Sistema Geodésico NacionalUTM

Junio 2014

Dirección General de Geografía y Medio AmbienteSubdirección Estatal de Geografía

Departamento de Geodesia

Contenido

• Introducción• Conceptos Básicos• Proyecciones Cartográficas• UTM• Practica con navegador

DGGMANTG-001 Sistema Geodésico Nacional

Introducción

Es de vital importancia, cuando se combinan datos de diferentes fuentes en un SIG, o bien cuando se van a capturar nuevos datos, tener presente la referencia geodésica de cada información, así como la proyección cartográfica utilizada en el caso de datos proyectados, como pueden ser los de un mapa en papel.

Introducción

DGGMA

IntroducciónLa referencia geodésica “elipsoide y datum” determina la relación entre las coordenadas de los datos y su localización en la superficie terrestre. Así, el desconocimiento o uso incorrecto de la referenciación geodésica hace que datos de diferentes fuentes no coincidan entre sí. Es típica una desviación de unos 300 m. Tal sería el caso de intentar combinar datos de GPS con mapas catastrales o mapas topográficos sin tener en cuenta las distintas referencias.

Introducción

Incluso si los datos tienen un sistema de referencia común, el desconocimiento de éste puede acarrear problemas, si, por ejemplo, se requiere convertir coordenadas geográficas a U.T.M o viceversa. Hay que destacar que las herramientas que los SIG proporcionan al usuario para tratar estos temas son desiguales según los casos.

Conceptos Básicos

Geoide

El geoide es una superficie equipotencial que representa el nivel medio del mar y sirve como referencia para determinar alturas ortométricas.

Conceptos Básicos

Como aplicación práctica, la determinación de la posición geográfica de puntos cerca o sobre la superficie terrestre, en apoyo principalmente a la generación de cartografía. Tiene también otras aplicaciones, como exploraciòn de recursos energéticos y mineros, y en cualquier aplicación que requiera ser referenciada geográficamente.

Como ciencia, la determinación de la forma y dimensiones del globo terrestre y de su campo gravimétrico externo

La Geodesia tiene un doble propósito:

Conceptos Básicos

Uno de los propósitos fundamentales de la Geodesia, es la ubicación espacial precisa de los objetos que se encuentran en, sobre o cerca de la superficie de la Tierra, por lo que se convierte en elemento básico, que garantizará la referencia de los datos y productos estadísticos y geográficos generados por las Unidades del Estado, que integran el SNIEG

Conceptos Básicos

La Forma de la Tierra.-

Nuestro planeta en realidad tiene una forma mucho más complicada de lo que se pudiese lograr con una representación matemática de alguna figura que se le asemeje.

Incluso la superficie del mar es irregular.

Conceptos Básicos

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es una constante positiva.

Una elipse es la curva cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado.

Conceptos Básicos

Elipsoide.-

Es un sólido geométrico generado por la rotación de una elipse sobre uno de sus ejes.

Rotación del eje “b”Eje Polar

Rotación del eje “a”Eje Ecuatorial

Elipsoide de Referencia.- El elipsoide empleado como la mejor aproximación local o global de la forma de la Tierra;

Conceptos Básicos

La Forma de la Tierra.-

El elipsoide es la mejor aproximación global o local de la forma de la Tierra, con un radio levemente más grande en su Ecuador (eje “a”) que en los Polos (eje “b”).

Entonces es posible representar la posición de cualquier punto sobre el planeta, con valores o magnitudes (coordenadas) asociados a una figura de revolución.

Elipsoide

Esferoide

Conceptos Básicos

Las Tres Superficies.-

El Terreno o Superficie Terrestre es una superficie irregular y es el lugar físico donde se realizan diversas mediciones (estación, punto, vértice, marca, etcétera).

El Geoide es una superficie equipotencial del campo gravitatorio terrestre, que se aproxima al nivel medio del mar en los océanos.

El Elipsoide es la representación matemática de la superficie terrestre (global o local).

Conceptos Básicos

Dátum.-

Cualquier cantidad o conjunto de ellas que sirve como referencia para calcular otras.

(0, 0, 0)

NAD27 Dátum Norteamericano …

NAD83 Dátum Norteamericano …

WGS84 Sistema Geodésico Mundial …

ITRFxx Marco Internacional de

Referencia Terrestre …

NAVD29 Dátum Vertical Norteamericano …

NAVD88 Dátum Vertical Norteamericano …

IGSN71 Red Internacional de Estandarización de la Gravedad …

International Gravity Standardization Net

Conceptos Básicos

La Tierra, El Dátum y El Elipsoide.-

Dátum Elipsoide Semieje Mayor (a) Semieje Menor (b)

NAD27 CLARKE 1866 6378206.4 m 6356583.8000 m

NAD83 GRS80 6378137.0 m 6356752.3141 m

WGS84 WGS84 6378137.0 m 6356752.3142 m

ITRFxx GRS80 6378137.0 m 6356752.3141 m

Radio Ecuatorial (a) Radio Polar (b) Radio Medio Terrestre

6378 Km 6357 Km 6371 Km

(a-b) = 21 Km

Conceptos Básicos

Sistema de Referencia.-

Consiste de una serie de prescripciones y convenciones junto con un modelo requerido para definir en cualquier momento un sistema de ejes coordenados.

Conceptos Básicos

Marco Coordenado de Referencia.-

Es la construcción física de cualquier sistema de referencia mediante el establecimiento de puntos sobre la superficie terrestre, directamente accesibles por ocupación u observación.

Conceptos Básicos

Coordenadas.-

Cualquier punto en la Tierra puede ser expresado o representado por magnitudes únicas como: Coordenadas Geodésicas (φ, λ, h), Coordenadas Cartesianas (X, Y, Z) o Coordenadas de Proyección (X-UTM, Y-UTM y H-NMM = N,E,O).

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Geodésicas

Coordenadas UTM

Conceptos Básicos

ProyeccionesCartográficas

Expresión matemática para producir todo o una parte de un cuerpo esférico como la Tierra sobre una superficie plana o una figura geométrica.

Proyecciones Cartográficas

Todo mapa está en un determinado sistema de proyección, que responde a la necesidad de representar en una forma sistemática la superficie terrestre, con sus detalles, sobre la superficie del mapa.

Proyecciones Cartográficas

Geométricamente podemos ver la deformación al proyectar la elipse en un plano.

En la imagen es claro que b > a.

Proyecciones Cartográficas

Intentando reducir la deformación (esto es, a b), hacemos tangente el plano al elipsoide:

Proyecciones Cartográficas

Otra opción es hacer secante elplano al elipsoide:

Proyecciones Cartográficas

Requisitos de las proyecciones

En términos generales, se requiere de una proyección que se satisfagan los siguientes requisitos:

a) Mantenimiento de la escala (equidistancia),b) Preservación de las áreas (equivalencia),c) Conservación de las formas (ortomorfismo)d) Exactitud en las direcciones.

Estas cualidades no pueden ser satisfechas simultáneamente, y así, toda proyección operativa es una solución de compromiso entre éstas. Su escogencia depende del propósito de uso de la proyección, según el tipo de mapa.

Proyecciones Cartográficas

CLASIFICACIÓN, POR TIPO DE SUPERFICIE

• Cónicas: Traslada la información de la esfera terrestre a un cono, tomando como punto focal uno de los polos.

• Cilíndricas: Usa un cilindro tangente o secante a la esfera terrestre, en su forma normal se coloca el cilindro de tal manera que el paralelo de contacto es el ecuador.

Paralelos Estándar

Meridiano Central

Transversa

Oblicua

Normal

Proyecciones Cartográficas

Proyección Cilíndrica.

Las proyecciones utilizadas en el INEGI son:

• Cónica Conforme de Lambert.• Universal Transversa de Mercator.• Transversa Modificada Ejidal.

Proyección Cónica

Proyecciones Cartográficas

Proyección Uniersal Transversa

de Mercator

Hacia finales de los cuarenta el servicio cartográfico de la armada de los Estados Unidos adopto el uso de la proyección Transversa de Mercator, con la variante de que se generaron franjas de 6 en longitud, 3 a cada lado del meridiano central.

Este sistema cartográfico recibió el poco modesto nombre de Proyección Universal Transversa de Mercator o UTM. El sistema UTM esta compuesto por sesenta zonas numeradas, usando los modelos matemáticos de la proyección Gauss Kr¨uger. En la actualidad, el 80% de las áreas continentales esta cubierta con cartografía basada en los modelos elipsoidales de la UTM.

UTM

La proyección UTM esta definida de la siguiente manera:

Esta basada en la proyección Gauss–Kr¨uger (proyecciónconforme)

El mundo esta cubierto por franjas de 6 en longitud, con unmeridiano central a cada 3.

Cada meridiano central tiene como Falso Este 500 000 metros.

En el meridiano central el factor de escala es constante e igual a0,9996

UTM

Sistema de representación de la superficie de la Tierra sobre un plano basado en una superficie cilíndrica que es secante y en una dirección perpendicular al eje de rotación terrestre. Divide a la tierra en 60 zonas de 6 grados de ancho cada una.

120 W 84 W

UTM

• Es una versión especializada de la Transversa Mercator.

• El globo está dividido en 60 fajas al Norte y al Sur de 6º de longitud cada una.

• Cada faja tiene su propio meridiano central

• Los límites de cada zona son 84º al N y 80º al S, ocurriendo la división entre N y S en el ecuador.

• El origen de cada zona es el meridiano central y el ecuador.

UTM

• Método de Proyección: cilindro transverso

• Líneas Estándar: dos líneas paralelas y a aproximadamente 180 km a ambos lados del meridiano central de la zona UTM.

UTM

• PROPIEDADES:– FORMA: Conforme. Mantienen las pequeñas

formas. Mínima distorsión de las formas grandes dentro de la zona.

– AREA: Mínima distorsión dentro de cada zona UTM.

– DIRECCION: Los ángulos locales son verdaderos

– DISTANCIA: La escala es constante a lo largo del meridiano central, pero a un factor de escala de 0,9996 se reduce la distorsión lateral dentro de cada zona.

UTM

Esta proyección fue definida hacia finales de los cuarenta por el servicio cartográfico de la armada de los Estados Unidos, la cual tiene las siguientes especificaciones:• Cada meridiano central tiene como Falso Este 500,000 metros.• En el meridiano central el factor de escala es constante e igual a 0.9996.• El origen de las ordenadas es el Ecuador con valor 0 metros para latitudes

norte y 10’000,000 metros la latitudes sur.

ZONA-14

3°

500,

000

200,

000

800,

000

102° W

6°

3°

96° W99° W

10’000,000 m

Incrementando hacia el Norte

0 m

Disminuyendo hacia el Sur

Ecuador

UTM

Representación de la Republica Mexicana.Ejemplo de tres vértices diferentes pero con valor en Norte y Este iguales.

ZONA11 ZONA12 ZONA13 ZONA14 ZONA15 ZONA16

117 W 111 W 105 W 99 W 93 W 87 W

UTM

Representación de la Republica Mexicana considerando que se encuentra en una zona determinada.

Este

Norte

Zona 16

Zona 11

UTM

• La República Mexicana se ubica desde la zona 11 hasta la 16.

• Por cuestiones de organización INEGI emplea fajas horizontales que abarcan de la letra “D” a la “I” para el mosaico nacional.

• Cada cuadrante mide 6° por 4°.

G13

6°

4°

UTM

La cartografía topográfica oficial 1: 50,000 y 1: 20 000 se edita en el sistema de proyección cartográfica UTM (Universal Transversa Mercator), siendo una proyección conforme, es decir que mantiene los ángulos y la semejanza de figuras superficiales comprendidas dentro de elementos infinitesimales de la superficie terrestre; esta propiedad hace de la proyección UTM una de las más convenientes para la resolución sobre el plano de los problemas topográficos.

UTM

Uno de los fines de las transformaciones (conversiones) cartográficas es simplificar los cálculos, afectando a las figuras del elipsoide de las oportunas correcciones para poder sustituirlas por sus transformadas en el plano, y de esta forma poder resolver los problemas por trigonometría plana rectilínea.

UTM

X=756730.702Y=2518012.178

Lalt. =22°45´00”Long. =102° 30´00”

ZONA-14

3°

500,

000

200,

000

800,

000

102° W

6°

3°

96° W99° W

10’000,000 m

Incrementando hacia el Norte

0 m

Disminuyendo hacia el Sur

Ecuador

Villa Gonzalez

Pánfilo Natera

Noria de Ángeles

Ojocaliente

Loreto

Villa Garcia

Luis Moya

Geografícas a UTM

Dos son los problemas prácticos que normalmente se le presentan al usuario de la cartografía, para trabajos topográficos, que son la determinación de direcciones y distancias. La dirección de la recta determinada por dos puntos A y B de la proyección (fig. 1) se define por el ángulo que esta recta forma con la parte positiva del eje de las Y. Este ángulo se llama orientación y no se debe confundir con el acimut geográfico, que como sabemos, es el ángulo formado por dirección AB con la meridiana geográfica.

Esta orientación puede medirse directamente en el plano, con un transportador, si en el plano está dibujada la cuadricula; pero, si se desea mayor precisión debe calcularse analíticamente. Para ello de la figura 1, tenemos:

tg OAB = XB - XA YB - YA

UTM

La distancia que separa ambos puntos en la proyección se puede calcular por cualquiera de las fórmulas conocidas:

DAB = √(XB - XA)2 + (YB -YA)2

DAB = XB - XA sen OAB

DAB = YB - YA cos OAB

UTM

Las fórmulas (for.6) nos dan el valor de la distancia entre los puntos A y B en la proyección, pero, en alguna ocasión se nos puede presentar la necesidad de conocer la distancia que realmente existe entre ellos en el elipsoide, que defiere de aquella debido al módulo de anamorfosis lineal K, conocido como factor de escala de la proyección UTM, y además, por la corrección de altitud, conocido como el factor de altitud para trabajos topográficos. El valor de K viene dado por la expresión:

K = Δ l ´ = Proyección Δ l terreno

UTM

Por lo tanto la distancia entre los puntos en el terreno será:

Δ l = Δ l ´ K

El valor de K puede obtenerse en las Tablas de la proyección o bien, puede calcularse con suficiente aproximación para cualquier punto, por la expresión:

K = 0.9996 (1+ 0.012371 * q2 )

Siendo:

q = (Xm – 500,000) * 10-6

En la que, Xm, es la abscisa del punto medio de la distancia expresado en metros.

UTM

Ejemplo: Calcular la distancia existente entre los puntos A y B sobre el elipsoide, sabiendo que las coordenadas de dichos puntos son:

A: X = 779039.823, Y = 8073843.717 B: X = 778966.910, Y = 8073836.735

La distancia en la proyección UTM es, según la primera fórmula de las XB - XA = -72.913 YB - YA = -6.982 D = √ 72.9132 + 6.9822 = √ 5365.054= 73.246 m El valor de K lo obtenemos por la expresión para ello calculamos los valores de: Xm = 779039.823+ 778966.910 = 779003.367 2

UTM

q = (779003.367 – 500 000) * 10-6 = 0.279003367

Y por lo tanto la distancia en el elipsoide será

De = 73.246 = 73.205 metros 1.000562609

UTM

K = 0.9996 * (1+0.012371*q2) = 0.9996 * 1.00096299 = 1.000562609

La corrección por altitud la podemos obtener del estudio de la figura, de la que se deduce:

Dt = R + H De R

Y de aquí:

Dt = De * R + H R

En la que H es la altitud media de los puntos A y B, y R el radio de la Tierra, ambos valores expresados en metros, tomándose para R el valor de 6 376 000 metros, radio promedio

UTM

Esta corrección es pequeña en general, pero no debe despreciarse ya que para altitudes de 700 metros, alcanza valores de cierta consideración, especialmente dignos de tenerse en cuenta cuando se realizan medidas con aparatos de medición electrónica de distancias, capaces de medir distancias de kilómetros con muy pocos centímetros de error.

EJEMPLO: Obtener la distancia que separa en el terreno a los puntos A y B del ejemplo anterior; sabiendo que altitud media es de 2696.180 metros. De la fórmula se tiene:

Dt = 73.205 6 376 000 + 2696.180 = 73.236 mts 6376000

UTM

El calculo inicia con las formulas que se indican a continuación.Para determinar la zona UTM correspondiente:

Y el meridiano central

La diferencia de longitudes se obtiene a partir de:

Proyección UTM

Para la delta Este:

Proyección UTM

Y

Para la delta Norte:

Proyección UTM

Y

Para el calculo de la convergencia de cuadricula:

Proyección UTM

Proyección UTM

y para el factor de escala:

Proyección UTM

Finalmente el factor de escala y las coordenadas se obtienen con:

Proyección UTM

Donde:

La distancia meridional se obtiene a partir de:

Proyección UTM

Proyección UTM

Para realizar la transformación de coordenadas se realizan lossiguientes pasos:

1. Se calcula el valor del meridiano central con la expresión (11).

2. Calculo de la diferencia de longitudes, mediante la expresión (13).

3. Calculo del radio de curvatura del primer vertical (N), con la expresión (15)

4. Calculo de las deltas Norte y Este con las formulas (16) y (14).

5. Obtener el valor de la distancia meridional mediante la expresión (23)

6. Calcular las coordenadas en la proyección UTM, mediante lasexpresiones (21)

Proyección UTM

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Partimos en primer lugar de las coordenadas geográficas-geodésicas del vértice con el que haremos el ejemplo, que como he dicho antes es el vértice de Llatías. Los datos de este vértice están en principio en geodésicas sobre el elipsoide de Hayford (también llamado Internacional de 1909 o Internacional de 1924). Dichas coordenadas son las siguientes:

También vamos a necesitar los datos básicos de la geometría del elipsoide de Hayford. Cuando digo datos básicos me refiero al semieje mayor (a) y al semieje menor (b). A partir de estos datos, aprenderemos a deducir otros parámetros de la geometría del elipsoide que nos harán falta en el proceso de conversión de coordenadas. Así, los datos referentes a los semiejes del elipsoide Hayford son:

Calculamos la excentricidad, la segunda excentricidad, el radio polar de curvatura y el aplanamiento:

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Aprovechamos para calcular también el cuadrado de la segunda excentricidad, pues nos hará falta en muchos pasos posteriores:

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Seguimos con el radio polar de curvatura y el aplanamiento:

Lo primero que hacemos es convertir los grados sexagesimales (grados, minutos y segundos) a grados sexagesimales expresados en notación decimal (lo que se suele denominar normalmente "grados decimales"). Para ello operamos de la siguiente forma:

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Una vez que tenemos la longitud y la latitud en grados decimales, procedemos a su paso a radianes, pues la mayor parte de los pasos posteriores se realizarán con entrada de datos en radianes. Operamos para ello de la forma:

El siguiente paso es calcular el signo de la longitud. Para ello el proceso lógico es muy sencillo:

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Una vez tenemos preparados los datos de longitud y latitud, podemos calcular el huso o zona UTM (UTM Zone) donde caen las coordenadas a convertir, con operaciones muy sencillas:

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Con el huso ya conocido, el siguiente paso es obtener el meridiano central de dicho huso. El meridiano central es la línea de tangencia del cilindro transverso.Pero antes de seguir con los cálculos e introducir más conceptos, vamos a repasar algunos de los elementos principales de la proyección UTM. Así, conviene recordar que en la proyección UTM el cilindro transverso que se usa como superficie desarrollable, se va girando virtualmente para definir los diferentes husos (60) que rodean la tierra.Se empiezan a contar los husos por el antimeridiano de Greenwich y por eso la parte central de España cae en el huso 30, por estar en el lado opuesto del inicio de la numeración de husos, que queda al otro lado de la tierra.El meridiano central del huso es muy importante porque es el origen de las coordenadas X. Como el meridiano central dejaría la parte del huso situada a su izquierda con coordenadas X negativas, para evitar eso, se suma a todas las coordenadas X la cantidad de 500.000. Esto hace que no existan valores negativos para las coordenadas X, puesto que se ha realizado un retranqueo del eje X de 500 km.Y algo semejante se hace para los valores de Y, cuyo origen es el ecuador. Como el ecuador está normalmente más lejos que el meridiano central del huso, las coordenadas Y suelen tener un guarismo más (en el caso de España, las Y son mayores que 4 millones). Si el ecuador es el origen de las Y, toda la parte situada al sur del mismo tendría coordenadas negativas. Para evitar eso, se suma el valor 10.000.000 a los valores de Y, pero sólo en el caso de que se trate de coordenadas pertenecientes al hemisferio sur; si las coordenadas pertenecen al hemisferio norte, no se tocan los valores Y.Volviendo con el meridiano central del huso, éste también tiene la particularidad de que es automecoico. En teoría, para cualquier latitud que caiga dentro del rango de operación de la proyección UTM (intervalo entre los 84° N y los 80° S), el punto de

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Expuestos estos conceptos, para saber mínimamente lo que estamos calculando, vamos a retomar los cálculos donde los habíamos dejado. Habíamos dicho que el siguiente paso es obtener el meridiano central del huso en el que caen las coordenadas geodésicas sobre las que operamos. La operación es muy sencilla:

Ahora calculamos la distancia angular que existe entre la longitud del punto con el que operamos y el meridiano central del huso (véase la figura anterior). Es muy importante señalar que ambos datos tienen que ser introducidos en radianes. La longitud ya la habíamos traducido a radianes antes, pero no así el valor del meridiano central que acabamos de calcular. Para convertirlo a radianes multiplicamos por Pi y dividimos por 180:

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

A continuación debemos calcular una serie de parámetros que van encadenados unos a otros y que son el núcleo de las ecuaciones de Coticchia-Surace. Son muchas operaciones pero vereis que el proceso es muy rutinario y fácilmente programable:

CONVERSIÓN DE GEOGRÁFICAS A UTM (PROBLEMA DIRECTO).

Cálculo Final de Coordenadas:

Una vez disponemos de todos los parámetros anteriores calculados, procedemos a la solución de las coordenadas UTM finales, de la forma:

Para el caso de la solución de Y es muy importante recordar que si la latitud de las coordenadas geodésicas con las que operamos pertenece al hemisferio sur deberemos sumar el valor 10.000.000  al resultado obtenido. Como en el caso del ejemplo estamos operando con latitudes al norte del Ecuador, no realizamos tal operación:

Practica

Lista de puntos

ID Norte(Metro)

Este(Metro)

Elevación(Metro)

Código de característica

0001 2518640.782 748691.287 2457.753  

INEG 2419383.050 780685.140 1901.606  

IZAC 2520938.443 745099.725 2442.284  

Lista de puntos Geograficas

ID Norte(Metro)

Este(Metro)

Altura(Metro)

Código de característica

0001 N22°45'24.76615" O102°34'41.27412" 2443.247  

INEG N21°51'22.15280" O102°17'03.13231" 1887.823  

IZAC N22°46'41.31955" O102°36'45.80515" 2427.673  

Conociendo México

01 800 111 46 34www.inegi.org.mx

atencion.usuarios@inegi.org.mx

@inegi_informa INEGI Informa