Carlos Viesca González1 Control Estadístico de Calidad Carlos Viesca González

Carlos Viesca González 1

Control Estadístico de Calidad

Carlos Viesca González


CAPÍTULO 1

Conceptos básicos y variabilidad.


CALIDAD (ISO 9000:2000)

Grado en el que un conjunto de características (rasgos diferenciadores) inherentes (existen en algo, especialmente como características permanentes) cumple con los requisitos (necesidad o expectativa establecida, generalmente implícita u obligatoria).


Dimensiones de la calidad (Garvin, 1987)

La calidad de un producto se puede evaluar de varias formas:

1. Desempeño. ¿Desempeñará el producto la función para la cual fue creado?

2. Confiabilidad. ¿Con qué frecuencia falla el producto?

3. Durabilidad. ¿Cuánto dura el producto?

4. Disponibilidad del servicio. ¿Qué tan fácil es reparar un producto?


5. Estética. ¿Cómo se ve el producto?

6. Características distintivas. ¿Qué más hace el producto?

7. Calidad percibida. ¿Cuál es la reputación de la compañía o de sus productos?

8. Conformancia o cumplimiento con los estándares. ¿Está hecho el producto conforme el diseñador lo pretendía?

Dimensiones de la calidad (Garvin 1987)


Adecuación para el uso

Calidad significa adecuación para el uso.

Calidad de diseño. Un producto o servicio se produce con un grado o nivel de calidad, el cual es intencional.


Calidad de conformancia. Qué tan bien cumple un producto o servicio con las especificaciones de diseño. Se ve afectada por: el proceso de manufactura, el entrenamiento y la supervisión, el sistema de calidad, el grado al cual se aplican los procedimientos del sistema de calidad y la motivación de la fuerza de trabajo, entre otros factores.

Adecuación para el uso


Algunas definiciones de calidad

Adecuación para el uso o para la función.

El grado al cual un producto específico satisface los deseos de un cliente en particular.

Proveer productos y servicios que cumplan con las expectativas de los clientes a lo largo de la vida del producto o servicio a un costo que represente valor para el cliente.


El grado al cual un producto es conforme a las especificaciones del diseño.

Las características o atributos que distinguen a un artículo de otro.

Conformancia con los requerimientos de ingeniería aplicables, de acuerdo con las especificaciones, dibujos y demás documentos de ingeniería relacionados.



Las definiciones anteriores no han sido muy útiles por alguno o varios de los siguientes aspectos:

a) Están basados en atributos y son de naturaleza cualitativa.

b) Están basados en manufactura y no en diseño (se ve la calidad hasta el final del proceso de manufactura)



c) No establecen claramente la relación apropiada entre deseos, necesidades, expectativas del cliente y la función del producto. Un producto se puede vender por un atributo pero perderá mercado por su función, por su calidad.



Función de pérdida de Taguchi.

La pérdida impartida a la sociedad durante el uso de un producto es un resultado de la variación funcional y de los efectos dañinos derivados del uso del mismo (efectos colaterales que no están relacionados con la función del producto).


Función de pérdida de Taguchi.

Ejemplo de las agendas:

Pérd

idas ($

)

Longitud del corte del forro por agenda

21.7 22.3

Pérdidas menores

Pérdidas mayores

Para este ejemplo:

• Valor nominal u objetivo= 22 cm

• Especificaciones o tolerancias= 22 ± .3 cm

• Límite inferior de especificación (LIE) = 21.7 cm

• Límite superior de especificación (LSE) = 22.3 cm


Actualmente función de pérdida

Pérd

ida d

e ca

lidad

Características de calidad

Valor nominal

Se comporta de forma exponencial en las pérdidas


Actualmente función de pérdida

En algunos estudios empíricos se ha encontrado:

Pérd

idas ($

)

Valor nominal

Pérdida de calidad

Característica de calidad

Tendencia

• Actualmente la tendencia de control de calidad es la reducción de variabilidad


Variabilidad(Devor, 1992)

No existen dos productos exactamente iguales.

La falla de un producto para alcanzar la función que se pretende, según el cliente, puede surgir de alguna o de las dos siguientes fuentes:

1. Falla para lograr el desempeño nominal requerido por el diseño.

2. Variación excesiva alrededor del nivel de desempeño nominal pretendido.


Variabilidad Las fuentes de variación son fuentes de

desperdicio e ineficiencias y por cada fuente de variación identificada y removida se experimentarán incrementos en calidad y productividad.

La variabilidad se puede describir en términos estadísticos y aquí es dónde encaja el uso de métodos estadísticos en el mejoramiento de la calidad.


Mejoramiento de la calidad (Montgomery, 1997)

Reducción de la variabilidad en procesos y productos. Excesiva variabilidad en el desempeño de un proceso se traduce frecuentemente en desperdicio.

¿Y en servicios? Reducción de desperdicio.


Control estadístico de la Calidad

(Besterfield, 1995)

Consiste en el acopio, análisis e

interpretación de datos para su uso

en el control de calidad. Dos

elementos importantes del CEC son

el Control Estadístico de Procesos

(CEP) y el Muestreo de Aceptación.


CAPÍTULO 2

Gráficas de Control


Gráficas de control

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

x ˆ3ˆ

x ˆ3ˆ

Límite superior de control (LSC)

Límite inferior de control (LIC)

Línea central (LC)

Dónde el tiempo representa la muestra o subgrupo


Las gráficas de control nos muestran cómo se compara una característica a través del tiempo.

Si todos los puntos están dentro de los límites y no siguen un patrón específico, se dice que el proceso está bajo control o bajo control estadístico.

Los límites de control dependen del comportamiento de los datos.



Concepto de control estadístico de Shewhart:

Se dice que un fenómeno está controlado cuando, a través del uso de la experiencia pasada, se puede predecir al menos dentro de ciertos límites como se espera que varie el fenómeno en el futuro.

Si un proceso no está en estado controlado, la productividad o el éxito económico no se garantiza.



Límites de especificación:Límites de especificación: dependen del diseño o del cliente.

Límites de control:Límites de control: los determina el proceso.



Zonas de una gráfica de control

Zona A= media + 3= 99% de los datos

Zona B= media + 2= 95% de los datos

Zona C= media + = 68% de los datos



Ocho pruebas para verificar que una gráfica está bajo control estadístico:

Prueba # 1: Prueba # 1: un dato fuera del límite de control

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A



Prueba # 2: Prueba # 2:

Ocho puntos en forma consecutiva por arriba o por debajo del promedio

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A


Cinco puntos consecutivos en forma ascendente o descendente

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A




Catorce puntos alternándose en forma consecutiva arriba y abajo.


Dos o tres puntos en la zona A o más allá

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A




Cuatro de cinco puntos consecutivos en la zona B o más allá


Quince puntos consecutivos en la zona C

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A




Ocho puntos consecutivos que no caigan en la zona C

Cara

cterística

de ca

lidad

tiempo

LSC

LIC

LC

A

B

CC

B

A


Cuando una gráfica no está en control estadístico, se puede deber a:

Causas comunes de variación: fuentes de variación dentro de un proceso que tienen una distribución estable y repetible en el tiempo.

Causas especiales de variación: factores que causan variación y que no están actuando siempre sobre el proceso.



Estadística de las gráficas de control

Prueba de hipótesis:

Ho: El proceso está bajo control vsHa: El proceso no está bajo control

Error tipo I: Rechazar Ho cuando Ho es verdadero. Se concluye que “el proceso no está bajo control, cuando realmente si lo está”.

P(Error tipo I)=


Error tipo II: Aceptar Ho cuando Ho es falsa. Se concluye que “el proceso está bajo control, cuando realmente no lo está”.

P(Error tipo II)=

Para fines de cálculo de y , suponga que el proceso no está bajo control si hay un cambio en la media del mismo.



Fórmulas:


x

xxZ

nx



LSC

LIC

La media cambia

El error tipo II se obtiene con la nueva media


Curva característica de operación

Es una medida de de la bondad de una gráfica de control para detectar cambios en los parámetros de los procesos (, ).

P(no

detectar cam

bios)=Cambios en la media del proceso


ARL (Average run length)

Denota el número de muestras que en promedio se requieren para detectar una señal fuera de control. Si el proceso está bajo control:

Entre más grande sea el ARL es mejor, ya que no se tienen muchas falsas alarmas.

1ARL


Si el proceso no está bajo control:

Entre más pequeño sea el ARL necesito menos muestras para calcular el error tipo II

ARL (Average run length)

11

ARL


Efectos de los límites de control sobre y

a) si los límites de control son más anchos: se reduce se incrementa

b) si los límites de control son más angostos:

se incrementa se reduce

c) si se toman muestras más grandes: se reduce se reduce


Tasa global de error tipo II

Donde:

K= # de reglas independientes usadas como criterios para situaciones fuera de control.

i= P(error tipoI) con la regla

)1(1

) (

1i

k

i

ItipoerrordetotalP


Tipos de gráficas de control

Para valores continuos:

Gráfica de medias y desviación

estándar.

Gráfica de medias y rangos.

Gráfica de observaciones individuales

y rangos móviles.


Tipos de gráficas de control

Para valores discretos (atributos):

Gráfica de proporción de artículos defectuosos (p)

Gráfica de número de artículos defectuosos (np)

Gráfica de número de defectos o disconformidades (C)

Gráfica de número de defectos por unidad (U)


Beneficios de las gráficas de control

1. Son herramientas efectivas para entender la variación del procesoy ayudan a lograr el control estadístico.

2. Si un proceso está en control estadístico su desempeño es predecible y tanto el fabricante como el cliente pueden confiar en niveles consistentes de calidad y en costos estables para lograr la calidad.

3. Un proceso bajo control estadístico se puede mejorar a través de la reducción de variación y el centrado en un valor objetivo; esto reduce costos y mejora la productividad.


4. Las gráficas de control proporcionan un lenguaje común para comunicar información sobre el desempeño de un proceso entre muy diversas personas dentro y fuera de la empresa.

5. Las gráficas de control indican dónde está o quien tiene la posible solución de un problema, con lo cual se minimiza la confusión, frustración y el costo de los esfuerzos mal dirigidos para la solución de un problema.

Beneficios de las gráficas de control


CAPÍTULO 2.1

Gráficas para variables

Sx

Rx


Gráfica de medias y rangos

Rx


Gráficas de medias y rangos

El procedimiento es el mismo que en las gráficas de medias y desviación estándar.

La forma de obtener los límites de control y la línea central es la siguiente:


Gráfica de rangos:


RLC RDLSC 4RDLSC 3


Gráfica de medias: antes de calcular los límites es necesario que esté bajo control la gráfica de rangos.


xLC RAxLSC 2RAxLSC 2


= se puede obtener a partir de los datos recopilados, pero generalmente se obtiene de la información proporcionada por la gráfica de un proceso bajo control.


2

ˆdR


Interpretación de gráfica de rangos

Esta gráfica se debe analizar primero, ya que el comportamiento de los promedios y de los rangos de los subgrupos depende de la variabilidad estimada de las piezas.

Se deben verificar las ocho pruebas

Verificar que no haya tendencias


Interpretación de gráfica de medias

Si la gráfica de rangos está bajo control, la dispersión del proceso está estable y por lo tanto se puede analizar la gráfica de los promedios; los límites de control de esta gráfica se basan en la cantidad de variación de los rangos. Con la gráfica de medias se determina si el centro del proceso está cambiando con el tiempo y si ese es el caso, entonces existen causas especiales de variación que están ocasionando esos problemas.


Gráfica de medias y desviación estándar

Sx


1.1. Defina cuál será la característica de la Defina cuál será la característica de la calidad:calidad: Otorgar la máxima prioridad a aquellas variables o características medibles y expresables mediante números y que causen problemas en producción o costos.

2.2. Escoja el subgrupo racional:Escoja el subgrupo racional: Los elementos que conformen cada subgrupo deberán de haberse producido básicamente dentro de las mismas condiciones.

Procedimiento para elaborar una gráfica x -

S


3.3. Recolectar los datos:Recolectar los datos: Recoger información de 25 subgrupos con más de 10 datos en cada subgrupo. Regístrelos en una hoja de datos.

4.4. Calcular los promedios para cada Calcular los promedios para cada subgruposubgrupo

5.5. Calcular Calcular : : dividiendo el total de los promedios de cada subgrupo por el número de subgrupos.


S

x


6.6. Calcular SCalcular S:: Calcular la desviación estándar de cada subgrupo.

7.7. Calcular :Calcular : dividiendo el total de las S de cada subgrupo por el número de subgrupos.


S

1

)(1

2

n

xxS

n

ii

S


8.8. Calcular las líneas de control:Calcular las líneas de control:

Calcular cada una de las líneas de

control para la gráfica y la

gráfica S con las siguientes

fórmulas:


S

x


Gráfica S:

Línea central:

Límite superior de control:

Límite inferior de control:

Nota importante: En estas gráficas de control la desviación estándar se estima con la expresión


S

SLC SBLSC 4SBLIC 3

4cS


Gráfica :

Línea central:

Límite superior de control:

Límite inferior de control:


S

xxLC

SAxLSC 3

SAxLIC 3


9.9. Dibujar las líneas de control:Dibujar las líneas de control: Preparar una hoja de

papel cuadriculado; dividirla en dos partes iguales para

las dos gráficas, colocando en la parte inferior la de

desviaciones estándar y en la parte superior la de

medias; marcar cada eje vertical de la izquierda con los

valores de las media y de las desviaciones estándar,

según sea el caso, y el eje horizontal con los números de

los subgrupos. Dibuje una línea sólida para la línea

central y una línea punteada para los límites.


S


10.10. Localizar los puntos:Localizar los puntos: Registrar los valores de la media y de la desviación estándar de cada subgrupo, por partes, según el número del subgrupo.

11.11. Registrar los datos que puedan ser Registrar los datos que puedan ser

de utilidad:de utilidad: Escriba el tamaño del subgrupo (n) en el extremo superior izquierdo de la gráfica de medias.


S


Interpretación de gráfica S

Primero se debe analizar esta gráfica, ya que si no está bajo control estadístico los límites de la gráfica de medias no tendrán sentido.

En caso de que no este bajo control estadístico, se deberán encontrar las causas especiales de variación y eliminar los puntos fuera de control y recalcular los límites.


Interpretación de gráfica de medias

Después de haber revisado la gráfica S, es

cuando se interpreta la de medias.

Nunca se deben relacionar los puntos en una

gráfica de medias con los límites de

especificación, ya que los puntos en la gráfica

son promedios y las especificaciones

corresponden a valores individuales,

presentando una variabilidad mayor que los

subgrupos.


Se deben verificar las ocho pruebas

Verificar que no se presente ningún patrón.

Datos normales.

Para ambas gráficas


Límites de tolerancia natural

Estos límites se basan en observaciones individuales.

σ3μ (LSTN) Tolerancia deSuperior Límite

σ3μ (LITN) Tolerancia deInferior Límite


Capacidad del proceso

Cp Cpk


Índices de capacidad del proceso

Los índices de capacidad del proceso

intentan en un solo número si un proceso

puede cumplir consistentemente con los

requerimientos impuestos sobre un

proceso por clientes internos o externos.

Estos índices no tienen unidades, lo cual

permite comparar dos procesos

completamente diferentes.


La limitante principal de estos índices es que no tienen significado si los datos analizados provienen de un proceso fuera de control y la razón es que la capacidad del proceso es una predicción y solo se puede predecir algo que es estable.



Para estimar la capacidad de un proceso, es necesario que se cumplan dos condiciones:

Proceso bajo control estadístico

Que los datos se distribuyan normalmente



Generalmente se usan dos índices para evaluar la capacidad del proceso para producir dentro de especificaciones: Cp: índice de capacidad potencial del

proceso. No toma en cuenta la media observada del proceso.

Cpk: índice de capacidad o habilidad real del proceso. Si toma en cuenta la media observada en el proceso.



Antes de ver como calcular el Cp y el Cpk, es necesario revisar algunos conceptos.


xLIE LSE3xLITN 3xLSTN


Dónde:

LSTN= límite superior de tolerancia natural

LITN = límite inferior de tolerancia natural

LSE = límite superior de especificación

LIE = límite inferior de especificación



6 se puede considerar como la dispersión real del proceso.

Puesto que ambos límites se disponen a una distancia de la media 3 respectivamente, entonces la proporción de observaciones entre ambos límites es del 99.73%



La diferencia LSE – LIE se puede considerar que es la dispersión permitida del proceso.

Si no se conoce la , la x doble barra es la media estimada del proceso, la cual se obtiene como la línea central de un gráfica de medias.



La es la desviación estándar del proceso, la cual si no se conoce, se estima de la gráfica de control de la variabilidad del proceso.


4

2

c

Sd

R

S

Sx

Rx


Límites de especificación o

tolerancias

Son característicos de una parte o artículo determinado.

Están basados en consideraciones funcionales.

Están relacionados con una medición de una sola parte.


Límites de control de una gráfica de control

Son característicos de un proceso determinado.

Están basados en la media y en la variabilidad

de un proceso.

Dependen de los parámetros de muestreo, como

tamaño de muestra y el riesgo alfa.

Se usan para identificar la presencia o ausencia

de causas especiales de variación en el proceso.


Cálculo del Cp

6LIELSE

Cp


Interpretación del Cp

Antes de hacer algo sobre ese punto, cerciorese de que el proceso esté bajo control estadístico, si es así, entonces:

1. Cp > 1; el proceso es potencialmente capaz de producir dentro de los límites de especificación y genera un porcentaje de defectuosos menor del .27%


2. Cp = 1; el proceso es apenas capaz, la proporción de defectuosos es .27%. Los límites de especificación son iguales a los límites de tolerancia natural.

3. Cp < 1; el proceso no es potencialmente capaz, la proporción de defectuosos es mayor a 27 en 10, 000.

Interpretación del Cp


Nivel de habilidad de un proceso

Nivel de habilidadNivel de habilidad % producto fuera % producto fuera de de

especificacionesespecificaciones

3 2700 ppm

4 64 ppm

5 6 partes en 10 millones

6 Menos de 1 parte en 10 millones

* Considerando un proceso centrado y media fija


Cálculo del Cpk

Es un índice o medida del desempeño real del

proceso que toma en cuenta la media del mismo.

Un proceso con su media centrada puede tener un

Cp de 2, mientras que otro proceso con su media

cercana al LSE también puede tener un Cp de 2,

siempre que su disposición sea la misma. Si se

compara el desempeño de ambos proceso con base

en el Cpk, los resultados serían muy diferentes.


Cálculo del Cpk

ˆ3ˆ,

ˆ3ˆ LIELSE

mínimoCpk


Interpretación del Cpk

1. Cpk > 1.33; el proceso es capaz y es comúnmente usado como una meta para muchas compañías.

2. 1 < Cpk < 1.33; el proceso es marginalmente capaz.

3. Cpk < 1; el proceso no es capaz


Gráfica de observaciones

individuales y rangos móviles

Rmx


Se usa para procesos lentos que

conducen a bajas tasas de

producción o cuando es muy

costoso tomar muestras grandes o

bien, en procesos automatizados.

Gráfica de observaciones individuales y rangos

móviles


Gráfica de rangos móviles: está gráfica no tiene interpretación, debido a la forma en que se obtienen los rangos.

Gráfica de observaciones individuales y rangos

móviles

RLC RDLSC 4RDLIC 3


Gráfica de observaciones individuales:

para ser interpretada necesita estar bajo

control.

Gráficas de observaciones individuales y rangos

móviles

xLC 2

3dR

xLSC

2

3dR

xLIC


CAPÍTULO 2.2

Gráficas para atributos:

p, np

C, U


Gráficas para atributos

Algunas características de calidad recolectadas como datos de atributos sólo toman dos valores: Conforme, no conforme

Pasa, no pasa

Presencia, ausencia de algo


Tales disconformidades o defectos se observan frecuentemente de manera visual y ocasionan que un producto o una parte de un producto sea considerado como defectuoso.

En estos casos, la calidad se evalúa por atributos.

Gráficas para atributos


Importancia

Se pueden aplicar tanto en procesos

técnicos como administrativos.

En muchas ocasiones se dipone de datos

que son de atributos y no se requiere

incurrir en gastos adicionales.

Si no existe información disponible, se

recolecta rápidamente y a un bajo costo.


Muchos reportes, resúmenes que maneja la administración son atributos y se pueden aprovechar más si se analizan como gráficas de control.

El uso de las gráficas de control de atributos en medidas de calidad globales claves, frecuentemente puede indicar a áreas específicas del proceso que pueden requerir un análisis más detallado.

Importancia


Definiciones importantes

Defecto:Defecto: falla o no conformidad que ocasiona

que un artículo no satisfaga los

requerimientos especificados.

Artículo defectuoso:Artículo defectuoso: artículo que tiene uno

o más defectos.

Fracción defectuosa:Fracción defectuosa: es la razón del número

de artículos defectuoso en la muestra (d),

respecto al total de los artículos de la muestra

(n)


Gráfica para la proporción de piezas

defectuosas

Gráfica p


La gráfica p, miden la proporción de

piezas disconformes en un grupo de

artículos que se inspeccionan.

Esto puede aplicar a una muestra de 100

piezas.

Las muestras pueden constantes o

variables.


defectuosas



defectuosas

pLC

npp

pLSC)1(

3

npp

pLIC)1(

3

Para muestras constantes:



defectuosas Para muestras variables:

i

i

n

dpLC

npp

pLSC)1(

3

npp

pLIC)1(

3


Interpretación

Para interpretar la gráfica p, se hace de la misma manera que las otras gráficas, se debe: Verificar que los puntos no excedan los límites de

control.

Los puntos se deben distribuir aleatoriamente dentro de los límites de control.

No deben mostrar tendencias

Los puntos debe apareceren orden aleatorio en el tiempo.


Gráfica para el número de piezas defectuosas

Gráfica np


En algunas ocasiones es conveniente hacer

una gráfica de control, en la que se grafique

el número de defectuosos en la muestra en

lugar de la proporción de defectuosos. Para

hacer esto se requiere que el tamaño de la

muestra sea constante.

En esencia proporciona la misma

información que una gráfica p.



Para muchas personas este tipo de gráficas es

más fácil de interpretar que la p. La desventaja

que presenta la gráfica np es que no es fácil

manejar e interpretar el número de dectuosos si

se desconoce el tamaño de la muestra.

Tanto la gráfica p y np, tienen fundamento en la

distribución binomial, la interpretación es la

misma que la gráfica p.



pnLC

)1(3 ppnpnLSC

)1(3 ppnpnLIC



Gráfica para proporciones y piezas

defectuosas

Cuando se tienen diferentes

tamaños de muestras se debe usar

una gráfica de proporciones

adecuada al caso.


Gráfica de número de defectos en la muestra

Gráfica C


Es posible desarrollar gráficas de control ya

sea para el número total de no conformidades

en una unidad o el número promedio de no

conformidades por unidad. Estas gráficas de

control usualmente asumen que la ocurrencia

de una no conformidad en una muestra es

bien modelada por una distribución Poisson.



Para poder realizar esta gráfica

se requiere que el tamaño de

la muestra sea constante.



k)1,2,...,(i i muestra laen defectos de # c i Si

ck

cLC i

ccLSC 3

ccLIC 3



Gráfica de número de defectos por unidad

Gráfica U


Esta gráfica se basa en el número promedio de no

conformidades por unidad inspeccionada. Si

encontramos x cantidad de no conformidades en la

muestra de n unidades inspeccionadas, entonces

podemos obtener el número promedio de no

conformidades por unidad inspeccionada de la

siguiente manera:


n

xu


Se utiliza para unidades de longitud, área, volumen, etc.

n puede ser constante o variable.

Con n variable: n promedio

Límites para cada n

Límites para ciertas n

Límites estandarizados



la muestratamaño de n

#defectosc

,k,i

dónde:n

cu

i

i

i

ii

21

uLC in

uuLSC 3

inu

uLIC 3



CAPÍTULO 2.3

Gráficas CUSUM y EWMA


Gráfica CUSUM

La gráfica CUSUM, se usa para

detectar pequeños cambios en

la media del proceso.


Gráfica CUSUM

objetivovalor

individualnobservació

umuestraunademediax

donde

xC

o

j

i

joji

.

:

1


Construcción de una gráfica CUSUM

Proceso tabular:

Se basa en los cálculos de los CUSUM

unilaterales, superior e inferior:

1

1

,0max

,0max

iioi

ioii

CxkC

CkxC


El procedimiento se inicia haciendo:


0 oo CC

K es un valor de referencia o de holgura y frecuentemente se determina como:

21 ok


El proceso está fuera de control si

C+ o C- exceden el valor de H, un

valor razonable para H es .5.

Para esta gráfica no se realizan las

8 pruebas, ya que los datos

dependen unos de otros.



Cuando el ajuste que se debe hacer en el

proceso tiene por objetivo hacer que la

media regrese al valor objetivo puede ser

útil estimar la media actual del proceso.


HCsiN

Ck

HCsiN

Ck

ii

io

ii

io

,

,ˆ


Gráfica EWMA

La gráfica EWMA, constituye una buena alternativa a las gráficas de control de Shewart para el caso en que interesa detectar pequeños cambios en la media del proceso.

Se usa típicamente para muestras de tamaño 1, aun cuando se puede usar con tamaños de muestra mayores.


La gráfica EWMA para la media del procesoLa gráfica EWMA para la media del proceso:: Un promedio móvil exponencialmente

ponderado se define de la siguiente forma:

donde: 0< 1 es una constante El valor de inicio (que se requiere con la primera

muestra cuando i = 1) es el objetivo del proceso, con lo cual z0 = 0

En ocasiones z0 = promedio de los datos preliminares

Gráfica EWMA

1)1( iii zxz


Los límites de control para una gráfica EWMA están dados por las siguientes expresiones:

Gráfica EWMA

i

i

LLIC

LC

LLSC

20

0

20

)1(12

)1(12


Dónde: L es la anchura de los límites de

control, el múltiplo de sigma. Es común tomar L = 3, proporciona buenos resultados sobre todo cuando lambda es grande.

En general, cuanto más pequeños sean los cambios que se desea detectar, más pequeños serán los valores de lambda.

Gráfica EWMA


La gráfica se elabora colocando en el

eje horizontal el número de la

muestra i (tiempo) y en el eje vertical

el valor de la z que le corresponde.

Gráfica EWMA


CAPÍTULO 3

Muestreo para aceptación de lotes



Objetivos:

1. Comprender y aplicar los conceptos básicos del muestreo de aceptación.

2. Identificar y diferenciar los sistemas de muestreo de aceptación para atributos, particularmente el MIL - STD - 105E.

3. Comprender el funcionamiento de un sistema de muestreo de aceptación para variables.


Introducción: El muestreo para aceptación es un campo importante

del control estadístico de la calidad, es otra herramienta para evaluar la calidad de un producto.

Los fundamentos de muestreo para aceptación se desarrollaron en 1925 a 1927 en los Laboratorios Bell; después sólo se aplica esporádicamente y no es sino hasta la Segunda Guerra Mundial cuando se incorpora en los estándares militares de calidad. A partir de ese momento se difunde el uso masivo del muestreo de aceptación, el cual se aplica hasta la fecha.



Conceptos generales: Aspectos importantes en el muestreo:

El propósito del muestreo de aceptación es juzgar lotes, no estimar su calidad.

Los planes de muestreo para aceptación no proporcionan alguna forma directa de control de calidad, sólo admite o descarta lotes.

El uso más eficiente del muestreo para aceptación no es “inyectar calidad al producto mediante la inspección”, sino más bien como una herramienta de verificación para asegurar que la producción o salida de un proceso está conforme a los requisitos.



Enfoques para juzgar un lote:

Aceptarlo sin inspección: Útil en casos

en que el proceso del proveedor es tan

adecuado (relación de capacidad de

proceso de 3 ó 4) que casi nunca genera

artículos defectuosos, o en los que no

existe una justificación económica para

juzgar artículos defectuosos.



Efectuar una inspección al 100%: esto es

inspeccionar cada artículo en el lote, quitar

todas las unidades defectuosas encontradas (se

pueden devolver al proveedor, retrabajarlas,

cambiarlas por artículos conformes o

rechazarlas). Se usa cuando el componente es

muy crítico y dejar pasar un artículo defectuoso

daría como resultado un costo inaceptablemente

alto de una falla en etapas sucesivas, o cuando

la capacidad del proceso del abastecedor es

inadecuada para satisfacer las especificaciones.



Utilizar el muestreo para aceptación: Es muy probablemente útil cuando:

1. La prueba es destructiva

2. Es muy alto el costo de una inspección al 100%

3. una inspección al 1005 no es tecnológicamente factible, o cuando se necesitaría tanto tiempo que la planeación de la producción se vería seriamente afectada.



4. Hay que inspeccionar muchos artículos y la tasa de errores de inspección es lo suficientemente alta como para que una inspección al 100% pudiera dejar pasar un mayor porcentaje de artículos defectuosos que un plan de muestreo.

5. El proveedor tiene un excelente historial de calidad, y se desea alguna reducción en la inspección al 100%, pero la relación de capacidad de su proceso es lo suficientemente baja como para que la no inspección no sea una buena alternativa.

6. Existen riesgos potencialmente serios respecto a la posibilidad legal por el producto, y aunque es satisfactorio el proceso del abastecedor, se requiere aplicar un proceso de vigilancia continua.



Ventajas del muestreo por aceptación: Es menos costoso, pues requiere menor inspección. Menor daño del producto, al haber menor manejo

del mismo. Menos inspectores y por lo tanto menos

capacitación. Reducción de los errores de inspección. Puede aplicarse en el caso de pruebas destructivas. El rechazo de lotes completos, en lugar de la

simple devolución de los artículos defectuosos, constituye una motivación más fuerte para que el proveedor mejore la calidad de sus productos.



Desventajas del muestreo para aceptación:

Existe el riesgo de aceptar lotes “malos” y rechazar lotes “buenos”.

Hay que agregar planeación y documentación.

Generalmente la muestra proporciona menor información acerca del producto



¿Porqué es válido el muestreo?

Una pieza da rápida información sobre la calidad

de las piezas de un lote. Pero además, de la

muestra se pueden obtener conclusiones acerca

de lo bien o mal que se desarrolló un proceso en

el momento de extraer una muestra (aplicación en

gráficas de control). Así, el proceso puede hablar

del producto. El muestreo de aceptación también

es válido para las piezas no inspeccionadas

obtenidas del mismo proceso que las

inspeccionadas.



Razones para usar muestreo de aceptación:

No se puede asumir que el proceso sea estable, ni es siempre posible que a la larga lo sea.

En operaciones que se realizan bajo trabajo intensivo, las causas asignables no siempre se pueden conocer.

Aún cuando se puedan conocer las causas asignables, existen procesos que no se pueden parar y ajustar de inmediato.

Es común una gran variación entre operadores y el manejo de las gráficas de control para cada operador no es tan sencillo.



Formación de lotes:

El muestreo por aceptación puede desarrollarse en una base de lote por lote o en un flujo continuo de productos, aunque los planes de muestreo más comúnmente usados se basan en muestreo por lotes.

Entre los diferentes tipos de lotes que se pueden formar (de manufactura, de embarque, etc.), los lotes de inspección son los que se utilizan en muestreo de aceptación.



Frecuentemente los lotes de inspección se

constituyen por la forma en que el producto se

maneja o se embarca; en otras ocasiones se

puede influir en el tamaño y en la forma en que

se constituyen estos lotes, en cuyo caso se

deben aplicar los siguientes dos principios:

Es deseable que haya homogeneidad dentro del lote.

Si los lotes son homogéneos, son mejores lotes

grandes que pequeños.



Si se tienen lotes grandes, los tamaños

de muestra también serán grandes y

se obtendrá una determinación más

confiable de la aceptabilidad del lote,

siempre que el lote en cuestión sea

homogéneo.



Muestreo aleatorio: Las tablas de muestreo publicadas suponen

que las muestras se obtienen al azar, esto es, que cada una de las unidades de producto no inspeccionadas tienen la misma probabilidad de ser la siguiente seleccionada para la muestra. Para realizar un muestreo aleatorio, se requiere numerar las piezas de un lote y seleccionar números aleatorios que indiquen cuáles unidades serán seleccionadas.



Selección de números aleatorios: Usando una tabla de números aleatorios

A través de una calculadora que incluye esta opción

Un recipiente de bolas o papeles numerados

El método de selección influye en los resultados del muestreo, buscándose obtener una “muestra representativa” de un lote.



Sesgo del muestreo:

Tomar una muestra de la misma localización dentro de cajas, estantes, etc.

Echar un vistazo al producto y seleccionar sólo aquellas piezas defectuosas o no defectuosas.

Ignorar las partes del lote difíciles de muestrear.



Clasificación de los planes de muestreo:

1. Planes por atributos: Un lote se acepta o se rechaza según el número de defectuosos que se presentan en el mismo.

2. Planes por variables: Un lote se acepta o se rechaza según el valor de la media (por ejemplo) de la característica de calidad en la muestra; la media se compara con un valor admitido que define el plan.



Errores de inspección:

En la implantación de un muestreo de aceptación se supone que el inspector sigue el plan de muestreo que debe aplicar y que la inspección se hace sin errores.

Planes de muestreo de aceptación por

atributos


Terminología: Defecto: Alejamiento de una característica de

la calidad del nivel o estado deseado que se presenta con gravedad suficiente para dar un producto que no satisface los requisitos de utilización normales o razonablemente previstos.

Disconformidad: Alejamiento de una característica de la calidad del nivel deseado, que se presenta con gravedad suficiente para dar un producto o servicio que no cumple con los requisitos de la especificación.


atributos


Clasificación de los defectos según su gravedad:

1. El muestreo sea distinto para cada clase de defecto (tamaños de muestra).

2. Sea común el plan de muestreo. pero que el número de defectos permitidos sea diferente para cada clase, según su gravedad.


atributos


Tipos de planes de muestreo de aceptación por atributos:

Planes de muestreo simple

Planes de muestreo doble:


atributos


Curva Característica de Operación (Curva CO):

Gráfica en la que se muestra la probabilidad de que el plan de muestreo acepte el lote en función de la fracción defectuosa de un lote, con base en la cual se observa cómo reaccionará el plan a cualquier nivel de disconformes en el lote.

Con la curva CO para un plan de muestreo (determinado por el valor de n y de c) se puede evaluar si este proporciona un buen grado de control sobre la calidad del lote; de no ser así entonces se busca otro plan que corresponda con las necesidades del usuario.


atributos


Probabilidad de aceptar un lote:

Para calcular la probabilidad de aceptar un lote (Pa), primero se debe definir qué tipo de plan de muestreo se aplicará. Así tenemos planes de muestreo tipo A (planes que seleccionan piezas de lotes simples de tamaño N y que se basan en el modelo Hipergeométrico) y planes tipo B (planes para seleccionar piezas de una serie de lotes, se extraen muestras aleatorias de tamaño n de una población infinita, y que están fundamentados en el modelo probabilístico Binomial).


atributos


Riesgos y parámetros de muestreo:

Riesgo del vendedor o del productor se conoce como riesgo alfa y es la probabilidad de que un “buen” lote (de lata calidad) sea rechazado por el plan de muestreo. Se fija en 0.01, 0.05 ó 0.10.

Riesgo del comprador (empresa o quién usará un producto). También llamado riesgo beta. Es la probabilidad de que un lote “malo” o de baja calidad sea aceptado por el plan de muestreo.


atributos


Planes, esquemas y sistemas de muestreo: Plan de muestreo: Plan específico que establece

el tamaño o tamaños de muestra a utilizar y el correspondiente criterio de aceptación o no aceptación.

Esquema de muestreo: Conjunto específico de procedimientos que, habitualmente, consisten en planes de muestreo para aceptación en los que se establecen los tamaños de los lotes, los tamaños de las muestras y los criterios de aceptación, o el alcance de la inspección y muestreo al 100%.


atributos


Sistema de muestreo: Con el uso de un sistema de muestreo se evita

el trabajo de calcular la curva CO para diferentes valores de n y c y seleccionar el que cumpla con los riesgos del comprador y del vendedor preestablecidos.

Los sistemas de muestreo incluyen las curvas CO, con base en las cuales se selecciona el plan de muestreo que proporcione el nivel de protección que el usuario desea.


atributos


Medidas de desempeño: Nivel de Calidad Aceptable (NCA o AQL).

El porcentaje de Defectuosos Tolerados en el Lote (PDTL o LTPD).

El límite de Calidad Media de Salida (LCMS o AOQL), y

La inspección Total Promedio (ITP o ATI).


atributos


El Nivel de Calidad Aceptable: El AQL es el nivel de calidad o porcentaje de

defectuosos que, para los fines de inspección, es el límite de una medida satisfactoria del proceso. El promedio del proceso es el porcentaje promedio de defectuosos o número promedio de defectuosos por 100 unidades de producto enviado por el proveedor para la inspección original.


atributos


La inspección original es la primera inspección de una cantidad particular de un producto. El AQL es un valor designado del porcentaje de defectuosos, para el cual los lotes serán aceptados la mayor parte de las veces por el procedimiento de muestreo utilizado. El AQL especifica un valor del nivel de calidad del productor.


atributos


Porcentaje de unidades defectuosas toleradas en el lote (PDTL):

El LTPD es un valor numérico específico para el nivel de calidad del consumidor; generalmente se refiere a un punto en la curva CO en el cual el Pa es 0.10 y la mayoría de los sistemas basados en el PDTL se basan en ese valor de Pa.


atributos


El Límite de Calidad Media de Salida (LCMS o AOQL):

Se aplica sólo al muestreo en el que a los lotes rechazados se les hace una inspección al 100% para sustituir los artículos defectuosos encontrados por piezas buenas, que es lo que se denomina inspección rectificadora.


atributos


La inspección Total Promedio (ITP o ATI):

Se puede graficar la ITP esperada para cualquier nivel de calidad de un lote (p) contra el valor de p y usar esta gráfica para determinar los costos asociados a la inspección rectificadora.


atributos


El sistema de muestreo MIL - STD - 105E:

El manejo de normas publicadas como ésta (entre las más comunes también está la ANSI/ASQC Z1.4), presenta la ventaja de que facilita la negociación entre vendedor y comprador. Es el más conocido de los planes de muestreo que utilizan como índice de calidad el NCA; proporciona una gran seguridad en la aceptación de los lotes cuando la proporción de defectuosos es menor o igual al NCA.


atributos


Tipos de inspección: La MIL . STD - 105E incluye planes

para muestreo de aceptación simple, doble y múltiple basados en el AQL.

Los AQL contenidos en los planes varían de 0.01% hasta 10% (para el conteo de disconformes) y de arriba del 10% hasta 1000% (para el conteo de disconformes en 100 unidades).


atributos


Dado un AQL el sistema proporciona

varios planes de muestreo con el fin de

motivar al proveedor en función de la

calidad del producto que envía; así, es

posible aplicar tres tipos de inspección

para cada uno de los tres tipos de

muestreo señalados líneas arriba:

normal, estricta y reducida.


atributos


La inspección normal se utiliza al inicio del proceso de inspección y continúa aplicándose durante el tiempo que el vendedor esté produciendo aparentemente piezas con el NCA o mejores.

La inspección estricta se aplica cuando hay evidencia de que la calidad del producto se ha deteriorado, lo cual forzará al productor a enviar productos que sean tan buenos o mejores que el NCA.

Si la historia reciente de la calidad de un producto ha sido excepcionalmente buena, se puede adoptar la inspección reducida, con lo cual se obtiene una reducción de costos de inspección al revisarse una muestra más pequeña.


atributos


Reglas para el cambio de tipos de inspección:

De normal a estricta. Si se realiza una inspección normal, se establece la inspección estricta cuando dos de cinco lotes consecutivos se han rechazado en la inspección original.

De estricta a normal. Cuando se ha estado aplicando una inspección estricta, la inspección normal se establece si se han presentado cinco lotes aceptables consecutivos en la inspección original.


atributos


De normal a reducida. Se puede pasar de la aplicación de una inspección normal a una reducida si se satisfacen las siguientes cuatro condiciones:

1. A los diez lotes anteriores se les ha aplicado inspección normal y ninguno ha sido rechazado en la inspección original.


atributos


2. El número total de defectuosos en las muestras de los diez lotes anteriores es menor o igual al número límite.

3. Si la autoridad responsable lo aprueba.

4. Si la producción está en fase estable.


atributos


De reducida a normal. Se puede pasar de la inspección reducida a la normal si ocurre alguna de las siguientes situaciones en la inspección original:

1. Se rechaza un lote.

2. Se acepta un lote al que se aplicó inspección reducida, pero el número de defectuosos encontrado es mayor que el número de aceptación y menor que el número de rechazo.


atributos


3. La producción ha venido a menos

o ha sido irregular.

4. Otras condiciones que propicien el

establecimiento de la inspección

normal.


atributos


Los niveles de inspección:

En la MIL - STD - 105E, el tamaño de muestra se determina con base en el tamaño del lote, el tipo de inspección y el nivel de inspección; existen tres niveles de inspección generales para cada uno de los tipos ya mencionados anteriormente: el I, el II y el III.


atributos


Al nivel II le corresponde una inspección

normal y es el que generalmente se usa.

El nivel I se usa cuando se permite una

menor discriminación en el proceso de

muestreo y requiere cerca de la mitad de

la cantidad a inspeccionar del nivel II.


atributos


El nivel III se adopta cuando se

requiere una mayor discriminación

y usualmente requiere dos veces la

cantidad a inspeccionar del nivel II.

El nivel de inspección se establece

en un contrato o por la autoridad

responsable.


atributos


Los niveles especiales S-1, S-2, S-3 y S-4

se usan cuando se requiere tamaños de

muestra pequeños (se involucran

pruebas destructivas o muy caras) y

pueden o deben tolerarse grandes

riesgos en el muestreo (menor poder

discriminatorio).


atributos


Operación del sistema de muestreo MIL - STD - 105E:

1. Seleccionar los planes apropiados de las tablas publicadas en el estándar.

2. Usar las reglas de cambio del nivel de inspección, cuando la calidad del lote cambia.


atributos


Procedimiento para el uso estándar:

1. Determinar el NCA aceptable (basado en un acuerdo entre el productor y el cliente)

2. Decidir el nivel de inspección a usar.

3. Determinar el tamaño del lote.

4. Usar la tabla de Letras de Código del Tamaño de Muestra para seleccionar la letra código apropiada (anexo).


atributos


5. Decidir el tipo de procedimiento de muestreo: simple, doble o múltiple.

6. Usar la tabla correspondiente al procedimiento de muestreo seleccionado y al nivel de inspección para encontrar el tamaño de muestra y los números de rechazo y aceptación para el plan.

7. Empiece usando el plan seleccionado y lleve un registro de las aceptaciones y rechazos para que pueda aplicar las reglas de cambio.


atributos


CAPÍTULO 4

Confiabilidad


Confiabilidad

Se basa en la distribución normal, exponencial y weibull.

Tasa

de fa

lla

tiempo

Etapa de madurez


Confiabilidad La confiabilidad se define como la probabilidad

de que un producto desempeñe la función para la cual fue elaborado , bajo condiciones dadas y durante un periodo de tiempo determinado.

La confiabilidad es un aspecto de la calidad que específicamente considera el comportamiento de la calidad a lo largo del tiempo.


Confiabilidad

Sistema en serie:Sistema en serie: todos los

componentes están relacionados

de manera que el sistema deja de

funcionar si alguno de sus

componentes falla.

i

n

io RR

1


Sistema en paralelo:Sistema en paralelo: todos sus

componentes están relacionados

de manera que el sistema deja de

funcionar si todos sus

componentes fallan.

Confiabilidad

in

io RR

11

1


Ejemplo:

Confiabilidad

A

B

RA= .9

0

RB= .9

5

995.

95.90.95.90.

BAPBAP

Entonces la confiabilidad del sistema es:


Distribución del tiempo de falla

1. Los artículos de mala

calidad son eliminados.

2. Periodo de vida útil.

3. Etapa de reemplazo.

Tasa

de fa

lla

tiempo

2.- Etapa de madurez

1.- periodo inicial

3.- envejecimiento


Tiempo entre fallas t=t= variable aleatoria que representa el

tiempo de vida del producto, tiempo

entre fallas de un producto.

f(t)=f(t)= función de probabilidad o función

de densidad.

0

1)(

0)(

dttf

tf


F(t)=F(t)= función de probabilidad o densidad acumulada (probabilidad de que un producto falle hasta antes del tiempo t)

Tiempo entre fallas

t

dttftTPtF )()(


Confiabilidad (R(t))=Confiabilidad (R(t))= confiabilidad de que

un producto no falle antes del tiempo t.

Tiempo entre fallas

t

dttftTPtftR )()()(1)(

f(t) tiene una varianza y una media.


Tiempo entre fallas

Media:Media: puede ser el tiempo media

hasta que el producto falla (MTTF)

es decir, que no se puede reparar.


Tiempo medio entre fallas (MTBF):Tiempo medio entre fallas (MTBF):

se aplica para productos que se puedan

reparar, es el tiempo medio entre fallas.

Tiempo entre fallas

dttftMTBFoMTTFtE ))(()(


Tasa de fallas:Tasa de fallas:

Tiempo entre fallas

)(1

)()(

zF

tftZ


Funciones de probabilidad

Exponencial:Exponencial:

Cuando la tasa de fallas es constante, la

función de probabilidad que describe la

vida de un producto es exponencial.

0;1

)(

teetft

t


Funciones de probabilidadexponencial

== número de fallas por ud. de tiempo.

== tiempo medio por fallas (MTBF) o tiempo medio para fallas.

)(

11

tzfallasdetasa


Esta distribución es útil para representar

la tasa de fallas en la etapa de madurez

en la gráfica similar a la tina de baño.




f(t)

tiempo

1

R(t)

tiempo

)()(1)( tTPtFtR



Tasa de fallas

Z(t)

tiempo

dadconfiabilieedtetTPtR

fallaprobeetTPtF

edtedttftTP

t

ttt

tt

tt ttt

11)()(

.111)()(

1)()(

00 0


Normal:Normal:

Esta distribución puede representar

situaciones en las cuales no se presentan

fallas durante un periodo de tiempo, y

repentinamente muchas o todas las pzas.

comienzan a fallar, alrededor de cierto

tiempo que coincide con la media .



Como la tasa de fallas tiene un

comportamiento creciente, la

distribución puede modelar algunas

situaciones en el periodo de

envejecimiento.


normal



normal

f(t)

tiempo

f(t)

tiempo

0,0,0;2

)(

2)(5.

te

tf

t



normal

Z(t)

tiempo

Tasa de fallas

t

zzftR ;)(1)(


Weibull:

Esta distribución es la más utilizada

en estudios de confiabilidad, ya que

puede modelar casi cualquier

situación ya sea en periodos con tasa

creciente, constante o decreciente.



La tasa de falla es:


weibull

o

mttm

o ttettm

tfo

,)()(1

1

)(

m

ottmtZ


Confiabilidad:


weibull

mtt o

etR

)(

)( La media es:

)1()(

)(

11

vvv

vdegammafunciónv

mtMTBFMTTF o


Los parámetros de la distribución son:

m:m: representa la forma de la distribución

:: representa la magnitud de la media

ttoo:: es un parámetro de posición

La combinación apropiada de valores de los

tres, es lo que facilita su uso en diversas

condiciones.


weibull



weibull

f(t)

2

m =.5m =1m =2m =4



weibull

m =.5m =1m =2m =4

R(t)

2



weibull

m =.5m =1m =2m =4

Z(t)

2


Para m<0 la tasa de falla es decreciente y para

m>0 creciente.

Con m=1 la tasa de falla es constante y la

distribución weibull es identica a la exponencial.

El efecto del parámetro to es desplazar la

función hacia la derecha, ya que se supone que

no ocurren fallas para un periodo t<to


weibull


Modelo exponencial en confiabilidad

Confiabilidad del sistema en serie:Confiabilidad del sistema en serie:

n

ii

n

iis

tt

MTBF

eetR

n

ii

1

1

1

)( 1


Modelo exponencial en confiabilidad

Confiabilidad del sistema en paralelo:Confiabilidad del sistema en paralelo:

nMTBF

etR

entoncesigualestodasi

etR

ntp

ii

tn

ip

i

1

3

1

2

11

1

11)(

:

11)(1


Pruebas de vidafallas observadas

En base a fallas observadas se selecciona de un lote una muestra aleatoria de n pzas y es sometida a pruebas bajo condiciones ambientales determinadas, observándose los tiempos de falla de los componentes individuales, los tiempos de falla observados son:

rtttt 321


Si el tamaño de la muestra es n, la vida acumulada por las uds probadas hasta

la falla r, sera Tr. Si en la prueba se

reemplazan los elementos que fallan, entonces:

rr ntT



Si las piezas que fallan no se reemplazan, entonces:


r

r

iir trntT

1

Para ambos casos, el estimador de vida normal será:

r

Tr


Un intervalo de confianza para vida

media, se puede encontrar ya que el

estadístico 2Tr/ tiene una distribución ji

– cuadrada con 2r grados de libertad.


2

2,21

2

2,2

22

r

r

r

r TT


En base al tiempo transcurrido,

otro porcedimiento de prueba de

vida consiste en suspender la

prueba después de transcurrido

cierto tiempo fijo T y considerar el

número de fallas observadas k

como una variable aleatoria.

Pruebas de vidatiempo transcurrido


En el caso de que la prueba se realice con reemplazo, entonces:


nTTk


Si las pruebas se realizan sin reemplazo, entonces:


k

iik TkntT

1

)(


El estimador y el intervalo de

confianza para la vida media será:


2

)1(2,21

2

)1(2,2

22

ˆ

k

k

k

k

k

TTk

T


Modelo Weibull en confiabilidad

Confiabilidad en componentes:Confiabilidad en componentes:

tet

tf ,)(11


En relación a la expresión vista anteriormente:

Modelo Weibull en confiabilidad

1

)(

)()()(

11

)(1)(

t

tt

o

tR

tftrtZ

MTBF

etRetF

tm


Función gamma

Resultados conocidos:

0;)(0

1 xdxexk xk

enteronparann

kkkk

;)!1(

1;1)1(2

1

1)1(


Si =1 y =3.5, la tasa de falla

aumenta y la distribución weibull es

útil para modelar la vida de productos

en la etapa de envejecimiento.

También en este caso la distribución

weibull se aproxima a la distribución

normal.

Función weibull


Si =1 y =.5, la tasa de fallas

decrece y la distribución es útil

para modelar el tiempo de vida de

los componentes en la etapa inicial

o depuración.

Función weibull


Si =0 y =1, entonces la distribución weibull se convierte en la exponencial.

Función weibull

;1

)(t

etf

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Carlos Viesca González1 Control Estadístico de Calidad Carlos Viesca González