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Capítulo 3
Construcción de un Modelo Epistemológico de
Referencia
18
Modelo Epistemológico de Referencia
En este trabajo se presenta una secuencia didáctica que intenta responder al fenómeno
didáctico de la falta de articulación de la semejanza con la trigonometría, y para ello se
parte de la construcción de un modelo conformado por una Organización Matemática (OM)
o Praxeología Matemática en torno al tema de estudio, en este caso, la articulación de la
semejanza con las razones trigonométricas. En el Capítulo 1 se ha descrito que en la TAD,
este proceso de modelización se conoce como Modelo Epistemológico de Referencia
(MER); y en su inicio supone la existencia de cuestiones que se resuelven a partir de la
modelización en términos de praxeologías y vínculos entre ellas, de tal manera establecidas,
que den lugar a que las técnicas de solución evolucionen y sean cada vez más amplias y
complejas.
En este caso, para llevar a cabo la construcción del MER, se parte de la siguiente cuestión:
Para darles respuesta, se diseña el MER en tres Fases, caracterizadas a través de tres OM
locales, con el propósito de establecer el andamiaje para la articulación de los conceptos
matemáticos citados anteriormente (ver Figura 1).
En el marco teórico se describe la relación indisoluble entre la OM y la OD (pp. 2-3); por lo
tanto se presentan primero las Fases de la OM, seguidas por la OD.
C1: ¿Cómo extender desde la semejanza la definición de razón trigonométrica
atendiendo al ángulo agudo de triángulos rectángulos?
19
Figura 1: Modelo Epistemológico de Referencia.
3.1 Fase 1
Para iniciar el proceso de estudio, se toma como punto de partida una cuestión generatriz,
en este caso particular ¿Cómo construir la maqueta de nuestra escuela? Para su solución
se presentan una serie de tareas que requieren de técnicas y tecnologías que se describen en
la siguiente Organización Matemática local OM1.
OM1: Razón establecida por los lados correspondientes de rectángulos y triángulos
rectángulos semejantes.
En esta OM1 se contemplan dos Tipos de tareas matemáticas: una de ellas se desprende de
la necesidad de dibujar inicialmente el croquis de la escuela, y la otra, de la elaboración
propiamente de la maqueta.
En el primer Tipo de tarea (T1), que se refiere a dibujar el croquis, se requiere, después de
hacer las mediciones directas correspondientes, determinar la escala de reducción adecuada
para la elaboración del croquis; mientras que en el segundo Tipo de tarea (T2), que se
refiere al cálculo de medidas indirectas, será necesario determinar las alturas de edificios,
postes, bardas, etc.
Para contar con todas las medidas que permitirán construir la maqueta en la escala
seleccionada, se pretende que los estudiantes utilicen rectángulos y triángulos rectángulos
Semejanza
Semejanza
SemejanzaFASE 1
OM1: Razón establecida por los lados correspondientes de rectángulos y triángulos
rectángulos semejantes
FASE 2
OM2: Razón establecida por los lados de triángulos rectángulos con el mismo ángulo agudo.
FASE 3
OM3: Razón Trigonométrica (Razón Tangente)
20
para establecer razones y proporciones establecidas por los lados correspondientes de dos
figuras semejantes; las técnicas usadas podrían ser la escala de reducción y la cuarta
proporcional.
La tecnología de esta OM1 local es la proporcionalidad y la teoría es la semejanza, en
particular la semejanza de triángulos rectángulos en donde es suficiente verificar la
igualdad de uno de sus ángulos agudos, para el caso de calcular alturas inaccesibles.
En la Tabla 5, se muestran de manera resumida y secuenciada las praxeologías ),,( iiit
constituidas, cada una, por el bloque de tareas (ti), técnicas (τi) y tecnologías ( para las
OMi locales correspondientes. Se hace notar que el cuarto elemento (Θ), que se refiere a
los elementos teóricos que sustentan las tecnologías, es la misma a través de todo el proceso
y se refiere a la semejanza.
Tabla 5: Organización Matemática1
Fase 1: Organización Matemática1 (En términos de praxeologías
teoría (θ) Semejanza
Tipos de
Tareas (Ti )
Tareas (ti) Técnicas (τi) Tecnología ( Praxeología
T1
Dibujar croquis
t1.1
Procesar
información
referente al
levantamiento de
medidas directas.
Uso de escala de
reducción.
La
proporcionalidad ),,( 111.1 t
21
3.1.1 Descripción de la OM1 Fase 1
En la Tabla 5 que corresponde al Tipo de tareas 1 y 2 de la Fase 1, se presenta en una
primera parte de manera resumida la tarea1.1 y la praxeología ),,( 111.1 t que la sustenta. En
ella se incorporan tres elementos que le dan vida. En el primer elemento tenemos a la
tarea1.1: dibujar un croquis; el segundo elemento, describe la técnica τ1: reducir dimensiones
lineales mediante escala apropiada; y como tercer elemento, a la tecnología θ1, representada
por la proporcionalidad.
Para la realización de la tarea1.1, los estudiantes deben primero obtener los datos a través de
medidas directas. Se espera que en los equipos surja de manera natural, la idea de utilizar la
escala para transformar las medidas reales a medidas apropiadas para la construcción del
T 2
Calcular
medidas
indirectas
t2.1
Calcular altura de
edificios, postes,
cercos, árboles,
entre otros
elementos
inaccesibles de la
edificación.
Obtención de la
cuarta proporcional
Proporcionalidad
establecida entre
los lados
correspondientes de
los triángulos
rectángulos
),,( 121.2 t
t 2.2
Procesar
información
referente a las
dimensiones de
las alturas
Uso de
escala de reducción
La
proporcionalidad ),,( 112.2 t
22
croquis. Esta etapa de experimentación —en la que se están buscando las medidas
apropiadas— provocará en los equipos ensayar diferentes propuestas: si seleccionan una
escala de reducción en la que el factor de proporcionalidad (k) sea cercano a uno, los
elementos, aunque reducidos, quedarán aún muy grandes; si seleccionan un factor de
proporcionalidad más cercano a cero, éstos quedarán más pequeños. Al principio, la
experimentación les permitirá darse cuenta que esta forma de análisis, realizada de una
manera sistemática, les puede llevar a una decisión óptima para seleccionar la escala
adecuada. En este momento la tarea requiere de una técnica ( sustentada por la escala, la
cual implica el uso de una razón de reducción
, en
donde la tecnología es la proporcionalidad
y ésta a su vez es respaldada por la
teoría de la semejanza, particularmente la que se refiere a la semejanza de figuras
rectangulares (ver Tabla 5). En los siguientes cuadros se resume la técnica y la tecnología
asociadas a la tarea1.1: Dibujar el croquis.
La : La proporcionalidad (La semejanza de figuras rectangulares)
La
Escala (razón de reducción) =
.l τ1
23
En una segunda parte, se presenta al Tipo de tarea 2 (T2), la cual se refiere al cálculo de
medidas indirectas y está formada a su vez por la tarea 2.1 y la tarea 2.2.
La tarea2.1, representa la medición indirecta y se sustenta en la praxeología ),,( 121.2 t ; en
esta tarea, se pretende que los estudiantes utilicen la semejanza, pero en esta ocasión la
semejanza en triángulos rectángulos. Por medio de una tarea fuera del aula los estudiantes
salen en equipo al patio, fijan una estaca de manera perpendicular a la superficie, de tal
manera que logren visualizar los triángulos rectángulos formados por los elementos que
intervienen y establecer la semejanza entre ellos. Determinan la longitud de la sombra del
edificio y de la estaca a la misma hora. Los estudiantes previamente pueden establecer la
proporción entre las razones formadas por los lados correspondientes de los triángulos
rectángulos. Utilizan la técnica ( 2) de la cuarta proporcional para determinar el cuarto
elemento faltante, representado en este momento por la altura del edificio. Las medidas
indirectas restantes se realizan de la misma manera. A continuación se describe la técnica y
la tecnología utilizada.
donde
=
y el valor de:
Es indistinto para los estudiantes realizar la transición de razones a fracciones, ejecutando
operaciones de producto cruzado para obtener el valor de
y la
Los alumnos establecen la proporcionalidad entre los lados
correspondientes de triángulos rectángulos semejantes
estableciendo las razones siguientes:
τ2
24
Una vez obtenidas las medidas indirectas se procede con la tarea t2.2, la cual consiste en
convertir las medidas mediante la escala de reducción apropiada, de la misma manera que
se calcularon las medidas directas de la tarea t1.1 descritas anteriormente (ver Tabla 5). La
tarea se sustenta en la praxeología ),,( 112.2 t.
3.1.2 Organización didáctica (OD1) Fase 1
Para dar respuesta a la cuestión generatriz ¿Cómo construir la maqueta de nuestra escuela?,
se estructuran actividades (tareas) que describen el proceso de su construcción. Es
importante aclarar que en este trabajo, algunas de las actividades que forman el proceso de
estudio no se contemplan en términos de praxeologías, esto se debe a que la estructura de
éstas, no abona de manera directa a lo que la propuesta didáctica pretende —articular la
semejanza con las razones trigonométricas—, sin embargo son actividades necesarias, que
se desprenden del mismo proceso de estudio y contribuyen al logro del propósito de la
secuencia. En el marco de referencia se alude a la relación indisoluble entre la OD y la OM,
en donde no puede haber una sin la otra. En este sentido, explicamos las actividades del
proceso de estudio de la OD para la Fase 1:
Actividades.
1. Levantamiento de medidas directas
2. Dibujar croquis (T1 en la OM1)
3. Obtención de medidas indirectas (T2 en la OM1)
4. Construcción de la maqueta
Actividad 1: Consiste en el levantamiento de las medidas directas. El maestro presenta la
consigna a los estudiantes y los organiza en equipo de cuatro personas. Éstos deben
organizar las actividades por realizar y los recursos necesarios para su elaboración. Los
elementos que la forman son:
a) Recolectar información de medidas directas de las piezas que constituirán el plano
de la maqueta.
b) Presentar información en Tabla de registro.
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Se les recuerda a los estudiantes la importancia de medir correctamente para minimizar
errores. El operar con la misma unidad de medida es fundamental. Es muy probable que en
esta tarea, al recolectar información lo hagan en diferentes unidades —por ejemplo metros
y centímetros— y realicen operaciones matemáticas con ellas.
Como producto a evaluar se solicitará una Tabla con la información de medidas reales de
cada elemento del croquis de la maqueta.
La actividad 2 (dibujar el croquis) se constituye por cuatro elementos:
a) Obtención de la escala de reducción
b) Presentar Tabla con una columna nueva, con las medidas reducidas.
c) Dibujar el croquis
d) Discusión grupal de los resultados.
Los equipos deben presentar sus propuestas frente al grupo, argumentando y justificando
los resultados obtenidos. Esta discusión grupal les permite contrastar sus decisiones con el
resto de los equipos y cambiar o mantener su propuesta de escala de reducción.
El tiempo estimado para realizar la actividad es de cuatro horas (considerando acudir a la
escuela en horario fuera de clase).
Una vez especificada la escala a utilizar, los estudiantes realizan el dibujo del croquis,
procesando la información de la Tabla de registro en el cartón batería, ubicando y
dibujando los elementos de la maqueta.
La actividad 3: Obtención de medidas indirectas (la tarea t2.1 en la OM1) es una actividad
fuera del aula y está compuesta por los siguientes elementos:
a) Determinar medidas inaccesibles
b) Convertir medidas inaccesibles a escalas reducidas y presentarlas en la Tabla de
registro
c) Discusión grupal, donde se analicen las medidas obtenidas
26
Para determinar las medidas inaccesibles, los estudiantes saldrán al patio y en equipo,
determinarán la altura del edificio, del asta de la bandera, de los árboles, bardas, entre otros,
poniendo en juego sus conocimientos de semejanza en triángulos rectángulos. Para
establecer el primer triángulo rectángulo, cuentan con una estaca que fijarán de forma
perpendicular con la superficie. En este sentido, la altura de la estaca representa el lado
opuesto al ángulo recto del triángulo rectángulo, y su sombra proyectada representa el lado
adyacente de dicho ángulo. Los estudiantes podrán determinar de manera directa la medida
de la sombra y la altura de la estaca, obteniéndose así, uno de los dos triángulos
rectángulos. El segundo triángulo rectángulo, se establece con la altura del edificio —la
cual representa la medida inaccesible— y la sombra del edificio que podrá ser medida de
manera directa. De esta manera, se obtiene la simulación de los dos triángulos rectángulos
requeridos para aplicar la semejanza.
Para establecer las razones entre los lados correspondientes de los triángulos rectángulos,
deben estar conscientes de medir de manera simultánea, debido al cambio constante de los
rayos de incidencia del sol sobre la tierra, de no ser así, el cálculo de la medida inaccesible
se verá afectado. Si esto sucede, los estudiantes obtendrán variación en los valores de las
razones obtenidas, y esto provocará que las medidas de las alturas buscadas no sean
equivalentes.
Al determinarse las razones, los estudiantes a través de la técnica de la cuarta proporcional
calcularán las medidas inaccesibles.
Como producto a revisar, se solicita que anexen a la Tabla de registro de medidas, una
columna extra que describa la altura de cada uno de los objetos. Así, de esta forma, tendrán
mejor control de las medidas reales y las medidas a representar en el plano de descripción
de medidas frontales y laterales, detalles de ventanas, puertas etc.
El profesor promueve por segunda ocasión que los equipos expongan los resultados
obtenidos de las medidas inaccesibles. La discusión grupal permite hacer contrastes con
sus propuestas, si existen diferencias en las medidas de las alturas, deben analizar y
argumentar las causas de las discrepancias entre los datos. Es importante argumentar la
relevancia de medir correctamente ya que un error en la medición directa de los datos,
27
provoca errores significativos en la determinación de las medidas inaccesibles. Si los datos
propuestos por los equipos, presentan discrepancias dentro de la tolerancia establecida
previamente por el profesor, éstas se pueden unificar obteniendo un promedio de los datos
propuestos por los equipos. Por otra parte, si los datos se encuentran fuera de la tolerancia,
será importante aprovechar los errores de los estudiantes para explicar que fue lo que se
hizo mal, por qué no resultó, entre otras. Siendo necesario que los equipos vuelvan a
determinar las medidas.
Este es un momento en donde el maestro institucionaliza la semejanza en triángulos
rectángulos. Hace notar la importancia de su estudio en la sociedad, al facilitar el cálculo de
medidas inaccesibles.
La actividad 4 en la OD1 se refiere a la construcción de la maqueta. En ella intervienen
actividades propias de la construcción y del diseño, conteniendo los siguientes elementos:
a) Elaboración de las piezas detalladas en cartón batería.
b) Ensamble de piezas y pegado.
c) Establecer en el plano la ubicación de los elementos que constituyen la maqueta.
Medidas frontales y laterales de edificios, anchos de pasillos, canchas, etc.
Los estudiantes elaboran las diferentes piezas de la maqueta en el cartón batería, con las
medidas a escala determinadas en la Tabla de registro de información, las dibujan con regla
graduada y escuadras. Posteriormente se cortan las piezas, se pegan, se pintan, y finalmente
se localizan en la maqueta tomando en cuenta la ubicación establecida en el plano.
3.2 Fase 2
En esta Fase la OM2 local, se construye alrededor de tareas que responden a la cuestión
¿Porqué se mantiene constante la igualdad de la razón
en los grupos de
triángulos semejantes con un ángulo agudo igual? En las tareas se obtiene, analiza y
justifica la igualdad de la razón
de un mismo grupo de triángulos rectángulos
semejantes.
28
OM2: Razón establecida por los lados de Triángulos rectángulos con el mismo
ángulo agudo.
En esta OM2, las técnicas evolucionan a otras menos costosas, desde usar en la Fase 1 dos
triángulos rectángulos para determinar las razones de sus lados correspondientes, hasta
transitar en esta Fase, a usar un mismo triángulo rectángulo para determinar las razones
entre sus lados. La tecnología de esta OM2 es la igualdad de la razón en triángulos
rectángulos con un ángulo agudo igual, su teoría sigue siendo la semejanza, de manera
específica la semejanza en triángulos rectángulos. En la siguiente Tabla se resumen las
praxeologías con sus respectivas tareas, técnicas y tecnologías.
Tabla 6: Organización Matemática2
Fase 2 : Organización Matemática2 ( En términos de praxeologías)
teoría (θ) Semejanza
Tipos de
Tareas (Ti )
Tareas (ti)
Técnicas (τ i)
Tecnología
(
Praxeología
T3
Analizar las
razones
integradas por
los lados de un
mismo
triángulo.
t3.1
Obtener y
contrastar razones
integradas por los
lados del mismo
triángulo
Se obtiene la
Razón
de
cada objeto y para
contrastarlas se
procede a
transformar los
resultados en
valores numéricos
equivalentes.
La igualdad de
la razón
integrada por los
lados de un solo
triángulo y
argumentadas
aritméticamente
por las
propiedades de
las
proporciones.
),,( 231.3 t
29
T 4
Conjeturar que
el valor de la
razón
de los ángulos α
y β por grupos
de triángulos
rectángulos
semejantes
permanece
constante.
t4.1
Seleccionar y
agrupar triángulos
rectángulos
semejantes en
foami.
Verificación de
congruencia de
ángulos agudos
mediante la
superposición de
triángulos
Semejanza de
triángulos
rectángulos : Un
ángulo agudo
igual
),,( 141.4 t
t4.2
Determinar ,
contrastar y
conjeturar la
razón invariante
del ángulo α y β
para cada grupo
de triángulos
rectángulos
semejantes.
.
La Razón tangente
α y β
La igualdad de
la razón por
grupo(
)
e
integrada por los
lados de un solo
triángulo y
argumentadas
aritméticamente
por las
propiedades de
las
proporciones.
),,( 232.4 t
t4.3
Determinar la
razón tangente de
triángulos
rectángulos
semejantes en
software.
Calcular en forma
de cociente la
Razón tangente
para α y β
La igualdad de
las razones entre
catetos de
triángulos
rectángulos con
un mismo
ángulo agudo
(semejanza)
),,( 233..4 t
30
T5
Analizar y
contrastar la
razón
de
diferentes
objetos en
diferentes
intervalos de
tiempo, teniendo
presente que:
es la
misma en los
diferentes
objetos a la
misma hora y
que
es diferente
al estimarse en
diferentes
momentos, pero
iguales entre sí.
t5.1
Determinar,
analizar y
contrastar la razón
de
objetos en dos
horarios
establecidos.
Calcular en forma
de cociente la
Razón tangente
para α y β
La igualdad de
la razón entre
catetos de
triángulos
rectángulos con
un mismo
ángulo agudo
(semejanza)
),,( 231.5 t
3.2.1 Descripción de la OM2 Fase 2
En la Tabla 6 que corresponde al Tipo de tareas 3 (T3), 4 (T4) y 5 (T5), se presenta primero
de manera sintetizada la tarea3.1 y la praxeología ),,( 231.3 t que la forma. El primer
elemento de la praxeología es la tarea3.1: obtener y contrastar razones integradas por los
lados del mismo triángulo; el segundo elemento, describe la técnica τ3: razón
; como
tercer elemento, a la tecnología , representada por la igualdad de la
razón
integradas por los lados de un solo triángulo argumentadas aritméticamente
31
por las propiedades de las proporciones. Se espera que los estudiantes determinen que las
razones obtenidas a la misma hora son iguales.
La tarea retoma los conocimientos previos de los estudiantes y consiste en salir en equipo al
patio, obtener y comparar las razones
del edificio A y
de una
estaca puesta de manera perpendicular con la superficie.
Para poder realizarla, los estudiantes deben primero determinar la altura del edificio, que al
no poder medirse de manera directa, tendrán que recurrir, para determinarla, a establecer la
proporcionalidad entre los lados correspondientes de los triángulos rectángulos semejantes,
es decir, establecer la igualdad de las razones
para así
calcular la altura del edificio, realizando las operaciones aritméticas necesarias justificadas
por las propiedades de las proporciones.
Lo realizado hasta esta etapa de la tarea se resuelve con la técnica la tecnología y la
teoría que la justifica.
La La cuarta proporcional
en donde
donde
=
y el valor de:
La : La semejanza de triángulos.
Una vez que se tienen los valores de todos los elementos requeridos, se procede a establecer
las razones solicitadas para posteriormente analizarlas y compararlas. En este acercamiento
a a
´
32
se espera que los estudiantes justifiquen, mediante argumentos aritméticos, la igualdad
entre las razones, operándolas como fracciones al realizar operaciones de productos
cruzados. Como se comentó en la Fase 1, es indistinto para los estudiantes realizar la
transición de razones a fracciones.
En esta etapa, la tarea3.1 se resuelve con la técnica la tecnología y la teoría que la
justifica se describen a continuación.
Al tener todos los elementos de la proporción, se procede a realizar la tarea de obtener las
razones integradas por los lados del mismo triángulo:
y la
de donde se establece que:
es decir
Los estudiantes deben analizar y justificar el por qué de la igualdad de las razones .
Se espera que apliquen las propiedades de las proporciones en donde se instituye que:
En toda proporción el producto de los medios es igual al producto de sus extremos.
Por lo tanto, en
se tiene que
En toda proporción se pueden cambiar los medios y los extremos, lo que significa
que se pueden invertir ambas razones
si
también es
así como transformar en
Si el producto de un par de números cualesquiera es igual a un producto de otro par
de números, se puede formar con ellos una proporción en la que uno cualquiera de los
pares puede ser los medios y el otro los extremos.
Así de esta manera se realizan operaciones aritméticas, justificando que a partir de
Calcular en forma de cociente la razón tangente τ 3
33
se obtiene la equivalencia de las razones
La tecnología y la teoría asociada a esta técnica se resumen de la siguiente manera.
La : La proporcionalidad establecida entre los lados de triángulos rectángulos
semejantes, permite hacer operaciones aritméticas entre sus elementos. Al aplicar las
propiedades de las proporciones, se justifica la igualdad de razones entre los lados de un
mismo triángulo.
La teoría sigue siendo la semejanza de triángulos rectángulos, en donde se puede
establecer el siguiente criterio:
El criterio de semejanza para triángulos rectángulos: AA
En la misma Tabla, se presenta el Tipo de tarea 4 (T4), su propósito es que el alumno
conjeture que el valor de la razón de los ángulos agudos α y β de un triángulo rectángulo
semejante permanece constante. Está formada a su vez por la tarea 4.1, la tarea4.2 y la
tarea4.3.
En la tarea 4.1, se determina la razón invariante
del ángulo α y β para cada
grupo de triángulos rectángulos semejantes y se sustenta en la praxeología ),,( 141.4 t , en
esta tarea se entrega a los equipos un conjunto de triángulos rectángulos elaborados en
foami, y se solicita que formen grupos de triángulos rectángulos semejantes. La técnica a
utilizar será la semejanza en triángulos, de manera específica el criterio AA.
En la tarea4.2, se solicita que determinen la igualdad de la razón
para
cada ángulo agudo (Beta y Alpha) de cada grupo; y así como de aquellos que no pertenecen
a un grupo.
El alumno debe realizar contrastes en los valores obtenidos de las razones invariantes
correspondientes al ángulo Beta y Alpha de cada grupo de triángulos rectángulos y
justificar sus respuestas. Se desea que los estudiantes conjeturen que el ángulo agudo del
34
triángulo rectángulo se mantiene constante debido a la igualdad de las razones en cada
grupo. La técnica y la tecnología se describen de la siguiente forma:
El cálculo de la igualdad de la razón tangente
para el ángulo agudo α será:
La La igualdad de la razón
entre catetos de triángulos
rectángulos con un mismo ángulo agudo (semejanza).
La tarea4.3, simula en el software GeoGebra la actividad anterior, en donde se pretende que
el estudiante determine usando la calculadora la igualdad de la razón del grupo de
triángulos rectángulos. La tarea se sustenta en la praxeología ),,( 233.4 t . El estudiante
podrá manipular los triángulos rectángulos superponiéndolos para visualizar que el ángulo
agudo se mantiene constante en los tres triángulos, además podrá manipular las
dimensiones de las longitudes de cada triángulo y obtener la razón tangente en forma de
τ3
3
35
cociente, contrastar y visualizar la igualdad de las razones cuando el ángulo agudo se
mantiene constante.
En la misma Tabla 6, se presenta el Tipo de tarea 5 (T5), establecido por la tarea5.1, la cual
consiste en una actividad fuera del aula, diseñada para que el estudiante se enfrente a
situaciones de medición de la sombra y la altura de objetos a diferentes intervalos de
tiempo. El propósito es que el alumno argumente acerca de la igualdad de la razón tangente
de diferentes objetos cuando el ángulo agudo se mantiene constante. Es decir: el valor de la
razón se mantiene igual para distintos objetos a la misma hora, sin embargo, las razones son
distintas a otra hora, pero iguales entre sí. La praxeología está formada por ),,( 231.5 t
En equipo los estudiantes salen al patio y miden la longitud de la sombra y la altura de los
siguientes objetos: un lápiz, una estaca y un soporte con base; en intervalos de tiempo de
media hora, y registran las medidas de la sombra de los objetos y obtienen las siguientes
razones:
Se espera que distingan que el valor entre las razones es igual para la misma hora debido a
la constancia del ángulo agudo en estudio y que argumenten que éstas serán diferentes para
otra hora pero iguales entre sí.
3.2.2 Organización didáctica Fase 2 (OD2)2
Para dar respuesta a la cuestión de esta Fase, ¿Porqué se mantiene constante la igualdad de
la razón
en los grupos de triángulos semejantes con un ángulo agudo igual?
se establecen las siguientes actividades que forman parte de la OD2.
Actividades:
1 (Fuera del aula): Obtener y contrastar la razón
del edificio y de una estaca.
2 Las actividades de la Fase 2, se encuentran en hojas de trabajo en el Anexo III de este
documento, y los archivos en el software GeoGebra se pueden visitar en la siguiente
página:
http://www.GeoGebra.org/en/upload/index.php?direction=0&order=&directory=Griselda&
36
2: Obtener y conjeturar el valor de las razones integradas por los lados del mismo triángulo
rectángulo.
2.1 (Manipulable en foami): Clasificar triángulos rectángulos semejantes.
2.2 (Manipulable en foami): Obtener y contrastar razones de un grupo.
2.3 (Simulación en GeoGebra) Determinar la razón tangente de triángulos rectángulos
semejantes.
3 (Fuera del aula): Obtener y contrastar razones integradas por los lados del mismo
triángulo de tres objetos a la misma hora.
4: Visualizar los rayos de incidencia del sol en el software GeoGebra.
El profesor organiza a los estudiantes en equipos y les presenta la consigna que corresponde
a la actividad 1 (Hoja de Trabajo 2.1), ésta consiste en salir en equipo al patio, obtener y
comparar las razones
del edificio A y
de una estaca a la misma
hora. Los elementos que entran en juego son:
a) Determinar la altura del edificio
b) Obtener y comparar las razones
del edificio A y
de una
estaca.
En un primer momento, el del encuentro por vez primera con el problema, el estudiante
para realizar la consigna, requiere determinar la razón establecida por la altura y la sombra
del edificio, sin embargo, debe utilizar el recurso con el que cuenta: la semejanza en
triángulos rectángulos.
Se solicita que expresen las razones en forma de cociente, para que al contrastarlas, pueda
darse cuenta que son iguales. Se pretende que argumenten que la igualdad de las razones se
37
debe a que el ángulo agudo se mantiene constante. Se espera que los equipos apliquen las
propiedades de las razones para justificar la igualdad de las mismas.
La actividad 2.1 (Hoja de Trabajo 2.2) es en equipo, en la cual el profesor entrega un grupo
de triángulos rectángulos elaborados en foami, en él se encuentran triángulos rectángulos
semejantes y triángulos rectángulos que no lo son. Los elementos que forman la tarea son:
a) Clasificar triángulos rectángulos semejantes y no semejantes.
Primero, se solicita al estudiante que clasifique por sub-grupos de triángulos rectángulos
semejantes. Se pretende que utilice sus recursos de criterios de semejanza, en especial el
criterio AA. Con esta técnica, podrán constatar cuáles triángulos son semejantes, ya que al
superponerlos, con conocer un ángulo agudo será suficiente.
La actividad 2.2 (Hoja de Trabajo 2.3), se refiere a obtener y contrastar la razón
para cada uno de los triángulos que pertenecen o no, a un sub-grupo de
triángulos rectángulos semejantes. Los estudiantes nombran α y β a los ángulos agudos y
para obtener las medidas del lado opuesto y lado adyacente, utilizarán la regla métrica. Al
obtener la , es probable que no se percaten de la igualdad de la razón, siendo necesario
que expresen en forma de cociente sus resultados, para así, conjeturar que la razón se
mantiene igual en cada elemento del sub-grupo. Se pretende que el estudiante conjeture que
la razón es igual en los sub-grupos, debido a la constancia del ángulo agudo α. Además,
deben argumentar por que los triángulos que quedaron fuera de los sub-grupos, tienen
razones distintas.
Se repite el proceso de instrucción para el otro ángulo agudo β, analizando así las
relaciones entre la razón y su ángulo.
La actividad 2.3 (Hoja de Trabajo2.4) es individual y se simula la actividad anterior a través
del software GeoGebra. Se presentan tres triángulos rectángulos semejantes, en donde el
estudiante puede manipular la longitud del lado opuesto y el lado adyacente de manera
independiente. La consigna es obtener la razón tangente α y β. El estudiante, utilizando las
herramientas del software deberá medir los catetos del triángulo y apoyarse en una
38
calculadora para obtener la razón tangente. Posterior a esto deberán contrastar y justificar
con su compañero(a) los resultados obtenidos. La imagen de la actividad en el software es:
Para finalizar la actividad, se cuestiona acerca de la razón tangente obtenida y el ángulo
agudo formado por los rayos de incidencia del sol y el piso de la actividad 1. Con esta
interrogante se pretende realizar un acercamiento al estudiante a conjeturar que el ángulo
agudo está fuertemente ligado al valor de la razón tangente.
La actividad 3, es fuera del aula, y los estudiantes en equipo saldrán de nuevo al patio y
determinarán la razón
de tres objetos a la misma hora. El profesor proveerá los
objetos a medir, podrían ser un lápiz, una estaca y un soporte con base. Los elementos que
forman a las razones son medidas directas, la altura de los objetos puede establecerse
previamente para solo enfocarse en la medida de las sombras. La consigna es encontrar el
valor de las razones: — en forma de cociente y transformarlas a decimales—, así
como la relación existente entre ellas a una hora determinada y repetir la tarea pasados
quince minutos.
Algunas dificultades que se pueden presentar, pueden ser que los equipos no pudieran
constatar la igualdad de las razones a la misma hora, debido a los posibles errores de
39
medición. Para favorecer a que el proceso de medición se lleve a cabo de manera eficiente,
será necesario que los objetos a medir estén ensamblados en una base fija y que su material
sea rígido para reducir posibles errores de medición. Se deberá tener cuidado también, de
realizar el levantamiento de medidas de la sombra de los tres objetos de manera simultánea,
ya que los rayos de incidencia del sol cambian de manera constante. Una vez determinadas
las razones en forma de cociente, otra dificultad que se puede presentar puede ser la falta de
unificación en el redondeo de los datos en la calculadora, siendo necesario por parte del
profesor establecer previamente el número de cifras significativas.
Los equipos deben analizar sus resultados y encontrar las relaciones que se le solicitan, si
no las encuentran en esos momentos, a través de una discusión grupal guiada por el
profesor, los equipos deberán presentar los resultados obtenidos y contrastarlos con el resto
de los equipos. Se pretende que establezcan que las razones son iguales a la misma hora
porque están basadas en la igualdad del ángulo agudo, y diferentes a otra hora, pero iguales
entre sí.
Al considerar que la tecnología ayuda a la concepción de los conceptos, la actividad4 (Hoja
de Trabajo2.6) inicia con una simulación en geometría dinámica, en donde a continuación se
muestra una imagen de la actividad:
40
El estudiante visualiza el comportamiento de los rayos de incidencia del sol sobre un
objeto y la sombra proyectada a distintas horas. La tarea es de corte cualitativo, en la cual el
alumno, al rotar el rayo de sol en el software GeoGebra, visualiza y conjetura sobre la
relación que tienen los rayos de sol en la variación de la sombra de los objetos. Se espera
que el alumno argumente, que en el transcurso de la mañana, la sombra de los objetos es
mayor, reduciéndose a medida que transitan las horas y que después del mediodía, la
sombra de los objetos va en aumento.
Al finalizar la última actividad, es un momento de suma importancia en el proceso de
estudio. Por su parte, el alumno ha construido el concepto de razón tangente y el profesor,
debe aprovechar este momento crucial para su institucionalización.
3.3 Fase 3
En esta Fase para dar seguimiento a la construcción del significado del concepto tangente
del ángulo α (en adelante tan α), se plantea la siguiente cuestión: ¿Por qué a cada ángulo
agudo le corresponde una sola razón tangente? Para darle respuesta se diseña la OM3 y se
describe a continuación:
OM3 :Razón Trigonométrica (Razón tangente)
En esta OM3 se contemplan tres Tipos de tareas matemáticas que creemos contribuyen a su
construcción, así como las técnicas y tecnologías que se requieren. Para establecer la
relación biunívoca en el primer cuadrante entre un ángulo agudo α y su correspondiente
tangente, se inicia con el sexto Tipo de tareas ––Tarea 6 (T6)—, que se refiere a la
necesidad de establecer la tangente para ciertos ángulos, en particular para los de 30º, 45º y
60º; para el Tipo de Tarea 7 (T7), que se refiere a calcular la tangente para cualquier ángulo
α y el Tipo de tarea 8 (T8), se refiere al cálculo de medidas inaccesibles, utilizando como
estrategia tan α. En la Tabla 7, se presentan de manera resumida las praxeologías que
forman esta OM3.
Tabla 7: Organización Matemática3
Fase 3 : Organización Matemática3 ( En términos de praxeologías)
teoría (θ) Semejanza
41
Tipos de
Tareas (Ti) Tareas ( ti ) Técnicas (τ i)
Tecnología
(
Praxeología
T6
Establecer tan
de ángulos de
45º, 30º y 60º.
t 6.1
Determinar el
valor de tan de
45º
Manipular hojas
de forma
cuadrada para
calcular en
forma de cociente
la tangente del
ángulo agudo α
= 45º y β= 45º.
La igualdad
de la razón
entre catetos
de triángulos
rectángulos
con un mismo
ángulo agudo
(semejanza)
),,( 231.6 t
t6.2
Determinar la
tangente de
ángulos de 30º
y 60º.
A través de
construcción con
regla y compás se
calcula en forma
de cociente la
Razón tangente
para α = 30º y α
= 60º
La igualdad
de la razón
entre catetos
de triángulos
rectángulos
con un mismo
ángulo agudo
(semejanza)
),,( 232.6 t
t7.1
Calcular
La comparación
de los valores de
42
T7
Calcular la
tangente de
cualquier ángulo
α
tan α en forma
de cociente y
estimar el
ángulo
correspondiente.
tangente ya
conocidos y su
relación con los
ángulos
correspondientes.
tan α
(Semejanza)
),,( 351.7 t
t7.2
Estimar por
aproximaciones
sucesivas el
ángulo α, dada
su tangente en
forma de
cociente.
La comparación
de los valores de
tangente ya
conocidos y su
relación con los
ángulos
correspondientes.
tan α
(Semejanza)
),,( 352.7 t
t7.3
Estimar por
aproximaciones
sucesivas el
ángulo α, dada
su tangente en
la forma
La comparación
de los valores de
tangente ya
conocidos y su
relación con los
ángulos
correspondientes.
tan α
(semejanza)
),,( 353.7 t
43
t7.4
Conjeturar que
la
tan α aumenta a
medida que
aumenta el
ángulo.
Calcular en forma
de cociente tan α
tan α
(Semejanza)
),,( 434.7 t
T8
Calcular
medidas
indirectas
t8.1
Calcular la
altura del
edificio usando
tan α.
Usar el valor de la
tan α
para despejar un
elemento (b) de la
razón
tan α
(Semejanza)
),,( 361.8 t
3.3.1 Descripción de la Fase 3 (OM3)
En la Tabla 7 que corresponde a la OM3, se describe primero, el Tipo de tarea 6 (T6), se
presenta de forma resumida la tarea6.1 y la tarea6.2, con sus correspondientes praxeologías:
),,( 231.6 t y ),,( 232.6 t . En este grupo de tareas, se pretende establecer la relación
biunívoca entre el ángulo agudo de 30º, 45º y 60º de un triángulo rectángulo y su
correspondiente razón tangente. Se inicia con el cálculo de la razón tangente del ángulo de
45º, posteriormente para 30º y 60º. Se utilizan estos ángulos en particular, debido a que su
construcción se promueve a partir de triángulos especiales que facilitan el cálculo de las
medidas involucradas en las razones buscadas, mediante conocimientos previos que son de
uso común para los estudiantes.
44
Para la realización de la tarea6.1: Establecer tangente de 45º; se le entrega al estudiante un
par de hojas con forma cuadrada de diferente tamaño y se le solicita que doble por la mitad
a lo largo de la diagonal, cada una de ellas, y determine la tangente de los ángulos agudos α
y β correspondientes a cada hoja. Se espera que el estudiante deduzca que la razón tangente
correspondiente al ángulo de 45º es igual a 1. En el siguiente cuadro se explica la τ3: Razón
tangente y la tecnología que sustenta a la tarea, que es precisamente la igualdad de las
razones en triángulos rectángulos semejantes.
45
ó º
ó º
Técnica = Razón tangente
Análisis del Triángulo 1:
a) Razón tangente α = 45º
=1
b) Razón tangente β= 45º
=1
Análisis del Triángulo 2:
c) Razón tangente α = 45º
=1
d) Razón tangente β= 45º
=1
τ3
46
Para la realización de la tarea 6.2: Establecer tangente de 30º y 60º; se requiere de construir
con regla y compás un triángulo equilátero de 2 cm de longitud, el alumno traza la altura
del triángulo, y forma dos triángulos rectángulos de ángulos agudos de 30º y 60º. Al aislar
uno de los triángulos rectángulos, debe encontrar la medida de uno de los catetos por medio
del teorema de Pitágoras. Una vez teniendo las tres medidas del triángulo, el alumno debe
establecer la razón tangente del ángulo agudo de 30 º y de 60º. En el siguiente cuadro se
presenta la técnica utilizada:
a) Razón tangente de 30º:
b) Razón tangente de 60º:
Se procede a realizar la operación experimentada para el ángulo de 30º, en donde:
=
τ3
Razón tangente de 30º y 60º
47
La tecnología de las tareas 6.1 y 6.2 es la igualdad de la razón tangente en triángulos
rectángulos semejantes.
La teoría sigue siendo la semejanza de triángulos rectángulos.
En la misma Tabla 7, se muestra el Tipo de tarea 7 (T7) y las praxeologías que la forman.
Se pretende generalizar la relación biunívoca en el primer cuadrante entre el ángulo agudo
y su correspondiente tan α, así como conjeturar que a mayor ángulo, mayor tangente.
La tarea7.1: Establecer la razón tangente y su ángulo correspondiente; primero, los
estudiantes requieren de calcular la razón tangente de los ángulos agudos, de los triángulos
rectángulos semejantes que se proporcionan en el software GeoGebra. Una vez obtenida la
razón tangente, deben estimar el ángulo al cual corresponde por medio de aproximaciones
sucesivas. La técnica es la comparación de los valores de tangente ya conocidos de los
ángulos especiales, y su relación con los ángulos correspondientes. La tecnología es la
igualdad de la razón tangente para triángulos rectángulos semejantes. La praxeología se
resume por ),,( 351.7 t .
La tarea7.2.: Estimar por aproximaciones sucesivas el ángulo α dada su tangente en forma
de cociente. El estudiante, utilizando la calculadora, debe determinar a qué ángulo α le
corresponde la tangente. La técnica y la tecnología siguen siendo las mismas de la tarea7.1.
La praxeología está formada por
),,( 352.7 t
La tarea7.3: Estimar por aproximaciones sucesivas el ángulo α, dada su tangente en forma de
. La consigna es igual que en las tareas anteriores, el estudiante vuelve a determinar el
ángulo que corresponde a la razón tangente
utilizando la misma técnica descrita en la
actividad anterior, la praxeología se constituye por los elementos siguientes:
.),,( 353.7 t
48
La tarea7.4: Calcular tan α, la praxeología es ),,( 434.7 t . Esta tarea pretende que el
estudiante conjeture acerca de la relación que guardan el ángulo agudo y su correspondiente
tangente: A mayor ángulo mayor tangente.
Se proporciona al estudiante un archivo —en GeoGebra—, que contiene un grupo de
triángulos rectángulos semejantes. En éste puede manipular, aumentando y/o reduciendo,
los ángulos agudos de los mismos, para así, usando la calculadora, determinar la tangente
correspondiente al ángulo agudo solicitado. La técnica usada es tan α.
El Tipo de tarea 8: Determinar medidas inaccesibles; está formada por una sola tarea, la
tarea 8.1, en donde la praxeología utilizada es ),,( 361.8 t . Esta tarea es una actividad fuera
del aula y en equipo, donde los estudiantes saldrán al patio a determinar la altura de un
edificio. Para su solución, se espera que el estudiante determine la altura utilizando la
técnica de tan α =
. De los tres elementos involucrados, se conocen dos:
tan α y el cateto adyacente(a), representado por la sombra del edificio. La sombra la podrán
determinar midiéndola de manera directa y el ángulo α, se obtendrá de la información
proporcionada por el ―Naval Oceanography Portal‖3. Los estudiantes deben realizar las
operaciones algebraicas necesarias para calcular la altura, que es el elemento faltante.
La tarea es la última de la secuencia didáctica y retoma la actividad con la que se inicia la
secuencia didáctica en la Fase 1: Determinar medidas inaccesibles. La diferencia está en la
técnica de resolución, ya que la secuencia inicia, utilizando la técnica de la cuarta
proporcional, desprendida de utilizar dos triángulos rectángulos, ahora, la técnica ha
evolucionado a otra más económica— al usar un solo triángulo rectángulo—, tan α, y tiene
a la semejanza, en particular a la semejanza en triángulos rectángulos como tecnología que
la sustenta.
3.3.2 Organización didáctica (OD3), Fase 3
En esta Fase se pretende establecer la relación entre el ángulo α y su tangente. En este
sentido se diseñan tareas que toman como punto de partida los conocimientos previos de los
3 http://www.usno.navy.mil/USNO/astronomical-applications/data-services/alt-az-us
49
estudiantes y que se encuentren en la zona de desarrollo próximo. Las actividades diseñadas
se presentan a continuación:
Actividades:
1. Calculo de tangente de ángulos especiales ( 30º, 45º y 60º)
1.1 Calculo de tan 45º
1.2 Cálculo de tan 30º y tan 60º
2. Calculo de tangente para cualquier ángulo α
2.1 Determinar tan α a través del Software GeoGebra
2.2 Determinar el ángulo α que le corresponde a tan α expresada en forma decimal.
2.3 Determinar el ángulo α que le corresponde a tan α expresada en forma de
cociente.
2.4 Determinar tan α, dado el ángulo. Actividad en Software GeoGebra.
3. Medidas indirectas utilizando tan α.
Se inicia con la actividad1.1 (Hoja de Trabajo 6.1) y su propósito es establecer (como
cociente) la razón tan 45º. Los elementos que forman la actividad son:
a) Medir los catetos de los triángulos rectángulos.
b) Determinar la razón tangente en forma de cociente.
En la actividad se emplea como recurso material manipulable. Se le proporciona al
estudiante dos hojas cuadradas de diferente tamaño, se le solicita que las doble por la mitad
a través de la diagonal, mida con su regla graduada la longitud de los catetos de los
triángulos rectángulos y obtenga la razón tangente, ―en forma de cociente,‖ de los ángulos
de cada triángulo. Se espera que el estudiante conjeture que la razón tangente para el ángulo
de 45º = 1.
La actividad1.2 (Hoja de Trabajo 6.2) tiene como propósito establecer (como cociente) la
razón tangente de 30º y 60º. Se solicita a los estudiantes que construyan con regla y compás
un triángulo equilátero de longitud 2 cm y determinen los ángulos internos del triángulo. En
otro momento, se les pide que aíslen uno de los dos triángulos rectángulos formados,
50
nombren α y β a los ángulos agudos y determinen la longitud del cateto faltante utilizando
el teorema de Pitágoras. Posteriormente se les solicita que obtengan tan de 30º y 60º.
La actividad finaliza solicitando tangente de 50º, para su solución, se espera que el
estudiante estime de forma aproximada, con base en los resultados obtenidos de los ángulos
anteriores y conjeture que a medida que aumenta el valor del ángulo, aumenta el valor de
tangente.
La construcción de tangente de los ángulos de 30º, 45º y 60º, se espera proporcione la base
para establecer la relación biunívoca entre el ángulo agudo y su correspondiente tangente.
La actividad2.1 (Hoja de Trabajo7.1) pretende establecer tangente de cualquier ángulo α, se
utiliza como recurso didáctico el software GeoGebra. Los elementos que forman la tarea
son:
a) Determinar la razón tangente de cada triángulo
b) Determinar el ángulo que corresponde a la razón obtenida.
Se presentan tres triángulos rectángulos semejantes con magnitudes distintas en el software
GeoGebra como se presenta en la siguiente imagen:
51
El estudiante podrá manipular las dimensiones de los triángulos, haciéndolas grandes o
pequeñas, y puede superponerlos haciendo coincidir sus ángulos. Debe determinar la razón
tangente de cada triángulo, por medio de la calculadora, y debe estimar el ángulo al que
corresponde la razón tangente obtenida a través de aproximaciones sucesivas. Se pretende
que utilice como recurso la razón tangente de los ángulos especiales: 30º, 45º y 60º. Se
espera que argumente, que la igualdad de la razón tangente en los tres triángulos
rectángulos, se deba a que corresponde al mismo ángulo agudo.
La actividad2.2, (Hoja de Trabajo7.2) pretende de nuevo establecer tan α. La actividad consta
de los siguientes elementos:
a) Determinar el ángulo correspondiente a la tangente dada.
b) Construir el triángulo rectángulo con el ángulo agudo obtenido.
En un primer momento, se le proporciona al estudiante el valor de tan expresada en
decimal, y utilizando la calculadora debe obtener el ángulo correspondiente. Se solicita
construya el ángulo con su transportador, y con escuadras construya el triángulo
rectángulo que corresponde al ángulo. Compara con su compañero la construcción
realizada y debe justificar las diferencias.
En la actividad2.3, (Hoja de Trabajo7.3) el estudiante usando la calculadora, determina el
ángulo que corresponde a la tangente expresada en forma de cociente y la modela a
través de una figura adecuada.
En la actividad2.4, (Hoja de Trabajo7.4) se pretende que el alumno conjeture que a mayor
ángulo, mayor tangente y se utiliza como recurso didáctico el software GeoGebra, (ver
imagen anexa). La tarea consta del siguiente elemento:
a) Establecer en el software GeoGebra, el ángulo agudo solicitado y determinar tan α
correspondiente.
52
El estudiante manipula el ángulo agudo α (varía de 0º a 90º) de un triángulo rectángulo,
posiciona a través de un deslizador (herramienta del software) el ángulo solicitado y
obtiene la tangente. Se espera que el estudiante analice que a cada ángulo le corresponde
una tangente y que a medida que los ángulos aumentan, la tangente también aumenta.
Cuando establezca tan 90º, el cateto adyacente se reducirá a cero, el triángulo rectángulo
desaparecerá, y la tangente aparecerá como indefinida, debido precisamente a la división
entre cero.
La actividad3, ((Hoja de Trabajo8.1) retoma una actividad fuera del aula de la OM1, que
consiste en salir en equipo al patio y determinar la altura del edificio. El estudiante deberá
medir de manera directa la sombra del edificio, el ángulo agudo lo obtendrá de la dirección
de internet citada en la Hoja de Trabajo de la tarea. Debe estar consciente que el ángulo que
utilice, se establece de acuerdo al horario en que se llevará a cabo la tarea. Al tener dos de
los elementos que forman
, realizará operaciones algebraicas para obtener
el tercer elemento faltante: la altura del edificio.
Con esta actividad se cierra la Fase 3 de la OM3. Se deja abierta la posibilidad de continuar
trabajando en el diseño de Organizaciones Matemáticas más amplias que utilicen el
concepto de tan α.
53
3. 3.3 Análisis de Competencias en el MER
Las actividades propuestas en la secuencia didáctica pretenden articular la semejanza con
las razones trigonométricas, a través de la vinculación entre praxeologías— dando
respuesta a cuestiones comentadas anteriormente en las Organizaciones Matemáticas—, y
contribuir al logro de competencias matemáticas, que según la RIEMS (2008), son
necesarias para que el bachiller se desarrolle de manera eficaz y pueda enfrentar los retos
que se le presenten en la escuela, en su trabajo y a lo largo de la vida. En este sentido, las
actividades están diseñadas para que el alumno busque la creatividad y la comprensión,
mediante el descubrimiento y la experimentación de técnicas que requieren ser justificadas.
Esta nueva forma de trabajar, permite al alumno construir el significado de los conceptos, a
medida que las actividades son resueltas y permite al estudiante adquirir un dominio de las
praxeologías, lo cual, desde el punto de vista de la TAD, significa que el alumno ha
desarrollado competencias matemáticas.
En la Tabla 8 se describen las actividades, habilidades y las competencias matemáticas
pretendidas en cada una de las tres Fases.
54
Tabla 8: Competencias Fase 1, 2 y 3.
Fase 1
Descripción general Fase 1:
En esta Fase el estudiante analiza las razones establecidas por los lados correspondientes de rectángulos y triángulos rectángulos semejantes,
conjeturando sobre la proporcionalidad entre sus lados. El desarrollo de la OM1 implica que los estudiantes solucionen problemas utilizando
razones (escalas de reducción), semejanza en figuras rectangulares, triangulares y sus propiedades. Se determinan medidas inaccesibles
utilizando la semejanza en triángulos rectángulos.
Actividad Descripción de la tarea Habilidades a desarrollar Competencias Disciplinares
Matemáticas a las que abona
1
Levantamiento de medidas
directas.
Determina las medidas de objetos con los
recursos necesarios.
Unifica unidades de medición.
Cuantifica, representa y contrasta
experimental o matemáticamente
magnitudes del espacio que lo rodea.
2
Dibujar el croquis
Determina escala de reducción de las medidas
directas.
Construye e interpreta modelos matemáticos
deterministas o aleatorios mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión
y análisis de situaciones reales o formales.
55
Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos
de problemas matemáticos buscando diferentes
enfoques.
Identifica figuras semejantes entre objetos
reales y reducidos.
Propone explicaciones de los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y
textos con símbolos matemáticos y científicos.
Comunica adecuadamente conjeturas y
conclusiones.
Argumenta la solución obtenida de un problema,
con métodos numéricos, gráficos, analíticos y
variacionales, mediante el lenguaje verbal y
matemático.
56
3 Obtención de medidas
indirectas
Identifica en el contexto la presencia de
triángulos rectángulos para establecer a través
de la proporcionalidad, las razones entre sus
lados correspondientes.
Construye e interpreta modelos matemáticos
deterministas o aleatorios mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión
y análisis de situaciones reales o formales.
Determina medidas indirectas a través de las
razones establecidas por la comparación de
lados correspondientes en triángulos
semejantes.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o
matemáticamente magnitudes del espacio que lo
rodea.
Comunica adecuadamente conclusiones
obtenidas en la modelación realizada.
Argumenta la solución obtenida de un problema,
con métodos numéricos, gráficos, analíticos y
variacionales, mediante el lenguaje verbal y
matemático.
57
4 Construcción de la
maqueta.
Interpreta y elabora la construcción de
elementos de la maqueta mediante escala de
reducción.
Construye e interpreta modelos matemáticos
deterministas o aleatorios mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión
y análisis de situaciones reales o formales.
Utiliza la representación tabular para expresar
la información con medidas reales y a escala.
Cuantifica, representa y contrasta experimental o
matemáticamente magnitudes del espacio que lo
rodea.
Identifica figuras semejantes.
Valora la construcción artesanal como una
expresión de ideas al diseñar la maqueta.
Argumenta la solución obtenida de un problema,
con métodos numéricos, gráficos, analíticos y
variacionales, mediante el lenguaje verbal y
matemático.
Fase 2
Descripción de la Fase 2:
El propósito de la OM2 es analizar y justificar la constancia de la igualdad de la razón
en grupos de triángulos rectángulos con
un ángulo agudo igual. A través de tareas que utilizan diversos recursos (actividades manipulables, geometría dinámica, etc.) y técnicas de
solución, se realiza un puente entre el estudio de la semejanza de figuras rectangulares y triángulos rectángulos, hacia el estudio específico de
éste último que germina un nuevo concepto que es la razón tangente.
58
Actividad Descripción de la tarea Habilidades a desarrollar Competencias Disciplinares
Matemáticas.
1
Actividad fuera del aula:
Obtener y contrastar la
razón
del
edificio y de una
estaca.
Identifica triángulos rectángulos semejantes en
situaciones de la vida real.
Construye e interpreta modelos matemáticos
deterministas o aleatorios mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos,
geométricos y variacionales, para la comprensión
y análisis de situaciones reales o formales.
Obtiene y contrasta razones en familias de
triángulo rectángulos semejantes.
Propone explicaciones de los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
Argumenta la solución obtenida de un problema,
con métodos numéricos, gráficos, analíticos y
variacionales, mediante el lenguaje verbal y
matemático.
59
2
Obtener y conjeturar el
valor de la razón
integradas por los lados del
mismo triángulo.
Clasifica triángulos rectángulos semejantes de
un grupo de triángulos rectángulos
Argumenta la solución obtenida de un problema,
con métodos numéricos, gráficos, analíticos y
variacionales, mediante el lenguaje verbal y
matemático.
Obtiene y contrasta razones en familias de
triángulos rectángulos semejantes.
Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos
de problemas matemáticos buscando diferentes
enfoques.
Argumenta y justifica la igualdad de las
razones en triángulos rectángulos semejantes.
Propone explicaciones de los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
3
Obtener y contrastar Argumenta y justifica la igualdad de las
razones en triángulos rectángulos semejantes a
Propone explicaciones de los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los
60
razones integradas por los
lados del mismo triángulo
de tres objetos a la misma
hora en diferentes
intervalos de tiempo.
(Actividad fuera del aula)
la misma hora.
contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
4
Visualizar los rayos de
incidencia del sol en el
software GeoGebra.
Comprende el efecto de los rayos de
incidencia del sol sobre la sombra de un
objeto.
Analiza las relaciones entre dos o más variables de
un proceso social o natural para determinar o
estimar su comportamiento.
Fase 3
Descripción de la Fase 3:
El desarrollo de la OM3 establece la relación biunívoca en el primer cuadrante entre un ángulo agudo α y su correspondiente tangente. Las
tareas que la estructuran utilizan diferentes tratamientos a la razón tangente, de tal manera que el estudiante analice y conjeture que a cada
ángulo agudo le corresponde un único valor tangente.
Actividad Descripción de la tarea Habilidades a desarrollar Competencias Disciplinares
Matemáticas.
61
1 Calculo de tangente de
ángulos especiales ( 30º,
45º y 60º)
Cálculo de tangente de ángulo de 45º.
Conjetura sobre el valor de tangente de 45º
manipulando una hoja de forma cuadrada.
Propone explicaciones de los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
Cálculo de tangente del ángulo de 30º y 60º.
Realiza construcciones geométricas con regla
y compás para trazar un triángulo equilátero de
lado 2.
Propone, formula, define y resuelve diferentes tipos
de problemas matemáticos buscando diferentes
enfoques.
Aplica un conocimiento previo (el teorema de
Pitágoras) para conocer un elemento faltante
de un triángulo rectángulo.
Identifica los catetos opuestos y adyacentes a
un ángulo agudo.
Propone explicaciones de los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
62
Desarrolla una argumentación para explicar un
procedimiento.
Integra los nuevos conocimientos con
conocimientos previos.
Argumenta la solución obtenida de un problema,
con métodos numéricos, gráficos, analíticos y
variacionales, mediante el lenguaje verbal y
matemático.
Conjetura que existe un valor de tangente para
cada ángulo agudo de un triángulo rectángulo.
Propone explicaciones de los resultados obtenidos
mediante procedimientos matemáticos y los
contrasta con modelos establecidos o situaciones
reales.
63
De esta manera, con la información expuesta en este último apartado, se pone de manifiesto
la forma que el marco teórico utilizado podría aplicarse en las actividades, al describir el
proceso de estudio a través de la OM y la OD. Las praxeologías locales establecidas se
pueden desarrollar para futuras ampliaciones hasta alcanzar a convertirse en praxeologías
regionales.
Por otra parte, uno de los propósitos de la reforma es la articulación de los saberes y a
través de la secuencia didáctica, sustentada en la estructura del MER, se pretende articular
la semejanza con las razones trigonométricas. Cada una de las actividades de las tres Fases,
favorece desde nuestro punto de vista, a darle sentido al estudio de estos conceptos, de
manera que se dignifica a la semejanza, las razones y en especial a las razones
trigonométricas.
