Capítulo 4 Probabilidad REGLAS DE PROBABILIDAD · 4.1 - 24 La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, que se selecciona al azar, sobreviva el año es de 99.186%, según

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REGLAS DE PROBABILIDAD

Capítulo 4

Probabilidad


Un evento compuesto es cualquier evento que combina 2 o más eventos simples.

Ejemplo: Al lanzar un dado justo de 6 caras, ¿cuál es

la probabilidad de obtener un 2 o un 5?

Evento Compuesto

Notación

P(A ó B) = probabilidad de que , en una sóla repetición de un experimento, ocurre el evento A o el evento B o ambos eventos. (o inclusivo, también 𝑨 ∪ 𝑩)


Dos eventos son disjuntos o mutuamente excluyentes

si no tienen resultados en común.

Eventos mutuamente excluyentes son eventos que no pueden ocurrir a la misma vez.

5-3

Ejemplo:

Eventos mutuamente excluyentes

Se realiza un experimento en el cual el espacio

muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}.

Sea E = {2, 4, 5, 7}, F = { 6, 7, 9, 12} y G = {2, 3, 4}

¿Son los eventos E y F mutuamente excluyentes?

Solucion:


1. Se tiran dos dados.

A = “La suma de las caras sea par.”

B = “La suma de las caras sea un número

divisible entre 3”

2. Se tiene una paquete de barajas americanas

( 52 cartas).

A = “sacar una Reina”

B = “sacar una A”

3. Se tiene una paquete de dulces de chocolate

M&M que contiene dulces de color rojo, azul,

amarillo, verde, anaranjado y marrón.

A = “sacar un dulce rojo”

B = “sacar un dulce azul”

5-4

Ejemplo: Indicar si los siguientes eventos son

mutuamente excluyentes o no.


Los Diagramas de Venn son utilizados para representar eventos como circulos encerrados en un rectángulo. El rectángulo representa el espacio muestral y cada círculo representa un evento.

5-5

Los Diagramas de Venn


5-6

Se selecciona aleatoriamente chapas que están enumeradas del 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. E = “elegir una chapa que tiene un número menor o igual a 2” F = “elegir una chapa que tiene un un número mayor o igual a 8”. a) Construir un diagrama de Venn para la situación. b) Determinar la probabilidad de cada evento.

Ejemplo:


Eventos mutuamente excluyentes

Eventos A y B son disyuntos (o

mutuamente excluyentes) si la

intersección de su diagrama de Venn está

vacía.

Diagrama de Venn Diagram para

eventos que NO son disyuntos

Diagrama de Venn Diagram para

eventos que SON disyuntos o

mutuamente excluyentes


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Regla de suma para eventos mutuamente excluyentes

Si E y F son eventos mutuamente excluyentes, entonces 𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹).

Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹)

La regla de suma para eventos disyuntos se puede extender para más de dos eventos. En general, si E,F,G … son eventos mutuamente excluyentes, entonces

𝑃 𝐸 ó 𝐹 ó 𝐺 ó … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯ 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 ∪ 𝐺 ∪ … = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) +𝑃 𝐺 + ⋯


Número de

habitaciones en

una unidad de

vivienda

Probabilidad

Una 0.010

Dos 0.032

Tres 0.093

Cuartro 0.176

Cinco 0.219

Seis 0.189

Siete 0.122

Ocho 0.079

9 or más 0.080

(a) ¿Cuál es la probabilidad de

que una unidad de vivienda

seleccionada al azar tenga dos o tres habitaciones?


EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos

El modelo de probabilidad de

la derecha muestra la

distribución del número de

habitaciones en unidades de

vivienda en los Estados Unidos.


(b) ¿Cuál es la

probabilidad de que una

unidad de vivienda

seleccionada al azar

tenga no más de tres habitaciones?


EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)

Número de

habitaciones en

una unidad de

vivienda

Probabilidad

Una 0.010

Dos 0.032

Tres 0.093

Cuartro 0.176

Cinco 0.219

Seis 0.189

Siete 0.122

Ocho 0.079

9 or más 0.080


(c) ¿Cuál es la

probabilidad de que una

unidad de vivienda

seleccionada al azar

tenga a lo más ocho habitaciones?

5-11

EJEMPLO Regla de suma para eventos disyuntos (cont.)

Número de

habitaciones en

una unidad de

vivienda

Probabilidad

Una 0.010

Dos 0.032

Tres 0.093

Cuartro 0.176

Cinco 0.219

Seis 0.189

Siete 0.122

Ocho 0.079

9 or más 0.080


(a) Si una persona es

seleccionada al azar,

encontrar la probabilidad de

elegir a alguien que es del grupo A o B.

5-12

EJEMPLO (continuación)

La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos

y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.

A = Persona es del grupo A B = Persona es de tipo B.


(b) Si una persona es



elegir a alguien que es de tipo Rh-.

5-13

EJEMPLO (continuación)

La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos y tipos de Rh

para 100 personas típicas. Estos valores pueden variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.

E = Persona es de tipo Rh-.


Complemento de un evento Sea S el espacio muestral de un experimento probabilístico. Sea E un evento. • El complemento de E, que se denota 𝐸𝑐o 𝐸 , es el

evento que contiene todos los elementos que no están en E.

• El evento 𝐸 ocurre si E no ocurre. • La unión de dos eventos complementarios da el

espacio muestral. • El evento 𝐸 y el evento E son mutuamente

excluyentes. 5-14

Complemento de un evento


Regla de los Complementos

Si E representa un evento y EC representa el complemento de E, entonces

P(EC) = 1 – P(E) y

P(E) = 1 – P(EC) y

P(E) + P(EC) = 1

5-15


EJEMPLO Construya el complemento de E

(a) E: “Obtener un múltiplo de 5 al tirar un dado justo

de 6 caras "

(b) E: “Escoger, al azar, una canica azul de una bolsa que

contiene canicas azules, verdes y rojos."

(c) E: “Al girar la ruleta, se detiene en un número par.”

5-16


¿Cuál es la probabilidad

de que la ruleta elija un

color diferente al verde?

P(E ) = 1 - P(Ec)

EJEMPLO

5-17

E = Elegir un color diferente al

verde.

Ec = Elegir el color verde.


Según la Asociación Americana de Medicina Veterinaria, el

31.6% de los hogares estadounidenses poseen un perro.

¿Cuál es la probabilidad de que un hogar seleccionado al

azar no es propietaria de un perro?

Solución:

EJEMPLO Ilustrar la Regla del Complemento

5-18


Si una persona es



elegir a alguien que NO es del tipo O con Rh+.

5-19

EJEMPLO

La siguiente tabla resume los grupos sanguíneos

y tipos de Rh para 100 personas típicas. Estos valores pueden

variar en diferentes regiones de acuerdo al origen étnico de la población.

E = Persona es de tipo O con Rh+.


Dos eventos E y F son independientes si la

ocurrencia del evento E en un experimento de

probabilidad no afecta a la probabilidad de que

ocurra el evento F.

Dos sucesos son dependientes si la ocurrencia

del evento E en un experimento de probabilidad

afecta a la probabilidad de que ocurra el evento F.

5-20

Eventos dependientes e independientes


EJEMPLO ¿Independiente o No?

(a) Se elige una carta de una baraja de 52 cartas y luego se tira un dado.

E: “Elegir un corazón" F: “Tirar un número par"

(b) Se eligen al azar dos individuos de 40 años de edad que viven en Puerto Rico.

E: “El individuo 1 sobrevive al año" F: "El individuo 2 sobrevive al año"

(c) Una caja contiene 4 canicas rojas y 3 canicas verdes. Se remueve una primera canica de la caja y no se reemplaza. Se remueve una segunda canica.

E: “Elegir una canica roja la primer vez." F: “Elegir una canica verde la segunda vez."

5-21


5-22

Regla de multiplicación para eventos independientes

Si E y F son eventos independientes, entonces 𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹).

Esto también se puede escribir: 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹)

La regla de la multiplicación para eventos independientes se puede extender para n eventos. En general, si E,F,G … son eventos independientes, entonces

𝑃 𝐸 𝑦 𝐹 𝑦 𝐺 𝑦 … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ … 𝑃 𝐸 ∩ 𝐹 ∩ 𝐺 ∩ … = 𝑃 𝐸 ∙ 𝑃(𝐹) ∙ 𝑃 𝐺 ∙ …


Un fabricante de equipo de ejercicio sabe que el 10% de sus

productos son defectuosos. También sabe que, en realidad, sólo

el 30% de sus clientes utilizan el equipo en el primer año después

de su adquisición. Si hay una garantía de un año sobre el equipo, ¿qué proporción de los clientes harán un reclamación válida?

EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes

Solución: E: Equipo sale defectuoso. F: El equipo se usa durante del año de comprado.

Asumiremos que E y F son independientes.

5-23


La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, que se selecciona al azar, sobreviva el año es de 99.186%, según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que dos mujeres de 60 años de edad seleccionadas al azar sobrevivan el año?

EJEMPLO Computar Probabilidad para Eventos Independientes

Solución: La sobrevivencia de la primera mujer es independiente de la segunda por lo tanto.

5-24


La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad

seleccionada al azar va a sobrevivir el año es de 99.186%,

según el Informe Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47,

N º 28. ¿Cuál es la probabilidad de que de cuatro mujeres

de 60 años de edad, seleccionadas al azar, ninguna

sobrevivan al año?

EJEMPLO Regla de Multiplicación para eventos independientes

5-25

Solución


La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, seleccionada

al azar, va a sobrevivir el año es de 99.186%, según el Informe

Nacional de Estadísticas Vitales, vol. 47, N º 28.

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las 500 mujeres de 60 años, seleccionadas al azar, muera en el transcurso del año?

Solución:

EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase “al menos”

5-26


5-27

Regla general de suma

La probabilidad de que ocurra un evento E ó un evento F

𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)

Esto también se puede escribir:

𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 ∪ 𝑃(𝐹) ∩ P( E y F)

Note que cuando E y F son mutuamente excluyentes, P( E y F)=0 y tenemos la primera fórmula que estudiamos.


5-28

Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado es 2” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E o F) 1. Utilizando la el método clásico de calcular probabilidad

EJEMPLO Ilustrar la regla general de la suma


5-29

Suponer que se lanzan un par de dados. Sea E = “la cara superior del primer dado muestra 2 puntos” y F = “ la suma de las caras de los dados es menor o igual a 5” Determinar P(E ó F) (2) Utilizando la regla general de la suma de probabilidades

EJEMPLO Ilustrar la regla general de la suma (cont.)


Una carta es elegida al azar de un juego de

baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y

luego se elige una segunda tarjeta. ¿Cuál es

la probabilidad de elegir una J y luego un diamante?

Solución:

EJEMPLO

5-30


Si se selecciona al azar una

muerte de peatón, aproximar

la probabilidad de

que el conductor estaba ebrio

o el peatón no estaba ebrio, a dos lugares decimales .

5-31

EJEMPLO

La siguiente tabla resume los resultados de 985 muertes de

peatones que fueron causadas por accidentes (basado en datos de la National Highway Traffic Safety Administration)

E = El conductor estaba ebrio.

F = El peatón NO estaba ebrio

P(E o F) = P(E)+ P(F)-P(EyF)


La probabilidad condicional : • se denota P(F | E) y se lee “la probabilidad

de un evento F dado el evento E”. • Es la probabilidad de que un event F ocurra

dado que el evento E haya ocurrido.

5-32

Probabilidad condicional


EJEMPLO Probabilidad Condicional

Supongamos que se tira un dado de seis caras pero

se nos dice que el resultado será un número par. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 4?

Queremos calcular: P(obtener un 4|saldrá un número par) Noten que el espacio muestral se reduce al tener la información de que el número que va a salir es par.

S = {2, 4, 6} P(obtener un 4|saldrá un número par) =

5-33

1

3


• Si E y F son dos eventos

5-34

Regla para calcular probabilidad condicional

𝑃 𝐹 𝐸 =𝑁(𝐸𝑦𝐹)

𝑁(𝐸)=

𝑃(𝐸𝑦𝐹)

𝑃(𝐸)

𝑃 𝐸𝑦𝐹 = 𝑃 𝐸 ∗ 𝑃 𝐹 𝐸


Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son

zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y

sin reemplazo.

(a) Encuentre la probabilidad de que ambas personas

son zurdas.

Solución: Sea E= La primer persona seleccionada es zurda. Sea F = La segunda persona seleccionada es zurda. Los eventos NO son independientes. P(E y F) = P(E) P(F|E)

5-35


= 120

1000

119

999

= 0.0143


Una carta es elegida al azar de un juego de

baraja de 52 cartas. Se devuelve la carta y

luego se elige una segunda tarjeta. ¿Cuál es

la probabilidad de elegir una J ó un diamante?

Solución: ¿P(“J” ó “♦” ) ? Los eventos son mutuamente excluyentes.

EJEMPLO Computar probabilidades que contienen la frase “al menos”

5-36

𝑃 𝐸 𝑜 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)

P “J” =

P(“♦”) =

P(“J” y “♦” )

4

52

13

52

=1

52

= 𝑃 𝐸 + 𝑃(𝐹) – P( E y F)

=4

52 +

13

52 −

1

52

=16

52 =

4

13


Ejemplo: En una muestra de 1000 personas, 120 son

zurdos. Dos personas aleatorias se seleccionan al azar y

sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que al menos

una de las dos personas sea zurda.

Solución: Sea E= Al menos una persona seleccionada es zurda.

5-37




Una encuesta fue realizada por la Organización “Gallup” en el 2008 en la

que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres

afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los

resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla.

Cree en

Dios

Cree en un espíritu

universal

No cree en Dios ni en un espíritu

universal

Este 204 36 15

Norte Central

212 29 13

Sur 219 26 9

Oeste 152 76 26

5-38

(a) ¿Cuál es la probabilidad

de que un adulto

estadounidense que vive

en el Este y que es

seleccionado

aleatoriamente, cree en

Dios?

Sea E= Adulto que vive en el este. Sea F = Adulto que cree en Dios


EJEMPLO Probabilidad Condicional (continuación)

Una encuesta fue realizada por la Organización “Gallup” en el 2008 en la

que se preguntó a 1,017 adultos estadounidenses, cuál de tres

afirmaciones se acercaba más a su creencia acerca de Dios. Los

resultados de la encuesta, según la región del país, se dan en la siguiente tabla.

Cree en

Dios

Cree en un espíritu

universal

No cree en Dios ni en un espíritu

universal

Este 204 36 15

Norte Central

212 29 13

Sur 219 26 9

Oeste 152 76 26

5-39

b) ¿Cuál es la probabilidad

de que un adulto

estadounidense que cree en

Dios y que es seleccionado

aleatoriamente viva en el

Este?

Sea E= Adulto que cree en Dios. Sea F = Adulto que vive en el este.



Supongamos que cinco fusibles buenos y dos defectuosos

se mezclan. Para encontrar los fusibles defectuosos, se

prueban uno por uno, al azar y sin reemplazarlos. ¿Cuál es

el probabilidad de que encontremos los defectuosos en las dos primeras pruebas?

5-40

Sea D1= Se selecciona un fusible defectuoso en el primer intento. Sea D2 = Se selecciona un fusible defectuoso en el segundo intento.

𝑃(𝐷1 𝑦 𝐷2) = 𝑃 𝐷1 𝑃 𝐷2 𝐷1)

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Capítulo 4 Probabilidad REGLAS DE PROBABILIDAD · 4.1 - 24 La probabilidad de que una mujer de 60 años de edad, que se selecciona al azar, sobreviva el año es de 99.186%, según