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Jonathan Jalbert
Jean-François AngersClaude BélisleAnne-Catherine Favre
Caractérisation des précipitationsconvectives générées par le MRCC pour la
période [1961;2100]
18 juin 2012
IntroductionObjectif général
• Travaux qui s’inscrivent dans l’objectif de caractériser lesprécipitations intenses.
• Déterminer la non-stationnarité et la régionalité desprécipitations convectives afin d’orienter l’analysefréquentielle
• Hypothèses• La non-stationnarité des précipitations convectives intenses
est similaire à celle des intensités moyennes.• La dépendance spatiale des précipitations convectives
intenses est similaire à celle des intensités moyennes.
2 / 36
IntroductionObjectif général
• La caractérisation s’effectuera par l’élaboration de modèlesprobabilistes :
• Description du mécanisme de génération des données parune réalisation d’une variable aléatoire ;
• Extraction de l’information contenue dans les séries dedonnées.
3 / 36
IntroductionDescription des données
Modèle Domaine Scénario Piloteaet MRCC 4.2.3 amno a2 CGCM 3.1 # 4aev MRCC 4.2.3 amno a2 CGCM 3.1 # 5
Dans cette présentation, les résultats sont illustrés uniquementpour la tuile du MRCC représentant Montréal. Les données sontfournies par le consortium Ouranos.
4 / 36
IntroductionDomaine du MRCC
Partie du domaine AMNO du MRCC qui recouvre le Canada.La tuile de couleur rouge est celle dont les résultats sontillustrés dans cette présentation.
5 / 36
IntroductionParadigme bayésien
• Tous les modèles statistiques seront ajustés sous leparadigme bayésien
I Le conditionnement est naturelI La sélection de modèle est exempte de condition
• Les lois a priori sont spécifiées par la simulation aev
• L’analyse statistique sera complétée sur la simulation aet
6 / 36
PRÉCIPITATIONSCONVECTIVES POUR LA
PÉRIODE [1961 ;1970]Sous-période pour laquelle la stationnarité est supposée.
I Utile pour identifier un modèle de base.
7 / 36
Précipitations convectives [1961; 1970]Histogrammes
0 5 10 15 20 250
100
200
300
400
500
600
700
precipitations convectives
precipitationsloi exponentielleloi gammaloi log-normale
0 5 10 15 20 250
100
200
300
400
500
600
700
precipitations convectives
precipitationsmelange de lois exponentielles
8 / 36
Précipitations convectives [1961; 1970]Distributions
Les distributions théoriques classiques• sous-estiment les probabilités d’occurrence desprécipitations de faible intensité ;
• surestiment les probabilités d’occurrence des précipitationsde forte intensité.
Mélange de lois
9 / 36
Précipitations convectives [1961; 1970]Lois exponentielles
Si X ∼ Exp(θ)• fX (x) = θe−θx ;• E[X ] = 1
θ ;• Var [X ] = 1
θ2 .
0 5 100
0.5
1
1.5
θ = 1,5
θ = 0,2
10 / 36
Précipitations convectives [1961; 1970]Mélange de lois exponentielles
La densité d’une variable aléatoire X provenant d’un mélangede lois exponentielles s’écrit
f2(x |w , θ0, θ1) =
{(1− w) θ0e−θ0x + w θ1e−θ1x si x ≥ 00 si x < 0.
• θ0 : intensité du régime de faible intensité ;• θ1 : intensité du régime de forte intensité ;• w : proportion des deux régimes.
11 / 36
Précipitations convectives [1961; 1970]Régimes d’intensité
0
20
40
60
80
100
120
janvie
r
fevrier
mars
avril
mai
juin
juill
et
aout
septe
mbre
octo
bre
novem
bre
decem
bre
0
20
40
60
80
100
120
janvie
r
fevrier
mars
avril
mai
juin
juill
et
aout
septe
mbre
octo
bre
novem
bre
decem
bre
12 / 36
PRÉCIPITATIONSCONVECTIVES POUR LA
PÉRIODE [1961 ;2100]Extensions non stationnaires du mélange de lois exponentielles
13 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Modèles non stationnaires
Trois extensions non stationnaires naturelles du mélange de loisexponentielles :
• ModèleM3 :I Les intensités des régimes évoluent dans le temps ;
• ModèleM4 :I La proportion des régimes évoluent dans le temps ;
• ModèleM5 :I Les intensités et la proportion des régimes évoluent dans le
temps.
14 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Nomenclature des modèles
Modèle DescriptionM1 : loi gamma où aucun paramètre ne varie dans le
temps ;M2 : mélange de lois exponentielles où aucun para-
mètre ne varie dans le temps ;M3 : mélange de lois exponentielles où les intensités
des régimes évoluent avec le temps ;M4 : mélange de lois exponentielles où la proportion
des régimes évoluent avec le temps ;M5 : mélange de lois exponentielles où l’intensité des
régimes et la proportion de ceux-ci évoluent avecle temps.
15 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Modèle M3
La densité d’une variable aléatoire X observée au temps tprovenant de ce modèle s’écrit
f3 (x |α0, α1, β0, β1,w , t)
=
{(1− w) θ0(t)e−θ0(t)x + w θ1(t)e−θ1(t)x si x ≥ 0;
0 sinon,
où
θ0(t) = α0 · αt1; α0 > 0, α1 > 0;
θ1(t) = β0 · βt1; β0 > 0, β1 > 0.
16 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Lois a priori et a posteriori du modèle M3
Faible intensité
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.60
1
2
3
4
5
6
α0
loi a priori
loi a posteriori
Forte intensité
0.18 0.2 0.22 0.240
10
20
30
40
50
60
70
80
90
β0
loi a priori
loi a posteriori
17 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Lois a priori et a posteriori du modèle M3
Faible intensité
0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 10
100
200
300
400
500
600
700
800
α1
loi a priori
loi a posteriori
Forte intensité
0.995 0.996 0.997 0.998 0.999 10
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
β1
loi a priori
loi a posteriori
18 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Lois a priori et a posteriori du modèle M3
Proportion des régimes
0.55 0.6 0.65 0.70
5
10
15
20
25
30
35
40
w
loi a priori
loi a posteriori
19 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Modèle M4
La densité d’une variable aléatoire X observée au temps tprovenant de ce modèle s’écrit
f4(x |θ0, θ1, a, b, t)
=
{(1− w(t)) θ0e−θ0x + w(t) θ1e−θ1x si x ≥ 0;
0 sinon,
où
w(t) = exp(a + bt)1+ exp(a + bt) .
20 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Lois a priori et a posteriori du modèle M4
Faible intensité
1.1 1.2 1.3 1.4 1.50
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
θ0
loi a priori
loi a posteriori
Forte intensité
0.17 0.18 0.19 0.2 0.21 0.22 0.230
50
100
150
θ1
loi a priori
loi a posteriori
21 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Lois a priori et a posteriori du modèle M4
0 0.2 0.4 0.6 0.80
1
2
3
4
5
6
7
8
a
loi a priori
loi a posteriori
1 2 3 4 5 6 7
x 10−3
0
100
200
300
400
500
600
700
b
loi a priori
loi a posteriori
22 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Modèle M5
La densité d’une variable aléatoire X observée au temps tprovenant de ce modèle s’écrit
f5 (x |α0, α1, β0, β1, a, b, t)
=
{(1− w(t)) θ0(t)e−θ0(t)x + w(t) θ1(t)e−θ1(t)x si x ≥ 0;
0 sinon,
où θ0(t) = α0 · αt1; α0 > 0, α1 > 0;
θ1(t) = β0 · βt1; β0 > 0, β1 > 0;
w(t) = exp(a + bt)1+ exp(a + bt) .
23 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Lois a priori et a posteriori du modèle M5
Faible intensité
1 1.2 1.4 1.6 1.8 20
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
α0
loi a priori
loi a posteriori
Forte intensité
0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.280
10
20
30
40
50
60
70
80
β0
loi a priori
loi a posteriori
24 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Lois a priori et a posteriori du modèle M5
Faible intensité
0.99 0.995 1 1.005 1.010
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
α1
loi a priori
loi a posteriori
Forte intensité
0.997 0.998 0.999 1 1.001 1.0020
200
400
600
800
1000
1200
β1
loi a priori
loi a posteriori
25 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Lois a priori et a posteriori du modèle M5
0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
a
loi a priori
loi a posteriori
−6 −4 −2 0 2 4 6
x 10−3
0
50
100
150
200
250
300
350
400
b
loi a priori
loi a posteriori
26 / 36
Précipitations convectives [1961; 2100]Sélection du meilleur modèle
Le meilleur modèle est celui• dont tous les paramètres sont significatifs• qui s’ajuste le mieux aux données
Cette procédure permet d’extraire le maximum d’information dela série de données tout en conservant le moins de paramètrespossibles.
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Précipitations convectives [1961; 2100]Modèle sélectionné
Modèle DescriptionM1 : loi gamma où aucun paramètre ne varie dans le
temps ;M2 : mélange de lois exponentielles où aucun para-
mètre ne varie dans le temps ;M3 : mélange de lois exponentielles où les intensités
des régimes évoluent avec le temps ;M4 : mélange de lois exponentielles où la proportion
des régimes évoluent avec le temps ;M5 : mélange de lois exponentielles où l’intensité des
régimes et la proportion de ceux-ci évoluent avecle temps.
28 / 36
CARACTÉRISATION DE LANON-STATIONNRITÉ POUR
LA PÉRIODE [1961 ;2100]Par l’évolution des paramètres du modèleM3
29 / 36
Non-stationnaritéHistogramme des données et loi théorique f3
[1961; 1970]
0 5 10 15 200
100
200
300
400
500
600
700
[2091; 2100]
0 5 10 15 200
100
200
300
400
500
600
700
30 / 36
Non-stationnaritéFonction de répartition du modèle M3
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
precipitations convectives (mm)
fonctionderepartition
[1961;1970]
[2091;2100]
31 / 36
Non-stationnaritéÉvolution de la moyenne des précipitations
Régime de forte intensité
1960 1980 2000 2020 2040 2060 2080 21004.6
4.8
5
5.2
5.4
5.6
5.8
6
6.2
6.4
annee
mo
ye
nn
e (
mm
/jo
ur)
moyenneintervalle de credibilite
32 / 36
Non-stationnaritéÉvolution de la moyenne des précipitations
Régime de faible intensité
1960 1980 2000 2020 2040 2060 2080 2100
0.7
0.8
0.9
1
1.1
1.2
1.3
1.4
annee
mo
ye
nn
e (
mm
/jo
ur)
moyenneintervalle de credibilite
33 / 36
ConclusionRésumé
But : Caractériser les pécipitations convectives générées par leMRCC pour la période [1961; 2100].
• Élaboration de plusieurs modèles probabilistesI stationnaires et non stationnaires
• Sélection du meilleur modèleI modèleM3 a été désigné le meilleur
35 / 36
ConclusionTravaux futurs
• Poursuivre l’analyse sur les ∼6000 tuiles du QuébecI Le modèleM3 est le meilleur pour 89% des 375 tuiles
analysées jusqu’à maintenant• Effectuer la régionalisation
I Identifier les régions où les paramètres sont homogènes• Reprendre l’analyse pour les précipitations stratiformes
I Caractériser les précipitations totales• Effectuer l’analyse fréquentielle
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