CASA ABIERTA DE MATEMTICA
CASA ABIERTA DE MATEMTICALos nmeros EL NMEROLos pitagricos le
adjudicaron especial importancia al nmero. Esto se refleja en las
siguientes palabras de Filolao: "y, en verdad, todas las cosas que
se conocen poseen nmero, pues ninguna cosa podra ser percibida ni
conocida sin ste." El mismo Pitgoras declaraba: "Dios es, en
efecto, nmero.", y por nmero se refera al nmero natural comn.Pero
para los pitagricos, no slo todas las cosas poseen nmero, sino que
los nmeros son concebidos como cosas; las expresiones: "nmeros
cuadrados" o "nmeros triangulares", no son metforas; esos nmeros
son, efectivamente, ante los ojos y ante el espritu, cuadrados y
tringulos.
El nmero es definido, desde el punto de vista geomtrico, como
una suma de puntos representados en el espacio, y las figuras
(lneas, superficies o volmenes), que estn constituidas por esos
puntos materiales llamados mnadas, tambin representan nmeros. De
esta manera, identificaron al nmero uno con el punto, al dos con la
lnea, al tres con la superficie, y al cuatro con el volumen, de
acuerdo con el nmero mnimo de puntos necesarios para definir cada
una de esas dimensiones.Segn Filolao, el nmero tiene dos formas
propias: el impar y el par. Exista una tercer especie: el
par-impar. Esta ltima denominacin, que ha sido aplicada algunas
veces a la unidad, designa tambin los nmeros pares, como el seis y
el diez, que a la primer biseccin dan nmeros impares.
Los pitagricos clasificaron a cada nmero considerando sus
divisores, pero exceptuando al mismo nmero (es lo que se llamar sus
partes alcuotas) y sumndolos. Esta suma ser, en general, mayor o
menor que el mismo nmero, que ser llamado, en consecuencia,
abundante o deficiente. Por ejemplo, 12 es abundante, porque la
suma de sus partes alcuotas es: 1+2+3+4+6=16. En cambio el 8 es
deficiente, pues 1+2+4=7.Pero existen ciertos nmeros en los cuales
la suma de sus partes alcuotas dan como resultado el mismo nmero.
Estos nmeros eran llamados perfectos.Por
ejemplo:6=1+2+328=1+2+4+7+14496=1+2+4+8+16+31+62+ +124+248
Dice Euclides: `'partiendo de la unidad, se forma la progresin
geomtrica de razn 2, y si la suma de sus trminos es un nmero primo,
el producto de este nmero primo por el ltimo trmino de la progresin
es un nmero perfecto.'' Por ejemplo:1+2+4+8+16=31 y 31 es un nmero
primo. Luego, 31.16=496, que es un nmero perfecto.Ciertos nmeros
que tambin llamaron la atencin de los pitagricos, fueron los nmeros
cuadrados. Estos se formaban tomando a la unidad como punto de
partida y agregando a sta la serie ascendente de los nmeros
impares. La progresin aritmtica que as se forma goza de la
propiedad de que en cada uno de los pasos de su construccin en que
uno se detenga, la suma de la unidad y de los nmeros impares
constituye un nmero cuadrado. Por
ejemplo:1+3=41+3+5=91+3+5+7=16
Todos los nmeros cuadrados estn dados por este proceso de
formacin. Adems, la adicin sucesiva de un nmero impar permite pasar
de un cuadrado al cuadrado siguiente (por ejemplo, si a la serie
1+3 le sumo 5, se pasa del cuadrado 4 al cuadrado 9). As, todo
nmero impar se define como la diferencia de dos superficies
cuadradas que tienen respectivamente por lados dos enteros
consecutivos. Utilizando el ejemplo anterior: 1+3+5=9 ; luego 9 - 4
= 5. El nmero impar 5 es la diferencia de dos cuadrados, 9 y 4, que
tienen por lados dos enteros consecutivos, 3 y 2. A tal nmero impar
se lo llam gnomon. Geomtricamente hablando el gnomon es un borde
rectangular de brazos iguales en forma de L, aadido a un
determinado cuadrado para formar el cuadrado siguiente:Esta
definicin geomtrica explica la constitucin interna del nmero impar;
l es la suma de un cuadrado de lado igual a la unidad y de dos
rectngulos iguales cuyo lado menor es tambin igual a la unidad.Por
ejemplo:5=1+2+27=1+3+39=1+4+4Los pitagricos descubrieron tambin
que, a partir de la suma de los nmeros naturales, era posible
representar puntos que denotaban la unidad, dispuestos en forma de
tringulo. De esta manera, y sumando tales puntos se obtenan los
nmeros triangulares, como por ejemplo, el 1, el 3, o el 6: Tambin
existan los nmeros pentagonales, hexagonales, etc..
Si, por otra parte, sumamos los nmeros pares consecutivos,
obtenemos una serie de nmeros llamados oblongos, en donde cada uno
es el doble de un nmero triangular. Esta serie constituye sumas de
progresiones aritmticas que son al mismo tiempo productos de dos
factores, y por consiguiente, superficies. Uno de los factores es
igual a la mitad del ltimo nmero par de la progresin. El otro es el
primer factor aumentado en uno.Por ejemplo:2+4=6 6=2.32+4+6=12
12=3.42+4+6+8=20 20=4.5La superficie tiene pues sus dos lados
desiguales, por lo que se llama hetermaca o rectangular.
Llamaron nmeros amigos a aquellos en donde cada uno era igual a
la suma de los divisores del otro. Por ejemplo:220 y 284,
pues220=1+2+4+71+142, que son los divisores de 284 y
284=1+2+4+5+10+11+20++22+44+55+110, que son los divisores de 220.
La palabra nmero se usaba slo para los enteros positivos. A las
fracciones se las consideraba como una razn o relacin entre dos
nmeros enteros . Tal como lo expresaba Euclides (Elementos Libro
III): "Una razn es una cierta relacin con respecto al tamao de dos
magnitudes del mismo tipo."No cabe duda que la ms famosa realizacin
de los pitagricos la constituye el llamado Teorema de Pitgoras, sin
el cual no es posible concebir la Matemtica en el sentido ms amplio
de la palabra.
