C.Bourlet - Précis d'algèbre

8/13/2019 C.Bourlet - Prcis d'algbre

1/446

COURS COIIPLET tlE IA'|HEI'I-{TIQUESa t'trscr Dn L'ENseIC,NIMUNr.sE(oND{IRE cr nES DTvERS DNSETGNEME}ilsPar -\llt. ('-rnro ll()t1{t.E'l' et }lrr,rnr trERV..\LCarlo BOURLET' r,Lofesscur lronorairc u. ,ll:ii;riq'"iit'ir'"i",.. au r-1-ce saint-LouisProfesscur au Conseryatoire cles .lrts et lltiers

PRECISD'ALEBREContenant 573 Exercices et problmesnorc coNForitrr,rENT .rux l,RocR.l(rES DU 3r lr-\r r(-)o2

E'l DU 2: JUTLLET lc_r(isClasses de Troisime BSeconde et Premire C et D

eu.\TRriine ut'rroN tE\-uE u.r. c-.olrplrac

PARI SLII]I{AIRIE HACHtrTTE trT Ci.79, IloLrr_E\"ARD SINT-GER}IAIN, :qrgoT


2/446


3/446

" \

L

PRC I SD'ALGEBRE


4/446

A LA Mtrl\[tr LIBRAIITItrsouRs coMPLET DE MATnuarreuEsA L'USAGE Ic L'eNSsICXEMENT SECONDAIRE ET DES DIVERS ENSEIGNETIF]NTSpar lIXl. Canro BOURLET et Hpxnr FERVALARITHMETIOUEPetit Cours d'Arithmtigue (Cl,zsses TrVparatoires et lnen /;rres), avec3roz exerciceset problm-es, par N[. C.B


5/446

AYII RT I SSBMEN TT)E LA TROISIME NITIOII

Cette nou+,elle ditiort de notre


6/446

- ttF--_

fite de cette risiott ltottr angtnenter encore le nontbrerles e.tercices proposs.Nous rappellerons cn terntirtant que ce Prcis cot?t-prenrl, sorts la mme fornrc, tores les rnatires cle noso Elmtnts d,'Algbre ,', I ceci clans le but rle faciliterau.r professeurs l,'enseignemenl deun divisions runtes.

On pourra donc, (rpec ces tleut voluntes, runir leslpes cles deur Troisinze A et B pow. leur enscignerles pat'ties conunttnes de leurs progranzrnes d'Algltre,tout en leur nte.ttat entre les rnains deur polurnes dis-tittcts, ntais concortlants sttt' ces parties contnlrtnes.Les enercices proposes settls diffrent clans les deunolumes. Csnto Boanzur.


7/446

IIXTIIAIT DIIS PNOGRMMRS O}'FICMLSDU 27 JUILLET 1905

ALEBRECLASSE DE TROISIME B

Nombres positifs et, ugatifs. 0pr'atiotrs. Applications conct'tcs.Ilt-rurnes, polynmes.Adclitirtn, soustraction, rlrtltiplication cles moumes et des polyumes.Idcntitct : .l'm_a*- (1.-a) (.u^-t -re:t e+.......+ a'"-l).Division dr.s mont"nes.lJqualions numriques du prerniel dc.grti une ou deur iuconnues.Yalirtion et signe tle I'erprcssion a,rf ; r'epr'scntation glirphiquc.Equations du secoud degr. Relations entlc les coefficicuts et lesracines.Valiatious du trinure du seconrl clegr, de la fonctio,r li' l, I repr-u'.r'l I't'scntation gt'aphiquc.Usage des tables dc Iogaritlunes et d'antilogar-ithrnes qurtle dtlci-rnales. hrtt'rrts cortrposs.

CLASSE DE SECONDE C D0prations sul les nombres positrfs ou ngatils.trlonmes; polyntrmesl termes scntblables.}pratiotts. - tldition, soustraction, rnultiplication des morrures ettles liolyrtmes :Identit : J* -a"l- (;r' - ct) lr^-t-+-a,rn +,...,.. +rr' l).l)ivision des rnour)nres.Iltisolutiou des qualiorrs du preruicl tlegr urre jtrcorurue. Iugalitdu prerniet' degr'. R:olution et discussion de denx tluatious du pre-

rnicr degr deux iucolnues.Problmes; nrisc en quation. Discussion des rclsultats.Yariation de I'expression a.r+- ; repr'sentation glaphique.[quation clu second degr une ilconnue (on rre t'ela pas la thoriedcs iuraginaircs). Itelations eutle les coef{icie'nts et les r.acines.Existence et signe des racines. tuclc du tr.inirrne tlu second degr.


8/446

Indgalit du secoud degr. Ploblutes du sccond degr. Yarialion dutlirrme du second dcgr; reprsetrtal,ion glaphiquc.Variatiorr de l'express inu fflar.6,; r'eprtisentation graphique.l\otion tle la drir'c; signilication gomtrique de Ia dr'ive. Lesigne de la drive indique le sens de la variation; applicatious descxemples numriques tr's siruples et ett particttlier aux fouctions etrr-

d ies prcdemrttettt.Progressions arithrntiques et progressions gdonttliques. Loga-rithrnes.Usagc des tables de logarithmes quatre ou cinq dcimales.Intrts composs.Nota, - Pour ce qni est des logarithmes, on se proposera essentielle-ment de farniliariser les lves avec l'usage ded tables.Les professeurs llourronl donner des intlications trs sonmaircs surla thorie dduite soit de l'tude des progressions, soit de l'tude descxljosanl s.

CLASSE DE PREMIERE C Dquation et tlinme du second degr. Cas o la variable est uncli gne tri gonourtrit1ue.Calcul dcs tlrives de fonctions simples. tude ,les variations et tlela leprsentation graphique.tude d'un mouvement rectilig'ne au noyelr de la thorie des clrives.litesse et accelration. Mouvement uniformment vari.[[-es professeurs devrorrt appliquet' les thories de I'algbre de

nombreur exernples ernprunts soit l'algbre, soit la trigonorntrie,soit la gdomtrie.]


9/446

PRECISCIIAPITRB PREIIEIT

i{O}tBRBS POSITIFS ET I\GATIFS' l. - Gnnalits.l. - But de I'algbre. - L'algbrc a pour objet degnraliser les calculs de l'arithmtique; de donner desrgles simples pour la rsolution des problmes num-riques et cle lburnir des formrLles reprsentant, sous uneforme condense, le rsultat d"un type de problmes. 'Pour atteindre ce but, elle emploie les lettres et les

.s iti ll es.2. - Emploi des lettres. - Les lettres servent re-prsentcr les nombres.Au lieu cle raisonllel'. comtne en arithrntique, sul destionrbres : 4,5,1, etc, on raisonne sur des lettres: a, b,ct .. t, , J^.... censes reprsenter des nombres connus ou connat.re. Les rsultats auxquels on parvient ainsioffrent une gran(le gnralit, car, comme on ne prciseps sur quels nombres on opre, ils sont vrais pour tousles nombres.

3. - Signes. - On fait usage. en algbre, des signesque I'on emploie en arithmtique ct de quelqucs antresque nous aurons occasion de dfinir au cours de I'ou-vra$e,l\ous rappelons brivement les sign'ifications des signcsde I'arithmtique.Bounr,Er. - FRc, n'elcnne. I

D'ALGEBRE


10/446

2 PRCIS D'LGEBRE'I+. - Signes oPratoires'* est le signe rle I'addition; it se prononce plus'-' est le signe de la soustraction; il se

prononcernoins.;< cst le signe de la multiplication; il se plononce mul'tipli par. Lorsqu'on reprseute les trombres par des let-tr"es, on emploie souvent ttn point, ou mme on sc con-tented'crirelescleuxlettrcsquireprsententlesnom.bres multiplier l'une la suite de l'autre sans intercaleraucun signe.Ainsi, a xb, a'b et ab reprsenttrtrt tlgalemctlt le Ttroduit dca pirr h.: est, le signe dp la division: il se prononce divis par'En algbrc' on emploie de prfretrcc le trait de frac-tion ponr indiquei la division'

irrsi, fi r,t rr: lr indiquenl, ['rrn trl I'utrt,, b Etotienl. rlt'tr 1,at',Inais on .imploie plutt lir |remir'e noLrliou'onappellellrrissarrce]lellrodtritdepltrsiettt,sl'actettrsgaux. L'eposcttrl tie la pttissauce est Ie nourbt'e de ceslacteurs. Pour crire une puissance' on emploie trne cri-tureabri'ge,qtriconsistecrirettneseulel'oislava-leur comrnune des facteurs gaux et placer en hauL Iroite I'exposant.

Ainsi, :tu lieu tl'ticrile 4X x4 otr trrit 45' u lictr do Qflflfi'on clit r*. lk,rrr.r,,,,,'n* i.,1,*O-,,,it,, k: pr',rr.lrrit rlc ttt fttt'tcurs gaux a; c'est ec qu'on appelle lu lltttssaltce ntl(rl Qe a'y'- est lc signc de I'extraction clc la racine carre'V- est le signe d"extraction de la racine cubique'plus gnralement, j7- est le signe cle l'extraction de la

racine 171r'rc. c"est--dire que 'fZ represe'te uu nombredont la puissance lvsime est gale o'Ir-r_. erempl ", { 4rcpriscntc I;r rircure cart'e de j; VSI rcprsente


11/446

NOIMNES PT'SITIT'S ET NGAIIFS. 7Ila racitte quirtrime rlc 8r. c'csl-ir-dirc le uurnlrle clorrl. la puisrlrreequatlime ert gale 8r (ici c'est 3).5. * Signes de comparaison:. : est le signe de l'galit; il se prolronce gale./ indique la non-gaLite ; il se pr.ononce drTf rent de.) s'nonce plus grand que. ) -( s'nonce p/us petit que. I SiSnes de I'ingalit'Ainsi, on a :4*3:j,4+Z+6,3)2, z(3.

ct orr rlit r 4+ 3 g*lc 7, 4+ 3 tlifl'i,r'ent de 6, ii plus grantl q,c 2,z plus petit quo 3.on enrlrloie aussi qrrelquefois les signes clc l'galit eItle I'insalitcl cornbirrs.- inditlue supdrfeur ou gal .z signilie infrieur ou gat .l)lrl exempkr, a1r signilit, : rr srr;ri'r,ilrrl orr tigrrl .6. -_ Parenthses. - Lorsrlrr'orr lrlace ullrr rluautiterr I r'tr parenthses f ), .rtre crochets f l, ,,,, e'[1,r,..\ \ / LJaeeolades ) t' on inclique par l clue cette quantit fomretnt touf irtsparnble.

Lorsqu'on met une opelration entre parenthses, on in-dique par l quc I'opration est cousidtire conrmeeff'eclu tte.- Ainsi, '*3-5 incliquc dcs op,;rqliorts effectuer sur les nom-hres ,i,. 3, 5; au co,t'rir.ir, (.t + S - 5) rcprseiie le rsultat, d,e cesop r a tiotts sup Ttos.e s effectue s.LCS OeUX expresstonset rf T Siiili,rlepr'sentent rlcur srriles d'opr-utionr folt rlitlcrr.ntes. La prcmir,cinclique, qu'ri 4 r,n.ctnit ajoutei'ls lrlotlnit le,i lrar' 5. lxris ari ltlsullrrtle rrrrrrrbrc :. l,e r srrll.rl e.[ donr..':r r .La seconde rndiqrre -qu 0n dorl .r,1outrr dunt' p,rll, .i r:t i et r{'irulrt:parl 5 et z, pur: multiulier Ie, deux snmmci ellcr:lrrce.. Lc risull.rt c"[clonc 4q.De mme, (a+O+c) \(t*f ig)


12/446

PRCIS D'ALGBRE.sisnifie qu'iI frrut rnultiplier lit sorttme a + b I c effecttLde, prt' la*.-'iom* d'+ f + y SalemenL effecht'e'7. - Problmes. --' Rsourlre un problnl,e, c'est eal-culer cettaines quantits qu'on appelle les Ine(Dnnues' con-naissantd,autrei quantits appeles rlonnes, et sachant qu'i7existe entte les donnes et les inconnues cettaines relations.noneer Ie problme, c'est exprimer, en langage ordi-naire, Ies telations gui existent entre les donnes et lesinconnues.Les valeurs des inconnues sont ce qu'on appelle les solu-tions.8.-Avantagesdet''usaged.eslettres.-Potrrbierrlhire comprendre comment I'usage des lettr'es permet dcgnraliser certaines questions, ttous traiterons tlnexemple simPle.supposons qu'il s'agisse de rsoudre le problme sui-vatrt :

[,rn trai,n rnrtrehe Ia.uitesse de 45 kil,onttres a l'ltertre.Ouell,e, rlistance atr,ra-t-il p&rcouru en z heu,res et rlentie?\ La rqle de trois d'arithmtitlue Ilous cloune imrnclia-ternent la solutiotl. Le tt'aitl' ftrisant 215 kilomtres en ttneIteure, frrra /+5 x2r5, soit rrz,5 l< I ou ill kilomtres. La clistance parcou-rtte est ut e|o si on la dsiqtrcr prir 'r' on a :(11 t- ut.


13/446

NOI\IBIIES POSITIFS ET NEIiATII'S. 5Si, maintenant, on veut rsoudre un problme quelcou-que dn t1'pe prrlcritlent, il suffit. tlarts cette rlgalit. tle

renrplacer les lettles l e[ / par les uoml-rt'es clLr'ellcs l'6rpr'-senl,err[.Ainsi, si le train marche 3 henres, 5o kilomtres l'henre, la distance i)arcorlnre est :;1':-- 5o ',


14/446

6 pncts n'u,ennn.En voici des exentples :,,L. - Doit et avoir. - Le bilan d'un certain nombrcd"oprations effectues par un banquier ou un commer-ant est une certaine somme d'argent. Cette somme estsoit wte recette, soit urt d,bow's.2. - Temprature. - Le thermomtre est un ins-trument qui sert mesurer la temprature. La temp-rature est susceptible d'tre compte dans deux sensdiffrents. En effet, dans le thermomtre centigrade, une

colonne de liquide (mercure ou alcool), se meut dans untube troit de verue. Ce tube porte une graduation. Lechiffre o est inscrit sur cette graduation au point ou s'ar-rte la colonne lorsqu'on plonge l'instrument dans de laglace fondante. Si on met le thermomtre en contactavec un corps plus chaud que la glace fondante, lacolonne s'arrte en un point de la graduation situatr-dessus du zro. Au contraire, si le corps est plus froidque la glace fondante, la colonne descend au-dessousdu zro. La temprature d'un corps peut donc tre mesu-re par un certain nomble de degrs centigrades, soit au-dessul, soit au-clesso?ts tle ;ro.13. - Distances. - Considrons encore un mobilequi se meut sur une ligne droite. Supposons qu'il parted'un point A de la droite et qu'il dcrive un certain che-min. Il peut, en partant de A, marcher dans deux sensdiffrents, aller vers la gauche ou vers la droite.Le chemin parcc)uru peut donc tre compt dans deuxsens opposs.1i,4. - Insuflisance des nombres arithmtiquespour mesurer ces grandeurs. - Comme nous I'avonsdit plus haut, l"un des buts principaux de I'alglire est deconstruire des lbrmules (n'9) qui fournissent les solu-tions de tous les problmes d'un mme type.Lorsque I'inconnue dont la formule doit donner la va-


15/446

NOIIBRES POSITIFS ET NEGTIFS. 1leur est une qllantit susceptible d'tre compte dans deursens diffrents, il fhut, non seulemeul. conuatre sa valeurnumrique, mais encore le sens clans iequel elle est comp-te. Si I'on mesurait ces grandeurs avec les nombres deI'arithmtique, nne lbrmule ne pourrait donner que la va-leur numr'ique de I'inconnue et I'on ne connatrait passon sens.De l dcoule dj la ncessit de crer de nouveauxnombres indiquant non seulement les valeurs numriquesdes quantits qu'ils rnesurent, mais aussi leurs sens.

{5. - Mais il y a plus. I-Ine lbrmule, pour tre vraimentgnrale, doit pouvoir servir dans tous les cas. Or, il estfacile de voir que les nornlrres arithmtiques ne permet-tent pas toujours de le thire.Reprcnons I'eremple clu tro {.f..Supposons (lrr urI .:onrur,'rlttt Iasse tleur optilrtiotts successives.r" S il kit-tleu.r recetles, I'une dc A fi'itncs, l'autl'e rle 13 francs,le liif an des cleux opr'ations sela une recelte de A f B li'ancs.z' S'il fait une 1'ecette de A francs et un tlbou's de B fi'ancs etsi la recette est plus folte qrre lo dboum, le bilan ser'fl une recette deA-B francs.Si'au contlaiie la recette est plus petite que le dbours,fe ]rilan sera un dbours de B-A fi'ancs.3o Enfin, s'il fait rleur dbotLls de A et B francs, leun dbours de A -l-- B flancs.0u voit donc que si on appelle X lc bilan on aura,

x-a f B,i=-f:Non seulement la formule n'indique pas si le bilan est un dlronrsou une lecette, mais encore ce tt'est plrs toujours ]a mme fot'mule.Nous verrons plus loin (n" 28) quo prcisdment, gr'ee ir l'introdrrc-tion des nombies algbriqucs tlue nous :rllons tlfinit', on pout't'a dottnerune folmule u,niqu'e, borint daus tous les cas, qui, ell sculc, indi-quera le sens clu rsultat.16. - e qui prcde nous montre donc que, pour pouvoirobtenir des formules gnrales, il faut ajouter aux nom-bres qui mesurent les grandeurs prcites quelque chose.un sigrre par exemple, qui soit propre indiquer Ie sensdans lequel on les compte.

hilan final serasuivant les cas,


16/446

8 PROJS D'ATGBNE.Pour des raisons que nous ne polryons donner ici, on atti condui[ choisir comme signes distinctifs les signes* et - cle I'addition et de la soustraction.Les applications que lrous t'erons dans Ia suite suflirontd'ailleurs jusbilier ce choix.

17. - Nombres positifs et ngatifs, - On appellenombre posittf un nomhre arithmtique autre que zro pr-lcd du signe .On appelle nombre nga,tif un nombre arithmtique autreque zro prcd du signe *.L'ensernble desnombres positifs et ngatifs, auxquels onad,ioint le nombre z,ro qui n'a, uLcutt signe, fonne ce qu'ollappelle les nombres algbriques.Airrsi, *11, qui se lit: Ttlus rluah'e, esl ttit nontltte positif.- 25, qui se lit : ntoins uirtgt-cinq, cst uu rrornbre ngtti[.Ces nombres servent mesurer les grandeurs suscepti-bles d'tre comptes darrs deux sens differents.Ainsi, si le bilan d'nn cornruercant est uue recette de zr5 fi'ancs,il a zr5 frlncs tle plus er] cais-qe. Lc bil:ur est { zr5 fu'ancs.Si, au contlaire ee bilirn tist un ddrl16111'* rle rz8 francs, le commer-ant a rz8 fi'ancs tle ntoils en citisse. Le bilan cst - rzB francs.18, - Nous reprsenterons lcs nombres algl-rliquespar des lettrcs, mais tlans la suite de ce chapitre, polrrviter toute confusion, nous emploierons toujours lcrspetites lettres porlr dsigner les nornbres algblirlr.res et lesgrandes lettres poul' dsigner des nombres arithnrtiques.{9. - Il faut remarquer avec soin que les signes dis-tinctifs * et - des nombres positifs et ngatifs n'ont,jusqu' nouvel ordle du moins, aucune signification op-ratoire. Ils font corps avec eux. Lorsque ce sera nces-saire, pour empcher toute mprise, nolls enfermerons lenombre et son signe dans des parenthses pour bien indi-quer que les deux forment un tout insparable.

20. - Valeur absolue. - On appelle valeur absolued'un nombre algbrique, Ie nombre arithmtique obtenu ensnpprimant son signe,


17/446

NOIIBRES POSITIFS ET NEIJ.{TIFS 9Pour indiquer la valeur absolue d'un nombre, on leplace entre deux barres verticales. Ainsi, I a I signifieuu,letr,t' u,bsolu,e de u,.l+ql:4, l-31:3. lol-o.21,, - Convention. - Tout nomhre posifif est gal savaleur absolue.Cette convention, comme nous le verrons dans la suite,n'introduira aucune contradiction. Grce elle, les nour-bres positifs sont identiques aux nombres arithmtiques.Les seuls nombres nouveaux sont donc les nombres nga-tifs.22" - galit. - Deux nombres algbriques sont ditsgaux lorsqu'ils ont mmo valeur abeolue et mme slgne.Dans Ie cas contraire, ils sont dits ingaux.On emploie les signes habituels - (gal), et+ (ingal).23. - Deux nombres algbriques sont dits opposs lorsq'u'r7sont mme valeur absolue et des slgnes contralres.Ainsi: f3et-3, *let-1.2

A 8. - Addition et Soustrraotion.. 24. - Somme de deux nombres . - tant donns deuxnombres algbriques, onappelle sornme deees deux nombresIe nomhre obtenu de Ia aon suivante :/" Si les deux nomhressont de mme signeonfait la sommearithmtique des valeurs absolues et on lui donne Ie signecommun des deux nombres.2" Si /es deux nombres sont de signes contraires, on fait Iadiftrence arithmtique des valeurs ahsolues et on lui donneIe signe d.e eelui des deux nombres qui a Ia plus grande valeurabsolue. Dans Ie cas particulier o les deux nombres sontopposs,leur somme est O,3" Sf I'un des deux nombres est O, Ia somme est gale 1'autre.Nous emploierons pour dsigner la somme le signe


18/446

t0 PRCIS D'A[GEBRE.ordinaire f , mais pour ne pas faire de confusions, nousaurons soin de placer chaque nombre et son signe entreparenthses.Aiusi: (+ 3) + (+ z)- * 5,(+ 3) + (- z)- -l- ,,(--3) + (* z)-- r,(-s)+ (-z')--5.(-3)+ o ---3.25. Somme d,e plusieurs nombres tantdonns plusieurs nombres, pour faire leur srrnune:1" Si tous ces nomhres sont de mme signe, on tait Iasomme arithmtique des valeurs absolues et on lui donne Iesigne commun de tous ces nombres.2' Si tous les nombres ne sont pas de mme signe, on fait,sparment, Ia somme de tous les nomhres positifs et cellede tous les nombres ngatits, et on ajoute, d'aprs Ia rgledu. n" 24, Ies deux nombres, L'un positif, I'autre ngatif , ainsiobtenus.Par exemple,- (+ 4) + (+ 5) + (+ z)-f,r.(-4) + (-5) + (-"):_- tI,(-l- 4) + (- 5) + (-,) + (+ 3)- (+ i) + (- 7):o,(*'5) + (- ro) + (*,) + (-3) + (-8)-(+ ry)+ (-,') --4.26. + Simplilication d'criture. Lorsque lesnombres qu'il s'agit d'ajouter ne sont pas reprsents pardes lettres, on se contente, pour indiquer leur somme deles crire la su,ite les uns des autres.Ainsi, au lieu d'crire :(-a)+(-5) *(-")on r-lcrit, plus sirnplement,

de mme -4-5-z(+4) +(-5) +(-,) +(+3):* 4-s-z*3,(*'5) + (-'o) + (+,) + (-3) + (-8):+ r5-rof z-3-8.Lorsque le premier nombre clit est positif, on peut mmt' suppri-


19/446

NOIIBRES POSITIFS ET NEGATIFS. IImm le signe f qui le prccle puisque ce nomlre est gal sa valeurabsolne.0n crira donc ainsi les sornmes pr'cdtlcntes :

4-5*z+3 et 15-rogz-3-8.27. - Remarque importante. - De la simplificationd'criture qui prcde il rsulte qu'une mme expressionpeut avoir deux sens: I'un arithmtique, I'autre alg-brique. Il est facile de voir que ceci ne conduit aucunecontradiction.Ainsi I'expression r5-rolz-3peut tre considre volont comme dfinie en arithm-tique ou en algbre.Au point de vue arithmtique, elle indique que de r 5 onretranche ro, qu'au rsultat on aioute z et que de ce der-nier on retranche ll.Au point de vue algbrique, elle indique Ia somme desquatre nombres * t5, -- ro, 1- z,-3.Quelle que soit la manire d'envisager cette expression,Ie rsultat est toujours le mme. Car, dans les deux cas,elle est gale l'excs de la somlne des valeuls absoluesdes nombres positifs sur la somme des valeurs bsoluesdes nombres ngatifs. C'est t7

-13 -:= [.

28. - Recettes et dpenses. - S,tpposons qu'unepersonne ait fait un certain nombre de recettes et un cer-tain nornbre de dpenses. Il est clair que pour avoir lersultat final des oprations il suffira d'abord de faire lasomme de toutes les recettes : ce sera la recette totale;ensuite la somme des dpenses : ce qui sera la dpensetotale. On fera ensuite la diffrence des deux sommes. Sila recette totale est plus grande que la dpense totale,cette diffrence sera une recette; si au contraire c'esi ladpense qui est la plus grande, la diffrence sel'a llnecl1tense.Or. si on convient d'affecter toutes Ies recettes du siEne


20/446

l? PRBOIS D'r\L{iEBR 1.* et les clpenses du signe -, les oprations prc-dentes forrrnissent prcisment la som,nte des nomllresalgbriques en question. Le signe tlu rsulta[ indique sanature.DonC, pour obtetr,ir ie biltrtt, rfun cerlctin no?i)re rle recetteset cle clpenses, it sul'lit tl'uffecter les recettes cht s'igne -7 etles clpenses clu ilgtrc - et de fu,e lcr, sotrLrc de ces no'trthresalgb riques.

Pnonlun l. - Un comntercant a, successiuenlent, uerrcLu'ttne 1tice tle tlrap 1Lou.r. t z5 f rtmcs et tme au,tre pozu" z(z frnncs ;uclLet une ltice pour 175 [rancs, r|iil rt reuetrcl'ue '1tourzt frnncs; TLttis rrcltet rme ytice cle drap de t18 f rut'cs,Le bilan du courtuerant est douc :I rz5 * z4z- r75 f zr8 --98-+585-2'7'3-f3rz,c'est--dire que le ruarchand a encu'sa 3rz francs.PnoerMu IL _- Supposon,s qu'urre personn'e ctit : t" payz5'",35;2" rectt r7t",4o;3' pay rtb fran'cs; 4" reu,93'",2515" puy B'",7.,.Le bilan des oPrations est :- :':,,, :;-:;, :: ; sllh :'', "Le rsultal esL ntlgcrtif'. La personne a donc finalementtlbours 38".it-r.

Nous voyons J,ricn ici, cortllnc ttous I'aviotts annonc au no 15, qu'aulieu d'tre"folc cle t'itisotrnct' i\ palt claus cltitrltte cls et d'avoir.- chaqrtefois. unc fortnrtle nottt'eile, nous n'illolts plrrs qll'une seule forrnule,urrc' seule rqle,ltotrne pout' lozls les cas.29. - Distances. - Un voyageur se dplace snr laroute cle Paris Dijon. Chaque fois qu'il marche de Parisvers Dijon, sa distance Paris augntente; chaque foisqu'il va en sens iuverse, de Dijon vers Paris, sa distance Palis di.ntinue.On est douc conduit, considrel toutes les distances


21/446


22/446

I& PRECIS D'LGBRE.et il lui I pay r r 5 fi'arcs ; cnlin une Lroisinte pel,soune, I,aul apil_-c ?g lrancs ct err ir r.eu 95 lr;rrrcs.Le bilan de Plul cst :-83 -l- 5zf' dz*3i- rr5-zg*g5.llais pour tublir cc JLilln, llous pouvons raisonner autrement et nouspouvons chercher s|lrment le rsultat des oprations cle paul avccchacule des trois personnes.Prem.ire personne : -83f 5z - -jr,euxime pelsorrne : * 4z* 3Z - r15 - __ 36,lrorslemepersonlte : -29+95 - +G.0rr pcut do.nc^rlire que Paul ir pari' 'ir li'an.s ir l. prcmit,J,(l.por'-sonne, pay.i6 frrncs i'r la secorrd et ltru 66 li'ancs dc la tlr-rrsremc.son bilan est dorrc aussi -- 3 r - 36 + 66, ct ceci revient rcm-placer dans la prornire somlne-83f 52. *,ir*37_ rr5 ct -29+95lrar lcs sornln('s tllirla\'s.l,rt etnPlorattt les ltnrettllrr:ses (n" 6) on |euI rlorrc rieriro:-- 8l + 5z { tz-l-'it - rr5 - 29 + 95(- 83 * 5r) j- (42 + 37 -_ rr5) f (* 19 * srb)-.lr-l+66.33. - Soustraction. - Retrancher un nombre b d",unnomhxe a c'est trouver un troisime nombre qui, ajout b,donne une somme gale a.Ainsi on a: - (- + (+ B) - 1r.Donc f I est la rtillrcncc de f r ct de - 7 puisquc cn ajoutant+8-Tontrouvefr.g4. - On indique une soustr.action par le signr: -,colllrne en arithmtique; mais porlr. viter cies conl'usionsou place les nourbr.es avec lcurs signes enl,re parcn-thses.

Ainsi nous dcrivons(*') *(-;) :*8.35. - Rgle. - Pour retrancher un nombre on ajoutele nomhre oppos.Ceci rsulte de suite de ce que (N" 24.1 la somme tledeux nombres o;rposs est gale :ero.Ainsiona : (+4)-(-51 - (+ 4l * (* 5l;


23/446

I.i()IIBRES POSITIFS ET NGATIFS. 15cirr (+4) +(+ 5) + (-5) : (*+) *":* 4,en remplaant (* 5) + (- 5) par la somme effeetue qui est ;dlo'0n a donc: (+ 4)--(-5): + 9.De mme : (+ 3)-_ o(-5) -(+4){-5)-(-4)

36. - Somme algbrique. - On appelle sontme alg'brique une suitc cl'additiorls ou dc soustt'actions succes-sives.Ainsi (+ 4)+ (- 5)- (-3) + l* r )-(* r)est une Eonlnle algbrique. Cette expression indique tlueI'on doit laire la somme cle -l- { et - 5; tlu rsultat retran-cher - 3; au nouveau rstrltat ajouler - r ; etrliu do cerlernier rsultat retrattcher * ;.Or, d'aprs la r'gle 1lt'cdente, potlr retratlchcr - 3 ottajorrtc J- 3, r't l)our t'e[ranclter * I on aioute - 7.On peut tlottc crirc ceci :'1 4 --5+3--t--7.

Ce qtri est une solnnle orclntaire.Orr peut donc tlire quc : toute s(rtllte algbriqtte est itlen'tiqtte une soilLrne orcli,ttttire concli.tiort, cle rentplucer lestemnes prcd,s clu sirtne (-) Ttar leurs opytoses.Les sommes algbriques jouisscnt cionc dcs mmesproprits que les sornmes ortlittaires.37. -brique Consguence. - Considrons une somme alg-a+b- c* d,-e

oir a, b, c, d, e dsignent des nombles positifs ou ngatifs.On la transforme elt somme ordirlaire ell t'emplaant - ceL - e par les nombres opposs. Ceci conduit la oonven-tion suivante :On' dsigne Ie nombre oppos d'un notnbte donn en plaantle srgae ( - ) devant ce nombre,


24/446

,16 PRECIS D'IGBBRE.insi - c dsigne le nomlrre oppos o--(-5) -+5, -(+3) --3.Avec cetteconvention,la somme alghriqtteaf lt-c{ d-epeut tre considre colnme la somnle ordinaire de&, b, -c, cl et-e, qui sont appels les lernrcs de la somme.38. - Thorme. - Si dans une sommeonremplace tousIes tetmes par des termes o3poss, Ia nouvelle somme estoppose Ia Premire.C'est presque vitlent prrisque totts les nombres positifs

deviennent ngatil's et inversement.insi, si clans 5-i, +'i- 2- +2on remplace les termes par dcs noml-rres opposs, on ohtient-5+4-3lz:-2.0n ir de mme- \a + b -c+ r1l : * (t -b a c - d,cir-

(a*b -cf r1) indique I'oplros cle (af b-c{dl elfec-lrrd 1n" 6).39. - Thorme. - Pour aioutet ou retrancher uneE,mme algbrique, iI suflit d'aiouter ou de retrancher cha-cune des Partfes.On A, en effet,tt,-b * (c - rt + e) -.--{L-b + c-d 4 e,lrtrisqu'on pettt, tlans la somtne n - (t -i- c - tl I e, , reltl-placer c-il f e par la somme effectue.D'autre part, pour retranchei' c*cla e, on doit aiouterle nombre oppos qui est, d'aprs ic uo 38, -c1- d-e'Donc ; cl-h-(c-d+ e)-a-b-c * cl-e.40. - D'aprt':s ce qui pri'ct\cle on peut supprimer ouintroduire des Parenthe\ses.0na:a + b+ (c-d) * (c * f + s):a +b + c-d + e*l * g;(a-b + c) - (,/ * f) - ({t -lt) --a '- l,l + t'- tl-f - g * ft; - b + c - rl - f - u- (b -c f dJ - f;u-'tt -f ,;* ( -t- -tt* lt -l- c- (d + l');u- b + d- ,l -'f *- a.- c - ( + d * T);u - b + c - cl - f=.(a * b) + (c - d) - I.


25/446

I{OIIBRBS POSITITS ET NEGATIFS. 47On voit d'aprs cela qne:ro On peut, sans rien changer, introduire ou supprimerdans une somme des parenthses prcdes du signe ( + ).zo .f,orsque dans une somme on introduit ou on supprimeune parenthse prcde du signe (-), il faut changer lessignes de tous Ies termes placs d.ans Ia parenthse,A 4. - Multiplication et l)ivision.

l+1,. - Produit de deux nombres. -On appelle pro-

duit de deux nomhfts algbriques un nombre d.ont Ia valeurabsolue est gale au produit des valeurs absolues des deuxnombres donns et qui a Ie signe ( + ) ou (- ) suivant queIes deux nombres sont de mme signe au non.Lorsqu'un des deux nombres est O,Ie procluit est gal O.Il rsulte de l que le signe du produit cle deux nom.bres s'obtient par. la rgle suivante diLe rgle des sigrzes.+ par { clonne f-+)-,+r- r -l-Ainsi : {+ 3) .(+ 4) - + ',, l(- 3) .(- 4) : } tz,(+ 3) .\_ 4l - __ ,,. | (+ 3).o _ o,(-3) .(+4)--r',1 o.( 4):o.

42. , Produit de plusieurs facteurs. - On appelleprodrrlt de plusieurs nombres le nomhre obtenu de Ia maniresuivante :7' On fait Ie produit arithmtique des valeurs ahsolues.2" On atlecte ee produit d.u signe (*) s'jl y a un nomhrepair ou nul de facteurs ngatifs.On l'affecte du signe (*) s'iJ y a un nombre impair de fac-teurs ngatifs..Lorsqu'un des facteurs du produit est O, Ie proiluit estgal O. / \ / r\ / \/ r\ rbAinsi : (* '/ (+;) .(* u) (*;) - +;,/ \ / ,\ / \ /(+')f-r\(-5)f-''l\ r5\ /\ 2/ \ ,/\r;):*;aDornr.nr. -- nnfc, o'.rr.oune. z

Rgle

{,fl-r


26/446

{11 PRECIS D'AIGBRE.(-,) (. ) (* ') (-;) - -:,(-s) (+ r) f- u) /- r) - - r5\ ./\ 2/ \ /\ 7/ t4'(+ 3) .o. (- 5) - o,/ \/ r\o'[-41(-:l:o.\ /\ 2/43. - Thorme. - Un produit ne change pas lorsqu'onintervefiit 1'ordre des lacteurs.Car, le thorme tant vrai en arithmtique, Iorsqu'onintervertit I'ordre des facteurs le produit ne change ni devaleur absolue ni de signe.44. - Thorme. - Dans un produit on peut remplacerplusfeurs facteurs par leur produit ettectu.Ainsi on a : (-t)(+3)(-5)-*6o.I)onc : ? (- 4) (+ 3) (- 5) (j-:) (- ,,)

, (- (* 6o) (+ l) (- ,,).\ .,./45. - Puissance. - On appelle pulssance vntme fl'unnombre Ie produit d.e m facteurs gaux ce nombre (n" 4,;.m est ce qu'on appelle I'expoeant de Ia puissance.On indique une puissance en crivant une seule fois lenombre et en plaant droite, en haut, l'exposant.Ainsi : ua - (L.u.u.u et se lit a ptt,tssance [.(- 3)' _ (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) (- 3) - - z[3.46. - Il rsulte de la dfinition d'un produil de plusieursfacteuls (rt'42) que :7' Toute puissance d'un nombre positit est, positive,2' Une puissance d'un nombre ngatit est positive si |'ex-posant est pair, et ngative si 1'exposant est impair.Ainsi ; (-_ 3)o - * 8r (il y a d fircteurs ngatifs),(-- J)t == * 27 (il v * 3 fircteurs ntli;ltii's).


27/446

NO}IBRES POSITIFS ET NEGATIFS. 1947. - Thorme. - Le produit de plusieurs puiss ancesd'un mme nombre est une puissance de ce nomhre dont |ex-posant est la somme des exposants des tacteurs.En effet (.3.ab est le procluit de 4 facteurs par 3 ihc-teurs, par 5 facteurs tous gaux a. Donc:4 fois ir fois 5 foisa4. aB . (Lr : (teaa . &u , e(ta,aaIl y a en tout 4+3 * 5: rz l'actcurs gaux a, ce quiest a12. IJonc : aa.Q5.A5-&r2.Ainsi : (+ l)'.(+ 3)0.(+ 3)' - (1 3;rr.(- ,)' . (- ,)' - (_ "),.Un nomlrre seul peut lre considr, conlme ayant I'ex-posant r.0n peut crire 0L - n,.Parsuite Q3.a5.a_Qe,car 3+5*r:g.48. - Thorme. - Pour multiplier une somme a[g-brique par un nombre on tait Ia somme des produits obtenusen multipliant successivement chaque terme par ce nombre.l\ous nous contenterons de vrifier ce thorme sur desexemples ; mais pour bien l'appliquer il faut se rappelerqu'on appelle tet nte d'rrne somme algbrique le ter.rneat'ec le siqne qtti Ie \srccle.Ainsi on a :(a - b I c - d) nt - et?t - bnt cm, - dm.(a-b {c-d)(-nt'l--a(-m)-b(-m) r (-n,) - tt(_ nt)- - (un f lr -

cn -l- tlm.Hxnuprn I. _- Soitr multiplier z - 3 { 5 par {. 3. 0n r :(,-3+5) (+3)_z(+:i) _3(+3) +5(+3)-tt_-9*15-_frz.0t', z-3f 5---fzi,et on a lrien (+ 4).(+ 3) - * t'.Exoupru IL - Soit ii multiplier + 3-(-S) + (-z) par -3


28/446

20 PNCIS D'LGBNE.0nr: [+ s-(-5) + (-,)] (-l)- +3(-3) -(-5) (-:r) +(--,) (-3)e-(+'5)+(+6)0r, +3 - (-5) + (-r) : * 3 + 5-z: f 6ct on a bien (+ 6) (-_ 3) - _- 18.49. - Thorme. - Le ptoduit de deux sommes algbri-q.ues est gat Ia somnte des ptoduits ohtenus en multipliantsuccessivement tOus les tetmes du ptemiet tacteur pat tousles termes du second.Ici encore il ne faut pas oublier que chaque terme doittre pris aaec so??, sigrze.Ainsiona: (o-b+c) (d-f): ad n,,u rl i I;'"' * L\' ? ttNous nous contenterons de urifier ce thorme sur desexemples numriques.

Exeupln t. - Soit efl'ectutrr le prorluit :(t-u+3)(r,__i)- d.tz-5.12 + 3'rz f q(-t) -5 (-7) + 3 (-z)- 48-6o+ 36-28 f 35- 2l .--.- rr9- rog - * ro.0r, 4_-5f3-$2, 12'-'.--7:*5,etonabien: (*r)(+5) - * ro'ErsMpLn II. - Consiclrons le procluit :i* ', + (- 5) - (-,)l [- 5 - (- 3)l-+12(-5) +('-5) (-s) -(-') (--5)-,2(-3) -(-5) (-3) +(-") (-3): -6o -[-- z5 - ro + 36 - r5 + 6 - - 18.Dr' + " l';jl- ;]:,'; J:= n ''

er on a bien (* g) (- r) - - r8.50. - Application I. - Le carr d'une somme est gal Ia somme dis carrs des deux termes augmente du doubleproiluit de ces denx termes'On a, en effet. d'aprs ce qui prcde,(a * b)u: (a +) (a -f b) -au * ba * ub'7 bbcomme cla,: ae , bb - tf eL ba : ub ,ceci donne : (a + b)t:qz { bz l zab


29/446

car

OrDoncErnuplss :

NONIBRES POSITIFS ET NEGATIFS. ?Iab+ ab est gal z fois ab ou zab.5f . - Application II. - Le cart d'une difltence estgal Ia somme des carcs des d.eux termes diminue dudouhle produit de ces deux termes.On a, en appliquant le thorme du n" 49 :

(a - b)u- (a-tt) (a - b) - ea* a(_. b) - bct- b(- b):e,e-ab-bq*bz_cr,zI br_zabcar*ab- ba:-ab-ab est gal z fois (-ab) ou -z.ab.52. - Application III. - Le produit d'une somme parune ililfrence est gal Ia ditlrence des eans des deuxtermes.On a, en effet :(a -f b) (ct - h) - ea * ba *n (- 1.,) + b (.- b)-a2*ab-ab-b2.u,b-ab:o(a + ) (a- b)- az * b2.(4 + 3)u :42 I le -f z . d.3,(+ -:)2 _ 4e + 3'- 2.4.3,(4 + 3) (4 - 3) - 4s -:tz.53. - Quotient de deux nombres, - On appelleqrrotient de deux nombres, l'un appel dtvidenlle, L'autredlvlseur, un troisime nombre dont Ie produitpar Ie diviseurest gaL au dividende.En algbre, pour indiquer un quotient on ernploie tou-jours Ie traiL de fraction,..&,,Ainsi 6 dsigne le quotient de a par b.

On peut encore dire que ff est une frachlort, dont a cst lenum,rateur et, b le clnonti,nrrrn..54. - Rgle. - Le quotient de deux nombres alghriquesa pour valeur absolue Ie quotient des valeurs absolues desdeux nombres donns et pour signe (*) ou (-) suivan,t que cesdeux nombres sont de mme signe ou non,

,{


30/446

22 PRCIS D'ALGBRE.En d'autres termes le signe du quotient s'obtient enappliquantla rgle tles signes (n" 44).Le iliviseur ou dnominateur doit toniours tre dffrtent dezro. tJne fraction de dnominateur zto n'a pas de sens'Exnupms :

,1 t--F.) ),_l-- --t- =r4 4 e-5L'exactitude de la rgle prcdente rsulte immdiate-ment des dfinitions de la mult,iplication et de la division.55. - Fractions. - Les fractions algbriques jouissentdes mmes proprits que lgs fractions arithmtiques.Nous rappellerons brivement ces proprits.56. - On peut, sans changet Ia valeur d'une fraction,multipliex les deux texmes par un mme nombte.Car, en faisant cela, on ne change ni la valeur absolue,ni le signe de la fraction.insi :-L (-d\ (-z'l I 3 3(-5) -r5-':

:- =:-_; 7\-'2) -ti 5 )(-c,1, -2rEn particulier, on peut, sans changer Ia valeur d'une lrac'tion, changer les signes des deux termes.Car cela revient, multiplier les deux termes par - r.

-3 3, --71-4 { -5 5_-+-t 2,)

20

Ainsi :

57. - Cette proprit permet de rdttire 'pl'usieurs ft'ac-riotts au n'tme dnominateur, eD multipliant chacune d'ellespar le produit des dnominateurs des autres'lLxeupru l. .- Rduire au mme dnominateur :

4_-4 e_F:- -5 z -2a,ce6 ' A ' T '


31/446

I{O]IBRES POSITIFS BT NGATIFS. 23Ona a ady c-cbf e-ebdb: iltf ' a: tutf ' |*frlf 'ExnMpLs II. -- Iltluire au mme dnonrinuteur :

-4 5 7-3'=d'SLe plus petit cornmun nrtrltiple cle 5, 6 et 8 est zd.Llna:-4 -4.8 -32 5_ 5(-rr) --2o:-F-.g ' lJ:=4)--24'o t,3 2r- i'r58. - Pour fafue Ia somme algbrique de plusieurs frac-tions, on les rduit au mme dnominateur. Ontait Ia sommealghrique d.es numrateurs en consetvant Ie dnominateutcommun.Ceci rsulte immdiatement du thorme du n" 48. PourprouYer que I'on a, par exemple,

a.h c.d a*(t-c+dp*p-lr*p : pil suf'fit de prouver qu'en multipliant le premier membreparp, on trouve a'+ b-c * d, or on a (n" 48)la b e d\ ft ,b c,,d\o+ o -i+ i) p : t,p + 7n* rP + rtt-&*lt-ci-d.Ernuprn I. - Sofl t fuire la somme4-.r+Z-L3 6'8 12

",lle s'crit, en rcluisant les fractions au mme dnorninateur zd :3z zo,2r z 3z-2o+2r-2 3I"4- ,4+ *- "4:----4 :4. Exouplr II. - SoiJ it fuire Ia somme:r-L'.a+b ' a-bon a (n'52) : r a-b a--bl-tr 6:6TTG|)- PJ '


32/446

24 PRCIS D'ALGEBRE.I a+b o+bU:1o aT11r,7:V-6,Donc: t-a|b' a-b- a2-b2 -rr --bzcrrlb-b==o. D'ailleurs a+ac'esl z I'ois aotl 2n. Donc:rl2aa +i)+ =:v=6e59. - Le produit de plusieurs ltactions algbriques est unefraction qui a pour numrateur le produit des numrateutset pour dnominateur Ieproduit des dnomi'nateurs.Ainsi :-'-.1-Yb (l g- bdg| ,\(, r\/ 5\ (-') (+,) (-5) _, 5I -- | | --T- ;, I -- t :

-----I --\ 2)\'3l\ j/ 2'3'7 2lEn particulier, pour lever une fraction une certainepuissauce, on Ive les deux termes cette puissance.

/ a\* arn\r/ -F/-3\'_(-3)=_-17\T/:-F:G'60. - Pour fairc Ie quotient de d.eux ltactions algbriques,on multiplie Ia fraction dividende par Ia traction diviseurtenverse.

61. - Thorme' - Le quotient de deux puissances d'unmme nomhre est une puissance de ce nombre qui a pourexposant I'excs de I'exposant du numtateur sur celui dud,nominateur.Supposons qu'on veuille diviser a? par aa. On 42 q,, -Q,4'tL6

/a\(r,/-rLd-url/c\ -- b c - bc\;/( -tJ\ 31 4.6 z4/5\ta/


33/446

NOIIBRES PI)SITIFS ET IiGATIFS. 2'}(n" l+7), par suite 17 &4. (F -_ ..ou4- (ra

0c mtime , ' : (F-i == 61-o,ol4"-:t-" - ir- i.62. -_ Exposant zro. - Considrons le rluotient dedeux puissances cl'un ntme nombre avec le rnnte expo-

sant. Soit, par exemple, , _,.5*Ce quotient est gal r, puisque c'est ttne fraction doirtles deux termes sont gaux.Or, si on applique le thorme prcdent, on est con-duit l'galit h1-50:50-o - 50.On est donc conduit admettre que la puissance d'expo-sant zro d'un nombre est gale r.D'une faon plus gnrale, Soit le quotient

, -' - (F-p:610.Q,,PL'application de la rgle prcdentc conduit encore l'galit {Lo - t;et ceci quel que soit Ie uombre a.C'est pour cette raison qu'on a t amen la con'uert'-tion suivaute :La puissance d'exposant z{so d'un nomhre quelconque estgale r.

Ainsi on a : ao_bo_so_s,_(i)"_,.


34/446

26 PIII-]IS D'ALGBRE.63. - Expression algbrique. - Nous avons mainte-nant dfini toutes les oprations ordinaires du calcul pourles nombres positifs et ngatifs. Nous pouruons done

oprer sur ces nombres comme sur les nornbres arithm-tiques (positifs). La seule remarque faire est que nousn'avons pas dfini l'et,"action cJe la raeine pour un nombrengatif .Il faudra done, dctns la suite, auoir sain cle n'inrliquer d,eseh'actions tle racines que pour des nombres arithmtiques,c'est-,clire pour tles nombres positifs, les seuls Ttour lescluelscette opration a un sens.Cela tant,On appelle expression algbrlqrre, I,indication d,uncertain nombre d'oprations etfeetuer sur des nombresalghriques ou des lettres censes xeprsenter de tels nom-bres.Une telle expression aura toujours un sens, pourvu queles dnominateurs, s'il y en . soient d.iffrents cre zro etque les radicaux, s'il y en a, ne portent que sur des quan-tit.s positiues.Par exemple,(a{ b1c, a2-bs- ab-' 4a3 * \fi+ t-f zaz+bzlF a 6,, #,,'r-'],r* 14,

sont des erprc.ssions algbiques.64. - Valeur numrique d'une expression alg-brique. - On appelle valerrr nurnrlque d,une expres-sion aLgbrique, pour certaines valeurs attribues aux lettrcs

qui y tigurent, Ie nombre que l,on obtient en remplaantIes lettres par les nombres et en elfectuant les calculs indi-qus.Ainsi, par exernple, la valeur numrique de I'expression(a b)c


35/446

NOTIBRES POSITIT'S ET I{BGATIFS.pour les valellrs a-3, -b:5, c-2attribrres aux lettt'es, est :

(3+5).2-r6De mme, la valeur numr'ique clc I'crpression4a5l5b4 -i3cz---"2 alzpour les valettrs &-_ 2) b-r, c:2,attrihues aux lettres, est :4(- "\t + 5.ra -|- 3.ze_-32 * 5 * rr._- r5(-r)e1r? 4+r c

Chaque fois qu'on a une l'ormttle, le second membre eslnne epresszorz aLgbrtqrc et, pour calculer la valeur de laquantit fournie par cette fbrmule, on calcule la ualeurnumriqLte de I'expression poul' certaines Yaleurs deslettres.

Ainsi, par exemple, I'aire S d'un cercle de ra,von R est donne par laformule S:nRe oir ri:3,tdr6.r Rs : 3,rzir6R2 est une e.r??'ession alobrique'

Calculer I'aire d'rtn cetcle cle ravon 3 mtre-s, c'est calculer la valeur"o*eti,lu* de cette expression pour R-3' Ceci clonne :S: 3,r{r6' 9- 28^qr27 44'De mme, I'hypotnuse _a d'un triangle. rectangle, dont les de'ux.Oit. a" I'angle r{i.oit sont b et c, esi donne pa' la fo'mulea-r/tf a c''pour calculer I'hvpotnusc d'un triangle rechngltr donl. les derrr.O1.0.* t;ongt" tlroi'sont { mttes ct 3 ntctles. il n'v a qu'l crlculerla valeur nirmrique de I'expression y'6t; cu pour :[, c:3,on trouve alnsl :

a - \f ti+-3'. -,1;E - 5 n.


36/446

28 PRCIS D'ilGIHrE.A 6. - fngalits.65. - Dfinitions. --

On dit que Ie nomhre a eet plusgrand que Ie nomhreb lorsque Ia diffrence a-b est positive.Au contraire, on dit que Ie nombre a est plns petit que tenombre b Iorsgue la dittrence a-b est ngative,On se sert des signes ) et comme en arithmtique(n" 5).

Ainsi la difl'r'ence (+ 5)- (- z) - + 7esf positive, rlonc * 5)-2.La cliffrence (- 5) - (- 3) - - ,est, ngative, clonc -5{-2.IJe cette dfinition il rsulte de suite une srie de oons-quences.66. - Tout nombre positit est plus grand que zro et toutnombre ngatil estpluspetit que zro.Car la diffrence o - o, tant gale o, est de mme signeque {r.Donc si a est positif, elle est positive eto>o.Si a est ngatif elle est ngative etr?-2oo, +;t-rooo.68. - De deux nombres ngatifs Ie plus gtand est celui quia Ia plus petite valeur absolue.


37/446

NO}IBRES POSITIFS ET NGATIFS. 99Ceci rsulte de ce que, dans une diffrence' c'est le plusgrand nombre en valeur absolue qui donne son signe'Donc si, dans a - b,rz est ngatif et le plus grand en valeurabsolue, a-b est aussi ngatif et on a:a 1b.Ainsi -51-zar (-5)-(-r):-5*z--3.I-;)-ro, -o,r)-zoo'69. - Thorme. -' On peut ajouter ou tettancher auxdeux memhtes d'une ingalit un mme nombre.Car dire que n ) b, c'est dire que u - b est positif' Soitc un nombre quelconque, on a :

(a * c)- (b + c) : rt * c - b - c:a- b.Donc (a I c\- (b + c) est aussi positif eta+clb*c.Cette dernire ingalit se dduit de la premire enajoutant c aux deux membres.Ainsi _.4>---zodonc *4+ r5)-zof r5ou *rr)-5.?0. '- Thorme. - Lorsqu'on multiplie ou qu'on diviseIes deux membres d'une ingalit pa un nombte autre quezt'o :" Si ce nonhre estpositif, I'ingalit subsiste,'2' Si ce nombre est ngatif, f ingalit change de sens.Considrons I'ingalit a> b.Ceci signi{ie que a-b est positif. Donc.le produit(a-b) :a'a-bcsera du signe de cSi c est positif, ac * bc est positif, et on aac> bc.


38/446

50 PRCIS D'AI,GEBRE.Si c est ngatif, ac- bc est ngatif, et on aac { bc.Ainsi --'1-5,clonc *l.to)-S.ro,2o* __5>_5o;/ r\cr (-:)(-3)


39/446

NOMBRES P0SITIFS ET Nli(i;\TlFS. Zl4. tant donnc I'cxprr:ssiou :ob,ltc,ec,r,I,r

;-T1T bTA-Ti-T;'.tt'ouvel lcs valcurs ntrmriqncs qu'cllc pt'cntl quantl on attril-ruc aux lc't-tLcs c, Ir, c lts vill('uts srriarrtcs :: r,b- ztc: 3; a: r,lt--z,c: 3;e:=-t , b: z, c-= 3; (.= t , b--2, c--3;e:-trb=:-z,c:f3; a=- t,b- z,c--3;e:=-t . b--e, c--3; e:=:-I, - z, c'--315. Donner les valcurs numriqucs de i'r'xprcssion :rza- r3bf rcab-8l,cf cal4abc,pour(-=r2 , L,-to . r.-o; .'--8 ' b--z . c--5.6. Taleul nuurriqttc rlt' I'erpressiorr :c5- 5 t'o ll * ra ri y2- rore la - ,pourr-3 ) 1J:2i t:-5, U:4i r:to t :-rg,

7. Trouver la valeur de I'cxpression :\az - bz)z - \az I bz)z * 4az bz,pour a- 15 , 1;--8; (r--2o , D- to.8. Tlouvcr la valeur de l'explcssiou :bcz cl _ cz bd * abcd I az {3 bc _ 4 b2 * 5 cn) - o, li D - 8 d),pour &:r , l)=:2 , c-3 , d:4.9. Taleurs numriques dc l'r-'xplcssion :

unt la ,, - #* ,,'T,#*r,pour a:z rn:-5; (t==- z 3- 3 ?tt - --10. Quelle est la valeul numr'ique dt: I'r'rplcssion :/"'ti?\ | r --l-\*'1r'7 \,-, **vlro Pour f,-- g , - r;zo Pour .r-- r5 t ll ==- t?.i3o Pour .r: 7 , y:- 8.{{. Talerrr rrumrigue tlc I'cxprcssion :

a1 _b5 zu * 5b a2_c2TATF+;T-c *;=;"'pour a--5 , b-3 , c=- r,


40/446

52 PNECIS D'AIGEBAE.{2. Trouver la valeur numt'ique de I'cxplession :, 2"tryL-4l ' .i,- )

- 2.Ur _,-.+ 3,:ipour ,:*3'13. Taleur numriclue de I'exprcssion :

Il* -f-* -l-,' 7-r ' r-2ro Pour tr: * 3;zo POUr f':-3;3o Pour * - -i.{.4. Talcurs numtiques du produit :(t_:+r\ /f +* \\J 2 ' / \ 2 ' 3-')'pour 7- 5 etPour r- -5.t5. Trouvcr la valeur de I'expression :[(**,) y- ("- r)]n- [(y *'), - \a-')]2,porlr ,3 ,2--+; ' y-+i; t:-- | , U:*t;r-14, Y--4; r: 25, ?l:-7,t6. Trouter lcs valeurs nrrmriques des erpressions :a&{rcr,t1'35a2 5o u{24(-ro")o + (- zaa)-(-Zou1r-(-Soo1" "ro Pour (L- - | iro Pour a--2i3o Porrr a: 3,t7. Calculer :

azp-q , b6p-ts pour p:3, q:6 i\m n\c- :\p+q)Lr-52 pour tr:"r , A:3 , x:h.18, Trouter la valeur numrique de chacune des expressions :lFi+Ve"b -,lt;76-;t'/F + " e +, V F= s F -r-a + I s@ap()ur &:r , b:3 , c=5 , d,:o,


41/446

NO}IBRES POSITIFS ET NGATIFS.{9. Donncr la valenr nnmrrrique cles expressions :It,u - tt'i F * d) _ (o_ r) (t _ rr)l ( u _ d) ;b,_cb I lF64,potrr a.:4,1r:3 , c:2, d-t.20. Trouvcr la valcur. tlt' I'cxplt-ssion :j_ +fr

ponr *r-y(s21. Lc ct a tl'nn trianqle. oppos un anglt' rle 6o0, est donnforretion tlcs dcnx autres cttis ci -r., par. la folmule :a-lb'tl-t't-br.

L't'xprcssion tlc la srrlfirce S rl'rrrr lriarrglc cl fouction dcs 3 cts cstS * 111, i 1t ---lit =6: t n -dans laquellr] 0u a: O_tr l-lt*c'.t

Calculer d'aprs cela la surface S tl'un triangle clont lcs cts -3?,r etc-21t comprenuent entre cnx uu anglr. de 6o0, et r'rifier rc la valeurtrcruve pour s est la mme rlue cclle qrr'on obticnt d'apr's ra formule :^ bc r/3o---,22, Le volrrme Y cl'un cylinrh'e dtr hauteur ltr, et dont la base a pourLayon R, a poul- r:rprcssion V: n ReiI.Le v,lnmc o d'un cr)ne dc hauteur , et dont la base a pour ryon r, apour explcssion I .,,t'--rr'x h (n-f,r4).calculer d'aprs cela le volume d'un appareit apper enphysique aromtrc,form d'u' c-ylindre termin par deux cnes gaux, de mmes bases gue lecylindr'.:. La hauterrr clu cylindre est de rr centimtresl celles t{es cnes

onl chacune 37 milliml.res et le r"ayon dcs bases est de r"-,8.23. En designant par a,b,c les artes d'un paralllpipde rectangle, cIpar Y sorr volume, tin a : \ --abcSi r et dsigncnt lc rryon clc basc et la hauteur d'nn cylindre delolumc ?r, on a : u--nyz1, (n -3,rt).4ounl,nr.-

p11i. tr'-rr.ci.nnR. 5

CII


42/446

54Si enlin P, V et I)corps, olt a Ia formu.'

PRCIS I},AI,GtsRE.dsignenl lc poids, le volunro ct la tlensite d'un

P-YD.0'aprs cela : on a ur'c planche cn sapin.,le r',5 de longrreur, 17 (cll-tim1res tle largerrr ct 35 ;illitetles d'i'paisscttr, dans laquelle tttr a 'ert'ti; il""; cylin,triques tltr chacutr i ccntimtres cle ralon' Qucl est lc'poidsie cette pta,t.tte perctie de tlous' la densit du sapin tant o'5?- 24. Le' volume Y d'un lrouc cle pVlamide liascs pa|alllcs, a potlrexPression t n-l'rB+rr+vn-I),5

/r t|signurrt la hauteur clu trtrrrc, tlistarrce des deux bases; B et 6lcs airesrles deux bases.i'ai,'e S d'un polygone rgulier cotl\'cxe de n cts t5gaux c est donuepar la formule S:t-, nca,a tant I'aPothme dr: ce polygone' icrit dansI)'autre pat't I'apotht\rne a tl'utr po.l"vgone rgulier convere lIIrun cercle de r'ayon R a pour erpl'csslolr._l;4,c tant le ct du Pollgonealc'1,.r, tl,apr,s'..Jirr,nulo5 ; ro I'apothme; zo la surface d'un hcxa-non.,..*uli.r inscrit daus un cercle cle o^,r5 tle I'ayon, le ct cle I'hexa-;;; i; .],11ituJ a:oittours gat au r.av{)n: 3" le votume d'un tronc del;. ;; "riitri,tr.rs tle'l''auteut,'les bases de ce tronc de pvramicleta[t tleux hexagones rguliers inscr'its, I'trn dans ttn cercle de o^'15 deravou. et I'autre tlatrs utl cercle de o',to dc I'ayon'


43/446

CHAPITRE ITAPPLICATIONS DES NOMtsRES ALGBRIQUBSA l. - Segments. - Tempratures.7l'- - Dfinition, - JVous appellerons segrnent une por-tion de droite parcourue dans un certain teoJ qu" nou' nom-

merons.le sens du segment.Le point de dpart se nomme J'origrne du segment, re pointd'arrive se nomme J'extrmitA du segment.On dsigne un segment par deux lettres, comme on d_signe err gomtrie une portio' tre droite ; lntris on a soincle p,lacer toujottrs lu prent,it'e rct lettre qu,i clsi|te l,origine.,x J, Fig. r.Ainsi s'pposons qu'un nrobile se dplace sur unedroite y (ng. r), si nous clisons c{t,it clcrit leseytrcrzl AB,nous entendons par l qu'il est all de A (origine,l en ts(extrmit).

Un segment est donc une distance parcourue par unrnobile tlans un, sens cotLnu.72.- Il rsulte de ce qui prcde que lesdeux segme'tsAB et BA sont disti'cts. c'est la mme portion de clroite,nrais parcozu.e dans deu sens tlifft ents.Dans le premier cas, le mobile va de A vers B.I)ans le second cas, il va de B vers A.Denx tels segmerts sont dits opposes. Ils ont mme lon-gueur, rnais des sens opposs.73. - Mesure algbrique d,'un segment. _ On saitce que c'est que la mesure d'une portion de droite, d'unedistance. c'est le nombre crui exprime comlrien de fois


44/446

5 PRCIS D'ALGBRE'cette clistance contient I'unit ou cle fractions de I'unit'Ainsi, si I'otlprencl pour unit le tntle' et si.la^mesure d'une lon-s,,;;";i;'3;;';t.;;.;r'i;,Hueur contieut 3 rntrcs et 5 dci-]ctl'cs.Pour donner la mesure d'tn segment' il ne suffit pasd'indiquer la mesure de sa longuetlr' car alors deux seg-ments opposs auraient mme mesure; il faut' en outre'indiquer le sens du segment' On y parvient en employantles nombres Positifs et ngatifs'

74. - Considrons une droite indfnie' ' (frg' z)' eLchoisissonti, sul' cette droite' un sens que nous appelleronsle sens Ttositif. Par exemple, prenous le sens de n' vers t'et iniliquons-le par une petite flche au bout de la droite'Nous ,to**.rons une telle droit"e' swr laquelle u?7' senEposituf est dfini, un axe'Soient A et B tlcux points de cet axe'D-3 A*zBFig. z.Le sens du segment AB sera le sens positif ' ou lesens contraire. Si le sens AB est le sens positif' nous di-rons que le segtlreut est po'sitlf' et nous prendrons poul',tesu,re du segment ra *esure de sa lo'gueur prcde dusigne (a).i, u'contr"ire, le sens du segtnent est oppos ausens posi Lif ', nous clirons que ce segment est n'gatif 'et nous prendrons potr mesure clu segment la mesure desa longueur prcde du signe (-)'En rsum :

Ayant choisi, nur une droite initfinie' un ens positif' onappelletart ".rrtJtlgi"iqrr" d'un.segment cle cette droite lenombre alghriqu-;;t '|ou' valeui absolue Ia mesure deIa longueur du segment et pour sig.ne (+) o-t' (-) suivant quele sens au segmeit est Ie sens positif donn ou non'Ainsi, sur lt li.grrre z, le segtnent q est positif' Si la longueur deAB est tte a cenlrm;il; h *"i:* alghririue de AB sera + 2'


45/446

PPLICTIONS DES NOMBRES ALGEBRIQUES. 37T,e segment cD e-st ngatif. si la longueur cle cD est dc 3 centi-rntres, la mesure algbrique du segment*CD sera - 3.Pour dsigner Ia mtesure algbriqu,e d'un segment, onsurmonte les deux lettres qui dsignent ce segment pa.un trait.

.. Ainsi $ ljsninu mesue algi.b_rique du segmenr AIr; cD signifienresure.algbrique du scgne nl CD.'Sul'Ia llgule ,, o t _AB:*2, CIJ--3.Les mesures algbfiques de deux segments opposs sort desnombres opposs,75. - Somme de plusieurs segments. - Chaque foisgu'un voyageur, rln courrier., un train, un vhicule sedplace sur une route, il dcrit, sur cette route, un seg-ntent; et lorsqu'on co'nat la mesure algbrique de ce

segment, on sait non seulement quelle est la distance quia t parcourue, mais anssi rlans quel se??s ce trajet s.estefectu.Nous avions dj, aux n"" 2g et 30, donn un exernplede ce genre.si unvoyageur fait plusieurs trajets successifs dans dessens diffrents : tous les trajets clans le sens positils'ajoutent (arithmticlnement), tous les trajets dans le sensni'gatif se retranchent (arithrntiquemenr) cles prc-dents.On constate donc l'exactitude de la Rgle suivante:Rgle. - Lorsqu'un mobile dcrit sur un axe plusieurssegments conscutifs, Ie segment qui a pour origine Ie pointde dpart et pour extrmit Ie point final d,arfive a pourmesure algbrique Ia somme des mesures algbriques detous Ies segments pacourus.76. - Pnosrlrp I. - LIn ntobile 7tar.t cL'un point O srrrute droite et clea'it successit,ement cles segments ayant ,porti"ntesl.n"es algbriques, * 5-, - r2^, * 6-, - 3n. En quel pointde la drotte s'est-il, arct?


46/446

58 PRCIS D'AI,GBRE.Si A est le point d'arrt, on am-+5-rz f 6-3:-4^.Le point cl'arut est tlorlc 4 mtres de distance de Odu ct ngatif.si nous anirlsous ce que fait lc mollile, nous vovons qu'en partantcle 0 il ra d'ailorrt dani le sens posilif de O cn B i 5 nrtrcs deairtun.. de 0 (fig. 3). Puis il reviet sur ses pas clans Ie sens ngatif.

A Fis. 3.Il fait rz mtres dans cc scns. ll rcvient donc en 0, le dpasse etarrivc cn 0 du cf. nqatil li une clistance de tz- 5 - 7 mfres.ii re 1,art rlrrns [e sens" positif, se. rapproche cle 0 et arrivc cn l)*,ntr' *uoir frrit 6 mctres. Ce point i) cst encorc dn ct ngatil i,'-_ O : r mtre cle 0. Enfin rlc D il fait 3 rntrcs datts le sensirsatif et arrive en A 3*t-4 mtres de 0 clans le settsneatif.ij,.l voit quc I'applicttion de la r'glc prcdentc nous a perntisd'of;tenir d'rin seul'iottp ce rsultat sans faire de ligtn'e ct sans latrclc long raisonnement que nous venons de clonnel'77. - Pnoer,nrp Il. -- un cycliste se rlplace sul'[n yjrrte,Sfrasborn.rT-Pari,s-Marsei,lle. [l 1tarl. cle Paris cJ.ans la clirec'tiort cle Marseille et fn n5 llomtres. Le lentlemain ilreuient clat'ts lct, clirectiott tJe El,rasbourg et fait t4S kilonttres.

Le stn"lentlentain il contnwe dnns la d,irection' de Strasbottt'get fait 96 kiton"ttres. En'finrle quatrime iou'r, il repat't rlansla clirect,ion. cle Marseille et fait fis kilont'tres. A quel Ttoirt,td,e la rott'te est-il amu aw boutdu quatrime jour?Prenons comme sens positif Ie sens Paris-Marseille.Les mesures algbriques dcs trajets conscutifs sontdouc: I rz5, - t48, * 96, f r65.La somme est1rz5-r48-96+165-+46.Le cycliste s'est tlonc arrtri ,6 kilorntres de Parisclans le setts Pat'is-XIatseille.

?8. - Abscisses. - Considrons un axe sur lequel on


47/446

APPLICTIOI{S DES NOIII]RES ALGEBRIQUES. 3Oa choisi un sens positif de 'vers ,t (lig. 4). Soit O unpoint fixe cie cet axe que nous appellerons origine desabscrlsses. Pour dfinir la position d'un point quelconque Nlde I'axe, il suffit de savoir : r' A quelle distance il est deO; ,' de quel ct de O il se trouve.

M' Fis. 4.On connaitra tout cela, la fois, si on connat lamesrlre algbrique tln segtnent ONI. C'est cette mesulequ'on appelle I'abscisse du point 1\{.On appelle donc abselsse d'an point Ia mesure aLghriquedu segment qui va de L'origine des ascisses au point enquestion.On dsigne frquemment I'abscisse d'un point par la

lettre ar.Ainsi le point qui r pour rhscisse.?": + 4 est celui qui est rrnerii:tlnce 4 rie 0 du ct positif: lc point qui a pour ahscisse - 3 estI uue clistance 3 rle 0 du et ntleatif.Le point 0 lui-mme a pour ahcisse :dlo.79. - Variation de I'abscisse. - Soit 0 l'origine desabscisses. Figurons les points dont les abscisses sont:

* r, *2, *3, * 4, f 5, etc... et - r, -2t -3, - 4,- 5, ... etc. (fig. 5;.Nous obtenons deux suites indfinies de points. Ceuxd'abscisses positives droite; ceux d'abscisses ngatives Eauche.Ct nqatif tt positif

-9-B -7 -6 -S-+ 4 q -l O q,Z+3+t+S +6 f +8 +g+10+1Fig. 5.Si un point se dplace dans le sens positif, il passe suc-cessivement par les points * r, *2, -F 3, etc., et sonabscisse va sans cesse en croissant.Si le point se dplace dans le sens ngatif, il passe


48/446

4O PRCIS D'AI,GEBRE.srlccessivement par les points -rt -2,--3, etc'' et sonbSciSSe grandlt en. ucrlettr absolue mais dirtrzl'r't{e en ralittcilr. urr nomlrc ngatif clevieilt ytlu,s peltt clrrand sa valeurabsolue augmente.La figuration pr'cdente est utile pour fixer dans larnmoire l'orc[re de grcntclerff des nombres positifs ertngatif's.De deux nombres le plur: grand est celui qui est t /adraite de I'autre.

Ainsi on a:-5 < -4


49/446

APPLICTIONS DES NOIIBRES AI,GEBRIQUES.f)onc, on en conclut,.q'e-ol{r--m.Exruprr: I. - Soit [fig. 0 (l)]tfi-*3, tJE:-4,or: Il- (+3) --4.ExuMpLe Il. - Soit [{ig. 6 (2)]0f-*3, - *?,ona: AF-*t-(+3) :*4.ExEunr.n III. - Soit encore tfig. 0 (3)]0\--6, OlJ--3,etona: ffi--3-(-6) -+3.81. - Degrs thermomtriques. -Lc thermomtre est un instrument quisert mcsurer la temprature. ll est

form d'une petite ampoule de verretermine par un long tube de verretrs troit. L'ampoule contient tlu mer-cure ou de l'alcool (fig. 7), qui remplitencore partiellernent le tube de verreqn'on appelle la tige du thermomtre.La tige porte une graduation et lepoint de la graduation otr s'art'te I'cx-trnrit de la colonne de mercure in-diqtre La ternprature.Ainsi, sur lir {igule, lir colonne dc mercures'irrrr\te ll glrrtluatiort unrnrote 24. La tern-praturc de I'air ou du liquide clans lequel setronve le therrnomtre est donc de z( deqrs

t'entigrades.Lorsqu'on plonge le thermomtre dansde la glace fondante, la colonne s"arrte au point marqu o.Lorsqu'on ehauffe le thcrmomtre, la colonne monte etsi on plonge I'instrttment dans de l'cau bouillante, ilnlAftlue f roo.

AT

ffi *. Eau bouillanhIffF.*fi.*1f.'offi+ooffir::ffil]lf

o Gr.". FondanLa

m--Ili="

fio*'""''Fig. t.


50/446

42 PRCIS D'IGBRE.Si, au contraire, on plonge le thermomtre dans nnliquide ph,s frotrl que la'glace, la colonne descend au-dcs-sous du z(',ro.On convient d'affecter du signe ( 1 ) les degrs au,-des-sus cle zro, ce qLl'on appelle cornmunrnent les degrs dedurud,; eL d'afI'ecter du signe ( - ) les degrs au-dessous dezro, oe qu'on appclle communment les degrs de froirl.La mesule d'une ternprature est donc un nombre a,lg-bricpte, positif ou ngatif.82. - Calcul d'une variation de temprature. -Lorsque la colonne de mercure monte ou descend dansla tige, son extrmit peut tre assimikie un rnobile quidcrit nn segment. Le numro de la graduation oir s'ar-rte la colonne est une vritable abscisse, I'origine desabscisses tant le zro.Lorsque la colonne va de la graduation A la gradua-tion B, la mesure algbrique E- du segment dcrit est lamesure de la variation de la t,emprature.Pour calcnler cette variation, nous pouvons donc appli-quer le theiorme du n0 80 et prentire l'excs de I'abscissede I'extr'mit B, qui est la temprature fr,nal.e, sur I'abscissede A, qui est la tempr'aturc ittitiale.D'ou la rgle suivante :Lorsque Ia colonne thermomtxique va d'une graduation une autre, Ia mesure alghrique de la variation de tempra-ture est 1'excs de Ia temprature finale sur Ia tempratureinitiale.Si la mesure algbrique de la variation est postiue, c'cstqtre Ia colonne a mont, la ternprature s'esL leue. Sicette mesurc est ngatiue,la colonne es|d,escendue,la tenr-prature s' est abaisse.llsnuprn l. -- Le r"" furier tninui| la temprature luit. -'.1;le mme .iour ndi elle tail I g. Quelle a et Ia rariuliotr. tle latentpr,ure duns lo nmtine du t"' ltturier?La tempdratrre initiale tait - 3; la tcrnpratule linule f g.


51/446

APPTICATIONS DES NOIIBRES ATGBRIQUES. 45Cette variation a donc t :*s-(-3) - f rz.La temprattrre s'est donc leue de I z dt'grs'Ereunrr II. - Le f' .fant'iar it ndi kt letnpratute tait + 8' ntituit eLle tait - i,5. Quelle n t ln t,urialion de tentprattcd tt ns ce\Le den-.iou'r n e ?""'f,- -t"-ni'.t,,il.r initial: eist * 8; la temprature finale est - 7,5.Donc, cettb. variation a tt :- j,5 - (+ 8)-- r5,5.La temprature s'est abnisse de r5,5 degrs.83. - Changement d''origine d'es abscisses' - Con-sicl{rrons un axe (fig. 8) sur lequel un sens positif estchoisi of prenons sul. cet axe tleux points fixes o et o'.Soit n'I un point quelconque cle l'axe' Dsignons par "son abscisse oN{. qr,and on prend o pour origine desabscisses, et par ,1:' son abscisse O'NI' lorsqu'on prend O

pour origine. 00'M Fig. 8.Proposons-nous de calculer r' connaissanl t' Ceoirsulte immcliatement de I'application du thorme dun"80, au segment O iU. On a, en effet,

6 \I --- Ni- m.T' c'est I'abscisse de O' avec I'origine O' Dsignons-lapar rr, et nous avons alors:':g-g. (t)cette galit est la formule qui permet de calculer 'connaissant et a. Elle s'exprime ainsi en langage ordi-naire :La nouvelle absclsse est gale T',aneienne diminue deI'abscjsse d.e Ia nouvelle origine par tapport I',ancienne oti-gine.I'lrrupr,r. - Suppor.ons txJ'- * 3.La lolrrnrl-r (r) tlcvitrnt , *,:.n_2.


52/446

44p0urPourp0uI

PRCIS D'ALGBRE.:+ 4, n afi-*2, onar- -3, on a ^t-|e _-1_ L tat---1;fr, -_6.84. - Temprature absolue. - On appelle en phy-sique temprature absolue la temprature mesure enprenant comme origine des tempratures celle qui a pournresure - 273 degrs centigrades.Le calcul d'une temprature absolue, lorsqu'on connatla temprature en degrs centigrades, n'est donc qu'un

changement d'origine otr I'abscisse de la nouvelle origineSL * z7?t.Si donc f dsigne la temprature en degrs centigradeset T la temprature absolue, on a, en appliquant la for-mule (r) oir t'"tJ:t, tr, - T, a- - 273,'l'-t -F,t3.La temprature ahsolue s'obtient donc en ajoutant Iatempratue en degrs centigrades le nombre tixe 273.insi :pour l- a r5o, on apour t- - 5zo, on aOn dmontre en physique que la temprature d'un corpsquelconque ne peut jamais tre infrieure -z7J degrscentigrades. Il en rsulte que la temprature absoLwe esttoujouts positiue.

A P. - Le Ternps85. Units de temps. Une anne contient365 jours, un jout, contient zd h,eures, une lm,n e contient6o minutes et une minute contient 6o second,es.Pour mesurer un temps on peut prendle comme unitI'anne, le jour, I'heure, la minute ou la seconde.Les units les plus frquemment employcs sont :l'anneetle jou" dans les questions financires, l'lteure et la se-conde dans lcs questions de rnouvement.

T- f z88o;T: f zzro.


53/446

APPLICTIOI{S DES NOIIBRES AIGBRIQUES' 4TL'unit ayant t choisie, il conviendra toujours dansIescalculsd'exprimerlamesurearithmtiqued'trntempsenunitsetfractiottsdcin't'alesd'units'Noussupposerons

donc touiours, dans la suite, que la conversion des tempsen nombres dcimaux a t effecbue'C'est d'ailleurs une conversion qu'on a appris faire enarithmtique t-Ainsi un temps de 3h 3o- s'crira 3h'5';'ili--;;-' ,8^ 5'u" s'uira , en secon'des' r685'""'86. - Reprage des instants par rapport uneorigine._Pourfixercommunnrentuninstarrtdansunejouine, on dit l'lteure qu'i[' est cet instant' Ainsi' si onit qu'il est z heures et dernie de I'aprs-midi' on entendp", ia qu' cet instant il s'est coul z heures et demie"pui* *ial, c'est--dire depuis I'instant de ta journe otrle soleil a pass au mridien' .

rir,e d,esOn voit donc qu'cn somme midi est une ol'Lgtemps et qu'on indique un instant en nonant le nombred'heures et de fractions d'heure qui se sont coulesdepuis cet instarrt origine'il{aiscettetaoncl'indiqueruninstantestinsuffisante,car d'abord elle ne peut servir que pottr un'e nt'me iou't'-ne et,, ensuite, il faut toujours dire s'il s'agit dlumatitt'oudu.soz,r. Quand je dis : il est z lreures rfz'ie ne dis pas dequel jour il s'agit; je ne sais pas non plus s'il s'agit dumatin ou dtr soir.Pottr pouvoir introduire le temPsI'algbre il faut donc employer uneO" V Par:vient Par I'emPloi desdans les calculs demesure plus Prcise.nombres Positifs et

ngati{s.Choisissons un instant quelconque comme orlgine desternps. Ceci fait, nous indi|uerons sans ambigut un instantoiiionqu" "n donnant' Ii nombte d'heures et fractions"ainrr"iui tu ,epirent de I'otigine des temps et en ayant(ti Voir nofie owrs abt''qe cl'ari'thrntitluo' Livre III' Chap' tII' S 3'


54/446

46 PRCIS D'AIGBRE.soin de donner Ie signe ( + ) tous /es instants qrui sulvent7'origine etle aigne ( - ) ceux qui prd.edenr l,rigine.

. Par er.ernple, pftruons colnlrlc oliginrr drrs trrmps ntli du f, jttn-ater r9oJ.L'insl.;rnt + 4,5 serl alurs cclrri rlrri ir err lieu j" tl2. a;rrs rrrirri rlur"' janvier rqo j" Ce serit rh)lrc ih'ri z rle l':r;,r,s-ririrli'tlu r., j'n-vier r cto3..L'instant. * {g heules est celui rlui .a .eu licu 4q.heu'es ap.rsmidi du r"" janvier. ce sera donc r heuie de I'uprs-rnidi au 3.;.nr-rer.L'insltnt - 31,25 est celui qui a eu lieu iJh tl{, tutartt inidi tlur". janvier r9o3. Ce scLa -douc g"t/,i du rnatin du i." janvier r9o3.L'instant -zd cst crdui q a'prcd de z4 hcres nidi" dur"" janvier rgo3. C'est clonc niitli du 3r dcernbre'rgoz.Et ainsi cle suite.Un instant est repr par un nombr.e positif ou ngatifsuivant qu'il suit ou qu'il prcde I'origine des temps.87. - Horloges. ._ On poumait thbricluer une horlogepour marquer les instants cle la faon sui-vante : Dans une longue planchette est prati-que lfig. qJ une rainure longitudinale. Cetterainure est gradue et porte des nurnros

-4,, -3, -2, - l, or * r, * 2, *3, etc...s'tendant dans les deux sens partir cltrs ro.I)ans la rainnre glisse, dans le sens de laflclre F, un ittde qui est mr par un mouve-ment d'horlogerie qui est rgl de telle fhonque l'index soit an point o I'origine destemps, au point - 3 l'instant * 3, au point+ G I'instant + 6 et ainsi de suite. End'autres ternres, I'index inrliquera, chaqueinstant, le numro positif ou ngatif de cetirtstan t.Dans une telle horloge, un instant quel-conque serait repr cornme un point sur unedroite par une abscisse. Elle permettraitdonc d'assimiler les instants des abscisses.

i_trlI

Fig' g.


55/446

APPLICTI0NS DES l{tl}tBttEs AL(iBRIQUES' t*7Une telle horloqe nous thcilitera les raisortuements etles calculs sur lis teurps; ruais, dans la pratique, elleserait irralisable, ci\r il faueirait une planchette illiritite

tlt-rns les tleux selts.En fait, au lieu del'lrorloge reclilign'eque nous venons d'i-eraginer, on emPloieur).e horloge circtt'laire.Le cadran de cettehorloge Porte dettxcercles concetrtriqueseL clettx aiguilles. Lapoirrte de la grandeaiguille se dPlace'

\lFY

Fig. to.dans le sens dc lallche F (fig. ro), sur le grand cercle partag en 6o par-ties gales, nttmrotes de o 6o' Oette grande aiguillefait un tour en tat'e heure otl 6o minutes' Si donc elleest I'origirte des tenrps au point O' elle indiqtte' parsa position, le nornbre- des miuutes qui sc sont coulesdepuis I'instant origine'

S"il n'y avait que Ia grandc aiguille' I'horloge lle pour-raib rnarquer que les instants pentiant ttne heut'e' An boutd'une lteure elle aurait lhit un tour et recommencerait marquel'les mmes numros qu'auparavant' Pour savoirI'heure exacte, I'instant exact' il faut donc savoir combieutle tout's et de fractions de tour a faits la grandc aiguille'I-e rle tlc la petite aiguille est d'irrdiquer

le nornbre desbottt's erttiers de la grantle' Cette petite aiguille- tourneclans Ie nttne ,.rr* q:u* la graudc' mais moius vite' Elleayalrce tl'utr clott: irtrc de tour par lteure et les nutnrostlestoursthitsparlagrarrclesontirtscritserrchilTreslomains sur le petib cercle que clcrit la pointe de cctte


56/446

48 PRECIS D'ALGBNE.petite aiguille, Si donc, comrne dans la figure ro, Ia petiteaiguille est entre v et vI et la grande aigrrille au numr,or8, cela veut tlire que la srande aiguillea fait 5 toursplusune fraction de r8 soixantimes. Il s'est donc coul depuisl'origine des temps 5 heurcs r8 minutes.on pourrait encore dire ici que les aiguilles indiquentle clrcm'in. parcouru par la grande. Le chemin est de SrBtours ltlus * de tour. Ce chemin pourrait cncore trecompar a irne abscisse; mais, pour la clart des raison-nement,s, il sera plus commode de raisonner sur I'hor-loge recti,lt11ne.

88. - Mesure d'un intervalle de temps. _ Etantdonns deux rlr'nements A et B, si je dis qu'ils sontspars par. un intervalle de temps de { heures, je nesuis pas exactement fix sur leurs llositions relatives, carje ne sais pas quel est celui des deux vnements qui aeu lieu le premier.L'vnement A peu prcd,er ou suiure l'r,nement B.L'emploi des ombres positifs et ngatifs nous permetde faire la distinction.JVous appellerons '''esure algbrrque de l'rntervalle detemps qui va de f instant A l,instant B, Ie nomhre qui apour valeur absolue Ia mesure du temps qui spare les deuxinstants et pour signe_Ie signe (*) ou Ie signe (-), suivantque A.prcde ou suit B.Ainsi la mesurc algtilrrique de I'intervallc de temps cJrri va rlez heures de.,l'apr's-mi(li s herrres est f 3. La m..,jr* itgalriqu.dc I'inter'alle cle temps qui va tle G heures clu matin r lieure'dunrme matin est - 5.89. - Ceci pos, si I ous nous reportons I'horlogerectiligne ({ig. g), nous r/oyons que la mesure algbriqued'un intervalle de temps est la mme que celle du segmentqtri a pour oriEine ta position cle I'inclex I'instanL ,i:t,itiu[et pour extrmit la position de l'index I'instanL final,.


57/446

APPIIC,\IIONS I)[S NOIIBIiES AI,GEBNIQLES. 49Comme les abscisses de I'incle-x dans les derrx positionssont prcisrncnt lcs noml,rrcs clni reprent les iir.slairlscorrespontlants, on a immdiatement la rgle suivante enappliquant le thciorme du n" 80:La mesure algbrique d'nn intervalle de temps est gale I'excs du nontbre qui repre f instant tinal sut" celui quirepre I' instant initial"Itrxsnt'r,r': l. .- Qru,l cs[. l'inl,arualle tle [emps rlui t,a rle 8,, rlI dutttttlitt i.t 5" rlz de l'aprs-rnirli d'un, ntne .fouf ?,..En prt_nani courmo'origine rnidi, I'instrrii initirl est -3,75 etI'instat{inal f 5,5; I'inervalle. cnqucstion est donc :+5,5-(-3,15)- *9,"5.Exnuprn {: . Quel est l'interual,le, de temps qui ua de zh rf z d,urrrtttirt ln 314 du nr,me nrcdin?... Si rlr p_rcncl comrne origine minuit, I'instant initial est $ z,i etl'itt-ctant linll est * l,j5i I'intcrvallc, cher.ch est donc :*;,15 - (+ z,\) .- -f 5,:r5.N()tlr. llul'iul1s Iru lrrrrllrlre rornrntr rrrigine mitli. L'instarrt initialsr:nrit alot's -- g,5 r:t l'instant linal * 4rz5; I'intervalle t.herchst'nril ;rlors

4 "zrl -* (* Q, 25 - f 5, 25.on roil rlrrrr I'on trorrre iricn le rnt\me nomhle cl.urs les rleux c;rs. Lamesure cle I'iutellalle cs[ indpenclante de I'or.igine choi.ie.90. - Chronologie. - Dans la chronologie tle l'His-toire c,rrr prend comme origine des temps la naissance de

.leisus-ctrrist. Lorsqn'on tlit qu'urr vnement a eu licu enI'an r aprs Jttsus-Chr.ist, on veut rlire parl qu'il a eu lieupentlartt la prentire anne alrrc\s la naissance du Christ.Il ne s'est donc pas conl une anne ertlire, mais seulc-ment une fraction d'anne depuis la naissance du Christ.Si on prencl commc unit I'anne, l'instanl, cn q,uestioncst donc un nombr.c plus petit que r.Si un vnernent a eu lieu le r7 fvrier r9o3 ceia veuidire que cet vnement a eu lieu pe nclant l r9o3rme anneaprs la naissance rln Christ. Il s'cst donc coul rgo2 anset ziS jours ou r9o2 + # d'anne clepuis la naissance duChrist.

Bounlrr. - pnc. o"rrcsnr


58/446

50 PNCIS D'AI,GBRE.Pour incliquer unc date on pourrait alors ernployer lesnombres positil's sl, n6igatit's ett clounarrt le sisrle (+) auxdates des veinements p ostrieurs Jsus-christ et lesigne (-) aux dates antrieures Jsus-Cht'ist'rlinsi le ry fvrier r 9o3 aprs Jdsus-0hrist serait I'iilstilnt/ d8\* (tOo, + #). Lc r"" rlcemltre tlo I'an 5 alrnt Jsus'uhlist/ '3o\ . ,semit instant - (.t + j6E), n ur- eoilllrl:rtrt pas le joul tnt\tne.91. - Probtme" - Lin' hotttttte est n Ie 17 n'ouernbt'e clel,'crn3t au. Jsus-Clvtst. lL cst rnortle 18 tital's rle I'cttt, {3 apl'sJ atls-C I r ist. C ombie n a- t-tl tu lnt?L'insl,ant deL'instant deLadnissaCet92. - Remarque. - Il fatrt essenticllement n'appli-quer le reprage tlt:s ternps potrr. la chronologie t{tlL'colltltle lrous I'avons fait. olr ne peut lias I'appliquer auxmillsintes des annes. ceci tient ce que le millsimed,une annc n'inclique pas combicn d'anncs sparentl.instant en cluestion cle l'instant ot'igitrc, mais seuletnentle ntrmro d,'orclre de I'anne liendant laquelle l'vnementa eu lieu.Il n'y a pas d'anne numrotc o. De I'an I auattlJtlstts-Olff,r,st on passe sans trallsition l'an I' aprs Jdsu.q-Cluris{.93. - Changement d'e I'origine des temps' - L'em'ploi de l,horloge rectiligne nous ayant montr que lesinstants peuvent tre regartls courme cles abscisses et

rrre cfu'ncc t sa*(1r21homme

sa naissance (initial) est - (rt+ =1+\trur'' LrL \-"tt 'lb\f 'sa nrort (tinal,t est f (U, *fu)sa vitr est l'intervalle ie temlrs qui "a de samorl,; c'cst clour' (rr" 89):t7\-l-(n+Ji)l_+;,+3.5r/ L \""'36i/l 't. 'i5a donc v'cu 7" Ans 0t rzr jours.


59/446

ppLIc,\TI0lis IlEs NOMBRES AtCBRIQUES. 5{les intervalles de temps conlnle des segments, il en rsulteque I'on fera un changement d'origine des ternps commeon fait un changement d'origine des abscisses.si donc r dsigne le nombre qui repre ,n instant avecune premire origine, t' le nombre qui repre le mme ins-tant avec une seconde origine, et 0 re nombre qui reprela seconde origine par r(tpport ci la ytrentir.e,, on a, enaplrliquant la formule 1r) du n. g3,t':t-0.Le nombre qui repre un instant par rapport une nouvelleorigine est gal au nombre qui repre re mme instant parrapport I'ancienne origine diminu du nombre qui repjrela nouvelle origine par rapport l,ancienne.Exr'vrln. - La nouvr'lle origine est I'instant _ 3,5 avec I'ancienneorigine. 0n a donc 0 _ -I3,S et I, _ t, + 3,S. - -Si t:*4, t,__f7,51l: *3, {,' -, } orllt _ _9,5, {, -. _ g.94. -Applications. La formule tlu changem.rt rl'ori-gine peu[ servir : calculer I'heure exacte snr rrne hor-loge qui a'ance on reta.de; calc;uler l,heur,t, clans uneville tlui n'est pas sur lc nrme rnridien que par.is, co'-naissant l'heu'c dc Paris et la clifrence des heur.es.En voici des exenrples :Pnonrnrr r. - Paul a, rtne nzomtre qu,i.retarde de s nzinutescalat,lcr l'hcure eacte ktrsque ra nlor.trc de paul intliriue3h z'?Di.e que la montre de paul retarde de 5 min*tcs c'cstdire qucr cluand il est midi la montrc marqre midi mrf tts b.La nouvelle origine est donc l'insta.t _. 5 sur la montredc Paul. L'heure cxacte s'obtient donc cn r.etranchant(-5) tle l'hcurc mrtrtlue par la montre, c'cst-ii-dire erralot.ttu,tLt | 5.Il farrt donc a.iouter' 5 mi'utes I'heure marque. Lors-que la montre marque 3,, ,., il est 3" 7-.


60/446

52 PR{]IS II"\LGBRE.Pnoet-Nrp IL - Qtrnritl il e-sf tnult ri Betrdeaur, il. estnir1i tr- 38" Paris. conttnent obtier-ort, L'heu.re rle Brtrdcaurr:onttctissa"nt cell,e de PaT'ts?L'origine des temps Paris est mirli cle Paris, c'est--tlire I'instant or\ le soleil passe au mridicn clo Paris.L'origine des tcmps Bor.deaux est laitli tle B,trdeuLrJ. c'est--tlire I'instantoir le soleilpasseau mridien de Bordeattx.(lomme Bordcaux et Paris ne sont pas sur le utltlemridien, I'origine tles temps n'est pas la mme pour les

Parisiens et les Boldelais.L'origine des ternps des Bordelais est, I'iustant f (r r''38';pour les Parisiens.On obtiendra clonc l'heure de Bordeaux en retrctnchantde l'heure de Paris r r* litl'.Ainsi rlraltl il trst 3 heru'es l)aris, il est zh ,i8^ zz" ir l}rrcleuu.r.

I S. - Morrvement uniforrne.95. - DIinition. - On dit qu'un mobile qui se meutsur un axe, sur lequel un sens positif a t ehoisi, est animd'un mouvement unlforme si les seEments parcourus par cemobile dans des temps gaux sont gaux, quelle que soit Iavaleur commune de ces t'emPs.Le segrncnt parcour.u dans urre heure. a toujorrrs mtnelncsure algbrirlue; lc segmeut 1-rat'cotrt'it dans trtte uritttt[ea toujours rnme mesurc algltriclue, e[ ainsi tttr suite.Il est bon tlc l'emarquer qu'il s'agit dt-'' segmerzls' Ccciimpliquc douc non sculcmcut rluo lcs chemius l)trtloumsdrns des temps gaux sont gaux, nrais aussi quc lcs sflzsde 'parcoui's sont les mnies.Il en rsulte que lc mobile ntarclrc towiours dan's lentdm,e setu.96. - Vitesse. - On appelle vitesse d'un tnotrvement uni-forme 7a mesute alghtique du segment patcoutu dans l\tnitde temps.La vitesse est donc uu nombre positif ou ngatif suivant


61/446

PPIICATIOI{S DES I{O\IBRES LGBRIQUES. b3que le mobile malche oLr non clarrs le sens positif choisi.La valeur altsoltte de la vitesse dtpetttl cles mtits clnis'ies.Il est donc essentiel que I'on dise toujours quelles sont leswtits clnistes.Par exemple, si l'on dit clue la vitesse est cle 3o kilorn-tres I'heule, I'unit de longueur est le kilomtre, l'unitde temps est l'heure.Il peut tre utile de savoir changer d'units.I'{ous traiterons un exemple courant.

Pnoerrrn. - Connaissant Iu. aitesse en kilomtres 1'heu,re, calcttler la uttesse en, nttres ri ln secorrcle.Soit V ia vitesse en kilomtres l'heure. Ccci vent direque dans rrne heure le mobile dcrit V kilorntres ouV >< rooo mtres]Dans une heure il y a 36oo secoudes et, comrne danschaque seconde il c1clit toujours le mine chernin, onobtiendra le chemir) parcorlnl ell ?{?1e seconde en parta-geant Vx rooo en 36oo ltarties gales. Si donc on appelleu la vitesse en mtres la secontie, on a:\r >< roo,t V':--Jm-Pour auoit' lct uitesse ert mtres , la seconde, on d,iutse [auitesse en. k'ilomtres ri l'heure par 3,6.lnversement : V: o >< 3,6.

Pou,r auoir la uitesse en A'ilomtres ri l'ltezue, on, ntultiplielct ui{esse en milres ri la secoitde par 3,6.

Ainsi un cvcliste'qui fait 18 kilomtres l'heure fait * - 5 m-JrDtrt's la seconrle.Un train qui lait r r mtres la seconcle firit 3gK.,6 I'heure.

97. - Formule du mouvement uniforme. - Leproblnre gnral qu'il s'agit de rsoudre est le suivant:Un mobile guf se meut d'un mouvement uniforme est un instant initial en A,' un instant tinal iI est en B; cal-


62/446

54, PRHOIS D'AI,GEBRE.euler 7a mesure algbrique du segment AB connarlssant Iavitesse u et l'intervalle de temps t,

Il faut de suite rernarquer que, dans cet nonc, on nestrppose rien sur les deux itrstants; oII ne clit pas si l"instantinitial prcde ou suit I'instant final.Si I ;o, I'instant initial prcde l'instant final: le mobilea clonc march de A t'ers B.Si / {o, I'instanb initial suit I'instant final: le molviletait donc en B avaut tl'tre en A; il a march de Br-ers A.Soit e -FgNons allons prouver que, r:latrs tous les cosr on a :

e - ut. (t)Pour dmontrer que les dettx nombres e et ut sont gauxil faut prouver : r' qu'ils ont mme valeur absolue; z" qu'ilsont mrne signe.r" ,I/s onl tnnte ualeut' ubsolue. Dsignons, en effet, parE, V, T les valeurs absolues de e, r, f. D'aprs la rgle detrois, puisque dans le temps r, le mobile dcrit le cheminV, dans le ternps T il dcrira T fois plus, ou V x T.On a donc bien E-_VxTou: lel-lurl.z' lls ont rnnte signe. Err effet, si I est positif, le mobileva de A vers B' le setts dtt segrnent AB est donc le senstlu mouvement et,e - B a mtlre signe que u et, par suite,que u'f.

Si f est ngatif, le rnobile va de B vers A' Le sens dusegmerlt AB est donc cotttraire au sens du tnouvement ete - AB est cle signe coutraire au signe de t'' Nlais,comme f cst ngatif ,ut sera de signe contraire au signe deu et, par suite, sera bien de mme signe que e"La formulc (r) est donc bien gnrale.


63/446

APPLICATIONS DES I{OIIBRBS ALGBRIQUES' 55 .Il faut bien se garcler cle rrommere, dans la formule (r),te segtnent ,p(Lrco,tlrL par Ie mol,rile; car c'est inexact quandt esi ngatit: Lorsclue I est 1gatil' le rnobile dcrit Iesegment - e'98. - Mouvement curviligne' - Nous Avolls strp-pos, clans ce qui prcde, que le mobile dcrivait uueiigrte clroite; mais tout ce gue nous vons dit s'applique"ir"or" au cas 4u nrouve.reut ct*L,iligne, c'est--dit'e aucas oit le rnol;iltr tlticrit ttn cltemiu conrbe'On peut, en etfct. toujout's imapiner qu'on aiL rectifi'par Ia peuse, le chcrrniu et rais


64/446

56 PRECIS D'ALC BIiE99. - Calcul du temps. - Puisque e est gal au pro-duit, de o par l, on en conclut que I est le quotient de epr ?.r. 0n a donc: t- : (z\l_r -lormule qui permet de calculer. / connaissant e et rr.Exnuprn. - Un lruin, allunt ile Puris llarseille par Lyon, aprtss Lyon nidi. A quelle heure (trtit-il Di.jon., tlui es| ittg9 kilomtres uuunl Lyoi'? La t,ilesse tlu train eii ae 'Bo kilu-rtttres l'heure.Prenons cornme unitd de te,mps I'heu.e et comme u'it de longueurle kilomtre. 0hoisissons conlrne sens positif le sens Paris-ll:u'seiiie.0na: e:-rgB r.r-f8o.

t- I98- ^:- S;:-2,4i5.^Le- train I pass 2n,475 avant micli Dijon. 0r, oh,47S valcntz8-.5o ou z8'3o'.Le train a clonc pass Dijon 2"28'3o. nvirnl mirli, c'est-r\-clire gn 3r- 3o' rlrr tttul,itt.100. - Calcul de la vitesse. *- Puisque c est Ie pro-duit de u par l, c'est que o est le quotient de e par f. On adonc :

e': T; (3)formule qui permet de calculer f connaissant e et u.Exnupr,n z De Paris it Di.ion il q a 3t5 kilomtres. [Jn train setrouuait Paris 6n 38- du, nalirt et Dijort rh 59* du nrutin.Qu.elle tuil sa uitesse et son sens rle rnurche'lPrenons pour sens positif le sens clc Par.is rers Di jon. 0n a alors :

e- f 3r5,en prenlnt comme unit de longueur le kilorntre.Si on prend comme unitti de icntps lir rninute, I'instant initial est+ 398 et I'instaut final -l-- rrg. L'iritr:rvalle de temps t est :l- r rg - 3g8 :- z?g.


65/446

on a alllsr :APPTICATIOi\S DES NO}IBRES AIGBRIQUES.

3r5 35a-- 279La vitessrr est tlouc tle rtr'o, tzq it lu minute e t, colllltte t' est ngatif,le sens de rnarche est de Oiion rrel's Pct'is. La vifes:een kilouttt'es I'hcrure rrst : r , r z9 )( 6o - 67Kn', 7 4o it I'lrcure.l0l. - quation du mouvementuniforme. - Laforrnule du mouvement unilbrme ses met souvent sotls

une autre forme qu'on appelle quatiott clu ntouuentettlutiforme.A cet effet, pl'enons sur la dloite que dclit le mobile(fig. rr) un sens positif et uuer 6ligitre O tles abscisses.Soit 1\Io la position du mobile un instant 1o que nousnolnmerons instant initial et o I'abscisse OlIo de NIu.Mo 'ig. r r.

Soit I\[ I,a position du mobile un instant quelconque Iet I'ab.scisse -U ae N'L Proposons-nous de calculer rconnaissant ,. La position initiale du mobile est NIo, saposition finale NI: d'aprs la formule (r) du mouvementuniforme,Tl;If est gal au produit de la vitesse tr par l'in-tervalle de temps qui va de l'instarrl, initial l'instant final.Or cet in'tervalle de temps est (n" 891 t - to, et oll a :e-NIJI--to.

n - tro-- a (t - lo). (4)n-(to+a(t-lo). (5)C'est l ce qu'on appelle I'qtmtiott du ntouuentent uni-

form,e.Dans cette quation, o, u et./n sont trois clorzille.s, troisquantits fies, ce qu'on appelle des constantes.

c/

M

On en conchlt :Ce qui s'crit :


66/446

58 PRCIS D'ALGEBRE.Au contraire r et f sont tics quantitd:s qui varient chaque ittstant, ce rlu'on appelle des variables.La forrnule ou cluation (5) permet alors de calculerl"abscisse du mobilc cotruaissant l; c'est--dire de d/-terminet', clnque irzstant, la Tsostt'lon du m'obile sur laclroite qu' i L parcou,t't.

02. - Mouvement curviligne. - La remarque quenous avolls faite au n" 98 s'applique encore ici.La forrnule (5) quc nous avolls taltlie pour ttn cheminrectiligne s'applique, sans niotlification, tttr chentin cur-viligne, car olt peut toujours preltdre sur cc cltemin uttpoint fixe comme origine, choisir un se??s Ttositif et conrpterles distances, partir de I'origine clroisie, positivementdans le prernier sens et ngativentent clans le sccoud.Exnuprn. - Un train part de

Paris pour Nancy ntidi 35 etmarche la uitesse de 6(i kilontres l'ltcttre. En supposant r1u'ilmarche sans arrts, fonner son quation de murche.Prenons cornme sens positif le sens Palis-Nancy; comme units, lekilomtre et la minute.

0n a : o-f r, rCar le train fait rk',r la minute.L'origine des abscisses tant Paris, on a :

fo: f 35 lg:9.L'quation (5) donne alors :)- r, r (f- 35).A quelles distances de Paris sera le tlain zhz6, 3h3r, [hr,5h25,5h56 ?Il suffit de faire successivement

pour zhz6, t-t4,6 et on a i r- r22k^,r3r'3r, t-.ztr - r-rq3k',64nt5, t- 255 l,:z[,zk^5h25, l- 325 5:3rqk^5h56, ,-356 c-353k',rComme l{ancy est 353 kilomtres de Palis, il est donc arriv Nancy 5h5*.


67/446


68/446

60 PRCIS D'TGBRE.

A 4. - IDtermina,tion de la position d,tun pointsur une droite par le ra,pport de ses dis-tances deux points fixes de cette dnoite.104. * Prliminaires. - Considrons une droite ind-finie et deux points fixes A et B (lg. rz) sur cette droite.Supposons d'abord qlr on ait choisi s_ur la droite un senspositif et corrsidrons le cluotient+ cles mesures alg-AMBMA

t,'i obriques des segments BII et Al\{ que nous reprsentonspar y: Fnr

u: -q,lt 'Remarquons d'abord que la valenr tle y est indpen-dante du sens positif choisi; car) si on change le senspositif sur la droite, lts mesures algbrictrues cles dtuxsegments changent de signe tontes les deux la fois et lequotient y ne change pas.II est donc absolument inutilei cle dire quel est Ie senspositif clroisi sur AIJ ; ce scns peut tstre arbitraire.Si le point XI est entre R et A, ces clenx segments tsNI etAX{ sortt de sens opposs et y est n(retif.Si le point N{ il'esl yn,s entre B et A, les deur segrnentsBI\I et A1\'I sont de mme sens et y est Tiositif .Le signe du rapport y indique donc si M est ou non entxe

BetA.Remarquons enfin que y n'a pas rle sens lorsque M esten A. En effet, dans ce cas, le dnorninatcur AJI est nulet une fraction qui a porlr dnominateur sro n'a pas deS errS.lrlous examinerons ce cas particulier part.


69/446

PPLICTIONS I)ES NT)IIBRBS ALGEBRIQIIES. 6T105. - Dterrnination d'e la lrcsition du point' --A tout point xI de la clroitc AIl, autre tlue A. corrcspoutlnne valeur de y bien cltermine'Nfais rciproqrlement. tant donue la valeur cle y posi-tivc ou n,gativr., c'risle-t-il un poitrt, NI, et tttr' sel{l, tel qttcI'on aiL Ilnt:'' (r)C'est ce qtle nous allons clterc.'her'Prenons. i\ cet effet, sur AB L.,onlnle setrs positif , le settstle ,\ vels B et le ltoint A c,onrme origine des trbscisses.Soit lfill - r[B -,t l'abscisse de NI'I'abscisse tle Il.On aura tn" 80)Fffi-m-B-- f,'--(t'

et, pat' snil,e, t'galit (r ) s'i'clit. clatts totts les cas,,' 'r rt _ ,,. .r)Le problme est donc ramen ir ceci :y ,l,fant clo"ir, [ro*ver. pour qttellcs valeut's clc r l'ga'

lili' t',) est, vt'ri[itrrc.Pllisrlttc y csb lc cltrol,ieut' clc 'r * r.l' pal' r)'on a: -&=aLdonct *- a*IJet aussi : - Y:: u''Or, en t'ertu du thorme du n' 48' on a:ar(r-y\-t:-U;

t'gaiit 1]; s'crit clonc litralerueruT: \r - l) -a.Si y n'est pas gai r, | - y n'est pas gal

( i])

(4) zro eL


70/446

62 PRCIS D'AIGI1,BRB.cette galit exprime rlue le nombre cherch est celuit1tri, rr

Documents

C.Bourlet - Précis d'algèbre