1

Capítulo 6. Ley de Ampère. Inducción magnética: ley de Faraday y ley de Lenz.

En estos apuntes se presenta un resumen de los contenidos tratados en más detalle en el

libro:

“Física para la Ciencia y la Tecnología” (Volumen 2)

Autores P. A. Tipler y E. Mosca

Editorial Reverté (5a Ed) 2005

En particular, consultad los siguientes capítulos y secciones:

Capítulo 27 (Sección 27.4)

Capítulo 28

Os recomendamos que utilicéis estos apuntes como guía de los contenidos tratados en

las clases. Sin embargo, es importante que consultéis las fuentes originales para

profundizar en los conceptos trabajados en el aula. En aquellos apartados en que se

sigan otras fuentes os proporcionaremos las referencias apropiadas.

1. Ley de Ampère

Cuando estudiamos el campo eléctrico generado por distribuciones de carga que

presentaban un alto grado de simetría, vimos que era posible recurrir a la ley de Gauss

para calcular el campo eléctrico en vez de utilizar la ley de Coulomb. Una situación

semejante se plantea en el estudio del campo magnético creado por distribuciones de

corriente que presentan un elevado grado de simetría. En esta sección estudiaremos la

ley de Ampère, que es precisamente la ley que permite establecer esta analogía. Tanto la

ley de Ampère como la ley de Gauss son importantes desde una perspectiva teórica.

Además, ambas son válidas aunque el sistema no goce de simetría. Sin embargo, si

además se da tal simetría, estas leyes son útiles para evaluar el campo eléctrico (ley de

Gauss) o el campo magnético (ley de Ampère) asociado a las distribuciones de carga y

corriente, respectivamente.

Al estudiar la ley de Biot-Savart, se desarrolló en detalle el campo creado por un hilo

conductor rectilíneo por el cual circulaba una corriente eléctrica I. Al analizar el límite

en que este sistema adquiría una longitud infinita, vimos que el campo magnético

creado por el hilo en un punto que se encontraba a una distancia (perpendicular) r del

mismo es:

(T) ˆ2

)( 0

r

IrB

2

Observamos además que las líneas de campo en cualquier punto P que se encuentra a

una distancia (perpendicular) r del hilo son tangentes a una circunferencia de radio r

centrada en el mismo. El sentido de B

se puede determinar haciendo uso de la regla de

la mano derecha haciendo que el dedo pulgar de la mano derecha indique la dirección y

sentido de la corriente. En este caso, el resto de dedos de la mano indican el sentido del

campo magnético. Esto, por supuesto, tiene su origen en el producto vectorial que

aparece en la ley de Biot-Savart.

Figura 1. Dirección del campo magnético debido a un hilo rectilíneo muy largo por el circula una corriente

perpendicular al plano del papel (xy) y que sale del mismo (sentido z>0)

Hagamos uso de este caso particular para explorar la ley de Ampère. Consideremos la

circulación de este campo magnético a lo largo de un circuito cerrado C. Si elegimos

como circuito a lo largo del cual se evalúa la circulación del campo magnético creado

por el hilo conductor, una trayectoria circular centrada en el hilo de forma que la

superficie plana S que encierra la trayectoria cerrada sea perpendicular al mismo (tal y

como ilustra la Figura 2), se obtiene

ya que el campo magnético B

es paralelo al circuito a lo largo del que se evalúa la

circulación del mismo. Además, el módulo del campo magnético es constante a lo largo

todo el circuito de integración. En este caso hemos decidido (por simplicidad) recorrer

el circuito en el mismo sentido en que lo hace el campo magnético (es decir, en sentido

horario). ¡Tened cuidado de no confundir el segmento del circuito a lo largo del cual

se evalúa la circulación del campo con el asociado a un elemento diferencial de

corriente del hilo!

3

Figura 2. Ilustración de la selección del bucle de Ampère en el caso de un hilo conductor por el que circula una

corriente I

Fijaos que la corriente I es aquella corriente neta que penetra en el área S definida por el

circuito cerrado C. A menudo, esta corriente se denota como IC. Si bien hemos llegado a

la expresión:

partiendo de un caso particular, la ley de Ampère es más general y relaciona la

circulación del campo magnético a lo largo de una curva cerrada (también denominada

circuito o bucle de Ampère) C con la corriente IC neta que penetra un área S limitada

por el circuito C. La ley de Ampère se cumple para cualquier circuito (cerrado) si las

corrientes implicadas son estacionarias y continuas. La formulación matemática de la

ley de Ampère es, por tanto:

De lo anterior se deriva que la circulación del campo magnético será la misma para

cualquiera de los bucles que se muestran en la Figura 3, ya que la corriente que

atraviesa las distintas áreas S definidas por éstos, es la misma en todos los casos.

4

Figura 3. Ilustración de que incluye varios bucles de Ampère. La corriente que atraviesa la superficie plana que

define cada uno de ellos es la misma.

Fijaos que la superficie (abierta) S no está unívocamente definida a partir de la curva C.

Claramente, la superficie abierta más sencilla que podemos considerar para evaluar la

corriente que atraviesa la misma es una superficie plana cuya frontera es el circuito C.

Sin embargo, la ley de Ampère es igualmente válida si se elige cualquier superficie

abierta que no sea plana pero cuya frontera esté delimitada por este mismo circuito C.

Tomaremos como convenio que el sentido positivo para el camino de integración queda

fijado por la regla de la mano derecha con el dedo pulgar indicando el sentido de la

corriente que atraviesa la superficie S definida por la curva C. Visto de otro modo,

podemos decir que si la corriente atraviesa la superficie S definida por el circuito C en el

sentido que indicaría el dedo pulgar al aplicar la regla de la mano derecha cuando los

dedos de la palma de la mano están indicando el sentido en el que se está recorriendo el

circuito de integración, la corriente se toma como positiva. Sería negativa si atravesase

la superficie S en sentido contrario. Este convenio quedará más claro en el siguiente

ejemplo.

Ejemplo. Cálculo del campo magnético debido a una corriente uniformemente

distribuida en el área transversal de un conductor cilíndrico muy largo de radio R

Esta distribución goza de una elevado grado de simetría dentro y fuera del conductor.

Figura 4. Bucles de Ampère para el cálculo del campo magnético creado por una corriente

uniformemente distribuida en el área transversal de un conductor cilíndrico muy largo de radio R.

5

Tanto dentro como fuera del conductor, el campo magnético B

es tangente a una

circunferencia centrada en el eje del conductor y que rodea al mismo. Se distinguen dos

regiones de interés en función de la corriente que atraviesa la superficie S cuya frontera

es el circuito C. Por simplicidad, tomaremos la superficie plana S delimitada por C en

todos los análisis que siguen.

rR Tomamos como bucle de Ampère un circunferencia centrada en el eje del

conductor y que rodea al mismo. Recorremos el bucle en el sentido contrario a

las agujas del reloj de modo que B

y son paralelos. I queda definido como

positivo según el convenio adoptado. La superficie plana S definida por el bucle

es tal que toda la corriente I del conductor pasa través de ella, por tanto, Ic = I.

Además, sobre el bucle, la magnitud del campo es constante. Por tanto,

r<R Tomamos como bucle de Ampère un circunferencia centrada en el eje del

conductor y que rodea al mismo. Recorremos el bucle en el sentido contrario a

las agujas del reloj de modo que B

y son paralelos. I queda definido como

positivo según el convenio adoptado. La superficie plana S definida por el bucle

es tal que sólo una fracción de la corriente I que circula por el conductor pasa a

través de ella. Además, sobre el bucle, la magnitud del campo es constante.

Teniendo en cuenta que la corriente está uniformemente distribuida, es decir,

tiene una densidad de corriente homogénea J

, se verifica:

Así pues, el campo magnético es cero en el centro del conductor y aumenta linealmente

en función de r hasta r=R. Fuera del conductor, el campo decrece como 1/r. Fijaos que

fuera del conductor se comporta igual que lo haría un hilo por el que circula una

corriente total I de la misma magnitud (y en el mismo sentido) que la del ejemplo que

nos ocupa, que estuviese situada a lo largo del eje de simetría del cilindor. El

comportamiento cualitativo del campo se puede observar en la siguiente figura:

6

Figura 5. Módulo del campo magnético creado por una corriente uniformemente distribuida en el área transversal de

un conductor cilíndrico muy largo de radio R

2. Campo magnético en un solenoide o bobina El solenoide o bobina consiste en un conjunto de espiras conductoras arrolladas

estrechamente en forma de hélice que se utiliza para producir un campo magnético

intenso y uniforme en la región que queda en el interior de las espiras. El solenoide

juega en el campo magnético un papel análogo al de un condensador de placas paralelas

en el campo eléctrico. El campo magnético creado por un solenoide es el que crea una

serie de N espiras idénticas situadas unas junto a otras. En la bibliografía recomendada

encontraréis un análisis detallado del cálculo que debe seguirse para obtener

exactamente el campo magnético en todas las regiones del espacio. En este curso,

asumiremos la aproximación por la que el campo es constante dentro del solenoide y

nulo en el exterior para proceder al cálculo del campo magnético en el interior de la

bobina. Esta aproximación se indica en la Figura 6. Para determinar el campo,

escogemos el camino de integración C indicado en la figura y aplicamos la ley de

Ampère. Puesto que B

es perpendicular a b tanto en un lado como en el otro del

circuito de integración y B

es nulo fuera del solenoide, si tenemos una densidad de

espiras n=N/a en el segmento de longitud a, se verifica:

nIBNIaBIdB netaC

000 μμμ

Figura 6: Cálculo del campo magnético en el interior de un solenoide haciendo uso de la ley de Ampère. I (Figura

adaptada de P. A. Tipler and G. Mosca «Physics for Scientists and Engineers»).

7

3. Inducción electromagnética

Los campos eléctricos y magnéticos considerados hasta ahora eran producidos por

cargas estacionarias y corrientes estacionarias, respectivamente. Tal y como hemos visto

anteriormente, si tenemos (y mantenemos) un campo eléctrico en un conductor, éste

dará lugar a una corriente que generará a su vez un campo magnético. La pregunta que

nos planteamos ahora es si un campo magnético puede también dar lugar a un campo

eléctrico.

En 1831, Michael Faraday descubrió que, si el campo magnético varía en el tiempo1,

se crea un campo eléctrico. El fenómeno recibió el nombre de inducción

electromagnética. La siguiente ilustración muestra los experimentos de Faraday.

Figura 7. Captura de pantalla de un video en que se ilustra la experiencia de Faraday

(https://www.youtube.com/watch?v=hajIIGHPeuU). Podéis ver un experimento similar en la clase de W. Lewin

referenciada al final de estos apuntes (empieza aproximadamente en 11 min del vídeo )

1 Veremos que, de hecho, es el flujo magnético aquello que debe experimentar una variación.

8

Faraday mostró que, si colocamos un imán frente a una espira (en la figura anterior se

muestra una bobina formada por muchas espiras), no se registraba corriente en el

galvanómetro o amperímetro cuando el imán no se movía respecto a la espira. Sin

embargo, sí que se induce una corriente en la espira cuando existe un movimiento

relativo entre el imán y la espira. En particular, la aguja del galvanómetro se mueve

en una determinada dirección cuando el imán se aproxima a la espira, y en la opuesta

cuando se aleja.

3.1 Flujo magnético

Consideremos un campo magnético que atraviesa una superficie S, tal y como se

muestra en la siguiente ilustración.

Figura 8. Ilustración de las líneas de campo magnético asociadas a un campo homogéneo

que atraviesa una superficie plana S

Cuando estudiamos el campo eléctrico, dedicamos una sección al estudio del flujo del

campo eléctrico a través de una superficie. Este mismo concepto de flujo del campo a

través de una superficie nos resultará útil ahora y da lugar a la noción de flujo del

campo magnético. En general, el flujo magnético (a través de una superficie abierta) se

define del siguiente modo2:

La unidad del sistema internacional del flujo magnético es el weber (Wb)

(1 Wb = 1 T·m2)

3.2. Ley de inducción de Faraday

Los experimentos de Faraday demostraron que se induce una corriente eléctrica en una

espira, y ésta se comporta como si estuviese conectada a una fem, cuando existe un

movimiento relativo entre la espira y una fuente de campo magnético.

Experimentalmente se encuentra que la fem inducida depende de la variación del flujo

de campo magnético a través de la espira. A diferencia de la noción de fem de la batería

considerada en el estudio de los circuitos eléctricos en que ésta se encontraba localizada

entre los terminales de la batería, en el caso de la fem inducida, ésta se encuentra

2 De hecho ya vimos que el flujo magnético a través de una superficie cerrada es nulo como consecuencia

de la no (probada) existencia de monopolos magnéticos.

9

distribuida por todo el circuito. Debemos tener en cuenta que este movimiento relativo

es sólo una forma en que se puede variar el flujo magnético. En general, la ley de

inducción de Faraday se puede expresar del siguiente modo:

“La fem inducida ε en una espira es proporcional a la variación (negativa) de flujo

magnético a través de la espira”

Si desarrollamos esta expresión teniendo en cuenta la definición del flujo magnético

obtenemos:

En el caso en que tenemos una superficie plana y un campo homogéneo sobre la misma,

la ecuación anterior se simplifica y queda:

De aquí, se puede ver que la fem inducida puede variar básicamente por tres motivos:

(1) El campo magnético varía con el tiempo, B(t)

Figura 9. Se induce una fem variando el valor del campo magnético. En este ejemplo, el campo magnético disminuye

y se induce una corriente que trata de compensar la variación del flujo magnético.

10

(2) El área varía con el tiempo, A(t)

Figura 10. Se induce una fem al cambiar el área de la espira, ya que, con ello, también se varía el flujo magnético. En

este ejemplo se parte de la hipótesis que el área ha disminuido y se induce una corriente que intenta compensar la

variación de flujo magnético.

(3) Variación del ángulo entre el campo magnético y el vector área con el tiempo,

(t)

Figura 11. Se induce una fem al variar el ángulo que forman el campo magnético y el vector área.

3.3. Ley de Lenz

La dirección y el sentido de circulación de la corriente inducida vienen determinados

por la ley de Lenz.

Formulación 1: “La fem y la corriente inducidas poseen una dirección y sentido tal

que tienden a oponerse a la variación que las produce.”

Formulación 2: “Cuando se produce una variación de flujo magnético que

atraviesa una superficie, el campo magnético debido a la corriente inducida genera

un flujo magnético sobre la misma superficie que se opone a dicha variación.”

Veamos un ejemplo de cómo se aplica la ley de Lenz. Consideramos la situación en que

un imán se mueve hacia una espira conductora con su polo norte tal y como se observa

en la Figura 12. El movimiento del imán induce una fem y, por tanto, una corriente en la

11

espira. La ley de Lenz establece que esta fem y la corriente tienen una dirección tal que

se opone al movimiento del imán. Como podemos observar, el número de líneas que

cruzan la superficie definida por el perímetro de la espira aumenta al aproximar el imán

a la espira, aumentando así el flujo magnético a través de la misma.

(a)

(b) (c)

Figura 12. (a) Un imán se mueve hacia una espira de modo que aumenta el número de líneas de campo magnético que

cruzan la superficie definida por la espira y, por tanto, aumenta el flujo magnético. (b) Podemos asociar un momento

magnético a la espira, intuitivamente se entiende como si la espira se comportase como un imán con la polaridad

indicada en la figura, de modo que disminuye el flujo magnético o, visto de otro modo, se repele la barra imantada que

se estaba acercando. (c) Determinación de la dirección del campo magnético creado por una espira por la cual circula

corriente I (Figuras adaptadas de P. A. Tipler and G. Mosca «Physics for Scientists and Engineers»).

Una espira por la cual circula una corriente se comporta como un imán y puede

caracterizarse mediante una magnitud que llamamos momento magnético. Este curso no

estudiaremos el momento magnético pero, para razonar el sentido de circulación que

debe tener la corriente según la formulación 1 de la ley de Lenz, intuitivamente

podemos entender que la espira se comporta como un imán con la polaridad indicada en

la figura. De este modo, aparece una fuerza magnética tal que repele la barra imantada

que se estaba acercando. Esto es consecuencia de que, como sabemos, los polos iguales

se repelen. La polaridad del imán que asociamos a la espira podemos deducirla a partir

de la dirección del campo magnético, en la región interior a la misma, generado por una

espira por la cual circula una corriente I. Tal dirección viene dada por la ley de Biot-

Savart (ver Figura 12(c)). Aplicando la regla de la mano derecha para interpretar la

dirección y sentido del producto vectorial implicado en la misma se puede comprobar

que coincide con la dirección indicada para el campo creado por el imán de la Figura

12(b). Recordad que, tal y como se indica en la Figura 12(a), la líneas de campo en los

imanes salen por el polo Norte y entran por el polo Sur.

Si consideramos la formulación 2, podemos razonar en términos de la variación del

flujo magnético. Nos preguntamos por tanto, ¿cómo deben ser la fem y corriente

12

inducidas para generar un campo magnético que compense la variación de flujo

inducida por el movimiento del imán? En este caso, como el número de líneas de campo

que cruzan la superficie de la espira (hacia la derecha) aumenta al acercar el imán, se

debe generar un campo en sentido contrario de modo que crucen líneas de campo en

sentido contrario (hacia la izquierda) a modo de compensación (ver las líneas de campo

discontinuas en la Figura 12(a)).

3.4. Flujo magnético y circulación del campo eléctrico

Hasta ahora hemos visto que la variación de flujo a través de la superficie S que tiene

como frontera el circuito cerrado C (e.g. espira conductora) conllevaba la aparición de

una corriente en el circuito. De hecho, esto implica que en el conductor debe existir un

campo eléctrico. La circulación de este campo eléctrico evaluada a lo largo del circuito

C es precisamente la fem inducida. Si tenemos en cuenta la ley de Faraday, podemos

concluir que:

Fijaos que el campo eléctrico resultante de la variación de flujo magnético no es

conservativo, ya que la circulación del campo a lo largo de toda la trayectoria cerrada es

distinta de 0. Si el conductor tiene una resistencia R, la corriente que circula por el

mismo (asumiendo un comportamiento óhmico del material) viene dada por:

En esta ecuación se ha indicado el subíndice ind para subrayar que el origen de la

corriente inducida se encuentra precisamente en la variación del flujo del campo

magnético. El análisis detallado de la ley de Faraday resultará de interés en el estudio de

los circuitos RL que llevaremos a cabo en este curso.

De hecho, si nos olvidamos que el circuito C coincide con un conductor eléctrico y

consideramos de forma completamente general una región del espacio en que tenemos

un campo magnético variable en el tiempo, podemos decir que: “un campo magnético

que depende del tiempo implica la existencia de un campo eléctrico tal que su

circulación a lo largo de un circuito arbitrario (cerrado) es igual a menos la derivada

respecto del tiempo del flujo magnético a través de una superficie limitada por el

camino de integración”3

De hecho, la ley de Faraday es la forma integral de una de las cuatro ecuaciones de

Maxwell.

3 V. Martínez-Sancho “Fonaments de Física I” Biblioteca Universitària. Enciclopèdia Catalana p. 533.

13

Recursos de interés

Clases magistrales (¡en todos los sentidos!) del curso de electromagnetismo impartido

por el Prof. Walter Lewin del MIT. Los siguientes enlaces os permiten visualizar las

clases completas. En cada uno de ellos se ilustran los conceptos clave trabajados en las

clases de teoría.

Ley de Ampère: http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-magnetism-

spring-2002/video-lectures/lecture-15-amperes-law/

Inducción electromagnética: http://ocw.mit.edu/courses/physics/8-02-electricity-and-

magnetism-spring-2002/video-lectures/lecture-16-electromagnetic-induction/

En las clases se presentarán ejemplos de diversas aplicaciones tecnológicas de interés

(e.g. generadores de corriente alterna, magneto-oculografía para la monitorización del

movimiento de los ojos, etc).