Carlos Alberto Ynoguti

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Transformada z

Carlos Alberto Ynoguti

September 14, 2007

Definicao

Definicao

Introducao

Definicao

Relacao entre aDTFT e atransformada zRegiao deconvergencia

Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes

Alguns pares detransformadas z

Transformadas z

racionais

Regiao deconvergencia de umatransformada z

racional

Transformada z

inversa

Propriedades datransformada z

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Introducao

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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■ DFT fornece uma representacao no domınio da frequenciapara sinais e sistemas discretos

■ Por causa da condicao de convergencia, a DTFT de umasequencia pode nao existir, e desta forma nao podemos usaresta caracterizacao nestes casos

■ A transformada z e uma generalizacao da DTFT, que podeexistir para muitas sequencias para as quais nao existe aDTFT.

■ O uso das tecnicas da transformada z permite manipulacoesalgebricas simples

Definicao

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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Para uma dada sequencia g[n], sua transformada z, G(z), edefinida como

G(z) = Z{g[n]} =∞

∑

n=−∞

g[n]z−n (1)

onde z = ℜ(z) + jℑ(z) e uma variavel complexa.

Relacao entre a DTFT e a transformada z

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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G(z) = Z{g[n]} =∞

∑

n=−∞

g[n]z−n

Se fizermos z = rejω, entao temos:

G(rejω) =

∞∑

n=−∞

g[n]r−ne−jωn (2)

que pode ser interpretada como a DTFT da sequenciamodificada {g[n]r−n}.

■ Para r = 1 (isto e, |z| = 1), a transformada z de g[n]reduz-se a sua DTFT (desde que exista).

■ O contorno |z| = 1 e um cırculo no plano z de raio unitario,e e chamado de cırculo unitario.

Regiao de convergencia

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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■ Para uma dada sequencia, o conjunto de valores R de z paraos quais sua transformada z converge e chamada de regiao

de convergencia (ROC: region of convergence).■ A serie da eq. (2) converge uniformemente se g[n]r−n for

absolutamente somavel, isto e:

∞∑

n=−∞

|g[n]r−n| < ∞ (3)

■ Em geral, a regiao de convergencia R de g[n] e uma regiaoanular no plano z:

Rg− < |z| < Rg+ (4)

onde 0 ≤ Rg− ≤ Rg+ ≤ ∞

Observacoes

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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■ A transformada z definida na equacao (1) e uma forma deuma serie de Laurent e e uma funcao analıtica em todos ospontos da ROC.

■ Isto implica que a transformada z e todas as suas derivadassao funcoes contınuas da variavel complexa z na ROC.

Exemplo 3.22

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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Seja x[n] = αnu[n]. Determine sua transformada z e sua regiaode convergencia.

Solucao:

X(z) =

∞∑

n=−∞

αnu[n]z−n =

∞∑

n=0

αnz−n

A serie acima converge para

X(z) =1

1 − αz−1, |αz−1| < 1

indicando que a ROC e a regiao anular |z| > |α|

Observacao

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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Podemos obter a transformada z de u[n] se fizermos α = 1 noexemplo anterior. Neste caso:

U(z) =1

1 − z−1, |z−1| < 1

A ROC de U(z) e entao a regiao anelar |z| > 1.

Note que u[n] nao e absolutamente somavel, e portanto naopossui transformada de Fourier. Entretanto, possui transformadaz.

Exemplo 3.23

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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Encontre a transformada z da sequencia anti-causalx[n] = −αnu[−n − 1]

Solucao:

X(z) =

−1∑

n=−∞

αnz−n = −

∞∑

m=1

α−mzm

= −α−1z∞

∑

n=0

α−mzm =α−1z

1 − α−1z=

1

1 − αz−1, |α−1z| < 1

onde agora a ROC e a regiao anular |z| < |α|

Observacoes

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


11 / 53

■ Note dos exemplos anteriores que as transformadas z saoidenticas apesar das sequencias que as originaram seremmuito diferentes entre si. Desta forma, para associarmos umasequencia a sua transformada z de forma unıvoca, devemoslevar em conta tambem a sua regiao de convergencia.

■ A transformada de Fourier G(ejω) de uma sequencia g[n]converge uniformemente se e somente se a ROC datransformada z de g[n] incluir o cırculo unitario.

■ Por outro lado, a existencia da transformada de Fourier nemsempre implica a existencia da transformada z. Por exemplo,

hLP [n] =

{

1, 0 ≤ |ω| ≤ ωc

0, ωc < |ω| ≤ π

tem transformada de Fourier, mas nao tem transformada z.

Alguns pares de transformadas z

Definicao

Introducao

Definicao


Observacoes

Exemplo 3.22

Observacao

Exemplo 3.23

Observacoes


Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


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Sequencia transformada z ROC

δ[n] 1 ∀z

u[n]1

1 − z−1|z| > 1

αnu[n]1

1 − αz−1|z| > |α|

(rn cosω0n)u[n]1 − (r cos ω0)z

−1

1 − (2r cos ω0)z−1 + r2z−2|z| > r

(rn senω0n)u[n]1 − (r senω0)z

−1

1 − (2r cos ω0)z−1 + r2z−2|z| > r

Transformadas z racionais

Definicao

Transformadas z

racionais

Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo

Interpretacao fısica


racional

Transformada z

inversa


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Sistemas LTI

Definicao

Transformadas z

racionais

Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo



racional

Transformada z

inversa


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A transformada z de sistemas discretos LTI sao funcoes racionaisde z−1:

G(z) =P (z)

Q(z)=

p0 + p1z−1 + · · · + pM−1z

−(M−1) + pMz−M

d0 + d1z−1 + · · · + dN−1z−(N−1) + dNz−N

(5)onde o grau do polinomio no numerador P (z) e M , e o grau dopolinomio no denominador Q(z) e N .

Formas alternativas

Definicao

Transformadas z

racionais

Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo



racional

Transformada z

inversa


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G(z) = z(N−M) p0zM + p1z

M−1 + · · · + pM−1z + pM

d0zN + d1zN−1 + · · · + dN−1z + dN

(6)

Esta equacao pode ser escrita de forma fatorada como:

G(z) =p0

d0

∏Ml=1(1 − ξlz

−1)∏M

l=1(1 − λlz−1)= z(N−M) p0

d0

∏Ml=1(z − ξl)

∏Ml=1(z − λl)

(7)

■ Em z = ξl, G(ξl) = 0 ⇒ z = ξl sao os zeros de G(z)

■ Em z = λl, G(λl) → ∞ ⇒ z = λl sao os polos de G(z)

Exemplo

Definicao

Transformadas z

racionais

Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo



racional

Transformada z

inversa


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A transformada z de u[n] e dada por

U(z) =1

1 − z−1=

z

z − 1, |z| > 1

que tem um zero em z = 0 e um polo em z = 1.

Re z

Im z

cırculo unitariopolo em z = 1

zero em z = 0regiao de convergencia


Definicao

Transformadas z

racionais

Sistemas LTI

Formas alternativas

Exemplo



racional

Transformada z

inversa


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Seja G(z) =1 − 2.4z−1 + 2.88z−2

1 − 0.8z−1 + 0.64z−2

Vamos plotar o grafico de 20 log10 |G(z)| no plano complexo:Podemos ver grandes picos em z = 0.4 ± j0.6928 (polos) egrandes vales em z = 1.2 ± j1.2 (zeros).

Regiao de convergencia de uma

transformada z racional

Definicao

Transformadas z

racionais


racionalMotivos paraestudar a regiao deconvergencia

Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27

Exemplo 3.27(continuacao)

Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


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Motivos para estudar a regiao de convergencia

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


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■ Sem o conhecimento da ROC nao existe uma relacaounıvoca entre uma sequencia e sua transformada z.Portanto, a transformada z precisa sempre ser especificadacom sua respectiva ROC.

■ Se a ROC da transformada z de uma sequencia inclui ocırculo unitario, entao esta sequencia tambem teratransformada de Fourier, que pode por sua vez ser calculadaavaliando-se a transformada z no cırculo unitario.

■ Existe uma relacao entre a ROC da transformada z daresposta a impulso de um sistema LTI causal e sua BIBOestabilidade.


Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


19 / 53





Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


19 / 53




Posicao da ROC

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


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A ROC de uma transformada z racional e limitada pelalocalizacao dos polos. Para entender isto, vamos examinar aROC de u[n], calculada anteriormente:

Re z

Im z

cırculo unitariopolo em z = 1

zero em z = 0regiao de convergencia

ROC (area sombreada): regiao do plano z fora do cırculocentrado na origem, indo desde o polo em z = 1 ate |z| = ∞.

Exemplo 3.24

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


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Determine a ROC da transformada z de h[n] = (−0.6)nu[n]

SolucaoDo Exemplo 3.22, temos que:

H(z) =1

1 + 0.6z−1=

z

z + 0.6, |z| > 0.6

Re z

Im z

polo em z = −0.6

zero em z = 0

Exemplo 3.25

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


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Seja g[n] uma sequencia finita , definida para −M ≤ n ≤ N ,onde M e N sao inteiros nao negativos e |g[n]| < ∞. Suatransformada z e dada por

G(z) =N

∑

n=−M

g[n]z−n =

∑N+Mn=0 g[n − M ]zN+M−n

zN(8)

Note da Equacao (8) que G(z) tem M polos em z = ∞ e Npolos em z = 0.

Desta forma, em geral, a transformada z de uma sequencia decomprimento finito converge em todo o plano z, excetopossivelmente em z = 0 e/ou em z = ∞.

Exemplo 3.26

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


23 / 53

Uma sequencia de lado direito u1[n] com amostras nao nulassomente para n ≥ 0 e algumas vezes chamada de uma sequenciacausal. Sua transformada z e dada por:

U1(z) =

∞∑

n=0

u1[n]z−n (9)

Pode-se mostrar que U1(z) converge na regiao exterior ao cırculo|z| = R1, incluindo o ponto z = ∞.

Por outro lado, uma sequencia de lado direito u2[n], comamostras nao nulas somente para n ≥ −M (M um inteiro naonegativo) tem transformada z, U2(z), com M polos em z = ∞,e portanto sua ROC e exterior ao cırculo |z| = R2, excluindo oponto z = ∞.

Exemplo 3.27

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


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Uma sequencia de lado esquerdo v1[n] com amostras nao nulassomente para n ≤ 0 e geralmente chamada de uma sequenciaanti-causal. Sua transformada z e dada por:

V1(z) =0

∑

n=−∞

v1[n]z−n (10)

e converge na regiao interior ao cırculo |z| = R3, incluindo oponto z = 0.

Entretanto, uma sequencia de lado esquerdo v2[n], com amostrasnao nulas somente para n ≤ N (N um inteiro nao negativo) temtransformada z, V2(z), com N polos em z = 0. Como resultado,sua ROC e interior ao cırculo |z| = R4, excluindo o ponto z = 0.

Exemplo 3.27 (continuacao)

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


25 / 53

A transformada z de uma sequencia bilateral w[n] pode serexpressa como:

W (z) =∞∑

n=−∞

w[n]z−n =∞

∑

n=0

w[n]z−n +−1∑

n=−∞

w[n]z−n (11)

■ O primeiro termo e a transformada z de uma sequencia delado direito, que converge no exterior do cırculo |z| = R5.

■ O segundo termo e a transformada z de uma sequencia delado esquerdo, que converge no interior do cırculo |z| = R6.

■ Como resultado, se R5 < R6 a ROC e a regiaoR5 < |z| < R6. Porem, se R5 > R6, a transformada z destasequencia nao existe.

Exemplo 3.28

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


26 / 53

A sequencia bilateral definida por

x[n] = αn

onde α pode ser um numero real ou complexo, nao temtransformada z, independentemente do valor absoluto |α|, pois

U(z) =∞

∑

n=0

αnz−n +−1∑

n=−∞

αnz−n (12)

O primeiro termo da Equacao (12) converge para |z| > |α|,enquanto que o segundo termo converge para |z| < |α|, eportanto nao ha sobreposicao das ROCs.

Resumindo

Definicao

Transformadas z

racionais



Posicao da ROC

Exemplo 3.24

Exemplo 3.25

Exemplo 3.26

Exemplo 3.27


Exemplo 3.28

Resumindo

Transformada z

inversa


27 / 53

Seja uma transformada z racional com polos em z = α e z = β.As ROCs possıveis sao:

ReReRe

ImImIm

ααα βββ 000

a) sequencia de b) sequencia bilateral c) sequencia delado direito lado esquerdo

Transformada z inversa

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral

Forma alternativa decalculoMetodo 1: expansaoem fracoes parciais

Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos

Metodo 2: divisaolonga

Exemplo 3.35


28 / 53

Expressao geral

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


29 / 53

Para z = rejω, G(z) e meramente a transformada de Fourier deg[n]r−n. Assim, a transformada inversa de Fourier destasequencia e:

g[n]r−n =1

2π

∫ π

−π

G(rejω)ejωndω (13)

Fazendo z = rejω, podemos reescrever a equacao acima como

g[n] =1

2πj

∮

C′

G(z)zn−1dz (14)

onde C ′ e um contorno de integracao anti-horario definido por|z| = r.

Forma alternativa de calculo

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


30 / 53

A integral de contorno permanece inalterada quandosubstituımos C ′ por qualquer contorno C que contenha aorigem. Assim, esta integral pode ser avaliada usando o teoremados resıduos de Cauchy:

g[n] =∑

[resıduos de G(z)zn−1 nos polos dentro de C] (15)

Vamos ver a seguir dois metodos simples para calcular atransformada z inversa.

Metodo 1: expansao em fracoes parciais

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


31 / 53

■ Uma transformada z racional G(z) com uma inversa g[n]causal tem uma ROC que e exterior a um cırculo.

■ Neste caso, e mais conveniente expressar G(z) na forma deuma expansao em fracoes parciais, e determinar g[n]somando as transformadas inversas dos termos individuaismais simples na expansao.

■ Seja G(z) racional expressa como:

G(z) =P (z)

D(z)(16)

onde P (z) e D(z) sao polinomios em z−1.


Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


31 / 53




G(z) =P (z)

D(z)(16)



Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


31 / 53




G(z) =P (z)

D(z)(16)


Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


32 / 53

Se o grau M do numerador P (z) e maior que o grau N dodenominador D(z) entao podemos dividir P (z) por D(z) ereescrever G(z) como

G(z) =M−N∑

l=0

ηlz−l +

P1(z)

D(z)(17)

onde o grau do polinomio P1(z) e menor que o de D(z). Afuncao racional P1(z)/D(z) e chamada uma fracao propria.

Exemplo 3.31

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


33 / 53

Considere a transformada z racional

2 + 0.8z−1 + 0.5z−2 + 0.3z−3

1 + 0.8z−1 + 0.2z−2

Desde que o grau do numerador e maior que o grau dodenominador, vamos dividir o numerador pelo denominador(usando divisao longa). Com isto, chegamos a:

−3.5 + 1.5z−1 +5.5 + 2.1z−1

1 + 0.8z−1 + 0.2z−2

Polos simples

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


34 / 53

Suponha que G(z) tenha N polos simples e distintos, localizadosemz = λk, 0 ≤ k ≤ N . Uma expansao em fracoes parciais deG(z) e entao da forma

G(z) =N

∑

l=1

ρl

1 − λlz−l(18)

onde as constantes ρl (resıduos) sao dadas por

ρl = (1 − λlz−1)G(z)

∣

∣

z=λl(19)

Cada termo de (19) mtem uma ROC definida por z > |λl| e,portanto, uma inversa da forma ρl(λl)

nu[n]. Assim, a inversa deG(z) e dada por

g[n] =N

∑

l=1

ρl(λl)nu[n] (20)

Observacao

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


35 / 53

Note que o procedimento acima, com pequenas modificacoes,pode ser usado para determinar a transformada z inversa de umasequencia nao causal com uma transformada z racional.

Exemplo 3.32

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


36 / 53

Seja a transformada z de uma sequencia h[n] causal dada por

H(z) =z(z + 2.0)

(z − 0.2)(z + 0.6)=

1 + 2.0z−1

(1 − 0.2z−1)(1 + 0.6z−1)(21)

Fazendo a expansao em fracoes parciais de H(z), temos:

H(z) =ρ1

1 − 0.2z−1+

ρ2

1 + 0.6z−1(22)

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


37 / 53

Usando (19), chegamos a:

ρ1 = (1 − 0.2z−1)H(z)∣

∣

z=0.2=

1 + 0.2z−1

1 + 0.6z−1

∣

∣

∣

∣

z=0.2

= 2.75

ρ2 = (1 + 0.6z−1)H(z)∣

∣

z=−0.6=

1 + 0.2z−1

1 − 0.2z−1

∣

∣

∣

∣

z=−0.6

= −1.75

Substituindo ρ1 e ρ2 em (22):

H(z) =2.75

1 − 0.2z−1−

1.75

1 + 0.6z−1

A transformada z inversa da expressao acima e dada entao por

h[n] = 2.75(0.2)nu[n] − 1.75(−0.6)nu[n]

Polos multiplos

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


38 / 53

Suponha que G(z) tem um polo em z = v de multiplicidade L, eos N − L polos restantes sejam simples e em z = λl,1 ≤ l ≤ N − L. A expansao de G(z) tem entao a forma:

G(z) =N−L∑

l=0

ηlz−l +

N−L∑

l=1

ρl

1 − λlz−1+

L∑

i=1

γi

(1 − vz−1)i(23)

onde as constantes γi sao calculadas a partir de:

γi =1

(L − i)!(−v)L−i

dL−i

d(z−1)L−i

[

(1 − vz−1)LG(z)]∣

∣

z=v, 1 ≤ i ≤ L

(24)e os resıduos ρl sao calculados usando (19) como anteriormente.

Metodo 2: divisao longa

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


39 / 53

■ Para sequencias causais, G(z) pode ser expandida em umaserie de potencias de z−1.

■ Na expansao, o coeficiente que multiplica z−n e entao an-esima amostra de g[n].

■ Para G(z) racional, uma forma conveniente de determinar aseerie de potencias e expressar o numerador e o denominadorem termos de polinomios em z−1, e entao obter a expansaopor divisao longa.

Exemplo 3.35

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Expressao geral


Exemplo 3.31

Polos simples

Observacao

Exemplo 3.32

Polos multiplos


Exemplo 3.35


40 / 53

Calcule a transformada z inversa de

H(z) =1 + 2.0z−1

1 + 0.4z−1 − 0.12z−2

Fazendo a divisao longa do numerador pelo denominador, temos:

H(z) = 1.0 + 1.6z−1 − 0.52z−2 + 0.4z−3 − 0.224z−4 + · · ·

o que leva a

h[n] = {1.0↑

, 1.6, − 0.52, 0.4, − 0.224, . . . }, n ≥ 0

Propriedades da transformada z

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa

Propriedades datransformada zAlgumaspropriedades uteis

Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41

Transformada z dacorrelacao cruzada

Energia de umasequencia

Observacoes

41 / 53

Algumas propriedades uteis

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

42 / 53

Propriedade Sequencia transformada z ROC

g[n] G(z) Rg

h[n] H(z) Rh

conjugacao g∗[n] G∗(z∗) Rg

rev. temporal g[−n] G(1/z) 1/Rg

linearidade αg[n] + βh[n] αG(z) + βH(z) inclui Rg ∩Rh

desloc. tempo g[n − n0] zn0G(z) Rg, exceto talvez

z = 0 ou z = ∞mult. exp. αng[n] G(z/α) |α|Rg

dif. G(z) ng[n] −z dG(z)dz

Rg, exceto talvez

z = 0 ou z = ∞convolucao g[n] ∗ h[n] G(z)H(z) inclui Rg ∩Rh

modulacao g[n]h[n] 12πj

H

CG(v)H( z

v)v−1dv inclui RgRh

Relacao de Parseval

∞X

n=−∞

g[n]h∗[n] =1

2πj

I

C

G(v)H∗(1/v∗)v−1dv

Nota

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

43 / 53

■ Rg denota a regiao Rg− < |z| < Rg+

■ Rh denota a regiao Rh− < |z| < Rh+

■ 1/Rg denota a regiao 1/Rg+ < |z| < 1/Rg−

■ RgRh denota a regiao Rg−Rh− < |z| < Rg+Rh+

Exemplo 3.38

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

44 / 53

Ache a transformada z e a ROC de v[n] = αnu[n]− βnu[−n− 1]

Exemplo 3.38

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

44 / 53

Ache a transformada z e a ROC de v[n] = αnu[n]− βnu[−n− 1]

Solucao:

Denotando x1[n] = αnu[n] e x2[n] = −βnu[−n − 1]

X1(z) =1

1 − αz−1, |z| > |α|

X2(z) =1

1 − βz−1, |z| < |β|

Usando a propriedade de linearidade, chegamos a

V (z) = X1(z) + X2(z) =1

1 − αz−1+

1

1 − βz−1

ROC: se |β| > |α| entao a ROC sera a regiao anular|α| < z < |β|. Caso contrario, a transformada z nao existe.

Exemplo 3.39

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

45 / 53

Determine a transformada z e a ROC de x[n] = rn cos(ω0n)u[n].

Exemplo 3.39

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

45 / 53

Determine a transformada z e a ROC de x[n] = rn cos(ω0n)u[n].

Solucao:

Expressando x[n] como a soma de duas sequencias exponenciais,temos:

x[n] =1

2rnejω0nu[n] +

1

2rne−jω0nu[n]

Podemos reescrever a expressao acima como x[n] = v[n] + v∗[n],onde

v[n] =1

2αnu[n]

com α = rejω0 . A transformada z de v[n] e dada por

V (z) =1

2·

1

1 − αz−1=

1

2·

1

1 − rejω0z−1, |z| > |α| = r

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

46 / 53

e a transformada z de v∗[n] e V ∗(z∗):

V ∗(z∗) =1

2·

1

1 − α∗z−1=

1

2·

1

1 − re−jω0z−1, |z| > |α| = r

Usando a propriedade de linearidade da transformada z, obtemos:

X(z) = V (z) + V ∗(z∗) =1

2

(

1

1 − rejω0z−1+

1

1 − re−jω0z−1

)

=1 − r cos(ω0)z

−1

1 − 2r cos(ω0)z−1 + r2z−2, |z| > r

Exemplo 3.40

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

47 / 53

Determine a transformada z e a ROC de y[n] = (n + 1)αnu[n].

Exemplo 3.40

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

47 / 53

Determine a transformada z e a ROC de y[n] = (n + 1)αnu[n].

Solucao:

Seja x[n] = αnu[n]. Assim, podemos escrever

y[n] = nx[n] + x[n]

A transformada z de x[n] e dada por

X(z) =1

1 − αz−1, |z| > |α|

Usando a propriedade de diferenciacao, a transformada z denx[n] e:

−zdX(z)

dz=

αz−1

(1 − αz−1)2, |z| > |α|

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

48 / 53

Finalmente, usando a propriedade de linearidade, obtemos:

Y (z) =1

1 − αz−1+

αz−1

(1 − αz−1)2=

1

(1 − αz−1)2, |z| > |α|

Exemplo 3.41

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

49 / 53

Determine a transformada z inversa de

G(z) =z3

(

z − 12

) (

z + 13

)2 , |z| >1

2

Exemplo 3.41

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

49 / 53

Determine a transformada z inversa de

G(z) =z3

(

z − 12

) (

z + 13

)2 , |z| >1

2

Solucao:

Como a ROC e exterior ao cırculo de raio 1/2, a transformadainversa e uma sequencia de lado direito.

Fazendo a expansao em fracoes parciais de G(z), temos:

G(z) =0.36

1 − 12z−1

+0.24

1 + 13z−1

+0.4

(

1 + 13z−1

)2

Os dois primeiros termos tem transformada inversa dada por0.36(0.5)nu[n] e 0.24(−1/3)nu[n], respectivamente.

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

50 / 53

Para determinar a inversa do terceiro termo, observamos que atransformada z de n(−1/3)nu[n] e dada por

−zd

dz

(

1/

(

1 +1

3z−1

))

= −1

3z−1/

(

1 +1

3z−1

)2

Desta forma, a inversa de 1/(1 + (1/3)z−1)2 e dada por−3(n − 1)(−1/3)n−1u[n − 1]. Finalmente, a inversa de G(z) edada por:

g[n] =

[

0.24

(

−1

3

)n

+ 0.36

(

1

2

)n]

u[n]+

0.36(n − 1)

(

−1

3

)n

u[n − 1]

Transformada z da correlacao cruzada

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

51 / 53

Sejam duas sequencias g[n] e h[n], com transformadas z dadaspor G(z) e H(z), respectivamente.Suponha ainda que a ROC de G(z) e Rg e a ROC de H(z) e Rh.Podemos escrever a correlacao cruzada entre g[n] e h[n] como:

rgh[l] = g[n] ∗ h[−l]

Usando a proriedade de reversao temporal, notamos que atransformada z de h[−l] e H(z−1). Usando o teorema daconvolucao, temos:

Z{rgh[l]} = G(z)H(z−1)

com a ROC dada por pelo menos por Rg ∩Rh.

Energia de uma sequencia

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

52 / 53

Podemos usar a relacao de Parseval para calcular a energia deuma sequencia. Fazendo g[n] = h[n] na expressao da Tabela depropriedades, chegamos a:

∞∑

n=−∞

g2[n] =1

2πj

∮

C

G(z)G(z−1)z−1dz

onde C e um contorno fechado na ROC de G(z)G(z−1).

Observacoes

Definicao

Transformadas z

racionais


racional

Transformada z

inversa


Nota

Exemplo 3.38

Exemplo 3.39

Exemplo 3.40

Exemplo 3.41



Observacoes

53 / 53

■ Se a ROC de G(z) inclui o cırculo unitario, entao a ROC deG(z−1) tambem ira incluir o cırculo unitario.

■ Se uma sequencia e absolutamente somavel, ela temtransformada de Fourier, e portanto a ROC de suatransformada z inclui o cırculo unitario. Neste caso,podemos fazer z = ejω, o que faz com que possamossubstituir a integral circular pela expressao da transformadainversa de Fourier:

∞∑

n=−∞

|g[n]|2 =1

2π

∫ π

−π

|G(ejω)|2dω

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Carlos Alberto Ynoguti