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Carregamentos Combinados(Projeto de Eixos e Árvores)
Mecânica dos Materiais II
Universidade de Brasília – UnB
Departamento de Engenharia Mecânica – ENM
Grupo de Mecânica dos Materiais – GAMMA
Definições
Eixos e árvores são
componentes mecânicos que
sustentam os elementos de
máquinas, podem ter perfis
lisos ou compostos, onde são
montadas as engrenagens,
polias, rolamentos, volantes,
manípulos e outros elementos
de maquinas.
Os eixos e as árvores podem ser fixos ou giratórios:
Classificação – Quanto a Função
Eixos fixos - Os elementos como as
engrenagens e as polias giram
apoiadas no eixo que permanece fixo.
Árvores ou eixo-árvore giratório - O
eixo se movimenta, junto com seus
elementos ou independentemente
deles, como eixos de afiadores
(esmeris), rodas de trole (trilhos),
eixos de máquinas-ferramenta, eixos
sobre mancais.
Definições – Quanto ao Tipo
Eixos Maciços
Eixos Vazados
Eixos Cônicos
Eixos Roscados
Eixos Ranhurados
Definições – Quanto aos Esforços
Sob o aspecto estrutural, os
eixos são elementos que
podem sofrer esforços de
flexão, tração/compressão ou
torção.
Dependendo do tipo de
operação, os eixos devem ser
dimensionado para cargas
estáticas (parado ou com
rotação muito baixa) ou
dinâmica (altas rotações).
O dimensionamento deve ser realizado
considerando os modos de falha por:
Falha Estática: comparado-se as tensões
críticas que atuam no mesmo com os
limites de resistência do material (Sy ou Srt)
Fadiga: Comparado-se as tensões críticas
que atuam no mesmo com o limite de
resistência a fadiga nos pontos em que essas
tensões atuam.
Deflexão/Distorção: Comparado-se as
distorções e deflexões críticas atuantes no
eixo com as deflexões admissíveis
Definições – Quanto aos Esforços
Elementos de Transmissão de Esforços – Polias
Relações Básicas
A A B Br r
Motivo: Velocidade da correia é constante
Relação entre as rotações dos eixos
Função das Polias
A – Movida
B – Motora
C - Tensionadora
A B A A B B
A B B A
Pot Pot T T
T r T r
Relação entre os Torques dos eixos
Ramo Tensionado
da Correia
Ramo “Frouxo”
da Correia
Definições – Quanto aos Esforços
Esforços Transmitidos Para o Eixo Calculo das Forças F1 e F2
Ramo Tensionado da Correia
Ramo “Frouxo” da Correia
F1 = Força no Ramo Tensionado
F2 = Força no Ramo Frouxo
Fi = Tensão de Montagem da Correia
Fc = Tensão devido a Força Centrifuga
T = Torque do Eixo
D = Diâmetro da Polia
f = Coeficiente de Atrito
= Ângulo de Abraçamento (rad)
m = densidade linear da correia
2
2c
DF m
FR
Equilíbrio de Forças
F1
F2
FRy
FRx
Equilíbrio de Torques
Elementos de Transmissão de Esforços – Polias
Definições – Quanto aos Esforços
Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens
Cilíndricas de Dentes Retos
Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular
em diversas aplicações. Existem várias opções de engrenagens de
acordo com o uso a qual ela se destina.
de = diâmetro externo
di = diâmetro interno
dp = diâmetro primitivo
a = addendum
d = deddendum
Nomenclatura Básica
c = folga
F = largura
p = passo
rf = raio do filete
Definições – Quanto aos Esforços
Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens
Cilíndricas de Dentes Retos
Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular
em diversas aplicações. Existem várias opções de engrenagens de
acordo com o uso a qual ela se destina.
Razão de Velocidades e Torques
p p c cd d
c
p
p c c pT d T d
Definições – Quanto aos Esforços
Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens
Cilíndricas de Dentes Retos – Esforços Resultantes do Processo de Engrenamento
= 20o
2T
TF
D
cos
TFF
R TF F Tan
Definições – Quanto aos Esforços
Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens
Cilíndricas de Dentes Inclinados, ou Helicoidais (Engrenamento mais Suave)
Razões de Velocidades e Torques
Relações similares aos definidas para as engrenagens
de dentes retos
p p c cd d
c
p
p c c pT d T d
Definições – Quanto aos Esforços
Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens
Esforços Resultantes do Processo de Engrenamento
Cilíndricas de Dentes Inclinados, ou Helicoidais R T tF F Tan
2 2T
T PF
D D
a TF F Tan
T
n
FF
Tan Tan
Definições – Quanto aos Esforços
Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens
Cônicas de Dentes Retos
Razões de Velocidades e Torque
C CP P
C C P P
Sinr Dn
n r D Sin
P C C PT D T D DP
rP
Definições – Quanto aos Esforços
Elementos de Transmissão de Esforços – Engrenagens
Cônicas de Dentes Retos
Análise dos Esforços
R TF F Tan Cos
2 2T
T PF
D D
a TF F Tan Sin
Definições – Quanto aos Vínculos
Elementos de Apoio dos Eixos– Mancais
Dispositivo fixo fechado, em
geral de ferro ou de bronze,
sobre o qual se apoia um eixo
girante, deslizante ou oscilante.
Os mancais classificam-se em
duas categorias:
i) Mancais de deslizamento, e
ii) Mancais de rolamento.
Definições – Quanto aos Vínculos
Elementos de Apoio dos Eixos–Arranjo de Rolamentos
Combinação livre/fixa de
rolamento de duas carreiras
de esferas de contato angular
e rolamento de rolos
cilíndricos
Combinação livre//livre
Arranjos de rolamentos
"flutuantes" com rolamentos
rígidos de esferas.
Combinação fixa/livre de
rolamentos autocompensadores
com rolamento autocompensador
de esferas e rolamento de rolos
toroidais
Definições – Quanto aos Vínculos
Elementos de Apoio dos Eixos–Arranjo de Rolamentos
Arranjo de rolamentos
ajustados com rolamentos de
rolos cônicos
Arranjo de rolamentos
ajustados com rolamentos de
esferas de contato angular
Problema - Exemplo
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
1
Identificação dos Componentes
1 - Motor
2 – Flange de Acoplamento
3 – Rolamento Rígido de Esferas
4 – Transmissão utilizando Engrenagens Cilíndricas de Dentes Retos
5 – Rolamento Rígido de Esferas contato angular
6 – Transmissão utilizando Engrenagem Cônica de Dentes Retos
2 3
4
5
6
Sistema de Acionamento
(Características)
Potencia: 85 kW
Vel. Ang.: 3600 rpm
40 % da
Potencia 60 % da
Potência
Sentido de
Rotação
200
600
800
1 - Identificação dos Elementos de Máquina e Suas Funções
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
1
6
Identificação dos Componentes
1 - Motor
2 – Flange de Acoplamento
3 – Rolamento Rígido de Esferas
4 – Engrenagem Cilíndrica de Dentes Retos
5 – Rolamento Rígido de Esferas contato angular
6 – Engrenagem Cônica de Dentes RetosSistema de Acionamento
(Características)
Potencia: 185 kW
Vel. Ang.: 3600 rpm
2 3
4
5
Dp = 300mm
Dp = 200mm
Engrenagem de
Dentes Retos
Engrenagem de
Conica
= 30º
1 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
1
6
Sistema de Acionamento
(Características)
Potencia: 85 kW
Vel. Ang.: 3600 rpm
2 3
4
5
Torque de Saída do Motor:
Sentido de
Rotação e
do Torsor
TP
rpm
kWPT
3600
85
mNT 47.225
T4 = 90.188 N∙m
T6 = 135.282 N∙m
1 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
1
6
2 3
4
5
Esforços Atuantes na Engrenagem 4
a
a'
x
y
z
Plano x
Corte a-a’
Eng A Eng B
FtB-A
FtA-B
FrB-A
FrA-B
Eng A
Eng B
3
4
2 2 90,188
300 10B AT
TF
D
601.25B ATF N
FT4= FTB-A
= 601,25 N
20B A B A
o
r TF F Tan
Fr4= FtB-A
= 218,84 N
TA TB
1.1 - Identificação dos Esforços Atuantes Sobre o Eixo – Engrenagem 4
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
FT4= 601,25 N
FT4
Fr4
Fr4= 218,84 N
1.2 - Identificação dos Esforços Atuantes nos Elementos de Transmissão
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
1
6
2 3
4
5
Esforços Atuantes na Engrenagem 6
x
y
z
Eng A
Eng B
3
6
2 2 135.282
200 10d cT
TF
D
FT6= FTd-c
= 1352,8 N
Fr6= Frc
= 426,418 Nx
y y
z
Eng c
Eng c
Eng d
, T
FTd-c
FTc-d
Frc
Fad
FacFrc
Fad
Frd
20 30
R T
o o
T
F F Tan Cos
F Tan Cos
a TF F Tan Sin
Fa6= Fac
= 246,193 N
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
FT4= 601,25 N
FT4
Fr4
Fr4= 218,84 N
FT6
FT6= 1352,8 N
Fa6
Fa6= 246,193 N
Fr6= 426,418 N
Fr6
1.3 - Identificação dos Esforços Atuantes Sobre o Eixo – Engrenagens 4 e 6
mN
dFM aFz
a
025.0
2
6
66
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
FT4= 601,25 N
FT4
Fr4
Fr4= 218,84 N
FT6
FT6= 1352,8 N
Fa6
Fa6= 246,193 N
Fr6= 426,418 N
Fr6
R1z
R1y
R2z
R2y
2 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios
mN
dFM aFz
a
619.24
2
6
66
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
FT4= 601,25 N
Fr6= 426,418 N
2.1 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Z
R1y
y
x
R2y
mNMaFz 619.246
Mz
Plano Z
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
0006
64 2 ay FzTTz McFbRaFxM
+
R2y= 727.943 N
006
641 ay FzrTz MbcFabFbRbxM R1y
= 299.727 N
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
2.2 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Z
R1z
z
xR2z
Plano y
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
00064 2 cFbRaFxM Try y
+
Fr4= 218,84 N
FT6= 1352,8 N
R2z= 1730.81 N
00641 bcFabFbRbxM Try z
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
2.3 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Y
R1z
z
xR2z
Plano y
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
00064 2 cFbRaFxM Try y
+
R2z= 1730.81 N
00641 bcFabFbRbxM Try z
R1z= 596.831 N
Fr4= 218,84 N
FT6= 1352,8 N
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
Fa6
3 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos
mN
dFM aFz
a
619.24
2
6
66
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
FT4= 601.25 N
Fr6= 426.418 N
3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Plano Z
y
x
mNMaFz 619.246
Plano ZR2y
= 727.943 N
R1y= 299.727 N
299.727
301.523
426.418
0
24.619
59.945
60.665
Cortante, Vy
Momento, Mz
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
Plano y
R2z= 1730.81 N
R1z= 596.831 N
Fr4= 218,84 N
FT6= 1352,8 N
z
x
596.831377.991
1352.8
0
119.366
270.56
Cortante, Vz
Momento, My0
3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Plano Y
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
Plano y
z
x
246.193Normal, Nx
Torsor, Tx
3.1 – Construção dos Diagramas de Esforços Internos – Esforços Normal e Torsor
T4 = 90.188 N∙m T6 = 135.282 N∙m
TMotor = 225.47 N∙m T = 135.282 N∙m T = 135.282 N∙mFa6
= 246,193 N
R2x= 246,193 N
225.47135.282
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
Fa6
3.2 – Diagrama Resultante de Esforços Fletores
mN
dFM aFz
a
619.24
2
6
66
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
FT4, Fr4 FT6
, Fr6, Mz6
4 –Estimativa das Tensões Máximas atuantes em cada Seção do Eixo
xR1y
, R2y R1x
, R1y
24.619
Momento Resultante, MR
133.573277.278
246.193Normal, Nx
Torsor, Tx
225.47135.282
2
4
d
N
A
N xxxx
34
16
32
2
d
T
d
dT
xx
Maxx
34
32
64
2
d
M
d
dM
RR
Maxxx
Ver Flexão Não-Simétrica
no final da apresentaçao
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
4.1 – Identificação das Componentes Tensor das Tensões2
4
d
N
A
N xxxx
34
16
32
2
d
T
d
dT
xx
Maxx
34
32
64
2
d
M
d
dM
RR
Maxxx
Tx
MR
Nx
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
4.2 – Cálculo da Tensão Equivalente - Tresca
34
16
32
2
d
T
d
dT
xx
Maxx
23
432
d
N
d
M xR
Maxxx
Maxxx
Maxx
0xy
xyxx
σ
2
2
,22
xy
yyxxyyxx
bpa
2
2
122
xyxxxx
2
2
322
xyxxxx
02
Como yy = 0, temos:
≥ 0 ≤ 0
𝜏𝑚𝑎𝑥 =32𝑀𝑅
2𝜋𝑑3+4𝑁𝑥2𝜋𝑑2
2
+16𝑇𝑥𝜋𝑑3
2
⟹ 𝜏𝑚𝑎𝑥=𝜎1 − 𝜎3
2=
𝜎𝑥𝑥2
2
+ 𝜏𝑥𝑦2
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
4.2 – Cálculo da Tensão Equivalente – Von Mises
34
16
32
2
d
T
d
dT
xx
Maxx
23
432
d
N
d
M xR
Maxxx
Maxxx
Maxx 2
1222222
62
1z xy zx yxzzyyxM i s e s
2
1222
122
3622
1
xx xxM i s e s
2
12
3
2
23
163
432
d
T
d
N
d
M xxRM is es
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Tresca
Tx
MR
Nx
Eixo Falhará quando a tensão de cisalhamento
máxima no ponto crítico do componente atingir o
mesmo valor da tensão de cisalhamento máxima do
corpo de prova no momento do seu escoamento, num
ensaio de tração, 𝑆𝑎𝑑𝑚.
Condição Limite:
Caso Particular, Nx = 0
→𝑆𝑎𝑑𝑚2
=4
𝜋𝑑3𝑀𝑅
2 + 𝑇𝑥2
⟹ 𝑑 =8
𝜋𝑆𝑦𝑀𝑅
2 + 𝑇𝑥 2
13
𝑆𝑎𝑑𝑚2
=32𝑀𝑅
2𝜋𝑑3+4𝑁𝑥2𝜋𝑑2
2
+16𝑇𝑥𝜋𝑑3
2
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Mises
Tx
MR
Nx
Eixo Falhará por Escoamento se a Tensão
Equivalente de Mises, Mises, for Igual ou Superior
a Tensão de Escoamento do Material, Sy.
Condição Limite:
Caso Particular, Nx = 0
3
1
2234
16
xR
y
TMS
d
2
12
3
2
23
163
432
d
T
d
N
d
MS xxR
M is esy
2
122
334
1 6xRy TM
dS
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Materiais Utilizados
Os eixos e árvores são fabricados em aço ou ligas de aço, pois os materiais metálicos
apresentam melhores propriedades mecânicas do que os outros materiais. Por isso, são
mais adequados para a fabricação de elementos de transmissão:
• eixos com pequena solicitação mecânica são fabricados em aço ao carbono;
• eixo-árvore de máquinas e automóveis são fabricados em aço-níquel;
• eixo-árvore para altas rotações ou para bombas e turbinas são fabricados em aço
cromo-níquel;
• eixo para vagões são fabricados em aço-manganês.
Quando os eixos e árvores têm finalidades específicas, podem ser fabricados em cobre,
alumínio, latão. Portanto, o material de fabricação varia de acordo com a função dos
eixos e árvores
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
5 – Dimensionamento do Eixo Contra Escoamento – Materiais Utilizados
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
6 – Dimensionamento do Eixo Contra Deflexões Excessivas
Fa6
mN
dFM aFz
a
619.24
2
6
66
y
y
EI
M
dx
zd
2
2
z
z
EI
M
dx
yd
2
2
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
6 – Dimensionamento do Eixo Contra Deflexões Excessivas
Faixas de Deflexões e Inclinações Admissíveis em Projetos de Eixos
Flexão Não-Simétrica
Apresentação do Problema
Considerando a viga prismática apresentada na figura abaixo e submetida a dois momentos fletores, My e Mz.
Descreva o campo de tensões resultante da aplicação desses esforços internos;
y
x
z
Mz
My
y
z
My
Mz
Vista Frontal
Flexão Não-Simétrica
Análise do Problema
y
xz
Mz
My
y
z
My
Mz
Agora, vamos avaliar o estado de tensões atuante no ponto P devido a presença dos fletores, My
e Mz.
P
r
a
b
a = r∙Cos()
b = r∙Sin()y
z
x
z
z
y
y
xI
SinM
I
CosM rrr
,
y'
z'
z
z
Mx
y
y
Mx
I
SinM
I
CosM
z
y
r
r
yMxzMx
Flexão Não-Simétrica
Análise do Problema
y
xz
Mz
My
Uma vez identificado a função que descreve o campo de tensões, x(r,), vamos avaliar o lugar
geométrico onde as tensões x(r,) são iguais a zero.
0,
z
z
y
y
xI
SinM
I
CosM rrr
0
z
z
y
y
I
SinM
I
CosM
y
z
z
y
I
I
M
M
Cos
SinTan
x
0
My
Mz
MR
q
qTanM
M
z
y
y
z
I
ITanTan
x
q 0
y
z
My
Mz
P
r
a
b
y'
z'
Flexão Não-Simétrica
Análise do Problema
y
xz
Mz
My
y
z
My
Mz
Uma vez identificado a função que descreve o campo de tensões, x(r,), vamos avaliar o lugar
geométrico onde as tensões x(r,) são iguais a zero.
z'
'
'
0 z
yTan
x
q
TanI
I
z
yTan
y
z
x
'
'
0
y'
q
Flexão Não-Simétrica
Exemplo – Seção Quadrada
y
xz
Mz
My
y
z
My
Mz
z'
y'
45o
b 100mm h 100mm
Iyy b3 h
12 Izz b
h3
12
Mzz 100N m Myy 100N m
q atanMyy
Mzz
180
45
atanIzz
Iyy
Myy
Mzz
180
45
h
b
Flexão Não-Simétrica
Exemplo – Seção Retangular
y
xz
Mz
My
y
z
My
Mz
z'
y'
45o
h
b
b 100mm h 200mm
Iyy b3 h
12 Izz b
h3
12
Mzz 100N m Myy 100N m
q atanMyy
Mzz
180
45
atanIzz
Iyy
Myy
Mzz
180
75.964
atanh
2
b2
Myy
Mzz
180
75.964
Projeto/Análise de Eixos – Passos Básicos
FT4= 601,25 N
Fr6= 426,418 N
2.1 – Identificação e Cálculo das Reações nos Apoios – Plano Z
R1y
y
x
R2y
mNMaFz 619.246
Mz
Plano Z
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
FT4= 601,25 N
Fr6= 426,418 N
Decomposição dos Carregamentos
R1yy
x
R2y
mNMaFz 619.246
Mz
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
FT4= 601,25 NR14y R24y
R16y R26y
Fr6= 426,418 N
R1Mzy R2MzymNM
aFz 619.246
Mz
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
FT4= 601,25 N
R14y R24y
R16yR26y
Fr6= 426,418 N
R1MzyR2Mzy
mNMaFz 619.246
Mz
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
FT4= 601,25 N
R14y R24y
4166,200
600
20025,601
24
L
PaR
y
8333,400
600
40025,601
)(14
L
aLPR
y
N
RTotal
25,601
...4166,200...8333,400
Porque -400,... E -200,.... ?
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
R16yR26y
Fr6= 426,418 N
...557333,568
600
800418,426
26
a
PLR
y
...1393333,142
600
200418,426
16
a
PbR
y
N
RTotal
18,4261
...1393333,142...557333,568
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
R1MzyR2Mzy
mNMaFz 619.246
Mz
N
a
MR z
M y
032,41
600
619,24
2
...032,41
600
619,24
1
N
a
MR z
Mzy
0032,41032,41 TotalR
N
NRy
726,299
032,41139333,142...83333,4001
N
NRy
942,727
032,4155733333,568...4166,2002
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
FT4= 601,25 N
R14y R24y4166,200
600
20025,601
24
L
PaR
y
8333,400
600
40025,601
)(14
L
aLPR
y
-400,8333... N
200,4166... N
-80,16666 Nxm
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
R16yR26y
Fr6= 426,418 N
...557333,568
600
800418,426
26
a
PLR
y
...1393333,142
600
200418,426
16
a
PbR
y
142,1393333... N
-426,418 N
85,2836 Nxm
28,42787 Nxm
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
R1MzyR2Mzy
mNMaFz 619.246
Mz
N
a
MR z
M y
032,41
600
619,24
2
...032,41
600
619,24
1
N
a
MR z
Mzy
-41,032... N
-8,2064 Nxm-24,619... Nxm
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
FT4= 601,25 N Fr6
= 426,418 NR1y
x
R2y
mNMaFz 619.246
Mz
-400,8333... N
200,4166... N
142,1393333... N
-426,418 N
-41,032... N
Decomposição dos Carregamentos
a =200 mm
b = 600 mm
c = 800 mm
+
FT4= 601,25 N Fr6
= 426,418 NR1y
x
R2y
mNMaFz 619.246
Mz
28,42787 Nxm
-8,2064 Nxm
-24,619... Nxm
-59,945 Nxm
-80,16666 Nxm
60,6646 Nxm
85,2836 Nxm
-24,619 Nxm