Cartula Cap. I - ing.unrc.edu.ar · ∏ La productoria de Un Ν ν Xi Ξ

Universidad Nacional de Río Cuarto

Facultad de Ingeniería

Área de Matemática

____________ I N G R E S O 2 0 1 0 ____________

Matemática

_______________________________________________________________

Docentes ejecutores:

Jorge Agustín Adaro: [email protected]

Adrián Barone: [email protected]

Alejandra Méndez: [email protected]

Jorge Morsetto: [email protected]

Gabriel Paisio: [email protected]

David Palumbo: [email protected]

Fabián Romero: [email protected]

María Nidia Ziletti: [email protected]

Javier Zizzias: [email protected]

Algunos signos y símbolos utilizados en matemática

= Igual a

≡ Idéntico a, se define como

> Mayor que

< Menor que

≥ Mayor o igual que

∈ Pertenece

⊂ Está incluído

∀ Para todo

∧ y

// Paralelo

⇒ Entonces

∃ Existe

∪ Unión

/ Tal que

∑ La sumatoria de

∅ Conjunto Vacío

ALFABETO GRIEGO

Alfa Α α

Beta Β β

Gamma Γ γ

Delta Δ δ

Epsilon Ε ε

Zeta Ζ ζ

Eta Η η

Theta Θ θ

Iota Ι ι

Kappa Κ κ

Lambda Λ λ

Mu Μ μ

≠ Diferente

≅ Aproximadamente igual

>> Mucho mayor que

<< Mucho menor que

≤ Menor o igual

∉ No pertenece

⊄ No está incluido

∃! Existe un único

∨ ó

⊥ Perpendicular

⇔ Sí y solo sí

∃ No existe

∩ Intersección

∴ Por lo tanto

∏ La productoria de

Un Ν ν

Xi Ξ ξ

Omicron Ο ο

Pi Π π

Rho Ρ ρ

Sigma Σ σ

Tau Τ τ

Ipsilon Υ υ

Fi Φ φ

Ji Χ χ

Psi Ψ ψ

Omega Ω ω

ÍNDICE

Presentación ---------------------------------------------------------------------- 5

01- Operaciones con Números Reales ----------------------------------------------- 7

02- Funciones -------------------------------------------------------------------------- 41

03- Funciones Lineales ---------------------------------------------------------------- 61

04- Funciones Cuadráticas ----------------------------------------------------------- 81

05- Funciones Exponenciales y Logarítmicas --------------------------------------- 97

06- Funciones Trigonométricas ------------------------------------------------------ 113

Presentación

Nos es muy grato comenzar con ustedes este CURSO INTRODUCTORIO DE MATEMÁTICA a través

del cual intentamos rescatar sus experiencias, conocimientos y hábitos de estudio en relación a la

matemática para vincularlos con los nuevos temas y modos de tratamiento que hemos pensado,

podrían favorecer el aprendizaje.

También deseamos que esta sea una oportunidad para que comiencen a familiarizarse con todo lo que

supone la vida universitaria: establecer relaciones con sus nuevos compañeros y los docentes, conocer

el lugar donde pasarán gran parte de su tiempo,...

Probablemente ustedes se pregunten cual es el aporte de la matemática a la ingeniería para que se

halle incorporada al plan de estudios de la carrera. Intentando responder a esto hay quienes dicen que

"ningún problema de ingeniería se puede resolver sin los recursos de la matemática" aunque puede

ser "discutible la extensión y profundidad de la cultura matemática del ingeniero".

También se afirma que "la matemática es uno de los más poderosos medios de que dispone el hombre

para transformar la naturaleza en su beneficio (nosotros preferiríamos hablar de una transformación

respetuosa del equilibrio de la naturaleza); además de economía de pensamiento es un instrumento

de pensamiento constructivo".

"El hombre común también necesita de un mínimo de conocimientos matemáticos para interpretar

muchas cosas que lee en el diario. Por ejemplo, para entender al ministro de economía cuando

menciona el sueldo medio, diferenciándolo del sueldo ganado por más cantidad de personas, o para

interpretar el gráfico que muestra la variación del índice del costo de la vida en los últimos meses o la

descripción de cualquier otro tipo de fenómeno".

Siendo la matemática - por lo que hemos comentado - una disciplina tan importante para la vida

cotidiana, para la carrera y para otras disciplinas, queremos que su aprendizaje sea significativo, de

ahí que no abundaremos en detalles innecesarios que sólo producen cansancio y desorientación.

Deteniéndonos solamente en los conceptos principales es posible llegar bastante lejos en poco tiempo.

También formarán parte del desarrollo conceptual de los temas del curso, algunas lecturas que den

cuenta del aporte y de la importancia de la matemática en diversos ámbitos, temas y problemas tanto

de la ciencia como de la sociedad.

Presentación Ingreso – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010 (5)

(6) Presentación Ingreso – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010

Asimismo, debido a que pensamos que el aprendizaje de toda disciplina debe tener sentido y valor

para el estudiante, hemos previsto la reflexión y discusión acerca de lo que nos pasa con la enseñanza

y aprendizaje de la matemática y las probables dificultades con las que nos vayamos encontrando.

Esperamos que el tiempo compartido sea de valiosos y agradables aprendizajes…

Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010 ( 7 )

Operaciones

con Números

Reales

01

• Los números reales.

• Operaciones con

números reales.

• Potenciación de

Números Reales.

• Radicación de Números

Reales.

• Potenciación de

exponente racional.

• Racionalización de

denominadores.

• Relaciones de

Igualdad.

• Expresiones

Algebraicas

• Polinomios.

• Expresiones Racionales

Polinómicas.

• Actividades.

Objetivos:

Pretendemos que a medida que avancemos con este tema seamos

capaces de reconocer los números naturales, enteros, racionales e

irracionales.

Que aprendamos a operar con expresiones algebraicas, aplicando las

distintas propiedades que poseen.

Modalidad:

Esta unidad es de revisión elemental y deberá desarrollarla cada alumno

en forma personal y según las necesidades de reafirmación de conceptos

que se presenten durante la lectura de los temas que se desarrollan en

este capítulo.

( 8 ) Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010

LOS NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

La noción de número es muy antigua, los pueblos primitivos usaban piedras para contar sus rebaños...

En la actualidad de qué nos valemos para contar? ...

Los números que usamos para contar son los llamados NÚMEROS NATURALES, y designaremos al

conjunto de estos números como N.

Consideraremos al cero número natural y distinguiremos con N-{0} al conjunto que no contiene el

cero.

En este conjunto N, podemos sumar y multiplicar sin salirnos de él, (en este caso se dice que la suma

y la multiplicación son cerradas), la resta no siempre es posible ya que si queremos resolver a-b

donde b es mayor que a, necesitamos otros números... De aquí surgen los NÚMEROS NEGATIVOS,

que junto a los naturales forman el conjunto de los NÚMEROS ENTEROS, que designaremos Z.. En

este conjunto, la suma, la resta y la multiplicación son cerradas.

Le proponemos a continuación que piensen si siempre es posible efectuar la división en Z.

Los ayudamos con este ejemplo:

4:3 = ?

Debemos pensar en un número entero tal que al multiplicarlo por 3 de por resultado 4. ¿Qué número

entero cumple con esta condición?

Para poder resolver esta situación vamos a introducir otro conjunto numérico: los NÚMEROS

RACIONALES. Los designaremos por la letra Q.

Un número racional es el cociente de dos números enteros m y n siendo n ≠ 0 (recordamos que la

división por cero no está definida). En este conjunto, la suma, la resta, la multiplicación y la

división son cerradas.

Veamos algunos ejemplos:

57

es racional porque 7 y 5 son enteros

0 es racional porque se puede expresar como 10

y ambos son enteros

0,5555....... es la expresión decimal del número racional 95

Todo número racional puede representarse como una expresión decimal periódica o limitada.

Por ejemplo:

3337

= 1,121212........= periódica pura ∩

12,1


9032

= 0,355555........= 53,0)

periódica mixta

209

= 0,45 decimal limitada

A continuación estableceremos cuando dos números racionales son iguales:

Sean nm

y qp

dos números racionales, qp

nm

= si y solo si m.q = n.p

¿Pueden representar todos los números que conocen mediante una expresión decimal limitada o

periódica? Pidan a su calculadora el número π.

El resultado que obtuvieron es sólo una aproximación. Hasta el año 1983 dos japoneses habían

calculado 16.777.216 cifras decimales del número π.

Todo número cuya expresión decimal no es limitada o periódica constituye un NÚMERO

IRRACIONAL.

Otros ejemplos de números irracionales son:

5433 2;2;3;2

...718281,2e;5;3;2 =

Al conjunto de los números irracionales los designaremos con la letra I. La unión de los

conjuntos I y Q constituye el conjunto de los reales ℜ .

Entonces, la relación de dependencia de estos conjuntos es:

ℜ=∪⊂⊂ IQ;QZN

Estas relaciones nos muestran la importancia de conocer las operaciones y sus propiedades en ℜ pues

con ello conocemos las operaciones y propiedades en N , Z y Q.

Es conveniente que ahora recordemos las propiedades que gozan algunas operaciones. La aplicación

correcta de las mismas ayuda a un manejo fluido de las operaciones con números reales. Además

trataremos de introducirnos en el “lenguaje simbólico” de la matemática.


OPERACIONES CON NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

La suma cumple con las siguientes propiedades:

• Ley de cierre:

Para cada par de números reales a y b existe un único número real llamado suma denotado por a+b.

∀ ∧ ∀ ∈ ℜ ∃ ∈ ℜ a b , c / a + b = c!

• Asociativa:

En una adición de tres sumandos es igual sumar los dos primeros y a esto el tercero, que sumar al

primero la suma del segundo y del tercero.

∀ ∈ ℜ a, b, c , (a + b) + c = a + (b + c)

• Conmutativa:

El orden de los sumandos no altera la suma.

∀ ∈ a, b ,ℜ a + b = b + a

• Existencia del elemento neutro:

Existe un número real llamado cero tal que sumado a cualquier número “a” da como resultado el

mismo número “a”

∀ ∈ ℜ ∃ ∈ ℜ a , 0 / a + 0 = 0 + a = a

• Existencia del inverso:

Para cualquier número real “a” existe un número real “-a” llamado inverso aditivo u opuesto, tal

que sumado con “a” da como resultado el elemento neutro.

∀ ∈ℜ ∃ ∈ℜa , - a / a + (-a) = (-a) + a = 0

• Distributiva de la multiplicación con respecto a la suma:

∀ ∈ a, b, c ℜ , ( a + b). c = a.c + b.c

(Realizar las actividades 1 a 5)


POTENCIACIÓN DE NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Por definición:

• an = si n ≥43421

vecesn

a...aa ⋅⋅⋅ ∧ ∈1 n N

• a0 = 1 si a ≠ 0

• a-n = (a-1)n =

n

a1⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ∀ ∈n N , a ≠ 0

Propiedades de la Potenciación:

• Distributiva respecto del producto: (a b)n = an bn

• Distributiva respecto del cociente: n

nn

b

aba

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

• Producto de potencias de igual base: am an = am+n

• Cociente de potencias de igual base: nmn

m

aaa −=

• Potencia de potencias: (am)n = am n

• La potenciación no es distributiva respecto de la suma:

(a+b)n ≠ an + bn

Verifiquemos esta afirmación con un contraejemplo:

( )( )

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

=+

+=+

=+

=+

3435

92535

6435

835

22

22

2

22

( ) 222 3535 +≠+


RADICACIÓN DE NÚMEROS REALES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Recordemos ahora la definición de radicación y sus propiedades:

Dado un número natural "n" mayor que cero, y "a" un número real, se llama raíz n-ésima de

"a" al número b, tal que la potencia n-ésima de "b" es igual a "a".

{ }a b b a , n N 0n n= ⇔ = ∈ −

n = índice a = radicando b = raíz

Ejemplo:

83 = 2 ⇔ 23 = 8

− ⇔1 643 / = -1/ 4 (-1/ 4) 3 = -(1/64)

¿La radicación es siempre posible en ℜ?

Para dar respuesta a esta pregunta analicemos el siguiente ejemplo:

Para calcular −9 debemos pensar que número elevado al cuadrado es -9.

¿Existe algún número real que verifique esta condición?... Ninguno, ya que el cuadrado de cualquier

número real distinto de cero es siempre positivo.

En general decimos que toda raíz de radicando negativo e índice par no tiene solución en el conjunto

de los reales.

En consecuencia: la radicación no es cerrada en ℜ.

¿Cuándo es posible su cálculo en ℜ? ¿Cuántas respuestas encontramos?

Volvemos a plantear algunos ejemplos para dar respuesta a este interrogante:

643 = 4 ⇔ 43 = 64

−83 = -2 ⇔ (-2)3 = -8

Cuando calculamos 164 encontraríamos dos respuestas: 2 y -2 ya que

24= 16 y (-2)4 = 16

Pero por definición la radicación admite un único resultado, quedándonos entonces con el mayor

de los posibles resultados (2 en el ejemplo)


Entonces podemos resumir diciendo:

1) Si el índice es impar, la raíz real es única y del mismo signo que el radicando.

2) Si el índice es par y el radicando positivo, la raíz real es también única y por definición: positiva.

Recordaremos las propiedades fundamentales de la radicación:

Propiedades de la Radicación (Suponiendo que a y bn n existan)

• Distributiva respecto del producto: a.bn = a bn n.

• Distributiva respecto del cociente: a:b = a : bn n n

• Raíz de raíz: a amn nm=

La radicación NO es distributiva respecto de las operaciones de adición o sustracción.


• a + b a + bn n≠ n ; • a - b a - bn n n≠

Sean a ∈ ℜ ; n, m y p ∈ N-{0} , consideremos a mn y a mpnp . ¿Es posible efectuar la

simplificación de radicales?

Analicemos los siguientes ejemplos:

Ejemplo 1: 2644 66 3 ==

2444 231

6

31

36 vemos que en ambos casos los resultados coinciden. 3 ===

Ejemplo 2: ( ) 2322 55 5 −=−=−

( ) ( ) 222 51

5

51

55 5 −=−=− vemos que los resultados coinciden.

Ejemplo 3: ( ) 2648 66 2 ==−

intentando aplicar el mismo procedimiento que en los ejemplos anteriores tendríamos:

( ) ( ) ( ) 2888 321

6

21

26 2 −=−=−=−

aquí los resultados no coinciden.

Entonces:

NO SIEMPRE ES POSIBLE SIMPLIFICAR UN RADICAL DE RADICANDO NEGATIVO.

Veamos que sucede cuando el índice y el exponente del radicando coinciden.

a) "n" es impar: 9 729 933 3= =

( )− = − = −2 3255 5 2

ENTONCES: La raíz es igual a la base de la potencia del radicando.

b) "n" es par: 2642 66 6 ==

51

251

51

2

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

RESUMIMOS DICIENDO:

Si "n" es impar: a ann =

Si "n" es par: a ann =

Creemos conveniente recordar que la notación a , se lee VALOR ABSOLUTO de a ó MODULO de a y

se define:

aa si aa si a

=≥

− <⎧⎨⎩

00

Por ejemplo:

− =5 5

− =12

12



POTENCIACIÓN DE EXPONENTE RACIONAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

En este párrafo recordaremos la potenciación de exponente racional

Sea n ∈ Z, d ∈ N-{0}, a ∈ ℜ+ y nd

fracción irreductible. Entonces:

a and nd= si y solo si and existe.

Sea ahora a ∈ ℜ< 0 .¿Qué condición debe verificar "d" para que a d1

exista en ℜ ?

Nos ayudaremos con algunos ejemplos para contestar a este interrogante:

( )− = − =−8 813 3 2

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= −

132

132

12

15

5

( )− = −412 4 no tiene solución en ℜ

( )− = −64 6416 6 no tiene solución en ℜ

Entonces:

si a ∈ R-, a d1

existe si y solo si "d" es impar.

Resumiendo:

Sea n ∈ Z, d ∈ N - {0} y nd

fracción irreducible

si a > 0, a and nd=

si a < 0, a and nd= si d es impar

si a = 0, and = 0



RACIONALIZACIÓN DE DENOMINADORES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Habrá encontrado en varias oportunidades con expresiones como la siguiente ab

, donde b es un

irracional de la forma qn , q∈ Q . A los efectos de determinados cálculos, es conveniente expresar a

dicho cociente como otro equivalente cd

, donde d es un número racional.

El procedimiento que se emplea en esta transformación se conoce con el nombre de "racionalización

de denominadores".

A continuación recordaremos, mediante ejemplos, el procedimiento de tales transformaciones.

Ejemplo:

a) 13

1 33 3

33

= =..

b) 82

8 22 2

8 22

4 235

25

35 25

25

55

25= = =.

.. .

c) ( )

( )( )( ) ( )3

2 53 2 5

2 5 2 5

3 2 51

3 2 5+

=−

+ −=

−−

= − −

d) ( )

( )( )( )a

b - c

a b + c

b - c b + c

a b + c

b c2= =−


RELACIONES DE IGUALDAD ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Recordemos que además en el conjunto de los reales se define la relación de igualdad y que se

verifican las siguientes propiedades.

Cualesquiera sean los números reales a, b y c, la igualdad de números reales es:

1) REFLEXIVA: ∀ a ∈ ℜ: a = a ( Todo número real “a” es igual a sí mismo)

2) SIMÉTRICA: ∀ a, b ∈ ℜ: si a = b entonces b = a (Para todo par de números reales “a” y “b” si

“a” es igual a “b”, entonces “b” es igual a “a”)

3) TRANSITIVA: ∀ a, b, c ∈ ℜ: si a = b y b = c entonces a = c (Si un número real “a” es igual a

un número real “b” y “b” es igual al número real “c”, entonces a = c).

4) UNIFORME:

Para la adición: a = b entonces a+c=b+c (Si ambos miembros de una

igualdad se le suma un mismo número se obtiene otra igualdad).

∀ ∈ ℜ a, b, c , si

Para la Multiplicación: ∀ ∈ ℜ a, b, c , si a = b entonces a . c = b . c (Si multiplicamos ambos

miembros de una igualdad por un mismo número se obtiene otra igualdad).

Sobre la base de estas propiedades se demuestran las leyes cancelativas de la adición y la

multiplicación.

# Para la adición ∀ a, b, c ∈ ℜ : a + c = b + c entonces a = b.

# Para la multiplicación ∀ a, b, c ∈ ℜ y b ≠ 0 si a.b = c.b entonces a = c.

Y también la ley de anulación del producto: a.b = 0, si a=0 ó b=0 ó a=b=0

Pasaremos ahora a considerar la diferencia entre números reales.

∀ a y b ∈ ℜ ; a - b = a + (-b), a es el minuendo y b es el sustraendo.

Por ejemplo: 5 14

5 14

− = + −( )

Insistiremos un poco más en la aplicación de las leyes cancelativas y la anulación del producto.

Si por ejemplo consideramos la ecuación:

5x + 4 + 2x = 2 + 4 + 5x

¿Puede simplificar los sumandos 4? ¿Y los 5x que también se repiten en ambos miembros? ¿Es

correcta ésta última cancelación?

Sí, es posible cancelar porque en la suma se verifica la ley cancelativa sin ninguna restricción.

Otro ejemplo: Sea la igualdad 2x + 5 = 3x + 5 , efectuamos la cancelación 2x = 3x , entonces:

2x-3x = 0 ¿Qué propiedad se aplicó?

De aquí obtenemos que x = 0

Pero si en 2x = 3x se hubiera aplicado la ley cancelativa sin tener en cuenta que x = 0 , se obtendría

2 = 3, que no es una identidad. ( 18 ) Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010

¿Dónde está el error? No se ha tenido en cuenta la restricción a ésta ley:

"NO SE PUEDEN CANCELAR LOS FACTORES QUE SON IGUALES A CERO"

Entonces cuando se emplee ésta ley, es decir la propiedad cancelativa de la multiplicación con

un factor literal, se debe aclarar que la simplificación no es válida para todo valor que anule

dicho factor.

Si no se tiene en cuenta lo expresado se corre el riesgo de "perder soluciones" como se comprobó en

el ejemplo.

En cuanto a la ley de anulación del producto, ¿Cómo se empleará?

a . b = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0 , esto quiere decir que se pueden dar alguna de éstas tres situaciones:

a = 0 ∧ b ≠ 0

a ≠ 0 ∧ b = 0 (∨ se lee "ó"; ∧ se lee "y")

a = 0 ∧ b = 0

Esta propiedad facilita la resolución de ecuaciones del tipo:

( x + 2 ) . ( x - 15

) = 0

Como el producto es cero uno de los factores es cero, de ahí podemos obtener que una raíz es igual a

-2 y la otra es 15

.

Verifiquen, luego, si éstos valores satisfacen la igualdad.


EXPRESIONES ALGEBRAICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Una expresión algebraica es aquella donde figuran números y letras relacionadas entre si

por operaciones matemáticas.

Ejemplo:

v t ; a it

100 ; 3 ax2 - b2 ;

47

2 2x aax−

Cada sumando de una expresión algebraica se denomina término.

Cada término de una expresión algebraica consta de tres partes: signo, parte numérica ó coeficiente

y parte literal .

Por ejemplo: -7 ab3 consta de un signo negativo (-), la parte numérica es 7 y la parte literal ab3

• Valor numérico de una expresión algebraica:

Es el valor que se obtiene sustituyendo cada letra de la parte literal por un valor numérico, efectuando

luego las operaciones para llegar al valor numérico de la expresión.

Esto permite considerar igualdad o equivalencia entre expresiones algebraicas.

Dos expresiones algebraicas son EQUIVALENTES si toman el mismo valor numérico para todos los

valores en que estén definidas.

3 ab2 - 6b2 + 12 c b2

y a - 2 + 4c

3 b2

Estas dos expresiones algebraicas son equivalentes. Para demostrar la igualdad de estas dos

expresiones se debe operar una de ellas hasta llegar a la otra.


POLINOMIOS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Seguramente en algún momento de su ciclo secundario ha pasado por el laboratorio de su escuela

para llevar a cabo algunas experiencias. Por ejemplo:

- Estudiar el alargamiento de un resorte al suspender un peso del mismo.

- Estudiar la temperatura de una masa de agua en función del tiempo en que es sometida al calor.

Una vez volcados los resultados en tablas y efectuando la representación gráfica habrá obtenido

puntos relativamente alineados con el origen. Por lo tanto en cualquiera de estos casos podemos

llegar a una ley aproximada para el intervalo considerado, que tendrá la forma:

a) y = mx + b

Otros de los estudios que habrá efectuado es el del movimiento rectilíneo uniforme y la traducción de

la relación posición tiempo (t) es:

b) st = v.t + so

o del movimiento uniforme variado donde la relación entre la posición tomada por el móvil y el

tiempo está traducida en la siguiente expresión:

c) st = vo t + ½ a t2

o también

d) st = so+ vo t + ½ a t2 cuando so ≠ 0

De todo lo dicho observamos que los segundos miembros de las igualdades a) y b) responden a la

forma:

a x a1 0+

y los de las igualdades c) y d) a la forma:

a a x a x0 1 22+ +

Surge entonces la necesidad de estudiar las expresiones de la forma:

P x a a x a x a x a x a xnn( ) ............= + + + + + +0 1 2

23

34

4

que llamaremos polinomios, donde los a a a a n0 1 2, , ,............ son elementos de por ejemplo el

conjunto de los números reales, llamados coeficientes, x es una indeterminada, y los exponentes de la

indeterminada x son todos enteros no negativos.

Al conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales lo simbolizamos ℜ(x).


Si an ≠0 diremos que el grado de P(x) es n ( gr P(x) = n).

Se llama polinomio nulo al polinomio:

0 0 0 0 02 3+ + + + +x x x xn............

Por definición el polinomio nulo no tiene grado

Según que el número de términos con coeficientes nulos sea 1, 2, 3, .....el polinomio se llama

monomio, binomio, trinomio, etc.


• Operaciones con monomios.

1- SUMA (RESTA)

Para sumar (restar) dos monomios éstos deben ser semejantes (igual parte literal).

"La suma (resta) de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es la suma (resta) de los

coeficientes y tiene la misma parte literal que los monomios dados"

Ejemplo:

-2 ab3 + 5 ab3 = ( -2 + 5 ) ab3 = 3 ab3

-2 ab3 - 5 ab3 = ( -2 - 5 ) ab3 = -7 ab3

2- PRODUCTO

"El producto de dos monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el producto de los coeficientes y

cuya parte literal es el producto de las partes literales".

(Se aplica producto de potencias de igual).

Ejemplo:

( -2 ab3c3).5 ac2 = ( -2 .5 )ab3c3ac2 = - 10 a2 b3c5

3- COCIENTE

"El cociente de dos monomios es una expresión algebraica que se obtiene aplicando las propiedades

de la división de números, en sus coeficientes, y del cociente de potencias de igual base, en sus partes

literales ".

Ejemplo: ( -8a2b4c) : ( 23

ab2 ) = -12ab2c


• Operaciones con polinomios.

1- SUMA

“Por la propiedad asociativa, se suman los monomios semejantes”

La suma de polinomios verifica la ley de cierre, es asociativa, conmutativa, posee elemento neutro( el

polinomio nulo, 0(x)), e inverso aditivo u opuesto.

2- PRODUCTO

“Por la propiedad distributiva y asociativa, se multiplican todos los monomios y

se asocian los semejantes”.

Es decir que esta operación se define de tal modo que satisfaga la propiedad de la multiplicación de

potencias de igual base para la indeterminada x, la conmutatividad de x con los números reales y la

propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la adición.

La multiplicación de polinomios es también una operación cerrada en ℜ(x) que asocia, conmuta y

tiene elemento neutro (E(x) =1). Sin embargo no posee inverso multiplicativo.

Como puede verse existe una estrecha analogía entre el conjunto ℜ(x) con la adición y

multiplicación y el conjunto Z con dichas operaciones.

3- DIVISIÓN DE POLINOMIOS.

Dados dos polinomios A(x) y B(x), con B(x) distinto del polinomio nulo, es posible determinar Q(x) y

R(x) tal que: A(x) = B(x) Q(x) + R(x), siendo gr R(x) < gr B(x) o bien R(x) es el polinomio nulo. El

polinomio Q se llama polinomio cociente y R(x) polinomio resto.

Recordemos a continuación el algoritmo de la división.

1) Se ordena el grado del polinomio según las potencias decrecientes.

2) Se dividen los monomios de mayor grado.

3) Se resta del dividendo el mayor multiplo del divisor contenido en él.

4) Se repiten las operaciones 2) y 3) hasta que el divisor sea de mayor grado que

el dividendo.

Ejemplo 2x3 - 3x - 5 3x2 + x

- 2x3 - 23

x2 23

x - 29

_______________

- 23

x2 - 3x - 5


23

x2 +29

x

−259

x - 5

Con frecuencia se nos presentan divisiones donde los divisores son monomios del tipo x + a , tal

vez recuerden que en éstos casos es práctico aplicar la regla deRufini.

Sean las siguientes expresiones:

(2x3 - 4x2 + 5) : ( x + 2)

Entonces:

a) 2 -4 0 5


b) -2 -4 16 -32

c) 2 -8 16 -27

El cociente es 2 x2 - 8 x + 16 y el resto -27.

Los pasos que se siguen son:

a) En la primera fila se escriben los valores numéricos de cada coeficiente (previamente

ordenado y completo)

b) En el ángulo izquierdo se escribe el opuesto del término de grado cero de la expresión del

divisor.

c) En la tercera fila se obtienen los coeficientes del cociente donde: el primero de ellos es el

primero del dividendo y los restantes se obtienen multiplicando el anterior por el número que se

escribe en el ángulo izquierdo y sumado a este producto (que se escribe en la segunda fila ) el

correspondiente de la primera.

d) El último número que se obtiene en la tercera fila es el resto de la división.

(Realizar actividades 16 y 17)


• Divisibilidad en ℜ(x).

Recordemos que en el conjunto Z, se dice que “a divide a b si y sólo si existe un k tal que k.a = b.

Por lo tanto el resto de la división entre b y a es cero.

También decimos que b es divisible por a.

Haciendo la correspondiente analogía con el conjunto ℜ(x) diremos que:

“A(x) divide a B(x) si y sólo si existe un polinomio K(x) ∈ ℜ(x) tal que K(x).A(x) = B(x)”. En otras

palabras si cuando efectuamos la división entre A(x) y B(x) el resto es nulo.

Hemos dicho que con frecuencia aparecen divisores del tipo x+a y que en estos casos se puede aplicar

la regla de Ruffini para hallar el cociente y el resto y por lo tanto investigar si un polinomio es divisible

por otro. Aquí veremos otros caminos para investigar la divisibilidad por x+a.

Para ello definiremos valor numérico de un polinomio : dado un polinomio P(x)∈ ℜ(x) llamamos

valor numérico del mismo para x igual a a ∈ℜ, al número que se obtiene reemplazando a x por a y

efectuando los cálculos.

Ahora podemos enunciar el Teorema del Resto: el resto de la división de un polinomio P(x) por otro

de la forma x+a es igual a P(-a).

• Factoreo de Polinomios.

Así como para descomponer a un número natural en factores primos utilizamos criterios de

divisibilidad, para descomponer a un polinomio en polinomios primos o irreductibles, también

utilizamos algunos criterios que mostraremos a continuación.

Antes de enunciarlos recordemos que en ℜ(x) un polinomio A(x ) tal que el grado de A(x) ≥ 1 es

primo o irreductible si no existen dos polinomios P(x) y Q(x) de grado ≥ 1 tales que: A(x) =

P(x).Q(x). Como consecuencia se puede decir que todo polinomio de grado uno es primo.

• Factor común

Recordaremos, mediante ejemplos, las posibilidades de sacar factor común en una expresión

algebraica:

Ejemplo 1:

2 x2 + 18 = 2( x2 + 9 )

Ejemplo 2:

x3 + x2 = x2 ( x + 1 )

Ejemplo 3:

215

x 83

x 169

x 23

x 15

x 4x 83

3 2 2− + = − +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Puede ocurrir que existan factores comunes en algunos términos de la expresión, entonces podemos

proceder como en el ejemplo:

3x3 - 6x2 + 5x - 10 = 3x2( x - 2) + 5(x - 2) = (como el binomio (x-2) es factor común,

concluimos así) = (x - 2)(3x2+5)

• Trinomio cuadrado perfecto

Sean a y b dos monomios cualesquiera:

( a + b ). ( a + b ) = ( a + b )2 = a2 + 2 a.b + b2

( a - b ). ( a - b ) = ( a - b )2 = a2 - 2 a.b + b2

El cuadrado de una suma (diferencia) es:

"Suma del cuadrado del primer monomio más (menos) el doble producto del primero por el

segundo más el cuadrado del segundo monomio"

Ejemplo:

(-3ab2+2c)2 = (-3ab2)2 + 2(-3ab2)(2 c) + (2 c)2 = 9a2b4 - 12ab2c + 4c2


• Diferencia de cuadrados

( a + b ). (a - b ) = a2 - b2

"El resultado es la diferencia del cuadrado del primer monomio con el cuadrado de segundo"

Ejemplo:

( - 3ab2+2c )( - 3ab2 - 2c ) = ( -3ab2)2-( 2c )2 = 9a2b4 - 4c2

• Cuatrinomio cubo perfecto

Recordemos que:

( x + a)3 = x3 + 3ax2 + 3a2x + a3

( x - a)3 = x3 - 3ax2 + 3a2x - a3

"El resultado es el cubo del primero más (menos) el triple del primero al cuadrado por el segundo más

el triple del segundo al cuadrado por el primero más (menos) el cubo del segundo"

• Binomios de la forma x an n±

Para descomponer polinomios de este tipo en factores primos necesitaremos del concepto de cero o

raíz de un polinomio:

“a es raíz de P(x) si y sólo si P(x) es divisible por x-a”.

Vamos ahora a descomponer el polinomio P(x) = x3 - 8:

2 es una raíz de x3 - 8, por lo tanto P(x) es divisible por x - 2

Si realizamos la división por Ruffini:

(x3 - 8) : (x - 2) = x2 + 2x + 4

1 0 0 -8

2 2 4 8

1 2 4 0

Entonces el polinomio original puede ser factorizado de la siguiente forma:

x3 - 8 = (x2 + 2x + 4) . (x - 2)

(Realizar actividades 18 a 21)


EXPRESIONES ALGEBRAICAS POLINÓMICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Al estudiar el conjunto Z , hemos visto que para todo número distinto de 1 y -1, ningún otro elemento

admitía inverso multiplicativo y fue necesario ampliar el conjunto Z al conjunto Q. En el conjunto

ℜ(x) estamos ante una situación semejante y por lo tanto construiremos el conjunto de las

expresiones racionales polinómicas.

Definición: Si A(x) y B(x) ∈ ℜ(x) y B(x) ≠ 0(x), entonces:

A xB x

( )( ) se llama expresión racional polinómica.

Dichas expresiones aparecen por ejemplo al relacionar:

a) Presión y volumen: p kv= con k una constante.

b) Intensidad de iluminación y distancia: I kd= 2

c) velocidad y tiempo: vet

=

• Operaciones con expresiones racionales polinómicas.

1- SIMPLIFICACIÓN

Para simplificar la siguiente expresión buscaremos el divisor común máximo (o máximo común

divisor) de las dos expresiones polinómicas.

Para calcular el d.c.m. entre dos expresiones, se puede proceder así:

Primero las dividimos entre ellas

x x xx x x

3 2

3 26 125 8 4

+ + ++ +

8+

x3 + 6 x2 + 12 x + 8 |x3 + 5 x2 + 8 x + 4

+ 1

- x3 - 5 x2 - 8 x - 4

x2 + 4 x + 4

Después dividimos el divisor con el resto de la división anterior hasta llegar a un resto igual a cero Operaciones con Números Reales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010 ( 29 )

x3 + 5 x2 + 8 x + 4 |x2 + 4 x + 4 → Este será el d.c.m.

- x3 - 4 x2 - 4 x x + 1 x2 + 4 x + 4

- x2 - 4 x - 4

0

Entonces el d.c.m. de x3 + 6 x2 + 12 x + 8 y x3 + 5 x2 + 8 x + 4 es x2 + 4 x + 4

Luego, como

( x3 + 6 x2 + 12 x + 8 ) : ( x2 + 4 x + 4 ) = x + 2

( x3 + 5 x2 + 8 x + 4 ) : ( x2 + 4 x + 4 ) = x + 1

Tendremos que:

x3 + 6 x2 + 12 x + 8 - ( x2 + 4 x + 4 ). ( x + 2 ) - x + 2

x3 + 5 x2 + 8 x + 4 ( x2 + 4 x + 4 ). ( x + 1 ) x + 1

La fracción obtenida es equivalente a la dada para todo valor de x que no anule el factor cancelado

porque ello equivaldría a dividir por cero .

En este caso para todo x ≠ -2 ya que x2 + 4 x + 4 se anula para dicho valor.

Este procedimiento permite resolver el problema de la simplificación, pero en la práctica

cuando aparecen polinomios más sencillos aplicaremos los casos de factoreo.

Por ejemplo:

( )( )

( )( )( )( )

( )( ) ( )2x 8x

x 4x 4

2x x 4

x 2

2x x 2 x 2x 2 x 2

2x x 2x 2

x / x 23

2

2

2

−− +

=−

−=

+ −− −

=+−

∀ ≠

2- ADICIÓN

Si AB

y CD

son expresiones racionales, se define la suma como:

AB

CD

A D B CB D

+ =+. ..

Así por ejemplo:


( )( ) ( )

( )( )x 1

2x 13x

x 2x 1 x 2 3x 2x 1

2x 1 x 27x 6x 22x 5x 2

2

2

++

++

=+ + + +

+ +=

+ ++ +

Conviene en algunos casos calcular el Mínimo Común Múltiplo de B y D.

3- MÚLTIPLO COMÚN MÍNIMO o MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO

El Mínimo Común Múltiplo (m.c.m) de dos números ó de dos expresiones algebraicas A y B se denota

m.c.m.(A,B) y es igual a:

m.c.m.( A, B ) = A B

d c m A B.

. . .( , )

Por ejemplo vamos a hallar el m.c.m.( A , B ), siendo:

A = x2 + 6x + 9 ; B = x2 - 9

Buscamos el d.c.m. (A,B)

x2+ 6x + 9 | x2 - 9

+ 1

-x2 + 9

6x + 18

Ahora dividimos el divisor por el resto x 2 + 0x - 9 |6x + 18

- x2 - 3x 16

12

x −

- 3x - 9

3x + 9

0

d.c.m. (A,B) = 6x + 18 ó 6(x + 3) entonces el m.c.m (A,B) será:

m.c.m.(A,B) = ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) (x 6x 9 x 9

6x 18x 3 x 3 x 3

6 x 316

x 3 x 32 2 2

2+ + −

+=

+ − ++

= + − )

prescindiendo del factor numérico, que siempre es posible sacar, nos queda:

m.c.m. (A,B) = (x +3)2 . (x - 3)

Nota: En virtud de la propiedad asociativa, para hallar el m.c.m.(A,B,C) hallamos m.c.m.(A,B) = M1 y

luego m.c.m.(M1,C) = M, o bien m.c.m.(B,C) = M2 y m.c.m.(M2,A) = M.

4- MULTIPLICACIÓN


En el conjunto de las expresiones racionales polinómicas se define como producto entre AB

y CD

a

la expresión:

AB

CD

A CB D

=..

Así por ejemplo:

2 1

35

210 5

6

2

2x

xx

xx x

x x−+ −

=−

+ −

5- DIVISIÓN

Así como para dividir ab

y cd

(con cd

≠ 0) multiplicamos a ab

por el inverso multiplicativo de cd

, en

el conjunto de las expresiones racionales polinómicas ab

: cd

= ab

. dc

(siendo cd

≠ 0)

Por ejemplo:

x

xx

xx

xx

xx x

x x+−

+=

+−

⋅+

=+

− + +1

73 1

7 3 4 2

2

2:1


Actividades

Ejercicio N° 1

Indicar cuáles de los siguientes números racionales son iguales:

27a3

;9a

;90

aab;a;0;

814

;1521

;5,7

;94

1;21

;47

;5,0;40,1;4,1;21

;57

−−

−−−

Ejercicio N° 2

a. Complete el siguiente cuadro:

Naturales

Enteros

................ ..................

Fraccionarios Reales

Irracionales

b. Tache los números que no correspondan a la clasificación:

Naturales: 0 ; -1 ; 41

; -0,8 ; 2 ; 2 ; 1,131133111.....

Enteros: -4 ; 25

; 0 ; π ; -0,2 ; 47

; 2,6 ; -1,5 .

Racionales: -4 ; 25

; 0 ; 2,23 ; 1, 8 ; 5− ; π ; 2 ; -1,5

Irracionales: 4 ; 31−

; 2,8 ; π ; 7,2 ; 7,212200148.... ; 22 ; 3 5− ; 22−

Ejercicio N° 3

La multiplicación tiene las mismas propiedades que las enumeradas para la suma. Traducir al lenguaje

coloquial las propiedades de la multiplicación.

Ejercicio N° 4

Proponga ejemplos mostrando que no se cumplen las propiedades asociativa y conmutativa en la

resta y en la división.



Ejercicio N° 5

Indique si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En este último caso justificar las

respuestas proponiendo un contra ejemplo.

a. a . 0 = 0

b. (-a) . (-b) = - (a.b)

c) a + ( -b + c) = a - b + c

d. a : ( b + c) = (a : b) + (a : c) , siendo b+c ≠ 0 ; b ≠ 0 y c ≠ 0

e. a - ( b + c) = a - b + c

f. ( b + c) : a = (b : a) + (c : a) con a ≠ 0

g. Si a = -2 y b = 0 entonces a : b = 0

h. el cociente entre un número y su opuesto es igual a -1.

i. a ∈ R , a : a-1 = 1

j. a ∈ R , ( a-1)-1 = a

k. a . ( -b) = a . b

l. a . ( b -c) = a . b - a . c

ll. la ecuación 2 x = 1 tiene solución en Z

m. - ( - a ) = a

Ejercicio N° 6

a. Dar contraejemplos mostrando que:

1) la potenciación no es conmutativa

2) la potenciación no es asociativa

b. Demostrar que:

1) ( a + b)2 = a2 + 2 ab + b2

2) ( a + b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

3) (- a - b)2 = ( a + b )2

Ejercicio N° 7

En los siguientes cálculos se han cometido errores al aplicar las propiedades. Se propone indicar

cuáles son y corregirlos:

1) ( 22 . 2-3 . 25)2 = ( 24)2 = 216

2) ( 52)4 : ( 5-3)2 = 58 : 5-6 = 114 = 1

3) ( 74 . ( 72)6 )/(79)2 = (7 4 712)/ 718 = 7-2 = (-7)2 = 49

4) (7. 2 - 14)0 + 50 = 2

Ejercicio N° 8

Aplicando las propiedades de la potenciación demostrar que:

1) (a + 2)2 - (a - 2)2 - 4(2a + 1) = - 4

2) (3 . 3n+1 + 3 n+2)3 : (3 n+2)3 = 8

3) (10 . 2n+1)3 : (2 n+1)3 = 1000

4) 22-n . (2 . 2n+1 + 2n+2) = 32

Ejercicio N° 9

Proponga contraejemplos mostrando que la radicación no es conmutativa y no es distributiva respecto

de la suma y la resta.

Ejercicio N° 10

Lea atentamente el siguiente planteo. En el se deslizó un error. Encuéntrelo:

( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )

27

225

106

225

106

45

8100216

54

8254278

151

2254278

23

23

2333

=

=−+=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−+−−=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−−+−−

−

−

Ejercicio N° 11

Calcular:

a. =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2

2

232

131

43

32

23

1

b.

( )=

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅−

22

2

232

:131

43

32

23

1


c. ( )

=−−

−−+⋅

31

21

1

23:51

322 23

d. ( ) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+−

−22

41

31

1:21

42

e. =−

++−−

++

−− 35

23

1

3328

6191

291

Ejercicio N° 12

Calcular:

a) 4 8 83− − =

b) 5 5 2 43 3. .− =

c) ( )1 5 20

2+ − =

d) ( )3. 3 2 a . 3 a 3− + + =

e) 2 2 323 5. − =

f) 3 5 243 814 6− + =

g) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− 444 811348

h) a a 2 a4 54+ =

Ejercicio N° 13

a) Calcular:

1) 16 2) 16 3) 0 25, 0 25− ,

2 2 213

16. :

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

4) 51

5531

32 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

5)

2

21

21

33 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−

6)

( )35

12

13

12

⎛⎝⎜⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

−−

. .


b) Exprese como potencia de exponentes fraccionario y calcule:

1) 3 274. 2)

( )2 2

8

4

5

.

3)

5 3125 27

3.. 4)

a. aa3

c) Mostrar que:

a b

a ba b1

212

12

12−

−= +

Ejercicio N° 14

Racionalizar los denominadores de las siguientes expresiones:

a)

123

b)

595

c)

xx−−11 d)

2 52 5+−

e)

3 22

−

f)

1x y+ g)

1x + y h)

23 2−

Ejercicio N° 15

a) Exprese paso a paso las propiedades aplicadas en la resolución de la ecuación:

( x2 -1 ) . ( x + 3 ) = 0

b) Resolver las siguientes ecuaciones en R:

1) x ( x2 - 4 ) = 0

2) ( x2 - 2 ) . ( x2 -9 ) = 0

3) x ( x2 -5 ) . ( x3 + 1 ) =0

Ejercicio N° 16

Obtener mediante la Regla de Ruffini el cociente y el resto de la división entre A(x) y B(x) en :

1) A(x) = 3x5 - 2x2 + 3 ; B(x) = x - 1

2) A(x) = -2x + x3 -5 ; B(x) = x + 21

3) A(x) = ax3 + a4 ; B(x) = x - 21


4) A(x) = (x3 + 1)2 ; B(x) = x - 21

5) A(x) = (x + a - 1)2 - a2 + 2a ; B(x) = x - a

6) A(x) = (x - 1)2 + (- x +2) . (x2 - x + 3) ; B(x) = x + 1

Ejercicio N° 17

Resolver aplicando la regla de Ruffini, y recordar que: si se multiplica al dividendo y al divisor por un

mismo número distinto de cero, el cociente no varía, pero el resto queda multiplicado por dicho

número.

1) A(x) = x3 - 2x +1 ; B(x) = - x + 2

2) A(x) = 6x3 - 2x2 + 8x - 4 ; B(x) = 2x - 1

3) A(x) = 3x2 - 6x + 8 ; B(x) = 3x - 6

Ejercicio N° 18

Investigar si P(x) es divisible por Q(x).

1) P(x) = x2 - 5x + 4 ; Q(x) = x - 1

2) P(x) = x4 - 2x3 + x2 - 5x + 1 ; Q(x) = x3 + x2 + x + 1

3) P(x) = x5 - 32 ; Q(x) = x4 + 2x3 + 4x2 + 8x + 16

Ejercicio N° 19

Hallar "m" para que B(x) sea divisor de A(x).

1) A(x) = x3 + mx2 + mx + 4 ; B(x) = x - 1

2) A(x) = mx4 - x3 + mx2 - x + m ; B(x) = x - 21

Ejercicio N° 20

Factorizar en factores primos en ℜ[x] los siguientes polinomios.

a) A(x) = x5 - x


b) B(x) = x5 - x3 + x2 -1

c) C(x) = 64x3 - 1

d) D(x) = x51

x52

x51 35 +−

e) E(x)=

32

92

92

32

4 3 2x x x x− + −

f) F(x) = 2x3 - 4x

g) G(x) = ax4 + 4ax2 + 4a + b(x2 + 2)2

h) H(x) =

125

x x2 4−

i) I(x) = x5 + x3 + x2 + 1

j) J(x) = x5 - x3 - x2 + 1

Ejercicio N° 21

Resolver las siguientes ecuaciones descomponiendo en factores primos en ℜ[x] los primeros miembros

de la igualdad:

1) 25x2 - 1 = 0

2) x3 + 10x2 + 25x = 0

3) x3 + x2 - 6x - 6 = 0

4) x2 + 2x - 5 = 0 (sugerencia: puede escribirse como x2+2x+1-6=0)

5) x4 + x3 -9x2 - 9x = 0

Ejercicio N° 22

Simplificar:

a)

3x 6x 4x 42

−− + b)

x 9x 27

2

3

−+ c)

x 6x 12x 8x 7x 18x 20x 8

3 2

4 3 2

+ + ++ + + +

d)

x x 6x 3x 2

2

2

− −+ + e)

x xx 2x x

3

3 2

−+ +


Ejercicio N° 23

Efectuar:

a)

5x 2x 1

2x 3x 1

+−

−−+ b)

4x2x 3

1 2xx 1+

−−+

Ejercicio N° 24

Efectuar:

a)

x 4x 42x

. 6x 12x 6x 12x 8

2

3 2

− + −− + − b)

7 55

2 113

2

2

xx x

xx

x xx+

−+

− +−

. .

Ejercicio N° 25

Resuelva las siguientes operaciones:

a)

xx x+−

+−

21

112

b) 1 1

2 42+4+

++ +x

xx x

c)

3 52 1

312 2x x x x

xx−

−− +

−− d)

51

31

22x x++

++

e) ( ) ( )4

4 25

4 22

4 23 2xx x x−

+−

+−

Ejercicio N° 26

Resolver:

a. 3x16x

:9x

4x 4

2

2

+−

−

−

b. x1

:1x2x

x2 ++

c. x

1x1x

2x1 2 −

⋅+

+


Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010 ( 41 )

Funciones 02

• Introducción.

• ¿Qué es una relación?

• ¿Qué es una función?

• Clasificación de

funciones.

• Funciones Numéricas.

• Representación de las

Funciones Numéricas.

• Buscando hacer una

síntesis del tema.

• Actividades.

La elección de esta temática, FUNCIONES, se basa, entre otras

razones, en que comprender este tema nos permite cultivar

nuestra capacidad para establecer e interpretar relaciones.

Porque está involucrado con nuestra cotidianeidad mucho más de

lo que podamos darnos cuenta, porque nos permite una lectura

más amplia de nuestro mundo vinculando el conocimiento

matemático con lo concreto, alejándonos del pensamiento (a

menudo prejuicioso) que la matemática es sólo una ciencia

abstracta.

Durante el desarrollo del tema las consignas de interpretación no

están acabadas. Quisimos dejar lugar para que participen, creen,

se expresen, hagan y digan, es decir se involucren.

Buscando la manera de empezar este tema nos pusimos a pensar

que sin darnos cuenta, estamos rodeados de funciones. La vida

es un conjunto de relaciones, muchas de las cuales pueden

ser funciones.

INTRODUCCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tratemos de recordar situaciones de nuestra vida que puedan ser funciones.

“De pronto, un día..., María se acercó despacio al oído de Alejandra para decirle quién sabe qué,

tal vez un rumor.

Si Alejandra contara ese rumor y a su vez estas personas lo volvieran a contar, entonces...¿El

número de personas expuestas al rumor será función del tiempo?”.

Al tiempo, revisando bibliografía encontramos respuesta a la pregunta anterior, aquí le mostramos el

gráfico que vimos:

Número de personas

expuestas a un rumor

Días

Este hallazgo nos puso muy contentos, habíamos confirmado lo que pensábamos: el número de

personas expuestas a un rumor es función del tiempo.

Nos preguntábamos si diferentes relaciones de nuestra vida cotidiana que hemos repetido, escuchado

o leído, son funciones. Por ejemplo:

(a) “El consumo de energía en una planta es función de la producción”.

(b) “El precio de venta es función de la demanda”.

(c) “El sueldo cobrado por mes es función de la cantidad de días no trabajados”.

(d) “Las toneladas producidas son función de los meses del año”.

(e) “El producto es función de los componentes de la leche”.

(f) “La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada”.

Vemos que la palabra función forma parte de nuestras expresiones cotidianas, indicando relación o

dependencia, y es usada indistintamente. En matemática sin embargo el concepto de relación y el de

función tienen significados diferentes, aunque estén estrechamente vinculados. Para entender estos

conceptos adecuadamente comenzaremos presentando el concepto matemático de relación.


¿QUÉ ES UNA RELACIÓN? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Del mismo modo que la idea de número surge de la necesidad de contar elementos de un conjunto, la

idea de función surge de la necesidad de relacionar elementos de dos conjuntos.

Supongamos que formamos parte de una empresa. La empresa “La vaca loca” S.A. se dedica a la

fabricación de productos lácteos y está organizada de la siguiente forma:

Gerencia General

Sección Producción

Sección Comercialización

Sección Relaciones Públicas y Marketing

Sección Administración y finanzas

División Fabricación

División Mantenimiento

División Control de Calidad

División Abastecimiento

División Ventas

División Tesorería y Contaduría

A partir del diagrama anterior podemos armar los conjuntos:

A={Secciones} B={Divisiones}

Vinculemos los elementos del conjunto A y B, mediante la expresión "formada por las divisiones", la

cual a cada sección de la planta le hace corresponder sus divisiones.

Ejemplo 1:

Tenemos los siguientes datos,

A = {Sección producción, Sección relaciones públicas y marketing, Sección comercialización, Sección

administración y finanzas}

B = {División fabricación, División mantenimiento, División control de calidad, División

abastecimiento, División ventas, División contaduría y tesorería}

( 44 ) Funciones – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010

Podemos graficar esta relación:

Producción

Comercialización

Relaciones Públicas y Marketing

Administración y Finanzas

Fabricación Mantenimiento

Control de Calidad

Abastecimiento

Tesorería y Contaduría Ventas

Esta gráfica se llama diagrama sagital, donde se especifican los elementos del primer y segundo

conjunto. Los elementos relacionados se muestran mediante flechas que parten desde elementos del

primer conjunto a elementos del segundo conjunto.

Como las flechas parten del conjunto A y llegan al conjunto B, estos conjuntos se llaman partida y

llegada de la relación respectivamente.

Observemos que pueden existir elementos del conjunto A que no están relacionados con ningún

elemento de B. Entonces el conjunto de los elementos de la partida que están asociados con alguno

de la llegada puede estar estrictamente incluido en la partida o ser todo el conjunto de partida. Este

subconjunto se denomina dominio de la relación y lo denotaremos Dom(R).

Formalmente, esto puede expresarse de la siguiente manera: Dom (R) ⊆ A, el símbolo ⊆ se lee: "está

incluido o es igual"

Observando el diagrama sagital de la relación, el dominio está constituido por todos los elementos que

son partida de alguna flecha.

Así como hemos agrupado los elementos que son partida de alguna flecha, agrupamos los elementos

que son llegada o punta de alguna flecha en el conjunto B para formar el subconjunto de la llegada

llamado imagen de la relación. Así:

Dominio = {Sección producción, Sección comercialización, Sección administración y finanzas}

Imagen = {División fabricación, División mantenimiento, División control de calidad, División

abastecimiento, División ventas, División contaduría y tesorería}


Formalizando:

Definición

Una relación R de A en B hace corresponder a elementos del primer conjunto, elementos el segundo

conjunto.

El primer conjunto, A, se llama partida y el segundo conjunto, B, se llama llegada.

Asociados a la relación tenemos otros dos subconjuntos:

El dominio de la relación, Dom(R), es un subconjunto de A, y la imagen de la relación Img(R), es

un subconjunto de B.

Pensando que una relación es un conjunto de pares ordenados (a;b) donde el elemento “a” pertenece

al conjunto A y “b” es el elemento que pertenece al conjunto B y está relacionado con “a”, en el

ejemplo 1 tenemos los siguientes pares ordenados: (Sección producción ; División fabricación),

(Sección producción ; División mantenimiento), (Sección producción ; División control de calidad),

(Sección producción ; División abastecimiento), (Sección comercialización ; División ventas) y

(Sección administración y finanzas ; División contaduría y tesorería).


¿QUÉ ES UNA FUNCIÓN? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Ahora, consideremos los conjuntos:

A={Divisiones} B={Secciones}

Trabajemos con la relación "pertenece a la sección", que hace corresponder a cada división del

conjunto A una sección del conjunto B.

Ejemplo 2:

Si consideramos:

A = {División fabricación ; División mantenimiento ; División control de calidad ; División

abastecimiento ; División ventas ; División contaduría y tesorería}

B = {Sección producción ; Sección comercialización ; Sección relaciones públicas y marketing ;

Sección administración y finanzas}

Y con los datos aportados por el organigrama:

Producción

Comercialización

Relaciones Públicas y Marketing


Fabricación Mantenimiento

Control de Calidad

Abastecimiento


En este caso vemos que Dom(R) = A, es decir, el dominio coincide con el conjunto de partida, esto

es: de todos los elementos de la partida salen flechas.

Vemos además, que de cada elemento de la partida sale una sola flecha.

De ahora en más concentraremos nuestra atención en estas relaciones particulares, ellas se

denominan FUNCIONES.

Antes de seguir comentándote el tema, te acercamos la definición de función.


Definición

Una función de A en B es una regla, o una correspondencia, que relaciona estos dos conjuntos de

tal manera que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solo un elemento del

segundo conjunto llamado imagen.

Luego para que una relación sea una función de A en B, debe verificarse:

• Dom( R ) = A (a cada elemento de la partida le corresponde alguno en B)

• Cada elemento del dominio tiene una sola imagen. (a cada elemento de la partida le corresponde

solo uno en B).

Como las ideas gráficas son más fáciles de retener, estas condiciones las traduciremos en:

• De cada elemento de la partida salen flechas.

• De cada elemento de la partida sale una sola flecha.

Ejemplo 3:

Con estas ideas, volvamos al ejemplo 1, donde el conjunto de partida era A={Secciones} y el de

llegada: B={Divisiones}, ambos estaban relacionados mediante la asignación: "formada por las

divisiones". En el diagrama sagital se observaba que esta relación no es función por varias razones:

• Del elemento relaciones públicas y marketing no sale ninguna flecha.

• Del elemento producción salen cuatro flechas.

Se podría hacer que esta relación fuera función, si quitáramos del conjunto de partida a los elementos

que tienen problemas, en este caso sacaríamos a los elementos producción y a relaciones públicas y

marketing.


El diagrama sagital quedaría:

Comercialización


Fabricación

Mantenimiento

Control de Calidad

Abastecimiento


Usando la definición anterior, te proponemos que analicemos juntos, al menos algunas de las

expresiones del punto 1 de este texto.

Ejemplo 4:

Tomemos la expresión (a), matemáticamente podemos entenderla como:

- A cada consumo de energía en una planta le corresponde un nivel de producción.

Esta asignación llevada a diagrama sagital, donde en el conjunto de partida incorporamos como

elementos los siguientes consumos de energía: {20 Kw/h, 25 Kw/h, 30 Kw/h} y en el conjunto de

llegada los siguientes elementos: {5 Tn/h, 10 Tn/h, 15 Tn/h}.

20 Kw/h 25 Kw/h 30 Kw/h

5 Tn/h

10 Tn/h

15 Tn/h

Consumo de energía Producción

Como vemos la asignación anterior, bajo la mirada de la definición, es una función.

Ejemplo 5:

La asignación (e) “el producto elaborado es función de los componentes utilizados de la leche” llevada

a diagrama sagital, donde el conjunto de partida esta formado por los distintos componentes de la

leche, a saber: {grasa, suero, caseína} y el conjunto de llegada por los productos elaborados por la

fábrica: {queso, crema, manteca}, quedaría:


queso

grasa

suero

caseína

crema

manteca

Como bien podes ver en el diagrama, esta asignación no es una función.

¿Qué eliminarías del conjunto de partida?

¿Podrías transformarla en función?



Actividades Parte 1.

1. Analiza si las reglas de asignación (d) y (f) cumplen con la definición de función.

(d) “Las toneladas producidas son función de los meses del año”. Con los pares ordenados:{(Enero, 5

Tn), (Febrero, 5 Tn), (Marzo, 5 Tn), (Abril, 6 Tn), (Mayo, 7 Tn), (Junio, 6 Tn), (Julio, 5 Tn), (Agosto, 6

Tn), (Septiembre, 7 Tn), (Octubre, 8 Tn), (Noviembre, 7 Tn), (Diciembre, 6 Tn)}.

(f) “La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada”. Siendo los conjuntos de partida

y llegada, A={leche entera, leche parcialmente descremada, leche descremada} y B={3 %, 1,5 %,

0,5 %} respectivamente.

2. Con relación al ejemplo 5. Si la regla de asignación fuera “compuesto por”, la que a cada producto

le asigna sus componentes de la leche, sería esta relación función?.

3. Analizando la siguiente tabla, si llevaras estos datos a diagrama sagital, podrías responder si: ¿Las

toneladas de residuos producidos son función de los litros de leche tratada? (Sugerencia: los

elementos del conjunto de partida son “costo de vida”, los del conjunto de llegada “toneladas de

residuos producidos”). Justifica tu respuesta.

Litros de leche tratada (l/h) Litros de residuos producidos (l/h)

5.000 3.000

5.300 3.180

5.250 3.150

5.400 3.240

5.450 3.270

5.600 3.360

4. ¿Escribirías alguna de tus expresiones diarias que tengan incorporada la palabra función?

Define si estas expresiones son funciones desde el punto de vista de la matemática. A tu entender

cuáles serían los elementos del conjunto de partida y cuáles los del conjunto de llegada.

5. Si fueras un empleado de la empresa "Vaca Loca S.A", perteneciente a la sección Relaciones

Públicas y Marketing, a la cual se le ha encargado la organización de la fiesta aniversario de la

empresa. ¿Qué tipo de relaciones necesitarías plantear para un buen armado del festejo?.

Piensa en la organización de la fiesta de tu cumpleaños

CLASIFICACIÓN DE FUNCIONES ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Las funciones tienen categorías, no son todas iguales. En algunos tipos de funciones los elementos

del conjunto de llegada se relacionan con los elementos del conjunto de partida, dejando elementos

de la llegada sin relacionar.

A las funciones que tienen todos los elementos del conjunto de llegada relacionados (es decir que

llegan flechas a todos sus elementos), se las llama SURYECTIVAS o SOBREYECTIVAS. Otra forma de

verlo es:


Suryectiva

• • •

• • •

No Suryectiva

Elemento no relacionado

Im(f) = B Im(f) ⊂ B

Si a cada elemento del conjunto de llegada llega sólo una flecha, entonces el nombre que reciben las

funciones es INYECTIVAS. Este tipo de función lo podés ver en el Ejemplo 3 de la parte 1.

• • •

No Inyectiva

• • •

Inyectiva Le llegan más de

una flecha

Las funciones que tienen las características de las INYECTIVAS y de las SURYECTIVAS se llaman

BIYECTIVAS. Este tipo de función lo podés ver en el Ejemplo 4 de la parte 1. Esquemáticamente:

• • •

• •

•


FUNCIONES NUMÉRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

En ingeniería tienen además, particular interés las funciones numéricas donde los elementos de los

conjuntos de partida y de llegada son los números reales. El conjunto de partida se llama dominio de

la función y el de llegada se llama rango.

Analicemos un ejemplo de función numérica, una regla de asignación como la siguiente: "el precio de

venta del producto es el doble del precio del costo de la materia prima", podemos pensar como

conjunto de partida o dominio de la función: " costo de la materia prima" y como rango: "precio de

venta del producto", a cada elemento del dominio se le asigna el doble, simbólicamente puede ser

escrita de varias maneras:

f : R→R

x → 2x,

Otra forma es:

f : R→R

y = f(x) = 2x,

f: simboliza la asignación o conjunto de operaciones que hay que hacer con x, a veces se llama

aplicación.

R: representa a los números reales.

R→R, se suele leer: "va de los números reales a los reales", este tipo de notación ó simbología nos

permite definir el dominio (en este caso los números reales) y el conjunto de llegada (para este caso

también son los números reales).

x: se la llama variable independiente, simboliza los elementos del dominio.

f(x) : se llama variable dependiente, indica que los valores de la función dependen de x.

En nuestro último ejemplo, x representa costo de la materia prima y f(x) representa precio de venta

del producto.

Esta asignación es una función porque a cada x (número real) es posible multiplicarlo por dos para dar

como imagen otro número real y de cada producto solo es posible obtener un único resultado.

Analicemos ahora, la siguiente regla de asignación: “el precio del producto es inversamente

proporcional a la demanda del mismo”, en símbolos esto se puede escribir:

f : R→R

y = f(x) = 1/x

donde:

x representa la demanda (por supuesto estos elementos forman el conjunto de partida) y f(x)

el precio del producto (constituyen el conjunto de llegada).

Si la demanda es nula, es decir, x=0; la imagen deberá encontrarse haciendo la operación 1/0. Para

esta operación no existe ningún resultado dentro de los números reales, es decir para x=0 no existe

imagen.

Si mantenemos como dominio a todos los números reales el número cero quedará sin relacionar

entonces con este dominio la asignación 1/x no es una función. Para que sea una función deberemos

sacar del dominio al elemento que trae problemas. Acordate del ejemplo 3

Cuando eliminamos estos elementos del dominio decimos que estamos redefiniendo el dominio, en

símbolos, esto lo escribimos como:

f: R-{0}→ R

y =f(x)= 1/x

R-{0}: se lee números reales menos el cero.

Además de la división (por la imposibilidad de dividir por cero) existen otras operaciones que en las

asignaciones pueden traer problemas si el dominio está formado por todos los números reales. Estas

operaciones son: las raíces de índice par (por la imposibilidad de calcular raíces de números

negativos) las funciones logarítmicas (por la imposibilidad de calcular logaritmos de números no

positivos). Ojo cuando tenemos asignaciones que combinan estas operaciones

Ejemplo 6:

Si queremos determinar el dominio de la asignación x

1y = para que sea función, vemos que las

operaciones que traen problemas son la división por cero y la raíz cuadrada (índice par). Ambos

problemas se combinan. La operación de la raíz cuadrada excluye a los números negativos y la

división al cero. Entonces el dominio son los números reales positivos, en símbolos: R>0



1. Traducir al lenguaje simbólico, las siguientes afirmaciones que provienen del laboratorio de análisis

de la leche en polvo:

a) La cantidad de grasa presente en la leche es el 3% de su peso.

b) El peso de los sólidos totales presentes en la leche es del 11% de su peso.

c) El peso de la muestra es la diferencia entre el total pesado y 10 gr del recipiente de vidrio.

2. Analiza si son suryectivas, inyectivas o biyectivas las siguientes funciones:

(a) “La concentración de grasa es función del tipo de leche elaborada” Busca los datos en las

actividades de la parte 1, ejercicio 1.

(b) “Compuesto por”, la que a cada producto le asigna los componentes de la leche necesarios para

producirlos. Con relación al ejemplo 5, parte 1.

3. Completa la siguiente tabla:

ELEMENTOS (O CONJUNTO DE ELEMENTOS) QUE DEBEN

EXCLUIRSE DEL CONJUNTO DE PARTIDA PARA QUE SEA

FUNCIÓN FÓRMULAS

¿CUÁLES? ¿POR QUÉ?

POR LO TANTO

DEFINE UNA

FUNCIÓN DE

ℜ EN ℜ.

y x= − 4 Ninguno Si a un número se le resta 4, se obtiene

otro número real, y el resultado es único. Sí

y x= −10

yx

=5

yx

=−5

3

3 y =−

=5

3 350

no es un número No

yx x

=− +

52 2( )( )

yx

=−5

42

y x=

y x= − 2 x⟨2 a , si a es negativo, no es un número

real y ocurre cuando x⟨2

No

yx x

=− +

15 62



4. Al siguiente crucigrama se le volaron las referencias. Podrías escribirlas?. Ayudate con las

definiciones ya dadas.

1 b i y e c t i v A

2 d e P e n d i e n t e

3 R e a l e s

4 i m a g E n

5 f u N c i ó n

6 D o m i n i o

7 r e d E f i n i r

8 R e l a c i ó n

REPRESENTACIÓN DE LAS FUNCIONES NUMÉRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Hasta ahora hemos estado representando a las funciones mediante diagramas sagitales. En diarios,

revistas, manuales de instrucción, etc., te habrás encontrado con gráficos que representan a

funciones, en general estas funciones suelen ser numéricas.

A lo mejor te habrás preguntado ¿Por qué representar una función con gráficos?

Porque es más fácil analizar globalmente la dependencia o evolución de una magnitud con respecto a

la variación de otra. Una imagen vale más que mil palabras.

Para representar una función por medio de un gráfico trazamos dos rectas perpendiculares que

determinan un plano de coordenadas. Sobre cada coordenada se sitúa una variable. El eje horizontal

de llama abscisa ó eje x, porque sobre este eje se sitúa la variable independiente x. Sobre este eje

están los elementos del dominio. Sobre la vertical tenemos el eje y donde se sitúa la variable

dependiente. En este eje están los elementos del conjunto rango. Para cada eje se debe establecer la

escala que se le asigna a cada magnitud.

Pero veamos mejor esto con un ejemplo: una función que representa el precio como función de la

demanda.

Cantidad de demanda

Pre

cio

en p

esos

Con esta gráfica a simple vista podríamos hacer apreciaciones relativas a como varía el precio con la

cantidad de demanda, analizamos que para grandes cantidades de demanda (estaríamos a la derecha

del eje de abscisas) el precio del producto no varía (solemos decir que se mantiene constante),

mientras que para pequeñas cantidades de demanda el precio toma valores altos (esto lo vemos en la

ordenada )

Como el ejemplo del precio en función de la demanda podríamos presentarte muchos más, donde la

forma de la gráfica depende de la fórmula que está representando. A veces pueden darnos la fórmula

y nosotros tener que obtener su gráfico . ¿Cómo lo haríamos?. Si la fórmula que representa el precio

en función de la demanda es f(x) = 1/x , donde x representa la demanda y f(x) al precio, podemos

darle valores a la demanda e ir obteniendo los valores del precio, es decir de f(x).



¿Qué formas pueden tener las gráficas de las funciones?

A nuestro entender es bueno saber cómo son las formas de las funciones, porque esto nos permite:

- Conocer el valor de la variable dependiente para un valor de la variable independiente.

- Predecir la tendencia de la variable dependiente en función de los cambios producidos en la

variable independiente.

Suele ser común encontrarnos con gráficas donde la variable independiente es el tiempo, este fue un

parámetro de gran utilidad en el desarrollo de las funciones.

Existen funciones que, para un crecimiento de la variable independiente muestran un crecimiento en

la variable dependiente, es decir: para un aumento de x existe un aumento de f(x). Estas funciones se

llaman crecientes.

En cambio hay funciones que al aumentar x disminuye y. Estas funciones se llaman decrecientes.

Existen funciones que crecen hasta un determinado punto y luego decrecen, el punto donde empieza a

decrecer la función se le llama punto máximo.

Entonces , ¿Cómo leemos estas gráficas?

De acuerdo a nuestras concepciones sociales, políticas, religiosas, etc.

De la lectura de estas gráficas se desprende, que el conocimiento matemático, como cualquier otro

conocimiento, no es aséptico, sino que siempre está influenciado por nuestra concepción de la vida.

Nosotros creemos que todo conocimiento, y en particular el matemático, debe permitirnos: interpretar

y analizar nuestra cotidianeidad, hacer diferentes lecturas de lo ofrecido por los medios de

comunicación y también, por supuesto ser una herramienta de trabajo.


Hacer lectura de diferentes gráficas.


BUSCANDO HACER UNA SÍNTESIS DEL TEMA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Hasta ahora hemos querido compartir con ustedes algunas ideas sobre funciones.

Ahora, nos gustaría contarles cuales son los puntos más importantes del tema, para que puedan

profundizar en ellos.

Es importante: saber distinguir entre relaciones y funciones, saber determinar el dominio de una

función, poder representar gráficamente una función a partir de su fórmula, analizar diferentes

gráficas de funciones analizando la dependencia de las variables que intervienen en la función.

Reconocer funciones crecientes, decrecientes, puntos máximos y mínimos.

Del mismo modo con que nosotros comenzamos este texto, con una experiencia cotidiana, queremos

proponerles, como actividad de síntesis, que formulen una lista de cinco preguntas sobre los

contenidos más importantes del tema, y que junto con ellas, si te parece, nos hagas llegar un relato

de tu vida donde hayan intervenido las relaciones y funciones.

Por ahora, hasta aquí llega nuestra intervención, pero el tema no está cerrado, porque seguimos

construyendo y aprendiendo con nuestra vida.


Funciones

Lineales 03

A diario observamos fenómenos que al tratar de interpretarlos,

nos llevan a gráficos de rectas. Algunos ejemplos que podemos

mencionar son:

• La distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a

velocidad constante (movimiento rectilíneo uniforme) en función

del tiempo. • La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en función de la

temperatura, donde la temperatura del cuerpo es mayor que la

• Introducción.

• Gráfica de una función

lineal.

• Significado del

parámetro a.

• Paralelismo y

Perpendicularidad.

• Ecuación implícita de la

recta.

• Actividades.

temperatura del ambiente (Ley de enfriamiento de Newton).

• El perímetro de la circunferencia en función del radio.

• El largo de la sombra proyectada por los edificios en función de

la altura (a una determinada hora).

Todas las situaciones que en lo cotidiano responden a una función

lineal, justifica prestarles especial atención a este tipo e

funciones.

Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010 ( 61 )

INTRODUCCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Es usual encontrarse con problemas de este tipo:

Si un litro de nafta cuesta $ 1,50. ¿Cuánto cuestan 2 litros?, ¿Cuánto 3 litros?, ¿Cuánto 7 litros?,

¿Cuánto 3,5 litros?.

Podemos entonces construir la siguiente tabla (por un simple planteo de regla de tres):

Litros Costo en $

1 1,50

2 3,00

3 4,50

5 7,50

7 10,50

Tabla 1 – Datos de costos para determinada cantidad de litros

Si con estos datos hacemos una gráfica costo versus litros:

x [litros]

y [s]

1,50

3,00

4,50

7,50

10,50

1 2 3 5 764

Figura 1

Observamos que:

1. Los puntos se encuentran sobre una recta.

2. A igual diferencia de litros (sobre el eje x), igual diferencia de costos. Por ejemplo: si vemos la

diferencia de costos ente 1 lts. y 2 lts., es de $ 1,50. Esta misma magnitud ($ 1,50) se tiene

cuando calculo la diferencia entre 2 y 3 lts.


x [litros]

y [s]

1,50

3,00

4,50

7,50

10,50

1 2 3 5 764

1

1

2

2

0,5

1

0,5

1

Figura 2

Así mismo, a diario observamos fenómenos que al tratar de interpretarlos, nos llevan a gráficos de

rectas. Algunos ejemplos que podemos mencionar son:

• La distancia recorrida por un móvil sobre un camino recto a velocidad constante (movimiento

rectilíneo uniforme) en función del tiempo.

• La velocidad de enfriamiento de un cuerpo en función de la temperatura, donde la temperatura del

cuerpo es mayor que la temperatura del ambiente (Ley de enfriamiento de Newton).

• El perímetro de la circunferencia en función del radio.

• El largo de la sombra proyectada por los edificios en función de la altura (a una determinada hora).

Todas las situaciones que en lo cotidiano responden a una función lineal, justifica prestarles especial

atención a este tipo e funciones. Por eso pasaremos a su definición, dado que en la matemática son

muy importantes las definiciones.

Dada una definición, ella debe ser tan precisa como para que no existan dudas respecto a lo definido.

Definición: Llamamos función lineal a una función que se expresa de la forma:

f(x) = y = a x + b

Donde a y b son números reales. a se llama pendiente y b se llama ordenada al origen.

¿Les parece sencilla esta definición? ¿La damos por entendida?. Mejor trabajemos con algunos

ejemplos antes de continuar con otras definiciones.

( 64 ) Funciones Lineales – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010

Ejemplo 1:

1) y 2 x 1= − 2) ( )f x 3 x= 3) y 3= 4) 1

y 2 x3

= − +

¿Cuál es el valor de a y b en cada uno de los casos?

Respuestas:

Del ejemplo 1.1): a = 2; b = -1

Del ejemplo 1.2): a = 3; b = 0

Del ejemplo 1.3): a = 0; b = 3

Del ejemplo 1.4): a = - 2; b = 13

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN LINEAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Tratemos ahora de caracterizar el gráfico de una función lineal

1. Si a = 0, la función es y = b

Ya que los puntos del gráfico de esta función son los pares (x;b) para cualquier valor de x,

estos puntos se encuentran sobre una recta horizontal. Por lo tanto su gráfica es paralela al

eje x y corta al eje y en (0;b)

x

y

(x;b)

x

(0;b)

Figura 3

Concluimos: “La gráfica de una función lineal by = es una recta paralela al eje x que

pasa por (0;b)”

Nota: Debemos recordar que la recta A es paralela a la recta B si y sólo si A no intersecta a B

ó A = B.


2. Si , la función es 0b = y = a x

En la siguiente gráfica podemos ver que la representación de esta función es la recta r

determinada por el origen (0;0) y el punto A = (1;a)

x

y

(1;a)

1

(0;0)

a

Figura 4

Para probar esta afirmación debemos demostrar que :

a) Todo punto (x;y) de la recta r satisface y = . a x

b) Todo par de valores (x;y) que satisface , es un punto de la recta r. y = a x

Demostración: (puede obviarse en una primera lectura aceptando como válidos los dos puntos

dados arriba)

a) Todo punto (x;y) de la recta r satisface y = . a x

Notemos que (0;0) es un punto del gráfico de la función . Por otro lado, B = (x;y) es

un punto de la recta r distinto del (0;0).

y = a x

x

y

A

1

a

x

B

a

C D

y

y

O

Figura 5

Al observar la figura 5 concluimos que OCA y ODB son triángulos semejantes (porque sus

ángulos son congruentes). Entonces los lados son proporcionales, esto es:

BD AC

OD OC= ⇒

y ax 1= ⇒ y a x= 1

1 El símbolo “⇒ ” significa “implica” y se debe interpretar como que de lo primero se deduce lo segundo. Presta atención a este símbolo será usado varias veces a lo largo del trabajo.


Esto nos dice que “el punto B = (x;y) pertenece al gráfico de la función y=ax (es un punto de

la forma (x;f(x))”.

b) Todo par de valores (x;y) que satisface , es un punto de la recta r. y = a x

Sea P = (x;y) un punto del gráfico de la función y = y A = (1;a) a x

x

y

A=(1;a)

1

a

x

P=(x;y)

C M

y=ax

O

Figura 6

Observando la figura 6 se tiene:

AC aa

1OC= = ;

PM a xa

xOM= =

De donde concluimos que:

AC PM

OC OM=

Esto nos dice que OCA y OMP son triángulos semejantes (notar que la proporcionalidad de los

catetos y el teorema de Pitágoras implican la proporcionalidad de los catetos y la hipotenusa).

Por ser triángulos semejantes, los ángulos (comprendidos entre dichos lados) AOC y POM son

iguales, esto es:

∧∧

= POMAOC

Y como tienen al eje x como lado común, el otro debe coincidir. Por lo tanto “P pertenece a la

recta determinada por (0;0) y (1;a)”

Esto concluye nuestra demostración.

3. Veamos ahora el caso general y = a x + b

Observemos que para cada x el valor de y se obtiene sumándole b al valor de y definido por la

función . y = a x


Luego, para obtener la gráfica de , basta trasladar la gráfica de (la recta

r) tanta unidades como indique b en la dirección del eje y (traslación vertical).

y = a x + b y = a x

En la figura 7 vemos que la representación gráfica de la función lineal , es la recta

r

y = a x + b

1 determinada por los puntos (0;b) y (1;a+b)

x

y

1

a

b

O

b

bb

r

r1

Figura 7

Por la misma construcción r1 y r2 son rectas paralelas.

Para recordar: Al número b de la ecuación se lo llama ordenada al origen. Es el

valor de la ordenada y cuando x = 0, o sea es la ordenada del punto (0;b).

y = a x + b

SIGNIFICADO DEL PARÁMETRO “a” ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Dada dos rectas:

r1: y = 2 x donde a1 = 2

r2: y = 3 x donde a2 = 3

Y con el apoyo de los conocimientos desarrollados hasta ahora podemos deducir que r1 pasará por los

puntos (0;0) y (1;2) y r2 pasará por los puntos (0;0) y (1;3); esto lo vemos en la figura 8.

x

y

1

(1;2)

O

r1

r2(1;3)

Figura 8


Podríamos decir que la recta r2 es más empinada que r1, o que r2 crece mas rápido que r1, y esto

parece tener correspondencia con el mayor valor de parámetro “a”.

En general, al considerar las rectas

r1: de ecuación y = a1 x

r2: de ecuación y = a2 x

Si , , entonces: 0a1 > 0a2 >

12 aa > ⇒ ( )( )⎩

⎨⎧

<<>>

0xsixaxa0xsixaxa

12

12

O sea las rectas se cortan en el origen (¿por qué?), r2 está por encima de r1 para los x positivos y sus

posiciones relativas cambian para los x negativos. Estas consideraciones se muestran gráficamente en

la figura 9:

x

y

1

(1;a )1

O

r1

r2

(1;a )2

a1

a2

Figura 9

El número a tiene que ver por lo tanto con la inclinación de la recta.

• Si la recta sube al desplazarse en dirección de las x positivos ( es una función

creciente)

0a > xay =

Ejemplo 2:

Consideremos la función lineal x2y =


x

y

1 x1 x2

y1

y2

O

Figura 10

Observaciones sobre la gráfica:

• Tenemos que (a=2) 0a >

• Esta recta pasa por el origen y el punto (1;2)

• La recta sube del 3er al 1er cuadrante (es una función creciente).

¿Qué pasa con la gráfica de si xay = 0a < ?

0x < ⇒ 0xa > ( )0y >

0x > ⇒ 0xa < ( )0y <

0x = ⇒ 0xa = ( )0y =

Estas situaciones se ven en forma genérica en la figura 11:

x

y

x1 x2

y2

y1

O

Figura 11


Observaciones sobre la gráfica:

• Tenemos que 0a <

• Esta recta pasa por el origen.

• La recta baja del 2do al 4to cuadrante (es una función decreciente).

Ejemplo 3:

Consideremos la función lineal xy −=

La grafica de esta función pasará por los puntos (0;0) y (1;-1)

x

y

x1 x2

y2

y1

O 1

-1

Figura 12

Para recordar: Al número a de la de la ecuación se lo llama pendiente de la recta y

esta relacionado con la “inclinación” de la recta.

y = a x + b

Hemos mostrado entonces que la representación gráfica de es una recta. ¿Es cierta la

afirmación reciproca? Esto es: ¿"Toda línea recta en el plano es el gráfico de alguna función lineal"?

bxay +=

La respuesta es NO. No existe función (lineal o no) cuyo gráfico sea una recta paralela al eje y

( ). El fundamento de esta respuesta es que para que sea función se debe cumplir que para cada

valor del dominio (en este caso x) debe existir sólo un valor de la imagen (en este caso y), y si la

recta es vertical para un solo valor de x existen infinitos y.

cx =

Veamos ahora algunos ejemplos donde se ponen en juego las definiciones y deducciones anteriores.


Ejemplo 4:

Obtener la gráfica de 1x2y +−=

• Por lo dicho anteriormente, el gráfico de la función lineal es una recta r paralela a al recta de la

ecuación (el gráfico es una recta que pasa por el origen y tiene pendiente 2). x2y −=

• La pendiente es (esto significa avanzamos 1 en el eje x y descendemos (por el signo "-")

2 en ele eje y)

2a −=

• La ordenada al origen es (significa que pasa por el punto (0;1)) 1b =

x

y

y=-2x+1

O

1

2

y=-2x

1

Figura 13

Ejemplo 5:

Obtener la gráfica de 2x3y +=

a) Razonando en forma similar al ejemplo anterior, esta recta tiene ordenada al origen 2 (significa

que pasa por el punto (0;2)) y pendiente 3 (esto significa avanzamos 1 en el eje x y ascendemos

3 en ele eje y)

x

y

y=3x+2O

3

y=3x

(0;2)

1

Figura 14


b) Otra forma de resolver este tipo de ejercicios es aplicar el concepto de que "dos puntos distintos

uno de otro determinan una única recta que pasa por ellos", por lo tanto bastará indicar dos

puntos distintos de la recta y ésta quedará definida:

Si x=0, entonces y=3·0+2=2, así el punto (0;2) pertenece a la recta y además si , entonces

y=3·1+2=5, por lo tanto el punto (1;5) pertenece a la recta

1x =

x

yy=3x+2

O

5

(0;2)

1

Figura 15

Para generalizar el concepto anterior: "Conocidos dos puntos distintos cualesquiera de una recta, esto

es (x1;y1) y (x2;y2); ¿cual es su ecuación?"

Respuesta:

Para poder dar la ecuación de la recta debemos determinar cual es el valor de a y b de la ecuación

. Sabemos que (x;y) pertenece a recta bxay += ⇔ verifica . Por lo tanto: bxay +=

bxay 11 += pues recta ( ) ∈11 y;x

bxay 22 += pues recta ( ) ∈22 y;x

Igualando ambas ecuaciones respecto de b (es decir despejando b de ambas ecuaciones e igualando),

nos queda que 2211 xayxay −=−

despejando: 21

21

xxyy

a−−

=

Esta importante ecuación nos permitirá determinar la pendiente de una recta conociendo dos puntos

de ella.

Para calcular el valor de b, bastará reemplazar el valor obtenido de a en cualquiera de las ecuaciones

anteriores.


Ejemplo 6:

Obtener la ecuación de la recta que pasa por el origen y el punto (-1;3).

Como conocemos dos puntos de la recta (0;0) y (-1;3) podemos hallar la pendiente a considerando:

( ) ( )( ) ( ) 3

01

03a

3;1y;x0;0y;x

22

11 −=−−

−=⇒

−==

⎭⎬⎫

a = - 3

Como la recta pasa por el origen: b = 0

Con los dos puntos dados, obtenemos la ecuación de la recta y la gráfica, la cual se

muestra en la figura 16.

0x3y +−=

x

y

3

(0;0)

-1

(-1;3)

Figura 16

Ejemplo 7:

Obtener la ecuación de la recta cuya pendiente es igual a 2 y pasa por el punto (3;3).

La ecuación de la recta es de la forma ; determinemos la ordenada al origen b, como el

punto (3;3) pertenece a la recta debe verificar la ecuación , esto es:

bx2y +=

bx2y +=

3bb63b323 −=⇒+=⇒+⋅=

Por lo tanto la ecuación de la recta buscada es: 3x2y −= y su gráfica se muestra en la figura 17.


y=2x-3

x

y

3

3

(3;3)

(0;-3)

Figura 17

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Sean las rectas:

r1: 11 bxay +=

r2: 22 bxay +=

Decimos que (r2121 aar//r =⇔ 1 paralela r2 si y sólo si tienen igual pendiente)2

Justificación:

x

y

1

r2

2

b2

a2

1

r1

b1

a1

1

Figura 18

2 El símbolo “ ” significa “si y sólo si” y se debe interpretar como que lo primero ocurre solamente si ocurre lo segundo y viceversa, es decir que si ocurre lo

segundo también será válido lo primero.

⇔


Por geometría elemental se ve:

• 21 r//r ⇒ los triángulos sombreados son congruentes ⇒ 21 aa =

• triángulos congruentes ⇒ 21 aa = ⇒ 21

∧∧

α=α ⇒ 21 r//r

Sean:

r1: 11 bxay +=

r2: 22 bxay +=

Decimos que r (r1a.ar 2121 −=⇔⊥ 1 perpendicular a r2 si y sólo si el producto de sus

pendientes es igual a menos uno)

ECUACIÓN IMPLÍCITA DE LA RECTA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

La ecuación se llama ecuación explícita de la recta. Recordemos que con dichas

ecuaciones no podemos describir las rectas verticales.

bxay +=

Para expresar las ecuaciones de este tipo de rectas consideremos las ecuaciones implícitas de la recta

cuya expresión general es:

0CyBxA =++

Consideremos ahora algunos casos particulares de estas ecuaciones.

a) Si 0B ≠ ⇒BC

xBA

y −−= o sea que que es la ecuación explícita de la recta bxay +=

b) Si 0B = ⇒AC

x −= o sea que kx = (con AC

k −= ), que es la ecuación de una recta

vertical


Actividades

Ejercicio N° 1

Para cada uno de los siguientes pares de puntos, determine la ecuación de la recta que los contiene.

Realice para cada caso la gráfica correspondiente.

a. (0;3) y (2;7)

b. (-2;0) y (2;8)

Ejercicio N° 2

Para cada una de las siguientes ecuaciones:

i) Decir cuáles corresponden a la ecuación de una recta. Justificar.

ii) Graficar los casos que corresponden a funciones lineales.

a. y +x-2=0 b. y +x-2= -x2 c. x-3 = 5

d. 031

x =+ e. y +x -1 -7=0 f. y+2 =0

g. x21

1y −=+ h. y-5=0 i. x-y-3 =0

j. y = sen x + 3

Ejercicio N° 3

Dada la recta de ecuación 2x + y +2 = 0, justifique si los siguientes puntos pertenecen a la ecuación.

a. (1;2) b. (-3;4) c. (0;-2) d. (-4;1)

Ejercicio N° 4

Dar las ecuaciones de dos rectas que sean paralelas, donde una de ellas tenga como ordenada al

origen el valor de -2 y otra el valor 0. Graficar las rectas.


Ejercicio N° 5

La ecuación de una recta R es -3 y + 6 = x

I) Escribir la ecuación de una recta para cada una de las siguientes condiciones establecidas:

a. Una recta A, paralela a R, que pase por el punto (3;-2).

b. Una recta que no sea paralela a R y que tenga la misma ordenada al origen que R.

c. Una recta B, paralela a R, que pase por el origen de coordenadas.

d. Una recta C, paralela al eje x, que tenga la misma ordenada al origen que R.

II) Graficar las rectas R, A, B, C , en un mismo sistema de ejes cartesianos.

Ejercicio N° 6

La ecuación de una recta T, es 6 -3y = 4x

I) Escribir la ecuación de una recta para cada una de las siguientes condiciones establecidas:

a. Una recta M, perpendicular a T, que pase por el punto (4;2).

b. Una recta Q, paralela a M, que corte al eje x en x= 5.

c. Una recta H, no perpendicular ni paralela a T, pero que tenga la misma ordenada al

origen que T.

II) Graficar las rectas T, M, Q, en un mismo sistema de ejes cartesianos.

III) ¿Es verdad que una recta G que pasa por los puntos (-2;36) y (2;39) es perpendicular a la

recta T? Justificar.

Ejercicio N° 7:

Dar la ecuación de la recta vertical que pasa por el punto (2;3)

x

y

2

3

Figura 19


Ejercicio N° 8:

Dar la ecuación de la recta horizontal que pasa por el punto (2;3)

x

y

2

3 (2;3)

Figura 20



Funciones

Cuadráticas 04

• Introducción.

• Gráfica de una función

cuadrática.

• Cortes de la parábola

con el eje x.

• Actividades.

En este capítulo se presenta a las funciones cuadráticas como un

tipo de función involucrado en el análisis de muchísimos

fenómenos naturales. El conocimiento de su expresión y de su

representación gráfica es contenido de este capítulo y permitirá

acercarnos a la comprensión de situaciones reales.

Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010 ( 81 )

( 82 ) Funciones cuadráticas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010


INTRODUCCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Es usual encontrarse con problemas como el siguiente:

Se tiene 1800 m de alambre para construir un corral rectangular de 9 hilos. ¿Cuáles deben ser las

dimensiones de dicho corral para contener el mayor número de rodeo? (el número mayor de

animales)

Datos: se necesitan 2 m2/animal.

Solución: Nuestro problema es en realidad determinar las dimensiones de los lados del rectángulo de

mayor superficie. Es decir nos interesa la superficie (S) que responde a la ecuación:

S =x .y (1)

donde:

x e y son la respectiva longitud de los lados del rectángulo.

S es una función de dos cantidades: x e y que modificamos hasta la máxima superficie. Entonces

decimos que S es una función de dos variables

Como no sabemos trabajar con funciones de dos variables trataremos de relacionar x e y.

Conocemos que el perímetro del corral es de 200 m.(¿porqué?). el perímetro de un rectángulo se

obtiene sumando sus lados:

+200 =2x 2y

200 - 2x = y

2, reemplazando en (1)

−S =x .(100 x)

+ 2S =100x x

Así tenemos que S es una función de una variable del tipo , conocida como función

cuadrática.

− +2S = x 100x

También en problemas de oferta y demanda es usual encontrarse con fenómenos de este tipo:

Los alumnos de la Facultad de Agronomía contratan un colectivo para realizar un viaje a los criaderos

de pollos y chanchos de la ciudad de Cosquín. Se les da el siguiente presupuesto: si viajan 20

personas el costo del boleto es 11500 $/persona pero por cada persona que exceda de los 20 el costo

del boleto por persona se abarata en $ 200. ¿Cuál es el número de personas que debería viajar para

que el colectivo obtenga la mayor ganancia?


SoluciónSolución: precio por persona en $: +11500 200x

número total de personas: +20 x

dinero recibido por el conductor: (D)

( ) ( )+ −D = 20 x 11500 200x

− + +2D = 200x 7500x 23000

Otros temas en los que se presentan estas situaciones pueden ser posición de un móvil con

movimiento rectilíneo uniforme acelerado, caída libre de los cuerpos, etc.

Todo lo planteado nos lleva a considerar el estudio de las funciones cuadráticas.

Definición: Llamamos función cuadrática a aquella que se expresa de la forma:

+ +2f(x)= y =ax bx c

Donde a, b, c son números reales y ≠a .

0


GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Los valores que adoptan los parámetros a, b, c presentados en la definición determinan la función

cuadrática cuyo gráfico se denomina parábola.

Completemos la siguiente tabla:

Función cuadrática a b c

2f(x) =2x 2 0 0

− +2f(x) = x 2

− + +2f(x) = 2x 3x 1

−2f(x) =x 4

Trataremos de caracterizar el gráfico de función cuadrática = + +2y ax bx c .

Comenzamos considerando la función cuadrática , en la cual se cumple: 2f(x) =x

i. pues ≥f(x) 0 ≥ ∀ ∈2x 0 x

ii. Es una función par ya que: ( )− = =2 2f(-x) = x x f(x)

Por lo tanto la gráfica es simétrica respecto al eje Y (eje de simetría). Así solo

graficamos para y luego copiamos por simetría. ≥x 0

iii. Si (pues < < ⇒ <20 x 1 x x < ⇒ <x 1 x.x x ) o sea 0 y 1 la parábola está

por debajo de la recta . =y x

iv. Si (¿porqué?) o sea la parábola está por encima de la recta

.

> ⇒ >2x 1 x x

=y x

v. Además en , o sea coinciden en (0,0) y en (1,1). =2x x =x 0 y x 1=

2vi. Si pues < < ⇒ <1 2 10 x x y y ( )< ⇒ < 21 2 1 2 2x x x x x así por transitividad

(¿por qué?), < ⇒ <21 2 1 2x x x x 2

< ⇒ <1 2 1 2x x f(x ) f(x ) esto es, la función es creciente para los . >x 0

vii. La parábola es de trazo continuo.


La parábola tiene concavidad hacia arriba.

Estas afirmaciones se justificaran al estudiar los capítulos de funciones.

Con toda esta información y unos pocos valores obtenidos en la siguiente tabla, daremos una gráfica

aproximada de = 2y x

x 0 1 2 3 1/2 1/3 3/2

y=x2 0 1 4 6 1/4 1/9 9/4

x

y

ram

a

vértice

eje

de s

imetr

ía

O 1 2-2 -1

1

4

ram

a

Ahora veamos la parábola de la ecuación (b = 0, c = 0) = 2y ax

Tomamos un ejemplo y realizamos nuevamente una tabla para obtener algunos valores: = 2y 2x

x 0 1 1/2 1/3 3/2

y = 2x2 0 2 1/2 2/9 9/2

x

y

O 1 2-2 -1

y = 2x2 y = x2

En general se concluye:


i. Si a > 0, la parábola tiene ramas hacia arriba (¿porqué?), y la función toma

el menor valor (valor mínimo) en el origen de coordenadas.

= 2y ax

ii. Si a < 0, la parábola tiene ramas hacia abajo y la función toma el mayor

valor (valor máximo) en el origen de coordenadas.

= 2y ax

Estos valores mínimos y máximos se toman sobre el eje de simetría de la parábola (de ecuación

) en un punto llamado vértice. =x 0

x

y

x

y

vértice

vértice

y=ax (a>0)2

y=ax (a<0)2

iii. El coeficiente del término cuadrático "a" produce:

a) "cierre" de las ramas de la parábola hacia el eje Y, si

a 1>

2 2a 1 ax x> ⇒ > 2 2a 1 ax x< − ⇒ < −


x

y

O 1-1

y = 2x2 y = x2

x

y

y = - 2x2 y = - x2

O 1-1

b) "apertura" de las ramas hacia el eje X, si

<a 1

< < ⇒ <2 20 a 1 ax x 2 21 a 0 x ax 0− < < ⇒ − < <

x

y

O

y = x2 y =a x2

x

y

O

y = x2 y =a x2

Si consideramos 2y ax c (b 0)= + = observamos que, para cada x, el valor de y se obtiene

sumándole c al valor de y definido por la función , lo que produce un desplazamiento de

esta parábola en sentido vertical, hacia arriba si c>0 o hacia abajo si c<0.

2y ax=


x

y

O

y = ax + c2 y =a x2

cc

x

y

O

y = ax + c

c<0

2

y =a x2

cc

Tratemos de resolver las siguientes situaciones:

¿Cuál es la gráfica de la función cuadrática 2y ax c= + si a<0 y c>0?

¿Cuál es la gráfica de la función cuadrática 2y ax c= + si a<0 y c<0?

Hasta ahora en las ecuaciones consideradas no hay término lineal (b=0) y el eje de simetría de la

parábola coincide con el eje Y. Nos preguntamos, ¿Qué sucede si el parámetro b es distinto de cero?

Podemos empezar el análisis graficando punto a punto la función 2y x x= + :

x 0 1 1/2 -1/2 -1

y = x2 + x 0 2 3/4 -1/4 0


x

y

O 1 2-2 -1

y = x2

1

y = x

El gráfico nos muestra que el eje de simetría ya no es el eje Y.

Así es que nos propondremos buscar la ecuación de la parábola con vértice (x0,y0) y eje de simetría

distinto del eje Y.

x

y

x0

y0

( ;y )0x0

P=( ;y)x

Consideremos un nuevo sistema de ejes X , Y

x

y

x0

y0

P( ;y)=Qx (x;y)

x

y

x

y

En el sistema de ejes X e Y , la parábola tiene la ecuación = 2y ax y como = − 0x x x e = − 0y y y ,

por reemplazo resulta la ecuación referida al sistema original de ejes.


Si tenemos la función cuadrática = + +2y ax bx c podemos decir que tiene por gráfico una

parábola de vértice ( )0 0x ,y donde:

−= − = − = − =

2 22

0 0 0b b

x y y c ax c2a 4a 4a

4ac b

)

Por lo que, la parábola con vértice en tiene ecuación ( 0 0x ,y

( )− = − 20 0y y a x x

Desarrollando esta expresión resulta:

( )− = − + 220 0y y a x 2x x x0

( ) ( )= + − + + +2 220 0 0y ax 2x a x ax ax y0

es decir la ecuación de la parábola es una función cuadrática:

( ) ( )= + + = − = +220 0y ax bx c con b 2x a y c ax y0 (1)

Nota: ahora, c es la ordenada al origen y el desplazamiento vertical lo da y0 (depende de los tres

parámetros).

Queda en evidencia, de la ecuación del eje de simetría b

x2a

= − que si b 0≠ , el eje de la parábola

no es el eje Y.

CORTES DE LA PARÁBOLA CON EL EJE X ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Que la parábola de la ecuación corte el eje X, significa que existe un valor que

verifica .

= + +2y ax bx c $x x=

$ $2ax bx c 0+ + =

Se expresa diciendo que es la solución de la ecuación de segundo grado . $x 2ax bx c 0+ + =

Como sabemos que el gráfico de la función cuadrática = + +2y ax bx c es una parábola de vértice

(x0,y0) podemos rescribirla:


( )− = − 20 0y y a x x

En general, la parábola corta a lo sumo en dos puntos al eje X, ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 )

2

1b b 4ac

x2a

− − −=

2

2b b 4ac

x2a

− + −=

Los números x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado 2ax bx c 0+ + =

Si el discriminante es mayor que cero ( )2b 4ac 0− > , la parábola corta el eje X en dos puntos.

Si el discriminante es igual a cero ( )2b 4ac 0− = , la parábola corta el eje X en un solo punto.

Si el discriminante es menor que cero ( )2b 4ac 0− < , la parábola no corta al eje X.

Si y = 0 la expresión anterior queda y despejando Si y = 0 la expresión anterior queda y despejando ( 20y a x x− = − )0

x

( )20 0y a x x− = −

00

yx x

a= ± −

reemplazando 0b

x2a

= − e 2

04ac b

y4a−

= en la expresión anterior obtenemos

2

2b b 4a

x2a 4a

−= − ± −

c o bien

2b b 4acx

2a− ± −

=

La parábola corta a lo sumo en dos puntos al eje X, ( x1 , 0 ) y ( x2 , 0 )

2

1b b 4ac

x2a

− − −=

2

2b b 4ac

x2a

− + −=

Los números x1 y x2 son las raíces de la ecuación de segundo grado 2ax bx c 0+ + =

Considerando el valor del discriminante ( )2b 4ac− se pueden destacar las siguientes consecuencias:

Ejemplo:

Obtener la gráfica de la parábola y = 2x x−


a) Como a>0 las ramas van hacia arriba.

b) Como c = 0, la parábola pasa por el origen.

c) Como , el eje de la parábola no coincide con el eje Y; sino que es b 0≠

( )1bx=

2a 2(1)

−− = −

es decir la recta vertical 01

x = 2

d) El vértice es con 0 0(x ,y )( )

0 01b 1

x = , x2a 2(1) 2

−− = − =

Para determinar el valor de hay dos caminos: 0y

Uno es reemplazar los valores de los parámetros a, b y c en la siguiente ecuación

( )22

0 04.1.0 14ac b 1

y = , y4a 4.(1) 4

− −−= = −

otro es considerar que el punto pertenece a la parábola, entonces puedo reemplazar el valor

de en la ecuación de la función que estamos analizando

0 0(x ,y )

0x 2y = x x+

20 0 0y = x x+

2

0 01 1 1 1 1

y = , y2 2 4 2⎛ ⎞

4− = − = −⎜ ⎟

⎝ ⎠

Así las coordenadas del vértice son ( )0 01 1

x ,y = ,2 4⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

e) Buscar los corte de la parábola con el eje X, consiste en hallar el valor que corresponde a la

variable x cuando y adopta el valor cero. En general estos valores se obtienen despejando la ecuación

cuadrática:

22

11 ( 1) 4.1.0b b 4ac

x2a 2.1

− − −− − −= =

1

2

x 01 1

x ,2

x 1

=⎧± ⎪= ⎨

⎪ =⎩

Nota: en este caso, la ecuación incompleta 2x x 0− = se puede resolver por factoreo:


( )1

2

x 0

x x 1 0x 1

=⎧⎪− = ⇒ ⎨⎪ =⎩

para mejorar el gráfico podemos calcular algún otro punto y tendremos:

x

y

O

1 2-2 -1

(2;2)(-1;2)

V=(1/2;-1/4)

Nota: en general la ecuación del eje de simetría se puede obtener como 1 2x xx

2+

= .

Para concluir resolvamos el primer ejercicio planteado en la introducción.

La función es y su gráfica es de ramas hacia abajo (a<0), es decir que obtengo un

máximo en el vértice

2S x 100x= − +

x

y

x0

y0

Entonces 0 0b 100

x ,x2a 2( 1)

= − = − =−

50 m

( ) 2S 50 100 50 ,S 2500 m= − = esto implica que 0y 50 m=

Concluimos entonces que el corral debe ser cuadrado con 50 m de lado y podría contener hasta 1250

animales! ¿No convendrá hacer mas de un corral?

La respuesta del segundo problema planteado en la introducción es 39 personas.


Actividades

Ejercicio N° 1

Dadas las siguientes funciones cuadráticas indicar en cada caso los valores de los parámetros a,b,c.

a. 2x3xy 2 −+−=

b. 1x2y 2 +=

c. xxy 2 −−=

d. 2x

21

y =

e. 33 x8)1x2(y −−=

Ejercicio N° 2

Para cada una de las siguientes funciones cuadráticas determina si su gráfica es de ramas hacia arriba

o hacia abajo, las coordenadas del vértice, la ecuación del eje de simetría, los puntos de corte con los

ejes coordenados y el valor máximo o mínimo alcanzado.

a) 2y = 2x 3− +

b) 2y =x 6x−

c) ( )2y = x 4 1− −

d) 2y =x 4+

e) 2y =x 7x 4− +

f) 2y =8x 18 x− −

g) 2y =x 4x 3+ +

h) 2y = x 3x 2− + −


Ejercicio N° 3

Se arroja una pelota en el aire de manera tal que la distancia (d en metros) que recorre sobre el

terreno en cualquier tiempo (t en segundos), está dado por la siguiente ecuación: t16t80d −=

a) Representa gráficamente dicha función.

b) ¿Cuál es la mayor altura alcanzada por la pelota?

c) ¿Cuántos segundos se requieren para que la pelota alcance dicha altura?

d) ¿Durante qué período de tiempo está la pelota en el aire?

Ejercicio N° 4

Un capitán del ejército quiso formar en cuadro al regimiento en el patio del cuartel. Ensayó hacerlo de

dos maneras diferentes, pero en el primer intento le sobraron 39 soldados. Al agregar un soldado más

en cada fila la faltaron 50. ¿De cuántos soldados se componía el regimiento?

La formación en cuadro consiste en colocar la misma cantidad de soldados en cada fila y columna.

Ejercicio N° 5

El área de un rectángulo es de 4 m2. Se requiere conocer las dimensiones del rectángulo, sabiendo

que si a la longitud de la base la incrementamos en una unidad y a la altura la disminuimos en dos

unidades, el área del nuevo rectángulo sigue siendo de 4 m2.


Funciones

Exponenciales y

Logarítmicas

05

Una situación para empezar:

Puede observarse experimentalmente que el número de bacterias

presentes en un cultivo se duplica cada hora. Si hay 1000 bacterias al iniciar el experimento el investigador obtiene las

siguientes lecturas:

t 0 1 2 3 4

f(t) 1000 2000 4000 8000 16000

Donde t es el tiempo expresado en horas y f(t) es el número de

• Función Exponencial.

• Función Logaritmo.

• Actividades.

bacterias presente en el cultivo en el tiempo t.

Podemos escribir la tabla anterior de la siguiente forma:

t 0 1 2 3 4

f(t) 1000x20 1000x21 1000x22 1000x23 1000x24

Así tenemos que:

f(t) = 1000 2t

Esta función hace posible predecir el número de bacterias

presente en el cultivo en cualquier tiempo t. ¿Cuántas bacterias

habrá luego de 10 hs. de experimento?

Podríamos citar múltiples ejemplos de funciones que presentan

variaciones cuya representación gráfica es del tipo de los

ejemplos enunciados anteriormente.

A estas funciones se las denomina: exponenciales.

Se pueden modelar con funciones exponenciales problemas de:

crecimiento de poblaciones, crecimiento de tumores, decaimiento

radiactivo, carga y descarga de condensadores eléctricos, razones

de disolución de productos químicos en líquidos, etc.

Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010 ( 97 )

( 98 ) Funciones Exponenciales y Logarítmicas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010

FUNCIÓN EXPONENCIAL ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Definición: Llamamos función exponencial a una función que se expresa de la forma:

( ) xayxf == con y , donde 0>a 1≠a ( ) 0: >ℜ→ℜxf

Antes de trabajar específicamente, con las funciones exponenciales, recordemos algunos conceptos ya

aprendidos en la primera unidad “Operaciones con Números Reales”, que pueden servirnos para

entender mejor las funciones exponenciales:

Sea con y xa 0>a 1≠a

Esta operación verifica lo siguiente:

1) Es distributiva con respecto al producto y al cociente

( ) nbnanba .. = ; nb

nan

ba

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

2) Propiedad de los exponentes

mnamana +=. ; mnamna .=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

3) Si p y q son números racionales, entonces si ⎪⎩

⎪⎨⎧

<>

><⇒<1

1

asiqapa

asiqapaqp

4) Si ⎪⎩

⎪⎨⎧

<>

><⇒<<0

00nsinbna

nsinbnaba

Hasta aquí hemos recordado propiedades de las potencias para comprender mejor la función

exponencial. Después de este repaso, estamos en condiciones de definir la función exponencial.

A partir de la definición de función exponencial, podríamos preguntarnos: ¿Por qué se especifica que a

≠ 1?. ¿ Por qué no consideramos a < 0?.

Dejemos estos interrogantes para que posteriormente intenten responderlos.

Veamos primero cuales son las posibles graficas si : 1>a


Graficaremos una función exponencial en particular y luego intentaremos generalizar los resultados

obtenidos al resto de los posibles valores de . Trabajemos, por ejemplo, con o

1>a xy 2=

( ) xxf 2=

Consideremos algunos valores:

x y = 2x

0 1

1 2

2 4

3 8

-1 12

-2 14

2 22

3 32

Si graficamos esta función en un sistema de ejes coordenados cartesianos ortogonales obtenemos la

gráfica mostrada a continuación:

x

y

(2,4)

(1,2)

1 y = 1⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1-1,

2

xy=2

-2 -1 0 1

Podríamos resumir algunas características de la grafica anterior:

a) El signo de y es siempre positivo

b) Si por propiedad 3. Esto nos dice que la función exponencial de base

mayor que uno, es creciente. Por ser y = 2

xx ′< ⇒ xx 22 ′<

x una función creciente, es inyectiva.

c) ⇒ , así la función está entre 0 y 1 para 0<x 122 0x =< 0<x .

d) ⇒ , así la función es mayor que uno para . 0>x 122 0x => 0>x

e) . La función corta al eje de las ordenadas en 120 = 1=y


Ahora para generalizar comparemos esta grafica con algún otro valor de a Ahora para generalizar comparemos esta grafica con algún otro valor de a

Si 1 (ver propiedad 4). Si 1 (ver propiedad 4). ⎪⎩

⎪⎨⎧

<>

><⇒<<02

022xsixxa

xsixxaa

xsixaxxsixax

a

⎪⎩

⎪⎨⎧

<>

><⇒<<02

022xsixxa

xsixxaa

⎪⎩

⎪⎨⎧

<>

><⇒<02

02

xsixaxxsixax

a

Si 2 (ver propiedad 4). Si 2 (ver propiedad 4). ⎪⎩

⎪⎨⎧

<>

><⇒<02

02

Además, en general, tienen el mismo tipo de gráfico y pasan todos por (0,1). Además, en general, tienen el mismo tipo de gráfico y pasan todos por (0,1).

La gráfica mostrando estos aspectos se muestra a continuación: La gráfica mostrando estos aspectos se muestra a continuación:

x

y

y = 1

x2

0

2a >

2a1 <<

Conclusión Final

Sea la función exponencial f . Con y a ( )xf ( ) 0: >ℜ→ℜx ( ) xaxf = 1>

Entonces su gráfico:

• pasa por (0,1) • es creciente (inyectiva) y suryectiva. • su gráfica es curvada hacia el eje y positivo • es menor que uno y siempre positivo para x < 0, acercándose

indefinidamente al eje x cuando x se hace grande negativamente

( )xfy =

• mayor que uno para x > 0, tomando valores muy grandes para x grande

positivamente. vamente.


¿Cuáles serían las correspondientes conclusiones para 10 << a ?

Ahora trabajaremos con un ejemplo donde 10 << a , graficaremos ( )x

xfy ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==21

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x1

2x y=

x

y

(-2,4)

(1,2)

(0,1)


0 1

1 12

2 14

3 18

-1 2 ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

11,

2

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

x1

y=2

-2 -1 0 1 2

-2 4

-3 8

De este gráfico podemos deducir las siguientes conclusiones:

a) Siempre y > 0,

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x ' x1 1

2 2b) Si x < x’ ⇒ , esto nos dice que la función exponencial de base menor que 1 es

decreciente.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0 x1 1

2 2⎛ ⎞ >⎜ ⎟⎝ ⎠

x1

21c) x < 0 ⇒ o sea , así la función es mayor que uno para valores de x

negativos.

⎛ ⎞ ⎛ ⎞<⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

x 01 1

2 2⎛ ⎞ <⎜ ⎟⎝ ⎠

x1

21d) x > 0 ⇒ o sea , así la función está entre cero y uno para valores de x

positivos.

e) Sin justificar, diremos que es de trazo continuo, inyectiva (decreciente) y suryectiva como función

de . ( ) 0: >ℜ→ℜxf

x

y

1

0 b 1< <

xy=b

FUNCIÓN LOGARITMO ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Volviendo al ejemplo 2, la función que expresa el número de bacterias en un cultivo en función del

tiempo: y = 1000 . , tiene como gráfica una exponencial. t2

t (tiempo)

y

1000

ty=1000 . 2

t

y

- Dado “t” podemos leer el “y”

- Inversamente puede interesarnos saber: ¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que el número

de bacterias se eleve a 12500?

Aquí entonces, dado el valor de “y” nos interesa conocer “t” (que es el exponente)

El problema de determinar el exponente nos lleva a estudiar la función logaritmo.

Vimos que:

0:f >ℜ→ℜ donde con ( )x

x afy == 0ay1a >≠ es inyectiva y suryectiva, por lo

tanto existe su inversa.

Si entonces ( ) xf 1y =−xay =


y llamando a f –1 la función logaritmo de base a, damos la siguiente definición.

Definición:

xay log= ⇔ a xy =

Llamamos a “ ” el “logaritmo en base del número real positivo y a x ”, es decir la función

logaritmo es aquella que, dado 0>ℜ∈x , hace corresponder el único real y tal que xya =

Ejemplo 1


log3 9 = 2 pues 32 = 9

42

21

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛log1/2 4 = -2 pues

De todos los valores posibles para la base , hay dos de ellos que son ampliamente usados, estos son

el número 10 y el número y tienen notaciones especiales:

a

e

• Si la base es 10, la notación es la siguiente: ; se lee “logaritmo decimal”.

Observa que no se coloca la base y se sobre entiende que esta es el número 10 (ya hemos

utilizados esta estrategia; pensemos, por ejemplo, como escribimos la raíz cuadrada, donde no

ponemos el índice 2)

xlogxlogy 10 ==

• Si la base es (un número irracional), la notación es la siguiente: ;

se lee “logaritmo natural o neperiano”.

...718.2=e xlnxlogy e ==

Los logaritmos de estas dos bases son los que generalmente se resuelven con la calculadora y

antiguamente estaban tabulados.

Veamos ahora algunas posibles graficas de la función logaritmo. Donde aparecerán dos tipos de

graficas dependiendo de si a o

Veamos ahora algunas posibles graficas de la función logaritmo. Donde aparecerán dos tipos de

graficas dependiendo de si a o 1> 101> 10 < <a

Por ser la función logaritmo la inversa de la función exponencial sabemos que sus gráficas son

simétricas respecto de la diagonal y = x.

Así, para : 1a >

xlogy a=

( )0;1 x

y

Resumiendo:

g(x): R > 0 → R

( )xa gyxlog == ⇔ ay = x es:

• Creciente

• Negativa para 0 < x < 1

• loga 1 = 0

• Positiva para x > 1

• Se acerca al eje y (negativo) si x se aproxima a cero.


Para 0 : << a 1

xlogy a=

( )0;1

x

y

Resumiendo:

g(x): R > 0 → R

( )xa gyxlog == a⇔ y = x es:

• Decreciente

• Positiva para 0 < x < 1

• log


a 1 = 0

• Negativa para x > 1

• Se acerca al eje y (positivo) si x se aproxima a cero.

Propiedades de la función logaritmo

1- loga(x1. x2) = loga x1 + loga x2

2- loga (x)t= t . loga x

3- loga ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜ = log⎝

⎛

2

1

xx

a x1 - loga x2

Demostración de 1):

⇔


Llamemos loga x1 = m am = x1

⇔ loga x2 = n an = x2

luego

x1 . x2 = am. an = a m+n (por propiedad de los exponentes)

Así

loga ( x . x ) = m + n = log1 2 a x + log1 a x2

Demostración de 2):

Si

loga x = m ⇒ am = x (am⇒ )t = xt ⇒ am.t = xt ⇒

t⇒ loga (x ) = t . m = t . loga x

Demostración de 3): Ejercicio para el lector

Ejercicio: ¿A qué es igual loga (ax)?, y ¿ a (log x) ? a

Ejemplo 2

¿Cuál es la solución de la “ecuación exponencial” 3x = 21?

Ya que 3x = 21 log ⇒ 3x = log 3 3 21

x . log 3 3 = log 3 21

x = log 3 21

para determinar el valor de x es necesario hacer un cambio de base.

Algunas veces es necesario “cambiar la base” a del logaritmo ( logax). Esto es, queremos logax para

algún b > 0, b ≠ 1.

Así, llamando m = logbx:

⇔


m = logbx bm = x , luego

mlog a b = log a x

y por propiedad de la función logaritmo tenemos:

balogxalog

logax = m. logab m = ⇒

y recordando que: m = logbx

se tiene:

ba

xaxb loglog

log =

fórmula que expresa el log x, en términos de la base conocida ab .

Concluyamos el ejemplo 2:

310log

2110log213log = 7712437,2

4771,03222,1

213log ≅=, de donde usando la calculadora:

así x = 2.7712437

Verifique que 3x = 21

Ejemplo 3

2Si queremos obtener log tenemos: 4

41

221

42log

24log==2log = 4

Ejemplo 4

Volviendo al ejemplo 2 de la sección anterior intentemos responder la pregunta ya planteada de:

¿cuánto tiempo transcurrirá hasta que el número de bacterias se eleve a 12500?

El tiempo para que el n° de bacterias sea 12500, nos lleva a:

5,12100012500t2t2.100012500 ==⇒=

días64,3t2ln

5,12lnt ==⇒ 5,12ln2ln.t =


Veremos al estudiar los temas de derivadas e integrales, que la función exponencial de base e: y=ex

y la función logaritmo natural y=ln x tienen un uso muy frecuente.

Actividades

Ejercicio Nº 1

Graficar cada una de las siguientes funciones:

x

23

)x(f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

x

32

)x(f ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=a) b)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= 2x

4)x(f⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

= 2x

4)x(f c) d)

Ejercicio Nº 2

Esbozar en un mismo sistema de ejes cartesianos las siguientes funciones:


a) f(x)=ex g(x)=2 ex

b) f(x)= 2xe g(x)=-ex

Ejercicio Nº 3

Encontrar el valor de x que verifica:

31x3 =a)

b) 4x32 =

c) xx 4822

⋅=

x-1

x-24

=1282

d)

e) 23x3x 0,52 +=

Ejercicio Nº 4

Las amebas son seres unicelulares que se reproducen dividiéndose en dos. Supongamos que las

condiciones de un cultivo son tales que las amebas se duplican aproximadamente cada hora y que

inicialmente solo hay una ameba. Complete la siguiente tabla.

tiempo(hs.) 1 2 3 4 5 6 7… x

Nº amebas 2 4 2x

Si al comienzo del cultivo hay M amebas ¿como será la relación anterior?

Ejercicio Nº 5

La población de una ciudad se triplica cada 50 años. En el tiempo t=0, esta población es de 100.000

habitantes. Dar una formula para la población P(t) en función del tiempo t (en años). ¿Cuan será la

población después de?

a) 100 años b) 150 años c) 200 años

Ejercicio Nº 6

Calcular:

a) =164log

=81

2log b)

=641

4log c)

=3 44logd)

=27

31loge)

=101

10log f)

=161

21log g)

=271

3log h)

Ejercicio Nº 7

Indicar en cada caso si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas:

00log 0 =a)

2251

log5 −=b)

21

21

log 2 −=c)

216log 4 =−d)

Ejercicio Nº 8

Aplicar las propiedades del logaritmo en las siguientes expresiones:

3

2

a yz.x

loga)

2

3

21

a y.xzx

log

−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

b)


Ejercicio Nº 9

Calcule, utilizando la definición de logaritmo, cuando sea posible, el valor de x:

x8log 2 =a)

2xlog 5 =b)

c) xalog 3a =

1)5x(log3 −=+d)

e) 2)2xx(log 22 =−−

Ejercicio Nº 10

Utilizando las propiedades del logaritmo, encuentre los valores de x que satisfagan las siguientes

expresiones:

4log9logxlog aaa −=a)

( )3log2log45log3xlog aaaa −+=b)

c) 54.2 x2x =

15logxlog 22 =−d)

5

4log3xlog a

a =e)

1)2x(logxlog 33 =++f)

22log8log4log xxx =−+g)


Funciones

Trigonométricas 06

¿Por qué este tema?

La trigonometría (etimológicamente: “medida de triángulos”)

estudia las relaciones entre los lados de un triángulo y sus

ángulos. Estas relaciones dan lugar a la existencia de las

• Repasamos geometría.

• Razones

Trigonométricas.

• Definición de Función.

• Ángulos.

• ¿Cómo medir los

ángulos?.

• Las Funciones

Trigonométricas.

• Dominio de las funciones

trigonométricas.

• Imagen de las funciones

trigonométricas.

• Gráfica de las funciones

trigonométricas.

• Actividades

funciones trigonométricas que son aplicadas a cualquier ángulo,

no necesariamente interior de un triángulo; más aún: a

“cualquier número real”.

La periodicidad, forma, y otras características de estas funciones

hacen que puedan ser utilizadas para modelar y por ende

describir y analizar un sinnúmero de fenómenos físicos que

comparten estas características, como la luz, el sonido, la

corriente alterna, los movimientos oscilatorios y muchos más…

Esto hace que estas funciones posean muchísimas aplicaciones en

diversos campos de la ciencia y la tecnología...

Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010 ( 113 )

( 114 ) Funciones Trigonométricas – Facultad de Ingeniería – Ingreso 2010

REPASAMOS GEOMETRÍA ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Antes de comenzar con el tema propuesto para este capítulo te proponemos repasar algunos

conceptos que serán muy necesarios para lograr una comprensión más integral de las funciones

trigonométricas y sus aplicaciones. Comencemos…

En geometría es muy común el uso del concepto de razón, por ejemplo, para definir el concepto de

semejanza. ¿Lo recuerdas?

Si no lo recuerdas, tendrás que averiguarlo y escribirlo a continuación.

Ejercicio N° 1

Busca y escribe la definición geométrica de semejanza.

Ejercicio N° 2

Averigua por tu cuenta, y luego responde, fundamentando, lo siguiente:

a. ¿Qué es un triángulo rectángulo?

b. ¿Cuál es la relación entre los ángulos interiores de un triángulo?

c. ¿Qué relación existe entre los ángulos agudos interiores de un triángulo rectángulo?

d. ¿Qué relación existe entre los lados de un triángulo rectángulo?

Ejercicio N° 3

Luego de realizar el ejercicio anterior, que te permitió recordar conceptos y propiedades, te pedimos

que realices las siguientes tareas:

1) Dibuja un triángulo rectángulo y construye todas razones posibles entre sus lados.

2) Mide los lados del triángulo y calcula el valor de algunas de esas razones.

3) Construye otro triángulo rectángulo manteniendo un mismo ángulo agudo y calculando las mismas

razones que en el caso anterior, verifica la definición de semejanza que enunciaste anteriormente.


Ejercicio N° 4

i) Según tu razonamiento, ¿cuáles de estas conclusiones te parecen verdaderas y cuáles no?.

a) Todos los triángulos son semejantes

b) Todos los triángulos rectángulos son semejantes

c) Las razones de los lados homólogos de dos triángulos rectángulos son iguales

d) Las razones de los lados homólogos correspondientes a triángulos rectángulos que poseen un mismo ángulo agudo son iguales

e) Si dos triángulos rectángulos tienen un ángulo agudo igual, son semejantes

ii) A partir de las afirmaciones que elegiste como verdaderas, escribe una definición propia, que las

resuma:


RAZONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Seguramente ya haz reconocido que estas razones entre los catetos y la hipotenusa de un triángulo

rectángulo como el de la Figura 1, son las ya conocidas razones trigonométricas, para que puedas

demostrar tus conocimientos, te invitamos a que las recordemos juntos “con nombre y apellido”.

Haremos referencia al triángulo rectángulo siguiente, pero recordarás que se aplican a cualquier

triángulo rectángulo…

b

ca

α

Figura 1 – Triángulo rectángulo

• SENO DEL ÁNGULO α

sen (α) = hipotenusa

opuestocateto=

ac

• COSENO DEL ÁNGULO α

cos (α) = hipotenusa

adyacentecateto =

ab

• TANGENTE DEL ÁNGULO α

tg (α) = adyacentecatetoopuestocateto

= bc


• COTANGENTE DEL ÁNGULO α

cotg (α) = opuestocateto

adyacentecateto =

cb

• SECANTE DEL ÁNGULO α

sec (α) = adyacentecateto

hipotenusa =

ba

• COSECANTE DEL ÁNGULO α

cosec (α) = opuestocateto

hipotenusa =

ca

Como hemos podido concluir, según nuestro propio convencimiento, “En todo triángulo rectángulo,

las razones trigonométricas dependen de la medida del ángulo agudo al que se apliquen”.

Pero si profundizamos un poco más en nuestros conocimientos matemáticos, ¿podremos arriesgarnos

a decir que...

... las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo, son funciones del

ángulo en el que se aplican?

Para estar más seguro de lo que estamos haciendo, será muy prudente que recordemos la definición

de función, ¿no te parece?


DEFINICIÓN DE FUNCIÓN ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Dados dos conjuntos numéricos A y B, una relación R de A en B es una función si:

1. Todo el conjunto A (conjunto de partida) es dominio de la relación.

2. A cada elemento del conjunto de partida A le corresponde una y sólo una imagen en el

conjunto de llegada B.

Teniendo en cuenta esta definición, podemos observar en ella tres conceptos fundamentales:

a) El conjunto numérico dominio.

b) El conjunto numérico imagen.

c) Una relación unívoca entre los dos conjuntos.

En el caso que nos ocupa, el primer conjunto tendrá que contener los números que representen las

medidas de todos los posibles ángulos. ¿De todos los posibles ángulos?

En el segundo conjunto deberán estar todas las posibles razones trigonométricas establecidas

anteriormente.

Estas dos observaciones nos previenen para ser más cautelosos con nuestra aseveración anterior, de

manera que podamos justificarla adecuadamente.

Por ejemplo, deberíamos contestarnos algunas preguntas como:

1- ¿Cuál es el sistema de medidas angulares que conocemos?.

2- ¿Estas medidas constituyen un conjunto numérico?.

3- ¿No podremos extender nuestras conclusiones a otros ángulos sin que necesariamente

se trate de ángulos de un triángulo rectángulo?.

Vamos posponer un poco nuestra conclusión anterior a fin de que podamos realmente justificarla

adecuadamente.

En la siguiente sección vamos a fundamentar las respuestas que nos están faltando.


ÁNGULOS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Ya hemos trabajado con ángulos pero nuevamente para evitar confusiones es tiempo que

establezcamos una definición para este sencillo concepto:

Definición: Ángulo es el conjunto de puntos barridos al girar una semirecta (o rayo) sobre su

punto de origen desde su posición inicial hasta una posición final.

rayo

punto deorigen

vértice lado inicial

lado f

inal

vértice lado final

lado i

nicial

Figura 2 – Definición de ángulo. Ejemplos.

Si revisas la definición notarás que no se restringe, por ningún motivo, ni la magnitud ni el sentido de

la rotación, y que es posible también hacer que el rayo gire varias vueltas o revoluciones en cualquier

sentido.

La medida del ángulo deberá representar la magnitud del giro, y ya está establecido por

convención que será considerada positiva si la rotación se efectúa en sentido contrario a las manecillas

del reloj, y negativa si es en el otro sentido.

A modo de ejemplo en la Figura 3 mostramos tres ángulos distintos, el ángulo α (alfa) es positivo, β

(beta) es negativo y γ (gama) es positivo. Notemos que α, β y γ tienen el mismo lado inicial y final,

pero sin embargo α, β y γ son diferentes, ya que la "cantidad" de rotación necesaria para ir desde el

lado inicial hasta el lado final es, por ejemplo, mayor para γ que para α.

lado inicial

lado f

inal

lado inicial

lado f

inal

αβ lado inical

lado f

inal

γ

Figura 3 - Ejemplos


Podemos ubicar el vértice del ángulo coincidiendo con el origen de un sistema de coordenadas

rectangulares, y su lado inicial coincidiendo con el eje x positivo.

Un sistema de coordenadas, determina en el plano cuatro regiones llamadas CUADRANTES,

denominados 1ro, 2do, 3ro y 4to cuadrante como se ubican en la Figura 4:

lado inical

lado

fina

l

θ

1 cuadrante

er

O

3 cuadrante

er

2 cuadrante

do

4 cuadrante

to

Figura 4 – Ángulo ubicado en un sistema de coordenadas

Entonces según en que cuadrante se ubique el lado final diremos que el ángulo está en ese

cuadrante, en la Figura 4, por ejemplo, el ángulo θ está en el 1er cuadrante.

Si el lado final del ángulo está en el eje x o en el eje y, en tal caso, decimos que θ es un ángulo

cuadrantal.

Ejercicio Nº 5

Dibuja un ángulo:

- Orientado positivo y que el lado final esté incluido en el cuarto cuadrante.

- Orientado negativo y que el lado final esté incluido en el tercer cuadrante.


¿CÓMO MEDIR LOS ÁNGULOS? ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Para medir la rotación necesaria para que el lado inicial coincida con el final se utilizan comúnmente

dos unidades de medición: grados (del sistema sexagesimal) y radianes (en el sistema circular).

• Grados:

Aquí el ángulo formado por la rotación, en sentido contrario a las agujas del reloj, desde el lado inicial

hasta que coincida con el mismo (1 vuelta o revolución) se dice que mide 360 grados, y se escribe

360º.

Así:

• Un grado (1º) es 3601

parte de una vuelta.

• Un ángulo recto ó 41

de vuelta es 90º.

• Un ángulo llano ó 21

vuelta es 180º.

Ejercicio Nº 6

Dibuja en un sistema de coordenadas un ángulo α positivo en cada uno de los siguientes casos:

a. 90º<α<180º ; 0º<α<90º

b. Indicar en qué cuadrante está incluido el lado extremo de los siguientes ángulos orientados:

120º, -60º, 380º, -130º

Recordemos que en el sistema sexagesimal son submúltiplos del grado el minuto y el segundo, tal

como se muestra en la Tabla 1:

Minuto sexagesimal Segundo sexagesimal

60º1

'1 = 60

'1''1 =

Tabla 1 – Submúltiplos del sistema sexagesimal

¿Sabías que…

este sistema de medición es muy antiguo, proviene de los babilonios; ellos pensaban

que el año tenía 360 días, lo que los llevó a utilizar como unidad angular la 360 ava parte de una

ángulo de un giro.


• Radianes:

Como vimos anteriormente el SI tiene como unidad de medida de ángulos el radián.

¿Qué es un radián?

Para poder definir el radián analicemos lo siguiente:

En las circunferencias concéntricas de la gráfica observamos los arcos ab y 'b'a que corresponden al

ángulo central θ.

Por tener en común el ángulo, las razones entre las longitudes de los arcos y los radios

correspondientes son iguales, se puede entonces formar la siguiente igualdad de razones

(proporción):

'a'o

'b'a

oa

ab=

oa a’

b’

b

Estas razones sólo dependen de la amplitud del ángulo θ, y

esto nos da la posibilidad de tomarla como medida del

ángulo. Dicha medida es la utilizada en el sistema circular:

radiodellongitudarcodellongitud

'a'o

'b'a

oa

abˆ ===θ

Figura 5 – Razones entre arcos y radián

Pero en definitiva... ¿Cómo se define el radián?

Definición: Un radián es la medida del ángulo central que abarca un arco de igual longitud

que el radio de la circunferencia.

Es decir un radian es el ángulo para el cual:

oalongitudablongitud =

O lo que es lo mismo: radiodellongitudarcodellongitud =


Es decir que: radián1oa

ab=

long. arco = rad

i o

radi

o

1 radián

radio

Figura 7 – Razones entre arcos y radios

La diferencia que deberías notar es que la magnitud de la rotación (del ángulo) se define con el uso de

magnitudes relacionadas con medidas de longitud.

Según lo que hemos enunciado, la medida de un ángulo de un giro completo en el sistema circular es:

longitud de la circunferencia1 giro o vuelta

longitud del radio de la circunferencia=

si recordáramos que la longitud de una circunferencia es 2 π r podríamos reemplazar:

2 r1 giro o vuelta

rπ

= , entonces:

1 giro o vuelta 2 radianes= π

2π radianes significa 2π veces la medida del radio, y

π es el número irracional 3,14159...

¡¡¡ ATENCIÓN !!!

Aquí aparece lo más importante del uso de este sistema, pues:

la medida de un ángulo en unidades de radio: ¡¡¡ es un número real !!!.


Con esto hemos logrado un conjunto numérico que representa la medida de los ángulos

respondiendo con ello al segundo interrogante planteado luego de recordar la definición de función.

Todavía podemos asegurar más. Este conjunto numérico es el conjunto de los números reales R.

Esta certeza (que tiene una demostración matemática más rigurosa), se justifica en el hecho de que la

longitud del arco correspondiente al ángulo generado por la rotación de un segmento alrededor de un

punto puede ser tan grande o tan pequeño como se quiera, es decir un número entre cero (0) e

infinito (∞) si se genera positivamente, o un número entre cero (0) y menos infinito (- ∞) si se genera

negativamente.

Si pusiéramos en duda que los números irracionales pudieran ser medida de algún ángulo, nos

ayudará familiarizarnos con los ángulos cuadrantales, y comprobar que, por ejemplo, la longitud del

arco correspondiente a una semicircunferencia es π = 3,14159... , un número irracional.

Las Figuras 7 y 8 además te servirán para comparar la medida de algunos de estos ángulos en uno y

otro sistema.

longitud = π

π radianes 180 º

longitud = π/2

π/2 radianes 90 º

radio = 1

radio = 1

Figura 7 – Ejemplos de ángulos cuadrantales


long

itud

= 3π

/2

3/2 π radianes270 º

radio = 1

longitud = 5/2 π

radio = 1

5/2 radianesπ 450º

Figura 8 – Ejemplos de ángulos cuadrantales

En el caso de una circunferencia cualquiera, el arco es un múltiplo de la longitud de la circunferencia

de modo que se podrá establecer la relación de equivalencia:

1 giro ------------ 2π radianes ------------- 360º

de modo que:

360gradosenángulo

2radianesenángulo θ

=π

θ

Que es la relación entre grados y radianes

Esto es importante para evitar confusiones. Por ejemplo decimos que la suma de los ángulos interiores

de un triángulo vale 180º y en otras oportunidades que la suma de los ángulos interiores de un

triángulo vale π. Las dos afirmaciones son correctas, solamente que en el primer enunciado la unidad

de medida es el grado y en el segundo es el radián.

Ejercicio Nº 7

a. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero es grados, o sea

_______radianes.

b. La suma de las medidas de los ángulos interiores de un polígono convexo de 9 lados es de ____

grados, o sea ________ radianes.


Ejercicio Nº 8

a. ¿Cuál es la medida en grados de un ángulo que mide en el sistema circular 1 radián?

b. ¿Cuál es la medida en radianes de 1º?

Ejercicio Nº 9

Convierte:

a. 30º a radianes y graficarlo

b. 130º a radianes y graficarlo

c. π911

radianes a grados

d. π52

radianes a grados

e. 52

radianes a grados (note que se puede emplear cualquier número real; una medida en radianes

no es necesariamente un múltiplo (entero) de π.

Ejercicio Nº 10

Calcula el valor en radianes de los siguientes ángulos especiales:

0º

30º

45º

60º

330º

180º

150º

135º

120º

315º

300º270º

240º

225º

210º

90º

0

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......

.......


Ejercicio Nº 11

Recuadra la respuesta correcta:

Un ángulo de 1 radián equivale a:

56º17’44” 57º 57º17’45”

Ejercicio Nº 12

Dibuja en la circunferencia unidad con los ejes los siguientes ángulos:

π−π

π−ππ

3;4

;23

;23

;2

Ejercicio Nº 13

Indica en radianes la amplitud del ángulo que determina el minutero de un reloj en:

a) 15 minutos:........... b) 1 hora:.......... c) 30 minutos:.......... d) 2horas 15 minutos:..........

Ejercicio Nº 14

¿Qué hora marcará el reloj cuando su minutero gire un ángulo:

a. de -2 radianes? (dibujar un reloj que indique 3 h 30 m) π

b. de – 3 radianes? (dibujar un reloj que indique 2 h 15 m) π

Ejercicio Nº 15

Marca con una cruz la respuesta correcta.

Al pasar de las 1 h 15 min. A las 4 h 45 min., el minutero de un reloj ha girado un ángulo de:

a) -4 π b) -5 c) -6π π d) -7 π

Ejercicio Nº 16

¿Cuántas vueltas ha dado la rueda de una bicicleta si uno de sus radios ha girado un ángulo de 9 π ?


Ángulos coterminales ó congruentes

Son los ángulos que tienen el mismo lado inicial y final. En la Figura 3 los ángulos α, β y γ son

coterminales.

Los ángulos 0, 2π, 4π, 6π, -2π, -4π son coterminales, todos ellos representan revoluciones completas.

Para hallar los coterminales de un ángulo bastará con agregar múltiplos enteros de una revolución ya

sea en sentido positivo o negativo.

θ en º es coterminal con (θ + k 360)º con k entero

θ en radianes es coterminal con (θ + k 2π)rad con k entero

Ejemplo:

Si buscamos ángulos coterminales con π/2 encontraremos:

π=π+π

25

22

π=π+π

29

42

π−=π−π

23

22

y así podríamos encontrar infinitos ángulos coterminales con 2π

Ejercicio Nº 17

Calcula la medida, en radianes y en grados, de un ángulo que tiene su vértice ubicado en el centro de

una circunferencia de radio 2 y que determina un arco que mide π83

.

Ejercicio Nº 18

Un punto se mueve sobre una circunferencia de radio 1 en el sentido contrario a las agujas del reloj.

Cuando recorre 52

de esa circunferencia:

a. ¿Cuál es la medida del arco de circunferencia que le falta recorrer para dar una vuelta completa?

b. ¿Cuál es la medida en radianes del ángulo correspondiente a ese arco?


Ejercicio Nº 19

El limpia parabrisas de un automóvil mide 50 cm de largo ¿Cuántos cm cubre el extremo del limpiador

si barre 31

de revolución?

Ejercicio Nº 20

Indica en qué cuadrante está cada uno de los siguientes ángulos:

α1 = -200º α2 = 800º 20’ α3 = 160º

α4 = 1020º α5 = 3 rad α6= 5/3 π

α7 = π rad

Entre los ángulos mencionados ¿Cuáles tienen el mismo lado terminal?

Ejercicio Nº 21

La rueda de una bicicleta ha dado 6 vueltas y media. ¿Cuántos radianes ha girado un rayo de la

rueda?

Ejemplo:

Un satélite terrestre en órbita circular a 1200 km de altura completa una revolución cada 90 minutos

¿Cuál es su velocidad lineal? (Utilizar el valor de 6400 km para la longitud del radio terrestre)

Utilicemos la fórmula v = rω. Recordemos además que ω es la velocidad angular y representa la

cantidad de revoluciones que un móvil recorre en un determinado tiempo.

r = radio de la Tierra + altura del satélite

r = 6400 km + 1200 km

r = 7600 km

Encontrando la velocidad angular: .min45.min90

radianes2 π=

π=ω

v = rω

v = 7600 km . .min45

π

Sustituyendo llegamos al resultado buscado:

v = 530 km/min


Ejercicio Nº 22

Un ciclista corre con rapidez constante en un velódromo circular, cuyo radio es de 40 m. Sabiendo que

ha dado 6 vueltas en un minuto y medio, calcula la velocidad lineal en m/s y la velocidad angular en

rad/s

Ejercicio Nº 23

Calcula el arco de meridiano terrestre ab, siendo “b” la ciudad de Río Cuarto (coordenadas geográficas

de Río Cuarto: Latitud sud = 33º 04’, Longitud oeste = 64º 38’) y suponiendo que la tierra es una

esfera de radio aproximadamente igual a 6370 Km. El punto “a” es un punto sobre el Ecuador y a la

misma longitud.

Ejercicio Nº 24

Una rueda de 12 cm de diámetro está rotando a 10 revoluciones por segundo, ¿cuál es la velocidad de

un punto en el borde?

Es posible que te hayas preguntado cuando usar un sistema de medición en grados y cuando en

radianes

En muchas aplicaciones, tales como la localización exacta de una estrella o la posición precisa de un

barco en el mar, se utilizan ángulos medidos en grados. En muchas otras aplicaciones en especial en

cálculo los ángulos son medidos en radianes.

Es muy común por ejemplo en física trabajar con el tiempo como variable independiente, en estos

casos, el tiempo se indica en números reales y se representa gráficamente en el eje de las abscisas,

por igual razón necesitamos un conjunto numérico para medir ángulos, de tal forma que a cada

ángulo expresado en grados se le asigne un único número real.


Ahora te acercamos a una aplicación muy común de las razones trigonométricas a la física:

• COMPONENTES DE UN VECTOR

Existen muchísimas aplicaciones en las que se tiene que lidiar con magnitudes vectoriales, donde no

se define a la magnitud sólo con un valor numérico, sino con él (módulo o intensidad) más una

dirección, un sentido y un punto de aplicación. Ejemplos de esto pueden ser una fuerza, una

velocidad, una aceleración, etc..

Gráficamente estas magnitudes se representan con vectores y para analizar situaciones en donde

intervengan estas magnitudes podrías usar a las razones trigonométricas como una buena

herramienta para componer y descomponer vectores, y de este modo analizar y sacar conclusiones en

situaciones concretas. Sólo algunos ejemplos pueden ser:

• cómo realizar una estructura de alguna construcción.

• verificar si un poste, en la transmisión de energía eléctrica, soportará los esfuerzos del tendido de

los conductores, vientos, etc.

• predeterminar el sentido, dirección y características del movimiento de un cuerpo sometido a la

acción de fuerzas.

• cómo se moverá un electrón en el seno de un campo eléctrico.

• etc.

Todo vector puede ser representado por, o descompuesto en, dos componentes vectoriales

mutuamente perpendiculares, siendo la suma vectorial de estas dos componentes igual al vector

original.

La descomposición de un vector V suele hacerse referida a un par de ejes cartesianos ortogonales (x

e y) colocando el origen del vector coincidente con el origen del sistema de ejes de referencia.

Cada componente tendrá entonces la misma dirección del eje respectivo. A la componente sobre el

eje x se la llama Vx. A la componente sobre el eje y se la denomina Vy.

Figura 11 – Descomposición de un vector en componentes perpendiculares


Teniendo en cuenta que V tiene una ubicación determinada en el espacio, se puede determinar su

dirección expresando el ángulo que forma su línea de acción respecto del eje positivo de las x como

el ángulo α. Así, las componentes de V no son otra cosa que los catetos del triángulo rectángulo

. Por lo que queda determinado: Δ

OBC

V

V)sen(

OB

BChipotenusa

aopuestocateto)sen(

VV

)cos( OB

OChipotenusa

aadyacentecateto)cos(

y

x

=α⇒=α

=α

=α⇒=α

=α

Donde V representa el módulo del vector V (también conocido como intensidad del vector, magnitud

del vector, longitud del vector, etc.).

De las expresiones del cos(α) y del sen(α) se deducen las expresiones de las “componentes de un

vector V respecto de los ejes cartesianos ortogonales x e y”.

)sen( VV

)cos( VV

y

x

α

α

=

=

Las dos componentes así encontradas son equivalentes al vector V . O sea que surten el mismo efecto

sobre el punto “O”.

Ejercicio Nº 25

1. ¿Cuáles son las componentes de un vector que está en el plano cuyo módulo es igual a 1 y el

ángulo respecto de la horizontal es de 45º?

2. ¿Cuál es la mínima distancia entre el extremo de un vector y el eje y, si su módulo es igual a 50 y

su ángulo respecto de la horizontal de radianes6π

− ?

3. Si supiéramos que el extremo de un vector tiene las coordenadas (-5 ; -10) ¿Cuál sería el módulo

del vector? ¿Y su posición? (la Figura 11 podría darte alguna pista)


• COMPOSICIÓN DE UN SISTEMA DE FUERZAS CONCURRENTES

Consiste en la aplicación de algún método mediante el cual se puede llegar a determinar si el sistema

de fuerzas dado admite o no una resultante. Básicamente se busca encontrar dirección, sentido e

intensidad (módulo) de una sola fuerza que sea capaz de producir sobre el cuerpo el mismo efecto

dinámico que las componentes de dicho sistema.

Para lograr este objetivo se hace coincidir el punto de aplicación del conjunto de fuerzas con el origen

de un sistema de ejes cartesianos ortogonales, para luego descomponer cada fuerza en sus

componentes mutuamente perpendiculares (esto es: componente sobre eje x, componente sobre eje

y, etc.), tal como se describió en la aplicación anterior y teniendo en cuenta que una fuerza es una

magnitud vectorial.

Te presentamos un ejemplo para mostrar el procedimiento:

Tres fuerzas están aplicadas a un punto “O”, encontrar (si existe) la dirección, sentido e intensidad de

la fuerza resultante. Tener presente que las intensidades de las tres fuerzas aplicadas son: ⎜F1⎜= 35N ;

⎜F2⎜= 20N ; ⎜F3⎜= 30N. La dirección y el sentido de cada fuerza están presentadas en la siguiente

figura:

Figura 12 – a) Fuerzas aplicadas al punto “O”. b) Ubicación espacial de las fuerzas. c) Componentes ortogonales de cada fuerza

De aquí se desprende que:

N98,25611

cos N 30)cos( FF

N14,1441

cos N 20)cos( FF

N50,1732

cos N 35)cos( FF

333x

222x

111x

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=α=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=α=

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=α=

N00,15611

sen N 30)sen( FF

N14,1441

sen N 20)sen( FF

N31,3032

sen N 35)sen( FF

333y

222y

111y

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=α=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=α=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛π=α=

La componente de la fuerza resultante sobre cada eje, será la suma algebraica de las componentes

sobre ese eje de las fuerzas que forman el sistema. Para este ejemplo:


N22,62R x =

++−=

++=

= ∑=

N98,25N14,14N50,17R

FFFR

FR

x

3x2x1xx

n

1iixx

N29,45R y =

−+=

++=

= ∑=

N00,15N14,14N31,30R

FFFR

FR

y

3y2y1yy

n

1iiyy

La intensidad de la fuerza resultante R se puede calcular con le auxilio del Teorema de Pitágoras (te

puede ayudar la Figura 13):

Figura 13 – Fuerza resultante del sistema de fuerzas aplicadas al punto “O” de la Figura 12

( ) ( )

N37,13R =

+=

+=

22

2y

2x

N45,29N62,22R

RRR

Sabiendo que Rx y Ry son las componentes de R podríamos ahora graficarlas (Figura 13) en un par de

ejes coordenados para deducir, aunque sea gráficamente, la dirección y el sentido de la resultante,

información que nos brindará el ángulo que forma R con el eje positivo x.


LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Después de este repaso podemos comenzar a trabajar con las funciones trigonométricas.

Para que las expresiones sean mas sencillas, trabajemos ahora con una circunferencia de radio uno,

con su centro que coincida con el origen de un sistema rectangular de coordenadas. A ésta la

llamaremos circunferencia unitaria.

P

1a

b

o

Figura 14 – Circunferencia unitaria

Sea P el punto en la circunferencia unitaria que define el lado final del ángulo θ. Sea t un número real

que define la magnitud de θ en radianes.

Al punto P le corresponden coordenadas que llamaremos (a;b).

Podrás encontrar en la Figura 14, en el triángulo rectángulo , el ángulo que denotamos θ.

Aquí recordando nuevamente las relaciones trigonométricas que relacionan los catetos con la

hipotenusa podríamos establecer las siguientes igualdades:

ΔaoP

ΛPoa

oP

aP)(sen =θ

1aP

)(sen =θ

P punto del ordenada aP)(sen ==θ

si ahora pensamos que el punto P puede moverse en la circunferencia unitaria podemos decir que la

relación...

• seno asocia con t, la coordenada “y” de P y se denota:

sen(θ) = b


Teniendo en cuenta que a cada ángulo (θ) le corresponde un único valor del seno, la relación

y = f(θ) = sen(θ) es una función.

Si θ está expresado en radianes, entonces f(θ) : R → R es decir sen(θ): R → R

Del mismo modo que antes la definición del coseno de un ángulo como la razón entre cateto

adyacente y la hipotenusa nos conduce a:

oP

oa)(cos =θ

1oa

)(cos =θ

P punto del abscisa oa)(cos ==θ

• La función coseno asocia con t, la coordenada “x” de P y se denota:

cos(θ) = a cos(θ): R → R

Para la tangente de un ángulo se establecía la relación entre cateto opuesto y cateto adyacente

PdeabscisaPdeordenada

oa

aP)(tg ==θ ; si 0oa ≠

• Si a≠0, la función tangente está definida como:

ab

)(tg =θ

• Si b≠0, la función cosecante está definida como:

b1

)(eccos =θ

• Si a≠0, la función secante está definida como:

a1

)(sec =θ


• Si b≠0, la función cotangente está definida como:

ba

)(gcot =θ

El hecho de haber elegido desde un comienzo la circunferencia unitaria, no le quita generalidad a las

definiciones encontradas, debido a las propiedades de semejanza de triángulos.

Lo único que estamos haciendo es considerar medidas de los catetos en unidades de radio, sin tener

en cuenta cuál es la medida de la unidad.

El uso de la circunferencia unitaria, en estas definiciones de las funciones trigonométricas, hace

que también se las conozca con el nombre de funciones circulares.

Es bueno notar que las funciones trigonométricas recién definidas incluyen a las relaciones

trigonométricas que presentamos para ángulos agudos en triángulos rectángulos.

Los signos de las funciones en cada cuadrante

Si ya conocemos como las funciones trigonométricas tienen que ver con las abscisas y ordenadas del

punto P, y estas coordenadas tendrán distintos signos según en que cuadrante estemos ubicando el

punto P.

Así, si P esta en el 1er cuadrante entonces a es positivo (a>0) y b es positivo (b>0), entonces

recurriendo a las definiciones de las funciones trigonométricas, todas en este cuadrante tendrán signo

positivo.

En cambio si P está en el 2do cuadrante a es negativo (a<0) y b es positivo (b>0) entonces según las

definiciones serán positivas sólo las funciones seno y cosecante, mientras que todas las otras

resultaran negativas.

Ahora trabajando de manera semejante podrás completar la siguiente tabla:

Seno y

Cosecante

Coseno y

Secante

Tangente y

Cotangente

1º Cuadrante ; a>0 y b>0 + + +

2º Cuadrante ; a<0 y b>0 + - -

3º Cuadrante ; a<0 y b<0

4º Cuadrante ; a>0 y b<0

Tabla 2 – Signos de las funciones trigonométricas en cada cuadrante


Ejercicio Nº 26

Ayudándote con la Figura 14 encuentra el valor exacto de las funciones trigonométricas en:

a) θ = 0 = 0º

b) θ = 2π

= 90º

c) θ = 2π

− = -90º

d) θ = π = 180º

e) θ = 23

π = 270º

f) θ = 2π = 360º

g) θ = 25

π = 450º

Ejercicio Nº 27

Sea t un número real y 23

; 21

-P ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= el punto sobre el circunferencia unitaria que corresponde a t.

Encuentra la magnitud de t y calcula el sen(t); cos(t) y tg(t)

Ejercicio Nº 28

En cierto motor de pistones, la distancia d (en metros) desde el centro del eje de dirección a la cabeza

del pistón esta dada en función de θ por:

)2(cos5,016cosd θ++θ=

donde θ es el ángulo entre la manivela y la trayectoria de la cabeza del pistón. Encuentre d cuando

θ = 30º y cuando θ = 45º

Ejercicio Nº 29

Determina el cuadrante que contiene a θ, si son válidas las condiciones dadas.

a) ( ) ( ) 0seny0cos <θ>θ

b) ( ) ( ) 0gcoty0sen >θ<θ

c) ( ) ( ) 0cosy0tg >θ<θ

d) ( ) ( ) 0eccosy0cos <θ<θ


Uso de la calculadora Uso de la calculadora

Las calculadoras científicas tienen teclas identificadas con que puedes

emplear para calcular, aproximadamente, los valores de las funciones seno, coseno y tangente

respectivamente.

Las calculadoras científicas tienen teclas identificadas con que puedes

emplear para calcular, aproximadamente, los valores de las funciones seno, coseno y tangente

respectivamente.

1/x x-1

SIN COS TAN

Después puedes obtener los valores de cosecante, secante y cotangente mediante la tecla del

recíproco: ó

Después puedes obtener los valores de cosecante, secante y cotangente mediante la tecla del

recíproco: ó

¡¡¡¡¡¡¡ ATENCION !!!!!!!!!! ¡¡¡¡¡¡¡ ATENCION !!!!!!!!!!

Antes de utilizar una calculadora para determinar valores de funciones que corresponden al valor de

un ángulo en radianes, asegúrate de que la calculadora esté en el modo RAD. Para valores que

corresponden a medidas en grados, selecciona el modo grados (modo DEG).

Antes de utilizar una calculadora para determinar valores de funciones que corresponden al valor de

un ángulo en radianes, asegúrate de que la calculadora esté en el modo RAD. Para valores que

corresponden a medidas en grados, selecciona el modo grados (modo DEG).

Para estar seguro si sabes manejar estas teclas correctamente calcula el seno del ángulo Para estar seguro si sabes manejar estas teclas correctamente calcula el seno del ángulo 3π

cuyo

valor está en radianes. Ahora repite el cálculo para el mismo ángulo pero su magnitud expresada en

grados, es decir 60º.

¡¡¡¡¡¡ No te olvides de cambiar el MODO de la calculadora para cada caso !!!!!!!!

De este procedimiento por las dos alternativas tienes que obtener una aproximación decimal a 23

(que es irracional).

sen 3π

= 23

≅ 0.8660 El resultado que arroja la calculadora


DOMINIO DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Como hemos visto la variable independiente de estas funciones es un ángulo cuyo valor en radianes

es un número real. Observemos que para las funciones seno y coseno el ángulo no tiene limitación en

cuanto al valor que puede tomar.

Entonces el Dominio de estas funciones es el conjunto de todos los reales que podrá también

escribirse en notación matemática como:

Dom sen(t) = {t∈R}

donde el símbolo ∈ significa pertenece y la letra R denota el conjunto de los números reales.

Ya hemos advertido que si a=0 las funciones tangente y secante no están definidas. Lo mismo ocurre

para las funciones cosecante y cotangente cuando b=0. ¿Podrías fundamentar por qué no están

definidas?

Para describir el dominio de la función tangente, en primera instancia, podríamos analizar para que

ángulos la función no está definida.

Esta falta de definición ocurrirá cada vez que el lado final del ángulo coincida con el eje y, que

corresponde con los ángulos 2π

y 2π

− y todos sus coterminales.

Ahora estamos en condiciones de describir este dominio

Dom tg(t) = {t∈R / π+π

≠ k2

t } donde k∈Z

Podrías obtener algunos valores de t (adoptando diferentes k) de la expresión anterior y verificar con

el uso de la calculadora que la tangente de estos ángulos no esta definida.

Ejercicio Nº 30

Revisando las definiciones encuentra el dominio de las funciones secante, cosecante y cotangente.


IMAGEN DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Para completar el estudio de estas funciones y previo a la determinación de la gráfica es momento que

determinemos el conjunto imagen de cada una de estas funciones.

Volvamos a la Figura 14, ubiquemos el punto P, recuerda que P se puede ubicar en cualquier parte de

la circunferencia unitaria, pero cualquiera sea la ubicación la abscisa a y la ordenada b sólo tomarán

valores en el intervalo [-1,1] es decir 1b1 ≤≤− , en consecuencia como el sen(θ)=b entonces

y, del mismo modo, el cos(θ)=a luego 1)(sen1 ≤θ≤− 1)(cos1 ≤θ≤− .

O en notación matemática

Si y=sen(t) ; Im sen(t) = { y∈R / 1y1 ≤≤− }

Si y=cos(t) ; Im cos(t) = { y∈R / 1y1 ≤≤− }

En cambio para las funciones tangente y cotangente que resulta de la razón entre magnitudes que

pueden tomar valores en [-1,1] puedo obtener todos los valores reales. Es decir:

Si y=tg(t) ; Im tg(t) = { y∈R }

Otra vez te queda la tarea de determinar el conjunto imagen de las funciones cosecante y secante.


GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯

Al construir las gráficas de las funciones trigonométricas, siempre los ángulos estarán expresados en

radianes, o sea números reales.

Para visualizar un ángulo como variable utilizaremos nuevamente el punto P moviéndose en la

circunferencia unitaria.

Nos dedicaremos a deducir la gráfica de la función seno.

Comencemos con el ángulo cero, es decir que P estará en el eje x positivo, con coordenadas (1;0). La

ordenada nos da el valor del seno del ángulo, cero también, en este caso. Esto nos permite ubicar el

primer punto el de coordenadas (0;0) para la gráfica de la función, que vamos a dibujar al lado de la

circunferencia para que se pueda visualizar mejor.

Consideremos ahora el ángulo 6π

, con el punto P ubicado en la posición A' de la Figura 15, la longitud

del segmento AA' representa el valor del seno de este ángulo. Podremos trasladar este segmento al

sistema de coordenadas de la izquierda donde estamos construyendo la gráfica de la función seno,

hasta la posición en que t tome el valor 6π

.

Al considerar distintos ángulos el punto P se ubicará en las posiciones B', C', D', etc. Y los segmentos

verticales BB', CC', DD' … representarán la magnitud del seno de los respectivos ángulos.

Estos segmentos ubicados en el sistema de coordenadas que llamamos y vs. t nos sugiere que la

curva del seno tiene la forma que dibujamos en la última parte de la figura.


(7/6)π

(5/6)π ππ/2π/3π/6 (2/3)π0

(4/3)π (3/2)π (5/3)π (11/6)π

2π (13/6)π (7/3)π (5/2)π ...

(7/6)π

(5/6)π

π

π/2

π/3

π/6

(2/3)π

0

(4/3)π(3/2)π

(5/3)π

(11/6)π

2π

(13/6)π

(7/3)π(5/2)π

π/3π/6

(7/6)π

(5/6)π ππ/2π/3π/6 (2/3)π0

(4/3)π

(7/6)π

(5/6)π

π

π/2(2/3)π

(4/3)π

π/3

π/6

A

A’

B

B’

A

A’

B

B’

A

A’

B

B’

OO

C

C’

D

D’

OE

E’

FH

H’

G’

G

π/3

π/6

0

0

A

A’

B

B’

O C

C’

D

D’

E

E’

FH

H’

G’

G

y

t

y

t

y

t

Figura 15 – Generación de la función seno

Resumiendo, las características de la función seno, son:

1. El dominio es el conjunto de todos los números reales, por lo tanto la gráfica anterior podría

haberse dibujado incluso desde los valores negativos de t.

2. El conjunto imagen consta de todos los números reales entre –1 y 1 inclusive

3. La función seno es una función impar, es decir como se ve en su gráfica, ésta es simétrica con

respecto al origen.

4. La función seno es periódica con periodo 2π

5. Las intersecciones con el eje de abscisas son.....,-2π, -π, 0, π, 2π,3π......; la intersección con el eje

de ordenadas es 0.


6. El valor máximo es 1 y ocurre en los siguientes valores de la variable independiente:

... π−23

; 2π

; π25

; π29

...

7. El valor mínimo es –1 y ocurre en los siguientes valores: ... 2π

− ; π23

; π27

; π211

…

Ya vimos como se genera la gráfica de la función seno, del mismo modo podríamos trabajar para

lograr las gráficas de las demás funciones. Aquí te presentamos algunas para que las uses y tengas en

cuenta:

1

-1

_ π16

_ π13

_ π23

_π56

_π76

_ π43

_ π 53

__ π 11 6

_ _π 16

_ _π 13

_ _ π 23

_ _π 56

_ _π 76

_ _π 43

_ _π 53

_ __ π 11 6

Figura 16 – Función seno: y=sen(t)

1

-1

_π16

_ π13

_ π23

_π56

_ π76

_ π43

_π 53

__ π 11 6

_ _π 16

_ _π 13

_ _π 23

_ _ π 56

_ _π 76

_ _ π 43

_ _π 53

_ __π 11 6

Figura 17 – Función coseno: y=cos(t)


-0.58

_π16

_ π13

_ π23

_π56

_ π76

_π43

_π 53

__π 11 6

_ _π 16

_ _π 13

_ _π 23

_ _π 56

_ _π 76

_ _π 43

_ _π 53

_ __ π 11 6

...

...

1.73

0.58

-1.73

...

...

Figura 18 – Función tangente: y=tg(t)

Ejercicio Nº 31

Usando las gráficas que te presentamos podrías resumir las características mas importantes (dominio,

imagen, paridad, período, raíces, máximos y mínimos) de las funciones coseno y tangente.

Ejercicio Nº 32

Completa la afirmación, consultando las gráfica de las funciones trigonométricas. significa que +→ 0t

t se acerca a cero por la derecha.

a) Cuando ..........)t(sen,0t →→ +

b) Cuando ..........)t(sen,t →π→ +

c) Cuando ..........)t(cos,t →π→ −

d) Cuando ..........)t(cos,3

t →π

→−

e) Cuando ..........)t(tg,2

t →π

→−

f) Cuando ..........)t(gcot,0t →→ +


Ya comprendidos los conceptos sobre funciones trigonométricas, es bueno rescatar las aplicaciones de

este tema, aquí te acercamos algunas...

• EL SONIDO

¿Sabías que ... Los sonidos se transmiten desde una fuente que los produce hasta nuestros oídos a

través de una vibración de las moléculas de aire sin transportar materia.?

Al representar el movimiento de estas moléculas, en un sistema de coordenadas, en el cual el sistema

de abscisas corresponde al tiempo y el de ordenadas al desplazamiento a partir de la posición original,

se obtienen algunos gráficos como los mostrados en la Figura 19.

La representación de la vibración producida al

hacer sonar un diapasón muestra la forma que

tiene la onda de un sonido puro.

Las otras dos, que pertenecen a una flauta y a

un violín, muestran ondas más complejas. En

realidad la onda vibrante emitida por un

instrumento musical, es una combinación de

sonidos puros, o sea que se puede representar

como combinación de funciones periódicas. El

gráfico de un sonido puro corresponde a una

función del tipo: sen(wx)af(x) = violín

flauta

diapasón

Figura 19 – Representación gráfica de diferentes sonidos

¿Qué características físicas tienen los sonidos relacionados con los parámetros a y w ?

• Volumen, si golpeamos con más fuerza el mismo diapasón, oiremos un sonido más intenso, cuya

representación es una función de mayor amplitud. El factor a, está relacionado con el volumen del

sonido o amplitud de la onda.

• Tono o Altura: si golpeamos con la misma fuerza distintos diapasones correspondientes a distintas

notas musicales, nuestros oídos percibirán diferentes alturas o tonos . Esta es la característica física a

la que aludimos cuando decimos que un sonido es grave o agudo y se llama frecuencia, y es π2

w. A

frecuencias mayores corresponden, desde el punto de vista físico, sonidos más agudos y,

matemáticamente, funciones de periodos menores.

Como x representa al tiempo, entonces la frecuencia es la cantidad de ciclos que realiza la onda por

segundo, se mide en Hertz (Hz) que representa un ciclo por segundo.


Si tocamos en un piano el LA por encima del

DO central y pudiéramos visualizar la señal de

este sonido, veríamos que su frecuencia es de

440Hz. Si tocamos un LA más agudo su

frecuencia es de 880 Hz y uno más grave tiene

una frecuencia 220 Hz; estas representan

distintas “octavas” de una misma nota.

Podríamos incluso comparar las frecuencias de

los sonidos de las siete notas de una

determinada octava, los resultados se ven en

la Figura 20.

Figura 20 – Frecuencias de las siete notas en una octava

Ejercicio Nº 33

Observa la figura, y responde:

a. ¿Cuál de las ondas corresponde al sonido de

mayor volumen?

b. ¿Cuál de las ondas corresponde al sonido más

agudo? ¿Y cuál al sonido más grave?

c. ¿Cuál de las ondas tiene el mayor período?

¿Y el menor?

• LAS MAREAS

El siguiente gráfico muestra como varía la profundidad del agua de un puerto en un día cualquiera.

15 17131109070503 19 21 23 01 03

pro

fun

did

ad

[m

]

hora

6

8

2

4

10

juevesmiércoles

Profundidad del puerto

Mar

Calado

Figura 28 – Variación de la profundidad del agua de un puerto en función del tiempo


Ejercicio Nº 34

Dado que los barcos sólo pueden entrar en el puerto si la profundidad en el mismo es mayor que el

calado del barco…, usando la gráfica anterior,

a. ¿A qué hora hay pleamar? ¿Y bajamar?

b. ¿En qué intervalos sube la marea? ¿En cuáles baja?

c. ¿En qué momento puede entrar o salir un barco con un calado de 5m cuando está cargado y de 2m

descargado?

d. ¿Cuál debería ser el calado máximo de un barco cargado para poder entrar y salir del puerto

independientemente de la profundidad en el mismo?

e. ¿Cuál es el período de la función graficada?

Hasta aquí te hemos presentado algunos de los conceptos más importantes de las funciones

trigonométricas, por supuesto que hay mucho más... Las diferentes carreras de ingeniería usan esta

teoría para determinar, entre otras cosas, ángulos de aterrizaje de aviones de acuerdo a la posición

del mismo; armado de cartas de navegación; diseños de diferentes estructuras y piezas de

máquinas; construcción de carreteras, puentes…; modelado, simulación y control de sistemas

eléctricos... y así podríamos seguir enumerando aplicaciones. Depende de tu gusto y de tus ganas

seguir ampliando sobre este tema.


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