Modelo de homotopia de orden 3 para el

memrristor- Caracterización de una solución de

tercer orden de homotopia de la ecuación

diferencial algebraica del memrristor.

Fuentes Castillo Héctor Alberto, Instituto

Politécnico Nacional - Unidad Profesional

Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnología

Avanzadas, fuenteshect@gmail.com. Asesor: Dr.

Alejandro Díaz Sánchez y Dr. Arturo Sarmiento

Reyes, Instituto Nacional de Astrofísica, Óptica y

Electrónica Puebla jarocho@inaoep.mx,

adiazs@inaoep.mx

Introducción

En 1971 el Prof. León O. Chua introdujo por primera

vez el memrristor [1], como el cuarto elemento

básico pasivo; finalmente en 2008 fue descubierto

dentro de HP Labs y a partir de entonces ha

comenzado un gran auge de su estudio, en virtud de

sus posibles aplicaciones en electrónica. El

memrristor completa el esquema de relaciones de

rama entre las cuatro variables eléctricas (fig. 1):

voltaje, corriente, carga y flujo. Posteriormente Chua

describió una familia de sistemas dinámicos

denominados sistemas memrristivos, de los cuales el

memrristor es un caso particular.

El memristor se entiende como todo dispositivo que

establezca una relación de rama entre las variables

eléctricas flujo y carga, esta relación de rama puede

o no ser lineal, dentro de las posibles relaciones que

se pudieran dar, existen algunas de interés especial,

y estas son aquellas que sean inyectivas para al

menos una de las variables eléctricas, esta condición

establece la forma de control del dispositivo por una

o ambas variables eléctricas, es decir si el flujo Φ es

funcion de carga se dice que el dispositivo es

controlado por carga[4]. Analogamente ocurre con

los casos controlados por flujo.

Asumiendo un memrristor controlado por carga

tendríamos una expresión de la forma:

(1)

Donde fm(q) es función de la carga; luego es posible

obtener una expresión para el potencial

diferenciando con respecto al tiempo.

(1.1)

O de forma equivalente haciendo

Y sustituyendo en (1)

(2)

Donde u es el voltaje e i (t) es la corriente, de donde

se puede apreciar que se trata de un dispositivo

controlado por corriente, llamaremos a M (q)

memrristancia en lo sucesivo.

El modelo físico en el que se basó el trabajo, es el

proporcionado por HP en su artículo publicado en

Nature[2], dado que no existían sistemas prácticos

con las propiedades de memrristancia no lineal, por

ello se emplearon los parámetros de fabricación

logrados por HP para el memrristor. El modelo físico

consiste de una película de semiconductor de

espesor D con un par de terminales en los extremos,

dentro de la película existen dos regiones

diferenciadas por el dopado del semiconductor, una

con dopado de iones asumidos como positivos, y

otra con muy pobre dopado como se muestra a

continuación:

La longitud w denota la región dopada, al ser

polarizado por un voltaje causara un campo eléctrico

uniforme bajo el cual los dopantes entraran en

movimiento de deriva iónica lineal, causando que la

frontera establecida a una distancia w se mueva.

Obteniendo para dopantes de movilidad promedio

μV la siguiente expresión considerando resistores

en serie según [2].

(3)

Y para la deriva iónica lineal se tiene:

(4)

De donde se deduce:

(5)

Y al sustituir esta última expresión en v (t)

obtenemos la expresión de memrristancia de este

modelo físico que se simplifica dejando asumiendo

que Ron <<R off:

(6)

Aquí es donde la ventaja de modelos nanométricos

resulta evidente pues se puede notar que la

memrristancia se ve ampliamente beneficiada por

espesores D mucho más pequeños.

En las expresiones antes descritas la variable de

estado inicial w está limitada a valores entre 0 y D,

sin embargo es de especial utilidad emplear una

normalización bajo la cual se establecen los

siguientes parámetros:

La variable w está limitada en un rango de [0, D],

podemos cambiar esta variable por y*D y dejando

únicamente que el rango sea [0,1], además

introducimos la función de ventana fw (y), como

coeficiente del segundo miembro obtenemos la

ecuación diferencial algebraica correspondiente a la

coordenada y (t) de la frontera entre las regiones

dopada y no dopada. La función de ventana debe ser

introducida, como se reportó en [3], debido a que

pequeños voltajes en películas delgadas producen

enormes campos eléctricos de provocando así un

comportamiento no lineal en la velocidad e

transporte de los iones dopantes. La función de

ventana fw aquí propuesta tiene la forma de un

polinomio de grado tres sin término independiente:

(7)

Finalmente remplazando D por Δ tenemos la

siguiente ecuacion algebraica diferencial:

(8)

Con valor inicial y(0)=Xo

Esta ecuación diferencial no lineal fue resuelta

utilizando el método conocido como perturbación

de homotopia (HPM por sus siglas en inglés) el

método introduce un parámetro p cuyo rango esta

entre cero y uno.

Para el método de perturbación de homotopia una

ecuación diferencial no lineal puede ser expresada

de la siguiente forma [5]:

(9)

Donde L y N son los operadores lineal y no lineal, y

f(r) es una función analítica conocida.

La formulación de homotopia puede entonces

establecerse como:

(10)

Don de u es la aproximación de la solución de H(u, p)

y p es conocido como el parámetro de perturbación

de homotopia.

La solución de (10) puede ser vista en serie de

potencias como:

(11)

Luego el modelo que hemos obtenido puede ser

sustituido en la formulación de homotopia.

(12)

De la siguiente forma:

(13)

A partir de donde se sigue el proceso de homotopia

y cuyo criterio u orden es el número de términos a

tomar, para este trabajo se empleó una solución de

orden tres, que se presenta en la siguiente sección.

Solución preliminar de la ecuación diferencial

algebraica

Posteriormente empleando métodos numérico -

simbólicos de homotopia fue posible hallar una

solución preliminar de esta expresión de forma

cerrada, para homotopia de orden tres, la solución

fue la siguiente:

(14)

Donde la corriente de excitación fue:

(15)

Y con cambios en las siguientes variables:

Y (16)

La funcionalidad de esta posible solución, sus

características así como las repuestas presentadas

por el modelo propuesto a distintos valores de la

variable de estado Xo (valor inicial), Ap: amplitud de

la señal de excitación y a1: coeficiente del polinomio

utilizado como función ventana fueron analizados.

Análisis inicial de la solución

Dada la forma de la solución, como una suma de

términos que son coeficientes de cosenos

justamente en la frecuencia base, y el resto con

frecuencias de múltiplos enteros de la frecuencia

fundamental así como una componente

aparentemente fija en frecuencia. El análisis se

realizó con ayuda de la paquetería de software

MAPLE, por brevedad solo se han incluido aquellas

gráficas de los coeficientes contra los parámetros

más relevantes.

Primero mostramos un gráfico de la solución

completa, contra la frecuencia y el tiempo,

manteniendo la variable de estado inicial Xo

constante e igual a 0.1.

Como primera referencia podemos observar que la

expresión de “componente en DC”, esta ha sido

graficada contra la variación de la frecuencia

trabajando con una condición inicial variable Xo en

un rango [0,1] y la frecuencia tomando valores de 0

hasta 10 y tomando el resto de parámetros de los

reportes de HP Labs (anexos):

La grafica anterior muestra el comportamiento

únicamente de la componente de frecuencia cero

contra frecuencia y contra la variable de estado. Para

el análisis de los componentes armónicos se dejaron

fuera los factores coseno para enfocarnos

únicamente en el comportamiento de sus

coeficientes contra los parámetros Xo y ω con el fin

de facilitar la interpretación dada la naturaleza de la

función coseno.

H1 ->

H2 ->

H3 ->

Análisis de la memrristancia obtenida

A partir de la solución obtenida para y(t), fue posible

obtener una expresión correspondiente para la

memrristancia. Dada por:

(Yt=Y(t))

De acuerdo con la ecuación (3), posterior a ello se

agruparon nuevamente los términos de manera

análoga a como se hizo con la función Y(t) y con dicha

expresión ordenada se realizaron gráficas

correspondientes a los armónicos que se muestran a

continuación igualmente contra frecuencia y contra

la variable de estado Xo.

H0 ->

H1 ->

H2 ->

H3 ->

Curvas voltaje - corriente

Una vez revisados los coeficientes se trabajó con las

expresiones resultantes para las curvas de voltaje –

corriente, donde se observaron lazos de histéresis,

con una tendencia a colapsar al incrementar la

frecuencia, aquí mostramos una gráfica

concentradora de dichos lazos para distintas

frecuencias; con una variable de estado Xo=0.1, y el

resto de parámetros con los valores que se han

venido trabajando:

Como se mencionó antes, bajo este modelo los lazos

tienden a contraerse en rectas al incrementar la

frecuencia.

También fueron obtenidas para este mismo grupo de

frecuencias las curvas memrristancia-voltaje y

memrristancia-corriente que se muestran a

continuación:

Posteriormente la solución fue considerada para

obtener las curvas ahora bajo frecuencia constante,

haciendo variar otros parámetros, por brevedad

solo se incluyen aquellas en las que el modelo

presento comportamientos interesantes, por

ejemplo al obtener las curvas de voltaje –corriente

se observaron comportamientos interesantes dentro

de dos rangos de valores para Xo. El primer es

(0.1,0.3), en donde la curva abandona el primer y

tercer cuadrante característicos de los elementos

pasivos. Mostramos a continuación un gráfico en

este rango.

Otro rango limitante encontrado fue en valores

pertenecientes al rango [0.45, 0.65], donde se

presenta un comportamiento de contracción de los

lazos de histéresis llegando incluso a ser curvas

multi-valuadas. Por ejemplo:

Las curvas de memrristancia evidentemente

muestran efectos de memrristancia negativa y multi-

valuada en estos rangos.

Otras regiones críticas ocurren también al modificar

otros parámetros de fabricación, pero antes

mostraremos el rango de amplitud [1/25000,

1/12500] de la señal de excitación para el cual el

modelo también presenta problemas.

Al variar Ron hallamos problemas para valores

superiores a 100 Ω y para valores de a1 mayores a 3.

Sin embargo es importante notar que estas

singularidades solo ocurren al emplear frecuencias

bajas, en este caso a frecuencias superiores a 2 rad/s

el modelo no presentó regiones críticas.

Conclusiones generales

Los elementos memrristivos introducidos por Chua,

establecen sin duda un nuevo desarrollo dentro de la

electrónica púes, dentro de las aplicaciones

potenciales se encuentran un sin fin de productos y

tecnologías, que incluyen memorias semi-vólatiles,

redes de aprendizaje asi como toda una nueva

familia de circuitos y sistemas electrónicos. La

caracterización de la soluciones mejora el

entendimiento de la naturaleza dinámica del

memristor, con el propósito de darle usos

adecuados. El análisis ha arrojado características del

comportamiento del dispositivo, para múltiples

frecuencias, además de caracterizar su

comportamiento bajo distintas condiciones iniciales

y parámetros de fabricación, como se muestra en la

última sección aún quedan problemas abiertos, sin

embargo podemos afirmar que el modelo aquí

presentado resulta útil fuera de estas singularidades

y como un marco de referencia para futuras

propuestas de modelos de memrristor.

[1] CHUA, L.O. Memristor – the missing circuit

element. IEEE Trans. Circuit Theory, 1971, vol. CT-18,

no. 5, p. 507 – 519.

[2] DMITRI B. STRUKOV, GREGORY S. SNIDER,

DUNCAN R. STEWART & R. STANLEY WILLIAMS- The

missing memristor found. Nature Magazine, Vol

453| 1 May 2008| doi:10.1038/nature06932.

[3] Z. BIOLEK, D. BIOLEK, V. BIOLKOVÁ - spice model

of memristor with nonlinear dopant drift.

Radioengineering, vol. 18, no. 2, june 2009.

[4] SANGHO SHIN, MEMBER, KYUNGMIN KIM AND

SUNG-MO KANG.- Compact Models for Memristors

Based on charge–Flux Constitutive Relationships.

IEEE transactions on computer-aided design of

integrated circuits and systems, vol. 29, no. 4, april

2010.

[5] CARLOS HERNÁNDEZ MEJÍA, ARTURO

SARMIENTO REYES, HÉCTOR VÁZQUEZ-LEAL.- Existence of Multiple Operating Points in Memristive

Circuits. Circuits and Systems (LASCAS), 2012 IEEE

Third Latin American Symposium on Circuits and

Systems.

Anexo. Parámetros físicos del memrristor reportados

en [2]: