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Santizo
Este informe fue presentado por el autor como trabajo del Ejercicio Profesional Supervisado EPS, previo a optar el grado de Licenciado en Pedagogía y Administración Educativa.
Guatemala, septiembre de 2009
INDICE Pág.
INTRODUCCIÓN 1
CAPITULO I
1. DIAGNÓSTICO INSTITUCIONAL 1
1.1 Datos generales de la Institución 1
1.1.1 Nombre de la institución 1
1.1.2 Tipo de institución 1
1.1.3 Ubicación geográfica 1
1.1.4 Visión 1
1.1.5 Misión 1
1.1.6 Políticas institucionales 2
1.1.7 Objetivos 2
1.1.8 Metas 2
1.1.9 Estructura organizacional 3
1.1.10 Recursos (humanos, físicos, financieros) 3
1.2 Técnica utilizada 5
1.3 Lista y análisis de problemas 6
1.4 Comunidad beneficiada 9
1.5 Análisis de viabilidad y factibilidad de las soluciones a los
problemas 12
1.6 Problema seleccionado 15
1.7 Solución propuesta como viable y factible 15
Capitulo II 16
2. Perfil del proyecto 16
2.1 Aspectos generales 16
2.1.1 Nombre del proyecto 16
2.1.2 Problema 16
2.1.3 Localización 17
2.1.4 Unidad Ejecutora 17
2.1.5 Tipo de proyecto 17
2.2 Descripción del proyecto 17
2.3 Justificación 18
2.4 Objetivos 18
2.4.1 General 18
2.4.2 Específicos 19
2.5 Metas 19
2.6 Actividades 19
2.7 Beneficiarios 21
2.7.1 Directos 21
2.7.2 Indirectos 21
2.8 Fuentes de financiamiento y presupuesto 21
2.9 Cronograma de actividades 27
2.10 Recursos 29
Humanos 29
Financieros 29
Materiales 29
Capitulo III 31
3 Proceso de ejecución del proyecto 31
3.1 Actividades y resultados 31
3.2 Productos y logros 37
Capitulo IV 43
4 Proceso de evaluación 43
4.1 Evaluación del diagnóstico 43
4.2 Evaluación del perfil 43
4.3 Evaluación de la ejecución 43
4.4 Evaluación final 44
CONCLUSIONES 45
RECOMENDACIONES 46
BIBLIOGRAFÍA 47
APÉNDICE 50
ANEXOS 94
I
INTRODUCCIÓN Se presenta el informe final del Ejercicio Profesional Supervisado EPS, de la carrera de Licenciatura en Pedagogía y Administración Educativa, de la Universidad de San Carlos de Guatemala, parte última que constituye el requisito exigido para todos los estudiantes que aspiran a obtener el grado de Licenciatura. Esta etapa se considera importante en la cual el epesista lleva a la practica los conocimientos adquiridos durante su formación académica especialmente si dedica todo su empeño.
El informe se presenta en cuatro capítulos: I Diagnóstico, II Perfil del
Proyecto, III ejecución del proyecto, IV Evaluación del proyecto. En el capítulo I se encuentra el diagnóstico, que tiene como propósito la
investigación para conocer la situación externa e interna de la Institución patrocínate como lo es la Corporación Municipal de Nuevo Progreso San Marcos, seguidamente identificar y priorizar una carencia o necesidad y darle posible solución tomando en cuenta el análisis de viabilidad y factibilidad. En este apartado se da un informe general de los datos obtenidos a través de las técnicas empleadas la matriz del FODA, Fortalezas, Oportunidades, Debilidades y Amenazas de la institución y comunidad, donde se visualizó elementos internos (fortalezas y debilidades) y externos (oportunidades y amenazas) de la sede donde se realiza el Ejercicio Profesional Supervisado, la matriz de sectores e instrumentos de investigación, las cuales permitieron obtener información confiable y fehaciente de la institución. Esta etapa se considera fundamental ya que marcó el rumbo del trabajo a realizar. El diagnóstico institucional se llevó a cabo en la municipalidad de Nuevo Progreso, San Marcos. La problemática detectada fue la deficiente infraestructura del camino principal de acceso a la comunidad e inseguridad Vial. El capítulo II contiene la etapa de perfil de proyecto que se detecto después de ejecutado el diagnostico y el análisis de viabilidad y factibilidad, para tener la seguridad que el proyecto se puede llevar a cabo; se diseñó el proyecto con el título “ Fortalecimiento Educacional a través de un Módulo para la Enseñanza de la Matemática para el ciclo básico ”, fijando las acciones a desarrollar en la siguiente etapa que es la ejecución del proyecto, se elaboró un cronograma para programar sistemáticamente las actividades que dieron paso al alcance de objetivos.
ii El capítulo III contiene la tercera etapa que es el proceso de ejecución, que se refiere al desarrollo del proyecto, se realizaron las actividades descritas en el perfil de manera detallada y ordenada, estableciendo costos, tiempo, a través de esto se obtuvo lo que son los resultados, productos y el alcance de logros, mediante la observación y exploración del avance del proyecto. El capitulo IV contiene la cuarta etapa que se refiere a la evaluación del proyecto donde se realiza un proceso continuo de análisis y el impacto que tuvo en la comunidad beneficiada mediante instrumentos como es la lista de cotejo, entrevista estructurada y la evaluación de impacto. Al final se encontrarán las conclusiones que fueron establecidas mediante el análisis del proceso del desarrollo del proyecto también están las recomendaciones de carácter general.
- 1 -
CAPÍTULO I
1. DIAGNÓSTICO INSTITUCIONAL 1.1 DATOS GENERALES
1.1.1 NOMBRE DE LA INSTITUCIÓN:
Municipalidad de Nuevo Progreso San Marcos
1.1.2 TIPO DE INSTITUCIÓN
La municipalidad es autónoma y genera servicios.
1.1.3 UBICACIÓN GEOGRÁFICA
La Municipalidad se encuentra ubicada en la cabecera
Municipal de Nuevo Progreso, del departamento de San Marcos.
Se adjunta croquis en anexos.
1.1.4 VISIÓN
“Contar con un municipio próspero, ordenado, limpio, con
áreas ecológicas bien delimitadas, con un alto Producto Interno Bruto”
1.1.5 MISIÖN “Prestación de los servicios públicos esenciales y control de los
gastos discrecionales La Municipalidad de Nuevo Progreso, del
departamento de San Marcos, como órgano ejecutivo del Gobierno se
encarga de fortalecer el desarrollo urbano y rural, a través de los
recursos económicos, prioriza las necesidades comunitarias, y brinda
servicios a sus habitantes, para el mejoramiento social y cultural del
Municipio.
Fuente: Municipalidad del Municipio de Nuevo Progreso, San Marcos, Plan Estratégico Municipal
2,009.
- 2 -
1.1.6 OBJETIVOS
1.1.6.1 “Ser una de las mejores municipalidades del país.
1.1.6.2 Prestar eficientemente y con puntualidad los servicios.
1.1.6.3 Que el vecino se sienta parte del Municipio”
1.1.7 METAS 1.1.7.1 “Satisfacer las necesidades de la población.
1.1.7.2 Contar con personal identificado con el servicio del
vecino”.
1.1.8 POLÍTICAS INSTITUCIONALES
1.1.8.1 “Promover un desarrollo administrativo racional y
moderno de la municipalidad a fin de mejorar la
eficiencia de los procesos en todos los niveles para
coadyuvar en el logro de los fines y objetivos
institucionales.
1.1.8.2 Planificar la cantidad y calidad del personal
administrativo, técnico y de servicio a efecto de
racionalizar su contratación y distribución.
1.1.8.3 Optimizar la dotación, uso, crecimiento y
mantenimiento de los recursos físicos de la
municipalidad.”
Fuente: Municipalidad del Municipio de Nuevo Progreso, San Marcos, Plan Estratégico Municipal
2,009
- 3 -
1.1.9 “ESTRUCTURA ORGANIZACIONAL”
-
------------------------- -
Fuente: Municipalidad de Nuevo Progreso, San Marcos, Oficina Municipal de Planificación (O.M.P),
Administración Financiera Municipal.
Concejo Municipal
Alcalde Municipal
Secretario
Dirección de Servicios Públicos
Dirección Administrativa
Dirección Rec. Humanos
Dirección de Desarrollo Com.
Dirección Planfic. yDiseño Dirección
Financiera
Juzgado de asuntos municipales.
Dirección de Aguas
Dirección de Drenajes Dirección de Rel.
Públicas
Dirección de Ingeniería
Dirección de Alcaldías
Direc. De Policía Municipal
Dirección de Catastro
Direc. Construc. Privada
Registro Civil
- 4 -
1.1.9 Recursos
Recurso Humano
1. Alcalde Municipal Eluminio Cristóbal Cifuentes Gómez
2. Sindico Primero Laura Yolanda Aragón Rodas de Navichoque.
3. Sindico Segundo Jorge Leocadio Ramírez Pérez
4. Concejal 1º. Arnulfo Trinidad Juárez Orozco
5. Concejal 2º. Julio César Pereira Pérez
6. Concejal 3º. Nelson Otoniel Bonilla Zaldaña
7. Concejal 4º. Efraín German López Cardona
8. Concejal 5º. Henry Wellington Barrios Rodríguez
Tesorero Municipal Rogelio Francisco García.
Auxiliar de Tesorería 1 Aurora Hipólita Carreto Cardona
Auxiliar de Tesorería 2 Lucí Anabela Cifuentes Pérez
Secretario Municipal Nelson Froilan Velásquez Rafael
Oficial 1º. Atiliano Reyes Fuentes
Oficial 2º. Jorge Humberto Morales
Oficial 3º. Alba Carmela Flores Cisneros
Oficial 4º. Luisa Ramírez
Fontanería Trinidad Catarino Méndez
Ayudante de Fontanería Amilcar Arnoldo Constanza
Registro Civil Nelson Froilan Velásquez Rafael
Fuente: Municipalidad del Municipio de Nuevo Progreso, San Marcos, Oficina Municipal de
Planificación (O.M.P), Administración Financiera Municipal.
- 5 -
Archivo Registro Civil No hay encargado por el momento
Jefatura Policía Municipal Baldomero Miranda
Agente Policía Hermelindo Gonzáles
Barrenderos Adán Cifuentes,
Filadelfo Flores
Luís Pascual,
Faustino Orozco
Peones Adán Cifuentes,
Luís Pascual
Faustino Orozco
Encargado Cementerio Juan Ramírez
Electricista Lucas Media
1.1.10.1.3 Personal de servicio:
10 trabajadores, integrados por albañiles,
ayudantes, mecánicos, electromecánicos,
bodegueros, fontaneros, plomeros,
operadores de bandas, pintores,
soldadores, electricistas, peones de
limpieza, guardianes, conserjes, cobradores
de mercados, jardineros, encargados de
cementerio, sepultureros, alienadores,
mediadores de frentes, maestros de obras,
seguridad especial para la alcaldía”
Fuente: Municipalidad del Municipio de Nuevo Progreso, San Marcos, Oficina Municipal de
Planificación (O.M.P), Administración Financiera Municipal.
- 6 -
1.1.10.2 FÏSICO
La Municipalidad de Nuevo Progreso San Marcos cuenta con 16
bienes inmuebles, que son utilizados por para instituciones como
el IGSS, la supervisión educativa, asociación para ADISMA, la
Policía Nacional Civil y el salón de usos múltiples. Como también
el mercado municipal, cancha de foot ball, escuela de párvulos,
bodega, sanitarios públicos y oficinas de secretaría, asesoría
jurídica, auditoria interna, dirección administrativa, recursos
humanos, dirección financiera, sección de presupuesto, relaciones
públicas, alcaldías auxiliares, policía municipal, departamento de
cédulas, archivo, inventario, Tesorería, Planillas y sueldos,
cobranzas, compras, tesorería.
1.1.10.3 FINANCIEROS
“La cantidad de dinero que recibe la municipalidad de
Nuevo Progreso anualmente como presupuesto de la nación es de
Q. 7, 365, 222,000.00 que sirven para financiar pago de empleados
municipales, realización de obras comunitarias que contribuyen
con el desarrollo social y cultural del municipio.
En relación a egresos como salarios, materiales, suministros,
servicios profesionales, reparaciones, construcciones,
mantenimiento, servicios técnicos y servicios generales la
municipalidad invierte aproximadamente Q. 1, 677,487.39”
Fuente: Municipalidad del Municipio de Nuevo Progreso, San Marcos, Plan Operativo Anual.
Proyecto Cuenca Naranjo Suchiate.
- 7 -
1.2 TÉCNICA UTILIZADA PARA EL DIAGNÓSTICO
La técnica que se utilizó para llevar a cabo el diagnóstico institucional de
la municipalidad de Nuevo Progreso, San Marcos fue el foda. Para la
recopilación de la información se utilizó la investigación documental,
observación, entrevista con sus instrumentos como fichas de
observación, cuestionarios y la matriz de sectores.
La matriz de sectores se divide en 8 sectores, los cuales se mencionan a
continuación: sector I Comunicad, en el cual se tuvo una visión del
contexto del municipio de Nuevo Progreso San Marcos, como localización,
tamaño, clima y otros aspectos. Sector II Infraestructura: se refiere al
estado físico de la institución en la cual se va a ejecutar el proyecto; sector
III Finanzas: se investigó los ingresos y egresos de la institución tanto
proveniente del Estado como de otras instituciones; sector IV Recursos
Humanos: consiste en establecer la cantidad de personas que trabajan en
la institución así como la cantidad de usuarios que atiende; Sector V
Currículum: por ser una institución que genera servicios se pudo cubrir
algunos aspectos de dicho sector como tipo de servicios, hora de atención
a los usuarios; sector VI Administrativo: la investigación se enfocó a
establecer los tipos de planes que se utilizan, así como la organización, la
coordinación, el control, y los mecanismos de supervisión que utilizan.
VII Relaciones: se trato de establecer la coordinación que tiene la
institución con otras instituciones; VIII Filosófico, político, legal: esta
investigación se enfocó a los principios filosóficos de la institución, la
visión, misión, políticas, estrategias, objetivos y reglamentos internos.
Fuente: Municipalidad del Municipio de Nuevo Progreso, San Marcos, Plan Operativo Anual.
Proyecto Cuenca Naranjo Suchiate.
- 8 -
1.2 LISTA Y ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE LA MUNICIPALIDAD
PRINCIPALES PROBLEMAS DEL SECTOR
FACTORES QUE ORIGINAN LOS PROBLEMAS
SOLUCIÓN QUE REQUIEREN LOS PROBLEMAS
ALTERNATIVA POSIBLE PARA LA SOLUCIÓN
Sector Comunidad 1. Insuficientes centros recreativos para los habitantes del municipio.
Aumento de la población en el municipio.
Compra de terrenos para construir centros recreativos
Mejorar y/o ampliar centros recreativos existentes.
Sector Infraestructura 2. Las oficinas del anexo I y II no son confortables ni amplias para el número de personas que labora en las mismas.
Los edificios en donde se encuentran ubicadas no fueron construidos con ese fin.
Rediseñar las instalaciones de los edificios.
Readecuar las instalaciones
3. Falta de equipamiento en la guardería municipal.
Mobiliario deteriorado e insuficiente
Solicitar equipamiento a la Municipalidad.
Gestionar donación de mobiliario y equipo a instituciones privadas.
4. Los trámites que se realizan en las dependencias son tardados.
Equipo obsoleto e insuficiente
Compra de Equipo
Actualizar equipo.
Sector Finanzas 5. No se pudo obtener información exacta de los ingresos y egresos de la municipalidad.
Cambio de autoridades. Por considerarse información confidencial.
Elaborar un informe anual con los ingresos y egresos de la municipalidad.
Proporcionar información de los ingresos de la municipalidad.
Recursos Humanos 6. Desconocimiento del número de personas que labora en cada dirección.
Falta de clasificación del personal.
Elaborar un organigrama por dirección.
Organizar los expedientes de cada empleado por dirección.
Currículo
7. No se evalúa al personal durante el desarrollo de su trabajo después del período de prueba.
Carencia de supervisores
Nombrar supervisores por dirección
Que los directores presenten informes por empleado.
Sector Administrativo 8. Algunos empleados
Inexistencia de normas de control y
Que los directores elaboren un informe mensual
Que la dirección de Recursos Humanos supervise el
- 9 -
municipales no realizan su trabajo con responsabilidad.
supervisión. de las actividades que se realizan.
trabajo de cada dirección.
9. Duplicidad de funciones.
Inexistencia del manual de funciones.
Elaborar un manual de funciones.
Que la dirección de Recursos Humanos asigne únicamente al personal necesario.
Sector de Relaciones 10. La municipalidad no realiza actividades socioculturales con otras instituciones.
Falta de comunicación con otras instituciones.
Que la municipalidad participe en actividades socioculturales con otras instituciones.
Que la municipalidad organice actividades socioculturales.
Sector Filosófico 11. Inexistencia de normas que regulen el funcionamiento interno de la municipalidad.
Falta de un reglamento interno para los trabajadores.
Elaborar un reglamento interno.
Que cada dirección establezca sus normas.
- 10 -
PARTE II
1.1 Datos de la Institución Beneficiada. La Coordinación Técnico Administrativa de Educación No. 112.12.1 de Nuevo
Progreso San Marcos es una Organización Gubernamental orientada a accionar un
buen nivel educativo realizando actividades de coordinación, información, asesoría,
orientación, capacitación, seguimiento y evaluación de los servicios educativos con el
fin de cumplir con las Políticas Educativas vigentes en nuestro país.
La Coordinación Técnico Administrativa de Educación No. 12.12.1 de Nuevo
Progreso, San Marcos fue creada según Resolución 02/99 RAMH a partir del 4 de
enero de 1999, atiende las escuelas Primarias del área rural y urbana, como
también los centros educativos nocturnos del área urbana.
Está situada en el Municipio de Nuevo Progreso San Marcos, su ubicación
esta dentro del edificio Municipal a cargo de la Licda. Ana Victoria Rodas Marroquín
siendo su jefe inmediato: Lic. en Administración Educativa Arnoldo Sandoval.
1.1.1. “VISIÓN Mejorar la calidad educativa, tomando en consideración las características
culturales y lingüísticas de la población educativa orientándola de tal forma que los
futuros ciudadanos vivan en una sociedad que consolide la paz y la democracia.
1.1.2. MISIÓN Facilitar la educación para mejorar su calidad, orientando, asesorando y
capacitando a los directores, docentes y estudiantes de las escuelas vespertinas del
área rural y urbana, como también los centros educativos nocturnos del área urbana
y Rural de Nuevo Progreso, San Marcos. Y en los aspectos:
a. Planificación y Organización
b. Desarrollo curricular y planificación, ejecución y evaluación de procesos de
enseñanza y aprendizaje.
c. Administración de personal y Legislación Educativa vigente. “ 1
Fuente: Coordinación técnica Administrativa No. 12.12.1 Nuevo Progreso, San Marcos, Plan
Operativo Anual 2,009.
- 11 -
1.1.4 Organigrama General Dirección Departamental de Educación.
Director Departamental
de Educación
Secretaria
Ejecutiva Asesor
Jurídico
Unidad de Desarrollo
Educativo (UDE)
Unidad de Desarrollo
Administrativo (UDA)
Unidad de Planificación y Administración
Financiera (UPAF)
Oficina de Servicio a la Comunidad
(OSC) Asistent
e Profesional IV
Asistente Profesion
al IV
Asistente Profesion
al IV
Asistente Profesion
al IV
Secretaria
Secretaria
Asistente Técnico IV
Secretaria
Establecimientos
Educativos Privados
Personal Operativ
o
Programas y Proyectos
Coordinadores Técnicos
Administrativos
Administradores Zonales
Directores
Maestros
Alumnos
Padres de Familia
______________________________________________________________________ Fuente: Archivo de Dirección Departamental de Educación, Plan Operativo Anual, Supervisión Departamental de Educación. Pag. 6
- 12 -
Educación del Distrito Escolar 12.12.1
Coordinador Técnico
Departamental
SSeeccrreettaarriiaa DDiirreeccttoorreess
PPaaddrreess ddee DDoocceenntteessCCoonnsseerrjjee
Alumnos
_________________________________________________________________ Fuente: Archivo de Dirección Departamental de Educación, Plan Operativo Anual, Supervisión Departamental de Educación. Pag. 8
- 13 -
1.5 Cobertura
“Escuelas Primarias Vespertinas, área urbana. EOUM de Aplicación JV con 225 alumnos, 6 maestros, 1 Director
EOUM JV con 121 alumnos, 7 maestros, 1 Director
EOUM JV Tipo Federación Rubén Villagrán Paúl con 94 alumnos, 6 maestros, 1
Director.
EOUM Monterrey JV con 221 alumnos, 8 maestros, 1 Director.
EOUM Soledad Ayau con 74 alumnos, 6 maestros (uno comisionado) (El director
hace docencia)
EOUM El Pedregal I JV con 25 alumnos, 2 maestros (uno comisionado)
Escuelas Primarias Vespertinas área rural.
EOUM de Cantón Sula con 13 alumnos, 1 maestro.
EOUM de Cantón Tableros (maestro comisionado)
EOUM de Colonia Manuel de Jesús (maestro comisionado)
Escuelas Primarias Nocturnas, área urbana. Escuela Oficial para adultos con 212 alumnos, 7 maestros, 1 Director.
Institutos Oficiales Nocturnos, área urbana. Instituto Básico Adscrito al Instituto Carlos Dubón, con 313 alumnos y 9 catedráticos.
Instituto Nocturno de Ciencias Comerciales Adscrito al Instituto Carlos Dubón, con
117 alumnos, 9 catedráticos, 1 Director para los dos institutos.
- Jornada Vespertina 1. Escuela Oficial Urbana Mixta Rubén Villagrán Paú JV.
2. Escuela Oficial Urbana Mixta JV.
3. Escuela Oficial Urbana Mixta de Aplicación JV.
4. Escuela Oficial Urbana Mixta Monterrey JV.
- 14 -
5. Escuela Oficial Urbana Mixta Soledad Ayau JV.
6. Escuela Oficial Urbana Mixta El Pedregal I. JV.
7. Escuela Oficial Rural Mixta Manuel de Jesús JV.
8. Escuela Oficial Rural Mixta Tableros JV.
9. Escuela Oficial Rural Mixta Cantón Sula.
- Jornada Nocturna 10. Escuela Oficial para Adultos (funciona en Escuela Oficial Urbana Mixta)
11. Instituto Básico Adscrito a Instituto Carlos Dubón.
12. Instituto Diversificado Adscrito a Instituto Carlos Dubón.
NOTA: Los establecimientos educativos 11 y 12 están a cargo de un mismo director.
1.6 Normas y Procedimientos 1.6.1 Normas
- El conserje será el responsable de entregar la correspondencia dirigida al
Director Departamental de Educación y a las Coordinaciones Técnico
Administrativas.
- La secretaria de la Coordinación Técnico Administrativa Distrito Escolar No.
12.12.1 será la única encargada de recibir y enviar la correspondencia.
- La secretaria sellará de recibido la correspondencia y de inmediato la pasará a
su superior.
- El Coordinador Técnico Administrativo revisará la correspondencia, si es
necesario contestarla, dictará la respuesta a la secretaria.
- La secretaria elabora la respuesta de la correspondencia en original y copia,
distribuyéndola así:
Original: se enviará a la persona o institución que así lo requiera.
Copia: correspondencia para el archivo correlativo.
- La secretaria llevará control de entradas y salidas de correspondencia por
medio del archivo correlativo.
Fuente: Archivo de Dirección Departamental de Educación, Plan Operativo Anual, Supervisión Departamental de Educación. Pag. 11
- 15 -
1.6.2 Procedimientos
- Conserje: Entrega de correspondencia a secretaria.
- Secretaria: Recibir correspondencia al conserje.
Sella de recibido.
Lee y clasifica la correspondencia.
Traslada la correspondencia al Coordinador Técnico
Administrativo.
- Coordinador Técnico Administrativo:
Recibe correspondencia, revisa y determina.
01. Si se contesta llama a la secretaria quien tomará el dictado de la carta en
taquigrafía.
02. Si no debe contestarse esa correspondencia, el Coordinador Técnico
Administrativo la devuelve a la secretaria para su archivo.
- Secretaria: Archiva la correspondencia que no se contesta.
Toma dictado de las cartas en taquigrafía.
Transcribe la carta en original y una copia, con su sobre
Respectivo.
- Coordinador Técnico Administrativo:
Revisa la carta y determina:
01. Si está correcta, firma y sella, devuelve la carta a la secretaria para que
siga su trámite o vía.
02. No está correcta. Devuelve la carta a la secretaria para su corrección.
- Secretaria: Separa original y copia.
Coloca la carta en el sobre respectivo.
Entrega la carta al conserje para que lo lleve al destinatario.
- Conserje: Recibe sobre y lo entrega al destinatario.
Entrega copias de recibido a secretaria.
- Secretaria: Archiva copias de la correspondencia enviada.
- 16 -
1.7 Registros y Controles. Los registros y controles con que cuenta la Coordinación Técnico
Administrativa de Educación No. 12.12.1, de escuelas Primarias Jornada Vespertina
del Municipio de Nuevo Progreso San Marcos son: Libro de Actas y Libro de
Conocimientos. Los controles con que cuenta son: Libro de Asistencia, Archivo de
Correspondencia enviada y recibida, Cronograma de Visitas, Informe Mensual de
Avances y Control de Circulares, Resoluciones, Providencias, Oficios y Telegramas
enviados y recibidos.
Situación Financiera (Presupuesto Asignado) La Coordinación Técnico Administrativa de Educación No. 12.12.1, de
escuelas Primarias Jornada Vespertina del Municipio de Nuevo Progreso, San
Marcos, no cuenta con presupuesto asignado directamente, ésta tiene que diseñar
proyecto presupuesto del material y equipo que necesita y después de enviarlo a la
UPAF, que es el encargado de autorizar o denegar dicho presupuesto.”
1.8 Situación Administrativa Recursos Humanos (Organización, Funciones o Atribuciones, Organigrama
Funcional o Nominal)
Organización
Por primera vez, en el Municipio de Nuevo Progreso, San Marcos la
Coordinación Técnico Administrativa encargada de atender, exclusivamente,
asuntos relacionados con escuelas primarias de jornada vespertina que permite un
mejor acercamiento con las comunidades educativas y así mejorar la calidad de la
educación.
Fuente: Archivo de Coordinación Técnico Administrativo No. 12.12.1
18
- 17 -
1.8.1 Funciones o Atribuciones
La Coordinación Técnico Administrativa se basará en dos grandes ámbitos
que son: Técnico-Pedagógico y Técnico Administrativo; en ambas se realizan
subfunciones de planeación, ejecución y evaluación.
1.8.1.1 Funciones Administrativas: Administración de Personal:
permisos, licencias, traslados, comisionados, toma de posesión,
permutas, aplicar normas disciplinarias, justificación puestos nuevos,
establecer el número de grados por docente, llevar registros de
aspectos profesionales del personal, llevar registros de puestos
vacantes, interinatos. Administración Financiera:
Aprobar cuotas de inscripción, captación de fondos y auditoria,
Administración de Recursos Físicos: Velar por el mejor uso de
materiales y equipo, optimizar uso de instalaciones, revisar inventarios.
Administración Planificador: Aprobar Plan Operativo
Anual, necesidades de escuelas, crear escuelas, organización de
comisiones, estadística escolar, habilitación de libros de control,
promover preinscripción, coordinar reuniones, trasladar información
departamental, promover autogestión, preparar informe anual,
coordinar proyectos y programas, mantener actualizados archivos,
asegurar documentación de graduandos, proponer estudiantes para
becas.
Fuente: Archivo de Coordinación Técnico Administrativo No. 12.12.1
- 18 -
1.8.1.2 Funciones Técnico-Pedagógicas: Detectar necesidades
de capacitación, promover investigaciones, promover seminarios.
Planificar, organizar, implementar capacitaciones distritales, promover
seguimiento y evaluación, capacitación docente. Utilizar y promover la
metodología participativa, mantener funcionamiento de centro de
desarrollo de materiales educativos, aplicar y socializar procesos y
metodologías innovadoras, propiciar asistencia técnica al personal
docente, evaluación de libros de texto. Otras funciones: monitoreo y
evaluación de acciones técnicas, diseño de modelos técnico-
educativos.
Fuente: Archivo de Coordinación Técnico Administrativo No. 12.12.1
- 19 -
1.2 Técnica utilizada para el diagnóstico
Con el objetivo de contribuir a resolver alguna problemática de la institución, es importante realizar un diagnóstico institucional de la Coordinación Técnica Administrativa sector 12.12.1 de Nuevo Progreso, San Marcos por lo que se procedió a solicitar la autorización para la ejecución de la presente fase, con la asistencia de técnicas para recabar información. Las técnicas que fueron utilizadas son:
Análisis Documental1: Se revisaron documentos de la institución para
obtener información, estos documentos fueron facilitados por la Secretaría de la Coordinación Técnica Administrativa 12.12.1.
Fortalezas, Oportunidades, Debilidades y Amenazas (FODA): Técnica
para determinar las fortalezas, oportunidades, debilidades y amenazas de la institución, con el apoyo de las personas que labora, se trabajaron las cuatro variables; a cada participante se le proporcionó una matriz para que escribiera en ella, lo que a su juicio opinara; teniendo la información de todos se procedió a elaborar uno solo, para luego realizar una reunión para su validación de todos.
La entrevista: Se formularon con preguntas relacionadas con el
conocimiento de políticas, manual de funciones, estructura organizacional, plan operativo anual, relaciones externas de la institución, fuentes de financiamiento, ésta técnica se utilizó con cada una de las personas que laboran en la institución.
La observación: Esta permitió obtener un panorama de la institución y
municipio, se observó los servicios públicos, como, agua, luz, servicios sanitarios, líneas telefónicas; ambientes con que cuenta, jardines, áreas verdes, material de la construcción. 1 Los documentos consultados de encuentran descritas en la bibliografía, pagina 47, para la aplicación de ésta técnica se elaboraron los instrumentos formato ID1 y ID2 que se encuentra en la pagina 65 al 67 del presente informe.
- 20 -
Aspectos Positivos Aspectos Negativos FORTALEZAS (A nivel interno)
OPORTUNIDADES
(A nivel Externo)
DEBILIDADES (A nivel interno)
AMENAZAS (A nivel Externo)
1. Cuenta con re-solución del Director Departamental de Educación para el funcionamiento del Coordinador Técnico Administrativo del Distrito Escolar No. 12.12.1, Escuelas de jornada vespertina. 2. Posee Manual de Legislación Educativa vigente del Ministerio de Educación. 3. Se apoya con Manual de funciones Generales para un Sistema de Coordinación (Informa Preliminar). 4. Atiende número reducido de estable-cimientos educativos, lo que permite mejor control.
Colaboración de los Di-rectores de los Establecimientos Educativos de jornada vespertina de departamento. El Ministerio de Educación de Guatemala está promoviendo el Programa de Educación Cívica y valores.
Falta de propuestas pedagógicas académicas Falta de equipo de computo al Coordinador Técnico Administrativo. Falta de capacitación sobre el uso de técnicas para la lectura comprensiva y el rescate de valores morales. Carencia de recursos financieros para realizar capacitaciones para mejorar la calidad educativa. Desconocimiento del presupuesto asigna-do a la Coordinación Técnico Administrativa para ejecutar proyectos educativos.
Desorganización en la
coordinación institucional a nivel departamental.
Improvisación de trabajo docente administrativo. Resistencia de los docentes al cambio. Educación sufriendo una gran crisis en materia de calidad.
- 21 -
1.3 Lista de carencias o necesidades El departamento de Pedagogía muestra lo siguiente:
- Falta de propuestas pedagógicas académicas. Coordinación Técnica Administrativa 12.12.1.
- No existen políticas especificas para Coordinación Técnica Administrativa 12.12.1. - Falta de presupuesto en la Coordinación Técnica Administrativa 12.12.1.
que impulse un proyecto educativo a nivel del municipio. 1.4 Análisis de problemas
Problemas
Factores que lo producen
Soluciones
1.- Escasa proyección de la Coordinación Técnica Administrativa en relación con propuestas pedagógicas académicas hacia la comunidad educativa de Nuevo Progreso San Marcos.
- No existe proyecto para la realización del programa de apoyo académico. - Falta de propuestas.
1. Elaboración de un módulo de enseñanza aprendizaje en el área de matemática para la educación extraescolar del Ministerio de Educación. 2. Presentación de nuevos proyectos de apoyo académico ala Coordinación Técnica Administrativa 12.12.1
2. Inexistencia de asignación presupuestaria para impulsar proyectos educativos.
Falta de presupuesto a programa de apoyo académico.
Incrementar presupuesto alas Coordinaciones.
3. Inexistencia de Políticas específicas para la Coordinación técnica Administrativa 12.12.1
No existe un marco filosófico directamente en la Coordinación.
Elaboración de políticas para la Coordinación.
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1.4.1 Priorización del problema En reunión con personas Directivas de la Coordinación Técnica Administrativa 12.12.1, se decidió en consenso que el problema más urgente de resolver es: Escasa proyección de la Coordinación en relación con propuestas pedagógicas académicas hacia la comunidad. Siendo sus posibles soluciones: Solución 1: Elaboración de un módulo de enseñanza aprendizaje en el área de Matemática para primer grado del ciclo de Educación básica del
Ministerio de Educación. Solución 2: Presentación de nuevos proyectos de apoyo académico a la Coordinación.. 1.5 Análisis de viabilidad y factibilidad Opción 1: Elaboración de un módulo de enseñanza aprendizaje en el área de Matemática para el ciclo del Ministerio del MINEDUC. Opción 2: Presentación de nuevos proyectos de apoyo académico A la Coordinación.
Indicadores Opción 1 Opción 2 si no si no
Financiero 1. Se cuenta con suficientes recursos financieros? X X 2. Se cuenta con financiamiento externo? X X 3. El proyecto se ejecutará con recursos propios? X X 4. Se cuenta con fondos extras para imprevistos? X X 5. Existe posibilidad de crédito para el proyecto? X X
Administrativo legal 6. Se tiene la autorización legal para realizar el proyecto? X X 7. Se tiene representación legal? X X 8. Existen leyes que amparen la ejecución del proyecto? X X 9. Se diseñaron controles de calidad para la ejecución del proyecto? X X 10. Se tiene bien definida la cobertura del proyecto? X X 11. Se tienen los insumos necesarios para el proyecto? X X 12. Se tiene la tecnología apropiada para el proyecto? X X 13. El tiempo programado es suficiente para ejecutar el proyecto? X X 14. Se han definido claramente las metas? X X
Mercado
15. El proyecto satisface las necesidades de la población? X X 16. El proyecto es accesible a la población en general? X X 17. Se cuenta con el personal capacitado para la ejecución del proyecto? X X
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Político 18. La institución será responsable del proyecto? X X 19. El proyecto es de vital importancia para la institución? X X
Cultural 20. El proyecto está diseñado acorde al aspecto lingüístico de la región? X X 21. El proyecto responde a las expectativas culturales de la región? X X 22. El proyecto impulsa la equidad de género? X X
Social 23. El proyecto genera conflictos entre los grupos sociales? X X 24. El proyecto toma en cuenta a las personas no importando X X
TOTAL 21 3 15 9 1.6 Problema seleccionado Al efectuar el diagnóstico institucional se detectó que el problema es la Escasa proyección del Departamento de Pedagogía en relación con propuestas pedagógicas académicas hacia la comunidad. 1.7 Solución propuesta como viable y factible Elaboración de un módulo de enseñanza aprendizaje en el área de matemática para el ciclo básico del Ministerio de Educación.
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CAPÍTULO II
PERFIL DEL PROYECTO 2.1 Aspectos generales 2.1.1 Nombre del proyecto Fortalecimiento Educacional Escolar a través de un Módulo para Matemática para el ciclo de Educación Básica, plan Normal para el Programa de apoyo académico al MINEDUC en el Municipio de Nuevo Progreso, San Marcos. 2.1.2 Problema Escasa proyección en relación con propuestas pedagógicas académicas hacia la comunidad educativa de Nuevo Progreso, San Marcos. 2.1.3 Localización Se realizó en la Coordinación Técnica Administrativa 12.12.1 del Municipio de Nuevo Progreso San Marcos, ubicada en el edificio Municipal. 2.1.4 Unidad ejecutora Corporación Municipal de Nuevo Progreso, San Marcos. Facultad de Humanidades – USAC – 2.1.5 Tipo del proyecto Producto 2.2 Descripción del proyecto El proyecto a ejecutar consiste en la elaboración de un módulo didácticamente estructurado con sus objetivos, actividades, en donde el profesor será un orientador del proceso en enseñanza aprendizaje en el área de matemática para el ciclo básico del nivel medio. Para su elaboración primero se obtiene la guía programática de contenido de matemática del Ministerio de Educación. Se compilan cada uno de los contenidos por grado y unidad. En cada unidad se presentan las competencias e indicadores de logro que los participantes del programa deben alcanzar en el desarrollo del mismo. Se presenta cada tema de manera atractiva para su fácil comprensión; además de actividades para desarrollar sus competencias, como también de una evaluación final de unidad para determinar la asimilación de cada contenido.
- 25 -
2.3 Justificación La razón de este proyecto es contribuir con el desarrollo de jóvenes y adultos que por alguna razón no han podido continuar con su formación académica de forma presencial, el cual impide que se les proporcione los conocimientos y habilidades necesarias para ser personas criticas y ciudadanos responsables, productivos y competitivos. Es indispensable la elaboración de un módulo con los contenidos programáticos de matemática para el ciclo básico plan normal con modalidad de educación para el programa de apoyo académico al Ministerio de Educación para fortalecer la educación del Ministerio de Educación. 2.4 Objetivos del proyecto 2.4.1 General Fortalecer la aplicación de una propuesta metodológica en el área de matemática el marco de la Reforma educativa. 2.4.2 Específico
Elaborar un módulo con los contenidos programáticos de la asignatura de Matemática para el ciclo de Educación Básica del nivel medio plan normal.
2.4.3 Socializar los contenidos del módulo de matemática con los directores, docentes del sector educativo 12.12.1 2.5 Metas 2.5.1 Un módulo con los contenidos programáticos de la asignatura de Matemática para el ciclo de Educación Básica del nivel medio plan normal. 2.5.2 Capacitar a 80 docentes y directores del sector educativo 12.12.1 2.5.3 Imprimir 100 ejemplares del módulo de matemática. 2.6 Beneficiarios (directos e indirectos) 2.6.1 Directos La Coordinación técnica administrativa del sector 12.12.1 Directores y docentes que imparten el curso de matemática del sector 12.12.1 2.6.2 Indirectos Estudiantes de las diferentes jornadas del sector educativo 12.12.1 de Nuevo Progreso, San Marcos.
- 26 -
RECURSOSTransporteLibros y folletosfotocopiasPapel para im prim irCartuchos de tintaEm pastadoLevantado de tex to e Im pres ióndel M óduloTOTAL
1 cartucho
200.0010.00350
2,440.001 m ódulo 1,300.00
CANTIDAD COSTO
30.00
com pras 1,000 copias
300.00
1 em pastado
4 buses diarios 250.00
100 hojas
2.7 Fuente de Financiamiento y Presupuesto 2.7.1 Fuente de Financiamiento Los gastos efectuados para la elaboración del proyecto fue financiado por el departamento de educación de la corporación municipal de Nuevo Progreso, San Marcos.
Presupuesto
2.8 Recursos 2.8.1 Humanos Lic. Asesor Licenciados Revisores y e pesista 2.8.2 Materiales Computadora Impresora Hojas de papel Folletos Libros Lapicero Cartuchos de tinta Fotocopiadora 2.8.3 Financieros Horas de gestión Transporte Interne
27
2.9 Cronograma 2,009
ACTIVIDADES JUNIO JULIO AGOSTO SEPTIEMBRE OCTUBRE
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
1 Obtención de Guía Programática de los
contenidos de Matemática del ciclo
básico plan normal
2 Investigación bibliográfica de cada uno
de los temas programáticos de Matemática
3 Recolección de información
4 Análisis de la Información recolectada
5 Diseño del Módulo de Matemática
6 Reproducción del Módulo de Matemática
7 Presentación del Módulo
8 Reformas del Módulo
9 Presentación del Módulo terminado
10 Elaboración de Instrumentos de Evaluación
28
CAPÍTULO III
EJECUCIÓN DEL PROYECTO 3.1 Actividades y Resultados
No. ACTIVIDAD RESULTADO
1Obtención de Guía programática delos contenidos de Matemática del ciclobás ico plan normal de MINEDUC
Se consulto en la Biblioteca del MINEDUC la guíaprogramatica
2Integración bibliográfica de cada temade la guía programatica de Matemática
Se consultó en varios libros de Matemática eInternet sobre cada contenido
3 Recolección de Información Se recolectó libros de Matemática, tomando ideaspara la elaboración del módulo.
4 Anális is de la Información recolectadaPerm itió conocer más sobre cada tema,seleccionar lo mas importante y determ inar sudiseño.
5 Diseño del Módulo de MatemáticaSe elabora un Módulo de Matemática para cadaetapa del ciclo bás ico plan normal con su cartillade ejercicios correspondiente a cada etapa.
6 Elaboración del Módulo de MatemáticaPerm itió tener un Módulo dividido en cada etapacon su respectiva cartilla de trabajo.
7 Presentación del Módulo deMatemática
Se mostró el Módulo realizado y se recibióasesoramiento sobre algunas reformas.
8 Reformas del módulo de MatemáticaEn base a las reformas que se hizo al módulo, sepresento ya mejorado.
9 Presentación del Módulo deMatemática term inado.
Se hace entrega del módulo de Matemática con eldiseño es tablecido
10Elaboración de Instrumentos deevaluación de la fase de ejecución
Determ ina la Satis facción de la eficiencia y eficaciadel módulo.
29
3.2 Productos y Logros Producto Un módulo de Matemática con los contenidos programáticos para los tres grados de Educación Básica del nivel medio plan normal con modalidad de Educación a Distancia. La presentación de este módulo es una propuesta al MINEDUC para que exista en el marco de la Reforma Educativa material impreso con la modalidad de Educación a Distancia que responda a las necesidades socioculturales, económicas y productivas de los guatemaltecos que por alguna razón no han concluido su formación académica. Propuesta al programa de apoyo académico del Departamento de Pedagogía para fortalecer la educación nacional en el marco de la Reforma Educativa. Logros Un módulo con los contenidos programáticos, según el Ministerio de Educación, de Matemática para el ciclo básico del nivel medio plan normal con la modalidad de Educación a Distancia. Cuya propuesta es fortalecer el proceso de mejoramiento de la calidad educativa para aquellos que no han podido alcanzar su desarrollo intelectual. El fortalecimiento de la Educación extraescolar con modalidad a distancia para que los participantes finalicen el ciclo del nivel básico y se motiven a continuar con el nivel diversificado y mejorar su condición de vida. La Motivación y participación activa de cada uno de los usuarios al utilizar el módulo, el cual les brinda los contenidos básicos de matemática. Así, como las ejercitaciones necesarias para que cada participante verifique su aprendizaje.
30
Registro Fotográfico
Municipalidad de Nuevo Progreso, San Marcos
Municipalidad de Nuevo Progreso, San Marcos
31
Supervición Educativa 1212.1 Nuevo Progreso, San Marcos.
Entrega de reconocimientos a maestros capacitados.
32
Epesista dando la bienvenida a participantes del curso.
33
3.4. Producto.
PEM. Sergio Wosbely Nowell Godínez Carnet. 7811755
34
Introducción.
El modulo de Matemática I. tiene como finalidad fomentar el interés en continuar con la formación intelectual de cada participante, desarrollando el pensamiento critico y propiciando una actitud positiva frente a la Matemática ya que ésta en la actualidad tiene una relación estrecha con nuestra vida diaria. Con el conocimiento y dominio de la Matemática se puede desarrollar habilidad y destrezas que nos ayuda resolver cualquier clase de problemas cotidianos. El Módulo es una recopilación de información de libros de texto y está diseñado de acuerdo al programa de estudios de primer grado básico propuesto por el Ministerio de Educación en Guatemala. Su estructura comprende: Competencias de grado y unidad, en temas que se agrupan por unidades, cada unidad contiene definiciones, ejemplos debidamente explicados y ejercitaciones para verificar los conocimientos adquiridos. El esfuerzo diario nos permite alcanzar la meta de lograr las mejores oportunidades de desarrollo personal, familiar y de la comunidad.
35
ÍNDICE. Contenido Página
UNIDAD I. CONJUNTOS. Historia de la Matemática 1 Simbología Matemática 2 CONJUNTOS. 3 Introducción 3 Definiciones 4 Clases de conjuntos. 5 Formas de representar un conjunto 6 Cardinalidad 8 Pertenencia 8 Coordinación de conjuntos 9 Contención de conjuntos 10 Igualdad de conjuntos 11 Operaciones con conjuntos 13 Unión de conjuntos 13 Diferentes casos de unión de conjuntos. 14 Intersección entre conjuntos 15 Diferentes casos de intersección 16 Diferencia entre conjuntos 17 Casos de diferencia entre conjuntos 18 Diferencia simétrica entre conjuntos 18 Casos de diferencia simétrica entre conjuntos 19 Operaciones combinadas de conjuntos 20 Complemento 20 Interpretación de Diagramas de Venn 23 Relaciones binarias 25 Producto cartesiano 26 Subconjuntos 28 Proporciones abiertas 29 Relaciones 31
UNIDAD II. NÚMEROS NATURALES. Concepto de números naturales 34 Historia de Beremiz Samir 35 Representación de números naturales 35 Operaciones con números naturales 36 Suma de números naturales 36 Adición 36 Propiedades de los números naturales 36 Resta de números naturales 40
36
Contenido Página Multiplicación de números naturales 42 Propiedades de la multiplicación 43 Trucos para multiplicar números naturales 46 División de números naturales 47 Propiedades de la división de números naturales 50 Trucos para dividir números naturales 51 División rápida por 5 52 Potenciación de números naturales 55 Reglas para potenciar números naturales 58 Operaciones con potencia de igual base 59 Raíz Cuadrada 60 Múltiplos y divisores 64 Divisores de un número 66 Números primos y compuestos 67 Criterios de divisibilidad 68 Mínimo común múltiplo 70 Máximo común divisor 72
UNIDAD III. NÚMEROS ENTEROS. Definición del conjunto de números enteros 74 Ordenación de los números enteros 74 Recta Numérica 74 Valor absoluto 76 Operaciones en el conjunto de los números enteros 77 Suma de numero enteros 77 Sustracción 80 Multiplicación 80 División 82 Potenciación 83 Radicación 84
A travculturcarácprofun Aryabconstaextraccausaduracconoc 4,000resolvegipcsencilEl lenla comEn el sustituel pro Para matemplante
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38
SIMBOLOGÍA MATEMÁTICA. Símbol
o o Signo.
SIGNIFICADO. Símbolo
o Signo.
SIGNIFICADO.
Igual a. ≠ No igual a.
Menor que No menor que.
Mayor que No mayor que.
Menor o igual que No menor ni igual que
Mayor o igual que No mayor ni igual que
Coordinable o congruente. No coordinable o no
congruente. A Conjunto “A” {a,b,c.} Elementos a, b, c…… { } Conjunto Vacío. Ø Conjunto Vacío
{0} Conjunto cuyo elemento es 0 {a} Conjunto unitario o único.
Pertenece a, elemento de ∉
No pertenece a.
Simplificado a.
Convertido a mixto.
X o Multiplicación. ÷ Dividido entre.
a Raíz de. a2 Potencia a al cuadrado
⊂ Contención o subconjunto de. ⊄
No contenido (exclusión)
U Unión de conjuntos. I
Intersección de conjuntos.
A - B Diferencia entre conjuntos. ∆ Diferencia simétrica. A x B Producto cartesiano. Complemento.
A A complemento. Números Naturales.
Conjunto de los números enteros.
Conjunto de los números enteros positivos: 1, 2 ,….
Conjunto de los números enteros negativos: -1,-2…
Números enteros positivos pares: 2, 4, 6…….
∈
39
Símbolo o
Signo. SIGNIFICADO.
Símbolo o
Signo. SIGNIFICADO.
Números enteros negativos pares: -2, -4, -6……..
Números enteros positivos impares: 1, 3, 5…….
Números enteros negativos impares: -1, -3, -5……
Conjunto de los números racionales.(fraccionarios).
ba
Representación de números racionales o fraccionarios.
Donde tenemos que o entonces tenemos que
Por consiguiente. Para todo a.
Existe.
Existe un único elemento.
Entonces, cuando, por lo tanto.
Equivalencia, si y sólo si.
Signo de correspondencia unívoca.
Signo de correspondencia biunívoca.
Rel. Relacionado con. Aproximado a.
Disyunción “O” inclusivo
“Y” Conjunción Y
“O” en sentido exclusivo x/x X tal que x
Ángulo
Infinito
∑ Sumatoria +
Adición (más). % Tanto por ciento. Negación= no es cierto que.
40
1. CONJUNTOS. 1.1. INTRODUCCIÓN: Teoría de conjuntos, rama de las matemáticas a la que el matemático alemán Georg Cantor dio su primer tratamiento formal en el siglo XIX. El concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o explícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas. En su forma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas como también para explicar conceptos abstractos como el de infinito. 1.2. DEFINICIONES: En la vida diaria usamos palabras como colección, clase, grupo, o conjunto. Por ejemplo: Una colección de estampas o monedas. Un conjunto de fichas. Un grupo de muchachos. Entonces un conjunto es una colección de objetos que llamaremos elementos del conjunto. Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto: utilizando símbolos “a S” representa que “el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto S”, o lo que es lo mismo, “el conjunto S contiene al elemento a”. Un conjunto “S” está definido si dado un objeto “a”, se sabe con certeza que “a S” o a ∉S (esto es, a no pertenece a S). Un conjunto se representa frecuentemente mediante llaves que contienen sus elementos. Notación de conjuntos: Tomamos la convención de usar letras mayúsculas para representar conjuntos y las letras minúsculas para representar los elementos del conjunto. Ejemplo: Sea A el conjunto y sus elementos las letras vocales. A= { a, e, i, o, u. }
Nota: Los conjuntos se escriben dentro de llaves.
Ejemplos: B= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,9.} Q= { 2, 4, 6,8…………} R= { Guatemala, Salvador, Honduras, Nicaragua, Costa Rica } D= { Los dedos de la mano } F= { Los números primos mayores que 7 }
∈
∈
41
Actividad No. 1. En su cuaderno escriba 10 conjuntos. Ejemplo: A= {Los números pares mayores que 2 y menores que 10}. Actividad No 2. En los espacios en blanco escriba los conjuntos que se le indican. 1.- Los países de Centro América: ____________________________________________________________ 2.- Las letras del alfabeto: ____________________________________________________________ 3.- El conjunto de las letras de su apellido: ____________________________________________________________ 4.- El conjunto de los nombres de los dedos de la mano: ____________________________________________________________ 5.- El conjunto de los números mayas de 1 a 10: ____________________________________________________________ 1.3. CLASES DE CONJUNTOS: Los conjuntos pueden ser: Finitos e infinitos. Conjunto finito: Es aquél que se puede establecer con facilidad su cardinalidad o número de elementos. Por ejemplo: Sean los conjuntos A= {Los números primos que 7 y que 31.} C= {Los números pares = que 4 y que 14.} B= {Los dedos de la mano.} Conjunto Infinito: Es aquél que es imposible establecer su cardinalidad, es decir que no se puede llegar a saber cuántos elementos tiene el conjunto, por ejemplo: A= {El conjunto de las arenas del mar} R = {El conjunto de estrellas del firmamento} P = {El conjunto de números naturales} Conjunto Vacío: El conjunto vacío es el que carece de elementos, o que no tiene un elemento que dé respuesta a la interrogante, ejemplo:
Sea P= {El conjunto de animales que no respiran.}
Sea Q= 4 x = 10 (No hay un número que multiplicado por 4 dé 10). El conjunto vacío se representa así: A= Ø ó A = { Ø }
Conjunto Unitario: Es el conjunto que tiene un solo elemento, por ejemplo. Sea A = {Dios}. B = {Tierra} C= {Guatemala}. P = {2} C = {b}.
42
1.2.1. Clasificación de los conjuntos por su número de elementos: Por el número de elementos los conjuntos pueden ser: Unitarios, binarios, ternarios, etc. Conjunto universal o referencial: Es el conjunto que incluye a varios subconjuntos, se representa por la letra U. Ejemplos de conjunto universal. Sea El conjunto U= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Sea El conjunto U= {a, b, c, d, e ……………….z}. Sea El conjunto U = {2, 4, 6, 8…………………..20}. 1.4. FORMAS DE REPRESENTAR UN CONJUNTO Los conjuntos se pueden representar de tres formas: a.- Forma enumerativa. b.- Forma descriptiva. c.- Forma gráfica. Nota: No olvide lo siguientes: a.- Los conjuntos se representan siempre con las letras mayúsculas. b.- Los elementos se representan con letras minúsculas a , b .c …etc. c.- La cardinalidad de un conjunto es el número de elementos que tiene dicho conjunto. Forma enumerativa: Es cuando se exhiben los elementos que forman el conjunto, es hacer un listado de ellos separándolos por una coma y encerrándolos entre llaves. Ejemplos: Sea A = El conjunto de las letras vocales. En forma enumerativa el conjunto A se escribe así: A= {a, e, i, o, u.}. Sea B = El conjunto de los números dígitos. En forma enumerativa se escribe así:
B= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } Sea el conjunto I formado por los cuatro puntos cardinales. Se representa así:
I = { Norte, Sur, Este, Oeste } Forma descriptiva: Es la forma de definir un conjunto mediante una propiedad que caracterice a todos sus elementos y se expresa por medio de símbolos, el cual da un carácter de comprensión donde la variable es una literal. Ejemplos de forma descriptiva o por comprensión: l.- Sea A= {El conjunto de países de Centro América}. El conjunto se expresa en forma descriptiva así: A= {x/x es un país de Centro América.} 2.- Sea B= {El conjunto de los números mayores que 3 y menores que 9}.En forma descriptiva se expresa de la siguiente manera: B= {x/x 2 x 9}
43
3.- Sea el conjunto C= {Los nombres de la familia del presidente de Guatemala}.
C= {x/x a la familia del presidente de Guatemala} Forma gráfica: En forma gráfica los conjuntos utilizan diagramas de Venn. Pueden ser círculos, cuadrados, rectángulos u otros de cualquier forma, por ejemplo: A = {El conjunto de las letras vocales} Forma Gráfica.
1.5. CARDINALIDAD DE UN CONJUNTO. La cardinalidad es el número de elementos que tiene un conjunto y se representa por la letra “nA” y se expresa potencia del conjunto A. Ejemplo: l.- La cardinalidad de los países de Centro América es 5; porque son cinco los países de Centro América. 2.- La cardinalidad el conjunto B= {2, 3, 4, 5, 6, 7}. Es 6. Actividad No. 3. Escriba por extensión los conjuntos y defina su cardinalidad, en los espacios en blanco: A= { x/ x es el conjunto de satélites de la tierra.} F= { x/ x el conjunto de océanos de la tierra.} Q= { x/x Є N Λ x l6 Λ x 28} R= { El conjunto de letras de la palabra Jaime. } K= { El conjunto de las letras vocales de la palabra Roma.} 1.6. RELACIÓN DE PERTENENCIA: ( ) Se dice que un elemento pertenece a un conjunto cuando está incluido en dicho conjunto. Para expresar “Pertenece a” o “Es elemento de”, usar el símbolo “Є”. Para expresar que un elemento no pertenece a un conjunto, se usa el símbolo: “∉ ”. Actividad No. 4. Dados los conjuntos A= { 1, 2, 3, 4, 7 } B= { 2, 6, 7 ,9 }
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Con econve5____ ActivCon elemeQ= {ab.___q____Proble ActivEn unperten Probluno; mJosé a Maenam SeñoProfeCantaChofePescMaesLeñaCami 1.7. CDos oelemeEjempnúme
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44
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OS: tienen exa
sticas.
mparado cosmos elem
mplo gráfic
A B
E___A
B
spacios en
C = { 2F = { e
actamente l
on B = {p ,entos.
co.
46
F_A
blanco el s
2, 3, 4 } e, i, u }
los mismos
, 2 ,4 , q ,6
5 7
___D
signo de
s elemento
6} son igu
F___
s, es
uales
__B
47
A ≠ B Actividad No 8. Resuelva los siguientes ejercicios y escriba en el cuadrito si los conjuntos son iguales o no son iguales: a. M= { a, e, i, o, a } N= { e, i, u, a, u } b. P= { x/x sea vocal de la palabra “Calor”} S= { x/x sea vocal de la palabra “Roma”} c. A= { 2, 4, 6, 8 }
B= { x/x a x dígito par } d. S= {x/x es dígito primo}
N= { x/x x 3 X = 9 } e. N= { x/x sea color primario } R= { amarillo, rojo, verde }
f. B= { 16, 42, 24 }
C= { 2, 4, 16 }
g. E= {Conjunto de los múltiplos de 9, mayores que 40 y menores que 50}
G= {Conjunto de los múltiplos de 5, mayores de 40 y menores que 50.}
∈ ∈
∈
M________N
P_________S
A________B
S________N
N________R
B________C
E________G
48
h. M= { Conjunto de las Repúblicas Centroamericanas.}
N= { Conjunto de los Presidentes de Centroamérica.}
i. S= { Conjunto de los meses del año. }
P= { Conjunto de los días de la semana. }
j. B= { x/x sea lago del departamento de Guatemala.} N= { Lago de Amatitlán } 1.10. OPERACIONES CON CONJUNTOS. 1.10.1. Unión de conjuntos: Se llama unión del conjunto A con el conjunto B, a un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B, sin repetirse sus elementos. La unión de conjuntos se representa con el signo U . Ejemplo No. 1.
A= { a ,e ,i } U B= { o , u } Solución Analítica: A U B = { a ,e ,i , o , u }.
Ejemplo No 2. Sean los conjuntos Q = { 2 , 3 , 4 , 5 } y R = { 1, 5 , 8, 9} Hallar el conjunto solución: Solución analítica Q= { 2, 3, 4, 5 } U R = { l , 5 , 8 , 9 } Q U R = { l, 2, 3, 4, 5, 8, 9}
M________N
S_________P
B________N
49
Casos de la unión de conjuntos: En la operación unión se presentan varios casos analizaremos III de ellos. I. Caso: Cuando los conjuntos son ajenos o totalmente diferentes. Ejemplo: Sea H = { 2, 4, 6 } U K = { l , 3, 5 } Solución analítica H U K = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
II. Caso: Cuando los conjuntos tienen algunos elementos en común. Sea A= { a, b, c, d } U B= { a, b, f, g } Solución analítica: A U B = { a, b, c, d, f, g }
III. Caso: Cuando uno de los conjuntos está contenido en el otro. Ejemplo: Sea Q= { a, e , i } U R = { a , e ,i ,o ,u } Solución analítica: Q U R = { a ,e ,i ,o, u }.
50
Actividad No. 9. Dados los conjuntos siguientes, resuelva analítica y gráficamente las operaciones de unión de conjuntos, escriba las soluciones en los espacios en blanco. A= { 2, 4, 5, 8 } B= { l, 2, 3, 7, 9 } C= { 2, 4, 5 } R= { a, e, i, 9 } K = { a, i } E= { 2, 3, 7 } a) A U B: _________________________________________________ b) K U R: _________________________________________________ c) C U K: _________________________________________________ d) E U B: _________________________________________________ e) E U K: _________________________________________________ 1.10.2. Intersección de conjuntos: Se llama intersección del conjunto A, con el conjunto B a un nuevo conjunto, formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y a la vez pertenecen al conjunto B. La intersección se representa con el signo . Simbólicamente la intersección se representa así:
A B= {x/x A x B} Ejemplo: Sea R= {r, i, o} Q= {m, a, r} Solución analítica: R Q = { r }
Casos que se presentan en la intersección. I. Caso: Cuando hay elementos repetidos en los conjuntos. Ejemplo: Sea A = {a, g, e, m } B = { a , e, p } Solución analítica: A B = { a , e }
∈ ∈
51
II. Caso: Cuando un conjunto está incluido en otro conjunto en su totalidad. Ejemplo: Sea R = { a, b, m, h } W = { a, b } Solución analítica: R W = { a, b }
III. Caso: Cuando un conjunto A y un conjunto B no tienen elementos comunes: En este caso la solución es un conjunto vacío porque no hay intersección y no existe gráfica. Ejemplo No. 1. Sea A = { 2, 3, 4 } B = { 1, 5, 7 } = { Ø } En este caso no hay gráfica. Ejemplo No. 2. Sea E= { a, b, c } F= { e, r, i } = { Ø } No hay gráfica. Actividad No. 10. Teniendo los conjuntos U, R, T y H resuelva los ejercicios que se le presentan, escriba la respuesta en los espacios en blanco. Sea: U= { p, o, i, u, 9, 5, 4 } R= { a, s, h, f, 6, 5, 1 } T= { u, i, m, d, 2, 4, 5 } H= { o, q, w, 7, 5, 1 }
1. U R : _________________________________________________ 2. U T : _________________________________________________ 3. U H : _________________________________________________ 4. R T : _________________________________________________ 5. T H : _________________________________________________
Actividad No. 11. Resuelva los siguientes ejercicios:
1. A= { 1, 3, 4, 5, 6} Q= { l, 2, 5, 7, 8 } R/ 2. R= { a, d, g, k } U= { f, s, a, g } R/ 3. Y= { 2, 5, 7} T= { 1, 2, 3, 4 } R/ 4. P= { i, o, 2, 5 } I= { 8, i, 2 } R/ 5. R= { m, n, p } T= { s, m, j } R/
1.10.3. Diferencia entre conjuntos:
Dados dos conjuntos A y B, Llamaremos diferencia de A con B a un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B.
52
Simbólicamente lo expresamos así: A - B = {x/x A x ∉ B} La diferencia A - B en diagramas de Venn se representa así:
Ejemplo: Sea: A= {a, e, i} - B= {a, o, u} Solución analítica: A – B= { e, i }
I. Caso: Cuando los conjuntos son totalmente ajenos: En este caso los diagramas quedan separados. Ejemplo: Dados los conjuntos: R= { 2, 4, 6 } - Q= { 1, 3, 5 } Solución analítica: R - Q = { 2, 4, 6 }
II. Caso: Que los conjuntos sean diferentes, pero tienen algunos elementos en común. Ejemplo: Sea A= { a, e, i } - S= { a, o, u } Solución analítica: A- S= { e, i }
∈
53
Actividad No. 12. Con los conjuntos “A”, “B”, “C” y “D” encuentre la diferencia de conjuntos en cada inciso. A= { n, i, m, v, f, l, 5, 4, 3, 6, 7 } B= { j, e, v, 3, l, f } C= { 9, 5, f, i, v, l, 8 } D= { e, n, 3, 9, 5, f, v}
1. A - B =________________________________________________ 2. B - C =________________________________________________ 3. D - A =________________________________________________
4. C - A =________________________________________________ 5. D - B =________________________________________________ 1.10.4. Diferencia Simétrica Entre Conjuntos: Dados dos conjuntos, llamaremos diferencia simétrica de A con B, a un nuevo conjunto, formado por los elementos que pertenecen a “A – B” y a “B – A”.
Que se lee “Diferencia Simétrica de A con B”. El símbolo es ∆ e indica “Diferencia Simétrica”. Definición Simbólica: A ∆ B = {x/x (A – B ) x ( B – A )} La diferencia simétrica entre dos conjuntos, A y B también se define como sigue: A ∆ B = ( A U B ) – ( A B )
∆ B = {x/x (A U B) x ∉ (A B) }
∈ ∈
∈
54
Representación por Diagrama de Venn.
Actividad No. 13. Con los conjuntos “T”, “Y”, “K” y “L” encuentre la diferencia simétrica para cada uno de los siguientes ejercicios: T= { m, j, v, 1, 9, 6, 8 } Y= { j, e, 8, 1 }
K= { 7, 8, i, v } L= { 3, 9, e, v }
Resolver: 1. T ∆ Y= _____________________________________ 2. K ∆ L= _____________________________________ 3. L ∆ T = _____________________________________ 4. Y ∆ K = _____________________________________ 5. T ∆ K = ____________________________________
1.11. OPERACIONES COMBINADAS ENTRE CONJUNTOS: ste tipo de razonamientos matemáticos, se resuelven aplicando la propiedad asociativa por medio de paréntesis. Ejemplo:
A= { 1, 2, 3 } U B= { 1, 3, 4 } C= { 1, 2, 5 } ( A= { 1, 2, 3 } U B= { 1, 3, 4 } ) C= { 1, 2, 5 } A U B= { 1, 2, 3, 4 } C= { 1, 2, 5 } Conjunto solución: ( A U B ) C= { 1, 2, }
E
55
Actividad No. 14. Dados los conjuntos: A, B, C, D, E, resuelva los ejercicios que se le piden: A= { a, e, i, 2, 3 } , B= { 2, 4, 7, 9 } , C= { 1, 2, 3, 4 } D= { 1, 3, 4, 7 } , E= { 2, 4, a, i, o }
1. ( A U B ) I C: ______________________________________ 2. C ∆ B – A: ______________________________________ 3. (E – B) ∆ A: ______________________________________ 4. (E U D) – A: ______________________________________ 5. E (C U A): ______________________________________
1.12. COMPLEMENTO: magínese que usted desea participar en una maratón, quiere saber los requisitos para la inscripción. Los organizadores le responden: “Estar legalmente inscrito en su establecimiento educativo, tener 15 años, 3 fotografías, una playera donde figure el número de competidor que le corresponda y una solicitud. Usted ya tiene algunos de los requisitos, veamos cuales son:
Requisitos para competir. Requisitos que ya cumple. - Estar legalmente inscrito - Está legalmente inscrito. - Tener 15 años - Tiene 15 años. - 3 fotos - Solicitud. - Playera - Solicitud.
Comparando los 2 listados a usted le faltan 2 requisitos: la playera y las fotografías. Esto que le falta. (Playera y fotografías es el complemento de los requisitos). El complemento de un conjunto está formado por los elementos que le faltan a un conjunto para ser igual al conjunto universo. Definamos al complemento de un conjunto: Si un conjunto “A” es un subconjunto del conjunto universo “U”, todos los elementos del conjunto universo que no están en el conjunto A se le llaman complemento de A. El conjunto complemento se representa por Ac y se lee “A complemento”.
U =
I
AC A
56
Simbólicamente podemos representar al complemento de un conjunto por:
AC = { ( x/x U X ∉ A ) } Y leemos: “El conjunto AC complemento es igual a los elementos x tal que x pertenece al con junto universo y no pertenece al conjunto A. Ejemplo: Observemos estos dos conjuntos y obtengamos el complemento:
¿Qué le falta para ser igual a U? - Le falta la letra “e” y la “o”. El complemento del conjunto D es el conjunto formado por las letras “e” y “o” y se representa así:
U – D U = { a, e, i, o, u } - D = { a, i, u }
Dc = { e, o }
Solución gráfica: U=
Ejemplo: Sea U = conjunto de los números dígitos. A = conjunto de los números dígitos impares. Hallar el complemento de A. Solución: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 1, 3, 5, 7, 9 } AC = U – A =
∈
D e o DC
57
AC = U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } - A = { 1, 3, 5, 7, 9 } = AC = { 2, 4, 6, 8 } Solución Gráfica: U = Actividad No. 15. Dado el conjunto universo y los conjuntos siguientes. Hallar los complementos que se le piden: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }, A = { 1, 2, 5 } B = { 4, 6, 8 } C = { 3, 4, 7 }, D = { 5, 4, 7, 8 }, Q = { 1, 7, 9, 3 } Resolver: AC = ___________________________________________ BC = ___________________________________________ CC = ___________________________________________ DC = ___________________________________________ QC = ___________________________________________ Con los conjuntos anteriores resuelva las operaciones combinadas siguientes:
1. AC U B = 2. BC – QC = 3. QC C = 4. D ∆ CC = 5. CC U AC = 6.
1.13. INTERPRETACIÓN DE DIAGRAMAS DE VENN. A continuación hay varios diagramas y al pie una operación indicada. Sombrear la parte del dibujo que representa el conjunto resultante de la operación indicada. El ejemplo le servirá de modelo:
AC 2 6 4
8
A
58
1. 2. G M C S
3. R 4. E P
U 5. A 6.
( G ∆ C ) ( M ∩ S )
L
( L – E ) ( R U P )
B A
B
AUB C U ( B С A )
59
1.14. RELACIONES BINARIAS. Una relación binaria R, entre dos conjuntos P y M, es un subconjunto del producto cartesiano,
P x M ( por tanto, R P x M ). ( A, B ) R, se escribe a R b, que se lee “a” está relacionado con “b”. De forma particular son muy utilizadas las relaciones binarias de un conjunto A consigo mismo, R A x A. Propiedades. Entre las propiedades más importantes que pueden poseer las relaciones binarias definidas en un conjunto están las siguientes:
• Reflexiva. Todo elemento está relacionado consigo mismo: a R a. Ejemplo: La relación «ser padre de » no es reflexiva –nadie es padre de sí mismo-; pero la relación «ser múltiplo de», definida entre los números enteros, sí lo es, por que todo número entero es múltiplo de sí mismo.
• Simétrica. Si a R b, entonces b R a. Ejemplo: La relación definida por «ser paralela» entre las rectas de un plano es simétrica, pues si una recta “a” es paralela a otra “b”, también ésta lo es a “a”. En cambio, no es simétrica la relación «ser padre de».
• Antisimétrica. Si a R b y b R a, entonces a = b. Ejemplo: Entre los números naturales, la relación «ser menor o igual que» es antisimétrica, ya que a b y b a solo pueden cumplirse simultáneamente cuando a = b.
• Transitiva. Si a R b y b R c. Ejemplo: La relación «tener igual edad que» es transitiva, ya que si dos personas tienen igual edad que una tercera, también tienen la misma. En cambio la relación «ser hijo de» no lo es por que si “a” es hijo de “b” y “b” es hijo de “c” no se cumple que “a” es hijo de “c”. Relación de equivalencia. Una relación se dice que es de equivalencia si cumple las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. Ejemplo: Se puede comprobar fácilmente que la relación «tener igual edad que» es de equivalencia. Conjunto cociente. Toda relación R de equivalencia permite efectuar una partición del conjunto A en partes o clases de equivalencia, y el conjunto de esas clases, designado por A/R, se llama conjunto cociente. Ejemplo:
∈
60
Si entre los alumnos de un colegio establecemos que dos de ellos están relacionados entre sí, únicamente cuando estudian el mismo curso; se tendrá una relación de equivalencia que permite establecer partes o clasificar a los alumnos en «los de 1o», «los de 2o», etcétera. Todos los alumnos de un curso constituyen una clase de equivalencia, y el conjunto de las clases es el conjunto cociente. Relación de orden. Una relación es de orden cuando cumple las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva. Ejemplo: Es el conjunto de los enteros, «ser múltiplo de» y «ser divisor de» son relaciones de orden. 1.15. PRODUCTO CARTESIANO DE CONJUNTOS Si A y B son dos conjuntos, el conjunto de todos los posibles pares ordenados de elementos de la forma (a, b), donde “a” pertenece a A y “b” pertenece a B, se denomina producto cartesiano de A y B, que se escribe normalmente A × B. Por ejemplo, si A = {1, 2} y B = {x, y, z}, entonces A × B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}. Y B × A = {(x, 1), (y, 1), (z, 1), (x, 2), (y, 2), (z, 2)}. En este caso, A × B ≠ B × A, pues al ser pares ordenados, el par (1, x) es distinto del par (x, 1). Entonces podemos decir que: El conjunto producto cartesiano de dos conjuntos A y B está formado por todos los pares ordenados posibles, de modo que el primer elemento pertenece al conjunto A y el segundo elemento pertenece al conjunto B. Formas de representar el Producto Cartesiano. Tabla de doble entrada. Una manera sencilla de realizar el Producto Cartesiano es con ayuda de una tabla de doble entrada. Ejemplo: Si tenemos los conjuntos A= { 1, 2 } y B= { a, b }; al realizar el producto cartesiano de A x B; nos auxiliaremos de una tabla de doble entrada para realizar el producto cartesiano.
Solución analítica: A x B = { (1, a), (1,b), (2,a), (2,b) }
61
Solución gráfica. Una forma de representar gráficamente el producto cartesiano es utilizando un diagrama sagital.
Actividad No. 16. Teniendo los conjuntos T, R, D y Z realice el producto cartesiano de cada inciso, utilizando una tabla de doble entrada, diagrama sagital o de flechas y en forma enumerativa. T = { e, d } R = { 2, 5, e z } D = { 5, h, ñ } Z = { 6, a, y } Resolver:
1. T x R: __________________________________________________ 2. T x Z: __________________________________________________ 3. D x R: __________________________________________________ 4. R x R: __________________________________________________ 5. Z x D: __________________________________________________
1.16. SUBCONJUNTOS:
uando de un grupo grande de objetos, formamos grupos más pequeños, llamaremos conjunto, al grupo grande y subconjuntos, a los grupos pequeños. Por ejemplo: Formaremos dos subconjuntos del conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } y
llamaremos S al conjunto de los números pares y K al conjunto de los números impares, estos dos nuevos conjuntos son subconjuntos de A y se expresan así:
S = { 2, 4, 6, 8 } Conjunto de los números pares. K = { 1, 3, 5, 7, 9 } Conjunto de los números impares.
Los dos conjuntos anteriores son subconjuntos del conjunto A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } . Para hallar el número de subconjuntos que podemos obtener de un conjunto aplicamos la fórmula 2n, incluyendo primero el conjunto vacío, el unitario, el binario, etc. Por ejemplo: Hallar los subconjuntos del conjunto Q = { 1, 2, 4 } Aplicamos la fórmula 2n para hallar cuántos subconjuntos obtendremos: 2n = 23 = 8 Después de sustituir los datos observamos que podemos hallar 8 subconjuntos. Q1= { ø } Q2= { 1 } Q3= { 2 } Q4= { 4 } Q5= { 1, 1 } Q6= { 1, 2 }
C
62
Q7= { 1, 4 } Q8= { 2, 4 } Actividad No. 17. Dados los conjuntos: A = { a, i, o, u } B = { f, m, h, l } C = { 1, 5, a, o } D = { l, n, s, i } E = { 2, 4, h, s, q }
1. Hallar los subconjuntos de A: _______________________________________________________
2. Hallar los subconjuntos de B: _______________________________________________________
3. Hallar los subconjuntos de C: _______________________________________________________
4. Hallar los subconjuntos de D: _______________________________________________________
5. Hallar los subconjuntos de E: _______________________________________________________
Actividad No. 18. Dados los conjuntos: R = { 3, 5, n, c } S = { 7, 8, k, v } T = { 4, 5, 7, i } U = { 3, 4, q, m } W = { 1, 2, u } Resuelva lo que se le pide a continuación:
1. R S : _________________________________________________ 2. U – W : _________________________________________________ 3. W ∆ S : _________________________________________________ 4. T U R : _________________________________________________ 5. W- T : _________________________________________________
1.17. PROPOSICIONES ABIERTAS Y CERRADAS: - Proposiciones abiertas: Es un enunciado que contiene una o más variables. Ejemplos:
1. A = { x/x x 10 } Cs = { 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0 , -1, -2,……..} 2. B = { x/x x 12 x 18 } Cs = { 12, 13, 14, 15, 16, 17 }
El conjunto donde está definida una proposición abierta, se llama: “Conjunto referencial, Conjunto universo o dominio de la variable” . El símbolo x, y ó z, representa el elemento definido pero no especificado del dominio, razón por la cual se le llama “variable”. Si el dominio de la variable es un conjunto numérico, entonces las proposiciones se llaman “Proposiciones abiertas numéricas”. El subconjunto de elementos del dominio que hacen verdadera a una proposición abierta se llaman: conjunto solución de la proposición y cada elemento de este conjunto se dice que es una solución de la proposición abierta.
∈∈
63
- Proposiciones cerradas: Son aquellas que tienen un sólo factor solución por lo que se les llama cerradas. Ejemplo:
Sea la proposición:
3 + = 7 El conjunto solución es 4. Actividad No. 19. A la derecha de cada proposición abierta se da el dominio de la variable. Escriba usted el conjunto solución:
1. x 10 ; D = { 1, 2, 3, …….10 } Conjunto solución = __________ 2. n + 3 12 ; D = { 6, 7, 10, 12, 14 } Conjunto solución = __________ 3. 7 - h 5 ; D = { 7, 1, 4, 2, 5 } Conjunto solución = __________ 4. 13 + X 15 ; D = { Dígitos pares } Conjunto solución = __________ 5. 2 ( m ) - 3 = 3 ; D = { x / 4 x 8 } Conjunto solución = __________
Actividad No. 20. Hallar el conjunto solución de las siguientes proposiciones cerradas, escribiendo en el cuadrito el factor solución. El ejercicio “cero” le sirve de ejemplo.
0. 82 + = 100
1. + 5 = 8
2. 25 + = 30
3. 32 x = 18
4. 42 - = 10
5. 36 + = 15
1.18. RELACIONES: Dados dos conjuntos; A y B, se llama relación de A en B a todo subconjunto del producto cartesiano ( A x B ). Simbólicamente:
64
x A, Λ y B x Rel. y C (A x B) El conjunto A se llama dominio de la relación y el conjunto B contradominio. Ejemplo: Sea A = { El conjunto de alumnos seleccionados para el equipo de futbol del colegio, de primero básico }. B = { Conjunto de los padres de tales alumnos }
Los elementos de los conjuntos A, se relacionan con los elementos del conjunto B, por la ley “ser hijo de”. Las flechas indican que “a” es hijo de “z”, “b” es hijo de “z” y “c” es hijo de “s”. Se puede entonces construir un conjunto de tres pares ordenados, así: Rel de A en B = { ( a, z ), ( b, z ), ( c, s) } Se observa que este conjunto, es un subconjunto del producto cartesiano: A x B = { ( a, z ), ( a, s), ( b, z ), ( b, s ), ( c, z ) ( c, s ) } 1.19. ÁLGEBRA DE CONJUNTOS: Las siguientes propiedades, utilizando las definiciones del apartado anterior, se cumplen si A, B, C... son subconjuntos de un conjunto l: 1 A � B = B � A 7 A � B = B � A 2 A � B = B � A 8 A � B = B � A 3 (A � B) � C = A � (B � C) 9 (A � B) � C = A � (B � C) 4 (A � B) � C = A � (B � C) 10 (A � B) � C = A � (B � C) 5 A � � = A 11 A � � = A 6 A � � = � 12 A � � = � Éstas son las propiedades del álgebra de conjuntos, que es un caso particular del sistema algebráico conocido como álgebra de Boole.
Referencia Histórica de la Matemática
Desde hace tanto tiempo existen las matemáticas 3,000 años antes de Cristo en la región Hindú y Árabe del continente Asiático. Luego se desarrollaron en Egipto
∈ ∈
65
(África) y Grecia (Europa). Casi en la misma manera se desarrollo la matemática en Mesoamérica con la cultura Maya. Los egipcios dejaron en sus papiros las primeras consideraciones matemáticas que se referían a duplicación, a los cuadrados de los números fraccionarios y una baga idea de conjuntos. La cultura Hindú y Árabe desarrollaron un sistema decimal y los Mayas un sistema vigesimal. Aportes esculpidos en piedra en formas de alto y bajo relieve; otras en pinturas o escritas en papel, los Mayas dieron gran importancia a la matemática ya que era la base en el desarrollo arquitectónico ya que para construir sus pirámides este tipo de conocimiento.
66
Evaluación de Unidad. Resuelva los siguientes ejercicios en hojas aparte.
No. Conjunto Signo Conjunto Cs. 1. A = {2, 4, 6} U B = {6, 8, 9} 2. Y = {a, b, 2, 3} C = {a, 2, 4, 6} 3. Q = {1, 2, 3, 4} ∆ R = {2, 4, 6, 8} 4. N = {1, 6, 8, 9} - K = {6, 7, 8} 5. Q = {1, 2, 3, 4, 5} X R = {1, 2, 3} 6. R = {1, 2, 3, 4, 6} U S = {1, 2, 3, 4, 5} 7. P = {1, 2, 4, 6, 8} ∆ R = {1, 2, 7, 9} 8. A = {2, 4, 6, 7} - B = {1, 2, 4, 6, 7} 9. M = {a, b, c, d} U N = {m, a, c, d, e}
10. K = {a, b, c} X R = {m, n} 11. S = {1, 3, 5, 7} ∆ T = {2, 4, 6, 7, 8} 12. W = {1, 5, 6, 7} U U = {2, 4, 6, 8} 13. E = {2, 3, 5, 7} ∆ J = {3, 5, 8, 9} 14. P = {5, 10, 15} U N = {6, 11, 16} 15. H = {7, 8, 9, 12} ∆ B = {7, 8, 13, 15} 16. I = {m, n, k} X L = {m, n, k, 2} 17. O = {r, s, t, u} F = {r, s, q, m} 18. G = {f, g, h} ∆ E = {f, g, m, n} 19. I = {2, 4, f, g} U Y = {f, g, h, i} 20. L = {1, 2, 3, a, b} K = {a, b, 5, 6}
67
II. UNIDAD. LOS NÚMEROS NATURALES .
1. CONCEPTOS DE NÚMEROS NATURALES: Número natural, es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa por :
= {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales. Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto:
1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (décimo sexto),… Los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. Entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas. “Dios creó los números naturales, lo demás son obra del hombre” (Kronecker). 2. HISTORIA DE BEREMIZ SAMIR:
El hombre que calculaba: “Me llamo Beremiz Samir, siendo aún muy joven empecé a trabajar como
pastor. Por miedo a perder alguna oveja extraviada, las contaba varias veces al día. Así fui adquiriendo poco a poco tal habilidad para contar, que de una ojeada contaba sin error todo el rebaño. No contento con eso, pasé luego a ejercitarme contando los pájaros cuando volaban en bandadas por el cielo. Poco a poco fui volviéndome habilísimo en este arte, gracias a nuevos y constantes ejercicios contando hormigas y otros insectos; llegué a realizar la proeza increíble de contar todas las abejas de un panal. Mis habilidades matemáticas me sirvieron para trabajar en la venta de frutos. Cuando voy de viaje, y para no perder el tiempo, me ejercito contando árboles que hay en esta región, las flores y los pájaros del cielo. Aquel árbol por ejemplo, tiene doscientas ochenta y cuatro ramas. Sabiendo que cada rama tiene como promedio trescientas cuarenta y siete hojas, es fácil concluir que aquel árbol tiene un total de noventa y ocho mil quinientas cuarenta y ocho hojas”.
Fragmento adaptado de: “El hombre que calculaba”
Malba Tahan
68
EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES. ¡Para contar todo y a todos! La primera actividad matemática del hombre fue contar y para expresar el resultado de sus conteos hacía marcas en la arena o en la corteza de los árboles. Con el paso del tiempo creó símbolos para representar conjuntos con igual cantidad de elementos. Con los números naturales podemos contar cualquier cantidad de elementos que existan en la naturaleza. El número natural resulta de contar los elementos de un conjunto. El conjunto de los números naturales empieza con el uno y no tiene fin. Es un conjunto infinito. La infinidad se representa con el símbolo ∞. Definimos entonces al conjunto de los naturales como: El conjunto de infinitos elementos que sirven para contar. En matemática representamos la cantidad de elementos de un conjunto por medio de símbolos o letras llamados NUMERALES. Por ejemplo el símbolo 2 es un numeral que representa a un conjunto de “dos” elementos. ________ 2 4. OPERACIONES CON NÚMEROS NATURALES. Suma De Números Naturales: Adición: a operación aritmética de la adición (suma) se indica con el signo más (+) y es una manera de contar utilizando incrementos mayores que 1. Por ejemplo, cuatro manzanas y cinco manzanas se pueden sumar poniéndolas juntas y contándolas a continuación de una en una hasta llegar a 9. La adición, sin embargo, hace posible
calcular sumas más fácilmente. Las sumas más sencillas deben aprenderse de memoria. En aritmética, es posible sumar largas listas de números con más de una cifra si se aplican ciertas reglas que simplifican bastante la operación. La suma de números naturales es la cantidad de elementos que resulta de dos conjuntos distintos. Por ejemplo: a + b = c Donde “a” es el número de elementos del primer conjunto, “b” es el número de elementos del segundo conjunto y “c” es la suma total de ambos conjuntos.
L
69
Propiedades de la adición o suma: La suma goza de las siguientes propiedades: a) Propiedad de cerradura: Al sumar dos números naturales, el resultado es otro número natural. Ejemplos: 1.- a + b = c 2.- 3 + 4 = 7 Donde 3, 4 y 7 pertenecen al conjunto de números naturales. Simbólicamente:
Si a a , b a (a + b) a . Esto se lee: Si “a” pertenece al conjunto de los números naturales, y “b” pertenece al conjunto de los números naturales, entonces a + b, pertenecen al conjunto de los números naturales. b) Propiedad Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera, se cumple la propiedad asociativa:
(a + b) + c = a + (b + c) Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 16 7 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16 Los resultados coinciden, es decir, (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5) Nota: La propiedad asociativa, permite asociar los sumandos según convenga, para facilitar las operaciones. c) Propiedad Conmutativa: Si a, b son números naturales cualesquiera, se cumple que: a + b = b + a En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7 En la propiedad conmutativa, el orden de los sumandos, no altera el total. Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se pueden efectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin tener en cuenta el orden. d) Propiedad del Elemento Neutro: El elemento Neutro, es aquel que no altera el resultado al operar con él. El “0” es el elemento neutro de la suma de naturales, porque cualquiera que sea el número natural “a”, se cumple que: a + 0 = a Al elemento neutro de la suma de naturales también se le llama: elemento identidad o neutro aditivo. Ejemplo numérico: 6 + 0 = 6
∈ ∈ ∈
70
RESUMEN DE LAS PROPIEDADES DE LA SUMA
Actividad No. 21. Suma de Números Dígitos. Utilizando la propiedad asociativa realice los siguientes ejercicios. 1. Sumar: 2 + 6 + 7 + 9 + 4 + 5 = 2. Sumar: 4 + 8 + 7 + 2 + 3 = 3. Sumar: 5 +7 + 6 + 2 + 3 + 1= 4. Sumar: 8 + 9 + 5 + 4 + 6 + 2 + 1= 5. Sumar: 7 + 5 + 9 + 7 + 3 + 0 =
Actividad No. 22.
Suma de Números polidígitos:
1. Sumar:
3 4 5 2 5 4 7 2 5 8 9 2 8 7 9
4 5 8 5 6 8 9 3 5 7 4 7 9 7
6 8 9 8 9 3 4 5 4 8 0 9 4 7 5
+ 7 8 2 + 5 6 4 + 4 7 6 9 + 5 4 7
a) Propiedad de Cerradura = Si a N Λ b N (a + b) N b) Propiedad Conmutativa = a + b = b + a
c) Propiedad Asociativa = (a + b) + c = a + ( b + c)
d) Elemento neutro = a + 0 = a
∈ ∈ ∈
71
SUMA DE POLIDÍGITOS SIN LLEVAR:
Sumar las columnas de cada orden, separadamente; después los totales de cada orden. El primer ejemplo está resuelto.
3 7 3 2 4 8 5 7 8 7 4 1
2 4 8 5 4 7 4 9 6 5 6 3
5 9 6 8 7 4 2 1 3 2 7
2 7 4 3 6 7 5 4 2 3 5 8
7 8 7 7 5 9 4 7 6 3 6 9
5 4 5 2 4 7 2 1 7 8 7 4
+ 2 1 4 + 5 4 8 + 9 5 7 + 6 3 5
Unidades…...3 7
Decenas…. 4 0
Cent…….2 6 .
Total……3 0 3 7
Razonamientos matemáticos de la suma o adición de naturales.
No 1.- Estrategia: este razonamiento se desarrolla sumando todos los dígitos de las decenas antes que los dígitos de las unidades, es más fácil sumar de abajo hacia arriba (En lugar de arriba abajo) después que ha completado la columna de las decenas. De hecho usted estará haciendo una U gigantesca.
Ejemplo: Cuente rápidamente:
1 6 1 0 1 5 5 (Respuesta)
2 9 3 0 1 4 9
3 7 6 0 1 4 0
3 4 9 0 1 3 3
1 2 l 0 0 1 2 9
+ 2 7 1 2 0 Después 1 2 7
Ejemplo: Cuente rápidamente:
3 4 3 0 1 0 0 (Respuesta)
72
2 6 5 0 9 6
1 7 6 0 9 0
5 8 3
1 2 7 0 7 8
+ 6 después 7 6
Actividad No 23: Realice las adiciones siguientes con el razonamiento anterior en forma de una U gigantesca.
1.- Sumar: 21 + 48 + 36 + 67 + 38 =
2.- Sumar: 17 + 25 + 56 + 70 + 6 =
3.- Sumar: 34 + 57 + 89 + 76 + 9 =
4.- Sumar: 45 + 13 + 66 + 67 + 0 =
5.- Sumar: 98 + 63 + 54 + 35 + 25 =
8. RESTA O SUSTRACCIÓN DE NÚMEROS NATURALES
La resta es la operación contraria a la suma o adición. La resta se compone de las siguientes partes:
Minuendo: Es el número del que se resta una cantidad en el conjunto de los números naturales. Es la cantidad mayor.
Sustraendo: Es el número que se resta del minuendo. Es el número menor.
Diferencia: Es el resultado de resta.
Conociendo el minuendo y el sustraendo hallamos la diferencia. El signo de la resta es “ – “ y se lee “ menos”. Para restar números naturales la condición necesaria es que el minuendo sea mayor o igual al sustraendo.
La resta en el conjunto de números naturales, tiene como condición indispensable que el minuendo sea mayor o igual al sustraendo.
Ejemplo: 17 - 8 = 9
Aquí: El minuendo es el 17, El sustraendo es el 8 y la diferencia es el 9.
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Expresión simbólica de la resta:
La resta se expresa simbólicamente así: a - b = c, siendo a > b.
Esta expresión se lee así: “a menos b es igual a c, si y sólo si, a es mayor que b”.
Cuando el minuendo es mayor que el sustraendo el resultado será un número negativo que no pertenece al conjunto de los números naturales.
Ejemplo: 5 - 8 = -3 -3 no pertenece a los números naturales, pertenece al conjunto de los números enteros (Números Negativos) que estudiaremos en capítulo que sigue. Actividad No 24. Resuelva las siguientes sustracciones.
1.- 6 7 4 9 - 2 3 4 5 ____________________________
2.- 9 8 7 6 - 5 4 6 2 ____________________________
3.- 7 7 6 6 - 5 8 4 5 ____________________________
4.- 9 8 7 6 - 5 4 1 2 ____________________________
5.- 5 4 3 6 - 3 5 2 1 ____________________________
RAZONAMIENTO MATEMÁTICO DE LA RESTA:
Estrategia: Cuando sea posible, se debe sustraer por medio de la adición. Cuando el minuendo y el sustraendo de un problema de sustracción están a cierta distancia de 100, 200, etc., determine la distancia a la que cada uno está del múltiplo de 100 y sume los dos números para obtener la respuesta.
Ejemplos: Estos ejemplos harán más claro este útil razonamiento.
a) 1 4 3 - 9 8
Paso 1. Piense: “l 4 3 está 43 números por encima de 100, y 98 está 2 por debajo”
Paso 2. Sume: 43 + 2 = 45 (Respuesta).
b) 155 - 87
Paso 1. Piense: “l55 está 55 números por encima de 100, y 87 está l3 por debajo”.
Paso 2. Sume: 55 + 13 = 68 (Respuesta).
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c) 245 - l89
Paso 1. Piense: “245 está 45 números por encima de 200, y 189 está 11 por debajo “.
Paso 2. Sume: 45 + 11 = 56.
Actividad No. 25.
Instrucciones: Resuelva los siguientes ejercicios poniendo en práctica el razonamiento anterior. 1.- Restar: 131 - 86 __________________________
2.- Restar: 120 - 58 __________________________
3.- Restar: 170 - 66 __________________________
4.- Restar: 283 - l87 __________________________
5.- Restar: 246 - 247 ___________________________
9. MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS NATURALES:
La multiplicación consiste en aumentar un número, llamado multiplicando o primer factor, tantas veces como nos indica el multiplicador o segundo factor, para obtener el resultado o producto.
Se expresa en forma general por: a x b = c
Formas de expresar una multiplicación:
Se puede expresar así: a x b, a . b, ( a ) ( b ), a ( b ), ( a ) b, a * b .
Ejemplo: Veamos la multiplicación: 6 x 5 esto nos indica que se debe aumentar el factor o multiplicando 6, 5 veces.
6 x 5 = 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 30
Lo cual comprueba que la multiplicación es una suma abreviada.
Propiedades de la multiplicación:
a) Propiedad de cerradura:
El producto de dos números naturales es otro número natural.
Ejemplo: a x b = c 5 x 8 = 40
Simbólicamente la propiedad de cerradura se expresa así:
75
Si a b ( a x b ) .
Se lee: “Si “a” pertenece al conjunto de los números naturales y “b” pertenece al conjunto de los números naturales, entonces “a” por “b” pertenece al conjunto de los naturales”.
b) Propiedad conmutativa:
Esta propiedad indica que el orden de los factores no altera el producto.
Ejemplo: a x b = b x a
Ejemplo numérico: 3 x 5 = l5 5 x 3 = 15
c) Propiedad asociativa:
Asociar es reemplazar dos o más factores por su producto efectuado sin que cambie el resultado, esta propiedad facilita el razonamiento matemático.
Ejemplo: 3 x 5 x 4 = 60 podemos asociar las cantidades de la siguiente manera:
3 ( 5 x 4 ) = ( 3 x 5 ) 4
3 ( 20 ) = ( 15 ) 4
60 = 60
Simbólicamente la propiedad asociativa se expresa así: a (b. c) = (a .b) c
d) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:
Para multiplicar un número natural por una suma indicada, se multiplica dicho número por cada uno de los sumandos y a continuación se suman los resultados.
Ejemplo:
3 ( 2 + 4 ) = ( 3 x 2 ) + ( 3 x 4 )
3 x 6 = 6 + l2
18 = 18
∈ ∈ ∈
76
Simbólicamente la propiedad distributiva se expresa así:
a ( b + c ) = ( a.b ) + ( a.c)
e) Propiedad del elemento neutro:
El elemento neutro de la multiplicación es la unidad. Multiplicar cualquier número por 1 da como resultado el mismo número.
Ejemplo: 5 x 1 = 5 , 1 ( 9 ) = 9 , ( 7 ) ( 1 ) = 7.
RESUMEN DE LAS PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION:
Actividad No. 26. Instrucciones: Cada ejercicio cumple con una propiedad de la multiplicación. Escriba en la línea de la derecha qué propiedad se cumple. Observe ejercicio modelo:
No. Ejercicio Propiedad 0. 2(4 + 6) = (2 x 4) + (2 x 6) 1. 7(4 + 9) = 7(4) + 7(9) 2. b x 1 = b 3. De x – y el nombre de x es: 4. 2 x 4 x 6 = 2 (4 x 6) 5. a x b = b x a. 6. a(b + c) = a . b + a . c = 7. x + 0 = x 8. De p . q el nombre de q es 9 De a + b + c el nombre de c es:
10. De a (b) a y b se llaman:
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La multiplicación es una operación bien definida en el conjunto de los naturales; al primer número se le llama multiplicando, al segundo se le llama multiplicador y al resultado se le llama producto. El producto de cualquier número “a” por el número 1 es el mismo número “a” => a x 1 = a Ejemplo: 8 x 1 = 8 Esto explica que el 1 es el elemento neutro de la multiplicación. El producto de un número cualquiera por el 0 (cero) es igual a 0. Ejemplos. a x 0 = 0 5 x 0 = 0
11. TRUCOS PARA MULTIPLICAR NÚMEROS NATURALES:
Razonamiento matemático: Multiplicación Rápida de cualquier número de dos dígitos por 11 ( o por 0.11, 1.1, 110, etc ). Este es un razonamiento (truco) útil para multiplicar cualquier número de dos dígitos por 11. Estrategia: Escriba el número dejando un poco de espacio entre los dos dígitos. Después, inserte la suma de los dos dígitos, en los mismos dos dígitos. Tendrá que llevar excedentes cuando la suma de dígitos resulte mayor a nueve. Ejemplos: Multiplicar 24 x 11. Paso No. 1: Escriba el primer factor dejando espacio entre los dos dígitos: 2 4
(Este es un producto provisional). Paso No 2: Sume los dos dígitos del primer factor 2 + 4 = 6. Paso No. 3: Inserte el 6 en el producto provisional, lo cual dará como resultado 264. 24 x 11 = 264 Actividad No. 27. Con el razonamiento anterior resuelva los siguientes ejercicios.
1. 65 x 11: ______________
2. 68 x 11: ______________
3. 79 x 11: ______________
4. 65 x 11: ______________
5. 86 x 11: ______________
78
Actividad No. 28. Con la ayuda de su profesor y aplicando el razonamiento anterior, resuelva los casos siguientes:
1. 53 x 110: ____________
2. 8.7 x 1.1: ____________
3. 52 x 0.11: ___________
4. 83 x 110: ____________
5. 96 x 11: _____________ 12. DIVISION DE NÚMEROS NATURALES: La división
ntre seis amigos hemos comprado treinta y ocho caramelos, que ahora queremos repartir en partes iguales. Si empezamos a repartir uno a uno, ¿cuántos caramelos tendremos al final cada uno de los seis amigos? ¿Sobrará algún caramelo? ¿Se te ocurre otra forma de hacer el reparto que no sea ir dando uno a uno?
Los términos de la división Para efectuar repartos en partes iguales de una cantidad entre otra, efectuamos una operación llamada división. Los términos o componentes de una división son:
l dividendo es la cantidad que se reparte. El divisor son las partes entre las que se reparte el dividendo. El cociente es la cantidad que le corresponde a cada parte del dividendo. El resto es la cantidad que sobra tras el reparto, y que es siempre menor que el divisor.
Cuando el resto es cero, decimos que la división es exacta. En este caso podemos escribir la división en una línea horizontal, usando el símbolo “:” entre el dividendo y el divisor. Por ejemplo, 6: 2 = 3. Cuando el resto es distinto de cero, decimos que la división es inexacta. Si escribimos la división en forma horizontal, con el símbolo “:”, hemos de añadir tras el cociente que el “resto es igual a...” Por ejemplo, 7: 2 = 3 y resto = 1. En el caso del reparto de caramelos, si dividimos 38 (que es el dividendo) entre 6 (que es el divisor), a cada amigo le corresponden 6 (que es el cociente) y sobran 2 (que es el resto) caramelos: 38: 6 = 6, resto = 2
E
E
79
División De Números Naturales: Para dividir un número natural entre otro, por ejemplo 285 entre 15, se siguen unos pasos que vemos a continuación. Nos fijamos en cuántas cifras tiene el divisor: dos. Tomamos entonces del dividendo tantas cifras como tiene el divisor, empezando desde la cifra que está más a la izquierda, en este caso la de las centenas; el número formado es 28.
Comparamos ese número (28) con el divisor (15). Como 28 15, podemos dividir 28 entre 15, y para ello buscamos un número que multiplicado por 15 dé 28 o un número menor, pero el más próximo a él. Como 15 × 2 = 30, el número buscado es 1 (se suele decir “cabe a 1”), y lo escribimos en el cociente. Hacemos la multiplicación 1 × 15 = 15, y escribimos el producto bajo el dividendo:
Efectuamos la resta (28 – 15 = 13), y bajamos a continuación la siguiente cifra del dividendo, en este caso la de las unidades (5):
Ahora dividimos el número formado (135) entre el divisor (15); operamos igual que en el paso 2: como 15 × 8 = 120 y 15 × 9 = 135, el número buscado es el 9, y lo colocamos en el cociente, a continuación del 1. Efectuamos la multiplicación 15 × 9 = 135, y escribimos el producto debajo del nuevo dividendo, y restamos:
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Ya hemos dividido 285 entre 15, el resultado es 19, y vemos también que la división es exacta porque el resto = 0. Veamos ahora otro ejemplo, 367 entre 41, en el que el divisor también tiene dos cifras (41), pero al tomar las dos cifras correspondientes del dividendo (36) observamos que el número formado es menor que el divisor: 36 41. Como no podemos dividir, hemos de tomar la siguiente cifra del dividendo (7):
Efectuamos la división, para lo cual probamos multiplicando 41 × 8 = 328 y 41 × 9 = 369, que es mayor que el dividendo, 367. Así pues, colocamos el 8 en el cociente, escribimos el producto (328) bajo el dividendo y restamos.
Como el resto = 39, que es distinto de cero, la división es inexacta. En una división en la que el divisor tuviera 3 cifras o más, el proceso sería similar, teniendo en cuenta únicamente que para empezar a dividir hay que tomar del dividendo las cifras necesarias para tener un número igual o mayor que el divisor. Verás que, en la práctica, las restas que se efectúan en las divisiones se realizan mentalmente, de forma que, por ejemplo, esta última división se expresaría:
81
13. PROPIEDADES DE LA DIVISIÓN: - Propiedad distributiva: Para dividir una suma indicada por un número natural, se divide cada sumando entre dicho número y luego se suman los resultados. Ejemplos: 1. ( 12 + 20 ) ÷ 2 = Dividimos cada sumando entre 2 (12 ÷ 2) + (20 ÷ 2) = Operamos por separado y sumamos los resultados 6 + 10 = 16 2. ( 12 + 8 ) ÷ 4 = Dividimos cada sumando entre 4 (12 ÷ 4) + (8 ÷ 4) = Operamos por separado y sumamos los resultados 3 + 2 = 5 La propiedad distributiva se define en forma general como: La Prueba De La División: Si una división está bien hecha se debe cumplir que: Dividendo = divisor × cociente + resto Si la división es exacta, entonces, como el resto es cero, debe cumplirse que: Dividendo = divisor × cociente Como ejemplo, podemos hacer la prueba a algunas de las divisiones anteriores. Al dividir 285 entre 15 obteníamos: cociente = 19 y resto = 0. Multiplicando divisor por cociente: 15 × 19 = 285 = dividendo es decir, la división está bien hecha. En la división 367 ÷ 41 obteníamos 8 de cociente y 39 de resto. Multiplicamos divisor por cociente, 41 × 8 = 328, y le sumamos el resto: 328 + 39 = 367 = dividendo Luego, la división está bien hecha. Al dividir 12.5 entre 3 obteníamos: cociente = 4.1 y resto = 0.2. Multiplicamos divisor por cociente, 3 × 4.1 = 12.3, y le sumamos el resto: 12.3 + 0.2 = 12.5 = dividendo Comprobamos así que esta división también está bien hecha.
(a+b) ÷ c = (a ÷ c) + (b ÷ c)
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Actividad No. 29. Hallar los siguientes cocientes y escríbalos en el espacio en blanco.
1. 5,868 ÷ 23: ___________________ 2. 356,744 ÷ 46: ___________________ 3. 173,725 ÷ 35: ___________________ 4. 646,466 ÷ 59: ___________________ 5. 324,270 ÷ 65: ___________________
Actividad No. 30. Resuelva las divisiones siguientes y escriba el residuo en el espacio en blanco:
1. 4,563 ÷ 15: 2. 2,565 ÷ 23: 3. 8,567 ÷ 67: 4. 5,893 ÷ 25: 5. 6,854 ÷ 17:
14. TRUCOS PARA DIVIDIR NÚMEROS NATURALES: Razonamientos Matemáticos de División: Divisiones Rápidas por 4 (o por 0.4, 40, 400, etc.) Estrategia: Para dividir un número por 4, encuentre la mitad del número, luego vuélvale a sacar la mitad. Ejemplo: 84 ÷ 4 Paso 1. Encuentre la mitad de 84: 84 ÷ 2 = 42 Paso 2. Encuentre la mitad de 42: 42 ÷ 2 = 21 (Respuesta). Divisiones Rápidas por 5 (o por 0.5, 50, 500, etc.) Estrategia: Los recíprocos son tan eficaces en la división como en la multiplicación. Para dividir un número por 5, multiplique el número por 2 y adicione o inserte los ceros o decimales necesarios. Primero realice la operación (divida); Segundo, piense (aplique el TR, que significa test de razonamiento); y Tercero, ajuste, si es necesario (inserte o adicione decimales o ceros). Ejemplo: 38 ÷ 5 Paso 1. Multiplique: 38 x 2 = 76 (producto provisional). Paso 2. Aplique el T de R: Obviamente, 76 es un resultado muy grande para que sea la respuesta de 38 ÷ 5. Calculando la respuesta rápidamente, daría entre 7 y 8. Paso 3. Inserte el punto decimal en el producto provisional y obtendrá como respuesta 7.6. Actividad No. 31. Resuelva las siguientes divisiones con los razonamientos anteriores.
1. 46 ÷ 4: ______________ 2. 58 ÷ 5: ______________ 3. 94 ÷ 4: ______________ 4. 46 ÷ 5: ______________ 5. 85 ÷ 4: ______________
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Actividad No. 32. Con los conocimientos adquiridos, lea, razone y resuelva los problemas siguientes:
1. Don Fabián compró los siguientes articulo: 4 camisas por el valor de Q35.00 c/u, 6 pantalones por valor de Q80.00 c/u, 8 corbatas por valor de Q20.00 c/u. Si canceló con 8 billetes de Q100.0, se quiere saber lo siguiente: a. Precio total de las camisas Q.____________ b. Precio total de los pantalones Q.____________ c. Precio total de las corbatas Q.____________ d. Precio total de gastos Q.____________ e. ¿Cuánto recibe de vuelto? Q.____________
2. Un comerciante tiene en caja 25 billetes de Q10.00, 30 billetes de Q5.00, 35 billetes de Q20.00 y 85 billetes de Q100.00. Dispone invertir la tercera parte del dinero para comparar trajes de señora; invierte en compra de otras mercaderías Q4,500.00. Después de todas las compras se quiere saber: a. ¿Cuánto dinero tenía en billetes de Q5.00?______________ b. ¿Cuánto dinero tenía en billetes de Q10.00? _____________ c. ¿Cuánto dinero tenía en billetes de Q20.00?_____________ d. ¿Cuánto dinero tenía en billetes de Q100.00?____________ e. ¿Cuánto dinero gastó en trajes de señora?______________ f. ¿Cuánto dinero le queda en caja?_____________________
3. Una persona compró una casa en una Colonia Residencial. Mensualmente abona el capital Q250.00 y por impuestos e intereses paga mensualmente Q180.00. La casa debe estar cancelada en un plazo de 20 años. Se quiere saber: a. Cantidad que abona al capital anualmente:____________ b. Cantidad total de intereses e impuestos que debe pagar_______________________ c. Valor total de la casa:__________________________
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4. En un taller de mecánica trabajan 8 mecánicos y 6 ayudantes. El taller de mecánica paga semanalmente un total de Q6,832.00 (semana de 7 días). Si cada ayudante gana Q40.00 diarios. Calcule lo siguiente:
a. Salario de cada mecánico:________________
b. Salario semanal de cada mecánico___________
5. En una empresa trabajan 5 personas, el gerente gana Q2,700.00, el tesorero la mitad más Q50.00 de lo que gana el gerente, la secretaria gana la tercera parte de lo que gana el gerente y los conserjes ganan Q150.00 menos que la secretaria cada uno. Deseamos saber:
a. ¿Cuánto gana el tesorero?______________________ b. ¿Cuánto gana la secretaria?_____________________ c. ¿Cuánto gana cada conserje?____________________ d. ¿Cuál es el gasto total de la empresa?_____________
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Problema Especial: Presupuesto Familiar de la Familia del Señor Pedro Pica Piedra No. Ingresos/Egresos C/Parcial C/Total
1. Sueldo del señor Pedro Pica Piedra Q9,750.00 Sueldo de la señora Pica Piedra 6,500.00 Suma Ingresos 16,250.00 Egresos
3. Pago de colegiatura 450.00 4. Transporte escolar 600.00 5. Pago de Universidad 925.00 6. Gastos Varios 600.00 7. Pago de vivienda en Banco G & T 1,525.00 8. Pago de alimentación 3,700.00 9. Vestuario y cazado 750.00 10 Pago de luz y agua 435.00
11. Ahorro 97.50 12. Pago de vigilancia 150.00 13. Servicio de cable 100.00 14. Servicios domésticos 700.00 15. Intereses sobre prestamos 955.00 16. Gastos varios 785.00 17. Gastos de recreación 950.00 18. Letra de cambio del vehiculo 1,450.00 19. Combustible 300.00
Suma Egresos 14,472.50 Capital líquido. 1,777.50
Auto-evaluación: Resuelva el siguiente ejercicio: Realice el ejercicio contable del presupuesto de la familia del Señor Ricardo Buen Rostro y Señora. a. Sueldo del señor Ricardo Buen Rostro Q10,850.00 b. Sueldo de la señora Buen Rostro Q 9,400.00 c. Horas extras del señor Ricardo Buen Rostro Q 1,800.00 d. Pago de alquiler de casa Q 800.00 e. Colegiatura hijos Q 500.00 f. Transporte escolar Q 200.00 g. Pago de luz eléctrica Q 240.00 h. Teléfono Q 140.00 i. Alimentación Q 2,150.00 j. Servicio de cable Q 50.00 k. Servicios domésticos Q 400.00 l. Vestuario y calzado Q 350.00 m. Letra de cambio pago de un terreno Q 900.00 Nota: Resuelva el ejercicio en papel factura.
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16. POTENCIAS DE NÚMEROS NATURALES En la planta baja de mi colegio hay seis clases, y en cada clase las mesas están ordenadas en seis filas con seis mesas en cada fila. Si mi colegio tiene seis plantas iguales, ¿cuántas mesas hay en total en el colegio? La respuesta es 6 × 6 × 6 × 6 = 1,296 mesas. Podemos expresar esta multiplicación de una forma más breve, que llamamos potencia:
6 × 6 × 6 × 6 = 64 ¿QUÉ ES UNA POTENCIA? Una potencia es la manera abreviada en la que escribimos una multiplicación en la que todos sus factores son iguales. Se llama base al factor que se repite en la multiplicación y exponente al número de veces que se debe multiplicar por sí misma la base. Por ejemplo:
Que se leería “cinco elevado a dos” o “cinco al cuadrado”. Si el exponente fuera un 3, sería: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
Y se leería “cinco elevado a tres“ o “cinco al cubo”. Elevar un número al cuadrado es lo mismo que multiplicar ese número por sí mismo. Los cuadrados de los quince primeros números naturales son:
Elevar cualquier número al cubo es lo mismo que multiplicar por sí mismo tres veces ese número. Los cubos de los diez primeros números naturales son:
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Potencias con exponente mayor que 3, por ejemplo 4, 5, 6…, se leen: “a la cuarta”, “a la quinta”, “a la sexta”… Si quiere, puede practicar con los siguientes ejemplos:
Algunas potencias de números naturales
Potencia Base Exponente Se lee... Y vale...
72 7 2 Siete al cuadrado 7 x 7 = 49
43 4 3 Cuatro al cubo 4 x 4 x 4 = 64
24 2 4 Dos a la cuarta 2 x 2 x 2 x 2 = 16
65 6 5 Seis a la quinta 6 x 6 x 6 x 6 x 6 = 7.776
16 1 6 Uno a la sexta 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 = 1
37 3 7 Tres a la séptima 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 2.187
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POTENCIAS DE BASE 10 Para escribir números grandes de forma abreviada usamos las potencias de base 10, que son iguales a la unidad seguida de tantos ceros como indica el exponente. Así, El número cien: 100 = 10 × 10 = 102 El número mil: 1.000 = 10 × 10 × 10 = 103 El número diez mil: 10.000 = 10 × 10 × 10 × 10 = 104
El número cien mil: 100.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105 El número un millón: 1.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 106 El número diez millones: 10.000.000 = 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 107, y así sucesivamente. Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol, que es de unos 150.000.000 Km., la podemos escribir como 15 × 107 km. DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUMA DE POTENCIAS DE BASE 10. Podemos descomponer cualquier número natural como suma de los productos de cada una de sus cifras por la potencia de base 10 que corresponde al orden de unidad que ocupa cada cifra. Fijándonos en la tabla, en la que aparecen los seis primeros órdenes de unidades, vamos a descomponer, por ejemplo, los números: a) 608.912, y b) 45.768. a) 608.912 = 6 CM + 0 DM + 8 UM + 9 C + 1 D + 2 U 608.912 = 600.000 + 0 + 8.000 + 900 + 10 + 2 = 6 × 100.000 + 8 × 1.000 + 9 × 100 + 1 × 10 + 2 = 6 × 105 + 8 × 103 + 9 × 102 + 1 × 10 + 2 b) 45.768 = 4 DM + 5 UM + 7 C + 6 D + 8 U 45.768 = 4 × 10.000 + 5 × 1.000 + 7 × 100 + 6 × 10 + 8 = 4 × 104 + 5 × 103 + 7 × 102 + 6 × 10 + 8
Órdenes de unidades
Centena de millar
Decena de millar
Unidad de millar Centena Decena Unidad
1 CM = 100.000 U = 105 U
1 DM = 10.000 U = 104 U
1 UM = 1.000 U = 103 U
1 C = 100 U = 102 U
1 D = 10 U
1U
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17. REGLAS PARA POTENCIAR NÚMEROS NATURALES: OPERACIONES CON POTENCIAS DE IGUAL BASE: Multiplicación de Potencias de Igual Base: Al multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base y su exponente equivale a la suma de los exponentes de los factores. Ejemplos:
1. Xm . Xn = Xm+n 2. a2 . a4 = a2+4 = a6 3. m5 . m7 = m5+7 = m12 4. a . a2. a4 = a1+2+4 = a7 5. 26 . 23 = 26+3 = 29
Actividad No. 33. Resuelva los siguientes ejercicios de multiplicación de potencias:
1. 63 x 64 : _____________ 2. mp . m1 : _____________ 3. x6 . xm : _____________ 4. 48 . 45 : _____________ 5. 56 . 52 . 53 : _____________
División de Potencias de Igual Base: Para dividir potencias de la misma base, se escribe la base y los exponentes se restan. Ejemplos:
1. X7 ÷ X2 = X7-2 = X5 2. Ym ÷ Y2 = Ym-2 3. 43 ÷ 41 = 43-1 = 42 4. 108 ÷ 105 = 108-5 = 103 5. 2p ÷ 2q = 2p-q
• Todo número elevado a la potencia cero, es igual a uno siempre que la base no sea cero. a0 = 1
• Todo número elevado a la potencia 1, es igual al mismo número. a1 = a
• Elevar el 0 a cualquier exponente siempre da como resultado cero. 0n = 0
• Elevar la unidad a cualquier exponente, siempre da como resultado uno. 1n = 1
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Actividad No. 34. Resuelva los ejercicios siguientes de división de potencias. 1. h18 ÷ h15 = ____________ 2. 425 ÷ 417 = ____________ 3. 1219 ÷ 1215 = ____________ 4. r16 ÷ r9 = ____________ 5. 19b ÷ 19h = ____________ 6. tc ÷ tx = ____________ 7. y6 ÷ yx = ____________ 8. km-8 ÷ km-2 = ____________ 9. 105 ÷ 104 = ____________ 10. 312 ÷ 3m = ____________ Potencia de un Producto: La potencia de un producto equivale a elevar cada uno de los factores a la potencia indicada. Nota: Es decir que cuando hay potencia sobre potencia los exponentes se multiplican. Ejemplos:
1. (axby)m = amxbmx 2. (x2y3)3 = x2x3y3x3 = x6y9 3. [(23)]4 = 23x4 = 212 4. [(a)2]5 = a2x5 = a10 5. [(x3)2]5 = x3x2x5 = x30
Actividad No. 35.
1. (k3)2 : ______________ 2. [(x2)4]3 : ______________ 3. [(82)6]2 : ______________ 4. [(m)n]p : ______________ 5. {[(5)x]y}z : ______________
Operaciones con Exponente cero: Todo número elevado a la cero potencia es equivalente a la unidad: Ejemplo: 32 ÷ 32 = 30 9 ÷ 9 = 1
18. RADICACION: La palabra raíz viene del latín “radix, radicis”, pero es indudable que los Árabes ya conocían la radicación, la cual aprendieron de los Hindúes (de la India). La radicación se conocía mucho antes que los romanos inventaran una palabra para nombrarla. La regla para resolver la raíz cuadrada de un número fue planteada en el siglo VI en la India. • Raíz Cuadrada:
La raíz cuadrada es la operación contraria a la potenciación. Y se define por la forma general: y2 = X ⇒ X2 = y Simbólicamente la raíz cuadrada se define así. Si a N Λ n N; ⇒ n a √ a = k k2 = a.
Nota: En la raíz, la “n” es el índice y expresa el grado de la raíz. La literal “a”, expresa la cantidad subradical o radicando
∈ ∈
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• Raíz Cuadrada de los Números Naturales:
Se presentan dos casos: 1. Que el número dado sea menor que 100. 2. Que el número dado sea mayor que 100.
I. Caso: Que el número dado sea menor que 100. Regla: Se busca entre los nueve primeros números, aquél cuyo cuadrado se igual o se acerque más al número dado, dicho número será la raíz cuadrada del número dado: Ejemplo:
=25 5 porque 5 x 5 = 25 =100 10 porque 10 x 10 = 100
Actividad No. 36. Calcular las raíces cuadradas de los números que tienen raíz exacta de 1 a 400. 1. 1 = __________ 2. 4 = ____________ 3. 9 = __________ 4. 16 = ___________ 5. 25 = _________ 6. 36 = ___________ 7. 49 = _________ 8. 64 = ___________ 9. 81 = _________ 10. 100 = __________ 11. 121 = ________ 12. 144 = __________ 13. 169 = ________ 14. 196 = __________ 15. 225 = ________ 16. 265 = __________ 17. 289 = ________ 18. 324 = __________ 19. 361 = ________ 20. 400 = __________ II. Caso: Que el número dado sea mayor que 100. Procedimiento que se utiliza cuando el número al que se extrae raíz cuadrada es mayor que 100. Ejemplo No. 1 Calcular la raíz cuadrada de 6084. Paso No 1. Colocamos el número dentro del radical y lo separamos en grupos de dos cifras de derecha a izquierda. En algunos casos el último grupo puede quedar con una cifra. →84'60 Separemos en grupos de dos cifras. Paso No 2. Luego, buscamos un número que elevado al cuadrado dé 60 o un valor menor lo más cercano a 60. El número es 7. Luego escribimos: a. El número 7 en el resultado. b. El cuadrado de 7 lo restamos del primer grupo (60-49= 11). c. El doble de 7 (14), lo escribimos debajo del resultado.
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Paso No. 3. Bajamos el siguiente grupo (84) y lo colocamos a la par del residuo del primer grupo (11), formándose el número 1184.
Paso No. 4 El número 14 debemos convertirlo en un número de 3 cifras. Buscamos el número que ocupe la cifra de las unidades, con la condición de que al multiplicarlo por las tres cifras nos dé como resultado 1184 o un valor menor lo más cercano posible.
Paso No. 5 El número es 8 porque al agregárselo al 14 se forma el número 148, y 148 x 8 = 1184.
Paso No. 6 Restamos 1184 de la cantidad de la izquierda, y nos da como residuo cero. Finalmente subimos el 8 al resultado. El resultado final es 78.
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Actividad No. 37. Calcule las raíces de la izquierda y relacione sus resultados con las soluciones que se encuentran a la derecha, colocando en el paréntesis el número que corresponde. El ejercicio “0” le servirá de modelo. 0. 121 ( ) 123 1. 024,1 ( ) 98
2. 225,4 ( ) 369
3. 604,9 ( ) 147
4. 116,2 ( 0 ) 11
5. 129,15 ( ) 258
6. 449,127 ( ) 159
7. 161,136 ( ) 32
8. 564,66 ( ) 46
9. 609,21 ( ) 357
10. 281,25 ( ) 65
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19. JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES: Se presentan dos casos:
a) Cuando hay signos de agrupación: ( ), [ ], { }, etc. Se deben efectuar primero los paréntesis.
Ejemplos: 1. ( 4+ 5 + 3 ) + 8 = 20 2. 60 – ( 8 + 7 + 5 ) = 40
b) Cuando no hay signos de agrupación deben efectuarse en el siguiente
orden. Primero potencias, raíces, multiplicaciones, divisiones, sumas y restas si las hay.
Ejemplo: 1. 9 + (6 x 4) – 5 = 2. 5 x 7 – 3 + 8 x 2 = 9 + 24 – 5 = ( 5 x 7 ) - 3 + ( 8 x 2 ) (9 + 24 ) – 5 = 35 – 3 + 16 = 33 - 5 = 28 32 + 16 = 48
Actividad No. 38. No. Resolver R. No. Resolver R.
1. 75 – 5 x 4 + 6 – 5 x 3 = 6. ( 12 – 7 + 4 ) ÷ 2 = 2. 3 x 2 + 7 x 4 – 21 = 7. ( 54 – 35 ) ÷ 3 = 3. 5 x 1 + 2 x 6 + 3 x 7 = 8. ( 32 – 16 -8 ) ÷ 8 = 4. 24 x 2 – 3 x 3 – 4 x 6 = 9. ( 18 – 12 ) ÷ 6 = 5. 58 – 3 x 2 x 5 + 8 – 4 x 2 10. ( 9 + 6 ) ÷ 3 =
Actividad No. 39.
1. 284 −+ = _____________________ 2. 825 02 +× = _____________________ 3. 4281 3 −× = _____________________ 4. 71446 2 +× = _____________________ 5. 2264121 +× = _____________________
20. MÚLTIPLOS Y DIVISORES: • Múltiplos de un número
Los múltiplos de un número contienen a este número una cantidad exacta de veces. Los múltiplos de un número cualquiera los podemos obtener, comenzando desde cero, sumándole el número al resultado anterior o, lo que es lo mismo, multiplicando el número por los números naturales: 1, 2, 3, 4,… Ejemplo: Calculemos, los 10 primeros múltiplos de 3, 5 y 7; para ello multiplicamos cada uno de estos tres números por los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8...
Si en result0 + 3 Si a pde 5: 5 + 0 Y de l7 + 0 Obsenúme • Di
Al casos
vez de muado, obten= 3; 3
partir de “0”
= 5; la misma fo= 7;
rvamos queero es múltip
visores Deefectuar la
s, según el
ltiplicar, a emos los m3 + 3 = 6; vamos sum
5 + 5 = 10;orma podem 7 + 7 = 1
e el 3, el 5 plo de él m
e Un Númea división dresiduo o r
partir de múltiplos de
6 + 3mando 5 un
; 10 mos operar 4;
y el 7 sonismo.
ero. de un númesto que ob
95
“0” vamoe 3: 3 = 9; nidades, ob
+ 5 = 15; r para los m 14 + 7 = 2
n múltiplos
mero naturabtengamos
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9 + 3 = 1btenemos ig
15 + múltiplos de 21;
de sí mis
al entre otrs:
o 3 unida
2... gualmente,
5 = 20... 7: 21 + 7 = 2
mos. En re
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los múltiplo
8...
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n ocurrir d
da
os
do
os
96
Cuando la división de un número entre otro número es exacta, decimos que el primer número es divisible entre el segundo, y que el segundo es divisor del primero. Por ejemplo, al dividir 10 entre 5:
Como la división es exacta, decimos que 10 es divisible entre 5, y que 5 es divisor de 10. Para hallar los divisores de cualquier número, hemos de dividirlo entre todos los números naturales menores o igual que dicho número: los divisores serán aquellos para los que el resto de la división sea cero. Por ejemplo, para obtener todos los divisores de 14, lo dividimos entre todos los números naturales comprendidos entre 1 y 14, ambos incluidos:
Son exactas las divisiones de 14 entre 1, 2, 7 y 14. Los divisores de 14 son pues: 1, 2, 7 y 14. Si desea, siguiendo los mismos pasos puedes practicar y hallar, por ejemplo, los divisores de 12 y 7. Dividiendo 12 entre los números naturales menores que él y él mismo:
21. N
LEn caEn el DivisocompEl númEn la
ActivEscribejemp 0. 631. 782. 473. 244. 155. 89
ÚMEROS PLlamamos nambio, un n
ejemplo anores de 14 uesto; mero 1 no stabla siguie
ad No. 40. ba en los eplo “0” le sir
3 Es prim8 ________7 ________40 _______59 _______9 ________
PRIMOS Y número primúmero es c
nterior, hem= 1, 2, 7 y
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espacios erve de mod
mo: __ __ __ __ __
COMPUESmo al que scompuesto mos visto quy 14; como
ra número cen marcad
en blanco, delo:
97
STOS sólo tiene dosi tiene má
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6. 341 _7. 686 _8. 906 _9. 91 __
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_________________________________________________
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98
22. CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD: Los criterios de divisibilidad o pruebas de divisibilidad son reglas fijas que existen para determinar por simple observación o con operaciones sencillas si un número tiene como factores a determinados números. • Divisibilidad por 2:
Un número es divisible entre 2, cuando el último dígito de su numeral es cifra par: 0, 2, 4, 6, 8……
Ejemplos: 1. 40 es divisible por 2 porque termina en cero. 2. 280 es divisible entre 2 porque termina en cero. 3. 86 es divisible entre 2 porque termina en cifra par.
Nota: Si un número no termina en cero o en cifra par, este número no es divisible entre 2. • Divisibilidad por 3:
Un número es divisible entre 3 si la suma de los dígitos de su numeral es múltiplo de 3.
Ejemplo: 1. ¿El número 741 es divisible entre 3? Sumamos los dígitos de su numeral: 7+ 4 + 1 = 12. Como 12 e múltiplo de 3 escribimos la respuesta. 741 sí es divisible entre 3.
• Divisibilidad por 4: Un número es divisible por 4 cuando sus dos últimas cifras de la derecha son ceros o forman un múltiplo de 4.
Ejemplos: 1. 600 es divisible por 10 porque termina en dos ceros y 100 es divisible por
cuatro porque lo contiene 25 veces; luego si 4 divide a 100, dividirá a 600 que es múltiplo de 100 porque todo número que divide a otro divide a su múltiplo.
• Divisibilidad por 5:
Un número natural es divisible entre 5, cuando la última cifra de su numeral es cero o cinco.
Ejemplo: 30, 75, 46,785, 876,540, estos números son divisibles por 5 porque terminan en 0 y 5. • Divisibilidad por 6:
Un número es divisible por 6 cuando es divisible por 2 y por 3 al mismo tiempo: Ejemplo: 24, 36, 294, 2,550, estos números son divisibles por 6 porque cumplen con las condiciones anteriores.
99
• Divisibilidad por 8: Un número es divisible por 8 cuando sus tres últimas cifras de la derecha son ceros o forman múltiplos de 8.
Ejemplo: 5,000 es divisible por 8 porque sus últimas tres cifras son ceros. • Divisibilidad por 9:
Un número es divisible por 9 si al sumarse sus factores dan un múltiplo de 9. Ejemplo: - 18 es divisible por 9 ya que 1 + 8 = 9 y 9 es múltiplo de 9.
- 981 es divisible por 9 porque al sumar 9 + 8 + 1 = 18 y 18 es múltiplo de 9.
• Divisibilidad por 11: Para determinar si un número es divisible por 11, se aplica el siguiente procedimiento:
a. Se suman las cifras que ocupan un orden impar. b. Se suman las cifras que ocupan un orden par. c. Se restan las dos sumas anteriores y si el resultado es un múltiplo de 11
entonces el número será divisible por 11. Ejemplo: 64,614 Sumamos las cifras que ocupan orden impar 64,614 6 + 6 + 4 = 16 (resultado “a”). Sumamos las cifras que ocupan orden par 64,614 4 + 1 = 5 (resultado “b”) Restamos el resultado “a” menos el resultado “b” 16 – 5 = 11 El 11 es múltiplo de 11 por lo tanto 64,614 es divisible entre 11 Actividad No. 41. Encierre en un círculo los números que tengan la divisibilidad que se le indica. 1. Números divisibles entre 2: 148 - 570 - 213 - 896 - 165 2. Números divisibles entre 3: 51 - 70 - 132 - 160 - 858 3. Números divisibles entre 4: 7,200 - 1,931 - 9,324 - 847 - 15,140 4. Números divisibles entre 5: 857 - 495 - 970 - 828 - 5,735 5. Números divisibles entre 6: 900 - 3,108 - 8,093 - 10,356 - 3,431 6. Números divisibles entre 9: 297 - 824 - 1,242 - 9,021 - 8,838 22. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
ínimo común múltiplo, de dos o más números naturales, es el menor de sus múltiplos comunes. El mínimo común múltiplo de varios números, a, b, c, se designa abreviadamente así: m.c.m.(a, b, c). Para obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números se puede recurrir
a su descomposición factorial, tomando cada uno de los factores primos que intervengan en las descomposiciones de los distintos números elevado a la máxima potencia con que aparezca.
M
100
Ejemplos: 1) Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m) de 2, 4, y 6. Escribimos los primeros múltiplos de 2, 4 y 6. M2 = { 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20……} M4 = { 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …………} M6 = { 0, 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ……………..} Observe que el menor múltiplo común que aparece en los tres conjuntos es el 12, por lo tanto 12 es el m.c.m de 2, 4 y 6. 2) Hallar el mínimo común múltiplo de 3, 5 y 15. Escribimos los primeros múltiplos de 3, 5 y 15. M3 = { 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, ……} M5 = { 0, 5, 10, 15, 20, 25, ……………} M15= { 0, 15, 30, 45, 60, ……………….} Observe que el menor múltiplo común que aparece en los tres conjuntos es el 15, por lo tanto 15 es el m.c.m de 3, 5, y 15. Actividad No. 42. Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m)
1. Hallar el m.c.m de 3, 6 y 9: ___________________ 2. Hallar el m.c.m de 2, 3 y 4: ___________________ 3. Hallar el m.c.m de 4, 8 y 12: __________________ 4. Hallar el m.c.m de 6, 12 y 18: _________________ 5. Hallar el m.c.m de 8, 16 y 24: _________________
Hallando el mínimo común múltiplo a través de la descomposición de factores primos: Cuando encontramos cantidades grandes, es necesario utilizar el método de descomposición de factores primos. Ejemplo: Hallar el m.c.m de 18, 30 y 45. Paso No. 1 Descomponemos los números en sus factores primos:
101
Paso No. 2 Expresamos los números como producto de sus factores primos. Subrayamos los factores comunes con su mayor exponente y los no comunes.
18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 45 = 32 x 5
Paso No. 3 Multiplicamos los factores comunes y no comunes con el mayor exponente. m.c.m = 2 x 32 x 5 = 2 x 9 x 5 = 90 Entonces 90 es el m.c.m de 18, 30 y 45. Nota: Si hay factores repetidos se toman sólo una vez. Actividad No. 43. Hallar el mínimo común múltiplo (m.c.m) de:
1. 30, 35,40, 80:____________ 2. 121, 605 y 1,210:__________ 3. 10, 20, 40:______________ 4. 4, 10, y 20:______________ 5. 7, 14, 21 y 35:____________
23. MÁXIMO COMÚN DIVISOR: Máximo común divisor, de dos o más números naturales, es el mayor de sus divisores comunes. El máximo común divisor de varios números a, b, c, se designa abreviadamente así: M.C.D.(a, b, c). Para obtener el máximo común divisor de dos o más números se puede recurrir a su descomposición factorial tomando cada uno de los factores primos comunes a todas las descomposiciones de los distintos números, elevado a la mínima potencia con que aparezca. En otras palabras el máximo común divisor de 2 o mas números naturales, es el mayor natural perteneciente a la intersección de los conjuntos de sus divisores. Ejemplo: Calcular el máximo común divisor (M.C.D) de 18 y 24. D18 = { 1, 2, 3, 6, 9, 18 } D24 = { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 } D18 D24 = { 1, 2, 3, 6 } Explicación: El mayor de los elementos de la intersección es 6. Entonces el M.C.D de 18 y 24 es 6.
102
Actividad No. 44. Hallar el máximo común divisor de las cantidades que se le presentan:
1. 24 y 32:____________ 2. 18, 27 y 36:__________ 3. 16, 24 y 40:__________ 4. 15, 20, 30 y 60:_______ 5. 30, 42 y 54:__________
Evaluación de Unidad. No. Operación R. No. Operación R.
1. 1,904 + 9,325 11. 7,752 ÷ 17
2. 2,468 + 3,456 12. x2 * x8
3. 5,968 + 5,987 13. K6 * k-5
4. 4,951 – 2,365 14. m8 ÷ m-2
5. 8,789 – 5,628 15. x-7 ÷ x-2
6. 5,456 x 568 16.
7. 4,582 x 798 17.
8. 2,785 x 543 18.
9. 3,090 ÷ 25 19.
10. 3,612 ÷ 14 20. 53 x 75 + 15
103
BIBLIOGRAFIA. 1. A. BALDOR, “Aritmética Teórico Práctica”. Séptima reimpresión,
México 1,992. Editorial “Textos americano”, S.A. 639 pp. 2. A. BALDOR, “Algebra de Baldor”. reimpresión, México 1,992.
Editorial “Textos americano”, S.A. 576pp. 3. A. GOBRAN. “Algebra Elemental”. Traductor. Eduardo Ojeda. Grupo
Editorial Iberomérica, S.A. México, D.F. 1,990 4. G. APONTE, E. PAGÁN, F. PONS. “Fundamentos de Matemáticas
básicas”. I. Edición. Editorial Pearson Educativa. Puerto Rico, 1,998. 482 pp.
5. LOVAGLIA, FLORENCE. Algebra. Harla. México, 1,972. 6. N. LONDOÑO, H. DEDOYA. “Matemática Progresiva”. Segunda
Edicion. Séptima reimpresión. México 1,991. Editorial “Norma” S.A. 321 pp.
7. REPETTO, LINSKENS, FESQUET. Aritmética 1. “Matemática Moderna”.
Décimo novena edición. Editorial Kapelusz. Argentina febrero de 1,980. 364 pp.
8. VERNON E. HOWES, “Introducción a las Matemáticas”. Volumen I.
Editorial Limusa. México 1,974 575 pp. 9. E. LÓPEZ ARRIAZA, M. BONILLA DE CARDONA. “El hacer matemático
1”. Guatemala, 1,970. 274 pp.
104
IV. CAPITULO.
PROCESO DE EVALUACIÓN. 4.1. Evaluación del Diagnostico. Para evaluar el diagnostico y darle validez, se utilizó la técnica lista de cotejo,
donde se valoró el desarrollo efectivo de las actividades planificadas. Este instrumento reflejó que las actividades realizadas, sí apoyaron el logro de los objetivos. Las técnicas utilizadas permitieron detectar las necesidades de la institución para luego delimitar el problema a solucionar. Dentro del diagnostico se realizó el análisis de viabilidad y factibilidad para priorizar la solución del problema, lo cual reflejó que el diagnostico cumplió con su finalidad, ya que logro satisfactoriamente sus objetivos.
4.2. Evaluación del Perfil: Para evaluar esta fase se propuso lo siguiente: Control constante del cronograma de actividades. Revisión constante de los objetivos previstos. Reuniones para verificar el trabajo en desarrollo. Finalmente se elaboró una lista de cotejo que indico oportunamente si había
necesidad de tomar decisiones o reprogramar alguna actividad. 4.3. Evaluación de Ejecución: La evaluación en esta fase se enfatizó en los pasos que se siguieron, como
consecuencia del objetivo trazado, llevando un control constante del cronograma de actividades para el cumplimiento de las mismas.
Se realizaron reuniones periódicas con el objeto de informar sobre el avance
del proyecto durante la ejecución y el intercambio de ideas en la búsqueda de mejorar el producto a mejorar.
Finalmente se utilizó la lista de cotejo, como instrumento de evaluación para
esta etapa, dando a conocer que el proyecto fue elaborado en el tiempo indicado, que las actividades realizadas, contribuyeron favorablemente a las necesidades del proyecto ejecutado.
4.4. Evaluación Final: La evaluación final, se basa en la efectividad del proyecto que busca
determinar que los objetivos deseados; han resultado como consecuencia del esfuerzo invertido y la perseverancia.
Se utilizó la técnica de lista de cotejo para evaluar el cumplimiento de los
objetivos.
105
CONCLUCIONES • Se contribuye con la elaboración de un Módulo en el área de Matemática de
Educación Básica del nivel medio plan normal para el programa académico al Ministerio de Educación para fortalecer la educación extraescolar con la modalidad normal.
• Se fortalece el desarrollo y aplicación de propuestas pedagógicas académicas
en la educación nacional para los participantes que no han culminado su preparación académica por diversas circunstancias.
• El Ministerio de Educación carece de estrategias de mediano y largo plazo
para fijar metas nacionales, tanto en la cobertura como en la calidad de la educación; sea está, la modalidad de educación a distancia, para alcanzar la capacidad competitiva de los guatemaltecos.
106
RECOMENDACIONES
• Que el Módulo de contenidos de Matemática para el ciclo de Educación Básica de nivel medio, plan normal con la modalidad se pueda utilizar con los propósitos para el cual fue diseñado, contribuyendo así con la población estudiantil que no han culminado sus estudios.
• Que se elaboren propuestas pedagógicas académicas para apoyar programas de educación extraescolar para beneficiar a la sociedad de Nuevo Progreso, San Marcos. Colaborando así, con el desarrollo, transformación y participación de las nuevas generaciones.
• El Ministerio de Educación debe continuar con proyectos que complemente nuevos diseños educativos, que sirvan al mejoramiento de la educación a distancia para aquellos que por alguna razón no completaron su desarrollo intelectual.
Nuevo Progreso, 28 de marzo de 2009
Señor:
Cristóbal Eluminio Cifuentes Gómez Alcalde Municipal
Presente.
Señor Alcalde:
Con muestras de respeto, atentamente me permito dirigirme a usted deseándole éxitos en
sus labores administrativas.
Como estudiante de la Carrera de Pedagogía, de la Universidad de San Carlos, por
este medio SOLICITO, se me permita realizar labores de índole investigativo de la
municipalidad que usted dirige, con el objeto de conocer de cerca las funciones que se
realizan, y de realizar el diagnostico institucional, para apoyar a la Educación en donde se
considere necesario, de acuerdo a dicho diagnostico.
Al agradecer la atención que se sirva prestar a la presente, aprovecho para
suscribirme.
Nuevo Progreso, 28 de marzo de 2009
Lic. Ana Vitoria Rodas Marroquin.
Supervisora Técnico-Administrativo. Sector 12.12.1
Presente.
Atentamente me permito dirigirme a usted deseándole éxitos en sus labores
administrativas.
Como estudiante de la Carrera de Pedagogía, de la Universidad de San Carlos, por
este medio SOLICITO, se me permita realizar labores de índole investigativo en la entidad
que usted dirige , con el objeto de conocer de cerca las funciones que se realizan, y de
realizar el diagnostico institucional, para apoyar a la Educación en donde se considere
necesario, de acuerdo a dicho diagnostico.
Al agradecer la atención que se SIrva prestar a la presente, aprovecho para
suscribirme.
odinez
107
BIBLIOGRAFIA
1. Constitución Política de la República de Guatemala Asamblea Nacional Constituyente 3 de junio de 1985
2. EDUCACION LIBRE Y/O A DISTANCIA, MINEDUC. 06/05/2005. No. Inventario 9450
3. González Orellana, Carlos. Historia de la Educación de Guatemala. Colección Científico – Pedagógica. México 1960.
4. INTERNET Aspectos Básicos del estudio de la Andragogía. Http:77www.Monografías.Com.
5. Ley de Educación Nacional. Decreto Legislativo No. 12-91.
6. Menéndez, Luis Antonio. La Educación en Guatemala. 1954-2000. Enfoque Histórico Estadístico. Guatemala. C. A. 2002.
7. Modulo Docente la Facultad de Humanidades y Nuestra Identidad. Fredy Coronado Recinos. Mymor Roberto Motta Moscoco. Erbin Fernando Osorio Fernández. Guatemala, enero de 2005.
8. Municipalidad de Nuevo Progreso, San Marcos.
9. Plan Operativo Anual 2008 Facultad de Humanidades.
10. Plan Nacional de Educación 2004 – 2007 Versión Preliminar para Revisión. MINEDUC.
11. Pedagogía General. Editora Educativa. Nueva Edición.
12. Sistema Nacional de Mejoramiento de los Recursos Humanos y adecuación Curricular. –SIMAC-. Manual de Orientaciones Básicas sobre Educación a Distancia y la Función Tutorial. Ministerio de Educación, C. A. 1989-
13. Trifoliar del Departamento de Pedagogía. 2007.
14. Trifoliar MINEDUC.
15. WWW. Educación a distancia.com
