CAPÍTULO 4: LEY DE COMPORTAMIENTO · BARRA PRISMATICA Presenta la forma de la figura, se sujeta mediante mordazas a la máquina de ensayo y se mide su alargamiento y la fuerza a

CAPÍTULO 4: LEY DE COMPORTAMIENTO

Área: mecánica de medios continuos y teoría de estructuras / Universidad de Málaga

Elasticidad y resistencia de materiales. Curso 2007/2008

CAPÍTULO 4:LEY DE COMPORTAMIENTOCAPÍTULO 4:CAPÍTULO 4:LEY DE COMPORTAMIENTOLEY DE COMPORTAMIENTO

1. Introducción.

2. El ensayo de tracción monoaxial.

3. Ley de Hooke generalizada.

4. Módulo de cizalladura.

5. Ley de comportamiento en unas coordenadas cualesquiera.

6. El problema elástico.

7. El problema térmico.

8. Energía de deformación.

9. Principio de Saint-Venant





1.1. Introducción.Introducción.












El problema elásticoEl problema elástico

F(x,y,z) u(x,y,z)

σσσσ(x,y,z) εεεε(x,y,z)

Rel. cinemáticasRel. cinemáticas

3D3D

EquilibrioEquilibrio

?a diferencia de las ecuaciones de equilibrio y compatibilidad, que se obtuvieron de forma analítica, las

ecuaciones de comportamiento se obtendrán de manera experimental.

el mejor modo de conseguirlo es a través del ENSAYO DE TRACCION.

Las relaciones entre TENSIONES y DEFORMACIONES se obtienen a través de las ECUACIONES DE

COMPORTAMIENTO





1. Introducción.

2.2. El ensayo de tracción El ensayo de tracción monoaxialmonoaxial..











Lo Do

La probeta de un ensayo de tracción responde a lo que se ha definido como

BARRA PRISMATICA

Presenta la forma de la figura, se sujeta mediante mordazas a la máquina de ensayo y se mide su alargamiento y la

fuerza a la que es sometida.

Esto es un dispositivo para medir la elongación de la probeta.

La propia máquina ofrece valores de la fuerza ejercida.

como ya se ha dicho en el primer tema, la fuerza se aplicará lentamente, de modo que sean despreciables los efectos de la inercia




Thomas Young13/06/1773

-10/05/1829

Del ensayo de tracción se obtiene el diagrama FUERZA –

ALARGAMIENTO.

Su forma depende de cada material.

El diagrama presenta varios tramos de diverso interés:

elástico lineal (O-A)

elástico no lineal (A-B)

plástico de cedencia (B-C)

endurecimiento por def. (C-D)

estricción (D-E)

α

σ

ε

tg(α)=E

Eσ = ε

el MODULO DE ELASTICIDAD

LONGITUDINAL, o módulo de Young, es la primera y más evidente relación entre tensión y

deformación

para el acero su valor ronda el 2’1�106 Kp/cm2

el EEEE mide la rigidez del material. RIGIDEZ es la oposición del material a ser deformado frente a unas solicitaciones determinadas. Cuanto más rígido menos se deforma.




σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

σ

ε

COMPORTAMIENTOS IDEALIZADOS DE LOS SOLIDOS DEFORMABLES

rígido rígido plástico ideal

elástico lineal elastoplástico ideal elastoplástico lineal

rígido plástico lineal

elastoplástico no lineal elástico no lineal




σ

σ

εl

εl

εt

εt

εt

εt

Simeón Denis Poisson21/06/1781 (Pithiviers, Francia)-

-25/04/1840 (Sceaux, Francia)

t lε = − εν

el coeficiente de Poisson es la relación entre el alargamiento longitudinal y la contracción

transversal de la sección

La segunda evidencia que se observa del ensayo de

tracción es que se produce una disminución de la sección del área.

la probeta “adelgaza”.

El área se contrae a medida que la longitud de la probeta

aumenta.

para el acero su valor se halla entre 0’25 y 0’33

mide la rigidez transversal del material, o sea, su resistencia a la deformación pero en el plano transversal al de la solicitación principal.





1. Introducción.


3.3. Ley de Ley de HookeHooke generalizada.generalizada.










σ

σ

εn

εn

εt

εt

εt

εt

σIII

σIIσI

III

II

I

?

El ensayo de tracción establece una relación entre la tensión normal en una dirección y las deformaciones

normales en las tres direcciones del espacio.

Ahora de estudiará qué deformaciones aparecen cuando hay tensiones en las tres direcciones del espacio.

Para ello se supone un cubo del sólido (de volumen unitario antes de la deformación)

sometido a un estado triaxial, tal y como muestra la figura inferior.




σIII

σIIσI

III

II

I

III

III

III

II

I

III

II

I

σI

σIII

σII

+ +

(1) (2) (3)

Robert Hooke18/07/1635 -03/03/1703

En virtud del conocido principio de superposición, este estado tensionalpuede descomponerse en tres estados

monoaxiales.

Cada uno de esos estados monoaxiales es similar al estudiado en

el ensayo de tracción.

Por lo que en cada uno de ellos se producirá un campo de deformaciones, ya conocido, que se puede sumar en virtud del principio de superposición.

Que, considerando la matriz de tensiones, podrá representarse mediante la siguiente matriz de deformaciones, que representa la LEY DE HOOKE GENERALIZADA





1. Introducción.



4.4. Módulo de Módulo de cizalladuracizalladura..









x

y

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

A B

CD

x

y

σσσσ

σσσσ

σσσσ

σσσσ

A B

CD

A’ B’

C’D’

La ley de Hooke tiene “truco”; se han relacionado tensiones y deformaciones en ejes principales de

tensión (o sea, donde los vectores tensión asociados a los planos perpendiculares a los ejes sólo poseen componente normal, de modo que las tensiones

tangenciales son nulas).

Pero hay planos en los que sí hay componente tangencial de tensión, y ha de establecerse su relación

con las deformaciones.

Para ello se supone un estado tensional plano en cortadura pura (σI=σ; σII=0; σIII=-σ) y se consideran unos ejes tales que σx=-σ; σy=σ; σz=0. Representado por estas dos figuras (antes y después de la deformación) a la izquierda.

Su tensor de tensiones es de segundo orden:

[ ]

−=

σσ

σ0

0

Y la deformación que provoca es evidente.A continuación se giran los ejes 45º, para obtener

tensiones tangenciales.

x’

y’

σσ

σσ

Con lo que su tensor de tensiones toma esta

forma:

[ ]

=

=

0

0

0

0

σσ

ττ

σ

Produciéndose ahora esta deformación:

O AA’

B

B’

x

y

α

Donde, en el transcurso de la deformación del punto A al punto A’, puede verse que el ángulo α pasa de π/2 a π/2 + γ (dos ángulos aumentan en la medida en

que otros dos disminuyen).

Como se parte de un cuadrado las deformaciones de las semidiagonales OA y OB son iguales y como esas deformaciones coinciden con los ejes girados pertenecen a tensiones principales, por lo que puede aplicarse la Ley de Hooke Generalizada:




x

y

O AA’

B

B’

x

y

α

La deformación OA será:

Y la deformación OB será:

( )νσ += 1E

( )νσ +−= 1E

Igualando las expresiones anteriores y simplificando:

( )γσγ += 12 E

Definiendo el módulo de elasticidad transversal como:

Y teniendo en cuenta que la tensión tangencial del tensor girado 45º es igual a la normal, la expresión inicial

puede reducirse a:

G

τγ =Expresión que relaciona la tensión tangencial con la deformación angular a través

del módulo de elasticidad transversal G definido hace un par de párrafos.

La determinación del módulo de elasticidad transversal podría realizarse intentando realizar un ensayo que genere un estado purode tensiones tangenciales. Pero es bastante difícil garantizar la creación de un estado tensional de ese tipo, de modo que la

expresión analítica es preferible.





1. Introducción.




5.5. Ley de comportamiento en unas coordenadas cualesquiera.Ley de comportamiento en unas coordenadas cualesquiera.








Ya se ha visto que en un sistema de coordenadas cualesquiera el tensor de tensiones está compuesto de tensiones normales y tangenciales y que para obtener las deformaciones han de aplicarse las

ecuaciones de la ley de Hooke generalizada para las tensiones normales y la que relaciona las tensiones tangenciales con la deformación angular para las

deformaciones tangenciales:

Este conjunto de ecuaciones constituyen la Ley de Hooke generalizada para un sistema de ejes cualesquiera.

A partir de ellas resulta posible establecer la relación inversa, es decir, la que hace posible determinar tensiones en función de deformaciones.

La suma de las tres componentes de las deformaciones normales representa el incremento

unitario de volumen:

( ) ( )( )

( )K

I

E

IE

e zyxzyxzyx

321

21

11 =−=

=++−++=++=

υ

σσσυσσσεεε

( )υ213 −= E

KExpresión que puede simplificarse notablemente si

se define el coeficiente K (módulo de rigidez volumétrica) del siguiente modo:

Que representa la oposición de un sólido deformable a un cambio de volumen.

Introduciendo una nueva constante elástica (λ) pueden transformarse las expresiones de la ley de Hooke en ejes cualesquiera (p. ej. la primera):

( )( ) ( ) ( )( )

( )( )υυυλ

υυυε

υυυε

υσυυσσσσυυσσε

211

2111111

1111

−+⋅=

−+⋅+

+=

+⋅+

+=⇒⋅−+=++−+=

Edonde

EEI

EEI

EE xxxxzyxxxx

con lo que ya se han obtenido 5 ctes. elásticas.

A partir de la definición de λpueden escribirse, en forma

simplificada, las ecuaciones que permiten obtener alas tensiones en función de las deformaciones.




Son las ECUACIONES DE LAMÉ: Por otra parte, el estudio de la Ley de Comportamiento (tanto en su versión Hooke como en Lamé) permite

extraer tres importantes conclusiones para la elasticidad plana:

1.- Un estado plano de tensiones (σz=0; τxz=0; τyz=0) no implica estado plano de deformaciones. Entonces:

2.- Un estado plano de deformaciones (εz=0; γxz=0: γyz=0) no implica estado plano de tensiones. De modo

que:

3.- Y para que coincida un estado plano en tensiones y en deformaciones debe ocurrir:

Circunstancia que identifica el estado de “cortadura pura”.

( )yxz Eσσυε +−=

ez ⋅= λσ

00

00

=+=⇒=

=+⇒=

yxz

yxz

e εεσσσε

Las cinco constantes que se han inducido a lo largo deLas cinco constantes que se han inducido a lo largo deLas cinco constantes que se han inducido a lo largo deLas cinco constantes que se han inducido a lo largo deeste apartado pueden ser acotadas a través deleste apartado pueden ser acotadas a través deleste apartado pueden ser acotadas a través deleste apartado pueden ser acotadas a través del

comportamiento de los materiales:comportamiento de los materiales:comportamiento de los materiales:comportamiento de los materiales:

-Si E≥0: Un sólido sometido a una tensión normal positivasufre siempre una deformación normal positiva. si de

tracciona una barra ésta aumenta su longitud,no la disminuye.

-Si ν≥0: Si actúa una tensión normal positiva que estira enesa dirección, se produce un acortamiento en la

dirección transversal.- Si K≥0: Un sólido sometido a presión siempre disminuye

su volumen.-Si K=œ y v=1/2 entonces se trata de un sólido

incompresible.-Si G≥0: Una tensión tangencial positiva siempre provoca

una deformación angular positiva.

Algunos valores de E, σe y σr





1. Introducción.





6.6. El problema elástico. (condiciones de contorno)El problema elástico. (condiciones de contorno)







F(x,y,z) u(x,y,z)

σσσσ(x,y,z)

compatibilidadcompatibilidad3D3D

equilibrioequilibrio

comportamiento

εεεε(x,y,z)

Obtenida la ley de comportamiento se ha cerrado el problema elástico.

Pueden obtenerse los desplazamientos en función de las solicitaciones.

Matemáticamente se dispone de un sistema de 15 ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con 15 incógnitas (3 de equilibrio interno, 6 de compatibilidad, y otras 6 de comportamiento).

Pero ese sistema necesita, para su resolución, de la aplicación de unas condiciones de contorno.

Las condiciones de contorno son una serie de valores conocidos de determinadas variables del problema, o de alguna relación entre éstas, en los

puntos de contorno del sólido elástico.

En particular, las variables que se pueden conocer son las fuerzas aplicadas en los puntos del

contorno y los desplazamientos.

LAS CONDICIONES DE CONTORNO PUEDEN SER DE TRES TIPOS:

1.- CONDICIONES DE CONTORNO EN TENSIONES.

Situación que se da en los casos en los que se conoce la fuerza aplicada en los puntos del contorno. Un caso típico es el de un recipiente sometido a la presión de

un fluído.

2.- CONDICIONES DE CONTORNO EN DESPLAZAMIENTOS.

Situación que se produce en los casos en los que el desplazamiento del contorno del sólido viene impuesto

(ej. un empotramiento)

3.- CONDICIONES DE CONTORNO MIXTAS.

Cuando es posible aplicar una fuerza en una dirección y forzar el movimiento en otra (ej. un apoyo elástico en

el que se conoce la relación entre fuerza y desplazamiento.





1. Introducción.





6. El problema elástico. (condiciones de contorno)

7.7. El problema térmico.El problema térmico.






Es sabido que las variaciones de temperatura provocan cambios de tamaño del sólido.

siendo α el coeficiente de dilatación*

En el caso de que el sólido no pueda dilatar o contraer libremente esos desplazamientos generarán tensiones

en el sólido.

*por ejemplo para el acero es de 12·10-6 cm-1

El incremento de temperatura se traduce en una deformación en el sólido, que se produce en las tres

direcciones del espacio:

Lo cual implica la existencia del correspondiente tensor de deformación:

[ ]

∆∆

∆=

T

T

T

αα

αε

00

00

00

Situación que se produce en un sólido en el que sólo actúa el efecto de la temperatura y ésta es constante en todo el dominio, no estando limitada la expansión del mismo.

Si la distribución de temperatura no es lineal ha de aparecer una distribución de tensiones tal que genere unas deformaciones para que la suma total de deformaciones sea compatible (ej. soldadura).

Si se restinge el movimiento del sólido tiene que aparecer una tensión que impida esa deformación ya definida (la que

alcanzaría el sólido si dilatara libremente).

Como la deformación es εx=α∆Т, la tensión que la anula será σx=-Eα∆Т.

También aparece la correspondiente deformación transversal: εy=εz=να∆Т





1. Introducción.







8.8. Energía de deformación.Energía de deformación.





El trabajo se obtiene, matemáticamente, de integrar la fuerza por el desplazamiento. O sea que es el área del triángulo que determina la recta que relaciona el desplazamiento con fuerza aplicada al sólido. De ahí el ½ de la fórmula escrita encima del gráfico, arriba a la derecha. Su desarrollo para un volúmen determinado de sólido es

esta expresión llamada potencial Interno.

Lo que se puede discutir aquí es que la recta del gráfico suele ser curva (se ha visto al principio del capítulo), pero la simplificación es admisibe. Fin de la discusión.

Al aplicar un sistema de fuerzas exteriores a un sólido se produce un determinado campo de desplazamientos.

Dicho de otro modo, cuando cargamos la barra en el ensayo de tracción ésta se extira. Esto no es discutible.

Esas fuerzas externas aplicadas sobre el sólido generan un TRABAJO. (Recuérdese que trabajo es Fuerza por Distancia.)

Esto tampoco es discutible.

Para que se mantenga el equilibrio interno del sólido, las fuerzas internas (aquellas de cohesión intermolecular) han de realizar el

mismo TRABAJO.

Esto se puede discutir, pero es perder el tiempo.

Ese trabajo se convierte en calor, energía cinética y energía potencial

Esto, como tiene que ver con la termodinámica, sí que da para discutir un buen rato...

En cualquier caso, lo que a nosotros nos importa es que esa energía que le hemos aplicado al material y que él “almacena” para mantener su equilibrio interno, es la que el material va a utilizar para recuperar la posición cuando cese el efecto de la fuerza. Esa energía, sea la que sea, es la que lo convierte en un sólido elástico y es la que el material

“devuelve” cuando recorre la gráfica de tensión/deformación en sentido inverso.

De todos modos, si se cumple el principio de “aplicación lenta de las cargas”, la generación de calor es despreciable, lo mismo que la energía cinética, con lo que todo el trabajo es energía potencial, de ahí el nombre “potencial interno”.





1. Introducción.








9.9. Principio de SaintPrincipio de Saint--VenantVenant




Mecánicamenteequivalentes

Zona en la que la soluciónes diferente

Se trata de algo a medio camino entre la elasticidad y la resistenica de materiales.

Su definición es perfectamente válida en el estudio de la elasticidad, aunque su aplicación más importante se llevará a cabo a lo largo de

la resistencia de materiales.

Su importancia es tal que gracias a él es posible calcular la mayoría de los elementos

estructurales reales.

“A una determinada distancia de la aplicación de la carga, que debe ser superior a la magnitud

característica de esa zona de aplicación, las tensiones, deformaciones y desplazamientos, no dependen de la distribución de cargas sino de la fuerza resultante y del momento resultante de esa distribución de cargas.

otro ejemplo: lo que ocurre justo en el área de contacto de los dos carriles de la vía es muuuuy complicado de calcular, pero si nos alejamos un poquito de ese punto el cálculo es infinitamente más simple y el resultado no difiere casi nada.

Es muy importante porque en muchos casos no se conoce la distribución de cargas exacta,

pero sí su resultante.

En otros casos es mucho más fácil trbajar con un sistema de cargas estáticamente

equivalentes que con el sistema de cargas real

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CAPÍTULO 4: LEY DE COMPORTAMIENTO · BARRA PRISMATICA Presenta la forma de la figura, se sujeta mediante mordazas a la máquina de ensayo y se mide su alargamiento y la fuerza a