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Presentado en Jornadas Nacionales de Educacin Matemtica 2012
SOCHIEM 2012 Universidad San Sebastin
CARACTERISTICAS DE LAS PRCTICAS ESTUDIANTILES DE FIGURACIN
ANTE UN FENOMENO DE VARIACIN Ivn Esteban Prez, Eduardo Carrasco
Henrquez
Universidad de Los Lagos (Chile)
[email protected], [email protected]
Pensamiento matemtico, nivel medio.
Resumen. Este trabajo se plante el propsito de caracterizar las
practicas estudiantiles
de figuracin ante un fenmeno de variacin. En particular se
aborda el estudio de los
procesos de construccin de grficas de fenmenos de variacin,
entendidas estas como
recurso para modelar aquello que cambia y de cmo cambia. Se
reportan
interpretaciones a figuras que buscan presentar las entidades
que varan en un fenmeno.
Se estructura el anlisis desde las visiones locales y globales
de la grfica, siguiendo
con la nocin de prctica socioescolar de figuracin. Se recurre a
nociones tericas
provenientes de la teora de la imagen y de los anlisis semnticos
que permitan
caracterizar esa prctica.
Introduccin. Uno de los focos de estudio de la educacin
matemtica en los ltimos
aos ha sido el pensamiento variacional. Tanto a nivel de
caracterizaciones, como de
diseo de situaciones didcticas, es posible encontrar un gran
nmero de publicaciones
que pretenden aporta a la enseanza de los tpicos de la matemtica
del cambio,
entregando orientaciones, propuestas didcticas o apuntando ha
una mejora en en las
practicas docentes. En particular, en Latinoamrica el inters por
el estudio de la
variacin ha impulsado la gestacin del programa de investigacin
denominado
Pensamiento y Lenguaje Variacional (PyLV), el cual es descrito
por Cantoral y Farfn
(1998). como una lnea de investigacin que, ubicada en el seno
del acercamiento
socioepistemolgico, permite tratar la articulacin entre la
investigacin y las prcticas
sociales que dan vida a la matemtica de la variacin y el cambio
en los sistemas
didcticos (Cantoral & Farfn, 1998).
En el marco del PyLV Diaz (Daz, 2005) seala que cobra especial
importancia
en relacin a aquellas matemticas elaboradas para manipular con
el cambio, incorporar
a los y las estudiantes a espacios de experimentacin que
favorezcan la construccin de
unas matemticas vivas y, al mismo tiempo, que tengan una
experiencia de primera
mano sobre la complejidad puesta en juego en su actividad, en
situacin escolar, a fin de
reconocer y valorar el uso de herramientas matemticas que traen
a escena en sus
elaboraciones personales y a la vez en aquellas del trabajo
colectivo, enfrentados a
comunicar sus hallazgos en ambientes interactivos de aula. Un
rol importante en este
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tipo de actividad, lo tiene la figuracin del cambio. En que la
grfica cartesiana escolar
es una herramienta matemtica central, que sin embargo el sistema
escolar no logra
ensear. Diaz (2006), Carrasco (2006) y Carrasco y Diaz (2009)
evidencian que
estudiantes y profesores recurren a cmics, antes que a las
grficas cartesianas para
representar lo que varia en el fenmeno. Los cmics son figuras
altamente icnicas y de
bajo simbolismo, como si fueran fotografas que van mostrando un
espacio y cambios
en el tiempo y en ese espacio (ver imagen 1a), a diferencia de
una grfica cartesiana que
ha dejado oculto en su alto simbolismo, el movimiento y el
espacio. Esta grfica
cartesiana, de baja iconicidad, representa todo fenmeno a travs
de un conjunto de
puntos/pares ordenados (ver imagen 1b) sin incorporar la
experiencia de movimiento de
una manera directa.
Imagen 1a Imagen 1b
De lo anterior surge la pregunta que orienta este trabajo: cual
es el rol que las
figuraciones icnicas tienen en la figuracin del cambio?. Se
aborda esta pregunta,
desde una mirada socioespistemologica que busca reconocer formas
de actuar de los
estudiantes en sus procesos de construir la grfica de un fenmeno
de variacin.
De modo especifico se reportan resultados de una actividad
exploratoria de
construccin de una grfica de un fenmeno de desplazamiento.
Actividad aplicada a
estudiantes de enseanza media y que nos permite describir
practicas socioescolares de
figuracin puestas en juego por los estudiantes. Prcticas que
Carrasco y Diaz (2012)
entienden como modos de operar compartidos por los actores
escolares, para la
construccin y la interpretacin de figuraciones de entidades
(asociadas a un fenmeno).
Antecedentes Teoricos. Cen (2006) en el marco de estudio
socioepistemolgico, seala
que la construccin de grficas permite al estudiante actitudes de
argumentacin, es
decir, se puede construir y explicar un conocimiento matemtico
mediante la
graficacin. Por su parte Torres (2004) seala que los
significados y sistemas
simblicos se encuentran directamente en las grficas, estos
significados pueden
detectarse a travs del anlisis cualitativo y cuantitativo de las
grficas de la posicin y
de la velocidad. Los significados se vern reflejados en las
relaciones que los
estudiantes logren establecer, es decir, a travs de las grficas
de la posicin y de la
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velocidad se pueden identificar intervalos que indiquen cundo el
movimiento es ms
lento, ms rpido o el cuerpo se detiene, cundo la velocidad es
positiva o negativa.
Por su parte reconocer el comportamiento de una grfica o funcin
requiere una
visin dual local-global, cuyo uso significativo y articulado a
lo largo de un sistema
didctico involucra reconocer el comportamiento inicial de la
grfica (conocer un todo
en un cierto margen), complementando con una visualizacin global
de la informacin
geomtrica (Buenda, (Buenda, 2004)
Sin embargo el uso de dibujos no cartesianos en los procesos de
construccin de
grficas de variacin desde fenmenos, hace necesario ampliar el
estudio de la
visualizacin de fenmenos de variacin. Por ello, se adopta la
nocin de figuracin de
fenmenos de variacin . En ella, se entiende a la figura como las
disposiciones y
formaciones de lineas que representan en dos dimensiones-
entidades ostensibles y no ostensibles, que se constituye en la
actividad matemtica como un modelo del fenmeno
que figura, modelo compuesto por smbolos, que se materializan en
aquellas partes de la
figura que devienen en signos, los cuales van configurando una
narracin del fenmeno,
que describe la covariacin de las entidades que interesan
(Carrasco y Diaz, 2012).
De este modo se incorpora al analisis de las figuras construidas
por los
estudiantes, nociones provinientes desde la teora de la imagen y
la esquemtica. Teora
que reconoce que una figura tendr una funcin representativa
cuando se sustituye a la
realidad de forma analgica; un funcin simblica, cuando se
adscribe a un concepto; y,
una funcin convencional cuando sustituye a la realidad sin
reflejar sus caractersticas.
La imagen contiene un repertorio de elementos y estructuras de
representacin y
responde a una sintaxis visual. Su comprensin involucra tres
etapas: (a) la seleccin,
exploracin volitiva y proyectiva, en el campo visual de sus
elementos; (b) la
percepcin de los elementos significativos a la cognicin; y por
ltimo, (c) la
integracin del mensaje visual. Por tanto, una misma imagen puede
evocar diversas
comprensiones sobre la informacin del mundo que figura.
(Carrasco y Diaz, 2012)
Metodologa. Para una primera caracterizacin de los
entendimientos estudiantiles de
variacin se utilizara una actividad propuesta en una secuencia
tomada de lo Paquetes
Didcticos diseados por la Academia Institucional de Matemticas
Instituto
Politcnico Nacional de Mxico. Esta actividad pide a los
estudiantes transitar por un
ciclo de exploraciones grficas. La situacin de aprendizaje
seleccionada para esta
exploracin se denomina Epifana y consiste en hacer la grfica del
movimiento de una persona que se aleja de un punto de partida hasta
500 metros, para luego regresar y
slo dispone de nueve minutos. Pero durante dicho trayecto se
detiene cuatro minutos.
Se busca que los estudiantes comprendan el problema, y puedan
construir una grfica
que represente los cambios de posicin con respecto al
tiempo.
La implementacin exploratoria, en el marco de un estudio de
caso, aborda tres
casos de analisis: (a) El primer grupo lo componen cuatro
estudiantes de tercer ao
medio del colegio Barrie Montessori de la Comuna de Pealolen,
Santiago de Chile, (b)
Els egundo caso lo compone un estudiante de sptimo ao bsico. Los
estudiantes de
ambos casos participan de un aula multigrado. El tercer caso lo
compone un estudiante
segundo ao de la carrera de pedagoga en Matemticas.
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El anlisis de las producciones se realiza en tres paso: a)
Primer anlisis. Se
utilizara el modelo propuesto por Torres(2004), el que busca
identificar las visiones
locales y globales de la grfica; b) Segundo de anlisis. Se
describe cada figuracin a
partir de: El grado de iconicidad; Los componentes de la figura
y su sintaxis, asi como,
distinciones de percepcin que provee la Gestal -leyes de
percepcin- articuladas desde
la teora de la imagen, as como a las textualidades asociadas a
su construccin. c) En un
tercer nivel de anlisis se recurre a la retrica de la imagen de
Barthes (1964) para quien
la imagen porta una polisemia de significados, de los cuales el
observador puede elegir
unos y descartar otros. Se busca reconocer el mensaje connotado
a la figuracin, el cual
asocia un significado particular a un elemento de la figura.
Anlisis de las producciones estudiantiles. Figuracin estudiantil
un fenmeno de
variacin de posicin con respecto al tiempo. Ante la consigna de
realizar la grfica del
movimiento de una persona que se aleja de un punto de partida
hasta 500 metros, para
luego regresar y slo dispone de nueve minutos y que durante
dicho trayecto se detiene
cuatro minutos, los estudiantes levantan figuraciones como las
que se muestran a
continuacin (Ver imagen 2).
Primer Anlisis. Respecto de la visin global del fenmeno, todos
los
estudiantes dan un visin global de los cambios de posicin, sin
embargo uno solo de
ellos logran hacer trazos curvos que den cuenta de los cambios
de velocidad. Es una
figuracin que pareciera quedarse en la visin global del
desplazamiento.
E1a - 3 E2a - 7
E3a - PedMat E4a - 3
Imagen 2 Grficas
De forma local, en la construccin de su grfica cartesiana los
estudiantes
plantean el trabajo en base a dos ejes (tiempo/distancia), se
presentan casos en los
cuales los ejes estn graduados y otros en los que sealan solo
los puntos donde la
grfica cambia. Los estudiantes (salvo uno) complementan con
informacin textual
sealando velocidad positiva, velocidad negativa o nula, la cual
no es reflejada en el
trazo. Solo un estudiante utiliza curvas para su grfica
reflejando el cambio de velocidad,
en el grueso de las producciones se utilizaron lineas rectas. Se
observa en las grficas
los cambios de direccin, marcando todos cinco puntos de cambio
de la curva.
identificando en ella la nulidad de movimiento durante cuatro
minutos, distribuida de
diferentes formas segn el entendimiento del problema de cada
estudiante a lo largo de
los nueve minutos en los que transcurre la accin.
Segundo Anlisis. Las figuraciones previas usadas por la mayora
de los
estudiantes, son utilizadas como primeras aproximaciones para
visualizar la situacin.
Recurren a descripciones del espacio y la traza del movimiento,
dejando implcito
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aspectos del movimiento. Dos estudiantes representar el
movimiento que envuelven a la
accin. La porcin de realidad que figuran los estudiantes
responde al escenario donde
se realizaba el movimiento, realizando una representacin grfica
de la descripcin La biblioteca est en un punto diametralmente
opuesto del saln de msica en el patio
circular, que tiene 500 metros de dimetro, de la escuela.
Valentina tard en total 9
minutos.
E1b
E2b E3b
Imagen 3 Representacin Contexto
El repertorio de elementos lo constituyen el patio circular, el
dimetro con su
medida, y textualidades para sealar la ubicacin del saln y la
biblioteca, adems de
aportar informacin al contexto.
Dos sintaxis podemos apreciar en el grupo. La primera, refiere a
un cmic,
cuatro escenas de una persona en posicin de caminata, marcando
en la iconicidad del
dibujo la velocidad. En la segunda, flechas a modos de vectores
entres dos
representaciones iconicas de los edificios de la escuela. Junto
a ello se usan flechas,
lneas continuas, que marcan direccin. indicando los movimientos
realizados por
Valentina. Presentan diversas escenas con las distintas acciones
realizadas por Valentina,
complementando con flechas para indicar el movimiento.
Construyen la figuracin de
forma secuencial, utilizando instantes de referencia, indicando
cambios de posicin, as
como connotar que forman parte de instantes posteriores al
instante de referencia. El
nivel de iconicidad de las figuraciones, es alto, y an es
posible identificar las relaciones
espaciales del fenmeno, al complementar esta figuracin con la
representacin del
escenario donde se realiza el movimiento.
E1c E1b E1a
Imagen 4 Secuencia movimiento,contexto y grfica.
Tercer anlisis. La representacin del patio circular y de la
ubicacin de la sala
de musica y de la biblioteca dan encuadre y espacialidad a la
zona en que se figuran los
movimientos que realiza valentina. Se constituyen en fondo y
marco de la figura, que
permiten al estudiante focalizar en un contexto la mirada en las
trayectorias de
Valentina. Marcan en los puntos en que cambia el movimiento con
los valores
numricos presentes en el enunciado y as indicar las distancias a
recorrer por Valentina.
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El movimiento, queda implcito en las lineas, las cuales invitan
a ojo a recorrer una
trayectoria en la imagen. Se recurre a la lnea para expresar los
movimientos de
Valentina. Lnea que para Kandinsky (1993) Es la traza que deja
el punto al moverse
y es por lo tanto su producto. Surge del movimiento al
destruirse el reposo total del
punto. Hemos dado un salto de lo esttico a lo dinmico.
Las figuraciones, presentan los cinco puntos que despus son
figurados en la
grfica cartesiana, del mismo modo tienen marcan las lineas de
desplazamiento del
sujeto. Elemento que se ven destacados en las figuraciones
cartesianas. Ello da cuenta
de la articulacin que existe entre esta primera representacin
altamente icnica y las
grficas cartesianas realizadas despus. As, a modo de sntesis al
enfrentar la tarea de
hacer la grfica del movimiento cumple con el rol de escenario en
el cual se desarrolla
el movimiento y otro que representa el movimiento, ambos icnicos
y de bajo
simbolismo, presentan una representacin figurativa del fenmeno.
Ambos elementos
fueron utilizados como etapas previas para comprensin de la
situacin, que
posteriormente finalizo con la realizacin de la grfica
cartesiana.
Esta utilizacin de figuraciones, va constituyendo en una
practica socioescolar,
toda vez que dos de los casos no responden a la misma institucin
educativa. Prctica
que involucra la construccin de una representacin figurativa del
fenmeno,
estructurando desde la evocacin del mismo, dos elementos que dan
sentido a la
comunicacin del fenmeno de variacin: El escenario y/o marco en
el que se desarrolla
el movimiento, dado por un patio circular y los puntos clave
donde ocurren cambios y,
la figuracin de la trayectoria del mvil en ese espacio. En un
proceso que va
despojando de elementos contextuales para poder graficar
finalmente solo las variables
solicitadas, en una prctica de representacin figurativa del
fenmeno, a las que
concurren aspectos socioculturales, cognitivos y matemticos.
A modo de conclusin. El punto de partida de en esta primera
etapa fue identificar si
los estudiantes eran capaces de comprender el problema, adems de
construir una
grfica que representase los cambios de posicin con respecto al
tiempo. Ante este
desafo todos los estudiantes fueron capaces de cumplir de forma
global con la tarea, sin
embargo desde una mirada local, su grfica cartesiana en muchos
casos solo puntualiza
eventos especficos de la situacin planteada, dejando de lado la
graduacin por
intervalos desde la mirada de los ejes y evidenciando su
concepcin del movimiento
como algo constante, al utilizar mayoritariamente trazos rectos
al grficar.
Las practicas de figuracin previa a la grfica realizada por los
estudiantes nos
presenta su necesidad de representar contexto y movimiento a lo
que varia,
involucrando aspectos socioculturales, cognitivos y matemticos,
permitiendo articular
las nociones de argumentos y herramientas, estableciendo una
practica socioescolar en
la construccin de la grfica propuesta.
Los resultados del anlisis realizado, invitan a proyectar la
articulacin de
diversas prcticas de figuracin, haciendo concurrir figuraciones
icnicas y su
interpretacin y figuraciones cartesianas escolares, que elicitan
metforas de base desde
los casos presentados.
Bibliografa
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Barthes, R. (1964). Ensayo: Retrica de la imagen. Paids
Comunicacin.
Buenda, G. (2004). Una epistemologa del aspecto peridico de las
funciones en un
marco de prcticas sociales (Un estudio socioepistemolgico).
Centro de
investigacin y de estudios avanzados del instituto politcnico
nacional. Distrito
federal, Mxico.
Cantoral, R., & Farfn, R. (1998). Pensamiento y lenguaje
variacional en la
introduccin al anlisis. Epsilon, 42(3), 854856. Carrasco, E.,
& Diaz, L. (2012). Dos casos de figuracin para lo que vara.
Documento
interno de trabajo Postgrado en Educacin Matemtica, Universidad
de los
Lagos, Chile.
Cen, C. (2006). Los funcionamientos y formas de las grficas en
los libros de texto: una
prctiva institucional en el bachillerato. Tesis de Maestra no
publicada del
Departamento de Matemtica Educativa, Cinvestav-IPN.
Daz, L. (2005). Profundizando en los entendimientos
estudiantiles de variacin.
RELIME. Revista latinoamericana de investigacin en matemtica
educativa,
8(2), 145168. Kandinsky, N. (1993). Punto y lnea sobre el plano:
Contribucin al anlisis de los
elementos pictricos. Labor S.A.
Torres, A. (2004). La modelacin y las grficas en situaciones de
movimiento con
tecnologa. (Tesis no publicada del Programa de Maestra).
CICATA-IPN.,
Mexico.
