecuación
de Schrödinger del cristal, en la que deben tenerse presente las diferentes interacciones que
se dan en el mismo. En principio el cristal está compuesto por los electrones y los iones que
forman la red, es por ello que el hamiltoniano del sistema debe contener la energía cinética
de los electrones de valencia ˆ K
eH , y los iones ˆ K
IH , además de las energías de
interacción electrón-electrón ˆ int
e-eH , ión-ión ˆ int
I -IH e ión-electrón ˆ int
I -eH :
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆK K int int int
e I e-e I -I I -e= + + + +H H H H H H
La solución de este problema resulta imposible de obtener debido al enorme número de
partículas que existen en un cristal, con sus correspondientes variables independientes. Es
por esto que para encontrar una solución es imprescindible aplicar diferentes tipos de
aproximaciones que nos permitan simplificarlo sin alterar o cambiar la física del problema
[35].
18
2.1.1 Aproximación de valencia.
Desde hace muchos años se conoce que las propiedades físicas y químicas de los átomos
están determinadas solamente por los electrones más externos. En consecuencia, los
electrones de los átomos de un sólido los podemos separar en dos grupos:
1. Los electrones de valencia, aquellos electrones correspondientes a las capas
externas semillenas de los átomos, y son los responsables de casi todas las
propiedades del material, entre ellas las propiedades químicas, ópticas y
estructurales características de los sólidos [35 y 36].
2. El core, formado por el núcleo y los electrones internos correspondientes a las
primeras capas completamente llenas, es decir, los orbitales más profundos y
cercanos al núcleo, por ejemplo los 2 21s ,2s y 62p para el Si . Estos electrones están
fuertemente ligados a los núcleos, y se distribuyen en torno a ellos de forma similar
a como lo hacen en los átomos aislados. El núcleo junto a estos electrones forman
los iones de la red, que suele llamarse corazón iónico.
Esta aproximación se conoce como aproximación de valencia.
El core se puede considerar insensible al entorno del átomo al que pertenece, en el sentido
en que su densidad electrónica radial prácticamente no varía, independientemente de que se
encuentre en el estado fundamental del átomo neutro o en cualquier estado excitado del
átomo, incluso el correspondiente al que tendría dentro de la estructura del sólido. Por el
contrario, los electrones de valencia son muy sensibles al entorno del átomo, y su densidad
de carga varía considerablemente según éste, esté aislado en su estado fundamental, pase a
formar parte del sólido, o cuando varíe la configuración de átomos del sólido.
2.1.2 Aproximación Adiabática de Born-Oppenheimer.
La segunda aproximación que aplicamos en el estudio del cristal para simplificar la
resolución de la ecuación de Schrödinger es la Aproximación Adiabática de Born-
Oppenheimer, la cual permite desacoplar los grados de libertad electrónicos de los
vibracionales en un sólido [35]. Los electrones como los iones en un sólido están sometidos
a fuerzas de la misma magnitud, pero al ser la masa de los iones mucho mayor que la de los
electrones, las escalas de tiempos característicos de ambos movimientos son muy
19
diferentes, y podemos considerar que los electrones responden inmediatamente al
movimiento de los iones, mientras que los iones van evolucionando conforme a un
potencial de interacción con los electrones, que se obtiene resolviendo la correspondiente
ecuación electrónica para diferentes configuraciones iónicas fijas [37, 38 y 36].
El operador de Hamilton del sólido, es decir, el hamiltoniano del sistema completo de iones
y electrones puede escribirse como:
2 2 2 2 2
2 2V V
2 2I I l s I e i l
l l s i i j ll i i j
e
M
H R R r R
R r r r
donde hemos representado con lR la posición del ión l-ésimo, relativa a su posición de
equilibrio, ir representa la posición del electrón i-ésimo, M la masa de los iones y la
masa de los electrones.
Podemos considerar el hamiltoniano anterior como la suma de dos hamiltonianos, el primer
término correspondiente a la parte iónica y el segundo a la parte electrónica. En
consecuencia, la función de onda de este hamiltoniano también se puede separar en una
parte electrónica y en una parte iónica como:
, R r R
de tal forma que , R r satisface la ecuación de Schrödinger para los electrones en una
red estática con el ión l-ésimo fijo en la posición lR y R una ecuación similar pero
para los iones.
2 2 2
2V , ,
2I e i l e
i ij ili i j
e
r R R r R R rr r r
Aplicando el hamiltoniano a la función de onda total del sistema tenemos:
2 2
2
2 2
2
V2
, V2
e I I l s
l l sl
e I I l s
l l sl
M
CM
H R R RR
R r R R R R RR
20
donde
2 2
22
2l l l l
CM
R
R R R
En el caso de que pudiéramos despreciar C R , obtendríamos una ecuación tipo
Schrödinger para el movimiento de los iones,
2 2
2V
2e I I l s I
l l slM
R R R R R
R,
cuya única diferencia es que hemos añadido a la interacción directa entre los iones, el
término e R , que es la energía total del sistema de electrones como función de la
posición de los iones. Ésta es la contribución adiabática de los electrones a la energía de la
red; que va a ir cambiando por seguir los electrones el movimiento de la red.
En principio, C R depende de la configuración electrónica exacta, pero en la práctica este
no varía de forma notable al variar la configuración electrónica, ya que los procesos de
conductividad normal en los sólidos implican sólo un reajuste de unos pocos electrones
cerca de la superficie de Fermi. Por tanto, dicho término se puede normalmente calcular
suponiendo que todos los electrones están en su estado fundamental.
Es fácil probar que los términos no adiabáticos, es decir, los dos términos de C R , no
contribuyen prácticamente en e l valor esperado de la energía del sistema en el estado .
El primer término desaparece ya que produciría integrales del tipo:
1 1
2 2
e
l l l
nd d
r rR R R
donde en es el número total de electrones. El segundo término es pequeño porque los
electrones estarían muy fuertemente unidos a sus iones, es decir, ,l i i l R r r R ,
que daría una contribución como:
2 2 2 2 2 2
2 2 22 2 2l i i
d d dM M M
r r rR r r
21
Esto es M veces la energía cinética de los electrones, una cantidad que es despreciable
en comparación con las energías térmicas ordinarias, puesto que M es del orden de 410
a 510 [ 39 y 36].
En todo este razonamiento no hemos considerado los términos no adiabáticos fuera de la
diagonal. En particular, el primero de éstos, conteniendo l R , puede dar lugar a
transiciones entre los estados electrónicos cuando los iones se muevan. Esto no es otra cosa
que la interacción electrón-fonón.
Bajo esta consideración el hamiltoniano del sistema queda reducido a
int intˆ ˆ ˆ ˆK
e e e I e H H H H
A pesar de esta simplificación del problema la función de onda del sistema sigue
dependiendo de las coordenadas de todos los electrones de valencia. Como estos últimos se
encuentran en interacción, las variables de la ecuación de Schrödinger no se pueden
separar, por lo que es necesario realizar otra aproximación.
2.1.3 Aproximación de Campo Medio o Aproximación Monoelectrónica.
La tercera aproximación que realizaremos es la Aproximación de Campo Medio o
Aproximación Monoelectrónica. Ésta consiste en expresar la función de onda del sistema
de muchos electrones a través de funciones de onda de un solo electrón [35]. Esto se logra
utilizando el método de Hartree-Fock, cuya idea fundamental consiste en sustituir en la
ecuación de Schrödinger (después de aplicar la aproximación de valencia y la adiabática) la
energía potencial de la interacción de los electrones por una energía potencial de la forma
i i
i
U r que representa la energía de interacción del i-ésimo electrón con cierto campo
efectivo, en el cual cada electrón se mueve independientemente. Este campo efectivo
caracteriza la acción de todos los demás electrones sobre el electrón i-ésimo.
Indirectamente también depende del movimiento del electrón i-ésimo, ya que este ejerce
una influencia sobre los demás electrones [37].
Como ahora el hamiltoniano no depende de la energía de interacción de los electrones y es
la suma de los hamiltonianos de los electrones por separado, la solución de la ecuación de
22
Schrödinger es el producto de las funciones monoelectrónicas. Pero esta función de onda no
satisface el principio de exclusión de Pauli. La función de onda completa del sistema que
satisface esta condición debe de ser antisimétrica.
La función de onda del sistema se puede escribir en forma de determinante de Slater,
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
1 2
1 2
1, ,
!
N
N
N
N N N N
N
r r r
r r rr r r
r r r
.
donde N es el número de electrones y ir representa al conjunto de las tres coordenadas
espaciales y las proyecciones del espín. Este determinante cumple con que la función de
onda sea antisimétrica respecto a la permutación de dos partículas cualesquiera. Las
propiedades antisimétricas de la función de onda se infieren de las propiedades del
determinante. Si se buscan variacionalmente las funciones de onda monoelectrónicas de
manera que se minimice el valor medio de la energía se obtienen las llamadas ecuaciones
de Hartree-Fock. Estas ecuaciones se pueden resolver directamente y sirven de base para un
conjunto de métodos numéricos que se agrupan bajo el nombre de química cuántica [40].
2.1.4 Aproximación de la Masa Efectiva
La cuarta aproximación utilizada es la Aproximación de la Masa Efectiva. Esta es muy útil
para el estudio de los estados situados energéticamente cerca de los extremos de las bandas
de conducción [41] debido a su simplicidad matemática y a que permite obtener
expresiones analíticas cualitativamente correctas.
En un cristal la ecuación de Schrödinger monoelectrónica es de la forma,
2
0
ˆˆ2
V
pH r r r (2.1)
donde 0μ es la masa del electrón libre, V r
es el potencial periódico de la red cristalina y
ˆ i p = es el momento. Este hamiltoniano es invariante bajo traslaciones en la red
cristalina por lo que conmuta con el operador de traslación, ˆ ˆ[ , ] = 0H T , de modo que el
vector de onda cristalino k es un buen número cuántico. Por consiguiente, las
23
autofunciones del hamiltoniano pueden escogerse de manera que sean simultáneamente
autofunciones del operador de traslación ˆdT de la red:
ˆ i
d k ke T r r d rk d
El teorema de Bloch permite escribir la función de onda electrónica de un cristal infinito
como producto de una función periódica nku r definida en la celda unidad del cristal,
denominada función de Bloch, por una función envolvente ie k r
que varía lentamente a lo
largo de la estructura:
i
nk nke u k rrr (2.2)
La función de onda electrónica queda descrita entonces por una onda plana ie k r que queda
modulada en la celda unidad por la función nku r , la cual describe las perturbaciones que
la red introduce en el movimiento de los electrones libres en el cristal.
Sustituyendo (2.2) en (2.1) se tiene
2 2 2
0 0 0
ˆˆ
2 2nk n nk
kV u u
pk p r r k r (2.3)
Ahora
0
2 22
00
0 0 0
ˆˆ ˆ2 2
kV
k p
pH k p r
es el llamado hamiltoniano ˆk p , el cual describe la función de onda de un electrón libre en
un cristal tridimensional infinito. Para un k dado, el conjunto de todas las nku r es
completo para funciones con la periodicidad del cristal. Por lo tanto, si tomamos 0k k , la
función de onda para cualquier k puede expresarse en términos de las 0nku r ,
00nk n n n
n
u c u
kr k k r
La ecuación (2.3) puede reescribirse de la forma
0
22 2
0 0
0 0
ˆ ˆ ( )2
nk n nku u
k pH k k p k k r k r
24
si multiplicamos por 0nku
r e integramos sobre todo el volumen de la celda unitaria
tenemos la siguiente ecuación de autovalores:
2
2 2
0 0 ' 0 ' '
0 0
( )2
n nn nn nn n
n
c
k k k k k p k (2.4)
donde
0 0
*
nn nk n' ku u d r p r rp
En los denominados semiconductores de gap directo, la diagonalización del hamiltoniano
ˆk p proporciona una distribución de niveles energéticos en los alrededores del centro de la
zona de Brillouin (punto , 0k ) típicamente similar a la ilustrada en la figura 2.1. Dicha
distribución muestra la división en bandas de energía, etiquetadas por el número cuántico
n , entre las cuales aparecen regiones de energía prohibidas (gaps), inducidas por el
Figura 2.1: Representación esquemática de la estructura
de bandas de un semiconductor de gap directo en las
proximidades del punto de la zona de Brillouin.
potencial periódico de la red. La banda de conducción se forma como una combinación de
orbitales atómicos de tipo s y por tanto, al contrario que la banda de valencia, está
constituida por una única subbanda (doblemente degenerada si se consideran los grados de
25
libertad de espín), separada de la banda de valencia por el gap de energía g . Cuando
g es
lo suficientemente grande, la banda de conducción no se acopla apreciablemente con la
banda de valencia y la descripción de los electrones de conducción poco excitados puede
aproximarse de forma fiable reduciendo el hamiltoniano ˆk p a una banda única.
La ecuación (2.4) es válida para todo k , aunque es útil cuando 0k k , de modo que los
términos no diagonales,
0 '
0
ˆ ,nn
k k p
son pequeños y pueden tratarse como una perturbación de 0
ˆk p
H . En el caso de una sola
banda, usando teoría de perturbaciones a segundo orden en (2.4) resulta,
22 2
0 '2 2
0 0 0 2'0 0 0 0 ' 02
nn
n n nn
n n n
- k k
k k pk k k k p
k k
que es válida en un entorno de 0k . Normalmente el punto
0k es un extremo de la banda,
por lo que el término lineal en 0 0=k k . Usando los ejes principales queda
22 3
0
0
12
i i
n n
i i
k kk k (2.5)
en la que
2
'
* 2'0 0 0 ' 0
1 1 2 i nn
ni n n
u p
k k
*
i son las masas efectivas en las direcciones de simetría y iu los vectores en dichas
direcciones. En un sistema isótropo las tres masas efectivas son iguales y (2.5) se reduce a
22
0
02
n n
k kk k
26
que es la energía de una partícula libre de masa . El modelo pone de manifiesto que la
inclusión del efecto del potencial cristalino y el resto de las bandas sobre el movimiento de
una partícula libre es equivalente a un cambio de su masa.
Para el caso de un electrón libre, la energía presenta la siguiente relación de dispersión:
2
2
*2k k
,
de donde se deduce que la masa, es decir, la inercia de un electrón frente a la acción de una
fuerza, es para el caso del electrón libre una constante, la cual viene determinada por la
curvatura de la relación de dispersión,
2
* 2 2
1 1 k
k
En el caso general la masa efectiva es una magnitud anisótropa y para diferentes
direcciones del vector de onda k es distinta. Esta masa es un tensor de segundo rango.
La aproximación de masa efectiva aquí descrita únicamente resulta válida en las cercanías
de 0k , debido a su carácter perturbacional. De hecho, a medida que nos alejamos de
0k la aproximación parabólica de k deja de ser cierta, por lo que la masa efectiva
deja de ser constante. Así, la presencia de un potencial periódico cristalino provoca una
respuesta dinámica del electrón frente a la acción de una fuerza externa. La inercia no es
ahora una constante, sino que varía con k , puesto que la curvatura de la relación de
dispersión tampoco es constante, ver figura 2.1.
A pesar de su sencillez, este modelo de una banda en la aproximación de la masa efectiva
ha sido ampliamente comprobado, y sus resultados han demostrado ser sorprendentemente
precisos en la descripción de electrones de conducción de materiales con energía de gap no
excesivamente bajas, con un ahorro computacional considerable con respecto a los modelos
multibanda.
27
2.2 Modelo fenomenológico de fonones óptico-polares de onda larga en
nanoestructuras semiconductoras.
Como vimos anteriormente, el problema mecánico cuántico en el sólido cristalino se divide
en dos partes al aplicar la aproximación adiabática. Para la posición de los iones existe, en
principio, una energía potencial del sistema multielectrónico que influye en el movimiento
de los iones en la forma de una energía potencial. En un sólido los átomos ocupan
posiciones estables y se desplazan de sus posiciones de equilibrio en unas pocas fracciones
de angstroms. Por esta razón no es necesario conocer la energía potencial más allá de una
vecindad de la posición de equilibrio. Esto nos permite desarrollar la energía potencial en
serie de Taylor respecto a los desplazamientos, hasta segundo orden en la aproximación
armónica, como
,
, ,
1Φ ,
2V u u
R R
R R R R ,
donde u R es el desplazamiento del átomo del sitio de la red cristalina R . Con esta
energía potencial los modos de oscilación pueden ser resueltos numéricamente. El
problema radica en hallar la función ,Φ , R R . Este problema, al igual que para el
problema electrónico, puede resolverse utilizando métodos ab initio y semiempíricos con
los cuales se puede encontrar los desplazamientos de cada átomo. Otra vía para resolver
este problema es asociar los desplazamientos atómicos con un campo vectorial, y encontrar
ecuaciones diferenciales para éste. Esta vía tiene la ventaja de poder encontrar con
frecuencia soluciones analíticas, poco tiempo de cómputo y facilidad en la interpretación de
los resultados. La dificultad de este método radica en que al no considerar el carácter
discreto de la materia, sólo es aplicable para oscilaciones de longitud de onda larga [31 y
42].
En la fabricación de las nanoestructuras semiconductoras usualmente se utilizan materiales
débilmente iónicos como el GaAs / AlGaAs . Por lo tanto es de esperar que las oscilaciones
ópticas en estos sistemas jueguen un papel importante en muchos procesos físicos, en
especial en el límite de onda larga.
28
Para describir las oscilaciones se usa el vector de desplazamiento de campo u , el cual
representa los desplazamientos relativos entre dos iones de cada celda elemental. También
emplearemos el potencial eléctrico , relacionado con el campo eléctrico a través de su
forma estándar E , y acoplado a las oscilaciones mecánicas. Consideraremos el
sólido como una distribución continua con densidad de masa reducida igual a / cM V ,
donde M es la masa reducida del ión y cV es el volumen de la celda unitaria; T y L son
las frecuencias transversales y longitudinales del material volumétrico, respectivamente, en
el punto y se relacionan mediante la relación de Lyddane-Sachs-Teller 2 2
L 0 Tω = ε ω ε ;
o y son las constantes dieléctricas estática y a alta frecuencia, respectivamente [28 y
31].
Definamos la densidad lagrangiana de la forma
222 21 1 1 1
2 2 8 2T i j k l i j k lL u u
t
uu u , (2.6)
donde el primer término representa la densidad de energía cinética, el segundo el
acoplamiento del campo de desplazamiento u con el mismo, el tercer término describe el
acoplamiento de las oscilaciones mecánicas con el campo eléctrico, el cuarto termino es la
densidad de energía del campo eléctrico en el medio y el ultimo término da cuenta de los
esfuerzos internos del medio y da lugar a oscilaciones de dispersión,
2 2
0
1
4TO
, (2.7)
y
1
2i j j i i iu u u (2.8)
es el tensor de esfuerzos, y i jk l está relacionado con el modulo del tensor de elasticidad.
Según la teoría de la elasticidad las componentes del tensor de esfuerzo σ [43] están dadas
por,
1
,2
i j i j k l k lu (2.9)
29
el cual no es el tensor usual de la teoría de la elasticidad, puesto que u representa el
desplazamiento relativo de los iones. Sin embargo, el tensor i j k l cumple con las mismas
propiedades de simetría que el tensor de los módulos elásticos. Para un medio isótropo
todas sus componentes distintas de cero están dadas a través de dos parámetros
independientes, LO y TO que describen la dispersión de las oscilaciones y pueden ser
obtenidos ajustando las relaciones de dispersión para el caso volumétrico y toman valores
muy cercanos a la velocidad del sonido en el medio,
2
1111 2222 3333
2 2
1122 1133
2
1212 2121
2
.
LO
LO TO
TO
(2.10)
Sustituyendo (2.8) y (2.10) en (2.9) obtenemos las componentes del tensor de esfuerzo,
dadas por
2 2 22 2ij LO TO ij TO iju u .
Considerando como variables generalizadas a ,u , aplicamos las ecuaciones del
movimiento a (2.6) de modo que:
2
2
2 TOt
uu σ (2.11)
y
4 0. u (2.12)
Las ecuaciones (2.11) y (2.12) son generalizaciones de las ecuaciones de Born y Huang
[38] y son válidas para cualquier nanoestructura semiconductora sin restricciones de forma
y geometría. La ecuación (2.12) coincide con la conocida ecuación de la electrodinámica
0=D . Asumiendo como en [42 y 44] que
, exp , expt i t t i t u r u r r r ,
y que dentro de los límites de una parte homogénea dada de la estructura, los parámetros
del medio son constantes, obtenemos
30
2 2 2 2
TO TO LO u u u+ (2.13)
2 4.
u (2.14)
Si escribimos el desplazamiento como
donde 0 y 0,TO LO TO LO u u u u u
entonces las ecuaciones (2.13) y (2.14) quedan de la forma
2 2 2
TO TO TO TO u u (2.15)
2 2 2
LO LO LO LO u u (2.16)
4
.LO
u (2.17)
De la ecuación (2.17) se puede ver que el campo eléctrico originado por la polarización del
medio se encuentra acoplado sólo con las oscilaciones longitudinales por lo que podemos
decir que el campo eléctrico también es longitudinal y tiene sentido opuesto al
desplazamiento.
Las ecuaciones (2.15) y (2.16) pueden ser reescritas utilizando para ello que
0 y 0,TO LO u u de la forma
2 2
2
20TO
TO
TO
u
2 2
2
20LO
LO
LO
u
.
Las soluciones de estas ecuaciones las podemos escribir como una combinación de ondas
planas con vector de onda k
0 exp ,i LO TO u r u k r
permitiéndonos obtener las siguientes relaciones de dispersión
2 2 2 2 (1 modo longitudinal),LO LOk k (2.18)
31
2 2 2 2 (2 modos transversales).TO TOk k (2.19)
Las ecuaciones (2.18) y (2.19) permiten ajustar los valores de 2
TO y 2
LO a partir de la ley
de dispersión experimental [31 y 45].
2.2.1 Condiciones de empalme (frontera).
Las nanoestructuras son construidas por varias partes que podríamos suponer homogéneas
(al menos idealmente), separadas por superficies que son denominadas interfaces. En las
interfaces varían abruptamente los parámetros , 2
TO y 2
LO del material, por lo que, para
resolver las ecuaciones (2.13) y (2.14), debemos imponer condiciones de empalme en las
interfaces, las cuales deben cumplir con las leyes de la mecánica y la electrodinámica, y ser
consistentes con las ecuaciones diferenciales. Estas condiciones de empalme pueden ser
obtenidas directamente de las ecuaciones del movimiento [31 y 32]:
,r S r S r S r S
u u (2.20)
Los índices y indican que las funciones son evaluadas a ambos lados de la superficie
S entre las interfaces. Las funciones u y también están limitadas en cada región en la
que representan magnitudes físicas. Las derivadas parciales de u y no pueden ser
continuas en S , teniendo en cuenta que los parámetros de las ecuaciones fundamentales
cambian de forma brusca en la interface. Las discontinuidades de la derivada normal de u
y en S se pueden determinar directamente de las ecuaciones. Integrando las ecuaciones
(2.11) y (2.12) en el volumen encerrado por S y aplicando el teorema de Gauss tenemos,
r S r S
σ N σ N (2.21)
r S r S
D N D N (2.22)
donde N es un vector unitario normal a la superficie S . Las ecuaciones (2.20)-(2.22) son
condiciones necesarias que deben de cumplir u y con el fin de ser soluciones de las
ecuaciones (2.11) y (2.12) en todo el espacio. La ecuación (2.21) expresa la continuidad del
flujo de fuerza a través de S , mientras que (2.22) es la conocida condición de frontera de la
32
electrodinámica que expresa la continuidad de la componente normal del desplazamiento
eléctrico.
Las autofunciones de u y son ortogonales, por lo que cumplen que [31 y 45]:
*
0m nr u u dV nm (2.23)
donde 0 es una constante arbitraria que puede seleccionarse a voluntad y usualmente se
toma igual a la unidad. Sin embargo, es conveniente seleccionarla de forma que nu tenga
dimensión de longitud, y n de potencial, por ejemplo 0 2 n . El conjunto de
funciones mu forman una base que puede ser expresada como
0m m
m
r r u r u r
Las condiciones de empalme antes vistas no son las únicas posibles, también son válidas
otras condiciones (éstas dependen de las características de los materiales), por ejemplo:
1. Condiciones de frontera con confinamiento completo: u 0 para Sr y
continuidad de y D N en S .
2. Condiciones de fronteras para una superficie libre: 0=σ N para Sr y
continuidad de y D N en S .
La primera condición es apropiada para sistemas nanoestructurados en los cuales las
frecuencias de oscilación de los materiales separados por la interface son muy diferentes (es
decir, que las frecuencias de oscilación no correspondan a ningún modo de los materiales
en que están inmersas). Tal es el caso de los nanocristales semiconductores inmersos en
matrices de vidrio, o de GaAs en AlAs , aunque en realidad los cálculos microscópicos
arrojan que la amplitud de la oscilación no se anula en las interfaces pero sí lo hace en una
región muy próxima a ella (menor que la distancia interatómica), lo que significa que los
fonones están confinados en una ''nanoestructura'' efectiva [31 y 42].
2.2.2 Solución de las ecuaciones.
En esta sección presentaremos un método para obtener soluciones generales de las
ecuaciones (2.13) y (2.14). Estas ecuaciones representan un complicado sistema de cuatro
33
ecuaciones diferenciales, su solución puede obtenerse usando cuatro funciones auxiliares
y A , tal que
, , u A u (2.24)
y satisfacen las ecuaciones,
2 2
2
2
TO
TO
A 0 (2.25)
y
2 2
2
20.LO
LO
(2.26)
Las ecuaciones anteriores están desacopladas respecto a y A , por lo que es fácil
resolverlas. Comparando la ecuación (2.26) con la (2.14) se puede ver que la solución
general para el potencial eléctrico es
2
4,H
q
(2.27)
donde 2 2 2 2
LO LOq , y H satisface la ecuación de Laplace, 2 0H . La solución
general para el vector desplazamiento u puede ser obtenida aplicando las ecuaciones (2.24)
y (2.27) en la ecuación (2.13), por lo que
2 2 2 2
1H
TOQ q Q
u A
con 2 2
TO TOQ .
Las soluciones obtenidas para y u son independientes de la naturaleza y la geometría de
la nanoestructura. Éstas también pueden ser aplicadas a las diferentes condiciones de
frontera de la sección 2.2.1. Para resolver las ecuaciones (2.25), (2.26) y la ecuación de
Laplace para H , obtenemos la solución de las cuatro ecuaciones acopladas (2.13) y (2.14).
Cada caso particular es fuertemente dependiente de las condiciones geométricas del
problema [31]. En la sección 2.2.4 veremos el caso de un alambre cuántico.
34
2.2.3 Hamiltoniano de interacción de electrón-fonón.
Los modos ópticos en semiconductores polares juegan un papel importante en muchas
propiedades físicas debido a que la interacción electrón-fonón afecta a diversos
mecanismos de dispersión. La movilidad de portadores de carga, los tiempos de relajación
de los electrones, las transiciones intra- e inter-bandas, y los tiempos de vida de los
excitones, son algunas de las características que están afectadas por la dispersión de
electrones debido a los fonones ópticos. Aunque existan modelos microscópicos bien
establecidos como ab-initio o pseudo-potencial, los estudios teóricos de mecanismos de
dispersión por fonones recurren al tratamiento continuo de la vibración de la red. La razón
de recurrir a un tratamiento continuo está en la necesidad de reducir la complejidad del
problema que conlleva el tratamiento microscópico [32].
La mayoría de los materiales semiconductores empleados en las heteoestructuras de baja
dimensionalidad son altamente polares. Por tanto en estas estructuras existe una carga local
que provoca una fuerte interacción coulombiana con la red. La presencia del electrón en el
campo iónico del cristal polariza este último y la polarización actúa sobre el electrón,
modificando así sus propiedades. La densidad de polarización generada por las vibraciones
da lugar a un campo eléctrico E y a un campo de desplazamiento eléctrico D que se
relacionan a través de las ecuaciones de Maxwell.
En principio todas las vibraciones de la red interactúan con los portadores de carga en
mayor o menor grado. En el caso de los cristales iónicos, o con cierto carácter polar, los
fonones ópticos longitudinales llevan asociada una onda de polarización eléctrica, lo que
origina un campo eléctrico que actúa sobre los electrones. Éstos, a su vez, polarizan el
medio a su paso y pueden generar fonones ópticos polares. Esta forma de interacción,
caracterizada por la presencia de campos eléctricos de largo alcance, es la llamada
interacción de Fröhlich [35].
Otra forma de interacción tiene su origen en el hecho de que la propagación de cualquier
fonón a través de la red implica el desplazamiento de los átomos y, por tanto, la variación de
las distancias entre ellos, lo que conduce necesariamente a una variación de la energía de las
bandas. A este tipo de interacción se le llama interacción por potencial de deformación [35],
y es, obviamente, de corto alcance, ya que sólo actúa en la zona por la que se propaga el
35
fonón. En el caso de los fonones polares este tipo de interacción suele ser poco significativa
respecto a la interacción de Fröhlich. Para los fonones ópticos no polares y para los fonones
acústicos es la única forma posible de interacción, salvo en los cristales piezoeléctricos, en
los que los fonones acústicos pueden crear también campos eléctricos.
Aquí nos limitaremos a estudiar la interacción de Fröhlich. Para determinar el hamiltoniano
de interacción electrón-fonón partimos del hecho que las funciones , u forman un
conjunto ortogonal y completo, por lo que nos permiten tomarlas como base para
desarrollar en serie a los desplazamientos , tu r y al potencial eléctrico ,r t ,
, exp expt C i t C i t
u r u r u r (2.28)
, exp exp .r t C i t C i t
r r (2.29)
Los coeficientes C en (2.28) y (2.29) son iguales ya que u y son soluciones de un
único problema de autovalores. La densidad de momento canónica de u es
, exp exp .L
r t i C i t C i t
r ru
Mientras que 0L . La cuantificación del campo fonónico la realizamos a través de la
sustitución
* †ˆ ˆexp exp ,C i t C C i t C b b
donde C es una constante real, y ˆ
b y †ˆ
b son los operadores de Bose de segunda
cuantificación de aniquilación y de creación, respectivamente [46], y que satisfacen las
siguientes relaciones de conmutación:
† † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , 0 , .
b b b b b b
Los desplazamientos y la densidad de momento toman ahora la forma
* †ˆ ˆˆ , exp exp ,t C i t i t
u r r b u r bu (2.30)
36
* †ˆ ˆˆ , exp exp .t i C i t i t
π r u r b u r b (2.31)
Estos operadores cumplen con la condición de conmutación [31 y 47]
ˆ ˆ,0 , ,0 .i u r π r r r (2.32)
Sustituyendo (2.30) y (2.31) en (2.32) tenemos que
2 * *ˆ ˆ,0 , ,0 .i C
u r π r u r u r u r u r
Como el sistema es completo, al aplicar la condición (2.23) tenemos que
0
.2
C
Introduciendo el concepto de fonón podemos cuantizar el potencial eléctrico, quedando en
la forma
* †
0
ˆ ˆ ˆ, exp exp2
r t i t i t
r b r b
Como el hamiltoniano de Fröhlich tiene la forma [31 y 35]
ˆˆ ,ph e H r
finalmente tenemos
2
* †
0
ˆ ˆ ˆ, exp exp .2
ph
et i t + i t
r r b r bH
Es usual el caso en el que el hamiltoniano anterior es tomado para 0t . Esta expresión
obtenida es general, permitiendo su aplicación a una nanoestructura arbitraria
independientemente de su geometría.
2.2.4 Modelo fenomenológico en un alambre cuántico.
En esta sección veremos el caso particular de los alambres cuánticos. Existen dos tipos de
alambres cuánticos, aquéllos que son estructuras cilíndricas de un material embebido en
otro con diferente gap, y que llamamos hilos o alambres cuánticos (QWW), y los alambres
37
de posición libre (FSW del inglés free standing wire), que no tienen cobertura lateral [28 y
32].
Consideraremos un QWW de simetría cilíndrica. El eje de crecimiento es paralelo al eje z
y con sección transversal circular de radio or . Para 0r r tenemos cierto medio que puede
ser GaAs , y para 0r r tenemos otro medio que podría ser AlAs , en el caso de FSW el
vacío. Para la solución de este problema utilizamos coordenadas cilíndricas , ,r z . Se
requieren soluciones regulares en 0r y r . Daremos la solución para el caso 0zk .
Por lo tanto 0u y la solución no depende de z . Para este caso las soluciones son dadas
en [32]:
1'
02 2
1
'
02 2
exp
n
a aa an a a a bn a
a bTO
r n
b bb bn b b b bn b
b bTO
n C rinA J Q r q B J q r r r
ru in
n C rinA J Q r q B J q r r r
r
,
1'
02 2
1
'
02 2
exp
n
a aa a an a a an a
a aTO
n
b ab b bn b b bn b
b bTO
in C rinQ A J Q r B J q r r r
ru in
in C rinQ A J Q r B J q r r r
r
,
0
0
4
exp4
naa an a a
a
nbb bn b b
b
B J q r C r r r
in
B J q r C r r r
.
La función nJ x representa la solución de la ecuación de Bessel de orden n , que está
limitada a este dominio de definición. El subíndice a o b en la función nJ x hace
referencia a las diferentes partes de la estructura, a es el interior del alambre y b es el
exterior. Las autofrecuencias están dadas por la siguiente relación de dispersión:
38
1 1 1 1
2
1 1
2
1 0,
a b
n n n n
bLOa n n
TO a
J x J y J y J x
nJ x J y
y x
(2.33)
donde x qr , y Qr y
2 2
2 2 2 2 2TOLO TO
LO LO
rx y
Cuando LO el término q es un número real, mientras que Q será real cuando
TO , pero tiene valor imaginario puro para TO LO , por lo que para valores de
en este intervalo todos los modos de oscilación son longitudinales.
Finalmente el hamiltoniano de interacción electrón-fonón tipo Fröhlich [28] es obtenido
aplicando el formalismo descrito en 2.2.2:
, , ,
,
ˆ ,in
ph n m n m n m
n m
C F r e HC H b (2.34)
1 122 2
2 1 1
, 0 0
,
2yLO LO
n m F F
n m
eC r c c
V
donde HC representa el complejo hermitiano, 2
zV r L es el volumen, y zL es la longitud
típica en la dirección del eje z . La función nmF r se determina de la expresión del
potencial eléctrico r .
En el caso que las condiciones de fronteras sean de la forma u 0 para r R se obtiene:
0
0 0
00
1
1,
n
n n
nm nmn
n n
r rJ x t x r r
x r rF B
rJ x t x r r
x r
(2.35)
donde,
39
1
222 0
0
2 .
R
nm z rB L u u r dr
La función nt x está definida por
1
1 1.
a b a
n n n
a b a
t x J x J xn x
(2.36)
Es importante volver a especificar que los resultados anteriores son válidos para fonones
con 0zk . Este es un caso particular importante para el estudio de diferentes procesos
físicos como la dispersión Raman (ya sea unifonónica, con transiciones interbandas, o
especialmente en procesos de dispersión Raman intrabanda, como es en nuestro trabajo)
[28 y 31].
2.3 Interacción de un electrón con el campo de radiación.
Para hallar el hamiltoniano de interacción electrón-fotón (ó electrón-radiación
electromagnética) estudiemos el movimiento de un electrón con carga e en un campo
electromagnético externo en el cristal. El hamiltoniano del sistema está dado por la
expresión
2
1 ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ,2 2
e ee
c c
H p A V r σ B= (2.37)
donde A es el potencial vectorial del campo, la masa del electrón, aquí σ representan
las matrices de Pauli y c es la velocidad de la luz en el vacío [46 y 46].
Conociendo que la intensidad del campo eléctrico y la inducción del campo magnético se
expresan como sigue:
1
,c t
AE
.B A
40
Como se sabe la calibración de los potenciales es hasta cierto punto arbitraria, por lo que
para este problema tomaremos
0 0,t
A
lo que significa que el potencial escalar correspondiente a la onda electromagnética
transversal es nulo, de modo que responde sólo por el campo eléctrico estático, es decir
por el campo periódico del cristal.
El último término del hamiltoniano (2.37) describe la interacción espín-campo magnético
[43 y 48], o sea, que condiciona la posibilidad de que el espín del electrón cambie su
orientación cuando se absorba un fotón. La probabilidad de este cambio es pequeña por lo
que despreciaremos este término.
Así, podemos escribir (2.37) como sigue:
2
1 ˆ ˆˆ ˆˆ ,2
ee
c
H p A V r= (2.38)
Teniendo en cuenta que
2 22 2
2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ,
e e e e e e-
c c c c c c
p A p A p A p A p p A A (2.39)
y que para cualquier estado tenemos que
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ
ˆ ˆ ˆ
i i i
i
p A A A A A
A A p+
y considerando la calibración seleccionada tenemos que
ˆ ˆˆ ˆ p A A p (2.40)
esto es, los operadores p y A conmutan, y (2.38) puede ahora ser escrita de la forma,
2
2 2
2
1 ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ2 2
e e= e
c c
H p V r A p A
41
donde el primer término corresponde a la energía cinética del electrón, el segundo término
es el potencial cristalino, mientras que el último término da la energía de interacción con el
campo periódico del cristal. Así, la energía de interacción del electrón con el campo
electromagnético está dada por
2
2
2ˆˆ ˆ
2e r
e e
c c H A p A .
El término que contiene 2A representa la interacción del electrón con dos fotones
simultáneamente. Este término es importante en los procesos de segundo orden, cuando la
longitud de onda es menor o igual a la longitud característica del sistema, lo cual no suele
ocurrir en semiconductores, al menos para los estados importantes en las propiedades
ópticas.
Si utilizamos teoría de perturbaciones para determinar la probabilidad de transición bajo la
influencia del campo magnético y consideramos el desarrollo de la probabilidad de
transición en series de potencia de un parámetro de ocurrencia de la interacción, y usamos
el parámetro 2 1 137e c para obtener unidades adimensionales, podemos despreciar
el término cuadrático de 2
A [48], por lo que ˆe rH toma la forma
0
ˆˆ ˆe r
e
c H A p . (2.41)
El potencial vectorial puede escribirse como una onda plana con vector de onda k y
frecuencia , entonces
0 0
1cos exp exp ,
2r rA t A i t i t A k r e k r k r e (2.42)
0
1sen ,rA t
c dt c
AE k r e
donde re es el vector de polarización de la radiación.
Si consideramos que tenemos N fotones en un volumen V , la densidad de energía es igual
a
42
2 2 2 22
20 0
2 2
1sen
4 4 8
A AEN k r t
V c c
teniendo en cuenta que 2sen 1 2x , entonces
0
22 .
NA c
V
(2.43)
Sustituyendo (2.42) y (2.43) en (2.41) tenemos que
2ˆ exp .e r r
e Ni
V
H k r e p
Considerando 1N y desarrollando la exponencial en serie
2
0
exp 12! !
n
n
i ii i
n
k r k rk r k r
obtenemos
2
2ˆ ˆ1 .2
e r r
e- i
V
k rH k r e p (2.44)
en donde el primer término corresponde a la aproximación dipolar y el segundo a la
cuadripolar [48].
2.4 Estados electrónicos de sistemas confinados ideales.
En esta sección introduciremos brevemente el estudio de los estados electrónicos de los
sistemas confinados más utilizados.
2.4.1 Heteroestructura simple.
Una heteroestructura simple es una región obtenida como consecuencia de la interface entre
dos materiales diferentes (figura 2.4.1). Consideremos que los portadores de carga se
mueven en la dirección ˆze cerca de la interface, con potencial de confinamiento triangular,
considerando barreras infinitas en la interface [3].
43
Figura 2.4.1: Heteroestructura simple
La ecuación de Schrödinger toma la forma
2
20,l l b lz V z
donde l z es la función de onda de los portadores y bV el potencial de confinamiento,
0 0
0 0b
F z zV
z
y 0F es una constante. Si introducimos la constante 2
02b F y realizamos el cambio de
variable 0lb z F , la ecuación de Schrödinger queda como
2
20,l
d
d
cuya solución son las funciones de Airy que satisfacen la condición de que 0 cuando
y tiene la forma
l l lB A
en la cual lA es la función de Airy y lB es una constante que se determina a través de la
condición de normalización y es igual a
1
2
2
0
.l
l l
bB
A
La energía es igual a
00 .l l
F
b
44
2.4.2 Sistema cuasi-bidimensional: Heteroestructura doble (pozo cuántico simple).
Consideremos un sistema como el de la figura 1.1 a) en el cual el movimiento
unidimensional de una partícula de masa está sujeta al potencial bV z (ver figura 2.4.2)
el cual tiene la forma
0
0 ,2
.2
b
Lz
VL
V z
El movimiento de los portadores de carga está descrito por la función de onda ,z t ,
solución de la ecuación de Schrödinger
2
0
ˆ.
2
pi V z
t
(2.45)
Figura 2.4.2: Pozo cuántico simple
Sí tomamos ,z t de la forma
, ,t
i
z t z e
tenemos que
2 2
2,
2b
dV z z z
dz
(2.46)
en la que z cumple que:
1. z y d z dz son continuas.
45
2. limx
z
es finito.
Como bV z es continua a intervalos, la solución de (2.46) puede ser escrita como la suma
de dos ondas planas de vectores de onda opuestos en las regiones 2z L y 2z L
Dentro del pozo estas ondas tienen vector de onda wk igual a
02
2.wk V
Las ondas fuera del pozo son evanescentes y el módulo de su vector de onda imaginario
asociado es
2
2.bk
Por propiedades de simetría z puede escribirse dentro del pozo como
2 2
0
2 2
0
para valores pares ,2
para valores pares ,2
ww
ww
kz Acos k z V
kz Asen k z V
y fuera del pozo z tiene la forma
exp[ ] exp[ ] ,2 2 2
exp[ ] exp[ ] .2 2 2
b b
b b
L L Lz B k z C k z z
L L Lz E k z D k z z
Sin embargo, ya que z podría no diverger cuando z , 0C D . Para estados
pares, B E y para los estados impares B E . Si aplicamos las condiciones de fronteras
en 2z L , encontramos que la energía satisface
tan para estados pares ,2
cotan para estados impares.2
w w b
w w b
Lk k k
Lk k k
(2.47)
46
La ecuación (2.47) sólo puede ser resuelta numéricamente, pero algebraicamente se puede
demostrar que 1n , para 0,1,n , es una solución tal que 1 0nd dL . También
1 0n , es decir, 1 0b nk que sucede justo cuando 1n estados se encuentran dentro
del pozo:
1 0 1,2,w nk L n n
Los valores de la energía dependen de n y L de la forma
2 2 2
2.
2n
n
L
Las funciones de ondas pares e impares dentro del pozo son
2 1
2 1
2 10,
2 2
2 20.
2 2
n
n
nL Lz cos z z
L
nL Lz sen z z
L
En [3] se puede encontrar los casos de pozos doble, superredes y superpozos.
2.4.3 Sistemas cuasi-unidimensionales: alambres cuánticos.
Los sistemas cuasi-unidimensionales son también conocidos como alambres cuánticos.
Existen diferentes tipos que dependen de la simetría de la región de confinamiento, sin
embargo los más estudiados teóricamente son los de simetría rectangular y cilíndrica.
Nosotros describiremos los alambres cuánticos con simetría cilíndrica, de radio 0r y altura
L , los de simetría rectangular se pueden ver en [3]. Consideremos que los portadores de
carga se mueven en la dirección ˆze de un cilindro muy estrecho (ver figura 1.1 b), bajo la
acción de un potencial de confinamiento
0
0 0
0 0 , 0b
r r z LV
V r r
La ecuación de Schrödinger en coordenadas cilíndricas , ,r z en la región 00 r r es
47
2 2 2
2 2 2
1 1, , , , ,
2r r z r z
r r r r z
(2.48)
donde , ,r z y son la función de onda y la energía del sistema, respectivamente. Sí
proponemos a , ,r z de la forma
, , ,r z r z (2.49)
y la sustituimos en (2.48), podemos separar variables para obtener
2 2 2 2
2 2 2
1 1 1 1, ,
2 , 2r zr r
r r r r r z z
desde la que podemos obtener las dos ecuaciones independientes
2
,2
zz z
(2.50)
2 2
2 2
1 1, , .
2rr r r
r r r r
(2.51)
La solución de (2.50) tiene la forma
exp ,zz A ik z (2.52)
donde A es una constante a determinar, y 22z zk , así como
2 2
.2
zz
k
La solución de (2.51) la podemos obtener proponiendo de igual forma la solución en
variables separadas, teniendo en cuenta que , , 2r r , de la forma
, .imr R r e (2.53)
Sustituyéndola en (2.51) obtenemos la siguiente ecuación diferencial a través de la cual
podemos calcular R r :
48
2 2
2 2 2
210.rd d m
R r R rdr r dr r
Realizando los cambios de variable 2 2
1 2 r y 1x r
obtenemos la ecuación
diferencial de Bessel:
2 2
2 2
11 0,
d R dR mR
dx x dx x
cuya solución es una combinación lineal de las funciones de Bessel y Neumann:
.m mR x BJ x CN x (2.54)
Cuando 0x , mN x tiene un comportamiento no acotado, por lo que tomamos 0C y
(2.54) queda de la forma
.mR x BJ x
Teniendo finalmente para el problema en el interior del alambre cuántico cilíndrico
00 r r la solución
1, , ,zi m k z
mr z DJ r e
donde D AB que se determina por la condición de normalización. Si el potencial dentro
del cilindro es cero e infinito en 0r , la solución en este caso toma la forma,
010
1 1, , 0,1,2, ,z
ni m k zm
mn
m m
xr z J r e m
rJ xr L
donde n
mx es el cero enésimo de la función de Bessel cilíndrica. La energía nos queda como
22 2 2
, 2
0
.2 2
n
m zm n z
x kk
r
Las subbandas con momento angular m son no degeneradas si 0m , mientras que si
0m son doblemente degeneradas.
49
Para encontrar la solución en el exterior del QWW, es decir en la región 0r r la ecuación
(2.48) toma ahora la forma
2 2 2
02 2 2
1 1, , , , , , .
2r r z V r z r z
r r r r z
La energía potencial 0V sólo depende de la dirección radial, entonces la solución en la
dirección ˆze es la misma que la obtenida en el problema interior del QWW, es decir, (2.52).
Ahora nos interesa sólo determinar la parte radial de la solución que puede ser obtenida de
la siguiente ecuación diferencial:
2 2
02 2
1 1, , 0.
2rr r V r
r r r r
Proponiendo como solución la ecuación (2.53) y realizando los cambios de variable
2 2
2 0 ,2 rV y 2x r obtenemos la ecuación diferencial modificada cilíndrica
de Bessel:
2 2
2 2
11 0,
d R dR mR
dx x dx x
(2.55)
cuya solución es una combinación lineal de las funciones cilíndricas de Bessel modificadas:
1 1 .m mR x B I x C K x (2.56)
Cuando la función 0x , mI x
tiene un comportamiento no asintótico por lo que
tomamos 1 0B y (2.56) queda
1 .mR x C K x (2.57)
Finalmente la solución en el exterior del QWW está dada por
1 2, , .zi m k z
mr z D K r e
(2.58)
Para obtener las energías aplicamos las condiciones de frontera en 0r r para la función de
onda y 1
r
:
50
1 0 1 2 0
1 2 11 0 2 0
1 2
exp[ ] exp[ ],
exp[ ] exp[ ].
m z m z
m z m z
DJ r i m k z D K r i m k z
D DJ r i m k z K r i m k z
(2.59)
Combinando ambas ecuaciones obtenemos una ecuación trascendente que nos permite
calcular la energía:
' '
1 2 2 0 1 0 2 1 1 0 2 0m m m mK r J r J r K r
De la primera ecuación de (2.59) podemos tener una relación entre las constantes,
2 0
1
1 0
exp
exp
m z
m z
K r ik zD D
J r ik z
(2.60)
Aplicando la condición de normalización podemos encontrar 1D ,
2
0 0
, , , , 1r z r z dr d dz
,
entonces
0
'
0
2 22 22 2
1 1 2
0 02
exp 1,
Lr
z m mzL r
d i k k z dz D J r rdr D K r rdr
(2.61)
sustituyendo (2.60) en (2.61) e integrando podemos determinar 1D
0
0
22 2 0 2 2
1 1 22
1 0 0
2 1
r
m
m m
m r
K rL D J r rdr K r rdr
J r
donde L es la longitud del cilindro y las integrales tienen como solución
0 2 2
22 ' 20
1 1 0 1 02
0 1 0
12
r
m m m
r mJ r rdr J r J r
r
0
2 22
2 ' 202 2 0 2 02
2 0
12
m m m
r
r mK r rdr K r K r
r
.
Finalmente tenemos que
51
2 222 2 02 ' 2
1 0 1 0 1 022
1 0 1 0
12
2 2
2 0 2 02
1 0
1
1 .
m
m m
m
m m
K r mD r L J r J r
J r r
mK r K r
r
(2.62)
Sustituyendo (2.62) en (2.58) obtenemos la solución general en el exterior del QWW [3].
2.4.4 Sistemas cuasi-cerodimensionales: puntos cuánticos.
Los puntos cuánticos son conocidos en la literatura como gotas cuánticas o cajas cuánticas.
Existen diferentes tipos según la simetría de la región de confinamiento, pero los más
estudiados teóricamente son los de simetría rectangular y esférica. Esto se debe a que en
estas simetrías la ecuación de Schrödinger es separable y podemos obtener expresiones
analíticas de la función de onda y de la energía.
Consideremos que los portadores de carga se mueven dentro de una esfera de radio 0r muy
pequeño, ver figura 1.1 c), (los puntos cuánticos con simetría rectangular pueden verse en
[3]) en donde los portadores de carga se encuentran bajo la acción de un potencial de la
forma
0
0 0
0 0 ,
.b
r rV
V r r
La ecuación de Schrödinger en coordenadas esféricas , ,r en la región 00 r r está
dada por
2 2 2
2 2 2
ˆ2, , , , ,
2
Lr r
r r r r
(2.63)
donde , ,r es la función de onda mientras que es la energía del sistema. La
función de onda puede proponerse en variables separables en la forma
, , , ,lmr f r Y (2.64)
52
donde ,lmY son los armónicos esféricos; sustituyendo (2.64) en (2.63) y considerando
que 2 2ˆ , 1 ,lm lmL Y l l Y , tenemos para la parte radial la ecuación
2
2 2 2
12 20.
d f r df r l lf r
dr f r dr r
Realizando los cambios 2 2
1 2 y 1x r , se obtiene la ecuación diferencial esférica
de Bessel
2
2 2
121 0.
l ld f dff
dx x dx x
cuya solución es una combinación lineal de las funciones esféricas de Bessel y de las de
Neuman:
.l lf x Aj x Bn x (2.65)
Cuando 0x , la función de Neuman ln x , entonces podemos hacer 0B y
(2.65) queda como
.lf x Aj x
Finalmente tenemos que en el interior del punto cuántico
1, , , ,l lmr Aj r Y (2.66)
donde A se determina por la condición de normalización. En el caso particular en que el
potencial es infinito en la interface del punto cuántico esférico y es cero en el interior, la
solución está dada por (2.66), obteniéndose
0
3
0 1
2, , , ; 0,1,2.
n
ll
lmn
l l
xj r
rr Y m l l l
r j x
Los valores de n
lx son dados por n
l lj x y la energía está dada por
2
2
, 2
0
.2
n
n l lxr
53
En el exterior de la esfera la ecuación (2.63) toma la forma
2 2 2
02 2 2
ˆ2, , , , , , .
2
Lr V r r
r r r r
Proponiendo la función de onda como (2.64) y haciendo los cambios 2 2
2 02 V y
2x r , se obtiene la ecuación diferencial esférica de Bessel modificada:
2
2 2
121 0,
l ld f dff
dx x dx x
cuya solución es una combinación lineal de las funciones esféricas de Bessel modificadas
,l lf x Ci x Dk x (2.67)
La función li x cuando 0x , por lo que hacemos 0C quedando (2.67) como
,lf x Dk x
y la solución general en el exterior del punto cuántico toma la forma
2, , , .l lmr Ck r Y
Para obtener las energías aplicamos las condiciones de frontera en 0r r para la función de
onda y 1
r
:
1 0 2
1 21 0 2
1 2
, , ,
, , .
l lm l lm
l lm l lm
Aj r Y Dk Y
A Dj r Y k Y
Combinando estas dos ecuaciones obtenemos una ecuación trascendente por medio de la
cual podemos determinar la energía. Además, con la primera ecuación podemos encontrar
una relación entre las constantes, y utilizando la condición de normalización determinarlas
y finalmente obtener la función de onda en el exterior del punto cuántico [3].
54
2.5 Efecto Raman: Sección eficaz diferencial de dispersión.
Cuando la luz llega a un material, los procesos más importantes en términos de sección
eficaz son la reflexión y la transmisión (que conservan energía y cambian el momento de la
onda electromagnética según las leyes de la reflexión y refracción), y la absorción de la luz
(excitación electrónica dipolar). Sin embargo, toda una serie de procesos de mucha menor
sección eficaz pueden ocurrir, en los cuales se produce una dispersión de la luz por
inhomogeneidades en el material, sin conservación aparente del momento de la luz. Esta
dispersión puede ser tanto elástica (dispersión de Rayleigh) como inelástica. Dentro de este
segundo grupo se encuentra la dispersión producida por fluctuaciones dependientes del
tiempo de las propiedades del material, denominadas dispersión Raman en su forma
general, aunque es de uso común el término dispersión de Brillouin para el caso en el que
las fluctuaciones son fonones acústicos de baja energía [49]. El estudio de la energía y
polarización de la luz dispersada de este modo permite obtener información sobre las
fluctuaciones que la producen y su efecto sobre las propiedades electrónicas del material,
especialmente en semiconductores [35].
La espectroscopía Raman ha demostrado ser, desde la aparición del láser, un instrumento
de investigación y de caracterización muy importante en muchas ramas de la ciencia y la
tecnología. Ésta se basa en la interacción de la luz con la materia.
El efecto Raman, desde el punto de vista macroscópico, se puede entender como una
dispersión inelástica de la luz debida a una modulación, dependiente del tiempo, de la
susceptibilidad del medio en el que se propaga la luz. Esta modulación es causada por
cualquier partícula o cuasipartícula que se encuentre en el material, en particular las debidas
a las vibraciones atómicas en el cristal (fonones), electrones y huecos.
El proceso de dispersión Raman se puede describir (figura 2.3.1) de la siguiente manera: un
estado inicial en el cual un fotón de energía l incide, produciéndose una interacción en
la que se emite o absorbe un cuanto de energía correspondiente a una excitación del
material (fonón), y un estado final con un fotón de energía s l . El signo
depende de que en el proceso se haya emitido (figura 2.3.1 a) o absorbido (figura
2.3.1 b) un cuanto de excitación. El primer caso es el efecto Raman Stokes y el
55
segundo el anti-Stokes. Ambos procesos coexisten en el experimento, la diferencia
principal está en que el proceso anti-Stokes necesita de la existencia previa de fonones.
Figura 2.3.1: Diagrama del efecto Raman a) Stokes, b) anti-Stokes
y c) proceso Raman Stokes mediado por estados virtuales n y n
Microscópicamente, el efecto Raman es un proceso en el cual el fotón de energía incidente
l , vector de onda lk , frecuencia s y vector de polarización le , excita virtualmente el
sistema desde un estado inicial ( 0 en la figura 2.3.1 c) al estado electrónico n . Éste
interactúa con la red cristalina para crear (Stokes) o absorber (anti-Stokes) una excitación,
cambiando su estado a otro estado electrónico virtual n para finalmente recombinarse
emitiendo un fotón de frecuencia distinta a la absorbida s , energía dispersada s , vector
de onda sk y vector de polarización se , como se ve en la figura 2.3.1 c).
Hay que tener presente que las transiciones a estados intermedios son “virtuales”, por ello
en las transiciones que involucran electrones tiene que conservarse el impulso, pero no
necesita conservarse la energía, aunque en el proceso global la energía sí se conserva.
56
Los procesos anti-Stokes son importantes a temperaturas relativamente altas. En este
trabajo se estudian los procesos Stokes que tienen lugar a temperaturas muy bajas, cerca de
0KT .
La probabilidad por unidad de tiempo de la transición desde un estado inicial i al estado
final f la podemos definir como ,f i s sW e [48], entonces el número de fotones
dispersados por unidad de tiempo con vector de onda entre sk y s sdk k es,
3
3,
2s f i s s s
f
VdN W d
e k ,
donde V es el volumen del sistema, s la radiación secundaria y l la radiación incidente.
Cambiando al espacio de las frecuencias obtenemos que
2
3, ,
2s f i s s s
f
VdN W d d
c
e
s (2.68)
en la que c es la velocidad de la luz y es el ángulo sólido.
La sección eficaz de dispersión d es directamente proporcional al número de fotones sdN
y se relacionan como
s
s
l
Vd dN
c
, (2.69)
siendo el índice de refracción del medio a la frecuencia .
Si sustituimos (2.68) en (2.69) obtenemos la sección diferencial de dispersión por unidad de
frecuencia y unidad de ángulo solido:
22
2
1, .
2 2
ssf i s s
ifs l
VdW
d d c c
e (2.70)
La ecuación (2.70) caracteriza los procesos de dispersión Raman y se le conoce como
sección eficaz diferencial de dispersión, la cual está determinada macroscópicamente por el
número de fotones dispersados en el intervalo de frecuencias ,s s sd por unidad de
ángulo sólido y por unidad de área.
57
La probabilidad por unidad de tiempo, ,f i sW se , se calcula utilizando la Regla de Oro
de Fermi
22
, , ,f i s s f i s s f iW M
e e (2.71)
siendo f la energía final y i
la energía inicial del sistema respectivamente, f iM
es la
amplitud de probabilidad de la transición entre estados, la que se obtiene mediante teoría de
perturbaciones, al considerar que los estados y sus energías son autofunciones y autovalores
del hamiltoniano no perturbado [50].
