Cartesian Closed Categoryを駆け足で

森口

今回の発表の目的

圏（Category）の一例としてCartesian Closed Categoryを学ぶ。

圏論(Category theory)の勉強としては限定的に。

必要な内容を引っ張ってきてそれだけを。

一般に説明される構造の大半は触れない。

以下、ほとんどを日本語の用語で説明。

初出時は英語も併記。

Cartesian Closed Categoryは略称（CCC）を使用。

いい表記がみつからなかった。デカルト閉圏とかカルテシアン閉圏とか。長い。

余談：余談について

途中途中で、「余談：～～」というタイトルで 私の雑感が入る。

雑学じみていたり、どうでもいいことを言ったりする。つまり、無視して良い部分。

途中から口語になったりする。

主に私の集中力が切れたことを表す。

目次

圏論とは？

Cartesian Closed Category (CCC)とは？

単純型付きラムダ計算とは？

実際の対応関係は？

例としては？

圏論 概要 まあ、何かをする前にそれが何かをしらないと、話にならないよね。

圏論

圏(Category)という形で抽象化された体系

Category : 圏、と訳される。体系。

Category = Objects + Arrows

記号：C, D, ...

Object : 対象、と訳される。もの。

記号：A, B, C, D, ...

Arrow : 射、と訳される。morphismともいう。矢印。 対象間を結ぶ。

記号：f, g, h, ...

f : A → Bのように表記。（fはAからBへの射）

AとBをそれぞれドメイン(domain)、コドメイン(codomain)と呼ぶ。

満たさなければならない性質

射について満たさなければならない性質

全ての対象Aに対して、恒等射idA : A → Aが存在

全ての射f : A → B, g : B → Cに対して、g○f : A → Cが存在

射の合成の存在

全ての射f : A → B, g : B → C, h : C → Dに対して、h○(g○f) = (h○g)○f

射の合成の結合則

全ての射f : A → Bに対して、idB○f = f = f○idA

対象？特にないよ。

図式で表現1

f : A → Bを図式で書くと下の通り。

A

B

f

図式で表現2

g : B → Cとfを並べて書く。

A

B

f

C g

図式で表現3

h : C → Dを含むと下のようになる。

A

B

h

C g

D

f

図式で表現4

k : A → Dを追加する。

実はこれで、h○(g○f) = k = (h○g)○fである。

A

B

h

C

k D

f

g

図式の可換性

図式中で、ある始点から終点までを結ぶ射の列は、（複数経路ある場合）どの経路をたどっても合成結果が等しい。

図式が可換である（commute）という。

A

B

h

C

k D

f

g

結合則について

本来不要だが、g○fとh○gを書き加える。

ただの合成なので図式にいれられる。

わかりやすいでしょ？

A

B

h

C

k D

f

g

圏で何かを表現する

対象と射に、何か意味のあるものを割り当てる。

対象を要素、射を要素間の関係とする、など。

対象や射の性質を定義（設定）する。

e.g.) ある対象A, Bに対してf : A → Cおよびg : B → Cが唯一存在する。

この例に特に意味はない。

最終的に、対象と射の間に成立する関係によって性質を言及する。

実際にある圏

Set

対象を集合、射を（集合間の）全域関数とする圏。

恒等射は恒等関数、射の合成は関数合成、結合則は関数合成の性質。

Poset

対象を半順序集合、射を単調関数とする圏。

Cat

対象を（小さな）圏、射をFunctorとする圏。

圏の圏。Functorは圏から圏への変換と思ってくれれば。

圏論の教科書について

多くの本では、圏の各構造をボトムアップに定義していく。

実例が遠い・・・

一応途中実例は載っているが、全体がないのでピンとこない。

ここではトップダウンに、「Cartesian Closed Categoryに必要な要素を出て来た順に説明」する。

できる限り説明がネストしないように気をつける。

CARTESIAN CLOSED CATEGORY

本題。すぐ話が変わるけどね。ちなみに大文字にした覚えはないよ。

Cartesian Closed Category (CCC)

Cartesian Closedな圏（≠ある決まった圏）

終対象1が存在

二つの対象A, Bに対してA×Bが存在

積（product）

二つの対象B, Cに対してCBが存在

冪（exponential）

これらの説明は必要になるまでしません！(ｷﾘｯ

余談：CCCという略称

Google先生は和洋問わず、いろいろ聞いたこともないようなものを出してくれる。

Wikipedia先生は

日本語版は残念ながら項目が少なく、Cartesian Closed Categoryはない。

そして私の愛する（してないけど）Cross-cutting concernsもない！

英語版は大量の項目があり、下の方へ行くとmathematicsのところにある。

・・・cross-cutting concernsはやっぱりない・・・

CCCの表現するもの

様々な圏がCCCだが、ここで説明するものは単純型付きラムダ計算と直観主義論理。

Curry-Howard-Lambek対応という。

前二者のラムダ計算と直観主義論理との関係だけがよく使われる。

直観主義はあまりなじみがない（特にB4には）と思われるので、単純型付きラムダ計算を元に説明していく。

幸いHaskellやってるんだし、大丈夫・・・だよね？

単純型付きラムダ計算 知ってる人は退屈な、知らない人でもすぐわかる説明。（たぶん）

単純型付きラムダ計算（最小構成）

ラムダ計算＋型

xは型付きラムダ式

λx:A.MはMが型付きラムダ式であり、Aが型であるとき（かつそのときに限り）ラムダ式

(M N)はM, Nが型付きラムダ式であるとき（かつそのときに限り）型付きラムダ式

αは型（ground type）

BAはA, Bが型であるとき（かつそのときに限り）型

Haskellなどでいう A -> B

余談：矢印

A→Bと同じ意味を持つ記号はいくつかある。

今回使ったBA

主に関数型言語、ラムダ式で使われた印象がある。

あくまで個人的な意見だが。

一部の型付きラムダ計算ではλxA.Mのような書き方をしていたし、高階関数が面倒なので、使えにくかったのでは？

A⊃B

論理の世界では今も使われている。

A⇒B

どちらかといえば、メタレベルでのimplicationの印象。

余談：なぜ冪乗？

おそらく、要素数が冪乗になるから

予想だが、そう間違ってはいまい。

例）A={0,1,2}、B={0,1}に対しA→Bの数は？

答え：8つ（|B||A|）

012->0

01->0 2->1

02->0 1->1

12->0 0->1

0->0 12->1

1->0 02->1

2->0 01->1

012->1

Aの要素それぞれに対して、Bの要素数分の選択肢。

余談：「かつそのときに限り」

ラムダ式の定義に出現している言葉。

集合を一意に定めるために書く。

この文言がないと、「規則に書かれていない要素」が入りうる。

例えばλx:A.3がラムダ式と扱われる可能性がある。

文言があることで、3はラムダ式ではないので入らない。

通常は、「以下の規則を満たす最小の集合」という定義をする。

面倒だし読みにくくなるし邪魔だし。

単純型付きラムダ計算（少し拡張）

ラムダ式に組とunitを追加

(M, N)はMとNが型付きラムダ式(ry

(fst M)はMが(ry

(snd M)はMが(ry

unitは型付きラムダ式

A×BはAとBが型(ry

Unitは型

余談：型付きラムダ計算というもの

この話からわかるように、型付きラムダ計算と呼ばれるものは山のようにある。

「単純」でさえ、これに和を加えたものなどもある。

CCCは型付きラムダ計算と対応する。よって、 それだけのCCCがある。

構造以外にも、ground typeとしてintだとかboolだとか使えたりする。

型付け規則について

型が付くという関係をΓ┣ M : Aのように書く。

（変数の型）文脈Γにおいて、MはAという型が付く。

型付け規則は、線を引いた上下に関係を書く。

上には「仮定として成り立つ関係」を書く。

下には「結果として成り立つ関係」を書く。

線の横には規則の名前を書く。

下の例だと、「仮定なしに」「文脈ΓでunitがUnitに型付けられ」「その規則をUnitと呼ぶ」ことを表す。

Unit Γ┣ unit : Unit

型付け規則(1/2)

Var Γ┣ x : A

Lam Γ┣ λx:A.M : BA

Γ, x:A┣ M : B

Γ┣ (M N) : B

Γ┣ M : BA Γ┣ N : A App

Unit Γ┣ unit : Unit

x : A ∈ Γ

型付け規則(2/2)

Γ┣ (M, N) : A×B

Γ┣ M : A Γ┣ N : B Prod

Snd

Γ┣ M : A×B

Γ┣ (fst M) : A

Γ┣ (snd M) : B

Fst

Γ┣ M : A×B

余談：き？け？

型付き？型付け？

”typed”が型付き、”typing”が型付けに相当。

型をつけるラムダ計算ではなく型がくっついたラムダ計算。

規則に型がつくわけじゃなくて、型をつける規則。

ちなみに、英語の”type”は動詞。型をつける。

はいはいどうでもいいですねわろすわろす。

単純型付きラムダ計算の性質

必ずβ簡約が終了する。

逆に言えば、β簡約が終了しないラムダ式は型付きラムダ計算として書けない。

型のないラムダ計算も、型推論という形で同じ範囲の項に限定することができる。

型推論できる＝型付きラムダ計算で書ける

他は・・・いや、十分か。

余談：式（プログラム）の妥当性

型付けできない型付きラムダ式というのがある。

λx:A.(x x)とか。

前のxが関数型でないため、型付け規則に合致しない。

通常のラムダ式と違い、「妥当（valid）な型付きラムダ式」という概念があることを意味している。

通常のラムダ式に、妥当でないラムダ式はない。

型は妥当であるとか妥当でないという概念を作り、それによってユーザーを助けている。

妥当でないプログラムは正しく動かない（かもしれない）からはじく（rejectする）。

CCCと単純型付きラムダ計算の 対応

ようやく話の本題。ここまでは前座。

CCCと型付きラムダ計算の対応

対象は全て型

項ではないので注意。

射は、環境の型から項の型の導出

f : A → Bは A┣ Bを証明する（ための規則の列の合成射）fを意味する。

・・・え？イミフ？

説明の順序

型付きラムダ計算を少し考え直す。

CCCの要素の定義を見ながら厳密に対応をとる。

とりあえずCCCは置いておくけど

まず型付きラムダ計算のほうから見る。

でも覚えておいてほしいこと。

CCCの対象は型と

CCCの射は型の導出Γ┣ Aと

それぞれ対応する。

というか、対応させる。これから。

型付きラムダ計算を考え直す 都合が悪ければ、本質的に等価な何かに変更すればいい。

型付け規則 Γ┣ BからA┣ Bという形へ

Bは型として、Aも型とすると若干型付け規則の形に合わない。

Aの側は「変数と型のリスト」であり、Bは「項と型」。

リストを一つの型に押し込める必要がある。

リストが駄目ならペアにすればいいじゃない。

cons＝組 （積）

nil＝unit （1）

文脈の変換

x1 : A1, x2 : A2, ... , xn : An

(...((unit, x1), x2), ...), xn) : (...((Unit×A1)×A2)×...×An)

これで確かに要素が一つになった。

推論の方法がやや変わる（変数の型付けに射影をとる必要あり）が、基本的には同じ。

型付け規則renewal

Var規則とLam規則が変わるのみ。他は全てΓを一つの型にすればよい。（変数の衝突に注意）

Var (L, x) : C×A┣ x : A

Proj (L, y) : C×B┣ x : A

L : C┣ x : A

Lam L : C┣ λx:A.N : BA

(L, x) : C×A┣ N : B

問題：ラムダ式は？

Ｑ：CCCと型付きラムダ計算が対応すると言ったのに、ラムダ式と対応するものがないじゃないか。どういうこと？

Ａ：renewalによって、実は

ラムダ式 ≡ 型の導出 が成立するようになったのだ。

ちなみに、renewal前はラムダ式のほうが細かい指示ができた。

例）λx:A.λy:A.xとλx:A.λy:A.yは導出では区別不可能。

区別できない？

どちらも、Var,Lam,Lamの順。ラムダ式は違う。

┣ λx:A.λy:A.x : (AA)A

x : A┣ λy:A.x : AA

x : A, y : A┣ x : A

Lam

Lam Var

┣ λx:A.λy:A.y : (AA)A

x : A┣ λy:A.y : AA

x : A, y : A┣ y : A

Lam

Lam Var

区別できなかったもの

以前の形式だと、唯一Varのみ「構造以外の何か」で判別する規則になっている。

リストに含まれるかどうか。リスト内の順序など全く関係ない。

他は構造を分解するだけ。Unitは分解する必要すらない。

でもUnitを使う場合必ずunitが値。

Varを使う場合、どの変数であっても（型さえ同じなら）同じように規則が使われる。

Varを使うと、ラムダ式のほうが細かく指定できる。

Var規則の変形

VarとProjに分かれた。

それぞれ「一番近い束縛変数を消去」「一番近い束縛変数が導出対象」という状態。

どちらも構造に依存し、「構造以外の何か」ではなくなっている。

簡単に言えば、VarとProjにより「今の地点から何番目の変数を参照しているか」を表す。

de Bruijn indexみたいな考えだと思えば。

区別できなかった例

上に余計なProjが入ってきている！

区別できた！

unit : Unit┣ λx:A.λy:A.y : (AA)A

(unit, x) : Unit×A┣ λy:A.y : AA

((unit, x), y) : Unit×A×A┣ y : A

Lam

Lam Var

unit : Unit┣ λx:A.λy:A.x : (AA)A

(unit, x) : Unit×A┣ λy:A.x : AA

((unit, x), y) : Unit×A×A┣ x : A

Lam

Lam Proj

(unit, x) : Unit×A┣ x : A Var

つまり

射≡型付け≡ラムダ式＋環境、すなわち

射≡ラムダ式＋環境 ってこと。

これで解決できたね。

規則と図式の対応 タイトルの割に、圏の構造の定義の話だったりする。

CCCの対象と型の対応

直感的には、Unitは1、組は積、関数は冪と対応

まあ、同じ記号使ったし、ね。

Ground type（αなど）はCCCの中に対応する対象があると仮定

そのようなCCCが対応する、と考える。

例：α×(βUnit)はα×(β1)と対応

まあ見たまんま。Unitが変わるくらい。

圏による終対象・積・冪の定義

規則との対応をとるに当たって必要なので、ここで説明。

圏における構造の定義は、大体次のパターン。

ある射が存在し、可換である図式がある。

積・冪もこれにもれない。

終対象はほとんど図式を使わないけれど、ね。

終対象 終わりがあるなら始まりもある。始対象という。説明しないけど。

終対象（terminal object）

全ての対象Aに対して唯一の射! : A → 1が存在。

どんなAに対しても!が射の名前。不思議だけどよくあること。

A 1 !

終対象とUnit

何かからUnitを導くのは常にUnitの規則を使えばよい。

文脈に関係なくunit : Unitと型付けられる。

あらゆる対象に!を持つことと対応する。

A 1

Unit L : A┣ unit : Unit

!

積 績と間違えられること多数。紡ぐのか、積むのか・・・

積

A×Bはπ1 : A×B → A, π2 : A×B → Bを伴い、 ある対象Cと射f : C → A, g : C → Bについて、 以下の図式を可換にする<f, g> : C → A×Bが 存在するものを言う。

点線の射は、他の部分から一意に導かれる射。この図

ではf, g, π1, π2から導かれる。 C

A×B B A

f g

π1 π2

<f, g>

型付けにおける積(1/2)

組を型付ける場合

さきほどの図のCが環境である。

C → A×Bという射（文脈C下で型A×B）は、 f : C → A（文脈C下で型Aがつく）と g : C → B（文脈C下で型Bがつく）の存在から導ける、と言っている。

型付けにおける積(図1)

C

A×B B A

f g

π1 π2

<f, g>

Prod L : C┣ (M, N) : A×B

L : C┣ M : A L : C┣ N : B

型付けにおける積(2/2)

組を分解する場合

C → A×Bが前提として存在、π1とπ2はやはり存在する。

合成で終了。

π1とπ2はそれぞれfstとsndに対応する。

型付けにおける積(図2)

C

A×B B A

π1○f π2○f

π1 π2

f

Snd L : C┣ M : A×B

L : C┣ (fst M) : A L : C┣ (snd M) : B Fst

L : C┣ M : A×B

余談：双対性（duality）

様々なものをひっくり返した構造（性質etc）。

圏では、非常に簡単なことに、射を逆に向けたもの

以下は余積（coproduct）と呼ばれる構造の持つ図式

co- が双対なものを表す。colimitとかcoconeとか。

例外もある。終対象の双対である始対象はinitial object。

実はこれ、一般に言う和の構造。つまり積の双対は和。

C

A+B B A

f g

ι1 ι2

[f, g]

余談：対象の一意性

実のところ、A×BとB×Aは、対象として完全に同じものである。

それぞれの射影射は全く同じ。

圏では、こういった時に「isomorphicなものを 除いて一意」という言い方をする。

簡単に言えば同等なものは本質的に同じものとする。

冪 和、積、冪とならぶはずなのに、可換じゃない。

冪

BAは、evalBA : BA×A → Bを伴い、ある対象Cとg : C×A → Bについて、以下の図式を可換にするcurry(g) : C → BAが存在するものを言う。

f×gは、f : A → B, g : C → DのときにA×C → B×Dとなる（直感的にはfとgの積である）射。

C×A

B BA×A evalBA

curry(g)×idA g

余談：curryとeval

どちらも関数型言語のそれ。

カリー化は複数の引数をとる関数を、一つずつ引数をとって関数を返す関数に変更するもの。

A×B→CをA→B→C

eval（apply？）は関数と引数をとって適用を行うもの。

(A→B)×A→B

使用した本の表記であって、常にこの名称というわけではない。

型付けにおける冪(1/2)

関数抽象を型付ける場合

やはりCが環境である。

C → BAという射（文脈C下で型BA）は、 g : C×A → B（環境C×A下で型B)の存在から導ける、と言っている。

C×Aは環境にAという型の要素を追加したもの。

型付けにおける冪(図1)

C×A

B BA×A evalBA

curry(g)×idA g

Lam L : C┣ λx:A.N : BA

(L, x) : C×A┣ N : B

型付けにおける冪(2/2)

関数適用を型付ける場合

C → BAとC → Aが前提として存在。

積の定義からC → BA×Aが存在。

evalBA : BA×A → Bと合成することでC → Bが導ける。

型付けにおける冪(図2)

B BA×A evalBA

C┣ (M N) : B

C┣ M : BA C┣ N : A App

C

BA A

f g

<f, g>

evalBA○<f, g>

変数 CCCでは名前なんてない。つまりde Bruijn notationとほぼ等価。

最後に追加

VarとProjと対応する射

簡単に言えば、Varはπ2と、Projはπ1とそれぞれ対応する。

Projには「残りの環境から型付けする」射が必要だが。

C×A A C π1 π2

Var (L, x) : C×A┣ x : A

Projの対応

C×B B C π1 π2

Proj (L, y) : C×B┣ x : A

L : C┣ x : A

A

f f○π1

というわけで

全ての規則と対応する射の存在がわかった。

全体としては

全ての対象は型

全ての射は、ドメインが環境、コドメインがラムダ式（環境下で型が付くラムダ式に限る）の型であり、射そのものは型を付ける規則の列（ラムダ式の構造）

と対応する。

ただ、冪の内容上、頻繁に図式が離れてしまう。

例 きれいな図式を期待？――残念。

実際に圏で型付けを・・・

SKIコンビネータでもやりますか。

簡単？後悔しますよ・・・？

ラムダ式として書くと、それぞれ以下のように。

S = λf:(CB)A.λg:BA.λx:A.((f x) (g x))

((CA)BA)(CB)Aという型がつく。

K = λx:A.λy:B.x

(AB)Aという型がつく。

I = λx:A.x

AAという型がつく。

一番簡単なIから

1 AA

1×A A π2

AA×A

evalAA curry(π2)×idA

curry(π2)

あれ～・・・？

なんか変な感じがするなあ・・・

図式が離れてるせいか？

じゃあ次、K

1 (AB)A

(1×A)×B A π1 1×A

π2

AB×B

evalBA curry(π1○π2)×idA

1×A AB curry(π1○π2)

(AB)A×A

evalAAB

もう名前書くのいや・・・

なんなのcurry(curry(π1○π2))って？

ちなみに最終的な射。

Sは図だけにする。

地獄のS(1/2) 関数適用部分

1×(CB)A×BA×A C

1×(CB)A×BA

A

BA BA×A

B

1×(CB)A

(CB)A

(CB)A×A

CB

CB×B

地獄のS(2/2) 関数抽象部分

1 ((CA)BA)(CB)A

1×(CB)A

((CA)BA)(CB)A×(CB)A

(CA)BA 1×(CB)A×BA

(CA)BA×BA

CA

1×(CB)A×BA×A C

CA×A

ははは・・・

もういやです。

かんべんしてください。

と言いたくなるような内容になるのでした。

以上！ 眠かったかな？