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8/19/2019 Carla Marchao
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.: 1
Verificação da Segurança de Pilares
de Betão Armado em Pontes
Carla Marchão
Francisco Virtuoso
Maio de 2007
8/19/2019 Carla Marchao
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.: 2
Objectivos
Implementação de uma metodologia de verificação da segurança de elementos
comprimidos esbeltos de betão armado tendo em conta os efeitos física e
geometricamente não lineares
Estudo dos efeitos de segunda ordem em pilares de betão armado
Estudo do efeito da interacção entre pilares de um mesmo sistema
estrutural Comparação dos resultados obtidos das análises física e geometricamente não
lineares com os de uma análise corrente utilizando os métodos simplificados
propostos pelo EC2
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
8/19/2019 Carla Marchao
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.: 4
1. Estado de Arte – Regulamentação para verificação da segurança de
pilares de pontes
1.2. Classificação das estruturas
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
Consoante a existência de elementos de contraventamento
Estruturas contraventadas
Estruturas não contraventadas
Consoante a sua sensibilidade aos efeitos de segunda ordem devidos a
deslocamentos laterais
Estruturas de nós fixos
Estruturas de nós móveis
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.: 5
1.3. Imperfeições geométricas
Regu lamento Exc entricidades Ad icionais
EC 2 – Parte 2 ei = θi l0 / 2, com θi =1
100 l ≤ 1 /200
Model Code 90 ei = θi l / 2, com θi =1
100 l ≤ 1/200
BS 5400 e = 0,05 h ≤ 0 ,02 m , para flexão segundo o eixo de menor inércia
e = 0,03 h ≤ 0,02 m , para flexão segundo o eixo de maior inércia
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
1. Estado de Arte – Regulamentação para verificação da segurança de
pilares de pontes
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1.4. Avaliação da necessidade de consideração dos efeitos de 2ª ordem
Regulamento
Lim ites de esbelteza para a não consideração dos efeitos desegunda ordem
Elementos de nós fixo s /
contraventados
Elementos de nós móveis /
não cont raventados
EC 2 – Parte 1 15,4 (1,7 - M01 / M02) / n 10,8 / n
Model Code 90 7,5 (2 - e01 / e02) / n se n ≤ 0,39
ou
12 (2 - e01 / e02) se n > 0,39
7,5 / n se n ≤ 0,39
ou
12 se n > 0,39 ACI 343R - 22
BS 5400 42 42
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
1. Estado de Arte – Regulamentação para verificação da segurança de
pilares de pontes
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1. Estado de Arte – Regulamentação para verificação da segurança de
pilares de pontes
1.5. Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem
Método geral (análise física e geometricamente não linear)
Métodos simplificados
Método baseado na estimativa da rigidez nominal
• Curvatura obtida através da rigidez de flexão nominal
• Consideração dos efeitos da fendilhação e da fluência
Método baseado na estimativa da curvatura
• Curvatura constante e independente do momento flector
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1. Estado de Arte – Regulamentação para verificação da segurança de
pilares de pontes
1.5. Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
Método baseado na estimativa da rigidez nominal
Curvatura: 1r
=MEI
EI = Kc Ecd Ic + Ks Es Is Rigidez nominal:
Msd = M0sd ⎝ ⎠
1 +NB / Nsd -1
Momento total de dimensionamento:
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1. Estado de Arte – Regulamentação para verificação da segurança de
pilares de pontes
1.5. Métodos para a quantificação dos efeitos de 2ª ordem
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
Método baseado na estimativa da curvatura
Curvatura:1r = Kr ⋅ K
ϕ
⋅ 1r 0
1r 0 =
ε
yd 0,45 dCurvatura base:
Momento total de dimensionamento: Msd = M0sd + M2 = M0sd + Nsd e2
Excentricidade de 2ª ordem: e2 = 1r ⋅ l
02
c
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2. Filosofia de verificação da segurança com base em análises não lineares
Determinação dos efeitos das acções considerando coeficientes parciais de
segurança:
Aplicados aos valores característicos das acções quando o efeito da acção aumentamais que a acção;
Aplicados aos efeitos dos valores característicos das acções quando o efeito da
acção aumenta menos que a acção.
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
k
F
sdγ kFf S(γ )
FFS(γ )
f γ FkkF kγFF = γFk γf sd
Análiselinear
Análise nãolinear
S
S(γ )k
FF
γ f S(γ )Fksd
SAnálise linear
Análise
não linear
kFγf γsdFγ F =kFkf γkF F
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2. Filosofia de verificação da segurança com base em análises não lineares
Cálculo da capacidade resistente dos elementos
Utilizando valores de cálculo das resistências dos materiais, obtidos através dos
valores característicos das resistências minorados por coeficientes parciais de
segurança;
Utilizando os valores médios das resistências dos materiais e posterior adopção de
um único coeficiente parcial de segurança para a resistência das secções.
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3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
Análise física e geometricamente não linear
Introduzidos ao nível da análise de
secções, através das relações
constitutivas não lineares dos materiais.
Considerados na passagem para o
referencial global da estrutura a partir
da descrição exacta das equações de
equilíbrio e de compatibilidade doselementos, desprezando-se a sua
deformação em relação à corda.
Efeitos fisicamente
não l ineares
Efeitos geometricamente
não l ineares
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3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
Hipótese simplificativa: Desprezam-se os efeitos geometricamente não lineares
associados à deformação do elemento.
N
V
N
V
Deformação dos vários elementos de uma barra relativamente às cordasrespectivas para o caso de divisão da barra num ou em três elementos
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3.1. Análise fisicamente não linear
3.1.1. Análise ao nível da secção
~S =
_ K
secção
~ ε ¯ Relação constitutiva incremental para a secção:
Utilizaram-se as relações constitutivas propostas pelo EC2 para análises não lineares: para o betão
considerou-se uma relação constitutiva parabólica e para o aço foi considerado o diagrama elasto-
plástico com endurecimento.
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
Diagramas de deformações e tensões de uma secção genérica de betão armado
M
N
As
Gx
y
σs
σc(y)
εs
εG
εc(y)
χ
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3.1. Análise fisicamente não linear
3.1.1. Análise ao nível da secção
~S =
_ K
secção
~ ε ¯ Relação constitutiva incremental para a secção:
Utilizaram-se as relações constitutivas propostas pelo EC2 para análises não lineares: para o betão
considerou-se uma relação constitutiva parabólica e para o aço foi considerado o diagrama elasto-
plástico com endurecimento.
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
Diagramas de deformações e tensões de uma secção genérica de betão armado
M
N
As
Gx
y
σs
σc(y)
εs
εG
εc(y)
χ
Ec
f c
0,4 f c
-σc
-εcεc1 εcu -f y
εy εu
Es1
Es
εs
k f y
−εy
f y
s
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3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
3.1. Análise fisicamente não linear
3.1.2. Análise ao nível do elemento
NM1 M2
2θ1θ
un
Esforços e deformações independentes de um elemento
Relação constitutiva incremental para o elemento: ~X = _ K
elemento
~u
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3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
3.2. Análise geometricamente não linear
3.2.1. Análise ao nível do elemento
Relação constitutiva incremental: ~Q = ( _ Kelemento + __ KG
elemento)~q ⇔
~Q = _ KT
elemento ~q
Forças nodais, deslocamentos nodais e esforços independentes num elemento genérico
V
Q
Q5
Q6N
M2
4
γ
V
M1
Q
Q2
Q1
α
L c
3 L
q4
5q
q1
q2
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3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
3.2. Análise geometricamente não linear
3.2.2. Análise ao nível da estrutura – Resolução do sistema de equações
• A um incremento de carga ΔQ corresponde um
acréscimo de deslocamentos Δq que difere do
realmente instalado na estrutura Δqtotal;
• Para minimizar o erro, optou-se por adicionar,
em cada incremento de carga, o desequilíbrio
calculado no final do incremento anterior.
~Q = _ KTest.
~qRelação constitutiva incremental:
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
Significado físico da matriz de rigidez tangente daestrutura
Q
Qf
iQ
ΔQ
K T
qqi qf
Δq
Δqtotal
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3.3. Consideração do efeito da fluência
Método dos módulos de elasticidade efectivo e ajustado
Deformação total de um elemento: c(t, t0) =
σc(t0)
Ec,eff
+σc(t, t0)
Ec,adj As deformações associadas a tensões constantes ao longo do tempo podem ser calculadas
utilizando o módulo de elasticidade efectivo. Caso a tensão varie ao longo do tempo, a deformação
associada à variação de tensão deve ser calculada utilizando o módulo de elasticidade ajustado.
Na metodologia de cálculo, a fluência foi introduzida ao
nível da relação constitutiva do betão para as acções
que actuam com carácter permanente.
Consideração do efeito da fluência na metodologia de cálculo
Relações constitutivas do betão para acções permanentes e variáveis
Ecf c
0,4 f c
-σc
εc1 εc1,ϕ -εc
Ec,ϕ
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3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
Ec,eff =
Ec(t0)
1 +Ec(t0)Ec,28
ϕ
(t, t0)Ec,adj =
Ec(t0)
1 +χ
(t, t0)Ec(t0)Ec,28
ϕ
(t, t0)
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T' = T⋅
Ec,adj
Ec,eff
ei' = ei - (δs' - δs)
δs’ > δs
Por forma a simplificar a formulação adoptada no programa de cálculo automático, optou-se pela
adopção de um único módulo de elasticidade para as acções permanentes.
Dado que, de todas as acções permanentes consideradas, apenas a retracção introduz variações
de tensão ao longo do tempo, optou-se pela adopção do módulo de elasticidade efectivo corrigindo
o efeito da retracção para ter em consideração a diferença entre os módulos de elasticidade
efectivo e ajustado.
Módulo de elasticidade considerado para as acções permanentes
M1
V1
δs ΔT
V1
M1
A, I, Ec,adj L
M1
V1
δs ΔT
V1
M1
A, I, Ec,adj L
A, I, Ec,eff
δs'
V1
M1
ΔT'
M1
V1
L
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3.3. Consideração do efeito da fluência
3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
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Correcção da
excentricidade inicial
Ec,ef < Ec,adj
Correcção da variação detemperatura
T' = T ⋅ Ec,adj
Ec,eff
ei' = ei - (δs' - δs)
T' = T⋅
Ec,adj
Ec,eff
ei' = ei - (δs' - δs)
δs’ > δs
Correcção da
excentricidade inicial
Ec,ef < Ec,adj
maiores efeitos de
2ª ordem nos pilares
Correcção da variação detemperatura
T' = T⋅
Ec,adj
Ec,eff
ei' = ei - (δs' - δs)
δs’ > δs
M1
V1
δs ΔT
V1
M1
A, I, Ec,adj L
A, I, Ec,eff
δs'
V1
M1
ΔT'
M1
V1
L
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
Módulo de elasticidade considerado para as acções permanentes
3.3. Consideração do efeito da fluência
3. Análise não linear. Efeitos física e geometricamente não lineares
A, I, Ec,eff
δs'
V1
M1
ΔT'
M1
V1
L
M1
V1
δs ΔT
V1
M1
A, I, Ec,adj L
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4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
4.1. Exemplos analisados
Consideração de três estruturas distintas – Exemplos A, B e C – baseadas na
estrutura de um caso real. A diferença entre exemplos consiste unicamente na
secção transversal adoptada para os pilares por forma a se fazer variar a
esbelteza dos pilares e, consequentemente, a importância dos efeitos de
segunda ordem.
Para cada exemplo foram efectuadas as seguintes análises física e
geometricamente não lineares:
Análise com incremento de forças verticais até à rotura
Análise com incremento de forças horizontais até à rotura
Análise com as acções de dimensionamento
Comparação com os resultados obtidos utilizando os métodos simplificados
propostos pelo EC2.
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
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4.2. Estrutura do exemplo
Alçado frontal da estrutura
Pilar H (m)
P1 27,61
P2 32,27
P3 16,95
Corte longitudinal do viaduto
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
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4.3. Acções consideradas
Acções permanentes
Peso próprio
Restantes cargas permanentes
Efeitos axiais do pré-esforço no tabuleiro
Fluência e retracção
Acções variáveis
Sobrecarga rodoviária uniformemente distribuída
Frenagem
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4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
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4.4. Análise com incremento de forças verticais
Exemplo A
Análise dos pilares isolados
Análise da estrutura
-160000
-140000
-120000-100000
-80000
-60000
-40000
-20000
0 -80000-60000-40000-200000 M (kNm)
N (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
Pilar P1 - AEL
Pilar P2 - AEL
Pilar P3 - AEL
(MRd, NRd)
(MRd, NRd) - ANL
-160000
-140000
-120000
-100000
-80000
-60000
-40000
-200000
-76000-56000-36000-16000M (kNm)
N (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
(MRd,NRd)
(MRd,NRd) - ANL
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4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
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.: 27
4.4. Análise com incremento de forças verticais
Exemplo B-140000
-120000
-100000
-80000
-60000
-40000
-20000
0
-45000-35000-25000-15000-5000 M (kNm)
N (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
(MRd, NRd)
(MRd, NRd) - ANL
-140000
-120000
-100000
-80000
-60000
-40000
-20000
0-45000-35000-25000-15000-5000 M (kNm)
N (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
Pilar P1 - AEL
Pilar P2 - AEL
Pilar P3 - AEL
(MRd, NRd)
(MRd, NRd) - ANL
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
Análise dos pilares isolados
Análise da estrutura
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.: 28
4.4. Análise com incremento de forças verticais
Exemplo C-120000
-100000
-80000
-60000
-40000
-20000
0
-35000-30000-25000-20000-15000-10000-50000M (kNm)
N (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
(MRd, NRd)
(MRd, NRd) - ANL
-120000
-100000
-80000
-60000
-40000
-20000
0-35000-30000-25000-20000-15000-10000-50000 M (kNm)
N (kN)
Pilar P1Pilar P2
Pilar P3
Pilar P1- AEL
Pilar P2 - AEL
Pilar P3 - AEL
(MRd, NRd)
(MRd, NRd) - ANL
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
Análise dos pilares isolados
Análise da estrutura
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4.5. Análise com incremento de forças horizontais
Exemplo A
Exemplo B
0
1000
2000
3000
4000
5000
-0,05 0,05 0,15 0,25 δtopo (m)
H (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
0
1000
2000
3000
4000
5000
-500 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 V (kN)
H (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
0
500
1000
1500
2000
0,00 0,10 0,20 0,30 0,40δtopo (m)
H (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
0
500
1000
1500
2000
-200 0 200 400 600 800 1000 1200 V (kN)
H (kN)
Pilar P1
Pilar P2
Pilar P3
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
f ã S ã
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4.6. Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos
Exemplo A
F.S.
6,4
4,6
6,1
11,8
5,9
3,8
1,4
1,6
2,1
9,1
2,8
2,6
-150000
-130000
-110000
-90000
-70000
-50000
-30000
-10000
-80000-60000-40000-200000
M (kNm)
N (kN)Pilar P1 - ANL pilar isolado
Pilar P2 - ANL pilar isolado
Pilar P3 - ANL pilar isolado
Pilar P1- ANL estrutura
Pilar P2 - ANL estrutura
Pilar P3 - ANL estrutura
Pilar P1 - MERN
Pilar P2 - MERN
Pilar P3 - MERN
Pilar P1- MEC
Pilar P2 - MEC
Pilar P3 - MEC
(MRd, NRd)
(MRd, NRd) - ANL
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
V ifi ã d S d Pil d B tã A d P t
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.: 31
4.6. Comparação dos resultados obtidos pelos diversos métodos
Exemplo B
F.S.
2,4
2,6
4,1
6,1
2,1
0,6
0,6
0,6
1,1
-130000
-110000
-90000
-70000
-50000
-30000
-10000
-60000-40000-200000
M (kNm)
N (kN)Pilar P1 - ANL pilar isolado
Pilar P2 - ANL pilar isolado
Pilar P3 - ANL pilar isolado
Pilar P1- ANL estrutura
Pilar P2 - ANL estrutura
Pilar P3 - ANL estrutura
Pilar P1 - MERN
Pilar P2 - MERN
Pilar P3 - MERN
Pilar P1 - MEC
Pilar P2 - MEC
Pilar P3 - MEC
(MRd, NRd)
(MRd, NRd) - ANL
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
Verificação da Segurança de Pilares de Betão Armado em Pontes
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4.7. Conclusões (1/2)
Para o caso dos exemplos analisados, nomeadamente nos que apresentam pilares com
maior esbelteza, verificou-se que os métodos simplificados sobrestimam os efeitos desegunda ordem devido a vários factores:
Consideram curvaturas excessivamente conservativas por admitirem que os pilares
se encontram em situação de eminência de rotura;
Para o cálculo do momento total, incluindo efeitos de segunda ordem, não
consideram o funcionamento conjunto dos vários elementos integrados na mesma
estrutura já que, quer a excentricidade de segunda ordem no método da estimativa
da curvatura, quer o factor de amplificação do momento no método da rigidez
nominal, são calculados com base no comprimento de encurvadura do pilar isolado;
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4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
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8/19/2019 Carla Marchao
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4.7. Conclusões (2/2)
As diferenças entre os resultados da aplicação dos métodos simplificados face aos obtidos
em análises não lineares serão menores nos casos de estruturas em que os pilares tenhamalturas semelhantes, pelo facto do comprimento de encurvadura dos pilares ser semelhante
ao comprimento de encurvadura dos pilares isolados;
Refira-se que nos exemplos apresentados se introduziram características de rigidez e
esbelteza por forma a tornar mais significativos os efeitos de segunda ordem, pelo que naanálise de exemplos reais será de esperar menores diferenças entre os resultados da
aplicação dos métodos simplificados face aos obtidos em análises não lineares;
Excluindo a questão dos aspectos particulares de verificação da segurança na fase
construtiva, é vantajoso sob o ponto de vista da economia verificar a segurança dos pilares
através de análises física e geometricamente não lineares;
É de salientar que as análises não lineares efectuadas aos pilares isolados podem ser
excessivamente penalizantes para os pilares mais esbeltos e contra a segurança no caso
dos pilares mais rígidos.
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4. Exemplo de aplicação. Comparação com os métodos simplificados
propostos pelo EC2
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