Captulo 4:Distribuies Tericas de Probabilidades de Variveis Aleatrias DiscretasProfessor Fernando Porto
Estatstica
Captulo 4
Baseado no Captulo 4 do livro texto, Distribuies Tericas de Probabilidades de Variveis Aleatrias Discretas.
Na rea de teoria das probabilidades e estatstica, a distribuio de Bernoulli, nome em homenagem ao cientista suo Jakob Bernoulli, a distribuio discreta de espao amostral {0, 1}, que tem valor 1 com a probabilidade de sucesso p e valor 0 com a probabilidade de falha q = 1 p.
Neste caso a varivel aleatria X tem distribuio de Bernoulli e sua funo de probabilidade dada por:
P(X = x) = px . q1-x
Distribuio de Bernoulli
Esperana:
E(X) = p
Varincia:
VAR(X) = p p2 = p . (1 q) = p . q
X P(X) X . P(X) X2 . P(X)
0 q 0 0
1 p p p
1 p p
Exemplo: Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Sendo X o nmero de bolas verdes, calcular E(X) e VAR(X) e determinar P(X).
Distribuio Geomtrica
A distribuio geomtrica constituda por duas funes de probabilidade discretas:
a) a distribuio de probabilidade do nmero X de tentativas de Bernoulli necessrias para alcanar um sucesso, suportadas pelo conjunto { 1, 2, 3, ... }, ou
b) a distribuio de probabilidade do nmero Y = X 1 de insucessos antes do primeiro sucesso, suportadas pelo conjunto { 0, 1, 2, 3, ... }.
Se a probabilidade de sucesso de cada tentativa p, ento a probabilidade de n tentativas serem necessrias para ocorrer um sucesso
P(X = n) = (1 p)n-1 . p
para n = 1, 2, 3, .... De forma equivalente, a probabilidade de serem necessrios n insucessos antes do primeiro sucesso
P(Y = n) = (1 p)n . p
para n = 0, 1, 2, 3, ....
Em qualquer caso, a sequncia de probabilidades uma progresso geomtrica.
Mdia:
E(X) =
Varincia:
VAR(X) =
Demonstraes no livro texto.
Exemplo: A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trnsito numa esquina 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessrio passar pelo local 5 vezes, para encontrar o sinal aberto pela primeira vez?
X: nmero de vezes necessrias para encontrar o sinal aberto.
p = 0,20; q = 0,80
P(X = 5) = (0,80)4 (0,20) = 0,08192 = 8,192%
Distribuio de Pascal
A distribuio de Pascal ou distribuio binomial negativa indica o nmero de tentativas necessrias para obter r sucessos de igual probabilidade p ao fim de x experimentos de Bernoulli, sendo a ltima tentativa um sucesso. A sua funo de probabilidade dada por:
x = r, r + 1, ...
X o nmero de repeties necessrias para que ocorram rsucessos.
Importante: A distribuio Geomtrica e fortemente relacionada com a Binomial negativa. Na Geomtrica queremos o nmero de tentativas para obter o primeiro sucesso, ou seja, o tempo de espera at que se tenha o evento de importncia ou sucesso.
Mdia:
E(X) =
Varincia:
VAR(X) =
Exemplo: Numa linha de montagem, 10% das peas so defeituosas. Qual a probabilidade de que a quinta pea analisada seja a segunda defeituosa?
Assim, x = 5; p = 10% ou 0,10; r = 2; q = 0,9
Distribuio Hipergeomtrica
A distribuio hipergeomtrica descreve a probabilidade de se retirar k elementos do tipo A numa sequncia de n extraes de uma populao finita de tamanho N, com r elementos do tipo A e N-r elementos do tipo B, sem reposio.
Seja um conjunto com N elementos tal que existem r elementos do tipo A e N-r elementos do tipo B. Um conjunto de n elementos selecionado, aleatoriamente e sem reposio, do conjunto de Nelementos. A varivel aleatria X denota o nmero de elementos tipo A. Ento, X tem distribuio hipergeomtrica e
onde k = 0,1,2,..., min(r, n) e onde refere-se ao coeficiente
binomial, o nmero de combinaes possveis ao selecionar belementos de um total a.
O valor esperado da varivel aleatria X dado por E(X) = n.p e a sua varincia
Quando o tamanho da populao muito maior do que a amostra (isto , N muito maior que n) a distribuio hipergeomtrica razoavelmente bem aproximada pela distribuio binomial com parmetros n (nmero de tentativas) e p = K / N (probabilidade de sucesso numa tentativa nica).
Exemplo: Pequenos motores so guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 so testados. H 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessrio examinar todos os motores dessa caixa?
X: nmero de motores defeituosos da amostra.
N = 50; r = 6; n = 5.
Distribuio Binomial
a distribuio de probabilidade discreta do nmero de sucessos numa sequncia de n tentativas tais que:
1. Cada tentativa tem exclusivamente como resultado duas possibilidades, sucesso ou fracasso;
2. Cada tentativa independente das demais;
3. A probabilidade de sucesso p a cada tentativa permanece constante independente das demais;
4. A varivel de interesse o nmero de sucessos k nas ntentativas.
A varivel aleatria X o nmero de tentativas que resultam em sucesso. A probabilidade de ter exatamente k sucessos dado pela funo de probabilidade:
Esperana:
E(X) = n . p
Varincia:
VAR(X) = n . p . (1 p)
Demonstraes no livro texto.
Exemplo: Uma moeda lanada 20 vezes. Qual a probabilidade de sarem 8 caras?
X: nmero de sucessos (caras) X = 0, 1, 2, ..., 20
Probabilidades de cara em um lanamento: p = 0,5
Portanto k = 8; n = 20; p = 0,5
Exemplo: Uma prova tipo teste tem 50 questes independentes. Cada questo tem 5 alternativas. Apenas uma das alternativas a correta. Se um aluno resolve a prova respondendo a esmo as questes, qual a probabilidade de acertar metade das questes?
X: nmero de acertos X: 0, 1, 2, ..., 50
Probabilidades de acerto de 1 questo: p = 1/5 = 0,2
Portanto k = 25; n = 50; p = 0,2
Exemplo: Achar a mdia e a varincia da varivel aleatria Y = 3X + 2, sendo X com n = 20; p = 0,3
E(X) = n p = 20 0,3 = 6
VAR(X) = n p q = 20 0,3 0,7 = 4,2
Logo
E(Y) = E(3X + 2) = 3 E(X) + 2 = 3 6 + 2 = 20
VAR(Y) = VAR(3X + 2) = 9 VAR(X) = 9 4,2 = 37,8
Distribuio Multinomial
A distribuio multinomial ou polinomial uma generalizao da distribuio binomial.
Assim consideremos a possibilidade de k alternativas, isto repartirmos o espao amostral em k eventos X1, X2, X3, ..., Xkmutuamente exclusivos, com probabilidades p1, p2, p3, ..., pk, tais que
p1 + p2 + p3 + ... + pk = 1
Ento em k eventos a probabilidade de que X1 ocorra n1 vezes, X2ocorra n2 vezes, X3 ocorra n3 vezes ... Xk ocorra nk vezes, dado por:
Esperana: E(Xi) = ni . pi
Varincia: VAR(Xi) = ni . pi . (1 pi)
sendo i = 1, 2, ... k
Demonstraes no livro texto.
Exemplo: Uma urna tem 6 bolas brancas, 4 pretas e 5 azuis. Retiram-se 8 bolas com reposio. Qual a probabilidade de sair 4 bolas brancas, 2 pretas e 2 azuis?
X1: sada de 4 bolas brancas
X2: sada de 2 bolas pretas
X3: sada de 2 bolas azuis
X1 + X2 + X3 = 8
Distribuio de Poisson
A distribuio de Poisson expressa a probabilidade de uma srie de eventos ocorrer num certo perodo de tempo se estes eventos ocorrem independentemente de quando ocorreu o ltimo evento.
A distribuio foi descoberta por Simon-Denis Poisson (1781-1840) e publicada, conjuntamente com a sua teoria da probabilidade, em 1838 no seu trabalho Recherches sur laprobabilit des jugements en matires criminelles et matirecivile ("Inqurito sobre a probabilidade em julgamentos sobre matrias criminais e civis"). O trabalho focava-se em variveis aleatrias N que contavam, entre outras coisas, o nmero de ocorrncias discretas de um certo fenmeno durante um intervalo de tempo de determinada durao.
A probabilidade de que existam exatamente k ocorrncias (ksendo um inteiro no negativo, k = 0, 1, 2, ...)
onde
e base do logaritmo natural (e = 2,718281828...),
um nmero real, igual ao nmero esperado de ocorrncias que ocorrem num dado intervalo de tempo. Por exemplo, se o evento ocorre a uma mdia de 4 minutos, e estamos interessados no nmero de eventos que ocorrem num intervalo de 10 minutos, usaramos como modelo a distribuio de Poisson com = 10/4 = 2,5.
Esperana: E(X) = l
Varincia: VAR(X) = l
Demonstraes no livro texto.
Exemplo: A probabilidade de uma lmpada se queimar ao ser ligada de 1/100. Numa instalao com 100 lmpadas, qual a probabilidade de 2 lmpadas se queimarem ao serem ligadas, usando Poisson?
l = n . p = 100 0,01 = 1
Exemplo: Numa central telefnica chegam 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidade de que:
a) Num minuto no haja nenhum chamado.
b) Em 2 minutos haja 2 chamados.
c) Em t minutos no haja chamados.
a) X: nmero de chamadas por minuto l = 5
b) Dois minutos l = 10
c) Tempo de t minutos l = 5t
A distribuio de Poisson representa um modelo probabilstico adequado para o estudo de um grande nmero de fenmenos observveis. Eis alguns exemplos:
Chamadas telefnicas por unidade de tempo;
Defeitos por unidade de rea;
Acidentes por unidade de tempo;
Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo;
Nmero de glbulos sanguneos visveis ao microscpio por unidade de rea;
Nmero de partculas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.
Estatstica Bsica Luiz Gonzaga Morettin
Pearson Pren
