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METODOS NUMERICOS
Ingeniería Civil
Facultad de Ingeniería de Minas, Geología y Civil
Departamento académico de ingeniería de minas y civil
CATEDRA 15
Capitulo XV
Solución de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias
SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFRENCIALES ORDINARIAS
3
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIALMÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UN PVIMÉTODO DE EULERMÉTODO DE TAYLORMÉTODO DE EULER MODIFICADOMÉTODO DE RUNGE-KUTTAMÉTODO DE PREDICCIÓN Y CORRECCIÓNSOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES DESEGUNDO ORDEN
24/07/2015 4
C0NTENIDO
En esta oportunidad formularemos el Problema deValor Inicial “PVI” y analizamos e interpretamosgráficamente su solución numérica, debemosdestacar que muchas de leyes generales de lanaturaleza se expresan con el lenguaje de lasecuaciones diferenciales ordinarias que es aplicadoen una diversidad de campos del conocimiento. Endonde una ecuación diferencial se debe considerarcomo la razón de cambio de y con respecto a x.
5
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI
1.En general una EDO de primer orden esta dadopor:
………………………………………………..(1)2. Teóricamente se dice que la solución de una EDOdebe contener una constante arbitraria “C”,consecuentemente la solución general de (1) es:
………………………………………………(2)
6
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI
),( yxfdxdy
0),,( cyxF
Observaciones:1.La relación (2) representa una familia de curvas enel plano xy, en donde cada curva se obtiene para unvalor particular de “C”.2. Cada curva representa a una solución particular deEDO.3. Las constantes “C” son obtenidos analíticamente,exigiendo que la solución de esa ecuación pase poralgún punto (x0, y0) esto es:
7
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI
…………………………… ……………………..(4)i.e.: que “y” vale “y0” cuando “x” es “x0”
Interpretación Gráficamente:
8
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI
00 )( yxy
Y0
F3 = 0
F2 = 0, con Y(X0) = Y0
F1 = 0
4. Como se mencionó al inicio la gran mayoría de lasecuaciones no pueden resolverse utilizando técnicasanalíticas, lo que obligan a estudiar métodos numéricos.5. Debemos resaltar que cuando usamos los métodosnuméricos no encontramos soluciones de la formaF(x,y,c) = 0 pues se trabajan con números y se tieneresultados numéricos. Pero el propósito es determinarvalores de “y” que correspondan a valores específicosde “x” los cual es factible con métodos numéricos.
9
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI
El problema de valor inicial (P.V.I.) quedaformulado así:Una ecuación diferencial de primer orden:i. Un valor de “y” en un punto conocido “x0”
(condición inicial)ii. El valor “xf” es donde se quiere conocer el
valor de “y(xf )”y (xf ) = yf
10
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI
),( yxfdxdy
00 )( yxy
Matemáticamente.
11
FORMULACIÓN DEL PROBLEMA DE VALOR INICIAL PVI
P.V.I.
?)()(
),(
00
fxyyxy
yxfdxdy
(5)
MÉTODO DE EULEREste método consiste en dividir el intervalo [x0,xf] en “n”subintervalos de ancho h esto es:
Lo que permite determinar un conjunto de n+1puntosdiscretos, i.e. X0, x1 , x2, x3 … xi ,xi+1 ... xn-1
12
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
nXX
h f 0
x1 x2 x3 ... xi xi+1 ... xn-1 xn
x0 xf
Observando que:Para cualquier punto se tiene
En general
CONDICIÓN INICIAL1. representa el punto , por dondepasa la curva solución de la ecuación PVI. lo que serádenotado por F(x) = y, en lugar de F(x,y,c1) = 0.
13
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
hxxhxxhxxhxxhxxhxx
hxxhxx
32
032323
021212
0101
ihxxi 0 ni ,...,3,2,1,0
00 )( yxy ),( 000 yxP
2.Consecuentemente: teniendo el punto P0 podemosevaluar la primera derivada de F(x) en ese punto P0. Estoes:
...............................................(6)
3. Teniendo esta información (6) trazamos una recta laque pasa por P0 y de pendiente
que aproxima F(x) en una vecindad de X0.
14
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
),()(' 000
yxfdxdyxF
P
3000
000 .......:),(:),( Lyxf
xxyyyxf
4.Tomamos la recta L3 en lugar de F(x) y localizamos en esta recta el valor de y1 que corresponde a x1. Esto es:
.............................................(7) .............................................(8)
15
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
),( 0001
01 yxfxxyx
hyxfyyyxfxxyx
),(),( 00010001
01
),(..
),(..
),(),(
111
1
1112
0001
nnnn
iiii
yxhfyy
yxhfyy
yxhfyyyxhfyy
)( 11 xFy
Gráfico
(1) En esencia se trata de aproximar la curva y = F(x) pormedio de una serie de segmentos de líneas rectas.(2) El método comete un error de truncamiento que espropio de el.
16
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
P0(x0,y0)
error f(x0,y0)
y0
y1
f(x1)
F(xf)
x0 x1 xi xi+1
x0 x1 x3 x4 xi xn
(3) El error de (2) se puede anular tanto como se quiera,reduciendo la longitud de “h” teóricamente.(4) Debido a (3) se comete un error de redondeo másalto.Ejemplos.Resolver PVI usando EulerEjemplo 1
17
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
?)1(2)0(
yy
yxdxdy
?)()(
),(
00
fxyyxy
yxyxf
Solución1. El intervalo de interés [x0,xf] = [0,1]2. Determinando h: dividimos el intervalo [0,1] en 5subintervalos
3. Determinar los argumentos:
18
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
2.05
01
h
1)2.0(5058.0)2.0(4046.0)2.0(3034.0)2.0(202
2.0)2.0(1010
505
404
303
202
101
0
0
xhxxxhxxxhxxxhxx
xhxxx
ihxxi
4. Determinando los valores de yi
5. Comparando con la solución analíticaLa solución analítica es: 1.10364El error absolutoEl error relativo
19
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
98304.0)0288.18.0(2.00288.1),(0288.1)136.16.0(2.0136.1),(
136.1)32.14.0(2.032.1)32.1,4.0(2.032.1),(32.1)6.12.0(2.06.1)6.1,2.0(2.06.1),(
6.1)20(2.02)2.0(2.02),(),(
54445
43334
32223
21112
10001
11
yyxhfyyyyxhfyy
fyyxhfyyfyyxhfyy
fyyxhfyyyxhfyy iii
12060.010364.198304.05*5 yyEA
5yEE A
R 1092.010364.112060.0
RE
Ejemplo 2Dada la siguiente ecuación diferencial con la condicióninicial:
Aproximar
NOTAPrimero observamos que esta ecuación sí puederesolverse por métodos tradicionales de ecuacionesdiferenciales. Por ejemplo, podemos aplicar el métodode separación de variables. Veamos las dos soluciones 20
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Solución Analítica.
Sustituyendo la condición inicial:Por lo tanto, tenemos que la curva solución real estádada
Y por lo tanto, el valor real que se pide es:
21
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Solución Numérica,
Aplicamos el método de Euler y para ello, observamosque la distancia entre y no es lo suficientementepequeña. Si dividimos esta distancia entre cincoobtenemos un valor de y por lo tanto, obtendremos laaproximación deseada en cinco pasos.De esta forma, tenemos los siguientes datos:
22
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Sustituyendo estos datos en la formula de Euler,tenemos, en un primer paso:
Aplicando nuevamente la formula de Euler, tenemos, enun segundo paso:
23
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Y así sucesivamente hasta obtener . Resumimos losresultados en la siguiente tabla
24
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
n
0 0 1
1 0.1 1
2 0.2 1.02
3 0.3 1.0608
4 0.4 1.12445
5 0.5 1.2144
Concluimos que el valor aproximado, usando el métodode Euler es:Puesto que en este caso, conocemos el valor verdadero,
podemos usarlo para calcular el error relativoporcentual que se cometió al aplicar la formula de Euler.Tenemos que:
25
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Ejemplo
Aplicar el método de Euler para aproximar , dada laecuación diferencial.
SoluciónNuevamente vemos que nos conviene dividir en pasos la aproximación. Así, elegimos nuevamente para obtener el resultado final en tres pasos. Por lo tanto, aplicamos el método de Euler con los siguientes datos:
26
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
En un primer paso, tenemos que:
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
27
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
n
0 1 2 1 1.1 2.3 2 1.2 2.6855 3 1.3 3.1901
MÉTODO DE TAYLORPodemos observar que el método anterior usa los dosprimeros términos de la serie de Taylor para su primeraiteración, i.e.
………………………………….(2)De manera natural se puede pensar que paradeterminar y2 se expandió de nuevo F(x) en la serie deTaylor. Así:
.......................................(2)28
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
))((')()( 010011 xxxFxFyxF
))((')()( 121122 xxxFxFyxF
Pero se debe resaltar que no disponemos de los valoresexactos de F(x1) y F’(x1), los que se usan en la expansión deTaylor de F(x) alrededor de x1 lo que permite no evaluar laparte derecha (2) consecuentemente para los otros valoresde x se usa:
......................... (3)
La relación (3) tiene mucha similitud con la expansión en serie Taylor.Si aplicamos la información acerca de las series de Taylor con lafinalidad de mejorar la exactitud del método de Euler, obtendremoslos llamados Algoritmos de Taylor.
29
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
))((')())(,(
11
11
iiiii
iiiiii
xxxFxFyxxyxfyy
Usemos tres términos en lugar de dos en la expresión deF(x1), i.e.
………………………(4)Pero
y
Luego
………………….(5)
30
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
!2)(
)(''))((')()(2
010010011
xxxFxxxFxFyxF
dxyxdf
dxxdFxF ),()(')('' 01 xxh
00
2
0001 ,),(!2
),( yxdx
yxdfhyxhfyy
Entonces se sugiere considerar (5) para obtener y2, y3,..., ynmejoraría la exactitud obtenida con (1) consecuentementese propone la formula:
…………………(6)
La utilidad de la relación (6) depende de cuan fácil sea ladiferenciación de f(x,y)
31
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
iiii yxdx
yxdfhyxhfyy ,),(!2
),(2
1
Si f(x,y) es una función solo de x, la diferenciación conrespecto a x es relativamente fácil y la formula propuestaes muy práctica.
En general f(x,y) es una función de x , y, habrá que usarderivadas totalesLa derivada total de f(x,y) con respecto a x esta dada por
32
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
dxdy
yyxf
xyxf
dxyxdf
),(),(),(
Ejemplos. Resolver por el método de Taylor
1. Cálculo de: h = 0.22.Cálculo de , , , , ,3. Aplicando
33
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
?)1(2)0(
yy
yxdxdy
000 xihxxi 2.01 x 4.02 x 6.03 x 8.04 x 15 x
),(),(!2
),(2
1 iiii yxdx
yxdfhyxhfyy
dxyxdfhyxhyyy ),(
!2),()2.0( 00
2
0001
En donde
34
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
)1(!2
)(
),(1)(11)(),(),(),(
00
2
0001
00
yxhyxhyy
yxyxyxyxy
yxfx
yxfdx
yxdf
66.1)201(2
)2.0()20(2.022
)1(2
)()4.0( 11
2
1112 yxhyxhyyy
4172.1)66.12.01(22.0)66.12.0(2.066.1
2
Continuando
35
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
%15.9915976.0010908.1
2047308.1)269184.18.01(22.0)269184.18.0(2.0269184.1
269184.1)254104.16.01(22.0254104.16.0(2.0254104.1
254104.1)4172.14.01(22.0)4172.14.0(2.04172.1
%
2
5
2
4
2
3
EEE
y
y
y
R
A
MÉTODO DE EULER MODIFICADOEn el método de Euler se tomó como válida para todo elintervalo la derivada encontrada en un extremo.
Si queremos obtener una exactitud razonable se toma hmuy pequeña, a cambio de un mayor error de redondeo
36
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
X0 h X1
Y0
F(x0,y0)
El método presente trata de evitar tal problemautilizando un valor promedio de la derivada tomadaen los extremos del intervalo. Constado de 2 pasos:
1° Se inicia de (x0,y0), usar el método de Euler paradeterminar “y” correspondiente a x1, valor que serádenotado por , puesto que se trata de un valortransitorio de y1. Este paso se le llama paso predictor.
37
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
1y
2° Este paso se llama corrector, pues trata de corregirla predicción en el nuevo punto se evalúa laderivada usando la ecuación diferencial ordinariaP.V.I. que se está resolviendo, se obtiene la mediaaritmética de esta derivada y la derivada en el puntoinicial (x0,y0)Derivada Promedio =Usamos la derivada promedio para calcular el nuevovalor y1 con la ecuación de Euler, que será mas exactoque
38
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
),( 11 yx),( 11 yxf
),(),(21
1100 yxfyxf
1y
Que será el valor definitivo de y1. El proceso se repitehasta llegar a yn.Primero: Paso de PredicciónSegundo: Una vez obtenida se calcula , laderivada en el punto y se promedia con laderivada previa para encontrar la derivadapromedioDerivada Promedio
39
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
),(,(2 1100
0101 yxfyxfxxyy
),(1 iiii yxhfyy
1iy ),( 11 ii yxf),( 11 ii yx
),( ii xxf
11 ,,21
iiii yxfyxf
SoluciónConsiderando las mismas condiciones del ejerciciotenemos:h=0.2; y0=2; f(x0,y0)=f(0,2)=0-2=-2Primera iteración
40
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
6.1)20(2.02),( 0001 yxhfyy
7.1)6.12.0()20(21),(),(
21
1100 yxfyxf derivada promedio
66.1)7.1(2.02)7.1(2.001 yy
Segunda interación1°2°
Tercera interación1°
2°
24/07/2015 41
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
368.1)66.12.0(2.066.1),( 1112 yxhfyy
4172.1)214.1(2.066.1)(
214.1)368.14.0()66.12.0(21),(),(
21
22
2211
yxy
yxfyxf
21376.1)4172.14.0(2.04172.1),( 2223 yxhfyy
)21376.16.0()4172.14.0(21),(),(
21
3322 yxfyxf
EjemploAplicar el método de Euler mejorado, para aproximarsi:
SoluciónVemos que este es el mismo ejemplo 1 del métodoanterior. Así que definimos y encontraremos laaproximación después de cinco iteraciones.
42
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
A diferencia del método de Euler 1, en cada iteraciónrequerimos de dos cálculos en vez de uno solo: primero elde y posteriormente el de .Para aclarar el método veamos con detalle las primeras dositeraciones. Primero que nada, aclaramos que tenemos lossiguientes datos iniciales
43
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
En nuestra primera iteración tenemos:
Nótese que el valor de coincide con el (Euler 1), y esel único valor que va coincidir, pues para calcular seusará y noEsto lo veremos claramente en la siguiente iteración:
44
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Nótese que ya no coinciden los valores de (Euler 1) y el de Elproceso debe seguirse hasta la quinta iteración. Resumimos losresultados en la siguiente tabla:
24/07/2015 45
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
n
0 0 1
1 0.1 1.01
2 0.2 1.040704
3 0.3 1.093988
4 0.4 1.173192
5 0.5 1.28336
METODO DE RUNGE-KUTTAMETODO DE RUNGE-KUTTA DE SEGUNDO ORDENEstos métodos que se encuentran relacionados a losnombres de Runge (1885), Kutta (1901), Heun (1900) yotros, para solucionar P.V.I .Consiste en obtener unresultado que se obtendrá al utilizar un número finito detérminos de una serie de Taylor de la forma:
(1)
46
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
...),(''!3
),('!2
),(.32
1 iiiiiiii yxfhyxfhyxfhyy
Con una aproximación en la cual se calcula de unaformula del tipo:
(2)
En donde:α, u, b son determinados de modo que si se expandiera con , enserie de Taylor alrededor de ( xi ,yi ); debemos observar que loscoeficientes de h, h2, h3, etc., coincidirían con los coeficientes de laecuación (1). Supongamos p=1 tendremos
47
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
),(
...),(),(),( 22211101 hbyhuxf
hbyhuxfhbyhuxfyxfhyy
pipip
iiiiii
1iy
..............(3)Observaciones:1. En esta relación se evalúa f(x), en dondees tal que: , para mantener la abscisa delsegundo punto dentro del intervalo de interés, con lo que. Gráficamente
48
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
);(.; 101 bhyuhxfyxhyy iiiiiii
);(; bhyuhxyx iiiii
1 iii xuhxx
10 u
(xi,yi)
(xi+uh , yi+λk0)
yi+1
yi+1+h f( xi , yi )
xixi+1
2. b puede ser manejado más libremente y expresarse yse puede usar como ordenada arriba o debajo de laordenada que da el método de Euler simple.
………………(4)Con k0 = h f(xi,yi)3.Queda por determinar α0, α1, μ, λ tal que la ecuación (3)tenga una aproximación en potencias de h, cuyos primerostérminos coinciden con los primeros términos de ecuación(1).4.Para cumplir con (3) expandimos primero en serie deTaylor
49
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
0);( kyyxhfybhy iiiii
….(5)Todas las derivaciones son evaluadas enSustituyendo en la ecuación (3)
Arreglando en potencias de h, tenemos
…..(6)
50
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
32
220
22
02
222
0
0
0!2!2
)(
),(
hy
fkyxfhku
xfhu
yfk
xfuhyxf
kyuhxf
ii
ii
ii yx ,
32
220
22
02
222
010
1
0!2!2
),(),( hyfk
yxkuh
yfhu
yfk
xfuhyxfhyxhfy
y
iiiii
i
42
222
2
2
22
3
3
12
101
0),(),(22
),(),(
hy
fyxfyxfyxfu
xfuh
yfyxf
xfuhyxfhyy
iiii
iiiiii
Para que los coeficientes correspondientes de h, h2
coincidan en las ecuaciones (1) y (6) se requiere que:…………………………..(7)
5.Observamos que existen 4 incógnitas para solo tresecuaciones y, por tanto se tiene un grado de libertad en lasolución de la ecuación (7). Podríamos pensar en usar estegrado de libertad para hacer coincidir los coeficientes deh3. Sin embargo, es obvio que esto es imposible paracualquier forma que tenga la función f(x,y). Existeentonces un número de infinito de soluciones de laecuación (7), pero quizás la más simple sea :
51
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
110 21 ,
21
11 u
1 ; 21
10 u
6. La relación de (5) conduce a la formula
o bien…….(8)
7. La relación (8) es conocida como algoritmo deRunge-Kutta de segundo orden.
52
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
)),(,(),(21 iiiiiiii yxhfyhxfyxfhyy
),( ; ),( :con , 2 010101 hkyhxfkyxfkkkhyy iiiii
Lo de segundo orden por coincidir con los tres primerostérminos de la serie de Taylor que es la formula de EulerModificado.•Este método proporciona mayor exactitud que la deEuler.•Se puede usar un valor de h no tan pequeño como elprimero .El precio de es la evaluación f(x,y) dos veces encada subintervalo contra uno en el método de Euler.8.Las formulas de Runge-Kutta de cualquier orden sepuede derivar de manera análoga que la de segundoorden.
53
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
METODO DE RUNGE-KUTTA DE CUARTO ORDEN……………….(9)
54
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
43211 226
kkkkhyy iI
),(1 ii yxfk
)2
,2
( 12
hkyhxfk ii
)2
,2
( 23
hkyhxfk ii
),( 34 hkyhxfk ii
9. La ecuación (9) tiene mucha coincidencia con los5 primeros términos de la serie de Taylor lo quesignifica gran exactitud sin calculo de derivadas,pero a cambio, se tiene que evaluar la funciónf(x,y)cuatro veces en cada subintervalo.
55
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Ejemplo 1
56
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
?)1(2)0(..
yy
yxdxdy
IVP
Usando Runge-Kutta de cuarto orden.
Solución:Primera Iteración: Calculo de constantes k1, k2, k3, k4
57
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
220),( 00001 yxyxfk
7.12.0222.0
)2.02,22.00()
2,
2()
2,
2( 1
001
2
fhkyhxfhkyhxfk ii
73.110017
100200
10010
2)7.1(2.02
22.0
)2
)7.1(2.02,22.00()
2,
2()
2,
2( 2
002
3
fhkyhxfhkyhxfk ii
Cálculo De y1
58
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
454.1100017322.0
))73.1(2.02,2.00(),(),( 30034
fhkyhxfhkyhxfk ii
6562.1454.146.34.3262.0222
6 432101 kkkkhyy
Segunda Iteración: Calculo de constantes k1, k2, k3, k4
Cálculo De y2:
59
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
4562.16562.12.0)6562.1,2.0(),( 111 fyxfk
21058.12
)7.1(2.06562.122.02.0
)2
)7.1(2.06562.1,22.02.0()
2,
2( 1
112
fhkyhxfk
235142.12
)21058.1(2.06562.122.02.0)
2,
2( 2
113 hkyhxfk
10091716)235142.1(2.06562.12.02.0),( 34 hkyhxfk ii
4109.1)...2128.1(24562.162.06562.122
6 432112 kkkkhyy
Continuando se tiene
Observación:•Los métodos descritos se llaman también métodos deun solo paso porque se apoyan y usan (xi,yi) para elcálculo de yi+1.•Estos Métodos además se apoyan en puntos xi y xi+1pero nunca en puntos anteriores a xi.
60
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
103655714.1148003885.1246450474.1
5
4
3
yyy
Ejemplo 2Usar el método de Runge-Kutta para aproximar dada lasiguiente ecuación diferencial:
SoluciónPrimero, identificamos el mismo ejemplo 1 de los dosmétodos anteriores. Segundo, procedemos con losmismos datos:
61
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Para poder calcular el valor de y1 debemos calcularprimeros los valores de k1, k2 ,k3, y k4. Tenemos entoncesque:
62
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Con el fin de un mayor entendimiento de las fórmulas,veamos la siguiente iteración:
63
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
El proceso debe repetirse hasta obtener lo requerido.Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
64
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
n
0 0 1 1 0.1 1.01005 2 0.2 1.04081 3 0.3 1.09417 4 0.4 1.17351 5 0.5 1.28403
Concluimos que el valor obtenido con el método deRunge-Kutta es:Finalmente, calculamos el error relativo verdadero:
Con lo cual vemos que efectivamente se ha reducidomuchísimo el error relativo. De hecho observamos quetenemos 6 cifras significativas en la aproximación
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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
MÉTODOS DE PREDICTOR-CORRECTORRecordemos que en el método de Euler modificado se utilizala siguiente relación
………………………………….(1)Obsérvese, que el segundo término del miembro de laderecha recuerda el método de integración trapezoidalcompuesta, en donde h es el ancho del trapezoide h=xi+1 –xi,y podemos decir que,
……………… (2)
66
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
111 ,,2 iiiiii yxfyxfhyy
Equivalentemente……………………………..(3)
Que es la ecuación de corrección del método de Eulermodificado, esto sugiere la obtención de un esquemaiterativo para la solución del PVI por medio de la regla deSimpson u otro método de integración numérica que usanmayor numero de puntos.Considerando esta reflexión se deriva un métodocorrector basado en el método de Simpson 1/3
24/07/2015 67
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
,....................(4)Considerando la relación
,...........................(5)
Tenemos,……..(6)
68
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Entonces se llega a la relación de corrección,.......(7)
En donde se debe de obtener con un predictor, a partirde (x0,y0 ) la ultima relación tomara la forma de,
,………………………..(8)
Para la primera predicción es calculada con un predictorque requiere de y1 y f(x1,y1 ) en consecuencia se requierede un paso de inicialización que muy ben puede ser usadoel método de Runge-Kutta por una sola vez en el procesoiterativo.
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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
Ejemplo:Resolver el PVI
Usar el método de predicción y corrección
70
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
?)1(2)0(..
yy
yxdxdy
IVP
Soluciónh=(1-0)/5=0.2,Primera iteración
Inicialización. (Usando Euler modificado obtenemos y1 )1°2°
derivada promedio. Luego
71
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
6.1)20(2.02),( 0001 yxhfyy
7.1)6.12.0()20(21),(),(
21
1100 yxfyxf
66.1)7.1(2.02)7.1(2.001 yy
Predicción (se usa Euler Modificado para tomar el valor y2)
1°
2°
Corrección; usamos la relación 8
72
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO
368.1)66.12.0(2.066.1),( 1112 yxhfyy
4172.1)214.1(2.066.1)(
214.1)368.14.0()66.12.0(21),(),(
21
22
2211
yxy
yxfyxf
,
Segunda IteraciónPredicción,
Corrección usamos la relación 7
73
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO,
,
Tercera IteraciónPredicción
Corrección usamos la relación 7
74
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO,
,
Cuarta IteraciónPredicción
Corrección usamos la relación 7
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3.2. MÉTODOS NUMÉRICOS PARA SOLUCIONAR UNA EDO,
,,
I. Utilizar los métodos de Euler y de Runge Kutta paradar solución a las siguientes ecuaciones diferencialescon valor frontera.
(9) (10) (11) (12)
(13) (14) (15) (16)
76
EJERCICIOS
?)1(2)0(
yy
yxdxdy
?)5.1(4)1(
yy
yxdxdy
?)5.0(1)0(
yydxdy
yx
?)5.0(4)0(
yydxdy
yx
?)5.0(3)0(
)2(
yy
yydxdy
?)5.1(4)1(
yy
yxdxdy
?)5.1(0)1(
2
yy
yxdxdy
?)8.1(1)1(
2
yy
xyy
dxdy
I. Utilizar los métodos de Euler y de Runge Kutta paradar solución a las siguientes ecuaciones diferencialescon valor frontera.
(1) (2) (3) (4)
(5) (6) (7) (8)
77
EJERCICIOS,
?)5.1(0)0(
1
yy
xsenxdxdy
?)2(1)1(
21
yy
ydxdy
xy
x
?)1(4)0(
1 2
yy
ydxdy
?)1(1)0(
yy
ydxdy
?)1(1)0(
12
yy
ydxdy
?)1(0)0(
1
yy
ydxdy
?)1(1)0(
1
yy
yxdxdy
?)2(1)1(
1
yy
xydxdy
II .- Estructurar un modelo para las problemáticassiguientes y luego solucionarlo Aplicando Euler y RungeKuta.1.- Un tanque cilíndrico de fondo plano con diámetro 2metros contiene un líquido; de densidad 1.8 kg/l a unaaltura H de 4 metros. Se desea saber la altura del líquidodentro del tanque 10 minutos después que abrecompletamente de la válvula de salida ubicada en la parteinferior izquierda, la cual da una gasto de 1 m3/s, donde Aes el área seccional del tubo de salida que tiene un valorde 80.5 x 10-4m2, considerar g = 9.81m/s2.
78
EJERCICIOS
2.- Se tiene un tanque esférico de radio de 8 metros calcular el tiemponecesario para que el nivel del líquido de dicho tanque pase de 6metros a 7 metros, la velocidad de salida por el orificio del fondo es v=5.5 m/s el diámetro de dicho orificio es de 12 cm. Donde a es laaltura de líquido.3.- En un tanque perfectamente agitado se tiene 500 litros de unasalmuera en la cual este disuelto 30 Kg de sal común en un momentodeterminado se hace llegar al tanque un gasto de 90 l/min de unasalmuera que contiene 1.5 Kg de sal común por litro si se tiene ungasto de salida de 90 l/min. Determine:a.- Que cantidad de sal hay en el tanque transcurrido 20min.b.- Que cantidad de sal transcurrido un tiempo muy grande.
79
EJERCICIOS
4.- Se hace reaccionar isotérmica mente 300gr de acetato de etilo con 200gr dehidróxido de sodio en solución acuosa ajustando el volumen total a 10 litros paradar acetato de sodio y alcohol etílico de acuerdo con lo siguiente ecuaciónestequiometria:Acetato de etilo + hidróxido de sodio = acetato de sodio + alcohol etílicoDonde la constante de velocidad de reacción k esta dado por k = 1.44 x 10-2
Determine la cantidad de acetato de sodio y alcohol etílico presente 40min despuéspresentada la reacción.5.- Se conecta un inductor de 0.5 henries en serie con una resistencia de 10 ohmsun capacitador de 0.025 faradios y un generador de corriente al terna dad por lafunción 60 sen 5t voltios t 0.a.- Establezca una ecuación diferencial para la carga instantánea en el capacitor.b.- Encuentre la carga en distintos tiempos
80
EJERCICIOS
6.- Se tiene un tanque de forma cónica de 5 metros de diámetrosuperior con 10 metros de altura conteniendo un líquido hasta hmetros de altura, si al momento de llegar el nivel del líquido de 2.5 metros se hace llegar un gasto de alimentación de 0.50 m3/s elnivel de líquido aumentara. Determine el tiempo necesario paraque el nivel se recupere nuevamente a 6 metros.
7.- El tiempo que requiere el tanque del ejercicio anterior pararecuperar su nivel de 2.5 a 6 metros con un gasto de alimentaciónde 0.50 m3/s es aproximadamente 500 s calcule el gasto dealimentación que se requiere para reducir este tiempo en la mitad.
81
EJERCICIOS
Muchas Gracias