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CAPÍTULO 5 INTERÉS COMPUESTO
5.1 INTRODUCCIÓN
En las operaciones financieras intervienen de manera directa los factores dinero y
tiempo, los mismo que se asocian con los negocios.
En periodos cortos se utiliza generalmente el interés simple, donde el capital que
generan los intereses que se van generando se incremental al capital original en
cada periodo establecido, que a su vez genera un nuevo interés adicional para el
siguiente período (lapso de tiempo).
5.2 CONCEPTO Cuando los intereses se calculan a intervalos de tiempo (períodos) estos intereses
se agregan al capital y este nuevo monto genera interés, entonces se dice que es
interés compuesto.
5.3 PERIODO DE CAPITALIZACIÓN El interés puede ser convertido en capital en forma anual, semestral, trimestral,
mensual, etc. Dicho lapso de tiempo o periodo se denomina “periodo de
capitalización”. Al número de veces que el interés se capitaliza durante un año se
le denomina frecuencia de conversión.
EJEMPLO 1
¿Cuál es la frecuencia de conversión de un depósito bancario que se realiza al
6% de interés con capitalización trimestral?
Solución
UN AÑO 12 MESES
UN TRIMESTRE 3 MESES = = 4
La frecuencia de conversión es igual a 4. el periodo de capitalización es trimestral.
5.4 TASA DE INTERÉS COMPUESTOLa tasa de interés se expresa generalmente en forma anual y si es menor se
menciona su periodo de capitalización
Ejemplo 2
36% anual que se capitaliza mensualmente
24% anual que se capitaliza semestralmente
18% anual que se capitaliza trimestralmente
Si el interés se expresa sin mencionar su periodo de capitalización, se entiende
que es anual.
Para resolver un problema de interés compuesto, cuando el período de
capitalización es menor a un año: la taza de interés anual debe convertirse a la
tasa que corresponde al período de capitalización establecida. Es decir, si el
interés se capitaliza semestralmente, la tasa de interés debe transformarse a
interés semestral, si es mensual a interés mensual, etc.
Notación
S= valor final o monto
C= Valor actual o presente
n= Número de periodos (tiempo)
i= tasa de interés
5.5 VALOR FINAL A INTERÉS COMPUESTO Es el monto que se obtiene al incrementar al capital original, el interés compuesto
en cada periodo de capitalización.
Partiendo de la fórmula de interés simple
S = C (1 + n * i)
Donde n= 1(un periodo)
Al final del primer herido
Para el segundo periodo
Para el tercer periodo
Asi sucesivamente
Para el n-ésimo periodo.
S = C (1 + i)n
Relación capital – tiempo (por periodo)
EJEMPLO 3
Se deposita Bs. 6.000 en un banco que reconce una tasa de interés del 36%
anual capitalizable mensualmente ¿Cuál será el monto acumulado en tres años
C = 6.000
n = 3 años = 36 meses
i = ******** mensual
S = C (1 + i)n
S = 6.000 (1+ 0.03)36
S = 6.000 (2.988278)
S = C (1 + i)
S = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)2
S = C (1 + i) (1 + i) = C (1 + i)3
S = C (1 + i)n
*** = 0. *** mensual
S =
S = 17.389.67
EJEMPLO 4
Se deposita s. 30.000 en un banco durante 2 años
a) Hallar el valor final a la tasa de interés simple del 24% anual.
b) Hallar el valor final a la tasa de interés del 24% anual capitalizable
mensualmente.
c) ¿Cuál es su mayor?
SOLUCIÓN
a) C = 30.000
n = 2 años
i = 0.24 anual
S =
b) C = 30.000
n = 2 años = 24 meses
i = 0.24 / 12 = 0.02 mensual
S =
S = C (1 + n * i)
S = 30.000 (1 + (2) (0.24) )S = 30.000 (1.48)
S = 44.400
S = C (1 + i)n
S = 30.000 (1+ 0.02)24
S = 30.000 (1.608437)
S = 48.253.11
c) El Valor final obtenido a interés compuesto, es mayor que el obtenido a interés
simple.
EJEMPLO 5
Determine el importe compuesto (monto) y el interés compuesto de un depósito de
Bs. 12.000 durante 2 años y 6 meses, al interés del 8% capitalizable en forma
trimestral.
SOLUCIÓN
b) C = 12.000
n = 2 años, 6 meses = 10 trimestres
i = 0.08 / 4 = 0.02 trimestres
S = (importe compuesto)
I = (interés compuesto)
S = C (1 + i)n
S = 12.000 (1+ 0.02)10
S = 12.000 (1,219894)
S = 14.627.93
El interés compuesto es 14.627.93
Interes compuesto = importe
compuesto – principal
I = 14.727.93 – 12.000
I = 2.627.93
El interés compuesto es 2.627.93
Monto con periodo fraccionario.En el cálculo del monto a interés compuesto en general se consideran periodos
enteros, sin embargo existen situaciones que requieren considerar periodos
fraccionarios.
Cuando el periodo n es fraccionario, el problema puede resolverse de dos formas.
La primera reemplazando en la formula de interés compuesto el exponente n con
el dato fraccionario o decimal.
La segunda forma calculando el valor final o monto, primero por el tiempo o
periodo entero y finalmente calculando el valor final por la parte del tiempo o
periodo fraccionario a interés simple.
EJEMPLO 6Calcular el valor final de un capital de Bs. 10.000 a interés compuesto durante 18
meses y 15 días a la tasa de interés del 18% capitalizable mensualmente.
SOLUCIÓN.-Primera forma:
Segunda forma:Calcular el monto a interés compuesto por los 18 meses.
Calcular el monto a interés simple por los 15 días
La segunda forma de cálculo se utiliza con más frecuencia en las operaciones
financieras y actividades comerciales.
Monto cuando la tasa de interés cambia.En la mayoría de las operaciones financieras las tasas de interés son variables. Es
decir, las tasas de interés aumentan o disminuyen según va transcurriendo el
tiempo o periodo. En estos casos el problema se resuelve por partes, primero
calculando a la tasa inicial y segundo por la nueva tasa de interés vigente y así
sucesivamente.
Ejemplo 7Se invierte Bs. 4.000 por un año a la tasa del 18% capitalizable mensualmente.
Determinar el monto al final del año, si transcurridos 4 meses la tasa se
incrementó al 24% capitalizable mensualmente.
Solución.
Depósito adicional o retiro realizado Si en el transcurso del tiempo o periodo de duración de un objeto se efectúa un
deposito adicional o se realiza un retiro parcial, el problema se divide en partes.
Cada vez que se realiza un depósito o retiro parcial, tiene que ser añadido o
disminuido al importe compuesto en el momento en que se realiza dicha
operación.
Ejemplo 8.-En la fecha el Sr. Montenegro deposita Bs. 6.000 en un banco que paga el 12% de
interés con capitalización mensual, transcurridos 4 meses se efectúa otro depósito
de Bs. 4.000.
Hallar el importe que tendrá en el banco de un año de haber realizado el primer
depósito.
Solución.
Primera ParteSe capitaliza por los 4 primeros meses
c = 6.000 s = C(1+I)n
n = 4 meses s = 6.000(1+0.01)4
mensual s= 6.243,62
S =
Al importe capitalizado de Bs. 6.243,62 se añade el depósito de Bs. 4.000. El
nuevo importe obtenido se capitaliza por los siguientes 8 meses.
Segunda parte c= 10.243, 62 s = 10.243,62 (1+0,01)8
n = 8 meses s = 11.092,37
mensual
S =
Ejemplo 9Se deposita Bs. 15.000 en un banco que paga el 18% de interés con
capitalización bimestral.
Pasado 6 meses se retira Bs. 5.000. Cuanto habrá en el banco al cabo del
décimo mes?
Solución.
Primero se determina el monto por 6 meses.
c = 15.000 s = C(1+I)n
n = 6 meses = 3 bimestres s = 15.000 (1+0,03)3
S= 16.390,90
bimestres
Segundo se disminuye el retiro de Bs. 5.000 y el saldo se capitaliza por 4 meses.
c = 11.390,90 s = 11.390.90 (1+0,03)2
n = 4 meses = 2 bimestres s = 11.390,90 (1,0609)
i = 0,03 bimestres s = 12.084,60
s =
Los problemas anteriores también pueden resolverse mediante otros métodos.
5.6. RELACIÓN ENTRE INTERÉS SIMPLE E INTERÉS COMPUESTOEl interés compuesto crece más rápidamente que el interés simple y existe una
relación entre el interés simple e interés compuesto.
Interés simple Interés compuesto
S = C (1+n. In) s= c (1+ic)n
Igualando los segundos miembros
C (1+n. In) = c (1+ic)n
Despejando la tasa de interés simple is
Gráfica de interés simple e interés compuestoPara representar la gráfica del interés simple e interés compuesto se considera
un capital de Bs. 1.000 y una tasa de interés del 40%.
Tiempo (Período) Interés simple Interés compueston = 1
n = 2
n = 3
n = 4
n = 5
S =1.400
S =1.800
S =1.200
S =2.600
S =3.000
S =1.400
S =1.960
S =2.744
S =3.841,60
S =35.378,24
5.7. TASA NOMINAL Y TASA EFECTIVA La tasa establecida para una operación financiera se conoce como tasa nominal.
Si la tasa de interés se capitaliza en forma semestral, trimestral o mensual, la
cantidad efectivamente pagada o ganada es mayor que si se determina en forma
anual. En estos casos se puede determinar una tasa efectiva anual.
EJEMPLO 10.Si se presta un capital al 12% capitalizable trimestralmente, el 12% representa la
tasa nominal anual, la tasa efectiva queda expresada por los intereses que
genera los Bs. 100 en un año, bajo las condiciones establecidas en el
préstamo.
SOLUCIÓN
En un año Bs. 100 genera un interés de Bs. 12,55
Es decir, la tasa efectiva es 12,55%
5.8. TASAS EQUIVALENTES Dos tasas son equivalentes cuando en condiciones diferentes producen la
misma tasa efectiva anual.
Para comprender mejor utilizaremos la siguiente simbología:
i = Tasa efectiva anual
j = Tasa nominal anual
m = número de capitalizaciones al año
Relación entre la tasa nominal y efectiva Se ha establecido que ambas tasas son equivalentes si producen el mismo
interés en un año.
El monto de 1 al interés efectivo anual es:
S = 1 + i
El monto de 1 a la tasa j con m capitalizaciones al año es:
Como estos montos son iguales, entonces podemos igualar los segundos
miembros.
Fórmula que permite calcular la tasa efectiva anual i, equivalente a una tasa
nominal j con m capitalizaciones al año.
Despejando j tendremos:
La fórmula general de interés compuesto podemos expresar en la forma
siguiente:
Ejemplo 11Calcular el valor final de un capital invertido de Bs. 20.000 al interés compuesto
del 18% capitalizable semestralmente durante 6 años.
Ejemplo 12Hallar la tasa efectiva i equivalente a una tasa nominal de 8% convertible
mensualmente.
Solución:
Ejemplo 13¿Qué tasa capitalizable semestralmente es equivalente al 10% capitalizable
trimestralmente?
Solución:
Elevando ambos miembros a la potencia ½
5.9 CALCULO DE TIEMPO.
Uno de los factores que interviene en créditos, ventas o compras a plazos
pagares, etc. Es el tiempo en el cálculo de interés compuesto el tiempo se
convierte a periodos de capitalización que pueden ser anula, semestral, trimestral,
bimestral, mensual, etc.
Para calcular el tiempo n, es necesario despejar de la fórmula principal (8)
aplicando propiedades de logaritmos.
Ejemplo 14¿En cuanto tiempo un depósito de Bs. 10.000 se convertirá en Bs. 14.509.46 a la
tasa del 18% capitalizable mensualmente?
Solución:
Ejemplo 15¿En cuánto tiempo se convertirá Bs. 6.200 en Bs. 7.253.13 a una tasa del 24%
capitalizable bimestralmente?
Solución:
5.10 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉSLas condiciones contractuales de una operación financiera o transacción en el
interés compuesto es la tasa nominal con periodo de capitalización. El periodo de
capitalización de la tasa de interés debe coincidir con el tiempo expresado en
número de periodos.
Para calcular la tasa de interés i, es necesario despejar de la formula principal (8),
aplicando propiedades de logaritmo.
Ejemplo 16¿A qué tasa de interés mensualmente un capital de Bs. 15.000 se convertirá en
Bs. 23.294.89 en un año y medio?
Solución:
5.11 CALCULO DEL VALOR PRESENTE.El valor actual o presente a interés compuesto de un determinado importe a fecha
futura, es el valor que representa en el momento a una tasa establecida.
También podemos expresar que es el valor actual, que a una tasa determinada
nos dará el valor final transcurrido el tiempo establecido.
En muchas operaciones comerciales, existe la necesidad de calcular el valor
actual de ciertos capitales con vencimientos futuros. Sin embargo, el valor final o
monto se puede actualizar a distintas fechas anteriores a la fecha de vencimiento.
S =c (1 + i)n
EJEMPLO 17 ¿Cuánto se debe depositar un banco si de desea obtener Bs. 11.406,09 dentro de
dos años a una tasa de interés del 18 % capitalizable bimestralmente?
S = 11.406.09
n = 2 años = 12 bimestres
i = 0.18 anual = 0.18 / 0.03 bimestres
C =
EJEMPLO 18 El señor Blanco desea hacer construir una vivienda que tiene un costo de Bs.
120.000 con la condición de pagar el 50 % al momento de suscribir el contrato de
construcción y el saldo dentro de 18 meses a la conclusión y entrega de la
vivienda ¿Cuánto debe depositar en este momento al banco para garantizar el
pago, si la tasa de interés es del 24% capitalizable mensualmente?
SOLUCIÓN
S = 60.000
n = 18 meses
i = 0.24 / 12 = 0.02 mensual
C =
Para garantizar el pago de la construcción, el señor Blanco debe depositar al
banco Bs. 42.009.56 importe que con los intereses en 18 meses se convertirá en
Bs. 60.000.
Ejemplo 19.-Una empresa financiera desea realizar una inversión de Bs. 25.000 para obtener
dentro de 3 años un ingreso de Bs. 60.000. Si se considera una inflación promedio
del 30% anual ¿Conviene realiza la inversión?
Solución.Se comparan los 25.000 que debe invertir en este momento con los 60.000 que se
espera recibir dentro de 3 años.
Para comparar es necesario que ambas cantidades sean equivalentes. Los 60.000
debemos actualizar al momento presente para tener la misma base o fecha de
comparación para luego dar una respuesta.
Los 60.000 que la empresa recibirá dentro de 3 años equivalen a 27.309.96
descontados la inflación. Este valor presente de los ingresos se compara con el
valor presente de la inversión que es de 25.000 y se constata que efectivamente
se tiene una utilidad de Bs. 2.309.96. por lo tanto conviene invertir.
5.13 ECUACIONES DE VALORES EQUIVALENTES
En las operaciones financieras es frecuente el cambio o modificación de un
conjunto de obligaciones por otro con diferentes condiciones en cuanto a pagos y
fechas, lo que conoce como ecuaciones de valores equivalentes.
Las ecuaciones de valores equivalentes surgen como consecuencias de comparar
valores diferentes en una fecha determinada, llamada también fecha focal.
Para resolver problemas mediante ecuaciones de valores equivalentes, se debe
determinar el valor que se pagará en una fecha elegida equivalente al valor del
conjunto de obligaciones que se vencen en diferentes fechas.
En interés compuesto el conjunto de obligaciones que son equivalentes en una
fecha son equivalentes en cualquier otra.
EJEMPLO 20 El señor Morales contrae dos obligaciones, el primero de Bs. 15.000 a tres años y
el segundo de Bs. 30.000 a 6 años plazo. Posteriormente acuerda con su acreedor
pagar toda la deuda con un único pago al final del cuarto año, a la tasa del 9%
capitalizable semestralmente, calcular el importe del pago único
EJEMPLO 21 Usted adquiere una maquinaria a crédito, bajo las siguientes condiciones. Pago al
contado Bs. 10.000 y tres pagos de Bs. 15.000, 20.000 y 25.000 que serán
pagados dentro de ½ año, un año y 1 ½ años respectivamente
Hallar el precio al contado de la maquinaria si la tasa de interés es del 15% con
capitalización bimestral
SOLUCIÓN
EJEMPLO 22
Una persona adeuda Bs. 80.000, importe que debe pagar ahora. El acreedor
acepta diferir la deuda para ser pagado con dos pagos iguales dentro de uno y dos
años respectivamente. Hallar el importe de los pagos si la tasa de interés es del
12% con capitalización semestral
Solución
A los dos pagos iguales desconocidos, los designaremos con x. capitalizamos
tanto la obligación como los dos pagos la fecha focal.
Valor final de 8.000 = valor final de x + x
8.000 (1 + 0.06)4 = x (1 + 0.06)2 + x
10.099.82 = 1.1236 * x + x
10.099.82 = 2.1236 * x
El importe de cada pago es de Bs. 4.755.99
EJEMPLO 23 El señor Blanco contrae obligaciones de Bs. 3.000, 4.000 y 6.000 que serán
pagados dentro de tres meses, seis meses y un año respectivamente.
Transcurridos tres meses el señor Blanco propone a su acreedor liquidar toda la
deuda con un pago único dentro de nueve meses de haber contraído las
obligaciones.
Hallar el importe del pago único si la tasa es del 18% convertible mensualmente.
SOLUCIÓN
PU = 3.000 (1 + 0.015)6 + 4.000 (1 + 0.015)3 + 6.000 (1 + 0.015)-3
PU = 3.280.33 + 4.182.71 + 5.737.90
PU = 13.200.94
EJEMPLO 24 Usted obtiene un préstamo de bs. 12.000 con intereses del 6% convertible
semestralmente, préstamo que debe pagar con tres cuotas, el primero de Bs.
4.000 dentro de un año, el segundo de Bs. 6.000 en dos años y el saldo en tres
años. Hallar el importe del tercer pago.
Solución:
Determinamos como fecha foca. El final del tercer año.
El préstamo capitalizado al tercer año debe ser igual a la suma de los pagos
parciales capitalizados al tercer año.
12.000 (1 + 0.03) 6 = 4.000 (1 + 0.03) 4 + 6.000 (1 + 0.03)2 + x
12.000 (1.194052) = 4.000 (1.125508) + 6.000 (1.0609) + x
14.328.62 = 4.502.03 + 6.365.40 + x
x = 3.461.19
PROBLEMAS RESUELTOS 1. Calcular el monto de un depósito de Bs. 60.000 por un año.
a) si la tasa del 36 % anual
b) si la tasa es del 36 % capitalizable mensualmente.
SOLUCIÓN
Interés simple
C = 60.000
n = 1 año
i = 0.36
S =
S = C (1 + n * i)
S = 60.000 (1 + 1(0.36))
S = 60.000 (1.36)
S = 81.600
Interés compuesto
n = 1 año
i = 0.36
S =
S = C (1 + n * i)
S = 60.000 (1 + 0.03)12
S = 85.545.65
2. Calcular el monto de un capital de Bs. 8.000 a interés compuesto por 6
años, al interés del 12% capitalizable bimestralmente.
SOLUCIÓN
C = 8.000
n = 6 años = 36 bimestres
i = 0.12 / 6 = 0.12 bimestres
S =
S = C (1 + i)n
S = 8.000 (1 + 0.02)36
S = 16.319.09
3. El señor Mendez obtuvo un préstamo de Bs. 15.000 el 1º de junio de 2005
al 6 % convertible semestralmente ¿Cuánto debe pagar el 1º de diciembre
de 2008?
SOLUCIÓN
C = 15.000
n = 7 semestres
i = 0.06 / 2
S =
S = C (1 + i)n
S = 15.000 (1 + 0.03)7
S = 16.319.09
4. Hallar el valor futuro de Bs. 5.000 y 20 días a la tasa de interés del 6%
capitalizable mensualmente.
SOLUCIÓN
Interés compuesto por 24 meses
C = 5.000
n = 24 meses
i = 0.06 / 12 mensual
S =
S = C (1 + i)n
S1 = 15.000 (1 + 0.03 / 12)24
S1 = 5.000 (1.12716)
S1 = 5.635.80
Interés simple por 20 días
C = 5.635.80
n = 20 días
S =
S = C (1 + n * i)
S = 5.635.80 (1 + 20 (0.06 / 360) S = 5.635.80 (1.1.00333)
S = 5.654.58
5. Hallar el monto de un depósito de Bs. 8.000 por seis años y 3 meses a la
tasa 24% capitalizable semestralmente.
Interés compuesto por 6 años
C = 8.000 S = C (1 + i)n
n = 6 años = 12 semestres
i = (0.24 / 2) = 0.12 semestral
S =
S1 = 8.000 (1 + 0.12)12
S1 = 8.000 (3.895976)
S1 = 31.167.81
Interés simple por 3 meses
C = 31.167.81
n = 3 meses
i = (0.24 / 2) = mensual
S =
S = C (1 + n * i)
S = 31.167.81 (1 + 3 (0.24 / 12)) S = 31.167.81 (1.06)
S = 33.037.88
6. Se abre una cuenta de ahorro con Bs. 10.000 al interés del 9 %
capitalizable bimestralmente. Dos años más tarde la tasa de interés se
incrementa al 12 % capitalizable bimestralmente hallar el importe
acumulado tres años después del cambio de la tasa de interés
Solución:
Cálculo del valor final por los tres últimos años.
7. Un depósito de Bs. 12.000 al 15% capitalizable semestralmente permanece
durante 6 años. Hallar el valor final si la tasa de interés bajo al 12%
capitalizable semestralmente durante los dos últimos años.
8. Una persona deposita Bs. 15.000 al 6% capitalizable trimestralmente, un
año más tarde retira Bs. 5.000 ¿Cuál será el monto que tendrá 2 años
después del retiro?
Solución:
9. Ocho meses después de haber depositado en un acuenta de ahorro Bs.
4.000 en un banco que abona el 8% capitalizable mensualmente, efectúa
un segundo depósito de Bs. 6.000 ¿Cuánto tendrá en la cuenta cuatro
meses después del segundo depósito?
Solución:
10. Hallar el interés simple equivalente al interés compuesto del 8%
capitalizable trimestralmente.
Solución:
11.Hallar la tasa efectiva i equivalente a una tasa nominal de 4 ½ %
convertible trimestralmente.
Solución:
12.Hallar la tasa capitalizable bimestralmente equivalente al 8% capitalizable
semestralmente.
Solución:
13.¿En qué tiempo un capital de Bs. 10.000 se convertirá en Bs. 10.816 al 8%
capitalizable semestralmente?
Solución:
14.¿En qué tiempo se duplica un capital depositado al 5 ½ % con
capitalización semestral?
Solución:
15.¿En cuanto tiempo reduce Bs. 1 su valor adquisitivo al 40%
a) ¿Si la inflación es del 50% anual?
b) ¿Si la inflación es del 10%
Solución: a)
b)
16.¿A qué tasa nominal convertible mensualmente, el importe de Bs. 12.000
se convertirá en Bs. 49.933.69 es seis años?
Solución:
17.Un capital se duplica en 35 bimestres ¿Cuál es la tasa de interés
compuesto capitalizable bimestralmente?
Solución:
18.Calcular el valor actual de Bs. 7.844.05 a pagar dentro de 3 años si la tasa
de interés aplicada es del 9% capitalizable bimestralmente.
Solución:
19.Un importadora de vehículos promociona su venta con las siguientes
alternativas: pago al contado Bs. 30.000 o a crédito con pago inicial de Bs.
15.000 y un pago de Bs. 18.000 a 2 años. Si la tasa de mercado es 8%
capitalizable trimestralmente ¿Cuál de las dos alternativas es más
favorable?
Solución:
Es la segunda opción el valor actual es: 15.000+15.362.83=30.362.83. Por lo tanto
la primera opción es la más conveniente por que se ahorra Bs. 362.83.
20.¿Cuánto debe invertir el señor Morales ahora al 6.4% convertible
trimestralmente para tener Bs. 12.000 en su cuenta dentro de ocho años?
Solución:
21.Considerando una tasa de rendimiento efectivo del 6%. Hallar el valor
presente de una deuda de Bs. 10.000 contratada con interés del 10%
convertible trimestralmente, pagadero en 6 años.
Solución:
Primero debemos hallar el valor final.
Segundo. Se halla el valor presente.
22.El Señor Méndez adquiere un televisor a crédito, bajo las siguientes
condiciones: cuota inicial Bs. 1.500 y dos cuotas de Bs. 800 y Bs. 700 a
cuatro y ocho meses respectivamente. Hallar el precio al contado, si la tasa
de interés es del 9% capitalizable bimestralmente.
Solución:
23.Una empresa comercial adquiere mercaderías a crédito, el primero de Bs.
5.000 a cuatro meses y el segundo a diez meses. Decide reemplazar
ambas obligaciones por Bs. 9.189.46 con vencimiento a ocho meses. Hallar
el valor de la segunda obligación considerando la tasa del 18% capitalizable
mensualmente.
Solución:
La segunda obligación es de Bs. 4.000
24.Una deuda de Bs. 4.000 que debe ser pagada ahora, se reemplaza con dos
pagos iguales a 1 y 2 años respectivamente al interés del 10% con
capitalización semestral. Hallar el importe de cada uno de los pagos.
Solución:
Cada uno de los pagos iguales la designamos con x.
Fecha focal, final del segundo año.
25.Se vende un vehículo en Bs. 30.000. El comprador pagó Bs. 12.000 en
efectivo y firmó dos pagarés, la primera por Bs. 6.000 a pagar en un año y
la segunda por la misma cantidad a pagar en dos años, si el vendedor
carga un interés del 6% convertible semestralmente. ¿Cuál será el valor de
un tercer pagaré a tres años para cancelar toda la deuda?
Solución:
Si el vehiculo tiene un costo Bs. 30.000 y se paga en efectivo Bs. 12.000, la deuda
a pagar es de Bs. 18.000 Importe que será pagado con tres pagares.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar la tasa de interés por periodo.
a) 24% anual capitalizable mensualmente
b) 30% anual capitalizable bimestralmente
c) 48% semestral capitalizable trimestralmente
d) 12% anual
2. Hallar la frecuencia de conversión de:
a) 24% anual capitalizable mensualmente
b) 36% anula capitalizable bimestralmente
c) 18% anual capitalizable semestralmente
d) 18% anual capitalizable mensualmente
3. Hallar el monto de un depósito de Bs. 20.000 por un año:
a) al 24% anual
b) al 24% capitalizable trimestralmente
c) al 24% capitalizable semestralmente
4. Calcular el valor final y el interés compuesto producido por Bs. 5.000 invertidos
a 6 años a una tasa del 9% anual.
5. Calcular el monto y el interés compuesto de un préstamo de Bs. 12.000 por 4
años a la tasa del 15% capitalizable mensualmente.
6. Un padre deposita Bs. 2.000 al cumplir 15 años su hija, para que retire al
cumplir 21 años. ¿Cuánto retira su hija al cumplir los 21 años, considerando
una tasa del 8% capitalizable semestralmente?
7. El señor Abdala deposita Bs. 6.000 a seis años y dos meses en un banco que
abona el 12% capitalizable trimestralmente. ¿Cuánto tendrá el señor Abdala al
cumplir el tiempo establecido?
8. Hallar el monto de un depósito de Bs. 30.000 por 18 meses y 10 días al 18%
con capitalización mensual.
9. Una persona deposita Bs. 3.000 en un banco que carga el 6 ¼ % capitalizable
mensualmente durante 5 años. ¿Cuál será el monto acumulado al final del
quinto año, si la tasa se incrementa al 8 ½ % capitalizable mensualmente
durante los dos últimos años?
10. Se efectúa una inversión de Bs. 8.000 por un tiempo de ocho años. Durante los
primeros cinco años la tasa de interés, es del 12% convertible trimestralmente,
descendiendo al 9% con capitalización mensual durante los tres últimos años.
¿Cuál es el monto al final de la inversión?
11. Una inversión de Bs. 10.000 a 10 años al interés del 6% capitalizable
semestralmente, se modifica la tasa de interés durante los últimos cuatro años
al 6% capitalizable trimestralmente. Hallar el monto al final de la inversión.
12. Una persona deposita Bs. 5.000 y transcurridos dos años Bs. 3.000. ¿Qué
importe se acumulara en cinco años, si la tasa es de! 18% capitalizable
semestralmente?
13. Usted deposita Bs. 4.000 por un año a una tasa del 12% capitalizable
mensualmente, transcurrido medio año retira el equivalente ¼ del depósito
inicial. ¿Cuál es el monto acumulado al final del año?
14. Hallar la tasa efectiva i equivalente a la tasa nominal del 6% convertible
semestralmente.
15. Hallar la tasa efectiva i equivalente a la tasa nominal de 6 ¼ % convertible
trimestralmente.
16. Hallar la tasa nominal y, con capitalización semestral equivalente a la tasa
efectiva del 9%.
17. Hallar la tasa con capitalización trimestral equivalente al 15% capitalizable
semestralmente.
18. Hallar la tasa nominal y. con capitalización mensual equivalente a la tasa del 8
½ % con capitalización bimestral.
19. ¿En qué tiempo un capital de Bs. 3.000 se convertirá en Bs. 3.958,44 al 8%
capitalizable trimestralmente?
20. Se invierte Bs. 10.000 al 4% anual capitalizable mensualmente, transcurrido
cierto tiempo la tasa se incremente un punto, razón por la que la inversión
permanece 6 meses más, al cabo del cual retira el importe total de Bs. 10.390.
¿Cuánto tiempo permaneció los Bs. 10.000 al 4% anual capitalizable
mensualmente?
21. Hoy se invierte Bs. 5.000 y transcurridos seis meses Bs. 3.000. ¿En cuánto
tiempo el monto será Bs. 10.945,96 a la tasa del 24% capitalizable
mensualmente?
22. ¿Calcular la tasa de interés convertible semestralmente para que un capital se
duplique en 8 años?
23. La población de una ciudad aumentó de 1.500.000 a 2.015.880 habitantes en
una década, el ritmo de crecimiento poblacional es más o menos constante
hallar la tasa anual de crecimiento.
24. El señor Duran invierte su capital en una actividad económica que le reporta el
8% capitalizable semestralmente. Transcurrido cierto tiempo retira el triple de
su capital invertido. ¿Cuántos años duro la inversión?
25. Calcular la tasa de interés simple equivalente al interés compuesto del 18%
durante dos años. Probar para un capital de Bs. 10.000.
26. Hallar el importe que será necesario depositar en el banco para obtener un
monto de Bs. 6.000 dentro de 4 años a la tasa de 18% convertible
semestralmente.
27. Una institución financiera desea invertir Bs. 30.000 para que dentro de 3 años
reciba Bs. 60.000. Si la tasa promedio de inflación es 24% anual. ¿Conviene
realizar la inversión?
28. Se adquiere un inmueble a crédito con pago inicial de Bs. 20.000 y dos pagos
de Bs. 40.000 a cinco años y Bs. 60.000 a siete años. Hallar el precio al
contado del inmueble al interés del 6% capitalizare semestralmente.
29. Se firma un documento por Bs. 40.000 que será pagado dentro de 4 años a la
tasa del 24% capitalizable semestralmente. Transcurridos un año y medio
decide descontarlo en un banco al interés del 26% capitalizare trimestralmente.
¿Cuál es el importe de la operación?
30. Una empresa invierte un capital a 12 meses, medio año más tarde de haber
realizado el depósito decide retirar '/< del capital invertido. Al final del año el
monto acumulado es de Bs. 3.445,78. ¿Cuál es el capital invertido a la tasa del
12% capitalizable mensualmente?.
31. Si una persona invierte un capital durante 6 bimestres obtiene Bs. 5.061,28,
mientras que si coloca por 9 bimestres obtiene Bs. 5.693,25. Hallar el capital
invertido y la tasa de interés aplicada.
32. Hallar el valor de un capital que colocado a 18 meses al 1,5 % mensual,
produce a interés compuesto un monto superior en Bs. 74,68 al que hubiera
producido colocado a interés simple en las mismas condiciones.
33. El señor Méndez deposita Bs. 8.000 en una cuenta de ahorro que abona el 12%
de interés capitalizable bimestralmente. Transcurrido cuatro meses, la tasa de
interés se incrementa al 15% con capitalización bimestral, razón por la que
realiza un nuevo deposito de Bs. 12.000. Hallar el importe que tendrá al final
del año.
34. Usted contrae una deuda de Bs. 20.000 a 8 meses plazo con una tasa de
interés del 18% capitalizable mensualmente. Deuda que decide liquidar con
dos pagos ¡guales, la primera dentro de 6 meses y la segunda dentro de un
año. Hallar el importe de los pagos iguales a la tasa establecida.
35. La empresa comercializadora "ÉXITO LTDA" adquiere mercaderías a crédito
por Bs. 30.000 a 2 años y Bs. 20.000 a 3 años. Considerando que las ventas
se han incrementado, los ejecutivos de la empresa deciden liquidar ambas
obligaciones mediante tres pagos iguales a realizar dentro de 6 meses, 12
meses y 18 meses al interés del 18% capitalizable semestralmente.(fecha focal
-final del sexto semestre).
36. El señor Blanco tiene dos documentos de Bs. 3.000 y Bs. 5.000 que vence
dentro de 16 y 24 meses respectivamente; el señor Blanco desea reemplazar
las dos obligaciones con otro documento de Bs. 10.000. Considerando que la
tasa de mercado es de 2% mensual, hallar el plazo de la nueva obligación.
37. Una persona adquiere mercaderías a crédito por Bs. 20.000 que serán pagados
con tres cuotas de Bs. 6.000, Bs. 8.000 y un tercer pago que redima toda la
deuda, a 6, 9 y 12 meses 'respectivamente. Hallar el importe del tercer pago si
la tasa de mercado es de 1,5% mensual.
38. Una inmobiliaria promociona la venta de una propiedad bajo dos modalidades:
pago al contado Bs. 50.000 ó Bs. 58.000 a 2 años plazo. ¿Qué alternativa es
más atractiva para el comprador, si puede invertir »u dinero al 9% capitalizable
semestralmente?
39. Dos hermanos reciben una herencia de Bs. 9.000, un hermano coloca su parte
a 2% mensual y el otro al 3% mensual. ¿Cuál es el importe de herencia que
cada hermano recibió si al cabo de 18 meses, retiran un total Bs. 14.225, 15?
40. Un capital de Bs. 40.000 se divide en dos partes, una de ellas se coloca al 24%
capitalizable mensualmente y la otra al 36% capitalizable mensualmente. Hallar
el valor de cada una de las partes si en 20 meses produjeron montos iguales.
41. Se desea vender un inmueble a crédito bajo las siguientes condiciones pago
inmediato Bs. 40.000, Bs. 30.000 a un año plazo, Bs. 50.000 a tres años plazo
y Bs. 20.000 a cinco años plazo. Un interesado ofrece pagar al contado Bs.
30.000 y el saldo a dos años plazo. Hallar el importe de este pago al interés del
8% capitalizable semestralmente. (Fecha focal – fecha inicial)
CAPITULO 6 ANUALIDADES SIMPLES ORDINARIAS
6.1 INTRODUCCIÓN
En matemática financiera, generalmente se denomina anualidad a un conjunto de
pagos que se realizan a intervalos iguales de tiempo.
Una anualidad no siempre significa pagos iguales, sino pagos a intervalos de
tiempo. Por consiguiente se denominan anualidades a los dividendos sobre
acciones, los fondos de amortización, los pagos a plazo, los pagos mensuales. Por
renta. Etc.
Las empresas y las personas cuando desean comprar algo o invertir en una
actividad generalmente lo hacen con dinero prestado, importe que deben pagar
con pagos mensuales cada determinado tiempo.
6.2 DEFINICIÓN
UNA ANUALIDAD ES UNA SUCESIÓN DE PAGOS PERIÓDICOS
6.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ANUALIDADES
Las anualidades considerando los factores que intervienen pueden clasificarse de
diferentes formas o tipos. Mencionaremos algunas.
Según el tiempo una anualidad puede clasificarse en :
- Anualidad cierta
- Anualidad contingente
Una anualidad es cierta cuando se conoce la fecha inicial y final.
Una anualidad es contingente cuando el primer o último pago dependen de
algún suceso previsible donde la fecha de realización no se conoce
Una anualidad se clasifica también en:
- Anualidad simple
- Anualidad general.
Una anualidad es simple u ordinaria, cuando el periodo de pago coincide con el
periodo de capitalización de los intereses.
Una anualidad es general cuando el periodo de pago no coincide con el
periodo de capitalización de los intereses.
Considerando los pagos una anualidad puede clasificarse en:
- Anualidad vencida
- Anualidad anticipada
- Anualidad diferida
Una anualidad es vencida cuando los pagos periódicos se efectúan al final del
periodo
Una anualidad es anticipada cuando los pagos periódicos se efectúan al
principio del periodo.
Una anualidad es diferida cuando los pagos periódicos se efectúan transcurrido
un determinado tiempo, llamado tiempo diferido
En este capítulo se desarrollará la anualidad simple vencida.
6.4 ANUALIDAD VENCIDA
UNA ANUALIDAD ES VENCIDA CUANDO LOS PAGOS PERIÓDICOS
SE REALIZAN AL FINAL DEL PERIODO, VENCIDO EL PERIODO
6.5 VALOR FINAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
Las cuotas o pagos periódicos que se realizan al final de cada periodo general
intereses compuestos por los periodos futuros hasta la fecha final.
Es importante tener claro cuales son los elementos que intervienen en una
anualidad.
- Renta.- La anualidad o el valor de cada pago periódico recibe el nombre de
renta.
- Periodo.- Es el tiempo establecido entres dos pagos sucesivos. Es el
periodo de pago.
- Tiempo es el intervalo de tiempo entre el inicio del primer periodo y el final
del último periodo.
- Tasas de una anualidad, es la tasa de interés fijado, puede ser nominal o
efectiva.
NOTACIÓN
Sn : Monto o valor final de una anualidad
R : Renta o anualidad
n : Tiempo o número de periodos.
i : Tasa de interés
El valor final o monto de una anualidad vencida, es la suma de todos los pagos
periódicos y sus correspondientes intereses compuestos, acumulados al final de la
operación financiera.
6.6 CÁLCULO DEL VALOR FINAL O MONTO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.
Cuando el número de los pagos periódicos son pocos. Se puede calcular el valor
final de todos los pagos periódicos incluidos los intereses acumulados
capitalizando cada cuota a interés compuesto.
Sin embargo, cuando el número de pagos periódicos es grande, es decir, 60
cuotas mensuales, 120 cuotas mensuales o más, el cálculo del valor final es
demasiado moroso y extenso. En la práctica este tipo de cálculo se efectúa
mediante fórmula.
A continuación daremos un ejemplo simple y luego generalizando determinaremos
la fórmula correspondiente
EJEMPLO 1
Si una persona deposita al final de cada mes Bs. 100 al 2% de interés mensual,
durante 5 meses ¿Cuánto retira al final del quinto mes?
SOLUCIÓN
Para resolver este problema vamos a hallar el valor final de las 5 cuotas
mensuales, al final del quinto mes y la suma de los valores finales de las 5 cuotas
es el monto o valor final de la anualidad vencida.
La primera cuota depositada al final del primer mes ganará intereses por cuatro
meses
La segunda cuota depositada al final del segundo mes ganará intereses por tres
meses
La tercera cuota depositada al final del tercer mes ganará intereses por 2 meses
La cuarta cuota depositada al final del cuarto mes ganará intereses por 1 meses.
La quinta cuota no gana interés alguno, porque al final del quinto mes se retiran
todos los depósitos y sus intereses acumulados.
R = 100 S = C (1 + i)n
n = 5 meses
i = 0.02 mensual
Sn = ?
Primera cuota: S1 = 100 (1 + 0.02)4 = 108.24
Segunda cuota: S2 = 100 (1 + 0.02)3 = 106.12
Tercera cuota: S3 = 100 (1 + 0.02)2 = 104.04
Cuarta cuota: S4 = 100 (1 + 0.02)1 = 102.00
Quinta cuota: S5 = no gana intereses = 100.00
520.40
Monto o valor final de la anualidad vencida.
Intereses ganados = Monto de la anualidad – Total depositado
I = 520.40 – 500
I = 20.40 interés ganado
Generalizando
Para este cálculo consideramos depósitos de Bs. 1 cada fin de periodo, tiempo n
periodos y una tasa i por periodo
La primera cuota gana interés por n – 1 periodos.
Por lo tanto, su monto al terminar los n periodos será: (1 + i) n -1
La segunda cuota gana interés por n – 2 periodos.
Por lo tanto, su monto al terminar los n periodos será: (1 + i) n -2
Seguimos el mismo análisis para las siguientes cuotas………
Cuando falta dos periodos para llegar a n , es decir, la antepenúltima cuota gana
intereses por 2 periodos, su monto al finalizar los n periodos será:
(1 + i)2
La penúltima cuota gana interés por 1 solo periodo, su monto al finalizar los n
periodos será: (1 + i)
Finalmente la última cuota no gana intereses: I
Si sumamos los montos anteriormente obtenidos, tendremos el valor final de una
anualidad vencida de Bs. 1, por n periodos a la tasa i por periodo
Sn i = (1 + i) n -1 + (1 + i) n -2 + …. + (1 + i) 2 + (1 + i) + 1
Por la propiedad conmutativa de la suma se tiene:
Sn i = 1 +(1 + i) + (1 + i) 2 +…. + (1 + i) n -2 + (1 + i) n -1
La anterior expresión constituye una progresión geométrica creciente, en la cual el
primer término es I, la razón (1 + i) y el número de términos n.
Sabemos que la suma de los términos de una progresión geométrica es igual a:
Donde:
a : Es el primer término
r : La razón de la progresión geométrica.
n : Número de términos de la progresión
S : Suma de todos los términos de la progresión.
En este caso el primer término es I es decir a = 1
Sustituyendo los valores anteriores en la fórmula de la suma de términos de una
progresión geométrica se tiene:
Esta expresión es el “factor de
capitalización” de una serie uniforme
Si en lugar de I la cuota es R. la fórmula del valor final o monto de una anualidad
vencida será:
S n = R * S n / i
EJEMPLO 2
Una persona deposita Bs. 1.000 cada fin de mes durante un año. Si la tasa de
interés es 24% capitalizable mensualmente, hallar el monto total que tendrá al final
del año
SOLUCIÓN
R = 1.000
n = 1 años = 12 meses
i = 0.24 / 12 = 0.02 mensual
S 12 =
EJEMPLO 3
Hallar el monto o valor final de una anualidad de Bs. 500 que será pagado
semestralmente durante tres años y seis meses al 18% capitalizable
semestralmente.
R = 500
n = 3 años, 6 meses = 7 semestres
i = 0.18 / 2 = 0.09 semestral
S 12 =
EJEMPLO 4
Una empresa vende heladeras a crédito con pagos trimestrales vencidos de Bs.
1.000 durante tres años. Si no efectúa los cuatro primeros pagos. ¿Cuánto debe
pagar al vencer la quinta cuota para poner al día su deuda, si la tasa de la
operación es del 12% capitalizable trimestralmente?
R = 1.000 trimestral
n = 3 años = 12 trimestres
i = 0.12 / 4 = 0.03 trimestral
S 5 =
6.7 VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
El valor actual de una anualidad vencida es la suma de los valores presente de
todos los pagos de la anualidad.
NOTACIÓN
An : VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD VENCIDA
Para el cálculo del valor presente de una anualidad vencida, consideramos
depósitos de Bs. 1 cada fin de periodo, tiempo n periodos y una tasa i por periodo.
Sumando los valores presentes de las cuotas de la anualidad.
A n / i = (1 + i) - 1 + (1 + i) -2 + … + (1 + i) – (n - 2) + (1 + i) – (n - 1) + (1 + i) – n
Aplicando la propiedad conmutativa, la suma anterior puede escribirse así
A n / i = (1 + i) – n + (1 + i) – (n - 1) + (1 + i) – (n - 2) + … + (1 + i) -2 (1 + i) - 1
La anterior expresión resulta ser una progresión geométrica creciente donde el
primer término es (1 + i) – n, la razón (1 + i) y el número de términos n.
La suma de una progresión geométrica se obtiene mediante la fórmula
La suma de los términos anteriores, es la suma de todos lo valores presentes de
cada uno de las cuotas futuras. Luego la suma es el valor total de una anualidad.
Esta expresión es el “factor de
actualización” de una serie uniforme
Si en lugar de I la cuota es R, la formuladle valor actual o valor presente de una
anualidad vencida será
A n = R * A n / i
EJEMPLO 5
Se depositan Bs. 600 al final de cada mes, durante dos años en un banco que
abona el 12% anual capitalizado mensualmente hallar el valor presente de la
anualidad.
SOLUCIÓN
R = 600
n = 2 años = 24 meses
i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual
A24 =
EJEMPLO 6
Una empresa vende artefactos eléctricos con una cuota inicial de Bs. 3.000 y 12
cuotas mensuales de Bs. 2.000, si carga el 18 % capitalizable mensualmente
hallar el precio al contado.
SOLUCIÓN
CI = 3.000
R = 2.000
n = 12 meses
i = 0.18 / 12 = 0.015 mensual
A12 =
PC = (Precio al Contado) PC = CI + A12
PC = 3.000 + 21. 815.01
PC = 24.815.01
EJEMPLO 7
La empresa ÉXITO LTDA. Contrae un crédito, que debe pagar durante 5 años,
con cuotas bimestrales de Bs. 3.000. Transcurridos 3 años, no pago ninguna
cuota, en este instante decide liquidar toda la deuda pendiente de pago con un
pago único. Hallar el monto del pago único si la tasa de interés es del 12%
capitalizable bimestralmente.
SOLUCIÓN
R = 3.000 trimestres
n1 = 3 años = 18 bimestres
n2 = 2 años = 12 bimestres
i = 0.12 / 6 = 0.02 bimestral
PU = (pago único)
PU = S18 + A12
PU = 64.236.94 + 31.726.02
PU = 95.962.96
EJEMPLO 8
Usted adquiere mercaderías a crédito que serán pagados mediante 4 cuotas
mensuales de Bs. 1.500 seguido de 6 cuotas mensuales de Bs. 1.000. Hallar el
valor al contado de la mercadería, si la tasa de mercado es del 2% mensual.
Para hallar el precio al contado, primero encontramos el valor presente de las
primeras 4 cuotas de Bs. 1.500 y luego hallamos el valor presente de las seis
últimas cuotas de Bs. 1.000 por partes. Es decir, encontramos el valor presente al
final del cuarto periodo, este resultado se actualiza por los 4 primeros periodos a
interés compuesto.
Primero:
Segundo:
Precio al contado
PC = A4 + A6
PC = 5.711.59 + 5.174.86
PC = 10.886.45
6.8 CÁLCULO DE LA RENTA DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.
Muchas vedes es necesario conocer el importe de los pagos periódicos. Para
resolver algunos problemas. Así es necesario conocer el pago periódico que debe
hacerse para cancelar una deuda en un determinado número de años.
Para hallar el importe de la cuota periódica o renta, despejamos R. de la fórmula
del valor final y del valor actual de una anualidad vencida.
EJEMPLO 9
Hallar los depósitos mensuales necesarios en una cuenta de ahorros que paga el
15% con capitalización mensual, para obtener el 2 años un capital de Bs. 12.000.
i = 0.15 / 12 = 0.125 mensual
n = 2 años = 24 meses
Sn = 12.000
R = ?
EJEMPLO 10
Una persona, adquiere a crédito un automóvil que cuesta Bs. 30.000 y conviene
pagar con cuotas mensuales vencidas durante 3 años ¿Cuánto debe pagar cada
mes si la tasa de interés es 12% capitalizable mensualmente?
An = 30.000
n = 3 años = 36 meses
i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual
R = ?
EJEMPLO 11 Un comerciante debe cancelar una deuda en 3 años con pagos semestrales de
Bs. 5.000 el deudor conviene con su acreedor cancelar la deuda en 5 años, con
cuotas semestrales. Hallar el valor de los nuevos pagos. Si la tasa del interés es
del 24% capitalizable semestralmente.
SOLUCIÓN
R1 = 5.000
R2 = x
i = 0.24 / 12 = 0.12 mensual
Los nuevos pagos, se designan con x y para resolver tomamos como fecha focal
la fecha inicial.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 semestres
R1 R1 R1 R1 R1 R1
x x x x x x x x x x
EJEMPLO 12
Para liquidar una deuda de Bs. 10.000 con intereses del 4 % convertible
semestralmente, el deudor acuerda hacer una serie de pagos semestrales de valor
y cada uno. El primero con vencimiento al término de seis meses y el último con
vencimiento en 5 años; un año después un pago de Bs. 2.500. hallar el importe de
cada uno de los pagos X.
Solución
El importe de la deuda (Bs. 10.000) debe ser igual a la suma del valor de la
anualidad de cuotas x, y el valor de Bs. 2.500. Tomar como focal de fecha inicial.
6.9. CALCULO DEL TIEMPO O PLAZO DE UNA ANUALIDAD VENCIDA.En las operaciones financieras, un factor importante a considerar es el tiempo o
plazo necesario para cumplir con las obligaciones.
En una anualidad vencida el tiempo está dado por el número de periodos. Es
decir, el tiempo se considera desde el principio del primer hasta el final del último
periodo.
Partiendo de la fórmula (12), obtenemos el tiempo o plazo n en la forma siguiente:
Aplicando la propiedad lo logaritmos a ambos miembros se obtiene:
Ídem de la formula (13)
Aplicando la propiedad de logaritmos a ambos miembros se obtiene:
Ejemplo 13.
Una persona desea acumular Bs. 22.881.Para reunir cantidad decide hacer
depósitos trimestre vencidos en un fondo de inversiones que rinde 32% anual
convertible trimestralmente.
Si deposita Bs. 500 cada fin de trimestre ¿En cuanto tiempo habrá acumulado la
cantidad que desea?
Solución
Ejemplo 14
¿Cuánto pagos semestrales de Bs. 800 se deben hacer para cancelar una deuda
de Bs. 4.193,71 al 8% capitalizable semestralmente?
Solución
Ejemplo 15.
Por la compra de una casa, se firma un documento por Bs. 23.845,26 que será
pagado dentro de cierto tiempo. El deudor realizar depósitos de Bs. 1.000 al final
de cada semestre durante 3 años, seguidos de cuotas de Bs. 2.000 hasta
completar ahorrar Bs. 23.845,26 ¿Cuántos depósitos de Bs. 2.000 debe realizar
par pagar toda la deuda si la tasa de interés es el 12% con capitalización
semestral?
Solución
Primero obtenemos el monto de la anualidad por los 6 primeros meses y el valor
obtenido capitalizamos por los siguientes periodos n-6.
Segundo. Se calcula el monto de una anualidad por los pagos de Bs. 2.000.
Tercero. El tiempo de la deuda es igual a la suma del valor final, al del plazo de las
cuotas de Bs. 1.000 más el valor de las cuotas de Bs. 2.000.
Para alcanzar el importante de la deuda, debe depositar 6 cuotas de Bs. 2.000. Es
decir, el plazo de la deuda es de 12 semestres o 6 años.
6.10 CALCULO DE LA TASA DE INTERÉS
La tasa de intereses es la condición contractual en una operación financiera. Por
lo tanto, su calculo se utiliza más en problema teóricos que prácticos; por eso, el
resultado que se obtiene de la tasa de interés es aproximado, por ejemplo, si el
resultado es 3,24689% que es correcto matemáticamente, pero en practica se
tomara como 31/4%.
Para hallar la tasa de interés, despejamos i de la formula principal.
Conociendo el monto de una anualidad vencida:
Conociendo el valor actual de una anualidad vencida:
En ambos casos, para hallar la tasa de interés i utilizamos la tabla de valores del
factor de capitalización o de actualización.
EJEMPLO 16
Usted debe pagar hoy Bs. 4.000. Como no cuenta con esa cantidad disponible
acuerda con su acreedor pagar mediante 6 cuotas de Bs. 714.10 al final de cada
mes ¿Qué tasa de interés se aplica en la operación?
An = 4.000
n = 6 meses
R = 714.10
i = ?
Para hallar la tasa de interés i debemos utilizar la tabla financiera para n= 6
periodos, en éste caso encontramos en la tabla el valor 5.60143089 que es muy
aproximado al valor anteriormente encontrado. Por lo tanto, la tasa de interés i es
igual al 2%.
I = 0.02 mensual.
EJEMPLO 17
Una persona desea reunir en un año Bs. 258.840.62, con tal motivo realiza
depósitos de 2.000 cada fin de mes. Durante todo el año ¿Cuál es la tasa que
carga el Banco?
SOLUCIÓN
Sn = 25.840.62
R = 2.000
n = 1 año = 12 meses
i = ?
En este caso, como no existe un valor que satisfaga éste resultado, tomamos los
valores aproximados para luego realizar la interpolación
0.23780699
0.35870842 X
1 / 2
1% _____________ 12.68250301
i _____________ 12.92031
I ½ % _____________ 13.04121143
PROBLEMAS RESUELTOS
1. ¿Cuál será el monto acumulado en una cuenta de ahorro. Si se depositan
Bs. 2.000 cada semestre, durante 4 años y medio al interés del 18 %
capitalizable semestralmente?
SOLUCIÓN
R = 2.000
n = 4.5 años = 9 semestres
i = 0.18 / 2= 0.09 semestres
Sn =?
2. Una persona debe depositar Bs. 6.000 cada bimestre durante 6 años. Al no
haber cumplido con los 5 primeros pagos, decide poner al día su deuda al
pagar la sexta cuota. ¿Cuánto debe pagar al pagar la sexta cuota, si la tasa
de interés es del 18 % convertible bimestralmente?
SOLUCIÓN
R = 6.000
n = 6 años = 36 bimestres
i = 0.18 / 6 = 0.03 bimestral
Sn =?
3. Usted destina parte de su sueldo al ahorro y consigna Bs. 200 mensuales
en una cuenta de ahorros que paga el 12% capitalizable mensualmente
durante 6 años. Hallar el importe que tendrá en su cuenta. Si los dos
últimos años la tasa de interés se incrementó al 15% capitalizable
mensualmente.
SOLUCIÓN
R = 200
n = 48 meses
i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual
S = ?
Sn = 24 meses
i = 0.15 / 12 = 0.0125 mensual
S3 = ?
S = ?
4. ¿Cuál es el valor actual de 15 pagos mensuales de Bs. 300 si la tasa de
interés es del 30% capitalizable mensualmente?
SOLUCIÓN
R = 300
n = 15 meses
i = 0.30 / 12 = 0.025 mensual
A15 =?
5. Una compañía promociona la venta de vehículos con una cuota inicial de
Bs. 10.000 y 24 cuotas bimestrales de Bs. 3.000. hallar el precio de contado
considerando una tasa de interés de ***** capitalizable bimestralmente
SOLUCIÓN
CI = 10.000
R = 3.000
n = 24 bimestres
i = 0.12 / 6 = 0.02 bimestral
A24 =?
6. Para liquidar una deuda con interés del 9% convertible mensualmente, el
señor Blanco realiza pagos de Bs. 500 al final de cada mes por los
próximos 18 meses y un pago final de Bs. ***** un mes más tarde ¿Cuál es
el importe de la deuda?
SOLUCIÓN
R = 500
n = 18 meses
i = 0.09 / 12 = 0.0075 mensual
R1 = 300
A19 =? (deudas)
0 1 2 3 4 18 19
R R R R R R
A
C
7. Considerando una tasa del 6% convertible semestralmente ¿Cuánto deberá
ahorrar cada 6 meses una persona para obtener Bs. 8.000 en 6 años?
SOLUCIÓN
i = 0.06 / 2 = 0.03 semestral
n = 6 años = 12 semestres
Sn = 8.000
R = ?
8. Una persona compra un automóvil que cuesta Bs. 30.000. paga al contado
Bs. 6.000 y el saldo en 24 cuotas mensuales. Si la tasa de interés es del
18% convertible mensualmente ¿Cuál es el valor de los pagos mensuales?
SOLUCIÓN
An = 30.000 – 6.000 = 24.000
n = 24 meses
i = 0.18 / 12 = 0.015 mensual
R = ?
9. Una persona adquiere un inmueble un crédito otorgado por un banco.
Crédito que debe pagar durante 3 años con cuotas mensuales de Bs, 5.000
a la tasa de interés del 2 % mensual. Transcurridos dos años la tasa de
interés se incremental al 2 ½ % mensual. Hallar el importe de los nuevos
pagos mensuales
SOLUCIÓN
PRIMERO.- Determinamos el importe de la deuda, es decir, el valor presente de la
anualidad.
SOLUCIÓN
SEGUNDO.- Calculamos el importe de la deuda pagada, antes del cambio de la
tasa de interés y el saldo por pagar.
n = 24 meses
Importe por pagar = A36 – A24
Importe por pagar = 127.444.21 – 94.569.63
Importe por pagar = 32.874.58
TERCERO.- Determinamos el importe de las 12 nuevas cuotas a realizar para
liquidar la deuda:
i = 0.025 mensual
n1 = 12 meses
n2 = 24 meses
C = 32.874.58
Deuda pendiente de pago
10. ¿Cuántos pagos bimestrales de Bs. 8.000 serán necesario para pagar una
deuda de Bs. 87.260 contraída hoy, con interés del 9 % capitalizable
bimestralmente?
SOLUCIÓN
R = 8.000
i = 0.09 / 6 = 0.015 bimestral
An = 87.260
n = ?
11. Una persona desea reunir Bs. 5.938.48. para acumular dicha cantidad,
realiza depósitos trimestrales de Bs. 600 en un fondo que rinde el 24 %
capitalizable trimestralmente ¿En Cuánto tiempo acumulará la cantidad
deseada?
SOLUCIÓN
Sn = 5.938.48
R = 600
i = 0.24 / 4 = 0.06 trimestral
n = ?
12. El señor Blanco adquiere mercaderías a crédito que serán pagados en 3
años. Con cuotas de Bs. 4.000 cada fin de trimestre a la tasa del 20%
capitalizable trimestralmente. El Sr. Blanco conviene con su acreedor.
Cancelar la deuda en 5 años con cuotas trimestrales. Hallar el importe de
los nuevos pagos (tomar como la fecha focal la fecha inicial).
SOLUCIÓN
R = 4.000
n = 12 trimestres
i = 0.20 / 4 = 0.05 trimestres
A12 =?
n1 =20 trimestres
A20 =?
R1 =?
13. Se adquiere un vehículo que cuesta Bs. 50.000, mediante una cuota inicial
de Bs. 2.5000. hallar la tasa anual nominal
SOLUCIÓN
An =50.000 – 20.000 =30.000
n = 15 meses
R = 2.500
i = ?
2½ %_____________ 12.38137773
i _____________ 12
3 % _____________ 11.93793509
14. Determinar a que tasa bimestral de interés se depositaron cuotas
bimestrales vencidas de Bs. 3.000 durante 1 año y 8 meses para reunir un
capital de Bs. 34.391.64
SOLUCIÓN
0..38137773
0.44344264 X
1 / 2
R = 3.000
n = 20 meses = 10 bimestres
Sn = 34.391.64
i = ?
Buscamos en la tabla financiera el valor aproximado de 11.46388 para n=10 y
encontramos que corresponde a:
i = 3 % bimestral
i = 3 (%)
i = 185 anual capitalizado bimestralmente
15. Usted decide ahorrar parte decide consignar cada mes Bs. 200 en una
cuenta de ahorro que paga el 12% capitalizable mensualmente durante 6
años. Hallar el importe que tendrá en su cuenta, si los dos últimos años la
tasa se incremento al 15% capitalizables mensualmente.
SOLUCIÓN
R = 200
n = 48 meses
i = 0.12 / 12 = 0.01 mensual
S48 = ?
S = ?
n2 = 24 meses
i2 = 0.15 / 12 = 0.0125 mensual
S24 = ?
ST = ? (monto o valor final)
16. El señor Abdala adquiere un crédito que debe cancelar con 12 cuotas
mensuales de Bs. 3.000 y 12 cuotas mensuales de Bs. 4.000 durante el
segundo año. Hallar el importe del crédito, si la tasa de interés es del 30 %
capitalizable mensualmente.
SOLUCIÓN
R1 = 3.000
n = 12 meses
i = 0.30 / 12 = 0.025 mensual
A12 = ?
17. Se adquiere un vehículo a crédito, que será pagado con cuotas mensures
de Bs. 800 durante 3 años con una tasa de interés del 15% capitalizable
mensualmente. Posteriormente conviene cancelar todas las obligaciones
con un solo pago a realizar al final del segundo año de haber adquirido el
vehículo. Hallar el importe del pago único.
SOLUCIÓN
i = 0.25 / 12 = 0.0125 mensual
PU = ? (pago unico)
S24 = ?
A12 = ?
18. Una persona recibe tres ofertas para la compra de su propiedad
a) Bs. 4000.000 de contado.
b) Bs. 190.000 se contado y Bs. 25.000 trimestrales durante 2 ½ años
c) Bs. 20.000 por trimestre durante 3 años y un pago de Bs. 250.000 al final
del cuarto año. ¿Qué oferta debe escoger. Si la tasa de interés es del 8%
anual capitalizable trimestralmente?
SOLUCIÓN
a) Bs. 400.000
b) CI = 190.000
R = 25.000
n = 2 ½ años = 10 trimestres
i = 0.08 / 4 = 0.02 trimestral
A10 = ?
0 1 2 3 12 13 15 16 trimestres
R R R R 250.000
Bs. 20.000
i = 0.02 trimestral
n =12 trimestres
A12 = ?
S = 250.000
n =16 trimestres
C = ?
Tercera oferta = 211.506.82 + 182.111.45
Tercera oferta = 393.618.27
Respuesta: La segunda oferta (Bs. 414.564.62) es la mejor para el propietario.
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Una persona realiza depósitos mensuales de Bs. 1.200 durante 15 meses,
en un banco que abona el 24 % capitalizable mensualmente, hallar el importe
que tendrá en su cuenta al cabo del tiempo establecido.
2. El Sr. Mendez deposita Bs. 500 cada tres meses en un banco que otorga el
10% de interés convertible trimestralmente. ¿cuánto tendrá en su cuenta al
final de 5 años?
3. Una familia desea adquirir una casa y deciden realizar depósito cada fin de
semestres de Bs. 5.000 durante 10 años a la tasa de interés del 8%
capitalizable semestralmente, hallar el monto, que obtendrá al finadle 10 años,
si la tasa de interés se incremento al 10% capitalizable semestralmente
durante los últimos 3 años.
4. Al cumplir su hijo de 8 años, el padre decide realizar depósitos
semestralmente de Bs. 2.000 realizando el primer depósito 6 meses más tarde
hasta que el hijo cumpla 15 años. ¿Cuánto tendrá acumulado cuando el hijo
cumpla 21 años, si la tasa de interés es el 12 % capitalizable semestralmente?
5. El Sr. Morales realiza depósitos mensuales de Bs. 4.000 durante 2 años
seguido de depósitos de Bs. 6.000 los siguientes 3 años, considerando la tasa
del 24% anual convertible mensualmente ¿Cuál es el monto final del quinto
año?
6. Encontrar el valor presente de una mensualidad de Bs. 500 mensuales durante
un año y seis meses del 12% con capitalización mensual.
7. Hallar el precio al contado de una maquinaria adquirida con pago inicial de Bs.
10.000 y 18 pagos mensuales de Bs. 2.000 a la tasa de interés del 30% con
capitalización mensual.
8. Para saldar una deuda se tiene dos opciones de pago:
a) Pagar Bs. 22.000 dentro de 10 meses.
b) Pagar Bs. 2.000 cada mes durante 10 meses. Si la tasa del mercado, es
del 2% mensual, ¿Cuál es la opción más conveniente?
9. ¿Qué cantidad debe depositar el Sr. Martínez el 1° de enero del 2005 en un
fondo que paga el 8% convertible semestralmente con el fin de poder hacer
retiros semestrales de Bs. 1.000 a partir del 1° de julio del 2005 hasta el 1° de
enero del 2020?
10. La importadora EL VOLANTE, vende vehículos a dos años plazo, sin cuota
inicial, pagaderas con doce cuotas bimestrales de Bs. 1.500 y un último pago al
final de los dos años y seis meses de Bs. 5.000. Hallar el precio de contado
del vehículo, si la tasa de interés es de! 18% capitalizable bimestralmente.
11. ¿Cuánto debe depositar cada fin de mes, durante 10 meses para obtener Bs.
4.379,89, si la tasa de interés es del 24% capitalizable mensualmente?
12. Después de depositar Bs. 2.000 cada trimestre al 3% de interés trimestral
durante 3 años, tendrá opción a un préstamo equivalente al doble de la suma
acumulada. ¿Cuál es el importe del préstamo que podrá obtener?
13. Al cumplir 12 años su hijo, el padre decide consignar semestralmente Bs. 3.000
en una cuenta de ahorro que paga el 15% capitalizable semestralmente. Si
hace estas consignaciones durante 5 años consecutivos. Calcular la cantidad
que tendrá en su cuenta el hijo al cumplir 21 años.
14. Usted compra una casa cuyo valor es de Bs. 120.000 al contado. Pago Bs.
40.000 al contado y el saldo en 10 pagos iguales por semestre vencido. Hallar
el importe de los dos pagos trimestrales si la tasa de interés es del 10% con
capitalización trimestral.
15. El Sr. Blanco desea acumular en un fondo Bs. 80.611,20 en 5 años con
depósitos trimestrales vencidos a la tasa de interés del 3% trimestral.
Transcurridos 3 años la tasa de interés se incrementa al 4% trimestral. Hallar el
importe de las cuotas que realiza antes y después de la modificación de la tasa
de interés para reunir el monto deseado.
16. ¿En cuánto tiempo se pagara una deuda de Bs. 43.952,89 con pagos de Bs.
6.000 cada trimestre vencido a la tasa del 2% trimestral?
17. Un socio de una empresa obtiene una utilidad de Bs. 150.000 que es
depositado inmediatamente en un fondo que paga el 8% convertible
trimestralmente, para recibir cada 3 meses Bs. 5.000. Hallar el número de
retiros de Bs. 5.000 y el pago final 3 meses después del último pago completo.
18. Se adquiere una computadora a crédito que serán pagados con 12 cuotas
mensuales vencidos de Bs. 500 con el interés del 18% capitalizare
mensualmente. Al no haber cumplido con las dos primeras cuotas, propone a
su acreedor pagar la deuda con 4 cuotas trimestrales a la tasa de interés del
18% capitalizable trimestralmente. Hallar el importe de las nuevas cuotas
trimestrales.
19. Usted adquiere un equipo electrónico a crédito, el mismo que debe pagar con 6
cuotas de Bs. 10.000 cada fin de mes. Propone a su acreedor pagar toda la
deuda con dos pagos semestrales iguales, el primero dentro de 6 meses y el
segundo dentro de un año. Hallar el importe de los nuevos pagos al interés del
30% capitalizable mensualmente.
20. ¿A qué tasa nominal convertible mensualmente, el monto de 12 depósitos
mensuales de Bs. 1.000 cada año, será Bs. 14.192,03?
21. Un vehículo cuyo valor de contado es de Bs. 80.000 puede adquirirse con un
pago inicial de Bs. 20.000 y 12 pagos semestrales de Bs. 6.000. ¿Qué tasa de
interés capitalizable semestralmente se aplico?
22. El precio al contado de un televisor es de Bs. 2.500. Un cliente puede pagar Bs.
1.000 en efectivo y 24 mensualidades de Bs. 80. ¿Cuál es la tasa nominal
convertible mensualmente?
23. El Sr. Méndez debe pagar una deuda durante 9 años con una cuota de Bs.
4.000 semestrales pactados al 12% capitalizable semestralmente. Al efectuar
el octavo pago desea liquidar el saldo con pago único. ¿Cuánto debe pagar en
la fecha del octavo pago, para liquidar la deuda?
24. En una cuenta que abona el 3% bimestral, se hicieron depósitos bimestrales de:
Bs. 800 durante los 2 primeros años, Bs. 1.000 los siguientes 2 años y Bs.
1.200 el 5a año. ¿Cuál es la cantidad que se ha acumulado en la cuenta al final
del quinto año?
CAPITULO 7ANUALIDADES ANTICIPADAS
7.1. INTRODUCCIÓN En la actividad comercial, industrial es frecuente que los pagos periódicos se
efectúen al principio de cada periodo, como por ejemplo, los alquileres, rentas en
los seguros, las pólizas etc. Estos casos decimos “El pago vence a principio del
periodo”.
7.2. DEFINICIÓN Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas
que se efectúan o vencen al inicio del periodo
Símbolos Utilizados.
R : Pago o renta
I : Tasa efectiva por periodo de capacitación
j : Tas nominal anual
n : Numero de periodos de pago
Sn : Valor futuro o monto de una anualidad
An : Valor presente o actual de una anualidad
7.3. VALOR FINAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
El calculo del valor final y valor presente de una anualidad anticipada se puede
realizar de diferentes formas, en el presente curso adoptaremos una de las formas
mas simples.
Para ello procederemos en forma similar al capitulo anterior. Es decir
consideraremos cuotas periodicas de Bs. 1 al principio de cada periodo.
Sumando los montos parciales obtenemos el valor final de una anualidad de Bs. 1
por n periodos a la tasa i es.
Esta suma es una progresión geometrica creciente de razon (1+i)
Sabemos que la suma de una progresión geometrica es igual a:
Luego
Si en lugar de la cuota periódica de Bs. 1 se reemplaza con una cuota periódica R,
tenemos, el valor final de una anualidad anticipada de cuota R.
7.4. VALOR ACTUAL DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
El valor presente o actual de una anualidad anticipada, obtenemos en forma
similar el valor final y tendremos:
Ejemplo 1.
Se efectúan depósitos de Bs. 800 cada principio de mes, durante 10 meses. Si la
tasa de interés es del 24% capacitable mensualmente, determinar el monto al final
del décimo mes.
Ejemplo 2
El Sr. Abdala deposita cada principoo de semestre Bs. 5.000 durante 8 años al
interes de 6% anual con capitalización semestral. Al final del quinto año retira Bs.
12.000. cuanto retira al final del octavo año?
Solucion
Ejemplo 3
Calcular el valor de contado de un vehiculo vendido a 2 años plazo, con pagos
mensuales anticipados de Bs. 2.000, si la tasa de interes es del 18% convertible
mensualmente.
Solución
El valor de contado del vehiculo es de Bs. 40.661,73
Ejemplo 4
Una persona alquila un departamento en Bs. 1.500 mensuales anticipados y
propone al propietario pagar el alquiler en forma anual a principio de cada año,
con la tasa del 15% convertible mensualmente ¿Hallar el valor del alquiler anual?
Solución
7.5. CALCULO DE LA RENTA DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Para hallar la renta de una anualidad anticipada utilizaremos las formulas
principales del valor final y valor actual de una anualidad anticipada.
Ejemplo 5
Mediante 10 depósitos mensuales iguales y anticipados, al 24% de interés
mensual se logra acumular Bs. 5.584.36 ¿Cuál es el importante de la cuota
mensual anticipada?
Solución
Ejemplo
Un artefacto eléctrico que cuesta Bs. 9.094,10, es vendido a crédito, el mismo que
será pagado mediante cuotas iguales a principio de mes durante un año. Hallar el
importante de la cuota mensual anticipada, si la tasa de mercado es del 12%
capitalizable mensualmente.
Solución
7.6. CALCULO DEL TIEMPO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Para determinar el tiempo de una anualidad anticipada despejamos de las
formulas principales de una anualidad anticipada.
Se procede en forma similar con la formula
Ejemplo
La Cia ILLIMANI vende terrenos por Bs. 27.086,76 al contado y oferta ventas a
crédito mediante pagos mensuales anticipados de Bs. 2.000 al interés del 18%
capitalizable mensualmente ¿Cuántos pagos se debe realizar?
Solución
Ejemplo 8
Una persona desea reunir Bs. 81.729,59 mediante depósitos mensuales
anticipados de Bs. 3.000 para adquirir un vehiculo. Si el banco paga el 12% con
capitalización mensual. ¿Es cuanto tiempo reunirá dicha cantidad?
Solución
7.7. CALCULO DE INTERES DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
Para hallar la tasa de interés despejamos el factor de capitalización o factor de
actualización de las formular principales
Ejemplo 9
¿A que tasa de interes anual con capitalización mensual, de 10 cuotas mensuales
anticipadas de Bs. 400 se acumulan un monto de Bs. 4.723,127
Solución
Ejemplo 10
El Sr. Mendez obtiene un crédito de Bs. 31.292 que sera pagado durante 10 años,
con cuotas semestrales anticipados de Bs. 2.000 ¿Cuál es la tasa con
capitalización semestral?
Solución
Utilizando la tabla financiera tenemos:
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Una persona realiza depósitos de Bs. 900 al principio de cada mes, durante
un año. Si la tasa de interés es del 24% con capitalización mensual
¿Cuánto retira al final del año?
Solución
2. Una propiedad es vendida a 6 años plazo, con pagos de Bs. 5.000
mensuales anticipados con la tasa del 12% convertible mensualmente
¿Cuál es el valor al contado de la propiedad?
Solución
3. Una compañía recibe tres ofertas para la venta de una propiedad
a) Al contado Bs. 200.000
b) Bs. 20.000 de contado y 18 cuotas mensuales anticipados d Bs. 11.000
c) Bs. 10.000 mensuales anticipados por 2 años
¿Qué oferta mas conveniente para la venta si la tasa es el del 1% mensual?
Solución
a) Bs. 200.000
b)
c)
La tercera oferta es la mas conveniente
4. El Sr. Blanco adquiere un artefacto electronico a credito que sera pagado
por 12 cuotas mensuales anticipados de Bs. 800. hallar el precio al contado
si la tasa de interes es del 15% capitalizable mensualmente
Solucion
5. Una empresa decide crear un fondo, para la sustitución de una maquinaria
cuyo costo es de 5.000.00 y tiene una vida util de 5 años, cosisiderando un
valor salvamento de 10% del costo. Hallar las cuotas semestrales
anticipadas que realizara, si la tasa de interes es del 2% semestral
Solucion
6. Una deuda de Bs. 18.500 es pagado con cuotas mensuales anticipadas de
Bs. 600 Si la tasa de interes es del 12% con capitalización mensual, hallar
el numero de cuotas y el valor del pago final
Solución
36 cuotas de Bs. 600 y una última cuota de Bs. 364.63, al principio del periodo
37 (final del periodo 36)
7. se efectuan depositos al principio de cada semestre de Bs. 40.000, en una
cuenta de ahorros que abona el el 20% capitalizable semestralmente. Hallar
el monto al cabo de 4 años, sabiendo que el ultimo año la tasa de interes
aumenta al 30% capitalizable semestralmente
8. El Sr. Pérez contrae una obligación que debe pagar cada principio de mes
Bs. 5.000 durante un año y medio para saldar su deuda. Al no haber
cumplido con las primeras obligaciones, decide liquidar toda la deuda con
un solo pago al final del primer año. Hallar el importe del pago único si la
tasa de interés es el 18% capitalizable mensualmente
R = 5.000
n = 12 meses
9. Una persona desea reunir en 6 años Bs. 180.000, para adquirir una casa, para
ello decide depositar al principio de cada mes una cuota fina al 18% capitalizable
mensualmente ¿Cuanto debe depositar para reunir la suma deseada?
Solución.
10. Una empresa financiera decide otorgar a sus empleados antiguos un préstamo
de Bs. 8.000 con un plazo de dos años y cuotas mensuales anticipados de Bs. 360
¿Cuál es el interés anual convertible mensualmente que cobra la empresa?
Solución
Determinamos el valor la tabla financiera
21,67568055
i 21, 22222222
3 20, 45582113
i = 8,23 % anual con capitalización mensual
PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Se depositan al principio de mes Bs. 300 durante dos años, en un fondo
que abona el 9% capitalizable mensualmente ¿Cuál es monto acumulado
durante los dos años?
2. El Sr. Morales deposita a principio del mes Bs. 3.000 durante un año, al
interés del 24 % capitalizable mensualmente. Hallar el importe acumulado al
final de segundo año.
3. Se efectúan depósito al principio de cada semestre de Bs. 40.000 en una
cuenta de ahorros al 20 % capitalizable semestralmente. hallar el monto al
cabo de 4 años, sabiendo que el último año el interés aumento al 30 %
capitalizable semestralmente.
0,45345833
1,21985942
4. Se alquila una habitación por Bs. 500 mensuales pagaderos por
adelantado. El propietario acepta un pago único en efectivo al inicio de cada
año, por el alquiler anual con la tasa del 18% capitalizable mensualmente…
¿Cuál es el costo de la renta anual de la habitación?
5. Usted adquiere un inmueble a crédito bajo las siguientes condiciones.
Efectúa pagos mensuales anticipados de Bs. 2.000 durante 2 años, Bs. 3.000
durante el 3º año y Bs. 4.000 durante el cuarto año.
Hallar el precio al contado, considerando una tasa mensual del 3%
6. Sustituir una serie de pagos de Bs. 10.000 a principio de cada año, por el
equivalente en pagos trimestrales anticipados con un interés del 16%
convertible trimestralmente ¿Cuál es el importe del pago trimestral?
7. Una heladera cuyo valor al contado es de Bs. 111.751.23 se puede adquirir
con un pago inicial de Bs. 20.000 y 18 pagos mensuales anticipados de Bs.
6.000. ¿Cuál es la tasa que se aplica en esta operación?
8. Una deuda de Bs. 28.698.05 se cancela con 10 pagos trimestrales
anticipados de Bs. 3.000 ¿Qué tasa de interés se ha cargado?
9. Se desea obtener Bs. 9.993.69 mediante depósitos de Bs. 1.500 cada
bimestre anticipado.
