catia teori

Kontruksi geometris, hal.1

2. KONTRUKSI GEOMETRIS

Kompetensi utama : Mahasiswa dapat memahami prinsip cara menggambar kontruksi geometris Kompetensi Utama : Peserta didik dapat membuat kontruksi geometris diantaranya : Kontruksi geometris diantaranya : 1. Kontruksi garis, membuat segi tiga, membuat segi empat, membuat segi lima, membuat

segi enam, dan membuat segi banyak 2. Kontruksi dengan lingkaran, dan potongan-potongan kerucut. Pengantar. Untuk menghasilkan gambar mesin yang baik perlu dilakukan dengan teliti dan cermat, untuk itu diperlukan ketrampilan dalam menggunakan alat-alat gambar sebagai dasar menggambar bentuk-bentuk geometris. 2.1 Konstruksi Garis 2.1.1 Membagi sebuah garis dalam bagian-bagian yang sama Sebagai contoh diambil sebuah garis yang harus dibagi dalam lima bagian yang sama (lihat gambar 2.1). 2.1.2 Menggambar garis tegak lurus Melalui sebuah titik pada atau di luar sebuah garis tertentu dapat digambarkan sebuah garis tegak lurus pada garis tersebut, dengan mempergunakan sebuah penggaris T dan sebuah segi tiga, atau dua buah segi tiga (lihat gambar 2.2).

Gambar 2.1 Membagi garis menjadi bagian yang sama

TAHAPAN KERJA 1. Tarik sebuah garis AC yang membuat sudut

sembarang dengan garis AB. Berilah garis AC lima buah dari 1 sampai dengan 5, yang mempunyai panjang yang sama antara masing-masing

2. Hubungkanlah titik B dengan titik 5. Tariklah garis-garis melalui titik 1 sampai dengan titik 4 sejajar dengan garis B 5. Titik potong antara garis-garis sejajar ini dengan garis AB merupakan bagian-bagian yang diminta.


Cara lain dapat juga dilakukan secara geometris, lukislah sebuah garis tegak lurus pada sebuah garis AB melalui sebuah titik C, yang terletak di luar garis AB (gambar 2.3a). Lain halnya jika titik C terletak pada ujung garis AB. (lihat gambar 2.3b), disini dilukiskan sebuah garis tegak lurus pada garis AB melalui titik B.

Gambar 2.2. Menggambar garis tegak lurus pada sebuah garis

TAHAPAN KERJA 1. Letakkan penggaris T atau sebuah segi tiga,

sehingga sisinya sejajar dengan garis AB. 2. Letakkan sebuah segi tiga lain dengan sebuah

sisinya menempel pada sisi penggaris T atau sisi segi tiga pertama melalui titik D, dan tariklah garis melalui titik D. Garis terakhir ini adalah garis yang ditanyakan. Jika titiknya berada di luar garis AB, seperti misalnya C, dapat ditempuh cara yang sama. Di sini segi tiga kedua harus melalui titik C.

Gambar 2.3a Garis tegak lurus melalui titik C

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah dengan titik C sebagai titik

pusat busur lingkaran yang memotong garis AB pada titik-titik 1 dan 2

2. Dengan titik-titik 1 dan 2 sebagai titik pusat, gambarlah dua buah busur lingkaran yang saling berpotongan di titik 3, dengan jari-jari yang sama

3. Hubungkanlah titik C dengan titik 3 dengan sebuah garis lurus. Garis penghubung inilah merupakan garis yang ditanyakan

Gambar 2.3b Garis tegak lurus melalui ujung sebuah garis lurus

TAHAPAN KERJA 1. Dengan titik B sebagai titik pusat gambarlah

sebuah busur lingkaran dengan jari-jari r, yang memotong garis AB pada titik 1

2. Dengan titik 1 sebagai titik pusat gambarlah sebuah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama, dan memotong busur lingkaran yang pertama pada titik 2

3. Dengan titik 2 sebagai titik pusat gambarlah sebuah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama, dan memotong busur lingkaran yang pertama pada titik 3

4. Dengan titik 3 sebagai titik pusat gambarlah sebuah busur lingkaran dengan jari-jari yang sama, dan memotong busur lingkaran yang ketiga pada titik C. Hubungkanlah titik-titik B and C. Garis penghubung ini adalah garis tegak lurus yang diminta


Untuk sebuah garis bagi tegak lurus pada sebuah garis digambarkan menurut gambar 2.4. 2.1.3 Membagi dua sebuah sudut Cara membagi dua sebuah sudut sembarang dilakukan dengan cara seperti berikut (lihat gambar 2.5). 2.1.4 Membagi tiga sudut siku Membagi tiga sudut siku dapat diselesaikan secara mudah dengan mempergunakan sebuah penggaris T dan sebuah segi tiga 30°-60° (lihat gambar 2.6).

Gambar 2.4 Garis bagi tegak lurus dari sebuah garis

TAHAPAN KERJA 1. Dengan titik-titik A dan B buatlah dua buah

busur lingkaran dengan jari-jari yang cukup besar, lebih besar dari setengah AB, busur-busur ini akan saling berpotongan di titik-titik C dan D.

2. Hubungkanlah titik-titik C dan D. Garis penghubung ini adalah garis yang ditanyakan. Titik E merupakan titik tengah garis AB.

Gambar 2.5. Membagi dua sebuah sudut

TAHAPAN KERJA 1. Dengan jari-jari yang cukup besar, gambarlah

sebuah busur lingkaran dengan titik A sebagai titik pusat, dan memotong kaki-kaki sudut AB dan AC pada titik-titik D dan E

2. Dengan jari-jari r yang sama buatlah dua buah busur lingkaran dengan titik-titik D dan E sebagai titik pusat. Dua buah busur lingkaran ini akan berpotongan pada titik F

3. Garis penghubung AF adalah garis pembagi yang dicari

Gambar 2.6. Membagi tiga sebuah sudut

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah sebuah busur lingkaran dengan titik A

sebagai titik pusat, dan memotong AB di D dan AC di E

2. Dengan jari-jari yang sama buatlah dua busur lingkaran. Sekali dengan titik D sebagai titik pusat dan memotong busur lingkaran yang pertama di titik F, kemudian dengan titik E sebagai titik pusat dan memotong busur lingkaran yang pertama di titik G. Garis-garis dari A ke F dan G adalah garis-garis yang membagi tiga sudut siku BAC


2.1.5 Membagi tiga sebuah sudut sembarang Membagi tiga sebuah sudut sembarang tidak dapat diselesaikan secara geometris yang eksak, tetapi dapat diselesaikan dengan cara pendekatan seperti tahapan berikut ini (lihat gambar 2.7). 2.2 Membuat Segi Tiga 2.2.1 Segi tiga ketiga sisinya diketahui Untuk membuat segi tiga dengan ketiga sisisinya diketahui dapat dilakukan sebagai berikut (lihat gambar 2.8).

Gambar 2.7 Membagi sudut sembarang menjadi tiga bagian sama besar

TAHAPAN KERJA 1. Buatlah setengah lingkaran dengan titik O

sebagai titik pusat dan jari-jari secukupnya. Setengah lingkaran ini akan memotong kaki-kaki sudut pada titik-titik A dan B, dan perpanjangan kaki AO di titik C

2. Dengan jari-jari 2r dan titik-titik pusat A dan C, buatlah busur-busur lingkaran yang saling berpotongan di titik D

3. Hubungkanlah B dan D dengan sebuah garis lurus, yang memotong diameter AOC di titik E.

4. Bagilah ruas (segment) garis AE dalam tiga bagian yang sama, dengan cara yang telah dibahas sebelumnya. Titik-titik baginya adalah 1 dan 2

5. Hubungkanlah titik D dengan titik 1 dan titik 2, dengan garis-garis lurus. Garis-garis perpanjangan dari garis-garis penghubung ini akan memotong setengah lingkaran masing-masing di F dan G. Garis-garis OF dan OG adalah garis-garis bagi yang ditanyakan.

Gambar 2.8 Membuat segi tiga dengan diketahui ketiga sisinya

TAHAPAN KERJA 1. Tarik sisi AB dalam tempatnya yang tepat. 2. Dengan menggunakan titik ujungnya A dan B

sebagai titik pusat dan jari-jari yang masing-masing sama dengan AC dan BC, lingkarkan kedua busur yang berpotongan dan yang menentukan tempat titik C. ABC merupakan segitiga yang diperlukan.


2.2.2 Membuat segitiga sama sisi diketahui sisi AB Untuk membuat segitiga sama sisi dengan diketahui sisi AB dapat dilakukan sebagai berikut (lihat gambar 2.9) 2.3 Membuat Bujur Sangkar

2.3.1 Diketahui sisi AB Untuk membuat bujur sangkarnya dapat dilakukan dengan cara berikut ini (lihat gambar 2.10a) 2.3.2 Diketahui panjang diagonal EF Langkah yang ditempuh seperti pada gambar berikut in (lihat gambar 2.10b).

Gambar 3.9 Segitiga sama sisi

TAHAPAN KERJA 1. Dengan menggunakan kedua titik ujung A dan B sebagai

titik pusat dan jari-jari yang sama dengan panjang AB, lingkarkan dua buah busur yang berpotongan untuk mendapatkan tempat titik C.

2. Tarik garis dari A ke C dan dari C ke B untuk melengkapkan segitiga samasisi yang dikehendaki

TAHAPAN KERJA 1. Dengan menggunakan mistar gambar T dan segitiga gambar 45°, tarik garis tegaklurus pada garis AB melalui titik A dan titik B. 2. Tempatkan titik D pada perpotongan sebuah garis konstruksi 45° melalui titik A dan garis tegaklurus dari titik B. 3. Tarik CD sejajar dengan AB melalui titik D untuk melengkapi bujursangkar. Untuk hasil yang baik perlu hendaknya garis ditarik dalam urutan yang ditunjukkan.

Gambar 2.10a Membuat bujur sangkar dengan diketahui sisi AB

Gambar 2.10b Membuat bujur sangkar

dengan diketahui diagonal AF

TAHAPAN KERJA Dengan menggunakan mistar gambar T dan segitiga-gambar 45°, buat bujur sangkar dengan menarik garis melalui E dan F dengan sudut 45° dengan urutan yang ditunjukkan.


2.3.3 Diketahui lingkaran dalam. Menggambar lingkaran dalam merupakan langkah pertama dalam satu metoda untuk menggambar bujur sangkar (lihat gambar 2.10c)

2.4 Membuat Segi Lima 2.4.1 Segilima teratur dengan diketahui sisinya Sebuah segilima teratur dengan sebuah sisi yang dapat dilakukan dengan tahapan berikut ini (lihat gambar 2.11). 2.4.2 Membuat sebuah segi lima teratur dalam sebuah lingkaran.

Membuat sebuah segi lima teratur dalam sebuah lingkaran dapat dilakukan sebgai berikut (lihat gambar 2.12).

Gambar 2.10c Membuat bujur sangkar dengan diketahui lingkaran dalam

TAHAPAN KERJA Dengan memakai mistargambar dan segi tiga-gambar 45°, tarik sisi-sisi bujursangkar menyinggung lingkaran. Konstruksi ini dipergunakan untuk menggambar kepala baut dan mur persegi empat.

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah garis bagi tegak lurus pada garis AB

yang diketahui 2. Pada garis bagi ini ambillah ruas garis CD yang

sama panjangnya dengan AB, dan tariklah sebuah garis melalui AD. Buatlah DE = ½ AB

3. Dengan titik A sebagai titik pusat dan AE sebagai jari-jari, gambarlah sebuah busur lingkaran yang memotong garis perpanjangan CD di F.

4. Dengan titik A, B dan F buatlah busur-busur lingkaran yang saling berpotongan di titik G dan H. Jika titik-titik A, G, F, H dan B berturut-turut dihubungkan, akan dihasilkan segi lima teratur yang ditanyakan.

Gambar 2.11 Membuat segi lima dengan salah satu sisi

diketahui


2.5 Membuat Segi Enam 2.5.1 Diketahui jarak AB dari sudut ke sudut Langkah yang ditempuh sebagai berikut (lihat gambar 2.13a). 2.5.2 Diketahui jarak AB dari sudut ke sudut. Dengan menggunakan segitiga, langkah yang ditempuh sebagai berikut (lihat gambar 2.13b).

TAHAPAN KERJA 1. Gambar lingkaran yang mempunyai diameter sebagai garis tengah. 2. Dengan menggunakan jari-jari yang sama dan dengan titik A dan titik B sebagai titik pusat, lingkarkan busur yang memotong kelilingnya. Sambungkan titik-titik ini untuk melengkapi konstruksi

Gambar 2.13a Segi enam dengan diketahui jarak sudut

ke sudut

Gambar 2.12 Membuat segi

lima dalam lingkaran

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah dua buah sumbu tegak lurus melalui

titik pusat O dari lingkaran yang diketahui 2. Tentukanlah titik bagi G dari garis OC, dan

buatlah busur lingkaran dengan jari-jari AG dan titik pusat G. Busur lingkaran ini memotong garis sumbu CD di titik H. Maka AH adalah panjang sisi segi lima teratur yang diinginkari

3. Dengan titik A sebagai titik pusat dan AH sebagai jari-jari, buatlah dua buah busur lingkaran yang memotong lingkaran yang diketahui di titik-titik I dan J. Dengan titik-titik I dan J sebagai titik pusat dan AH sebagai jari-jari buatlah berturut-turut busur lingkaran yang memotong lingkaran yang diketahui di titik-titik K dan L. Hubungkanlah titik-titik A, J, K, L dan I. Maka AJKLI adalah segi lima teratur yang diinginkan


2.5.3 Diketahui jarak dari bidang rata ke bidang rata. Langkah yang ditempuh sebagai berikut (lihat gambar 3.13c)

2.6 Membuat Segi Banyak Teratur Dalam hal ini sebagai contoh diambil sebuah segi tujuh teratur dengan panjang sisi tertentu, seperti tampak pada gambar 2.14. Sudut dalam dari sebuah segi banyak teratur dengan jumlah sisi n, ditentukan oleh rumus berikut: 2(n - 2)(90°/n). Jadi sudut dalam dari segi tujuh teratur adalah 5/7 x 180°. Misal garis AB pada gambar 2.14 adalah panjang sisi segi tujuh teratur, tahapan penyelesaiannya sebagai berikut.

Gambar 2.13b Segi enam dengan

diketahui jarak sudut ke sudut

TAHAPAN KERJA Dengan menggunakan segitiga 30°-60° dan mistar-gambar-T, tarik garis dalam urutan yang ditunjukkan oleh angka dalam gambar

Gambar 2.13c Segi enam dengan diketahui bidang

rata ke bidang rata

TAHAPAN KERJA 1. Buat lingkaran yang garis tengahnya sama dengan jarak dari bidang rata ke bidang rata. 2. Dengan menggunakan segitiga 30°-60° dan mistar gambar-T, seperti diperlihatkan, tarik garis singgung yang menetapkan sisi-sisi dan titik-titik puncak segi enam yang diperlukan


2.7 Konstruksi-Konstruksi Dengan Lingkaran 2.7.1 Membagi keliling lingkaran dalam 12 bagian-bagian yang sama Pembagian ini dapat diselesaikan juga dengan cara geometris, sebagai berikut (gambar 2.15) 2.7.2 Menggambar garis singgung pada sebuah lingkaran Menggambar garis singgung pada lingkaran melalui titik pada lingkaran dapat diselesaikan seperti gambar 2.16.

Gambar 2.15 Membagi lingkaran menjadi 12 bagian yang sama

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah sumbu-sumbu AB dan CD, dan dengan titik potong O dari kedua garis sumbu tadi sebagai titik pusat, gambarlah lingkaran yang akan dibagi dalam 12 bagian yang sama. 2. Dengan jari-jari lingkaran tersebut buatlah busur-busur kecil dengan titik pusat berturut-turut A, B, C dan D yang memotong lingkaran. Maka titik-titik potong ini merupakan titik-titik pembagi lingkaran.

Gambar 2.14 Membuat segi banyak teratur dengan satu sisi diketahui

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah sebuah setengah lingkaran CABOF

dengan jari-jari AB. Perpanjanglah BA sehingga titik C, di mana BC = 2AB.

2. Tentukanlah titik E pada garis BC, di mana BE =5/7BC, dan hubungkanlah titik D dan E, sehingga perpanjangannya memotong setengah lingkaran pada titik F. Sudut FAB adalah sudut dalam dari segi tujuh beraturan yang dicari.

3. Gambarlah garis bagi tegak lurus dari garis-garis AB dan AF, yang saling berpotongan di O. Maka O adalah titik pusat lingkaran keliling dari segi tujuh beraturan tersebut.

4. Dengan jari-jari OA dan titik pusat O gambarlah lingkaran tersebut, dan bagilah lingkaran ini dengan AB, yang menghasilkan titik-titik G, H, I dan J. Jika titik-titik ini berurutan dihubungkan dengan garis lurus, maka segi tujuh beraturan yang diminta akan tergambar


2.7.3 Membuat lingkaran singgung pada dua garis tegak lurus Membuat lingkaran singgung pada dua garis tegak lurus dapat dilakukan dengan tahapan sebagai berikut (gambar 2.17)

2.7.4 Membuat lingkaran singgung pada dua garis berpotongan Membuat lingkaran singgung pada dua garis berpotongan dapat dilakukan dengan tahapan berikut ini (lihat gambar 2.18)

Gambar 2.16 Sebuah garis singgung pada lingkaran

TAHAPAN KERJA 1. Tentukan titik A demikian rupa sehingga PA = OP =

jari-jari lingkaran 2. Hubungkanlah titik O dengan A dan perpanjanglah

dengan AB = OA. Garis PB adalah garis singgung melalui titik P pada lingkaran.

Gambar 2.17 Membuat garis singgung pada dua garis tegak lurus

TAHAPAN KERJA 1. Tentukanlah dua buah titik T1 dan T2, masing masing pada

garis AB dan CD, di mana jarak PT1 = PT2 = jari-jari lingkaran singgung r yang ditanyakan

2. Dengan T1 dan T2 sebagai titik pusat dan jari-jari r, tentukanlah titik O. Maka titik O adalah titik pusat lingkaran singgung yang ditanyakan. Jika dipergunakan mesin gambar atau segi tiga, titik O dapat ditentukan dengan menarik garis tegak lurus melalui T1 dan T2. Titik O adalah titik potong dari dua garis tegak lurus tersebut.

Gambar 2.18 Sebuah busur yang menyinggung dua buah garis berpotongan

TAHAPAN KERJA 1. Tariklah garis-garis EF dan GH masing-

masing sejajar dengan AB dan AC, pada jarak r, yang diketahui.

2. Titik potong dari EF dan GH adalah titik pusat dari lingkaran singgung yang dicari.


2.7.5 Menggambar garis-garis singgung pada dua lingkaran Ada dua pasang garis singgung pada dua lingkaran, seperti tampak pada gambar 2.19a untuk sabuk terbuka dan gambar 2.19b untuk sabuk silang. 2.7.6 Menggambar busur lingkaran yang menyinggung dua buah lingkaran dengan

jari-jari R1 dan R 2 i) Pasangan pertama (gambar 2.20a).

Gambar 2.19b Garis singgung pada dua lingkaran (sabuk menyilang)

Gambar 2.19a Garis singgung pada dua lingkaran (sabuk terbuka)

TAHAPAN KERJA 1. Buatlah lingkaran dengan.jari-jari (R - r) dan titik

pusat di O1. 2. Tentukanlah titik A pada lingkaran ini, sebagai

berikut. Gambarlah busur lingkaran dengan O3 sebagai titik pusat dan jari-jari c/2, yang memotong lingkaran dengan jari-jari (R- r) di A dan B. Titik O3 ialah titik tengah dari O1,O2.

3. Hubungkanlah O1 dengan A dan B, dan perpanjanglah garis-garis penghubung ini, sehingga masing-masing memotong lingkaran besar pada T1 dan T1’.

4. Tariklah garis sejajar dengan AO2 dan BO2 melalui T1 dan T1” Garis-garis T1T2 dan T1’T2’ adalah pasangan garis singgung yang pertama.

TAHAPAN KERJA 1. Buatlah lingkaran dengan.jari-jari (R + r) dan

titik pusat di O2. 2. Tentukanlah titik A pada lingkaran ini,

sebagai berikut. Gambarlah busur lingkaran dengan O3 sebagai titik pusat dan jari-jari c/2, yang memotong lingkaran dengan jari-jari (R+ r) di A dan B. Titik O3 ialah titik tengah dari O1O2.

3. Hubungkanlah O1 dengan A dan B, dan perpanjanglah garis-garis penghubung ini, sehingga masing-masing memotong lingkaran besar pada T1 dan T1’.

4. Tariklah garis sejajar dengan AO2 dan BO2 melalui T1 dan T1” Garis-garis T1T2 dan T1’T2’ adalah pasangan garis singgung yang pertama.

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah busur-busur lingkaran dengan

jari-jari R1 + r dan R2 + r, masing-masing dengan O1 dan O2 sebagai titik pusat. Kedua busur lingkaran ini akan berpotongan di titik M.

2. Dengan titik M sebagai titik pusat dan jari-jari r gambarlah busur lingkaran yang ditanyakan

Gambar 2.20a Lingkaran singgung dalam


ii) Pasangan kedua (gambar 2.20b). Pelaksanaannya sama seperti di atas, dengan perbedaan jari-jari busur lingkaran. Jari-jari busur lingkaran di sini adalah r – R1 dan r- R2. Setelah ditemukan titik M, maka busur lingkaran singgung dapat diselesaikan dengan mudah. 2.7.7 Panjang garis lurus yang mendekati panjang busur lingkaran atau sebaliknya i) Menentukan panjang garis lurus yang mendekati panjang busur lingkaran (gambar 2.21).

ii) Menentukan panjang garis lurus pada busur lingkaran (gambar 2.22).

Gambar 2.20b. Busur menyinggung dua lingkaran dengan jari-jari R1 dan R2

Gambar 3.20a. Busur menyinggung dua lingkaran dengan jari-jari R1 dan R2

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah busur-busur lingkaran dengan

jari-jari r - R1 dan r - R2, masing-masing dengan O1 dan O2 sebagai titik pusat. Kedua busur lingkaran ini akan berpotongan di titik M.

2. Dengan titik M sebagai titik pusat dan jari-jari r gambarlah busur lingkaran yang ditanyakan

Gambart 2.21 Panjang garis lurus yang sama dengan panjang

busur

TAHAPAN KERJA 1. Tentukanlah titik bagi C dari busur lingkaran AB, dan

perpanjanglah BA dengan AD = AC. 2. Gambarlah garis singgung busur pada titik A, dan

gambarlah busur lingkaran dengan jari-jari BD dan titik pusat D, yang memotong garis singgung tadi di E. Maka AE = AB. Jika sudut busur AOB lebih besar dari 90°, kesalahannya akan menjadi terlalu besar. Dalam hal ini bagilah busur lingkaran tersebut dalam beberapa bagian dengan sudut yang lebih kecil dari pada 90°, kemudian tentukanlah panjang busur lingkaran seperti di atas. Maka panjang keseluruhan dari busur lingkaran tersebut adalah jumlah dari bagian-bagian panjang busur lingkaran.

Gambart 2.22 Panjang busur yang sama dengan panjang garis

lurus

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah garis singgung busur pada titik A. Buatlah AC sama dengan seperempat AB. 2. Gambarlah dengan titik C sebagai titik pusat dan CB sebagai jari-jari busur lingkaran yang memotong busur lingkaran yang diketahui di D. Maka AD = AB. Jika sudut busur lebih besar dari 60 °, selesaikanlah dengan membaginya dalam dua atau empat bagian dengan cara seperti di atas.


iii) Panjang garis lurus yang mendekati keliling lingkaran. (gambar 2.23) iv) Panjang garis lurus yang mendekati panjang keliling setengah lingkaran. (gambar 2.24) 2.8 Potongan-Potongan Kerucut Jika sebuah kerucut dipotong oleh sebuah bidang datar dalam macam-macam kedudukan, akan terjadi bermacam-macam garis potong, dan tergantung dari kedudukan bidang datar tersebut, maka garis potongnya dapat berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hyperbola, yang disebut potongan-potongan kerucut. Sudut antara sumbu kerucut dan garis pembentuk disebut a, dan sudut antara sumbu kerucut dan bidang potong disebut ß. Hubungan antara a dan ß menentukan bentuk potongan kerucut sebagai berikut (lihat gambar 2.25). (a<ß), elips (a=ß), parabola (a>ß), hyperbola

Gambar2.25 Bentuk potongan kerucut

(a) Elips (a<ß)

(a)Parabola (a=ß)

(a) Hyperbola (a>ß)

Gambar 2.24 Panjang garis lurus yang sama dengan setengah keliling lingkaran

TAHAPAN KERJA 1. Tentukanlah titik C pada garis singgung lingkaran

melalui titik B, di mana sudut BOC = 30°. 2. Buat CD = 3 x OA, OA adalah jari-jari lingkaran. 3. Hubungkanlah D dengan A, maka AD adalah

kurang lebih panjang setengah keliling lingkaran yang diketahui.

Gambar 2.23 panjang garis lurus yang mendekati keliling lingkaran

TAHAPAN KERJA 1. Ambillah titik C pada lingkaran, di mana sudut

AOC = 30°. 2. Gambarlah CD tegak lurus pada AB 3. Gambarlah garis singgung pada lingkaran di

titik B, dan tentukanlah titik E dengan BE = 3 x AB

4. Hubungkanlah D dengan E, maka panjang DE adalah pendekatan panjang keliling lingkaran yang diketahui.


Jika ß = 90°, potongan kerucutnya adalah sebuah lingkaran, ini adalah suatu keadaan istimewa. Sebuah silinder dapat dianggap sebagai sebuah kerucut dengan a = 0°, sehingga garis potong antara silinder dan bidang adalah suatu elips. 2.8.1 Elips. a) Cara menggambar elips, yang kedua sumbu utamanya diketahui Cara I, (lihat gambar 2.26) Cara II (lihat gambar 2.27) Cara III (lihat gambar 2.28)

Gambar 2.26 Menggambar elip dengan dua buah lingkaran

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah dua buah lingkaran sepusat dengan sumbu

panjang dan sumbu pendek sebagai diameter 2. Tariklah garis-garis radial yang memotong kedua lingkaran

pada titik 1, 2..dan 1', 2',. 3. Dari titik-titik 1, 2,... tariklah garis-garis sejajar dengan sumbu

pendek, dan dari titik-titik 1', 2',... garis-garis sejajar dengan sumbu panjang. Dua macam garis ini akan saling berpotongan di titik 1", 2",... Titik-titik potong ini adalah titik-titik dari elips

4. Hubungkanlah titik-titik ini dengan menggunakan sebuah mal lengkungan, maka akan dihasilkan elips yang ditanyakan.

TAHAPAN KERJA 1. Pada sebuah garis lurus tentukanlah jarak PR sama dengan

setengah sumbu panjang dan PQ sama dengan setengah sumbu pendek, letakkan titik R pada sumbu pendek dan Q pada sumbu panjang dari elips, maka titik P adalah titik dari elips.

2. Dengan menggeser P pada garis sumbu panjang dan R pada garis sumbu pendek, maka titik P akan melukis garis elips yang diminta. Cara ini disebut cara penggeseran dan dipergunakan pada mesin ellipsograph.

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah segi empat dengan panjang sumbu-

sumbu elips sebagai sisi-sisinya 2. Bagilah setengah sumbu panjang AO dalam

beberapa bagian yang sama, dan sebutlah titik-titik baginya 1, 2, 3,... Bagilah AE dalam jumlah yang sama, dalam bagian-bagian yang sama, dan sebutlah titik-titik baginya 1', 2', 3',..

3. Tariklah D-1 yang memotong C-1' di titik 1", D-2 yang garis memotong C-2' di titik 2", dan seterusnya. Titik-titik potong ini adalah titik-titik dari clips yang harus digambar

4. Bagian-bagian lain dari elips dapat diselesaikan dengan cara yang sama.

Gambar 2.27 Menggambar elip dengan

garis-garis berpotongan


b) Menggambar elips dengan cara pendekatan Cara I (gambar 2.29). Cara II (lihat gambar 2.30)

2.8.2 Parabola Pada gambar 2.31 diperlihatkan cara menggambar parabola, jika sumbu AB, titik puncak A dan sebuah titik sembarang P diketahui.

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah sebuah bujur sangkar dengan sisi sama dengan

setengah dari setengah selisih sumbu panjang dan sumbu pendek dari elips, dengan diagonal MN berhimpit dengan sumbu pendek MB

2. Ambil titik O1 pada perpanjangan sumbu pendek pada jarak MB = 2b.

3. Perpanjang NO2 sehingga memotong sumbu panjang di O3.

4. Gambarlah busur lingkaran dengan pusat O1 dan jari-jari O1B, kemudian busur lingkaran dengan pusat O2 dan jari-jari O22 dan dengan titik pusat O3 dan jari-jari O31 buatlah busur lingkaran A1. Garis lengkung A12B adalah seperempat bagian elips yang ditanyakan.

5. Bagian elips yang lain dapat diselesaikan dengan cara yang sama.

Gambar 2.29 Menggambar elip dengan cara pendekatan

Gambar 2.30 Gambar pendekatan dari elips

TAHAPAN KERJA 1. Hubungkanlah A dengan C, tentukan titik F pada AC

dengan jarak CF sama dengan setengah selisih sumbu panjang dan sumbu pendek. Caranya dengan mengambil OE sama dengan setengah sumbu panjang dan lingkarkanlah E ke F dengan C sebagai titik pusat.

2. Gambarlah garis bagi tegak lurus dari AF, yang memotong sumbu panjang dan sumbu pendek di H dan K.

3. Dengan titik H sebagai titik pusat dan jari-jari HA buatlah busur lingkaran AG. Selanjutnya gambar busur lingkaran GC dengan titik pusat K dan jari-jari KG. Lengkungan AGC adalah seperempat elips yang ditanyakan


2.8.3 Hyperbola Pada gambar 2.32 diperlihatkan cara menggambar hyperbola, jika sumbu AB, dua titik puncak A dan A' dan sebuah titik P pada hyperbola diketahui. 2.9. Lengkungan Gigi 2.9.1 Evolvent Sebuah lengkungan evolvent adalah sebuah lengkungan yang di-hasilkan oleh sebuah titik pada benang yang dilepas dari gulungan pada sebuah lingkaran, atau sebaliknya, dengan ketentuan bahwa benangnya harus tetap tegang, seperti terlihat pada gambar 2.33.

Gambar 2.32 Hyperbola

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah segi empat panjang melalui titik puncak A

dan titik P, dengan BE = PE. 2. Bagilah BP dan CP dalam beberapa bagian yang

sama dalam jumlah yang sama, dan berilah tanda 1, 2, 3, ... dan 1', 2', 3',...

3. Hubungkanlah titik A dengan 1', 2', 3',... dan titik A' dengan 1, 2, 3, ... Kumpulan garis-garis ini akan berpotongan pada titik 1", 2", 3",. . .

4. Hubungkanlah titik-titik terakhir ini dengan menggunakan sebuah mal lengkungan, maka hasilnya adalah bagian dari hyperbola yang ditanyakan. Bagian yang lain dapat diselesaikan dengan cara yang sama.

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah garis tegak lurus CD pada AB melalui

titik puncak A. 2. Gambarlah garis tegak lurus PE pada AB melalui

titik P, dan ambillah BE = BP. 3. Bagilah BP dan CP dalam beberapa bagian yang

sama dan jumlahnya sama, dan berilah tanda 1, 2, 3,... dan 1', 2', 3',... pada titik bagi tersebut.

4. Tariklah garis-garis sejajar dengan AB melalui titik-titik bagi 1,2,3,. Hubungkanlah A dengan titik-titik bagi 1', 2', 3',... Garis-garis ini akan memotong garis-garis sejajar pada titik-titik 1", 2", 3",...,yang merupakan titik-titik dari parabola yang ditanyakan.

5. Dengan menghubungkan titik-titik parabola ini dengan mal lengkungan akan diperoleh parabolanya. Bagian parabola yang simetris dapat diselesaikan dengan cara yang sama.


2.9.2 Cycloida Jika sebuah lingkaran digelindingkan pada sebuah garis lurus tanpa tergelincir (slip), maka sebuah titik pada lingkaran tersebut akan meng-gambarkan sebuah cycloida, seperti pada gambar 2.34.

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah garis singgung AB pada lingkaran yang diketahui. Panjang AB adalah sama dengan

panjang keliling lingkaran. 2. Bagilah lingkaran dan garis singgung dalam bagian-bagian yang sama dalam jumlah yang sama. Di

sini diambil duabelas bagian yang sama. Berilah tanda-tanda 1, 2, 3, ... pada lingkaran dan 1', 2', 3',... pada garis singgung.

3. Tariklah garis-garis sejajar dengan AB melalui titik-titik 1,2, 3,. . ., dan garis-garis tegak lurus pada AB melalui titik 1', 2', 3',... Dua kelompok garis ini akan saling berpotongan pada sebuah titik

4. Gambarlah pada titik tersebut sebagai titik pusat lingkaran-lingkaran yang sama dengan lingkaran yang diketahui. Lingkaran-lingkaran ini akan memotong garis-garis sejajar dengan AB di titik-titik 1'", 2'", 3'",. . . Jika titik-titik terakhir ini dihubungkan oleh sebuah garis licin, akan dihasilkan cycloida.

Gambar 2.34 Lengkungan Cycloida

Gambar 2.33 Lengkungan evolvent

TAHAPAN KERJA 1. Gambarlah sebuah lingkaran dengan titik

pusat O, dan tariklah garis singgung AB melalui titik A pada lingkaran tersebut. Panjang AB adalah sama dengan panjang keliling lingkaran

2. Bagilah keliling lingkaran dan garis singgung dalam bagian-bagian yang sama dalam jumlah yang sama. Di sini keduanya dibagi dalam duabelas bagian yang sama. Berilah tanda pada titik-titik bagi masing-masing 1, 2, 3,... dan 1', 2', 3',...

3. Tariklah pada titik-titik 1, 2, 3,... garis-garis singgungnya. Buatlah panjang garis singgung 11" = Al', 22' = A2', 33' = A3', dst. Jika titik-titik 1", 2", 3",. . . dihubungkan dengan bantuan sebuah mal lengkungan, maka akan dihasilkan garis evolvent.


2.10 Latihan 1. Gambar kembali gambar berikut ini pada kertas A3

Gambar 2.35 Latihan kontruksi geometris


Gambar 2.36 Latihan kontruksi geometris II

Documents

catia teori