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Sistemas dinámicos no lineales
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DINÁMICA NO LINEAL:
CAOS Y FRACTALES
Trabajo final
José Venancio García García.Nº expediente: 03 – 01573
José Venancio García García.Nº expediente: 03 – 01573
Curso: Dinámica no lineal. Caos y fractales
Cascadas de Feigenbaum en aplicaciones discretas
1. Aplicación logística en el intervalo [ 1 , 3.57 ]Uno de los fenómenos que se pueden visualizar con el diagrama de Feigenbaum es el
de duplicación del periodo. Esta duplicación de periodo , para la familia de sistemas dinámicos asociados a la curva logística, comienza en a = 3 y se puede ver que diverge a infinito antes de llegar a 4. El valor de a que sirve de frontera , entre la zona donde se producen fenómenos de duplicación de periodo y la zona de caos se representa por a y se llama punto de Feigenbaum.
Los primeros valores críticos obtenidos de forma analítica en el libro son a1 = 3 y a2 = 1+ . A partir de este punto, con la ayuda de una hoja de cálculo para efectuar las iteraciones, se obtienen los siguientes valores:
a3 = 3.544057 (periodo 8) a4 = 3.564395 (periodo 16)
a5 = 3.568755 (periodo 32) a6 = 3.569689 (periodo 64)
En la tabla se muestra, como ejemplo, el ciclo de orden 4 obtenido para a = 3.544056
Las distancias entre los sucesivos puntos críticos son:
d1 = a2 – a1 = 0.44940
d2 = a3 – a2 = 0.094567
d3 = a4 – a3 = 0.020338
d4 = a5 – a4 = 0.000436
d5 = a6 – a5 = 0.000934
de donde se obtienen las siguientes aproximaciones para la constante δ.
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a 3,544056 F(x)=ax(1-x)xo 0,2 0,56704896
····································
0,363303190,819789700,523579500,884043530,363303190,819789710,523579500,884043530,36330319
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Curso: Dinámica no lineal. Caos y fractales
Con estos datos se puede estimar el punto de Feigenbaum de entrada al caos
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Curso: Dinámica no lineal. Caos y fractales
2. Aplicación logística en el intervalo [ 3.83 , 3.86 ]
En este intervalo aparece un ciclo de periodo 3 que experimenta sucesivas duplicaciones. Realizando las iteraciones con la hoja de cálculo, se obtienen los primeros
valores del parámetro a para los que se producen las duplicaciones.
a1 = 3.841492 (periodo 6)
a2 = 3.847607 (periodo 12)
a3 = 3.849035 (periodo 24)
a4 = 3.849348 (periodo 48)
a5 = 3.849415 (periodo 96)
En la tabla se muestra, como ejemplo, el ciclo de orden 6 obtenido para a = 3.841493
De forma análoga al caso anterior se obtienen las distancias entre los puntos críticos y las aproximaciones para la constante δ.
d1 = a2 – a1 = 0.006115
d2 = a3 – a2 = 0.001428
d3 = a4 – a3 = 0.000313
d4 = a5 – a4 = 0.000067
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a 3,841493 F(x)=ax(1-x) xo 0,2 0,61463888
····································
0,959657560,148723140,486350560,959657550,148723150,486350590,959657560,148723140,486350560,959657550,148723150,486350590,95965756
José Venancio García García.Nº expediente: 03 – 01573
Curso: Dinámica no lineal. Caos y fractales
3. Exponentes de Lyapunov de la aplicación logísticaMiden la sensibilidad del sistema dinámico a las condiciones iniciales. El exponente
de Lyapunov es negativo cuando la solución es estable, positivo en las regiones caóticas, cero en los puntos de bifurcación y presenta una singularidad, es decir, tiende a - ∞ para los valores correspondientes a ciclos superestables.
Los primeros valores del parámetro a para los que se presentan singularidades son a1 = 2 y a2 = 3.236068, determinados analíticamente en el libro. Mediante el programa LYAPUNOV se pueden obtener los exponentes en intervalos de amplitud 10-5, lo que permite la determinación de las siguientes singularidades:
a3 = 3.498561 ; a4 = 3.554640 ; a5 = 3.566665
En la figura se observan los puntos fijos de un 16-ciclo superestable obtenido para
a = 3.566665 Uno de los puntos del ciclo es 0.5.
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Las distancias entre los sucesivos puntos singulares son:
d1 = a2 – a1 = 1.236068 d2 = a3 – a2 = 0.262493 d3 = a4 – a3 = 0.056079
d4 = a5 – a4 = 0.012025
de donde se obtienen las siguientes aproximaciones para la constante δ’.
4. Aplicación seno 4.1. Cascada de Feigenbaum
En la figura se muestra el diagrama de bifurcación de la función f(x) = (a/π)·sen(π x) en el intervalo [1 , 3 ]. Se puede observar la cadena de bifurcaciones a partir de a = 2.26. Realizando las iteraciones con una hoja de cálculo se obtienen los siguientes valores críticos:
a1 = 2.261660 (periodo 2)
a2 = 2.617716 (periodo 4)
a3 = 2.697372 (periodo 8)
a4 = 2.714590 (periodo 16)
a5 = 2.718283 (periodo 32)
Las distancias entre los sucesivos puntos críticos son:
d1 = a2 – a1 = 0.356056 d2 = a3 – a2 = 0.079656 d3 = a4 – a3 = 0.017218
d4 = a5 – a4 = 0.003693
de donde se obtienen las siguientes aproximaciones para la constante δ.
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4.1. Exponentes de Lyapunov
El primer valor del parámetro a para el que se presenta una singularidad puede ser obtenido analíticamente, ya que se corresponde con un punto fijo superestable que debe ser x* = 0.5. Resolviendo la ecuación
f (0.5) = (a / π) ·sen (π· 0.5) = 0.5
Se obtiene a1 = π/2 = 1.570796....
Mediante el programa LYAPUNOV se obtienen las siguientes singularidades:
a2 = 2.443322 ; a3 = 2.658988 ; a4 = 2.706326 ; a5 = 2.716517
Las distancias entre los sucesivos puntos singulares son:
d1 = a2 – a1 = 0.872526 d2 = a3 – a2 = 0.215666 d3 = a4 – a3 = 0.047338
d4 = a5 – a4 = 0.010191
de donde se obtienen las siguientes aproximaciones para la constante δ’.
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5. Aplicación de HénonEs una aplicación iterativa en dos dimensiones dada por
Xn+1 = 1 + Yn – aXn2
Yn+1 = bXn
Los puntos fijos obtenidos al resolver el sistema
x = 1 + y – ax2 ; y = bx
vienen dados por
Fijado el parámetro b, se puede ver que x* es inestable para cualquier valor de a y que
a*+ es estable para
Para b = 0.3, existe un punto fijo estable para valores de a entre ao = –0.1225 y a1 = 0.3675. A partir de este valor se inicia una cascada de bifurcaciones. Realizadas las iteraciones con una hoja de cálculo se obtienen los siguientes valores críticos:
a2 = 0.912421(periodo 4) a3 = 1.025820 (periodo 8) a4 = 1.051110 (periodo 16)
a5 = 1.056558 (periodo 32) a6 = 1.057729 (periodo 32)
En la tabla se muestra, como ejemplo, el ciclo de orden 4 obtenido para a = 0.92.
a 0,92 Xn Ynb 0,3 1 0,25x0 1 0,33 0,3y0 0,25 ..................... .....................
1,13253618 -0,15284585-0,33287299 0,339760851,23782078 -0,09986190
-0,50948616 0,371346231,13253618 -0,15284585
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José Venancio García García.Nº expediente: 03 – 01573
Curso: Dinámica no lineal. Caos y fractales
Las distancias entre los sucesivos puntos críticos son:
d1 = a2 – a1 = 0.544921 d2 = a3 – a2 = 0.113399 d3 = a4 – a3 = 0.025290
d4 = a5 – a4 = 0.005448 d5 = a6 – a5 = 0.001171
de donde se obtienen las siguientes aproximaciones para la constante δ.
6. Constante de FeigenbaumEn todos los casos anteriores se observa que los puntos críticos para los que se
producen duplicaciones del periodo están cada vez más próximos y que los cocientes(an – an-1)/(an+1 – an) se aproximan cada vez más a la constante de Feigenbaum, δ = 4.669201609. Esta constante es "universal", es decir, aparece en los sistemas dinámicos en los que se alcanza el régimen caótico a través de bifurcaciones (duplicaciones) de periodo.
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