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Cássia Inês S. M. SantosCássia Inês S. M. SantosEdina Maria S. BritoEdina Maria S. BritoNilce B. Faria QueirozNilce B. Faria QueirozVera Lucia BombardiVera Lucia BombardiViviane Jara BenedetiViviane Jara BenedetiMarina O. TanakaMarina O. Tanaka (estagiária)
Este trabalho destina-se a subsidiar a ação docente, estabelecendo conteúdo sobre áreas e volume do
paralelepípedo reto retângulo.
Historia da Geometria; Áreas e Volumes; Exemplos de aplicação – relações do tema com conhecimentos de outras áreas; Sugestões de abordagens; Outros tipos de abordagens; Conclusão; Bibliografia.
A geometria é o campo da matemática que estuda o espaço e as figuras que podem ocupar o espaço.
Os homens já praticavam geometria muito antes da
matemática existir como ciência, tal como a entendemos hoje.
Milhares de anos atrás, quando o homem escolhia uma caverna para morar, avaliava o espaço dessa caverna em relação às
proporções de seu próprio corpo. Intuitivamente, estava fazendo
geometria e, portanto, matemática.
Uma medida para a vidaUma medida para a vidaAs origens da Geometria parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia. Partilhar terras férteis às
margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são
algumas das muitas atividades humanas que sempre
dependeram de operações geométricas.
O corpo como unidadeO corpo como unidadeAs primeiras unidades de medida
referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbitopalmo, pé, passo, braça, cúbito.
Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito
começaram a ser construídos os primeiros templos - seus
projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e
precisas.
Para medir superfíciesPara medir superfíciesOs sacerdotes encarregados
de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente
começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe
de vista.Quando deparavam com
uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros
cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício
conhecido como triangulação.
O Paralelepípedo retânguloParalelepípedo retângulo têm as seis faces retangulares e são
inúmeros os objetos que têm sua forma: um tijolo, uma caixa de
fósforos, um livro etc.O paralelepípedo retângulo é
também chamado ortoedroortoedro ou bloco bloco retangularretangular..
As dimensões de um paralelepípedo As dimensões de um paralelepípedo retângulo são chamadas retângulo são chamadas
comprimentocomprimento, larguralargura e e alturaaltura, cujas medidas serão indicadas por aa, , bb e cc,
respectivamente.
ddbb
ddpp
aa
bb
cc
ddbb22 = a = a22 + b + b22
ddpp22 = d = dbb
22 + c + c22
AALL= ac + bc + ac + bc = ac + bc + ac + bc
AALL = 2ac + 2bc = 2ac + 2bc
AALL = 2(ac + bc) = 2(ac + bc)
AATT= 2(ab + ac + bc)= 2(ab + ac + bc)
Medidas de volumeFreqüentemente nos deparamos com
problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e
profundidade. Conhecendo essas medidas podemos calcular o espaço ocupado por um
corpo ou seu volume. Metro cúbico
A unidade de medida volume é o metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.
PARALELEPÍPEDO PARALELEPÍPEDO DIMENSÕES:4,2 E 2DIMENSÕES:4,2 E 2
Unidade de Volume é um Unidade de Volume é um cubo de aresta 1cubo de aresta 1
V = abcV = abcV = 4.2.2 = 16V = 4.2.2 = 16
Um afresco do século XV pintado por Rafael e seus discípulos, encontra-se no Museu do Vaticano. Esta
obra é uma homenagem à cultura grega, e nela
podemos ver em destaque, uma referencia aos
matemáticos gregos.
A partir da esquerda, a Grande Pirâmide A partir da esquerda, a Grande Pirâmide de Quéops,de Quéops,
a pirâmide de Quéfren, e a pirâmide de a pirâmide de Quéfren, e a pirâmide de MiquerinosMiquerinos
Para o cálculo da vazão de um rio em um trecho de margens paralelas, calcula-se a velocidade da correnteza e admite-se o trecho como um
paralelepípedo. Vamos supor que a velocidade da correnteza seja 3 m/s e que o paralelepípedo
tenha dimensões 3 m por 40 m por 10 m. Imagine uma torneira “gigante”, com a mesma
vazão do rio, despejando água num paralelepípedo com essas dimensões, até então vazio. O paralelepípedo ficaria completamente cheio de água em um segundo. Como o volume
do paralelepípedo é 1.200 m3 e cada m3 equivale a 1.000 litros, tem-se que a vazão do
rio é 1.200.000 l/s.
Pense em dois cubos de ferro Pense em dois cubos de ferro maciço, um de aresta 3 cm e o outro maciço, um de aresta 3 cm e o outro
de aresta 6 cm, ambos à de aresta 6 cm, ambos à temperatura 36ºC. temperatura 36ºC. Colocando-os em Colocando-os em um ambiente de temperatura mais um ambiente de temperatura mais baixa, o cubo menor perderá calor baixa, o cubo menor perderá calor mais rapidamente que o maior. Na mais rapidamente que o maior. Na
linguagem do cotidiano dizemos que linguagem do cotidiano dizemos que o menor se esfriará mais o menor se esfriará mais
rapidamente que o maior. rapidamente que o maior.
6 cm6 cm
3 cm3 cm
Isso ocorre porque a razão da área total para o volume do
cubo pequeno (2) é maior que a razão correspondente no cubo grande (1), ou seja a
superfície em contato com o ambiente é relativamente maior no cubo pequeno.
O mesmo acontece com um bebê e um adulto. A razão da área para o volume do corpo
de um bebê é maior que a razão correspondente em um adulto, por isso a criança tem maior dificuldade em manter o calor de seu corpo e, portanto
sente mais frio.
Aluisio Carvão, Claro vermelho 1959
Piet Mondriana Ver Amar Azul 1921
Ligia Clarck – Bicho Ligia Clarck – Bicho Carangueijo Duplo 1966Carangueijo Duplo 1966
PAINEL DE AZULEJOS DE ALUÍSIO CARVÃOPAINEL DE AZULEJOS DE ALUÍSIO CARVÃOBairro do LeblonBairro do Leblon
Rio de Janeiro-RJ. Rio de Janeiro-RJ.
Caracterização, construção, utilização da
relação de Pitágoras
Calculando a área Calculando a área do campo de futebol.do campo de futebol.Sabendo que as Sabendo que as dimensões de um dimensões de um
campo de futebol são campo de futebol são 110 m x 75 m calcule 110 m x 75 m calcule
sua áreasua área. .
Revisando área de figuras planas
ÁreaÁrea = Base x Altura ( A= b.h ) = Base x Altura ( A= b.h )Medida do campo = 110m x 75mMedida do campo = 110m x 75mAA = 110 . 75 = 110 . 75AA = 8250 m² = 8250 m² O campo possui 8.250 m².O campo possui 8.250 m².
75 m
110 m
Um campo de futebol tem Um campo de futebol tem 110 m de comprimento e 110 m de comprimento e
80 m de largura qual a 80 m de largura qual a medida da sua diagonal ?medida da sua diagonal ?
Use o Teorema de Use o Teorema de Pitágoras!Pitágoras!
Diagonal do Diagonal do campo de futebolcampo de futebol
““A SOMA DOS QUADRADOS A SOMA DOS QUADRADOS DOS CATETOS É IGUAL AO DOS CATETOS É IGUAL AO
QUADRADO DA QUADRADO DA HIPOTENUSA.”HIPOTENUSA.”
a a = diagonal = diagonal bb = base = base cc = largura = larguraa² = b² + c² a² = 100² + 80²a² = b² + c² a² = 100² + 80²a² = 10000 + 6400 a² = 16400a² = 10000 + 6400 a² = 16400a = a = 128,06 m.a = a = 128,06 m.A diagonal mede 128,06 m.A diagonal mede 128,06 m.
80 m
100 m
16400
128,06 m90°
Uma piscina olímpica tem 1.890.000 litros de água (volume: 1.890 m3). Ela mede 50 metros de comprimento e 25 metros de largura. São oito raias, cada
uma com 2,5 metros de largura. A profundidade mínima é de 2 metros. Nas
provas de Olimpíadas, ele é de 2,5 metros. Os melhores qualificados nas
eliminatórias ficam nas raias 4 e 5, pois são as que tem menos turbulência.
Exemplo de cálculo de volumeExemplo de cálculo de volumeUtilizando as medidas da piscina podemos calcular seu volume:
largura = 25 mcomprimento = 50 mprofundidade = 2,5mFórmulaV = A base.hV = A base.hV = 25.50.2,5 mV = 3125 m³
25
50
2,5
Dona Benta é uma confeiteira de mão cheia. No aniversário da Cátia ela fez um delicioso bolo em forma de cubo. Depois de pronto ela enfeitou a parte externa do bolo com cobertura de morango.Por fim, ela cortou o bolo em cubinhos, conforme se pode ver no esquema da figura.
Onde entra a Álgebra?Onde entra a Álgebra?Imagine um bolo, em forma de cubo, que foi Imagine um bolo, em forma de cubo, que foi
decomposto em ndecomposto em n33 pedaços cúbicos iguais. pedaços cúbicos iguais.a) Quantos pedaços têm cobertura em três a) Quantos pedaços têm cobertura em três
faces? faces? b) Quantas têm cobertura em duas faces? b) Quantas têm cobertura em duas faces? 4(n – 2) + 4(n – 2) + 44(n – 2) + 4(n – 2) + 4c) Quantos têm cobertura em apenas uma c) Quantos têm cobertura em apenas uma
face? 5(n – 2)face? 5(n – 2)22 + 4(n –2) + 4(n –2) d) Quantos não têm cobertura em face d) Quantos não têm cobertura em face
alguma? (n – 2 )alguma? (n – 2 )33 + (n – 2) + (n – 2)22.. Verifique que: Verifique que: (n – 2)(n – 2) 3 3+ (n – 2)+ (n – 2) 2 2 + 5(n – 2 ) + 5(n – 2 ) 2 2 + 4 (n – 2)+ 4(n + 4 (n – 2)+ 4(n
– 2) + 4(n – 2) + 4 + 4 = n– 2) + 4(n – 2) + 4 + 4 = n33..
R: a)4; b)20; c)28; d)12.R: a)4; b)20; c)28; d)12.
Considerando que a maioria das bagagens tem o formato de um bloco bloco retangularretangular, que medidas deve ter uma
mala com volume volume máximo? Qual o volume dessa mala?
,
Nos vôos realizados nos aviões tipo Nos vôos realizados nos aviões tipo Boeing 737, a soma Boeing 737, a soma dasdas medidas do medidas do comprimento (A), da largura (B) e comprimento (A), da largura (B) e
da altura (C) da bagagem não deve da altura (C) da bagagem não deve exceder 115 cmexceder 115 cm
Bagagem não pesar mais de 5 kgBagagem não pesar mais de 5 kgA bolsa de volume máximo, nestas A bolsa de volume máximo, nestas condições, é a que tem o formato condições, é a que tem o formato
de um cubo. Portanto suas de um cubo. Portanto suas dimensões (comprimento, largura e dimensões (comprimento, largura e
altura) são iguais.altura) são iguais.A = B = C = 115/3 = 38,3 cmA = B = C = 115/3 = 38,3 cm
V = (115/3)V = (115/3)33 = 56328,7 = 56328,7 cmcm33
Qual das suas mãos tem maior volume?
Para responder à questão, use uma vasilha com água, uma tira de papel e dois elásticos. Trabalhe com parceria
com um colega. Cole a tira de papel na vasilha e marque
o nível da água. Prenda um elástico em cada pulso, na
mesma altura. (Cuidado! O elástico não pode prender a circulação.)
Mergulhe a mão esquerda na água até a altura do elástico e assinale (ou peça ao
companheiro que o faça) o nível da água. Escreva a letra E na marca.
Retire a mão de dentro da vasilha e deixe a água escorrer bem. Se
precisar, coloque mais água para atingir o primeiro nível marcado.Coloque a mão direita na água e
proceda como anteriormente. Agora marque a letra D no novo nível da
água. Qual das suas mãos têm maior
volume? As duas marcas devem estar bem próximas, mas separadas o suficiente para você responder à
pergunta.
A formação continuada do professor se faz necessária. A capacitação de
professores visa uma mudança de postura em sala de aula promovendo métodos de
aprendizado ativo e interativo, pretendendo-se com isso despertar no
aluno o espírito de pesquisa, o desenvolvimento da capacidade de
raciocínio, autonomia e a solidariedade.Para confecção do trabalho do nosso
grupo, o uso da tecnologia foi de grande importância, facilitando a pesquisa,
proporcionando novos conhecimentos e permitindo o aperfeiçoamento
profissional.
“Sem a curiosidade que me move, que me insere na busca não
aprendo, nem ensino.”
“Ninguém ignora tudo, ninguém sabe tudo. Por isso aprendemos
sempre.”
Paulo Freire
http://www.mat.ufrgs.br/~edumatec/software/softw.htmhttp://www.somatematica.com.br/geometria.phphttp://www.tvcultura.com.br/artematematica/home.htmlhttp://geocities.com/geoespacial/http://www.linhadetransmissao.com.br/tecnica/areas1.htmhttp://www.nosachamos.com/educacao/matematica/materias/geom_esp3.htmhttp://www.tvcultura.com.br/artematematica/geometrias.html http://www.educacional.com.br/conversor/comprimento1.asp
A MATEMÁTICA DO ENSINO MÉDIO, Editora SBM –Elon, Carvalho, Eduardo Wagner, Morgado.MATEMÁTICA FUNDAMENTAL; Giovanni, Bonjorno, Giovanni Jr. 2º Grau Volume ÚnicoMATEMÁTICA 2, José Ruy Giovanni e José Roberto Bonjorno - 2º GrauPROPOSTA CURRICULAR ENSINO MATEMÁTICA, do 2º grau – 1992, 3ª ediçãoPRÁTICA PEDAGÓGICA – Matemática 2o. Grau – Geometria 1 – Volume 2ENSINANDO COM TECNOLOGIA -Criando Salas de aulas centradas nos alunos;SANDHOLTZ Judith Haymore , RINGSTAFF Cathy, DWYER David C.
Orientador:Orientador:
Professor Dr. Professor Dr. Anirio Sales FilhoAnirio Sales Filho